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RELACIONES Y FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS – UNIVERSIDAD PDF

Relaciones , Dominio y Rango de una Relación , Relación Inversa , Funciones , Funciones Especiales , Función Par y Función Impar , Función Creciente y Función Decreciente , Función Inyectiva. Suryectiva y Biyectiva , Operaciones con Funciones , Composición de Funciones , Función Inversa , Funciones de Costo, Ingreso y Utilidad , Funciones de Oferta y Demanda ,Uno de los conceptos más importantes en toda la matemática es el de función. Generalmente en casi todas las ramas de esta ciencia, las funciones cumplen un rol fundamental. Iniciaremos este capítulo dando las definiciones generales de relaciones y funciones. Enseguida, definiremos las funciones reales de variable real, pues estas funciones son el objetivo principal de este capítulo y de los siguientes. 2.1 RELACIONES En matemática, como en otras ciencias, muchas veces se desea establecer una relación o correspondencia entre dos conjuntos. Supongamos que tenemos los conjuntos A = {1,2,3,4} y B = {Ángel, Bertha, Gabriela, Ronald}, y queremos establecer una relación entre dichos conjuntos, de modo que a cada número del conjunto A, en orden creciente, le asignamos el nombre de una persona del conjunto B, en orden alfabético. Así, podemos establecer el siguiente esquema: (1; Ángel), (2; Bertha), (3; Gabriela), (4; Ronald) Nótese que la correspondencia establecida determina un subconjunto del conjunto A x B. A este subconjunto lo denotaremos con: R = { (l; Ángel), (2; B ertha), (3; Gabriela), (4; Ronald)} Es claro que la relación establecida no es única, ya que se puede establecer otras relaciones (correspondencias) entre los dos conjuntos. La definición formal de relación se presenta a continuación. D EFIN ICIÓ N 1. Sean A y B dos conjuntos. Una relación R de A en B es un subconjunto de A x B, es decir, R c A x B . Esta relación R de A en B se denota por R: A -> B. O BSERV A CIÓ N 1. Sea la relación R ■ A -> B. entonces: 1. El conjunto A se llama conjunto de partida y el conjunto tí. conjunto de llegada. 2. Si (x; y ) 6 R. se dice que x está en relación con y mediante R. También se representa por x R y. 3. Como 0 c A x B , 0 es una relación de A en B y es llamada relación nula. 4. Se dice que R es una relación en A si R c A x A. E JE M P L O 1. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4} y B = { 3 ,4 ,5 ,6}, determine por extensión las relaciones R y S definidas por: R = ((*; y ) e A x b / y = x + 2} S = (O ; y ) e A x B / y > x + 2} Solución. Se tiene R = {(1; 3), ( 2 ; 4), (3; 5), (4; 6 )} 5 = {(1; 4), (1; 5 ),(1 ; 6), (2; 5), (2; 6), (3; 6)} Los diagramas de las relaciones R y S se muestran en las figuras 2.1 v 2.2. re^pectis .imente TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! 2.1.1 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACION Sea R una relación de A en B (R: A B, con R ^ 0). El dominio de R es el conjunto Do m( R) = {x £ A / ( x ; y ) £ A x B) c A. Esto es, el dominio de R es e¡ subconjunto A cuyos elementos son lan primeras componentes de todos los pares ordenados que pertenecen a R. RELACIONES Y FUNCIONES El rango o contradominio de R es ei conjunto Ra n g ( R) = {y £ B / (x; y ) £ A x B} c B Esto es, el rango de R es el subconjunto B formado por las segundas componentes de todos los pares ordenados que pertenecen a R. Si A y B son subconjuntos de US, la gráfica de la relación R es el conjunto Gr á f ( R) = {(x; y) £ E X ¡R / (x; y) £ /?} Usualmente el dominio de R se ubica en el eje horizontal y el rango en ei eje vertical. Los dominios y rangos de las relaciones definidas en el ejemplo 1 son: Dom{ R) = {1,2,3,4} = A . Ra ng ( R) = { 3 ,4 ,5 ,6} = B Dom( S) = { 1,2,3} , Rang ( S) = {4,5,6} Las gráficas de R y S se muestran en las figuras 2.3 y 2.4, respectivamente. Ln la mayor parte de este libro se utilizarán relaciones en iR, es decir, las relaciones de A en B donde A y B son subconjuntos de E. Ejemplo 2. Sean R y S dos relaciones definidas por: R = {(x; y ) £ N x N / x 2 + y 2 < 9} y S = {(x; y ) £ E x IR / x 2 + y 2 < 9} Halle los dominios y rangos de estas relaciones y trace sus gráficas. Solución. a) R = {(1; 1), (2; 2). (1; 2), (2; 1)} Dom( R) = {1; 2} = Rang^R) . La gráfica se muestra en la Fig. 2.5. b) Como x 2 + y 2 = 9 representa una circunferencia con centro en el origen y de radio 3, la gráfica de S está formada por los puntos de la circunferencia y también por los puntos interiores a la misma. Además, se tiene: D o m (S ) = [—3; 3] = Rang^S). La gráfica se muestra en la Fig. 2.6. 39 t o p ic o s n r c \ i c r i o - v m i a i f v i k 4 3 2 ■ - ■ - •1 1 ■ ■ 1 " “ v t ■ i ----- 1— 1 1 1 ^ 0 l i l i 1 2 3 4 2.2 RELACIÓN INVERSA Definición 2. Sea R:A -* B una relación no vacia. La relación inversa de R. denotada por R -1 , es el conjunto R _1 = {(y; x ) / (x; y ) £ /?} De esta definición se deduce que R ~l es la relación de B en A (porque es un subconjunto de B x A ) que se obtiene a partir de la relación R. intercambiando las componentes de los pares ordenados que pertenecen a R. Sea R es la relación del ejemplo 1, esto es. R = {(1; 3), (2 ; 4), (3; 5), (4; 6)} Entonces, la relación inversa de R es R ~l = { (3 ; 1), 4; 2), (5; 3). (6 ; 4)} PROPIEDADES. De la definición de la relación inversa B_1, se tiene: 1. (y; x ) E R ' 1 <=* ( x ; y ) £ R 2. Do?n(/?_1) = R ang ( R) y R ang = Dom( R) 3. = R (la relación inversa de B-1 es R) 2.2.1 RELACIÓN ENTRE LAS GRÁFICAS DE R Y / T 1 Si R es una relación de IR en US, entonces, de la propiedad I: ( a ; b ) E R «=> (b: a ) 6 R~l Los puntos P(a-b') y Q( b; a) son simétricos con respecto a la recta y = x. (Fig. 2.7). De ello se concluye que las gráficas de R y R_1 son simétricas respecto a la recta y = x (Fig. 2.8). r i:i a c i o m ' s y r r v o i o x r s E JE M P L O 3. Sean R y S relaciones de K en IR definidas por R = {(x; y ) / x 2 4- y 2 - 4 y = 0 } 5 = {(x; y) / x < y} Determine las relaciones/?_1 y S ~ l y trace sus.graficas. Solución a) Se tiene R~* = { (y :^ ) / x 2 4 -y 2 — 4y = 0} Por la costumbre de escribir x en la primera componente del par ordenado e y en la segunda componente, intercambiando estas ietras en i?_i se obtiene R~l = {(x; y) / x 2 + y 2 — 4x = 0} = {(x; y ) / (x — 2) 2 4- y 2 — 4j Las gráficas de R y R~x se muestran en la Fig. 2.9. b) Procediendo de manera similar al caso anterior, se tiene S - 1 = {(x; y) / y < x} En la Fig. 2.10 se muestran las gráficas de y S ~ l . 41 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I 2.3 FUNCIONES DEFINICION 3. Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una relación de A en B, cuyo dominio es D¡-, f es llamada función de A en B , si para cada elemento x E Df existe un único elemento y 6 B tal que (x; y ) E / . Esta definición es equivalente a f : A - + B es función si (x; y) £ / A (x; z) 6 / => y = z Esto significa que en una función no existen dos pares ordenados con primeras componentes iguales y segundas componentes diferentes. Ejemplo 4. Sean A = {1,2,3}, B = {4,5,6,7} y las relaciones de A en B h = {(1; 4), (2; 5), (3; 6), (2; 7)} f 2 = {(1; 5), (2; 6), (3; 7)} h = { (1 ;4 ),(2 ;4 )} / ; = {(1:4), (2; 4), (3; 7)} Entonces. 1. f x no es función de A en B. porque al elemento 2 le corresponden dos elementos (5 y 7) de B. El diagrama se muestra en la Fig. 2.11. 2. f 2 es función de A en B (Fig. 2.12). 3. es función de ,4 en B (Fig. 2.13). 4. f A es función de A en B (Fig. 2.14). Fig. 2.11 Fig 2.12 RELACIONES, Y FUNCIONES OBSERVACIÓN 2. Sea ) : A B una Junción. 1. Si (x; y ) £ / , se escribe y — f (x) (se lee “y es igual a f ele x") y se dice que y es el valor de f en x. En este caso, x es Humada variable independiente e y va lia 111 e d epen diente. 2. Como f es también una relación, los conceptos de dominio (D /), ra n g o ( R/) y gráfica de f (Gf) son los mismos establecidos en ia sección anterior. Al rango de f también se le conoce como recorrido de f ó imagen de f (lm g /'). 3. Si Df = A, f : A —> B es llamada aplicación de A en B. Si además Rf = B, se dice que f es aplicación ele A sobre B En algunos textos se definen funciones como aplicaciones. 4. Si A y B son subconjuntos de ¡FÜ, f : A - > B es llamada fu n c ió n real de variable rea! En dicho caso, la gráfica de f se representa en el plano cartesiano. En lo que sigue, salvo que se indique lo contrario, se usarán funciones de variable real. 5. Sea f : A —>B una función real de variable reai, definida por ¡a regla de correspondencia y = / ( x ) . Cuando no se especifica el dominio de f , se considerará que su dominio es el mayor subconjunto de US para los cuales ¡a regla de correspondencia tenga sentido y dé valores reales. En la práctica, dada ¡a función definida mediante la regla de correspondencia f ( x ) se habla indistintamente de ¡a función f o de la función f ( x ) . EJEMPLO 5. Sean /I = {0,2,4} . B = {1,3,5} y f - . A - ^ B ¡ / ( x ) = 2x + 1. Determine / , su dominio, su rango y su gráfica. Solución Como /(O ) = 2(0) + 1 = 1 y / ( 2 ) = 2(2) + 1 = 5, entonces / = {(0; 1), (2; 5)} Dr = {0,2}, Rf = {1,5} y la gráfica se muestra en la Fig.,2.15. 43 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I EJEMPLO 6. S e a / : R - > R tal que j (x) = —. Halle ei dominio y la gráfica de / X - I' Solución I • La expresión — tiene sentido si x ^ 0. es decir. Df = R - fO). X La gráfica de f se muestra en la Fig. 2.16. De ésta se deduce que el rc...go de f es también R, = R - {0J. EJEMPLO La función f : [ 1; 4) —* [1; 5) definida por / (x J — (x — 2 )2 -r 1. es una aplicación de [1; 4) sobre [1; 5). En este caso, la imagen de [l; 4; es [1; 5) y se e s c r ib e /( [ l; 4 )) = [1; 5). La gráfica de f se muestra en la Fig. 2.17. OBSERVACIÓN 3. Una relación f: R —* R, cuyo dominio está en el eje horizontal y el rango en el eje vertical, es función si y sólo si tocia recta vertical interseca a su gráfica a Io más en un punto. 4 4 La gráfica de la Fig. 2.18 corresponde a una función, mientras que aquélla de la Fig. 2 .19 no corresponde a una función. RELACIONES Y FUNCIONES ° ' l Vj k 0 w " 1 y=f(x) Para construir la gráfica de una función a partir de otra mas simple, es conveniente tener en cuenta las relaciones entre las gráficas de y = f ( x ) con las gráficas de: a; y = - / ( x ) b) y = / ( x ) + k c) y = / ( x - h) d) y = f ( x - h ) + k e ) y = / ( - x ) f) y = |/( x ) ¡ Supongamos que la gráfica de y = / ( x ) (“gráfica original”) es la que se muestra en ia Fig. 2.20. y i c. i y=f(x) # / / / / V ' \y = - ffx ) o , y‘ "“\ fM k y=f(x) i V _ - ^ o Fig. 2.20 Fig- 2.21 Entonces: a) La gráfica de y = - / ( x ) es ia función simétrica a la gráfica original con respecto al eje x ( Fig. 2 .2 1). b) La gráfica de y = / ( x ) 4- k se obtiene trasladando verticalmente la gráfica original k unidades. Si k > 0, la gráfica se traslada hacia arriba y si k < 0, hacia abajo (Fig. 2.22). 