Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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RAZONAMIENTO MATEMATICO EJERCICIOS DEL TERCER BIMESTRE DE QUINTO DE SECUNDARIA EN WORD

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Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su hijo primogénito que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte de la de su padre. Y con pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llego la muerte?. B) Desarrollo: Analice los problemas explicados y saque sus propias conclusiones: Problema (1): Vamos ha desarrollar el problema que trata de la biografía de Diofanto (redactado en la parte inicial). ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuan larga fue su vida, x cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. x / 6 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubrióse su barbilla. x / 12 Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. x / 7 Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito. 5 Que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte de la de su Padre. x / 2 Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo: 4 Entonces: x=x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5+x / 2 + 4 Para responder a la pregunta ¿Cuántos años vivió Diofanto cuando le llegó la muerte?, solo basta resolver la ecuación formulada al final. Así: Sacamos MCM de todos los denominadores, incluyendo el segundo miembro: 84 Dividimos el MCM entre todos los denominadores y multiplicamos por sus respectivos denominadores. Resulta: 84x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 Transponiendo términos : 84x – 75x = 756 9x = 756 x = 84 Respuesta: Diofanto vivió 84 años cuando le llegó la muerte. PRÁCTICA DE CLASE NIVEL I: 01. La tercera parte de la diferencia de un número con 5 es igual a la cuarta parte del mismo número más 2. Hallar el número. a) 40 b) 42 c) 44 d) 45 e) 30 02. Encontrar el mayor de tres números enteros consecutivos pares que sumados den 120. a) 40 b) 42 c) 44 d) 45 e) 30 03. Cuál es el número cuyos 2/ 3 ; disminuido en 2 es igual a sus 3/ 5, aumentado en 3? a) 45 b) 60 c) 55 d) 75 e) 65 04. El mayor de dos números es 10 más que 5 veces el menor. Si su suma es 28. Dar como respuesta el producto de ambos. a) 65 c) 72 e) 75 d) 82 e) 85 05. Separa 900 soles en dos partes de modo que la primera parte sea 300 soles menos que el doble de la segunda parte. Hallar la primera parte. a) 500 b) 520 c) 550 d) 570 e) N.a. 06. La diferencia entre dos números consecutivos impares es igual al doble del menor, disminuido en 8. Hallar el mayor: a) 7 b) 8 c) 9 d) 8,5 e) N.a. 07. Si un número entero, se le suma el doble de su consecutivo, se obtiene 41. Hallar la semisuma de dichos números. a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 08. El segundo de dos números es 20 menos que 4 veces el primero. Su suma es 15. Dar como respuesta los números. a) 5 y 6 b) 6 y 7 c) 7 y 8 d) 8 y 9 e) N.a. 09. El segundo de tres números es igual a 6 veces el primero. El tercero es uno más que el segundo. Si la suma de los tres números es 53. Hallar el mayor. a) 25 b) 30 c) 20 d) 35 e) 40 10. El menor de dos números es 3menos que el mayor, si al mayor se le disminuye en el doble del más pequeño, el resultado es -9. Encontrar el mayor. a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 10 11. Se han repartido chocolates entre cierto número de niños; dando a cada uno 4 chocolates sobrarían 2; pero dando a cada uno 6 chocolates faltarían 8. Hallar el número de niños y el número de chocolates. a) Niños = 3 ; chocolates = 4 b) Niños = 5 ; chocolates = 2 c) Niños = 3 ; chocolates = 2 d) Niños = 5 ; chocolates = 4 e) N.a. 12. Benilde recibió 200 soles, tuvo entonces 3 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 200 soles. ¿Cuánto tenía al principio? a) 350 b) 400 c) 450 d) 370 e) 420 13. El quíntuplo de un número, más 8 es igual al triple del mismo número aumentado en 6. Hallar dicho número. a) – 1 b) 0 c) 1 d) 1,5 e) N.a. 14. La quinta parte de un número aumentado en 6, excede en 4 a la sexta parte del mismo número aumentado en 8. Hallar dicho número. a) 140 b) 160 c) 180 d) 240 e) 280 15. El triple de un número, disminuido en 1 es a 4 como el doble del mismo