45 TOPICOS DF C A LCU LO - VOLUMEN ; yi 1 c L y y-f(x)+ k k\ , ' v = f M l ______ p c) La gráfica de y = f ( x - h) se obtiene trasladando horizontalmente ia gráfica original h unidades. Si h > 0, la gráfica se traslada hacia la derecha y si h < 0. hacia la izquierda (Fig. 2.23). d) La gráfica de y = f ( x - h ) + k se obtiene efectuando una doble traslación, h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente (Fig. 2.24), i > L y=f(x-h)+k y=ÍM ( ____y=f(x-h) ------ > w x e) La gráfica de y = f ( - x ) es la curva simétrica a la gráfica original con respecto al eje y (Fig. 2.25). 0 La gráfica de y = |/ ( x ) | se obtiene trasladando aquella parte de ia gráfica original que se encuentra por debajo del eje x ( f ( x ) < 0) de manera simétrica a este último y manteniendo la parte de la gráfica que está por encima del eje x ( / ( x ) > 0) (Fig. 2.26). 4 6 RELACIONES Y PUNCIONES Fig. 2.26 E JE M P L O 8. Trace las gráficas de cada una de las funciones definidas por: a) f ( x ) = x 2 b) f ( x ) = - x 2 c) f { x ) = x 2 + 1 d ) f ( x ) = ( x + 1 ) 2 e) f ( x ) = [x - l ) 2 - 2 f ) f ( x ) = \ x2 - 2¡ y = + 1 (a) (c) 47 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 2.4 FUN CIO N ES ESPECIA LES Entre las funciones reales de variable real, existen ciertas funciones de uso frecuente. Éstas son: 1. FUNCIÓN CO N STANTE. Es la función definida por / ( x ) — c , x £ IR, donde c es una constante real. Ei dominio de la función constante es Df = R y su rango, Rf = E. Su gráfica es una recta horizontal que se muestra en la Fig. 2.27. Fin 2 27 Fig. 2.28 2. FUNCI ON IDENTIDAD. Es la función definida por / ( x ) = x , x £ E. También se denota por l d ( x ) = x. El dominio de la función identidad es Df = M. y su rango, Rf = E. Su gráfica es la recta diagonal del primer y tercer cuadrante, que se muestra en la Fig. 2.28. 3. FUNCION AFIN Es la función definida por / ( x ) = ax 4- b , x £ E, donde a y b son constantes, con a 0 . El dominio de la función afín es Df = E y su rango. Rf — E. Su gráfica es la recta de pendiente a y que interseca al eje de las ordenadas en (0 ; b) (Fig. 2.29). Si b = 0, la recta pasa por ei origen. 4. FUNCIÓN V A LO R ABSOLUTO. Es la función definida por / ( x ) = | x ¡ , x £ E De la definición de valor absoluto se tiene: IX | = y J X¿ ¡ X . t - X , x > 0 x < 0 El dominio de la función valor absoluto es Df = E y su rango es Rf = [0; +oo). Su gráfica se muestra en la Fig. 2.30. RELACIONES Y FUNCIONES \]k. y - |.y| ko X D , = R R r = |Ó; + oo) h k v=ax+b ----- ^ Y / 0 D , =R Rr =R ------------------------F|9 - 2 '30 5. FUNCIÓN R A ÍZ CUADRADA. Es la función definida por / ( x ) = Vx , x > 0 La gráfica es la porción de la parábola y 2 = x que se encuentra en el primer cuadrante (Fig. 2.31). Vi k y = i¡x / %- 0 x D ( = R R f — M h k y = V* v 0 II II + + Fig. 2.31 Rg 2 32 6. FUNCIÓN RAÍZ CÚBICA. Es la función definida por /'(x ) = Vx , x £ E El dominio de la función raíz cúbica es Df - E y su rango, Rf = R. Su grárica de f se muestra en la Fig. 2.32. 7. FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADO //. Es la función definida por / ( x ) = a 0x n + a ^ " -1 + .... 4- a n , x £ E donde a 0, a x, ...., a n son constantes reales, a 0 ? 0 y n £ (N U {0})- 4 9 r TOPICOS Di; CA LCU LO - VOLUMEN I ( 'u s o s p a r tic u la r e s : n) / ( * ) ■ x", Si i i es par, su gráfica tiene la forma de la parábola y = x 2 (Fig. 2.33). Si i i es impar, con n > 3, su gráfica tiene la forma de la parábola semicúbica y = x 3 (Fig. 2.34). I>) Función cuadrática o función polinomial de 2 ° grado / (x) = a x 2 + bx 4- c, a í O ' , , 2 \ La gráfica de esta función es una parábola de vértice V ------ - c -------I 2 a ’ 4 a y = A K A o D J = R R j = (Ó; + oo) v = x i k _ > i | _ 11 P A í/ 0 * r D f = R f R r = R Fig. 2.33 Fig. 2.34 Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba (Fig. 2.35) y si a < 0, ¡a parábola se abre hacia abajo (Fig. 2.36). El valor máximo o mínimo de esta función ocurre en el vértice, es decir. f \ — — ¡ = c — es vaíor máximo { 2aJ 4a o mínimo de la función. 5 0 8. FUNCI ON RACIONAL. Es la función definida por a nx n + a i x "-1 + ...4- a n f í x ) = — --------------------------------— b0x m + b1x m~1 + ...4- bm La función racional es el cociente de los polinomios P(x) = a 0x n 4-.a1x '1-1 4- ...4- an y Q{x) = b0x m 4- b1x m~1 + ...+ bm El dominio de esta función es Df = fx G R / Q(x) í O } = R - { x G R / Q( x) = 0} Casos particulares de las funciones racionales: 1 a) f ( x ) = — , n GN x " 1 Si n es impar, su gráfica es similar a la gráfica de y = — (Fig. 2.37). Si /? x es par, su gráfica es similar a la gráfica de r = —— (Fig. 2.38). RELACIONES Y FUNCIONES y i i 1 >•■ = - 1 X < ^ k 1 l II II Q Oí 51 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I b) / ( * ) = —-1 n , í l £ M 1 + x n Si « es impar, su gráfica tiene un comportamiento similar a la curva que se muestra en la Fig. 2.39. Si n es par, su gráfica tiene un comportamiento similar a la curva que se muestra en la Fig. 2.40. FUNCIÓN SIGNO. Es la función que se denota por f ( x ) = S g n (x ),x e E Se lee signo de x y está definida por 1 , x < 0 / ( x ) = 0 , x = 0 . 1 , x > 0 Su gráfica se muestra en la Fig. 2.41. i 1< 0 -1 D, =R «, = {-1,0,1} 10. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO. Es la función que se denota por / O ) = M Se lee en tero de x y está definida por [x] - n sí y solo si n < x < n + 1, n e Z De acuerdo con esta definición, Ix ] representa al mayor número entero que no supera a x. Por ejemplo: 13,24] = 3, 12] = 2, f —1; 5] = —2 Si x e [ - 2 ; —1) => Jx] = - 2 S ix 6 [ - 1 ; 0) =* [x] = - 1 Si x 6 [0; 1) => [[x] = 0 Si x 6 [1; 2) => [x] = 1, etc. La gráfica de f se muestra en la Fig. 2.42. Entre las propiedades del máximo entero de x podemos mencionar a: 1. x - 1 < W < x 2. Si m 6 Z =* [x + m ] = M + m, V x 6 R 3. Si / ( x ) = [a x ], con a * 0, la longitud del intervalo donde la función , 1 permanece constante es / = -¡—r , pues M [a x ] = n t = > n < a x < n + 1 n n i n n 1 <=> — < x < — i— , s i a > 0 ó — > x > — I— , si a < ü a a a a a a 1 a i RELACIONES Y FUNCIONES En am bos casos, la longitud del intervalo es / = n 1 n a a a a) f ( x ) — [ 2x 1 b ) f l ( x ) = [ - | ] E JEM PLO 9. Trace las gráficas de las funciones definidas por ■ a Solución . n n \ a) Por definición. [2 x ] = n <=* n < 2x < n + 1 <=> ~ < x < - + .- La gráfica de / se muestra en la Fig. 2.43. La amplitud del intervalo donde la función permanece constante es I/ -- —1 -- —1 ■ i • “ 9 * - ° i i n 1 1 fe- -2¡ -1¡ 0 f■ c-on ! #-<> i 1 2 ^ x D f =R Rf = Z yi c— T o— «*a ¡ i V 2 4 ► -4 -2 i D , =R Rf = Z ' ! x i ¿ "■ Fig. 2.43 Fig. 2.44 b) Por definición, ¡ j - ^ j j = n « n < - - < n + l<í=* - 2 n > x > 2 n 2. La amplitud del intervalo donde g es contante es / - : 1 ^ ■ La gráfica dc^g se muestra en ia Fig. 2.44. TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I EJEMPLO 10. Trace las gráficas de las siguientes funciones \/5 - |x - 8 | , x G [4; 12] - S gn(x2 - 16) , x < 4 ó x > 12 %i- * e [ - l ; 3 ] 1 ~ + 2 . z < - 1 ó j: > 3 A x t - 2 ¡») / ( * ) = h ) 8 ~ 18 — x , si x < 8 Luego, / ( x ) = ( 1 . 0 , - 1 . Vx - 3 W 13 — x , La gráfica de / se muestra en la Fig. 2.45. b) La gráfica de g se muestra en la Fig. 2.46 ( 1 , x > 4 ó x < - 4 Sgn(x2 - 16) = 0 , x = 4 ó x = - 4 l - l , - 4 < x < 4 x < - 4 V x > 12 x = - 4 - 4 < x < 4 4 < x < 8 8 < x < 12 Fig. 2.45 Fig. 2.46 2.5 FUNCIÓN PAR Y FUNCIÓN IMPAR a. / : E -> E es llamada función par si para todo x G Df se verifica - x G Df y f C -x) = / ( x ) b. f : R - > R e s llamada función impar si para todo x G Df se verifica - x G Df y / ( - x ) = - / ( x ) 54 RELACIONES Y FUNCIONES O B SE R V A C IÓ N 4. 1. La gráfica de toda función par es simétrica con respecto al eje y. 2. La gráfica de toda función impar es simétrica con respecto al origen. EJEMPLO 11. La función definida por / ( x ) = x 4, x G K . es función par, pues para cad ax G Df = E se cumple que - x G Df y / ( —x) = (—x ) 4 = x 4 = / ( x ) . La gráfica se muestra en la Fig. 2.47. yiV i 0 Fig. 2.47 EJEMPLO 12. La función definida por /( * ) = • ¡+x¿ Fig. 2.48 , x G l , es impar, pues si x G Df = E, entonces —x G Df y —x / ( - X ) = - / ( * ) 1 + ( —X 2) 1 + X 2 La gráfica de / se muestra en la Fig. 2.48. 2.6 FUNCIÓN PERIÓDICA Una función / : E -» E es periódica si existe un número real t =¡fc 0 tal que para todo x £ Df se tiene i) ( x + t ) G Df ii) / ( x 4 -1) = / ( x ) El número real t se denomina período de / . El menor número positivo T que satisface las condiciones i) y ii) se denomina período de / y, en este caso, se dice que / es una función periódica de período T. EJEMPLO 13. Son ejemplos de funciones periódicas, las funciones: a) / ( x ) = x — [ x ] , x G E (función mantiza) b) £ (x ) = ( - 1 ) * . x e l 55 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I En el primer caso se tiene / ( * + 1) = (x + 1) - lx + 1] = X + 1 - ( M + 1) = x - M = / ( x ) ( orno no existe otro número real t con 0 < t < 1 y que sea período de / , / es de período 1. La gráfica de la función mantiza se ilustra en la Fig. 2.49. En el segundo caso, g es de período 2 y su gráfica se muestra en la Fig. 2.50. I y ' • • 111 • t 1-- *—I— 1---------1— I------ h H ----► -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X • • • -1 • • • i / / / / ' a ky / / / / / , -5 -4 -3 .-2 -1 0 1 2 3 4 5 X .... Fig 2.49 Fig. 2.50 2.7 FUNCIÓN CRECIENTE Y FUNCIÓN DECRECIENTE a) Una función / : E -» E es creciente en el intervalo / si para cada par x 1( x 2 € / con Xj < x 2 =* f ( Xl) < / (x2) (Fig. 2.51) b) Una función / : E -* R es decreciente en el conjunto / si para cada par X i,x2 £ I con x x < x 2 => f ( x x) > / ( x 2) (Fig. 2.52) Se observa que una función es creciente si su grafica es ascendente (de izquierda a derecha), y es decreciente si su gráfica es descendente. EJEMPLO 14. La función definida p o r /( x ) = |x 2 - 4 |, cuya gráfica se muestra en la Fig. 2.53, es creciente en los intervalos ( - 2 ; 0) y (2; +oo), y decreciente en los intervalos (— —2) y (0 ; 2). Los intervalos de crecimiento (intervalos donde la función -es creciente o decreciente) son intervalos abiertos. RELACIONES Y FUNCIONES Fig. 2.53 F|9- 2 54 2.8 FUNCIÓN INVECTIVA, SURYECTIVA Y BIYECTIVA Una función / : A -> B es inyectiva si f (* i) = / ( * 2) ^ Xj — x 2 , V x 1, x 2 £ Df Esta definición es equivalente a: VX] , x2 £ D o m ( f ) , con x x * x 2, se tiene que / ( x a) ^ / ( x 2) A la función inyectiva se le conoce también como función univalente o uno a uno, porque hay una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio y del rango. Geométricamente, una función real de variable real definida por y = / ( x ) es inyectiva si al trazar rectas paralelas al eje x, éstas intersecan a su gráfica a lo más en un punto (Fig. 2.54). Una función f \ A - > B c s suryectiva o sobre si V y £ B existe x £ A tal que / ( x ) = y En otras palabras, / : A -> B es suryectiva si el rango de f es B. Una función f : A - * B es biyectiva sí y solo si es inyectiva y suryectiva. O I M P L O 15. Determine si la función f : R ~ * R tal q u e / ( x ) = 2 - 3x es biyectiva. Solución u) Inycctividad. si /'(* i) = / ( x 2), entonces 2 - 3*! = 2 - 3x2 => x x = x 2. Luego, f es inyectiva. b) Suryectividad. 2 — y Si y e ¡R, existe x = —-— tal que / ( x ) = / (—^—) = 2 — 3 ^ = y, de donde f es suryectiva. Por lo tanto, / es biyectiva. La gráfica se-muestra en la Fig. 2.55. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I fí9- 2 -55 Fig. 2.56 EJEMPLO 16. ¿f : IR -> IR / f ( x ) = -------- es inyectiva? 1 + x 2 Solución X X Si / ( * i) = / ( x 2) => — t + 2^ 2 <=» *! + x ^ 2 = *2 + x2xa2 <=>*i - *2 - X ^ X j - x2) = 0 1 <=> (*! - x2) ( l - x ^ ) = 0 <=> Xn = x2 ó x 2 = — x i Luego, / no es inyectiva. La gráfica de / se muestra en la Fig. 2.56. 58 RELACIONES Y FUNCIONES 2.9 EXTENSIÓN Y RESTRICCIÓN DE UNA FUNCIÓN Sean f \ A ^ > B y g'.A1 - * B 1 dos funciones tales que A a A t y B c. Bx . Se dice que g es una extensión de / ó / es una restricción de g si D o m ( f ) £ Do m( g ) y f ( x ) = ,g(x) , V x £ D o m ( f ) EJEMPLO 17. Sean / : -» Q / f ( x ) = x 2 y *.../ ,«-{£ nS,.® Entonces, g es una extensión de / ó f es una restricción de g en . 2.10 OPERACIONES CON FUNCIONES Sean / y g dos funciones de variable real cuyos dominios son Df y Dg. respectivamente. Se define: a) Función suma: ( / + s O M = / M + g (x ). x e ( D f n Dg) = d ; , 5 b) Función diferencia: ( / - 9 ) M = / M - f l W , x E (Df - Dg) = Df _g c) Función producto: (f . g ) ( x ) = f { x ) . g ( x ) , x E ( D f r Dg ) = Df g e) Función cociente: S 0 0 = yS ' * £ ^ n (Dfl “ {* 7 9{X) * = ° flg 0 Función valor absoluto: I / I M = l / M I ■ ^ e Df g) Producto de una constante por una función: ( c /) ( x ) = c / M . x E Df y c es una constante real. EJEMPLO 17. Si V i 6 - x 2 y g{ x ) = V x2 - 1. halle las regias de correspondencia de las funciones f + g . f - 9 . f - a . - 6/ . ^ y i/l Solución En primer lugar, Df = {x E IR / 16 - x 2 > 0} = [ - 4 ; 4] Dg = {x £ ¡K. / X 2 - 1 > 0} = ( - 00; - 1 ] U [1; +oo) y Df C\ Dg = [—4; —1] U [1; 4] = D 59 TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I a) ( / + g K x ) = f W + g ( x ) = V l 6 - x 2 + Vx2 - 1, x 6 D. b) ( / - 5 )(* ) = / ( * ) - g ( x ) = v'16 - x 2 - v'x2 - 1, x G D. c) tf - g ) ( x ) = f ( x ) . g { x ) = V l6 - x 2. Vx2 - 1, x E D. d) (—6 /) ( x ) = —6 /( x ) = - 6 V l 6 - x 2 , x G [ - 4 ; 4], N / A , X / ( * ) V 1 6 - X 2 e) (—) (x) — , x G [—4; — 1) U (1; 4 ]. V 5 0 0 V x2 - 1 J 0 l/ICx) = l/C O I = |V 16 — x 2 | = V l6 - x 2 , x G [ - 4 ;4 ] , 2.11 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean f :A -> B y g :B -* C dos funciones reales tales que Rf n Dg 3= 0 . La composición de g con / , que se designa por g ° f , e s la función g ° f : A- > C / ( 5 0 / ) ( * ) = g ( f ( x ) ) El dominio de la función compuesta g ° f está dado por Dg. f = {x / x e Df A f ( x ) e Dg } En la Fig. 2.57 se ilustra la función compuesta g ° f . x 5 EJEMPLO 19. Sean / ( x ) = —-— y g ( x ) = Vx dos funciones. Halle a) (g ° f ) ( x ) b) (f o g X x ) Solución a) (5 0 / ) ( * ) = g { f ( x ) ) = g = J - J - 6 0 RELACIONES Y FUNCIONES El dominio de g ° f es Dg°f = {x / x e Df A / ( x ) G Dfl} = jx / x G IR A > oj = [—5; + 00) b) ( f ° g ) ( x ) = g ( f ( x )) = /( V x ) = ^ 2+ S ) El dominio de f ° g es Df°g = ix / x G Dg A g ( x ) G Df } = {x / x > 0 A V x G 18 } = [ 0; +c») Del ejemplo anterior se deduce que la composición de funciones no es conmutativa, es decir, f ° g y g 0 f , generalmente son diferentes. E JE M P L O 20. Halle las funciones g ° / y / ° g, si f ( , = ( x 2, x G [—2; 2] (1) n M = (4x + 3, x G [0; 1) (3) n ) (3 , x G (2; 5] (2) J {5 - 2x, x G [ l ; 3 ] (4 ) Solución a) Considerando que tanto / ( x ) como 5 (x ) están definidas de dos formas, entonces existen cuatro posibilidades para (g ° f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) . Para trabajar ordenadamente, enumeramos cada una de las posibilidades con (1), (2), (3) y (4), y operamos separadamente. (1)-(3): Dgaf = { x / x G D f A / ( x ) G Dg} = {x / x G [- 2 ; 2] A x 2 G [0; 1 » = {x / x G [ - 2 ; 2] A x G ( - 1 ; 1)} = ( - 1 ; 1) ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x 2) = 4 x 2 + 3 (1 )-(4): Dgaf = {x / x G [ - 2 ; 2] A x 2 G [1; 3]} = [—V3J— 1 j U [l; V3] (g ° f ) { x ) = g { f ( x )) = g ( x 2) = 5 - 2 x 2 (2)-(3): = {x / x G (2; 5] A 3 G [0; 1) } = 0. Luego, no existe (g ° / ) ( x ) en este caso. (2)-(4): Dgof = {x / x G (2; 5] A 3 G [1; 3] } = (2; 5] ( 5 ° / ) W = 5 (3 ) = - 1 En resumen, se tiene í 4 x 2 + 3 , x G ( - 1 ; 1) (5 0 / ) ( * ) = I 5 - 2x 2 , x G [-V 3 ; - l ] U [ l; V3 ] l - l , x G (2; 5] 61 b) Para / ° g, se procede de manera similar al caso anterior. (3 )-(l): Dfog = [x / x G Dg A g { x ) G Df ) = { i / x £ [ 0 ; l ) A (4x + 3) G [ - 2 ; 2]} = { x / x 6 [ 0 ; l ) A - 5 / 4 < x < - 1 / 4 } = 0. Esto es, no existe ( / ° <7)(x ) en este caso. (3)-(2): Dfog = [x / x G [0; 1) A (4x + 3) G (2; 5]} = [0; 1 /2 ] ( / ° 5 ) 0 0 = = / ( 4x + 3) = 3 (4 )-(l): Dfog = {x / x G [1; 3] A (5 - 2x) G [ - 2 ; 2]} = [3/2; 3] ( / ° 5 ) ( ^ ) = f ( g ( x ) = / ( 5 - 2x) = (5 - 2 x )2 (4)-(2): = {x / x G [1; 3] A (5 — 2x) G (2; 5]} = [1; 3/2} ( f ° g ( x ) = / ( 5 - 2x) = 3 En resumen, tenemos. < - f . „ W v l - í 3 ' Ar 6 [0; 1/ 2J u [1: 3/ 2) V " 9 ) W - ( ( 5 _ 2 ^ , x e [3 /2 ;3 ] Las gráficas de g ° f y f ° g se muestran en las Fig. 2.58 (a) y (b). TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1 Fig. 2.58 (a) F¡" 2.58 (b) PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean f , g y h funciones reales con dominios Df,Dg y Dh, respectivamente. Entonces, tenemos: \ - (.f ° g ) ° h = f ° (g ° h) 2. f o Id. = / = Id ° / 3- ( J + g ) ° h = f ° h . + g ° h 4. ( f — g ) ° h = f ° h — g ° h 5. ( f ■ g ) ° h = ( f o h) ■ ( g o h ) 6 . 6 2 RELACIONES Y FUNCIONES 2.12 FUNCIÓN INVERSA Dada una función f : A -» B, ocurre una de las siguientes posibilidades: f es inyectiva ó / no es inyectiva Si f no es inyectiva, por lo menos existen dos elementos x x, x 2 G A tales que (Xi ; y ) e / A ( X 2 ; y ) e / (Fig. 2.59). Luego, la (relación) inversa de / no es función de B en A. A / B / x, • - H ">! \ \ *2 * 1 / ■ ' Si f : A - B e s inyectiva (Fig. 2.60), entonces la inversa f ' 1: B -> A es función inyectiva y es llamada función inversa de f . La interpretación gráfica de la función inversa se ilustra en la Fig. 2.61. 63 r TOPICOS DG CÁLCULO - VOLUMEN I PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN INVERSA Las propiedades que caracterizan a la función inversa f ~ l son: 1. D am U - 1) = R c m g ( f ) y R a n g ( f - 1) = Do m( f ) . 2. IJna función / tiene inversa si y solo si / es inyectiva. Además, se cumple: a) ° /')(*) = x. Vx E Dnv i ( f ) b ) ( / ° / _1) ( y) = y, Vy E D o m (/_1) 3. Si / es una lunción real que tiene inversa, entonces las gráficas de y = / O ) e y = f ~ x(x) son simétricas con respecto a la recta bisectriz y = x (Fig. 2.62). 4. Si f es inyectiva, g es inyectiva y existe g ° / , entonces ( 9 ° / ) _1 = / - 1 ° „g_1 Si / es una función real que tiene función inversa y está definida por y = f ( x ) , para hallar la regla de correspondencia para / -1 se despeja x en términos de y. Asi, se obtiene x = f x(y); pero la costumbre de representar con x la variable independiente y con y la variable dependiente, hace que se escriba como y r / - 1(x) (intercambiando x e y en x = / - 1(y)). EJEMPLO 21. H a lle /- ‘ Ge), si / ( x ) = 3x — 1 Solución 3.v - 1 j ( x) = —— es inyectiva (verifique). Luego, existe la función in v e rs a /-1 . Por otro lado, 3x — 1 y = f ( x ) « y = — Por tanto. r \ y ) = 2y + 1 Intercambiando las variables x e y, obtenemos 2x + 1 f ~ \ x ) = Fig. 2.63 Las gráficas de y —/ ( x ) e y = f *(x) se muestran en la Fig. 2.63. 6 4 RELACIONES Y FUNCIONES 2.13 APLICACIONES DE FUNCIONES Uno de los problemas fundamentales de cualquier ciencia es el estudio de la existencia o no de una relación de dependencia entre las variables que intervienen en un proceso y, en el caso de su existencia, saber cómo es esta relación, a fin de obtener algunas conclusiones. Muchas veces, la existencia de una relación de dependencia es evidente. Sin embargo, el tipo de relación (de qué modo una variable depende de otra u otras variables) no siempre es fácil de obtener. La relación de dependencia entre dos o más variables puede tener o no una forma matemática definida. Esta relación generalmente puede ser determinada por medio de un modelo matemático ajustado a los datos observados. En los siguientes ejemplos, se presentan algunas aplicaciones a situaciones sociales, geométricas, económicas, etc. EJEMPLO 22. Una comunidad campesina, cuya población en el año 2008 fue de 400 personas, tiene una tasa de mortalidad (debido a la mala alimentación, falta de atención médica y otros problemas que aquejan) en un índice calculado en (t + 3) 2 personas en t años. Con estos datos se puede expresar la población en función de los años transcurridos por: P (t) = 400 - ( t + 3) 2 Para t = 0, la población corresponde al año 2008. Se observa que si no se mejora el nivel de vida de dicha comunidad, teóricamente se puede afirmar que luego de 17 años (en 2025) la comunidad desaparece, pues P (1 7 ) = 0. EJEMPLO 23. Un mercado abre a las 8 a.m. De 8 a.m. hasta 11 a.m., los clientes llegan con una tasa creciente, que inicia con 5 clientes a la hora de abrir y alcanza un máximo de 20 clientes a las 11 a.m. De 11 a.m. a 1 p.m., la tasa promedio permanece constante con 20 clientes por hora. A partir de la 1 p.m., la tasa promedio disminuye en forma lineal hasta la hora de cierre (5 p.m.), en la que se tiene 12 clientes. Si suponemos que el número de clientes que llega al mercado durante los periodos disjuntos de tiempo son independientes, determine un modelo adecuado para estudiar este caso. Solución Si / ( t ) representa el número de clientes que ingresa al mercado t horas después de las 8 a.m.( t = 0 corresponde a las 8 a.m.), entonces (5 + 5 t , 0 < t < 3 / ( t ) = 20, 3 < t < 5 (.20 — 2 (t — 5), 5 < t < 9 La gráfica de esta función se muestra en la Fig. 2.64. 