número, aumentado en 1 es a 3. Hallar dicho número. a) 5 b) 7 c) 9 d) 3 e) 4 16. Encontrar el menor de 4 números enteros consecutivos, de tal modo que el triple del tercero menos el segundo dé el último. a) 1 b) 2 c) 0 d) – 1 e) – 2 17. Tres hermanos: Carlos, Manuel y Edwin recibieron una herencia. Carlos y Manuel recibieron en común 36 mil soles, lo correspondiente a Carlos y Edwin ascendería a 38 mil soles y la parte de Manuel junto a la de Edwin asciende a 42 mil soles. ¿Cuánto recibió Carlos? a) 18800 b) 17000 c) 16000 d) 15400 e) 1500 18. ¿Cuál fue la longitud de la tela si a pesar de haberse ya vendido una tercera parte más la cuarta parte más la sexta parte aún sobran 30m de tela? a) 80 b) 100 c) 120 d) 140 e) N.a. 19. Hace 10 años la edad de “A” era los 3 / 5 de la edad que tendrá dentro de 20 años. Hallar la edad actual de “A”. a) 55 b) 60 c) 65 d) 70 e) N.a. 20. En una fiesta, la relación de mujeres a hombres es de 4 a 3; en un momento dado se retiran 4 damas y llegan dos hombres con lo que la relación es ahora 6 a 5. Indicar cuántos hombres deben llegar para que la relación sea 1 a 1. a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) N.a. 21. Gaste los 2/ 3 de lo que no gasté y aún me quedan S/. 20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenia? . a) 70 b) 80 c) 90 d) 100 e) 110 22. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios notamos que 55 leen Comercio y Expreso; 35 leen Expreso y Extra y 60 leen Comercio y Extra. ¿Cuántas personas leen los tres diarios? a) 15 b) 20 c) 25 d) 10 e) 30 NIVEL II: 01. 300 empleados deben cobrar S/. 25 200, pero como algunos de ellos se retiran; el resto tiene que cobrar S/. 140; cada uno. ¿Cuántos se retiraron? a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 02. De los S/.60 que tenía; si no hubiera comprado un regalo que me costo S/. 16 ; tan sólo hubiera gastado los 2/ 3 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gaste? a) 20 b) 32 c) 40 d) 24 e) 36 03. Perdí el doble de lo que aún tengo; de no ser así, cuando compre un libro de S/. 32 me hubiera sobrado tanto como hoy me falta. ¿ Cuánto tenía? a) 36 b) 48 c) 32 d) 42 e) 50 04. Una sandía pesa 4 kg. más media sandía. ¿Cuánto pesa sandía y media? a) 6 b) 8 c) 10 d) 9 e) 12 05. ¿Qué número es tanto más del cuadrado de la mitad de 20 como tanto menos de la mitad del cuadrado de 20? a) 150 b) 200 c) 100 d) 300 e) 250 06. Un padre reparte su fortuna entre sus hijos dándole S/. 480 a cada uno; debido a que dos de ellos renunciaron a su parte; a cada uno de los restantes les tocó S/. 720. ¿Cuántos son los hijos? a) 8 b)7 c) 5 d) 6 e) 4 07. Con S/: 120 se compraría cierto número de libros, si el precio de cada uno aumento en S/. 2 se compraron 3 libros menos. ¿ Cuántos libros compraron? a) 10 b) 12 c) 15 d) 13 e) N.a. 08. Dos amigos A y B están jugando a los naipes, acuerdan que el que pierda dará al otro S/. 2. Si después de 13 juegos consecutivos A ha ganado S/. 10. ¿ Cuántos juegos ha ganado B?. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 09. La cabeza de un pescado mide 20 cm, la cola tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado? a) 150 cm b) 120 cm c) 130 cm d) 140 cm e) N.a. 10. Los animales que tiene Pepita son todos perritos menos 5; todos gatitos menos 7 y todos loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Una cantidad de S/. 580 se pagan con billetes de S/. 100 y S/. 20. ¿Cuántos se han dado de S/. 100, si los billetes de s/. 20 son 5 más que los de S/. 100?. a) 6 b) 4 c) 8 d) 9 e) N.a. 12. Si subo una escalera de 5 en 5, doy 4 pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 120 b) 230 c) 165 d) 260 e) 80 13. Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 15 b) 14 c) 19 d) 40 e) 20 14. Una persona sube una escalera de tal manera que por cada 7 pasos que avanza retrocede 3; dando un total de 207 pasos. ¿Cuántos pasos fueron de retroceso? a) 60 b) 84 c) 76 d) 92 e) 56 15. En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta –1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía tres correctas. ¿Cuántas contestó incorrectamente? a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 16. A, B y C tiene en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad; pero si “a” le diera la mitad a “B” entonces “B” tendría la misma cantidad que “C”. ¿Cuántos limones tiene “B”? a) 28 b) 56 c) 42 d) 48 e) 64 17. Si el perímetro de un cuadrado se reduce en 40m, entonces su área se hace igual a 9/16 del parea inicial. Determina el perímetro del cuadrado original. a) 160 m b) 140 m c) 120 m d) 180 m e) 200 m 18. Si tuviera el doble de lo que no he perdido me compraría lo que cuesta el triple de lo que tengo menos 300 soles. ¿Cuánto tenía si perdí S/. 