65 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Fig. 2.65 cuyo largo es el doble del a L to ^ é x p re s e tI Z l a m ta l'd e í* ^ ^ reCtansular' ancho de la base. a caja en term 'nos del Solución Si x es el ancho de la base (Fig. 2.65), entonces 20 = x (2 x )h *=>h = Luego, el área total es ¿(x) = 4x ^ + ^ = l í l t ^ x > q X X X 10 Solución Si n es el numero de rebajas de S/.2 y * es el precio de venta, entonces x = 40 - 2n <=> ?z = i . ° ~ * 2 El numero N de ejemplares vendidos es: N = 700 + 45 ( 1 2 ^ Í ) , de donde A' = Considerando que U tilid a d = In g re so - C osto, se tiene U(X) - z (3200 ~ 4 5 x ) x " ( 3 2 0 0 - 4 5 x )2 0 U( x) = - (3200 - 4 5 x )(x - 20), 0 < x < 20 6 6 RELACIONES Y FUNCIONES 2.13.1 FUNCIONES COSTO, INGRESO Y UTILIDAD El costo total de producción de un producto P está en función de la cantidad x producida por la empresa. Si el costo total se denota por Ct , entonces C¡ = / ( x ) . En la producción del producto P, existen ciertos costos que son independientes del volumen de producción, por ejemplo, parte de los salarios, seguros, alquiler, etc. El total de estos costos es llamado costo fijo, y se denota con Cf (constante). Luego, el costo total se puede escribir como la suma de dos funciones: Ct = Cf + Cv donde Cv es el costo variable y depende sólo de x. En este caso, es natural que el objetivo sea minimizar Ct . Otra función de interés es el costo medio, que es el costo promedio por unidad del producto. Si Cm representa el costo medio, entonces C - —Ct m x donde x representa la cantidad de artículos producidos. También estudiaremos la función ingreso total (/t). Esta función está dada por lt = xp donde x es la cantidad de artículos vendidos y p es el precio unitario. Si se consideran las funciones de ingreso total y costo total (It y Ct), entonces la función utilidad (lucro o ganancia) se define por U = It - C t El punto donde el ingreso total es igual al costo total se denomina punto crítico. Para el hombre de empresa es importante conocer la ubicación de este punto, pues su abscisa representa la cantidad del producto donde lt = Ct . Esto implica que ia utilidad en este caso es nula. EJEMPLO 26. Supongamos que el costo fijo de una empresa es S/. 1500, el costo de producción de cada artículo es SI. 50 y el precio de venta por artículo es Si. 200. En este caso, si x representa la cantidad de artículos, se tiene: Costo total: Ct = 50x + 1500 (Fig. 2.66) Costo Fijo: Cf = 1500 (Fig. 2.66) Costo variable: Cv = 50x (Fig. 2.66) Cr 1500 Costo medio: Cm = — = 50 H-------- (Fig. 2.67) Ingreso total: lt = 200x (Fig. 2.66) 67 Para obtener las coordenadas del punto crítico E. hacemos lt = Ct , es decir. 200x = 50* + 1500 =» x = 10 => £ (1 0 ; 2000) Esto significa: Si x = 10, entonces It = Ct y la utilidad es nula (U=0) Si x > 10, entonces It > Ct y la utilidad es U = It - C t = 150x - 1500 V ^ l S O O - S x 5 h < C t ' E" 6516 CaS°’ CXÍSte Pérd¡da y 6Stá dada P°r TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN ! 2.13.2 FUNCIÓN OFERTA Y FUNCIÓN DEMANDA La cantidad demandada de un producto P en el mercado depende de varias variables, por ejemplo, del precio del producto, del precio de los productos s u » u ,o s . de! ingreso del consumidor, de los gustos. erc. Es,o se puede escribir q = D(p, i, p \ P g, . . . ) consumidor P ? ■consumidor, p , p ,... = preCio de sustituto»s<,* >g «= g ustos, etc. ‘ = ¡"greso del Suponiendo que todas las variables son constantes, excepto el precio de P podemos escribir F ’ q = D (p ) D es llamada función demanda. La propiedad fundamental de la función demanda es demandada”"60'0' men° r demandada ^ a menor P ^cio , mayor cantidad Esta propiedad, conocida como ley de demanda, explica el comportamiento del ~ ^ Cl merCada Por tant0’ la función demanda D es decreciente 68 mi i \ n n \ T s r r \ 'C K '\ ! 's Fig. 2.68 Fig. 2.69 Análogamente, se considera la función oferta, definida por q = 0 (p) donde q es la cantidad del producto P que oferta el productor y p el precio unitario de P. En este caso, al igual que en el caso de la demanda, se considera que la cantidad ofertada sólo depende del precio del producto, y se mantienen constantes las otras variables que intervienen. La propiedad de la función de oferta, conocida como ley de oferta es "A mayor precio, mayor cantidad ofertada y a menor precio, menor cantidad ofertada” . lista ley explica el comportamiento del vendedor en el mercado. De acuerdo con esta ley, la función de ofeita O es creciente ( Fig. 2.69). Para un determinado producto P, se dice que hay equilibrio en el mercado cuando la cantidad ofertada es igual a ia cantidad demandada. El punto de intersección de las curvas de demanda (gráfico de q = D(p)) y de oferta (gráfico de q = 0 ( p ) ) recibe el nombre de punto de equilibrio. EJEMPLO 27. Supongamos que las funciones de demanda (D) y de oferta (O) están dadas por D = 500 - lOp y O = 98 4- 2p Al igualar D = O , se obtiene el precio de equilibrio p e = 33,5 . Luego, la cantidad de equilibrio es qe = 165 unidades y el punto de equilibrio es £ (3 3 ,5 ; 165). La gráfica correspondiente se muestra en la Fig. 2.70. AQ TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 2.14 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Trace la gráfica de la relación R = {(x; y ) e R 2 / 1 < x 2 + y 2 < 9} Solución 1 < x 2 + y 2 < 9 <=> 1 < x 2 + y 2 A x 2 + y 2 < 9. Como x 2 + y 2 = 1 es la circunferencia con centro en el origen y de radio 1, y x 2 + y 2 = 9 es la circunferencia con centro en el origen y de radio 3, la gráfica de la relación R es la región comprendida entre las circunferencias, incluyendo el borde (Fig. 2.71). PROBLEMA 2. Trace la gráfica de la relación R — {(*; y ) e i 2 / x < y a x > y 3} Solución ' La gráfica de x < y es la parte del plano que se encuentra a la izquierda de la recta y - x (incluida la recta). La gráfica x > y 3 es la parte del plano que se encuentra a la derecha de la curva x — y 3 (sin incluir la curva). La gráfica de la relación R es la intersección de ambas regiones (Fig. 2.72). PROBLEMA 3. Grafique y calcule el área de la región S, donde S = { (x ;y ) E l 2 / 2 |x | + |y | < 1}. Solución Se tienen las siguientes posibilidades a) Si x > 0 A y > 0, 2 |x | + |y | < 1 <=> 2x + y < 1 (en el primer cuadrante) RELACIONES Y FUNCIONES b) Si x < 0 A y > 0, 2 |x | + lyl < 1 « - 2 x + y < 1 (en el segundo cuadrante) c) Si x < 0 A y < 0. 2 |x | + |y | < 1 « - 2 x - y < 1 (en el tercer cuadrante) d) S i x > 0 A y < 0, 2 |x | + |y! < 1 « 2x - y < 1 (en el cuarto cuadrante) La gráfica de S es el rombo de la Fig. 2.73 y su área es Fig. 2.73 = 2x -1 y = Dom(S) = [-1 / 2;1 / 2] y = -2 x +1 Rcmg(S) = [ - L '] PR O B LEM A 4. Si T es la relación definida por T = {(x; y ) e l 2 / lyl £ l*3l A M ^ y 2) Bosqueje la gráfica de su relación inversa. Solución La relación inversa de T es = {(y ;x ) E l 2 / lyl > |x 3l A |x | > y 2} Ahora, intercambiando las letras x e y en T ~ \ obtenemos 7 -1 = ((x; y) E l 2 / |x | > | y 3l A lyl > x 2} Trabajando con posibilidades (como en el problema anterior), se grafican inicialmente las regiones determinadas por Ix| > | y 3l , lyl ^ x 2 La gráfica de la relación inversa T-1 es la intersección de ambas regiones. Se muestra en la Fig. 2.74. I ROBLEMA 5. Dado el conjunto A = {1 ,2 ], se define la relación R en A x A de la siguiente manera: (a; b)R(c\ d)<=>a + d = b + c Determine R y R~x. Solución a) Se tiene A x A = {(1; 1), ( 1; 2), (2 ; 1), (2; 2)} (1; 1) R (1; 1), pues 1 + 1 = 1 4 -1 . Luego, ((1; 1), (1; 1)) £ R (1; 1) R (2; 2), pues 1 + 2 = 1 + 2. Luego, ((1; 1), (2; 2 )) G R También se nota que ( ( 1; 2), (2; 1)) g R, pues 1 + 1 * 2 + 2. De manera similar, se obtienen los otros elementos de R y resulta R = í ( ( l ; 1), ( 1; 1)), ( ( 1; 1), (2; 2)), ( ( 2; 2), (2 ; 2)), ( ( 1; 2), ( 1; 2)),) l ( ( 2 ; 1), ( 2 ; 1)), ( ( 2 ; 2), ( 1; 1)) j Luego. R = R - 1 y D om (/í) = Rang(fl) = A x A = D o m (/T 1) = RangC/T1) En los problemas que siguen, salvo que se indique lo contrario, se considerarán funciones reales de variable real. PROBLEMA 6. Dadas las funciones / y g definidas por ,__________ í 1 . * < - 1 / ( * ) — V ^ — I* + 3| , x G [ - 3 ; 1} , g ( x ) = j x + 2 , — 1 < x < 1 ( 4x — 4 , 1 < x < 2 Determine sus rangos y esboce sus gráficas. Solución a) El dominio de / es Df — [ - 3 ; 1) Para determinar el rango de / , debemos tener en cuenta la variación de x. Procedemos de la siguiente manera: x G [ - 3 ; 1) <=?—3 < x < l < = > 0 < x + 3 < 4 De ello se deduce TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! |x + 3| = x + 3 y V 4 - |x + 3| = ^ 4 - (x + 3) = V T ^ Por tanto, x G [ - 3 ; 1) «=>—3 < x < l < = ? 3 > —x > —1 » 4 > 1 —x > 0 <=* 2 > V i - x > 0 Esto es, / ( x ) = V 4 - |x + 3| = V i - x G (0; 2] Luego, el rango de / es Rf = (0; 2], La gráfica de / se muestra en la Fig. 2.75. RELACIONES Y FUNCIONES b) El dominio de g es Dg = (-oo; 2], Como g es una función definida por partes (seccionalmente definida), determinamos el rango de cada sección. Así, Si x < —1 => g ( x ) = 1 y g ( x ) G {1} Si — 1 < x < 1 = » g ( x ) = (x + 2) G (1; 3] Si 1 < x < 2 => ^ (x ) = (4x - 4) G (0; 4] En consecuencia, el rango de g es Rg = {1} U (1; 3] U (0; 4] = (0; 4], La gráfica de g se muestra en la Fig. 2.76. PRO BLEM A 7. Determine los dominios, los rangos y trace las gráficas de las funciones definidas por / ( x ) = %/9 - x 2 , g { x ) = V3x - |x 2 - 4| Solución a) Df = {x G IR / 9 - x 2 > 0 } = [ - 3 ; 3] y Rf = [0; 3] Haciendo / ( x ) = y, se deduce que la gráfica de / es la semicircunferencia x 2 + y 2 = 9, y > 0 (Fig. 2.77). b) Dj = {x G 1 / 3x — |x 2 - 4| > 0} = [1; 4] (1) Teniendo en cuenta que: x 2 - 4 < 0 « x G ( - 2 ; 2). En este caso, |x 2 - 4¡ = 4 - x 2 (II) x 2 - 4 > 0 «=> x < - 2 V x > 2. En este caso, |x 2 - 4| = x 2 - 4 (III) De (I), (II) y (III) se tiene: r ^ _ (V x 2 + 3x - 4 , si x G [l; 2) g W _ (V4 + 3 x - x 2 , si x G [2; 4] 73 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I La grafica de la primera regla de correspondencia de g es parte de la hipérbola y la gráfica de la segunda regla de correspondencia es parte de la semicircunferencia 3 2 , 25 (x ~2> + ? T ‘ y - ° La gráfica de g se muestra en la Fig. 2.78. El rango de g es Rg = [O; Vó], Fig. 2.77 P R O B L E M A 8. Halle el dominio y el rango de las siguientes funciones. Además, esboce sus gráficas. p* 9 . « . ^ x 3 — S x 2 + 3x + 9 X I = --------- 7 T 3 --------- • 9 W •x - 21 Solución a) Factorizando el numerador de la función racional / . tenemos f f s (* + 1 )0 - 3)2 = ------------------ - Df = R ~ {3} Luego, para a: * 3, se tiene - / ( * ) = (* + 1 )(* - 3) = x 2 - 2* - 3 La gráfica de / es la parábola y + 4 = (* - l ) 2 a la cual se le ha quitado el punto (3; 0) (Fig. 2.79). El rango de / es [ - 4 ; + o o ). Kl I ACIONES Y FUNCIONES Vi \ k 1 O ► v ■\-4 / 3 , ! J Fig. 2.79 Fig. 2.80 b) Una forma de simplificar el valor absoluto |^— ^| es determ inar el signo de x — 2 . Esto es, Hr Signo de x - 2 - O - Considerando que el valor absoluto de un número negativo es su opuesto y el valor absoluto de un número no negativo es el mismo, se tiene g ( x ) = x - 2 \ \ x — 2 ’ x SIi x < 0 ó x > 2 ^2 — x , si 0 < x < 2 El dominio de g es R -{2 } , el rango es [0; +co) y la gráfica de g se muestra en la Fig. 2.80. PROBLEMA 9. Dadas las funciones ( \ x - 11, Si 4 < x < 7 2 / ( * ) = V r . a y a t o = s 8n(¡x - 31 - 1} I v M ' S ix < 4 Trace las gráficas de / y de g. Solución a) Considerando las propiedades del máximo entero y del valor absoluto, se tiene (Ix J - 1 . 4 < x < 7 f (x) = I V x, 0 < x < 4 v V - x , x < 0 De su gráfica (Fig. 2.81) se deduce que Rf = 10; + o o ). f 1 , si |x 2 - 3| - 1 > 0 g ( x ) = S g n (|x 2 — 3| — 1) = j o , si \ x2 — 3| — 1 = 0 ( - 1 , si \ x2 - 3| - 1 < 0 De lo anterior, se deduce que f l , si x < - 2 ó - V 2 < x < y / 2 ó x > 2 g ( x ) ~ j 0 - si x = ± 2 y x = +V 2 V - l, si - 2 < x < - a /2 ó V 2 < x < 2 En la gráfica de g (Fig. 2.82), se observa que Dg = IR , Rg = {—1; 0; 1} TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I b) Considerando la definición de la función signo, obtenemos PR O B LEM A 10. Trace la gráfica de / ( * ) e indique su dominio y rango. / ( * ) = Ix + 6 + 2 x — 4 yj 11 2 J 11 2 + 8 Solución Por la propiedad del máximo entero, se tiene x 4- 6 ÍI 2 = « 2 + 3 ) = g + 3 y f ^ J - g - 2 Asi, / O ) = V 5 Î Ï 7 2 Ï T T 3 y su dominio es = {x e K / 5 [ x /2 j + 13 > 0}. 5OE*/2I + 13 > 0 « OEjc/21 > - H = , g ¡ | > _ 2 Luego, Df = [ - 4 ; +oo). 2 — ~ 2 e=> x > — 4 Como la longitud de los intervalos donde [ x /2 l permanece constante es 2 la ,'i Afica de la función f está formada por los segmentos horizontales de longitud 2 (Fig. 2.83). I 1 rango de / es Rf = {V3; V8 ; V i3; V18; V23 ; ...} = U„eRiW5n - 2j Kl | ACIONES Y FUNCIONES P R O B L E M A 11. Trace la gráfica de la función f e indique su dominio y rango. f ( x ) = 3 - Sgn(x3 — 9x — 4 |x 2 - 9 |) Solución Como |x 2 _ 9 | _ í ^ 2 - 9 ' s i * y| “ l - ( x 2 - 9) , si - si x > 3 ó x < - 3 3 < x < 3 , entonces (3 - S gn[x(x2 - 9) - 4 (x 2 - 9 )], si x < - 3 o x > 3 = 3 - Sgn[x(x2 - 9) + 4 (x..2. ..-... .9...).]..,. .....s.i.. ..-... .3.. .<... ..x.. ..<. ’ 3 (3 - Sgn[Cx - 3 )(x + 3 )(x - 4 )], si x < - 3 ó x > 3 13 - Sgn[(x - 3 )(x + 3 )(x + 4 )], si - 3 < x < 3 Por otro lado, se tiene _ + Signo de (je - 3)(x + 3)(x - 4) - o Signo de (x - 3)(x + 3 )(x + 4 ) ■*- -3 -4 -3 -O3 -O4 -O3 Luego, aplicando la definición de la función signo, obtenemos: 4 , si x e (—co; 4) y x * ±3 / ( x ) = 3 , si x = ± 3 ó x = 4 .2 , si x > 4 El rango de f es Rf = {2,3,4} y la gráfica de / Se muestra en la Fig. 2.84. TOPICOS DE CÁLCULO-VOLUM EN I PRO BLEM A 12. Trace la gráfica de la función J3x 4 16lJ / 0 ) = ¡ x -f 4 , si x G ( - 2 ; 7] Solución Dividiendo la fracción que está dentro del símbolo del máximo entero, obtenemos Como / ( * ) = 4 x 4 4 3x 4 16 x 4 4 . 3 4 - x + 4 = 3 4 ' x + 4 n = 1 para que x 6 ( - 2 ; 7J. En efecto. 4 < rc + 1 , será suficiente elegir n = 0 y si n = 0 si n = 1 ■ 0 < 1 < L uego, / ( x ) = x 4 4 3x 4 16 < 1 « x G (0; 7] y < 2 « x e (—2; 0J = 3 4 4 , x 6 (—2; OJ ^ x 4 4 i! ' llx + 4Í x G <0; 7] Por tanto, el rango de f es Rf = {3,4}. Su gráfica se muestra en la Fig. 2.85. Fig. 2.85 Fig. 2.86 PR O B LEM A 13. Esboce la gráfica de la función / e indique su dominio y rango. í[5x - 9 ti / ( * ) = J x 2 - 16 Sgn ( — -1 . ^ I + x 4 6 - 4 Solución El dominio es Df {x 6 K ! x2 16 > 0 A 81 — x 2 > 0 A x ^ —6 A x 9= 2} = í— 9; — 4] U [4; 9j — { — 6) KI I.ACIONES Y FUNCIONES Por otro lado. / a/ 8 1 - x 2 Sgn (■ — 1, si x G (—9; —6 ) = {0, si x = ± 9 x 4 6 1, si x G (—6:9) Si x G [—9; —4] A x -t- —6 , tenemos 5 x — 9 x = 5 4 1 1 -9 < x < —4 A x — 6 <=>--------- < ------- 6 x — 2 1 Si x G [r 4; 9], => 4 < x < 9 => —1 < ----1- 7 x - = - 1 1 x — 2 11 x — 2 = 0 1 8 Asi, la regla de correspondencia de la función dada es '0 , si x = —9 si — 9 < x < — ( f W = si — 6 < x < —' - J x 2 — 16 , v‘x 2 — 1 6 , yj X^ — 1 6 4 1 , V I, si 4 < x < 9 si x = 9 La gráfica está formada por las partes de las hipérbolas x 2 — y 2 = 16 y x 2 - (y - l ) 2 = 16 (Fig. 2.86). Además, Rf = (-V 6 5 ; -V 5 o ) u [0; 1 4 V65). PROBLEM A 14. Dada la función f |x 2 - 9 | , / ( x ) = | Sgn C[x 4 1] 4 2) , si |x | > 4 si - 4 < x < 0 lVSgn(.x - 2) + |[x - 2]¡ , si 0 < x < 4 I race la gráfica de / y determine su imagen. Solución Teniendo en cuenta las definiciones de vaior absoluto, signo y máximo entero, la regla de correspondencia de f es: f x 2 — 9 , si x < — 4 ó x > 4 - 1 , 0 . 1 , vf2ñ , , V3, De lo anterior se deduce que h n g / = (7; 4 oo) u {—1,0,1, V2.V3]. La gráfica de / se muestra en la Fig. 2.87. í ( x ) = - si - 4 < x < - 3 si — 3 < x < — 2 ó l < x < 2 si — 2 < x < 1 ó 2 < x < 3 si 3 < x < 4 si x = 4 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 1 i 7 VT A ■ j í \ -2 \ 1 A i \ w X Fig. 2.88 PROBLEMA 15. Dada la función definida por 2 / ( * ) = 7 + ' a ■ si |x| > 2 A x 6 x — 6 v 4 S g n (x 2 - 1 ) - x 2 , si 1 < |x | < 2 1 + x z si \x\ < 1 ix - 2. Trace la gráfica de / y determine su rango. Solución La regla de correspondencia de la función es equivalente a : 2 / ( * ) = 7 + ■ si (x < - 2 ó x > 2) A x =p 6 V 4 - . si x £ [ - 2, - 1) u <1; 2] x 2 1 , si x e [ - I n observando la gráfica de f (Fig. 2.88), se sigue que 13 27 Rf — ) U (——; -foo) — {7} . PROBLEMA 16. Halle el dominio, rango y esboce la gráfica de la función |x - 3| + \x + 5| / ( * ) - 1 + Sgn(x2 — 4) 4- \x + 3| Solución Considerando las definiciones de signo y valor absoluto, podemos expresar la regla de correspondencia de f en la siguiente forma RELACIONES Y FUNCIONES ( 2 , / O ) = x + 1 x + 5 4 , x + 3 4 3 ’ 2(x + 1) ^ x + 5 si x < —5 si - 5 < x < - 3 si x E [—3; —2) U (2; 3) si x = — 2 si - 2 < x < 2 si x = 2 si x > 3 / 8 4i 4 De la gráfica de f (Fig. 2.89) se deduce que Rf = <1; 8) - ; - j U ( - ; J PROBLEMA 17. Halle el dominio de la función definida por . Vi 13] + 51 4 ' W x l x / 5 l + 7x Solución En primer lugar, debe cumplirse I P x j + 5 | - 4 > 0 <=> H 3xl + 5| > 4 « 13x1 > - 1 ó [3xJ < - 9 <=> 3x > - 1 o 3x < —8 <=> x 6 (-oo; - 8 / 3 ) u [ - 1 / 3 ; +oo> 81 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN ( Por otro lado, también debe verificarse que x [x /5 1 + 7 x ^ 0 Sea A = {x G IR / x[x/5fl + 7x = 0}, entonces x [x /5 1 + 7x = 0 <=> x([x/5]] + 7) = 0<=>x = 0 ó |x / 5 ] = —7 x <=> x = 0 ó — 7 < — < —6 <=> x = 0 ó — 35 < x < —30 Luego, A = {0} U [-3 5 ; 30). Por lo tanto, el dominio de la función / es la intersección del conjunto —8 /3 ) U [—1 /3 ; +oo) con el complemento del conjunto A. Esto es, Dí = ( ( —a); —8 /3 ) u - Í ; + o o ) j n ¿ ' = < - o b ; - 3 5 ) U [ - 3 0 ; - 8 / 3 ) U [ - i ; + o o ) - { 0 } . PR O B LEM A 18. Demuestre que las funciones definidas por f ( x ) = V 3[3xJ - 9[xJ + 3 g{ x ) - 5x - [5x1 son periódicas; la primera con período T = 1 y la segunda con período T = 1 / 5 . Además, esboce la gráfica de ambas. Solución a) En la función / , para 7 = 1, tenemos f ( x + 1) = V 3 [ 3 ( x + l ) ] | - 9 [ x + l ] + 3 = V 3[3xJ + 9 - 9 [x ] - 9 + 3 = V 3 [3 x l - 9 [ x l + 3 = / ( x ) Luego, / es periódica con período T = 1 Para esbozar la gráfica, determinamos el dominio de / . Esto es, Df = {x £ IR / 3 [3 x J — 9 [x J + 3 > 0} = IR, pues 313x1 - 9 |x ] + 3 = 3([[3xl - 3[*1) + 3 > 0 , V x G l R Si Ix l = n, n S T L , entonces n < x < n + l < = > 3 n < 3 x < 3 n + 3 Luego, [3x1 = 3n ó [3xJ = 3n + 1 ó [3xJ = 3n + 2 Por tanto, para n < x < n + l , se tiene [3x1 ~ 3 [x J = {3n - 3n = 0 ó (3 n + 1) - 3 n = 1 V (3n + 2) - 3n = 2} Más aún, podemos expresar [3x1 - 3 [x l = ( 0 , si x G [n; n + 1 /3 ) 1 1 , si X G n + — ;n + 2 /3 ) , ?t E 2 \ 2 , s i x G [ n + 2 / 3 ; n + 1 ) L a g r á fic a d e / se m u e s tr a e n la F ig . 2 .9 0 . 1(1 I .ACIONES Y FUNCIONES b) Para la función g tenemos Así, la función g es periódica de período T = 1 /5 . Usando la longitud del p eríodoT = 1 /5 .tenem os ' S x , si x G [0; 1 /5 ) 5 x + l , si x G [1/5; 2 /5 ) _ j 5x + 2 , si x G [2/5; 3 /5 ) V ... La gráfica de la función g se muestra en la Fig. 2.91. PROBLEMA 19. Dada la función f { x ) = ¡x — 2 J x + 2 , se pide a) Determinar Df b) Demostrar que / es inyectiva c) Determinar Img / Solución a) Df = ¡x G IR / > 0 j = <-«>; - 2 ] U [2; +oo) b) Sean a y b dos elementos del dominio de / tales que / ( a ) = / ( b ) , esto es, a — 2 b - 2 a - 2 b - 2 i + 2 a + 2 b + 2 c) Nia + 2 J b <=» ab - 2b + 2 a - 4 = ab - 2a + 2b - 4 De lo anterior se obtiene que a = b. Luego, / es inyectiva. Como f es inyectiva, hallamos la función inversa / 1 y luego se verificará, im g / = Df - 1 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN ¡ Sc ea y = -x--~-- e2ntonces y > 0. tJ x + 2 D espejando x en térm inos de y, se tiene y2 = h ^ ~ xy2 + 2y2 = x - 2 ~ x = T z ^ T Por tanto, f ~ \ y ) = ?-+ 2y , y > o 1 — y Z De lo anterior se deduce que Img / = Df -i = {y 6 R+ / y * 1 } = [0; +oo> - {1} . PROBLEMA 20. Sea f : A -> [-8 ; 1} / f ( x ) = — 2* 2 — x a) Determine A = {x E R / f ( x ) e [ - 8 ; 1)}. b.) ¿ / es suryectiva? Solución a) Como / ( x ) e [ - 8 ; 1 ), entonces -8O <^ —3 + —2* <, „1 « , - 8„ < -3- -+-- -2--x A -3- -+-- -2--x-< 1 ¿ x 2 - x 2 - x r i9 ( - o o ; - l / 3 ) u ;+oo> rl9 Luego, A = <-oo; - 1 / 3 ) U I — ; + o o ). b) Por definición / es suryectiva si V y e [ - 8 ; 1), 3 x E A / f ( x ) = y Sci- f ( x ) = y « —3 -+-- -2--x = y<=>x= 2y-- ---- -3 2 - x ' y + 2 La última igualdad no tiene sentido para y = - 2 A - 2 6 [—8 ; 1), es decir, no existe x E A tal que / ( x ) = —2. Por tanto, / no es suryectiva. PR O B LEM A 21. Dadas las funciones / y g definidas por si |x | < 2 í 2 x , si 0 < x < 3 f ( x ) = -| 1 g ( x ) = ] - , Si \x > 2 L V* '1 . si x < 0 o x > 3 Trace la gráfica de / — g e indique su rango. Solución Como / y g están definidas seccionalmente, entonces f — g también lo estará. El dominio de cada sección será la intersección de los dominios correspondientes. Luego, trabajando con cada una de las posibilidades, obtenemos RELACIONES Y FUNCIONES ( / - 0 ) 0 0 = r l ----- 1 , X x e <—00; — x 2 - l . x € <—2; Oj x 2 — 2 x , x e (0;2) 1 ----- 2x , x E [2; 3) La gráfica de f - g se muestra en la Fig. 2.92 y su rango es "3 Rf -g • - ; 3) (es la unión de las imágenes de cada sección). Fig. 2.92 PR O B LEM A 22. Demuestre que la función definida por f { x ) = —J x 2 + 6 x - 7 , x E ( - 00; - 7 ] tiene función inversa y halle f _1(x). Solución En primer lugar, se demostrará que / es inyectiva. Sean a, b E < - 00; - 7 ] tales que / ( a ) = / ( b ) . Entonces, -V a 2 + 6a - 7 = J b 2 + 6 b - 7 <=* a2 + 6a - 7 = b 2 + 6b - 7 <=> a2 — b 2 + 6(a — b) = 0 <=> (a - f>)(a + ¿ + 6) = 0 <=> a = fa ó b = - 6 - a La posibilidad b = - 6 - a no se cumple, pues a E ( - 00; - 7 ] o a < - 7 « b = - 6 - a > l = > H - 7 ] 85 Ello contradice el hecho de que tanto a como b son elementos de ( - 00; — 7], Luego, necesariamente debe cumplirse que a = b, y esto implica que / es inyectiva y, por tanto, tiene función inversa. Como el rango de / es ( - 00; 0] y f : ( - 00; - 7 ] -> ( - 00; 0] , entonces 00; 0] -» ( - 00; - 7] Para obtener la regla de correspondencia de / ~ \ es suficiente despejar x de y ~ /( * ) • En efecto, y = — J x 2 + 6 x — 7 <=s> y 2 = x 2 + 6x - 7 <=s> x 2 + 6x — (7 + y 2) = 0 ^ , - 6 + 7 3 6 + 4 ( 7 + y 2) ,______ De lo an terio r, x = -------------- ---------------- ó x = - 3 + J l 6 + y 2 El doble signo que precede al radical indica que para cada valor de y existen dos valores para x. lo cual no es posible. Observando que para y = 0 se debe tener x = —7, se deduce que el signo que corresponde es —, es decir, x = —3 — 7 1 6 + y 2 <=> / _1(y) = —3 - ^ 1 6 + y 2 Por tanto, / _1(x) = —3 - V l6 + x 2. PROBLEMA 23. Sea / ( x ) = ~ 91 . x 6 ( - 2 ; 0) U (3; 5]. Halle la regla de correspondencia de la función inversa f ~x si existe. Solución Para todo x £ Df = (—2; 0) U (3; 5], se tiene (x + 7 ) - ( 9 - x ) 2 x - 2 f ( x ) = — p5— — y(x 1.