200?. a) 600 b) 700 c) 400 d) 500 e) 800 19. Dame S/. 2 y tendré tanto como tú tengas; pero si te doy S/. 3 tú tendrás el doble de lo que yo tenga. ¿Cuánto tienes?. a) 13 b) 17 c) 12 d) 16 e) 18 20. En un corral hay conejos y gallinas; si el doble de ojos es 20 menos que el doble de patas. ¿Cuántos conejos hay? a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 1 01. Jessica le pregunta a Patricia: ¿Cuántos caramelos tienes? y Patricia le responde “tengo tantas decenas como el número de centenas más 180”. ¿Cuántos pares de caramelos tiene Patricia? a) 500 b) 1000 c) 890 d) 340 e) 200 02. En un terrero de forma rectangular el largo excede en 6 metros del ancho; si el ancho se duplica y el largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno? a) 34 b) 98 c) 52 d) 87 e) 25 03. En una reunión el número de hombres es al total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre hombres y mujeres es 24. Si se retiran 33 mujeres. ¿Cuál será la relación entre el número de hombres y mujeres? a) 1/2 b) 4/3 c) 9/8 d) 8/7 e) 10/8 04. Rommel le pregunta a Lucho qué hora es, y éste le responde: “Lo que ha transcurrido del día es el quíntuplo de lo que falta para la medianoche”. ¿Qué hora es? a) 20 : 00 h b) 16 : 00 h c) 13 : 00 h d) 09 : 50 h e) 11 : 00 h 05. Del dinero que tengo, gasto la mitad de lo que no gasto y luego pierdo el doble de lo que no pierdo. Si sumo lo que gasto y pierdo obtendría 1400. ¿Cuánto más perdí que gasté? a) 500 b) 250 c) 800 d) 350 e) 200 06. Se ha ofrecido a 20 parejas de novios dos pavos por pareja. Si en el momento de la repartición se observa que habrían desaparecido cierta cantidad de pavos, ordenándose a traer tantos pavos como la mitad de los que quedaron, más 4 pavos. ¿Cuántos pavos se ordenaron traer? a) 12 b) 34 c) 16 d) 45 e) 90 07. En una asamblea todos deben votar a favor o en contra de una opinión. En una primera rueda los que votaron en contra ganaron por 20 votos en una segunda vuelta se aprobó por una diferencia de 10 votos. ¿Cuántos asambleístas cambiaron de opinión? a) 15 b) 11 c) 92 d) 26 e) 29 08. Yo tengo el cuádruple de lo que tienes. Si tu tuvieras S/. 5 más de lo que tienes, yo tendría 2 veces más de lo que tú tendrías. ¿En cuánto se diferencia nuestras cantidades ? a) 24 b) 30 c) 80 d) 50 e) N.a. 09. En una ciudad se observa que existen 5 gatos por cada dos ratones, pero un virus elimina 5 ratones por cada dos gatos, sobreviviendo 84 gatos pero ningún ratón. ¿Cuántos ratones había inicialmente? a) 42 b) 58 c) 96 d) 40 e) 75 10. Un terreno rectangular mide 40 metros de largo por 26 metros de ancho. Si a ambas dimensiones aumentamos “x” metros de modo que el área aumenta 432 metros cuadrados. ¿Cuál es el valor de “x” ? a) 8 b) 12 c) 18 d) 6 e) 9 11. Una pieza rectangular de papel de 30 cm. por 100 cm. se agrandará para formar otro rectángulo de área igual al doble de la original, para ello se añade una tira de igual ancho en todos los bordes. Hallar el ancho de la tira en metros. a) 0,8 b) 10 c) 0,6 d) 0,9 e) 0,2 12. Expedicin : Planeta “L” Biólogo : Profesor “K” Informe : “El tercer día vimos seres extraños, aunque tienen 20 dedos en total como nosotros, tienen una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad, lo que les da un cierto aspecto espantoso. ¿Cuántas extremidades tienen los seres del planeta “L”? a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 2 13. La fachada de una casa tenía 25 huecos entre puertas balcones y ventanas ; 3 de las ventanas se transformaron en balcones y entonces el doble del número de balcones era el quíntuplo del número de ventanas. ¿Cuántos huecos de cada clase había primitivamente en la fachada, sabiendo que el número de ventanas era múltiplo de 3?. Dar como respuesta el menor. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Un asunto fué sometido a votación de 600 personas y se perdió, habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fué ganado el caso por el doble de votos por el que había perdido y la nueva mayoría fué con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión ? a) 150 b) 300 c) 450 d) 240 e) 125 15. Se tiene 72 litros de vino distribuido en tres vasijas A, B y C con el objeto de que cada una de ellas tenga la misma cantidad, se hace lo siguiente: Con parte del vino contenido en A se doblan los contenidos de B y C; después de esta operación se doblan los contenidos de A y C con vino de B, y por último, con vino de C se doblan los contenidos de A y B. ¿Cuántos litros de vino contenía la vasija B ? a) 20 b) 25 c) 24 d) 30 e) 21 16. A un empleado le ofrecen S/. 1000 más una sortija por un año de trabajo, luego de 4 meses de trabajo el empleado, se retira con S/. 320 más la sortija. ¿Cuánto valía la sortija? ( En S/. ) a) 38 b) 20 c) 30 d) 56 e) 90 17. Ciento cuarenta y cuatro manzanas cuestan tantos soles como manzanas dan por S/. 169. ¿Cuánto vale dos docenas de manzanas ? ( En S/. ) a) 26 b) 85 c) 15 d) 40 e) 62 18. Un grupo de abejas cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo el enjambre se posó sobre un jazmín, habiendo dejado atrás a 8/9 de todo su enjambre; solo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en torno a un loto, atraída por el zumbido de una de sus amigas del mismo enjambre que cayó imprudentemente a la trampa de la flor. ¿Cuántas abejas pertenecen al grupo inicial? a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 19. Renato y Fabricio en uno de sus viajes trajeron 8 y 5 docenas de vino de la misma calidad respectivamente, tienen que pagar impuestos pero como no cuentan con dinero, Renato paga con 6 botellas y le dan 30 soles de vuelto. Fabricio paga con 4 botellas y recibe 32 soles de vuelto. Determinar el costo de una botella de vino (En soles ) a) 100 b) 75 c) 53 d) 85 e) 47 20. En una reunión el número de damas excede en 12 al de varones, además si se retiran la quinta parte de damas y la tercera de varones quedan 58 personas. ¿Cuántas damas habían inicialmente? a) 29 b) 45 c) 34 d) 58 e) 96 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 2 01. Tres amigos suben a una báscula de dos en dos, José y César suman 173kg, José y Miguel 152 kg. Mientras que entre César y Miguel pesan 165 kg. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? I. José no es el que pesa más, ni el que pesa menos. II. César excede en 13 kg al peso de Miguel. III. Juntos, los tres pesan 490. a) sólo I b) sólo II c) II y III d) I y II e) I y III 02. Elvia le dice a Albert: si al duplo de la edad de mi sobrina, se le aumenta 7, para luego dividirlo entre 5, este resultado sería igual a la cuarta parte del exceso del triplo de dicha edad con respecto a 7. ¿Cuál es la edad de Elvia si cuando su sobrina nació ella tenía 15 años. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 03. ¿Qué hora es? Si la mitad del tiempo transcurrido desde las 8 horas es igual a la quinta parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 22 horas? a) 10h b) 11h c) 12h d) 14h e) 15h 04. Gasté los 5/6 de mi dinero. Si en lugar de gastar los 5/6 hubiera gastado los 3/4 de mi dinero, tendría ahora 18 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto gasté? a) 1/5 b) 1/2 c) 108 d) 180 e) 216 05. La suma de dos números impares consecutivos es igual a 1/11 del menor más 13/7 del mayor. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es falsa? I. El menor es mayor que 28 en 7 unidades. II. El mayor disminuido en 10 es un cuadrado perfecto. III. La suma de dichos números es . a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 06. Dos parejas de enamorados convienen en jugar “quien conteste más preguntas a su respectiva pareja”, durante 5 min. seguidos. La pareja que pierda dará S/.10 a la pareja ganadora. Si después de 1h y 15 min. de juego la segunda pareja ha ganado S/.90. ¿Cuántos eventos ganó? a) 10 b) 9 c) 14 d) 12 e) 8 07. El consumo de un auto en ciudad es de 12 km por litro, en cambio en carretera es de 16 km por litro, si se realizó un viaje de 220 km y se gastaron 16 litros, entonces la razón entre los litros que se gastaron en carretera y los