- 2) 3- -—-- -x-- Se verifica fácilmente que f es inyectiva en todo su dominio. Luego, posee una función inversa f ~ l . De la regla de correspondencia de / ( x ) , tenemos TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 1 Como x e Dr => x = ~ ~ ' ^ 2 E ^ ~ 2; U ^3: „ 3y + 2 3y + 2 6 ■ <=> - 2 < — — < 0 o 3 < — —— < 5 «=• y 6 ( - 00; —4] U <— —; —2 /5 ) y + 2 y + 2 s Por tanto, 3 x + 2 6 / O ) = - ^ r ¡ r y . x e o r i = (-o o ; - 4] u < - - ¡ - 2/ 5) . 86 RELACIONES Y FUNCIONES P R O BL EM A 24. Si / ( x ) = (|4 - x| - 3 - x ) V F ^ 6 , halle f ~ \ x ) si es que existe. Solución El dominio de / es Df = [6; +00) y f ( x ) = ( x - 4 - 3 - x)Vx - 6 = - 7 Vx - 6 , x 6 [6; + 00) Se verifica fácilmente que f es inyectiva y que su rango es ( - 00; 0] . Luego, existe f - 1. Para hallar / _1(x), se procede de la siguiente manera: y = / ( x ) = - 7 V Í ^ 6 = > x = 6 + ^ = ^ / _1(y) = 6 + ^ . y e <-°°; 0 ] Por tanto, f ~ ' ( x ) = 6 + — , x e ( - ° ° ; 0 ] . P R O B L E M A 25. Dada la función definida por _ r x - 3 t 2 Sgn í(x - 6)(x - 5)(1 x).xJ Trace la gráfica de / y halle, si existe, su función inversa f 1 (x). Solución El dominio de / es Df = {x e R / 6x - x 2 > 0 A (x - 6 )(x - 5)(1 - x )x *■ 0} = (0; 6) - {l,5j La regla de correspondencia de f es / , f ( x ) = • 2 + V 6x - x 2 , 2 - V 6x - x 2 , 2 , 2 + V 6x » k2 - V 6 x - x 2 , 0 < x < 1 1 < x < 3 x = 3 3 < x < 5 5 < x < 6 87 La gráfica de / (Fig. 2.93) corresponde a las partes de la circunferencia ( x - 3 ) 2 + (y - 2 ) 2 = 9. Por otro lado, teniendo en cuenta que una función definida seccionalmente es inyectiva si cada sección es inyectiva y sus imágenes son disjuntas dos a dos. En este caso, / es inyectiva y tiene función inversa / -1 . Trabajando en cada una de las secciones obtenemos '3 — V5 + 4x - x 2 , — l < x < 2 - V 5 3 + V5 + 4x - x 2 , 2 — V5 < x < 2 r \ x) = -p, x = 2 3 — V5 + 4x - x 2 , 2 < x < 2 + \¡5 ^3 + V5 + 4x — x 2 , 2 4- V5 < x < 5 La gráfica de / _1 (Fig. 2.94) corresponde a las panes de la circunferencia (x — 2) 2 + (y — 3) 2 = 9. PRO BLEM A 26. Sean f y g dos funciones inyectivas. Si existe g ° / , demuestre que (g ° f y 1 = f ~ x o g - i . Solución En primer lugar, se demostrará la existencia de (g ° / ) _1, es decir, la inyectividad de g ° / . En efecto, sean a, b £ Dgof, con a * b, entonces f ( a ) * f ( b ) y g ( J ( a ) ) * g (/(fe)) (porque / y g son inyectivas). Luego, (g ° / ) ( a ) ^ (g ° f ) ( b ), esto es, g ° / es inyectiva (existe Q? ° / ) - i )). Por otro lado, para todo elemento x del dominio de (5 ° / ) _1 se tiene: y = (g ° e=>x = {g o f ) ( y ) « x = g ( f ( y ) ) « 5 " 1 GO = / ( y ) C=>/ _1( 5 _1W ) = y Luego, (5 o = (J ~ l ° fl-1 )(*). V x 6 D{g,f r x . PR O B LEM A 27. Si / y g son funciones definidas por / ( x ) = x 2 - 2x + 5 ,x £ ( - 2 ; 6] y 5 (x) = — — ■ 2 , x G [5; 20) x halle la regla de correspondencia de g ° f y su dominio. Solución a) Dominio: Dflo/ = {x / x 6 Df A / ( x ) 6 [5; 20)} => x 6 Df A / ( x ) £ [5; 20) <=> x 6 ( - 2 ; 6] A 5 < x 2 - 2x + 5 < 20 « x 6 ( - 2 ; 6] A ( - 3 < X < 0 V 2 < X < 5 ) <—2; 0] U [2; 5) TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Por tanto, Dgof = ( - 2 ; 0] U [2; 5) 88 RELACIONES Y FUNCIONES b) (g ° / ) ( * ) = g ( f ( . x ) ) = g ( x 2 - 2x + 5) = ^ 2 _ 2x + 5 + 2 Por tanto, V x4 - 4 x 3 + 1 4 x 2 - 20x + 27 ( r / ) W = ------------- x 2 - 2x + 5 ------------- . x G (—2; 0] U [2; 5 ) . P R O B L EM A 28. Dadas las funciones Í 2 x — 1 , x < — 1 (d) f ( j x ) - \ 2 , 1 < x < 1 (e) y ^ (x ) = |x - 2| + |x - 1| U2> :c>1 (0 Halle ( / o ^ ) ( x ) y trace su gráfica. Solución Aplicando la definición de valor absoluto, g ( x ) se escribe Í 2 x — 3 , x > 2 (a) g ( x ) = ] 1 , 1 < x < 2 (b) (3 — 2 x , x < 1 (c) Considerando que el rango de g en la parte (a) es [1; + 00), en ¡a parte (b) es {1} y en la parte (c) es (1; + 00), tenemos: No existe / » g e n la combinación (a)-(d ), pues Rg n Df ■= 0. Análogamente, no existe en las combinaciones (b )-(d ), (b)-(f), (c)-(d) y (c)-(e). Para(a)-(e) ( / 0 g ) W = / ( f l W ) = / ( 2x - 3) = 2 , x > 2 A (2x - 3) £ ( - 1 ; 1] Para (a)-(f) ( / o 5 )(x ) = f ( g M ) = / ( 2 x - 3) = (2x - 3 )2, x > 2 A 2 x — 3 > 1 Para (b)-(e) ( / 0 5 ) 0 ) = f { g W ) = / ( 1 ) = 2, l < x < 2 A l G ( - 1 ; 1] Para (c)-(f) ( / o 5 )(x ) = / ( 3 — 2x) = (3 — 2 x )2, x < l A 3 — 2 x > 1 Luego de hallar el conjunto solución de las desigualdades anteriores, se obtiene !2 , si x = 2 (2x - 3 )2 , si x > 2 f 2 , 1 < x < 2 2 , si 1 < x < 2 ((2 x — 3 )2, x < 1 V x > 2 (3 — 2x) 2 , si x < 1 L a g r á fic a d e y = g ( x ) se m u e s tra en la F ig . 2 .9 5 y la g rá fic a d e y = ( / ° (? )(x ) e n la F ig . 2 .9 6 . 89 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I PRO BLEM A 29. Si ( / ° g ° h) ( x) = V x6 4- 1, donde / ( x ) = Vx + 1 y /i(x) = x 3, halle g (x ). Solución Tenemos: ( / o g o * )(* ) = f ( 5 ( / i ( » ) ) = / ( y ( x 3)) = V a O 3) 4- 1 Luego, V y(x3) 4- 1 = Vx6 4- 1<=> 5 (x 3) 4- 1 = (x6 4- l ) 2/ 3 Haciendo u = x 3, se sigue: g { u ) = ( u 2 4- 1) 2/3 - 1 Por tanto, g(x) = \] { x 2 4- l ) 2 - 1 . PROBLEMA 30. Si / ( x 4- 1) — x 2 4- 4 y ( / o g) (x) = ----- -, halle y (x ) Solución En primer término, haciendo u = x 4- 1 en / , se tiene / ( u ) = (u - l ) 2 4- 4, de donde / ( x ) = (x - l ) 2 4- 4. Por otro lado, ( f o 5 )(* ) = / ( fl(x )) = ( g( x ) - l ) 2 4- 4. Luego, ( í W — l ) 2 4- 4 = —— — c=> ( g ( x ) - l ) 2 ~ --------- x — 2 x - 2 Por tanto, g ( x ) = 14- 9 - 3 x , ¡9 — 3x x — 2 0 í M = l - !-— 90 0 ) 4x 4- 1 PROBLEMA 31. Si f(x') = —— — y (g ° /) ( x ) = x 2 4-1, halle g{x). Solución . . /4 x 4- 1\ /4 x 4 - 1 \ „ Como (g o / ) ( * ) = g ( f ( x ) ) = g f ) ^ 9 \ x - i ) = x “ + 1 4 x 4 - 1 / u 4- 1\ Haciendo u = --------- equivalente a x = ------ - en (I), obtenem os x — 1 V u — 4/ /u 4- 1 \ 2 2 u 2 — 6u 4- 17 « ‘“ H íP T J + 1 = (u — 4 ) z l x 2 - 6 X + 1 7 Luego, g ( x ) = ( x _ 4)2 ■ PROBLEMA 32. Dadas las funciones /(x ) = Vx 4- 1 , g(x) = Vx - 1 y ( / o g ° h) (x) = x3 . Halle ( / ° /i)(l). Solución ( / ° a ° h ) 0 ) = f ( g O i(x )) = / { v K x ) - i ) = J ( /i( x ) - 1)5 4 i = x 3 De la última igualdad se obtiene (h (x ) - 1) 1/3 4- 1 = x 6 <=> h (x ) = 1 4 ( x 6 - l ) 3 Por lo tanto, ( / ° h )( 1) = / ( / i ( 1)) = / ( l ) = V2. PROBLEMA 33. Determine la regla de correspondencia de la función cuya gráfica se muestra en la Fig. 2.97. RELACIONES Y FUNCIONES 91 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Solución a) Ecuación de la parábola P: y = a x 2 + bx + c , a < 0 ( 0 ; l ) 6 P = > l = 0 + 0 + c » c = l Vértice: (2; 5) = — , --------- \ 2 a 4 a b b 2 - 4a <=> - z - = 2 2a A —4-a------= - 5 < = » a = - l,¿ ? = 4 Luego, P: y = - x 2 + 4x + 1. b) Ecuación de la recta que pasa por (0; 1) con pendiente m = ta n (45°) = 1 L\ '■ y — 1 = l ( x — 0) <=> ¿i : y = x 4-1 c) Ecuación de la recta que pasa por (15; 0) con pendiente m = tan(135°) = - 1 L2 ■ y — 0 = — l ( x — 15) «=> L2 ■ y = 15 — x d) La intersección de Lx y L2 es (7; 8 ) y la intersección de L1 y P es (3; 4). Por lo tanto, 1 4- 4x — x 2 , 0 < x < 3 f ( x ) = 1 + x , 3 < x < 7 15 — x , 7 < x < 15 PR O B LEM A 34. El aeroplano A parte al mediodía y se dirige hacia el norte a 500 millas por hora. Dos horas más tarde, el aeroplano B vuela hacia el este a 600 millas por hora. Despreciando la curvatura de la Tierra y suponiendo que vuelan a la misma altura, encuentre una expresión para D (t) (la distancia entre los aviones) t horas después del mediodía. Solución En el esquema de la Fig. 2.98 se tiene: vA = 500 m illas/h o ra v B = 600 m illas/hora. Los espacios recorridos por los dos aeroplanos, t horas después del mediodía son respectivamente eA = 5 0 0 t y eB = 6 0 0 ( t - 2) ^ . f 500C , 0 < t < 2 Por lo tanto, D ( t) = /--------------- ------------------- (V(500t)2 + [600(t - 2)P , t > 2 92 RELACIONES Y FUNCIONES Fig. 2.99 PROBLEMA 35. Un fabricante ha recibido un pedido de 10800 unidades de un cierto artículo. Dicho fabricante dispone de 10 máquinas y cada una de ellas puede producir 60 unid/hora. El costo fijo de poner en marcha cada máquina es $30 por máquina y el costo de operación es $6 por hora. Determine el costo total de producción en función del número de máquinas en operación para cubrir las 10800 unidades pedidas al fabricante. Solución Se sabe: C osto T o ta l = Costo f i j o + Costo d e O peración Si x es el número de máquinas en operación, entonces el costo fijo es 30x. Si t es el número de horas de operación y C es el costo total, entonces C = 30x 4- 6 1 (0 Por otro lado, si operan x máquinas, en una hora producirán 60x unidades. Luego, las 10800 unidades serán producidas en t = 10800 180 horas 60x x Por tanto, reemplazando (II) en (I), el costo total de producción es 1080 C (x) = 30x 4--------- , 1 < x < 10 La gráfica de C (Fig. 2.99) indica que el costo total es mínimo si operan 6 máquinas y el costo total mínimo es de $360. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I EJERCICIOS 1. Dados los conjuntos A = { 1 ,3 ,5 ,7 ], B = { 3 ,5 ,8,9} y la relación R :A -> B cuyos elementos (x; y ) están definidos por a) x < y b) y < x c) x es divisor de y d) x = y e) y = x 4- 4 En cada caso: (i) Determine la relación R por extensión e indique su dominio y rango, (ii) Construya su gráfica, (iii) Halle su relación inversa. 2. Sea A = {1,2,3}, se define la relación R en A x A de la siguiente manera: (a; b) R (c; d ) <=> a 4- d = b + c . Halle todos los elementos de R e indique su dominio y su rango. En los ejercicios 3-7, R es una relación en IR. Halle el dominio, el rango y trace la gráfica de R. Además, halle la relación inversa y trace su gráfica. Los elementos de cada relación están definidos por: 3. ( x ; y ) E l » i = 3 A y > 0 4. (x; y ) 6 IR <=> x = 3 V 3 x — y = 0 5. (x; y ) £ IR «=> y = 2x A x 6 [—2; 1) 6 . (x; y ) e IR <=> 4 x 2 + 9 y 2 - 36 < 0 7. (x; y ) e IR xy = 1 8. Sean A = {a, e, i , o, u} y B = (1 ,2 ,3 ,4 , 5] dos conjuntos ¿Cuál de las tablas siguientes dan origen a funciones de A en B? ai x e o c b) x a e i o u C ) X a e 0 u a CO 2 1 y 1 1 2 2 2 y 2 1 5 3 4 d ) a e i o u e) x a e i X <+— 3 O a e i j o u y 5 3 1 2 4 y 1 4 3 2 2 y 4 4 4 | 4 4 9. Indique cuáles de las funciones determinadas por las tablas del ejercicio anterior son inyectivas, suryectivas o biyectivas. 10 H alle/(O ), / ( —2). / g ) y f ( a + 2) si: a) / ( x ) = x 2 — 5x + 3 b) / ( x ) = V 2 x 2 4- 1 e) f ( x ) 3 x 2 4- x — 2 4 x 2 Si / ( x ) = a x + b es tal que / ( 3 ) = 1 y / ( - 3) = 6 , halle / ( x ) . 9 4 RELACIONES Y FUNCIONES 12. Halle / ( x ) si sabe que / ( 2x — 1) = 4 x 2 — 4x + 5. 13. Si / ( x 4- 3) = x 2 - 1, calcule: / ( a + 2) - / ( l ) _ / ( a + 2) — / ( 2) a) 5--------, £ 1 * 3 b) ----------------------- , a * 2 a — 3 a - 2 14. Sean / y g dos funciones definidas por c , \ ( x 2 — 5x , si x < — 2 , . (x — 4 , si x > —2 / M “ l l * - 2 | - 2 * , Si * a - 2 y a W = U H a l l e : a ) / ( l ) . 5 ( - 3 ) b ) ( / + 5 )(0 ) c ) / ( - 4 ) / 5 ( - l ) d ) ( / ° < 7 ) ( - 2 ) e ) ( 5 o / ) ( 3) f ) C f l» 5 ) ( - 3 /2 ) x ¿ 4- 3x , si x < —2 1 , si 0 < x < 1 2 , si 1 < x < 2 > 2 < 2 15. Sea / la función definida por / ( x ) = | Si g ( x ) = / ( 2x) 4- / ( x — 2), halle el dominio de g. I S . S i / W - F 2 - 5' ! ^ : y g( x) = \ 1 ~ Xl s l ¡* ' ( x , si |x | > 1 y d J (x , si |x Halle ( / 4- g ) ( x ) , (x) y trace sus gráficas. 17. Sea f : A ~ * [ - 9 ; - 1 ) dada p o r / ( x ) = —------- a) Determine el conjunto más grande A, sabiendo que A es el dominio de / . b) Demuestre que / es inyectiva. c) ¿ / es suryectiva? 4 - l l x 18. Sea f : A - * (1; 10] dada p o r / ( x ) = 4 — 2x a) Determine el conjunto más grande A, sabiendo que <4 es el dominio de / . b) Demuestre que / es inyectiva. c) ¿ / es sobre? 19. S e a f : A -» [0; 1] . Determine el dominio de.4 si: a) / ( x ) = ^ 7 b) / ( x ) = 2 4- x - x 2 c) / ( x ) = ^ 20. Sea f : A -* (—2; 6], definida por / ( x ) = x 2 - 4x 4-1. a) Determine el dominio de A b) ¿ / es inyectiva? c) ¿ / es sobre? 21. Determine el dominio de las funciones definidas por a) / ( x ) = Vx - x 3 b) / ( x ) = VT - V4 - x 2 c) / ( x ) = ^/x - [x] 95 e) / ( x ) TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I d ) / ( * ) 2 — x 4 12 - 8 x x + 1 0 /OO = X + 1 Vx + 2 g) / ( x ) = 7 * 2 + 4 x - 1 2 + - 3 x 2 V 2 0 + x - x 2 h) / ( x ) = V l 2 - |x - 4 ||x + 3| i) / w = — 12 Sgn(xz f T 2 ) Vlx - 3| - Sgn(x4 - 16) j) / ( x ) = V * 4 - 1 6 - V x3 + 2 0 x 2 + 4x — 5 V lx + 3| - 2Sgn(x4 - 16) k) / ( x ) = V lx 2 - 1] - [x 3 - 11 + V i - |x - 2 | V F = T i) /OO m) / ( x ) = |x - 2 | 2 — x ■ + x 2 — 1 4 — x 2 S g n ( [ V 4 - x 2J) xS gn(x2 - 1) + 1 n) / ( x ) = x [ x /3 ] + 10 x 2 + x - 12 22. Esboce la gráfica de la función / , indicando su dominio y rango. (x 2 - 4 a ) / ( x ) = 7 T 7 ' S1* * 2 (3 , si x = 2 b ) / ( x ) =_ ({¡|.44 - x 21, si |x| si |x| c ) / ( x ) = x - t t x l l , si [xj es par —71x1 — w , si [x ] es im par [xy¡2 - [ x / 2 J , si x e [0; 5] d) f ( x ) = \ 2 ~ 2 , si x 6 ( - 00; 0) U { 5 ;+ 00) í (x - l ) 3 , si 0 < x < 2 e ) / ( x ) = -j 10 - x 2 , si 2 < x < 3 . - 2 , s i x < 0 V x > 3 9 6 IV A RELACIONES Y FUNCIONES í \ x + 3 | , si - 4 < x < 0 0 / ( x ) = j x [ x j , si 0 < x < 4 (S gn(x + 5), si |x | > 4 g) / ( * ) x + lx — 21 h ) / ( x ) = x 2 + S g n ( 2 x — 1)- 2 + x Sgn(x — 5) 0 /0 *0 = V 2 15x + 41 - 1 0 |[x] j) / ( x ) - x - Sgn ^ a/ 4 - [ x l 2 x 2 + 5x + 4 x 2 - 5x + 4 23. Si tres lados de un trapecio isósceles miden 10 cm. cada uno, halle el área del trapecio en función del cuarto lado. I Fig. 2.100 24. En un triángulo de 10 cm. de base y 6 cm. de altura está inscrito un rectángulo (Fig. 2.100). Exprese el área del rectángulo en términos de su base. 25. En la Fig. 2.101 se muestra un trapecio con las medidas indicadas. Exprese: a) y en función de x b) El área de la región R en términos de x 26. Escribir en forma analítica la función definida en el intervalo (—co; 6 ], si se sabe que su gráfica consta de los puntos del eje x cuyas abscisas son menores que —3; de los puntos de la parábola simétrica respecto al eje y que pasa por los puntos i4 ( - 3 ;0 ) , B ( 0; 5); y por los puntos del segmento de extremos C(3; 0) y D (6 ; 2). 27. Para construir una caja abierta, se cortan cuadrados de lado x pulgadas en las cuatro esquinas de un cartón de 24 x 32 pulgadas2 y se doblan los lados. Exprese el volumen de la caja en términos de x y halle el dominio de esta función. 28. Una caja cerrada de base cuadrada debe tener un volumen de 250 cm 3. Si se sabe que el material para la base y la tapa cuesta S/. 3 por cm 2, exprese el costo de construcción de la caja como una función de la longitud de su base. 9 7 29. Un agricultor estima que si se plantan 60 manzanas, la producción media por árbol será de 400 manzanas. La producción media decrecerá en 4 manzanas por árbol, por cada árbol adicional plantado en la misma extensión de terreno. Exprese la producción total del agricultor como una función del número adicional de árboles plantados. 30. Un fabricante de chompas de alpaca puede producir cada chompa a un costo de 3 dólares. Las chompas han sido vendidas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 4000 chompas al mes. El fabricante está planeando subir el precio de las chompas y estima que por cada dólar de aumento en el precio se venderán 400 chompas menos cada mes. Exprese el beneficio mensual del fabricante como una función del precio al que se venden las chompas. 31. Una compañía de microbuses está dispuesta a alquilar micros sólo a grupos de 30 personas o más. Si un grupo consta de 30 personas, cada uno paga 20 dólares. En grupos mayores de 35 y menores de 50, el precio por boleto se reduce en 2 dólares por persona. Si el grupo es de 50 o más, la empresa proporciona 4 asientos de bonificación aparte del descuento. Exprese el ingreso total de la compañía en función del tamaño del grupo, trace su gráfica e indique su dominio. 32. Una planta tiene una capacidad para producir de 0 a 2000 artefactos mensuales. Los gastos fijos de la planta son S/. 3200 y el costo variable (material y mano de obra) para producir un artefacto es de S/. 80. Escriba el costo total C(x) al producir x artefactos al mes y también el costo unitario u (x )(co sto medio por artefacto). Además, indique los dominios de estos modelos matemáticos. 33. En un terreno que tiene la forma de un triángulo rectángulo con catetos de 20 y 30 metros, se desea construir una casa rectangular de dimensiones x e y, como se indica en la figura: TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I a) Halle y en función de x. b) ¿Para qué valores de x e y el área ocupada por la casa será máxima? 98 34. Se estima que de aquí a t años el número de personas que visiten el Museo de La Nación será dado por N (t) = 3 0 t2 — 1 20t + 3000 a) Actualmente, ¿cuál es el número de personas que visitan el Museo de la Nación? b) ¿Cuántas personas visitarán el Museo en el décimo año? c) ¿En qué año será registrado el menor número de visitantes? 35. Un profesor de Cálculo I propone a un grupo de 40 alumnos de su sección un ejercicio desafío, comprometiéndose a dividir un premio de S/'. 120 entre los que resuelvan correctamente. Sea x el número de alumnos que resolvieron correctamente (x = 1, 2, ..... ,4 0 ) e y la cantidad recibida por cada alumno que ha resuelto correctamente (en nuevos soles), responda: a) ¿y es función de x? ¿Por qué? b) ¿Cuál es ¿1 máximo valor que y tiene? c) ¿Cuál es la ley de correspondencia entre x e y? d) ¿Cuál es el valor de y para x — 2 y x = 8? 36. La utilidad de una tienda por la venta de x unidades de un producto está dada por U( x ) = 100(10 — x )(x — 4) . Si la utilidad máxima se obtiene vendiendo n unidades y el valor correspondiente de la utilidad es u , halle el valor de n y de u. 37. Las gráficas de las funciones reales f y g se intersecan en un punto del primer cuadrante. Si / ( x ) = x + 7 y g ( x ) = —2x + k , donde k es una constante, entonces k satisface la condición: a) k > 7 b ) l < / c < 7 c) — 1 < A: < 0 d) — 7 < k < — 1 38. Un técnico de electrónica cobra S/. 50 por visita y S/. 40 por hora de trabajo. Si él trabajó x horas y recibió p nuevos soles, entonces: a ) p = 50x + 40 b) p = 50x + 90 c) p = 40x + 50 d) p = 150x 39. Una función que representa el valor a ser pagado después de un descuento de 4% sobre el valor x de una mercadería es: a ) / ( x ) = x — 4 b ) / ( x ) = 0,96x c ) / ( x ) = l,0 4 x d ) / ( x ) = —4x 40. El valor de una maquinaria decrece linealmente en el tiempo debido al desgaste. Se sabe que el precio de venta es US $ 7500 y que después de 6 años de uso su valor es US $ 1200. Su valor después de 4 años de uso, en dólares, es: a) 2100 b) 3300 c) 3180 d) 3750 41. Si /( V x + 6 V x) = Vx + 6 Vx + 20, x > 1. Halle / ( x ) e indique D¡. RELACIONES Y FUNCIONES 9 9 42. Sean /C x) = V x3 — 8 y g ( x ) = Vx — 1 . Halle el dominio y la regla de correspondencia de la función definida por F M = . 2flO ) - /X2») 43. Si / ( x ) = V^ + [10x1 y <700 = l / [ x 3 — 8J, halle el dominio y la regla f ( x ) de correspondencia de la función definida por tf(x) = 9 0 0 44. Determine el período de las funciones a) / 0 0 = V í 7 x l - 7 [x l b ) g ( x ) = 8 [x l - [ 8x 1 45. Verifique si las siguientes funciones son pares o impares. Justifique su respuesta. a) / ( x ) = - x 3 + x b) / ( x ) = |x | + 4 x 2 c) / ( x ) = - d) / ( x ) = x 3 - 2x 2 46. Sea A un conjunto simétrico con respecto al origen, esto es, si x 6 A, entonces —x £ A. Pruebe que para toda función / : A M: N ^ / 0 0 4- / ( - x ) . a) g ( x ) = --------- --------- es función par. u , l f > f M - f { - X ) r " . - a) n (x ) = --------- --------- es función im par. 47. Si / ( x ) = x 3 4- 2 y g ( x ) = x + a, determine el valor de a de modo que ( / 0 g )(3 ) = (g ° f ) ( a — 1). 48. Halle / ( x ) si a) g (x) = 1 - x 2 y f ( g { x ) ) = V i - x 2. b) 5 0 0 = 2x + 3 y /(¿ /O O ) = 4 x 2 + 12x + 9. 49. Si / 0 0 = 3x 4- 2a, determine los valores de a de modo que se cumpla: / ( a 2) = / " 1( a + 2). 50. Si / ( x ) = 2x 4- c y / ( c ) = 2 / - 1(c 2), encuentre el valor de / ( 1 ) TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I a) / ( 0 ) • / _1(0 ) b) 51. Si / ( x ) - , determine la regla de correspondencia de la función v x 3 -1 inversa e indique su dominio. 100 9 — x 2 52. Dada la función / ( x ) = --------- , x > 0. 4 - x ¿ a) Probar que f es inyectiva b) Determinar su función inversa c) Determinar el dominio de f ~ 1 53. Determine, si existe, la función inversa de cada una de las siguientes funciones: a) / 0 0 = Vx2 — 4 , x e (-co; - 2 ) b) / 0 0 = V2 - x - x 2 , x e [ - 2 ; 1] 54. Dada la función definida por: c >. f - x 2 , si x > 0 " t k l . si * < 0 Verifique si / tiene función inversa. En caso afirmativo, determine dicha función. 55. Dada la función / ( x ) = - V x 2 4- 6x - 7 , x e (-o o ; - 7 ] , halle la función inversa de / . 56. Si / ( t ) = í 2/í3 — 4 , t < 0, demuestre que / es inyectiva, halle / - 1 0 0 e indique su dominio. Además, determine si / es par o impar. 57. Dadas las funciones definidas por RELACIONES Y FUNCIONES f(x ) = Í V 3 S g n ( 9 - x 2) - x , x < —3 . f , 9 - x l [ 9 - x 2l , —3 < x < 0 ’ x - 5 Halle Cg ° indicando su dominio. 58. Dadas las funciones / y g definidas por: / ( * ) = . si x > 3 _ = * + 1 l [ x 2 - I I . s i 0 < x < 3 x - 4 Determine g ° f e indique su dominio. 1 - 1 6 x 2 4 59. Si / ( x ) = — — —- , 0 < x < l y 5C^) = x ¿ — 16 1 4- 16x 1 - — < x < 1 x + 16 16 determine f ~ 1 ° g ~ 1 e indique su dominio y rango. 60. Dadas las funciones definidas por: — 1 / 0 0 = — — — , s i x > 0 y x * 2 ; h( x) = Vx 4-1 5 (x) = V 16 - x 2 , s i x e [ 0 ; 4 ] ; FO0 = J x 2 — 1 101 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I a) Determine ( / ° g ) ~ l e indique su dominio. b) Esboce la gráfica de ( f o g ) _1. c) Determine h • ( / o g ) -1 . d) ¿Es inyectiva h - ( f ° g ) ~ l l e) Determine h _1 ° ( / ° g ) _1 e indique su dominio. 0 Determine F. ( / ° g ) ~ l e indique su dominio, g) Determine F ° ( / ° g )~ 1 e indique su dominio. ¿1 c ^ A _ I* + 8 | + Sgn(x2 - 10x + 9) 61. Sea f { x ) ------------------------------------------ , g ( x ) = x 2 + 4x — 45 y x - 1 J h( x ) = x 2 - 6 Sgn(x - 2) - 4. Calcule: ( / ° h){2) - ( / ° g ) ( 5) • (/i o g ) ( —9) 4 (g ° / ) ( 0 ) P ( f ° h o g X S - ) + ( g o f o h X 2 ) 62. Sea / ( x ) = (x — |x + 2| + 3)Vx + 2. Si existe, halle / _1(x). Sgn — 1^ 63. Sea / ( x ) = J ^ + ^ , x > l y 5 (x) = 4 - x 2, x < 0. Halle 5 _1 o / e indique su dominio. 64. Sea / ( x ) = V2 - x + J2 - x ] y g ( x ) = a) Halle ( / - g ) ( x ) e indique su dominio y rango. b) Halle ( / o g ) ~ 1(x) e indique su dominio. 65. Sean f : A - > B y g : B -> R dos funciones. Pruebe que: a) Si / y g son inyectivas, entonces g ° / es inyectiva. b) Si / y g son suryectivas, entonces g ° f es suryectiva. c) Si g o / es inyectiva, entonces / es inyectiva. d) Si g o f es sobre, entonces g es sobre. 66. La editorial Z vende un libro a 6 dólares cada uno y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6000 libros mensuales. El editor desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1000 libros menos cada mes. Si se sabe que el editor produce los libros a un costo de 4 dólares por libro, halle la función utilidad en términos del precio de venta por libro. 102 RELACIONES Y FUNCIONES 67. El costo total para producir x unidades por día del producto Z es soles y el precio de venta de una unidad es p = (30 — x ) soles. x 2 — + 20x + 5 i 2 a) Halle la función ingreso total. b) Halle la función utilidad. c) ¿Cuál es el costo medio p a ra x = 10? d) ¿Cuál es la función demanda? 68. Suponga que el costo total está dado por Ct = 10 + x, y el ingreso total por lt = lO x — 0,5x2 ¿Cuál es el valor de x para el cual se obtiene la ganancia máxima? 69. Determine el punto crítico y hacer gráfico en cada caso. a) lt = lOOx , Ct = 50 + 3x b) lt = lO x - 0,5 x 2 , Ct = 10 + x c) lt = 80x , Ct = 0 ,lx 2 + 5x + 200 70. Determine el punto de equilibrio y trace el gráfico en cada caso. Además, indique el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio (abscisa y ordenada, respectivamente, del punto de equilibrio). 1 0 - p 500 a) D = — -— , O = p + 1 b) D = ------— + 8 0 . 0 = 50 + 2p 5 p + 10 71. La piscina mostrada en la Fig. 2.102 tiene 4 pies de profundidad mínima, 10 pies de profundidad máxima, 60 pies de largo, 40 de ancho y el fondo es un plano inclinado. Exprese el volumen V del agua contenido en la piscina en función de la altura del nivel del agua desde el extremo más profundo. Fig. 2.102 i 72. La relación funcional entre grados Celsius (7’c) y grados Farenheit (Tf) es lineal. Exprese 7y en función de Tc , si (0°C; 32°F) y (60°C; 140°F) están en la gráfica de Tf . Demuestre que 100°C es equivalente al punto de ebullición en escala Farenheit de 212°F. 103 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 73. Resuelva los siguientes ejercicios: a) Si / es una función periódica, de período t = 5 y / ( 3 ) = 6 . halle / ( - 2 2 ) . b) Dada una función / con dominio [—8:9] y una función h definida por h( x) = / ( x ) + / ( —x), determine si h es una función par, impar o ninguna de éstas. c) Si / y g son funciones reales impares con dominio Df = [—20; 20] y Dg = [ - 5 ; - 2] u [2; 5], respectivamente, ¿entonces / + g es también una función impar? d) Sí g { f ( x ) ) = x + 8 y f ( x ) = x + 2 b , halle g ( x ) y determine si existe algún valor de b para el cual g { x ) sea la función identidad. e) Dada una función f de la forma / ( x ) = ,J \ x — a | — 2 + b , tal que / ( 4 ) = 10 y / ( 3 ) = b + 2 , halle / ( 2 ) (dos soluciones). 74. Dado un cuadrado ABCD, cuyo lado mide lOu, se traza una recta perpendicular a su diagonal BD, la cual divide al cuadrado en dos polígonos. Determine una función que exprese el área del polígono que incluye al vértice B en función de x, donde x es la distancia de B a la recta perpendicular a BD. Además, indique su dominio. R A (x) — í X ‘ 0 < x < (100 — (10V2 — x ) 2 , 5a/2 < x < IOa/2 75. Un fabricante estima que su costo de producción es C( x ) = 12x + 3600, donde x es el número de unidades vendidas al mes. La ecuación de demanda es x + p = 324, donde p es el precio unitario en soles. Determine i) El ingreso como una función de x. ií) La gráfica de la función ingreso. iii) El menor número de productos que debe vender para no perder dinero. 76. Un hombre camina sobre un puente, que está a 20 pies de altura sobre el nivel del agua, con una velocidad de 10 pies/seg, mientras que un bote pasa bajo el puente con una velocidad de 20 pies/seg. En un instante determinado, el bote está precisamente bajo el hombre. Halle una función que nos dé la distancia entre el hombre y el bote en función del tiempo, t segundos después de que el hombre estuvo sobre el bote. 77. En la Fig 2.103 se muestran las posiciones relativas de un avión y una torre de control de 40 pies de alto. El inicio de la pista se encuentra a una distancia de 600 pies de la base de la torre, sobre la perpendicular hacia la pista. Exprese la distancia d de la aeronave a la torre de control como una función de la distancia x que el avión ha recorrido sobre la pista. RELACIONES Y FUNCIONES 4*0 'Iv 1 r \ / Posada próximo a la playa, con comodidades hasta para 8 personas / \ 6 0 0 / \ / V\ / Costo por dia: SI. 150, más pensión opcional . 'V - í — (Si. 10 nuevos soles ~ por persona) Fig. 2.103 78. La familia del señor Luis quedó tan entusiasmada con el anuncio encontrado en una playa del sur, dado en la figura 2.104, que se quedó 10 días en dicha playa. Entre pensión y costo de la posada, gastaron en total 2100 nuevos soles. a) Exprese el gasto de la familia en función del número de personas b) Descubra cuántas personas de la familia estuvieron en la playa R. 6 79. En el cuadrado ABCD, con 8 cm de lado, determine: a) El área de la figura sombreada en función de x. b) El valor de x para que dicha área sea máxima. R. 4 c) El área máxima. R- 48 cm 2 80. La utilidad de una empresa es dada por £/(x) = —3 0 x 2 + 360x - 600, donde x es el número de unidades vendidas ¿Para qué valor de x la utilidad es máxima? ^ 105 81. El precio de servicio ejecutado por un pintor de casas consiste en una tasa fija, que es de S/. 15, más una cantidad que depende del área pintada. La siguiente tabla muestra algunos presupuestos presentados por el pintor: TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Área pintada (en m 2) Total a pagar (en nuevos soles) 5 45 10 55 15 75 25 115 30 135 50 215 70 295 a) ¿Cómo se expresa, matemáticamente, el total a pagar (y) por la pintada de x metros cuadrados? R. 15 + 4x b) ¿Cuál es el precio cobrado por la pintada de un área de 200 cm 2? R. S/. 815 c) ¿Cuál es el área máxima que puede ser pintada si se dispone de S/. 1215? R. 300m 82. Un profesor de matemática disponía de 144 caramelos para dividir igualmente entre los alumnos de su clase. Como el día de la distribución faltaron 12 alumnos, él dividió los 144 caramelos de manera equitativa entre los presentes, tocándole a cada alumno un caramelo más. ¿Cuántos alumnos estaban presentes el día de la distribución? R. 36 83. Se desea construir un tanque horizontal de acero, con el fin almacenar gas propano, que tenga forma de cilindro circular recto de 10 m de largo, con una semiesfera en cada extremo. Expresar el volumen V del tanque en función del radio de la semiesfera (r). R. 1 0 n r 2 + - n r 3 3 84. Un rectángulo ABCD, cuyo perímetro es 60 m, gira en torno de su lado AB y genera un cilindro circular recto. Exprese el volumen V de este cilindro en función de la longitud x del lado AB y determine el dominio de V(x). R. rrx(30 - x ) 2 ; (0 :3 0 ) 85. La tarifa de energía eléctrica es de 3 nuevos soles por cada Kw hasta los primeros 200 Kw. Luego, por cada Kw adicional por encima de 200, la tarifa es de 4 nuevos soles. Así, por ejemplo, si en una casa se consumen 250 Kw en un mes, el pago por el consumo sería calculado asi: Los primeros 200 K w ............ 3 x 200 = S/. 600 Los 50 Kw adicionales........... 4 x 5 0 = S/. 200 TOTAL : S/. 800 Si en una casa se consume x Kw al mes, exprese el pago P ( x ) por consumo de energía eléctrica en función de x. 106 RELACIONES Y FUNCIONES R. P( x) f 3 x , (600 + 4 (x - 2000, 0 < x < 200 x > 2.00 86. E! valor total cobrado por un electricista A incluye una parte fija que corresponde a gastos de transporte, tiempo invertido, etc.; y otra parte que depende de la cantidad de metros de cable utilizado en el servicio. La gráfica que se presenta a continuación representa el valor del se "' io efectuado en función del número de metros de cable utilizado. Asumiendo que los modelos son lineales, responda: a) ¿Cuál es el valor de la parte fija cobrada por el electricista A ? b) Suponga que el precio cobrado por un segundo electricista B depende únicamente del número de metros del cable utilizado, sin cobrar la parte fija. Si el precio del servicio es de S/. 4 por metro de cable utilizado, ¿a partir de qué metraje debe el consumidor preferir el servicio del electricista A en vez del servicio del electricistavB»? R. a) S/. 32 b) 16m