litros que se gastaron en ciudad es: a) 2:7 b) 3:7 c) 4:7 d) 5:7 e) 7:9 08. En una prueba de 30 preguntas cada respuesta correcta vale 4 ptos, la incorrecta (-1). Si un estudiante obtuvo 82 ptos, y observó que por cada respuesta en blanco tenían 3 respuestas correctas. ¿Cuántas incorrectas contestó? a) 7 b) 2 c) 11 d) 14 e) 3 09. El perímetro de una sala rectangular es 56m. Si el largo se disminuye en 4m, y el ancho se aumenta en 8m. La sala se hace cuadrada. Hallar las dimensiones de la sala rectangular. a) 20m y 6m b) 22m x 12m c) 20m x 8m d) 18m x 10m e) 13m x 18m 10. Con cierta suma de dinero, Pepe quiso comprar un determinado número de libros, pero al ver que el precio había bajado en 2 soles, compró 4 libros más por la misma suma. Si el número de soles por cada libro y el número de libros que compró suman 16. Son verdaderas: I. Gastó 48 soles en dicha compra II. Compró 8 libros III. Si quisiera comprar 10 libros gastaría 40 soles. a) sólo I b) I y II c) sólo II d) I y II e) Todas 11. En una reunión inicialmente se observa que por cada 7 varones habían 5 mujeres, pero luego llegaron 16 varones y a la vez se retiraron 5 parejas; por lo que ahora por cada 2 varones hay una mujer. ¿Cuántos varones más que mujeres hay ahora? a) 14 b) 18 c) 24 d) 26 e) 30 12. En una reunión habían tantas chicas por cada chico, como chicos habían. Si en total hay 420 personas entre chicas y chicos. ¿Cuántas chicas quedaron luego que cada uno de la mitad de chicos se retiren acompañadas de 4 chicas? a) 260 b) 360 c) 320 d) 300 e) 240 13. En una reunión unos juegan otros bailan y la cuarta parte se dedica a charlar. Si 6 dejan el baile por la charla, resulta que ahora el número de los que charlan es igual a los que juegan y bailan juntos. Son ciertas: I. Son 24 las personas. II. Inicialmente son 8 los que bailan. III. Hay ahora 6 jugando. a) Sólo I b) I y II c) II y III d) Sólo III e) Ninguna 14. Un ganadero compró 30 caballos más que vacas y tantos cerdos como vacas y caballos juntos pagando por las vacas el doble que por los caballos, además por dos vacas pagó tanto como por 7 cerdos y gastó lo mismo en vacas como en cerdos. ¿Cuántos animales compró? a) 10 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 15. Jorge le dice a Víctor: “Todas mis amigas son morenas menos 8, además todas son rubias, menos 7. ¿Cuántas amigas tengo? Víctor le responde: “Falta un dato”, a lo que Jorge dice ¡Cierto! Sólo 3 de ellas no son pelirrojas y hasta ahora sólo he conocido rubias, morenas y pelirrojas. a) 3 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10 16. Un estudiante salió de vacaciones por “n” días tiempo durante el cual: I. Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde. II. Cuando llovía en la tarde estaba despejada la mañana. III. Hubo 5 tardes despejadas. IV. Hubo 6 mañanas despejadas. Según esto, tales vacaciones duraron: a) 7 días b) 9 c) 12 d) 13 e) 15 17. Cada día un alumno escribe 1/3 de las hojas en blanco que tiene su cuaderno, más 2 hojas. Si después de 3 días consecutivos le quedan aún 2 hojas en blanco, podemos afirmar: I. El primer día tenía 21 hojas en blanco II. Escribió 38 páginas III. Al inicio tenía 132 hojas en blanco. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 18. ¿Qué día y hora del mes de Abril, se verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año? (en un año bisiesto) a) 9 Abril ; 3:00 a.m. b) 10 Abril ; 3:00 a.m. c) 8 Abril ; 4:00 a.m. d) 9 Abril ; 5:00 a.m. e) 8 Abril ; 3:00 a.m. 19. Juan y Pablo, con hijos Tom y Dick compran libros. Cuando han terminado se comprueba que c/u ha pagado por cada uno de los libros un número de soles igual al número de libros que ha comprado. Cada familia gastó S/.65. Juan compró un libro más que Tom y Dick compró un sólo libro. Son ciertas: I. Juan compró 8 libros II. Juan es padre de Dick III. Tom es hijo de Pablo a) sólo I b) sólo II c) sólo III d) I y II e) Todas 20. Dos comerciantes importan 6 y 4 docenas de Whisky respectivamente, una vez en la aduana se enteraron que debían pagar impuestos; como tenían poco dinero, el primero paga con 5 botellas más 114 soles y el segundo paga con 3 botellas más 126 soles. Podemos afirmar: I. Cada botella tiene un precio de 138 soles. II. El impuesto de cada botella es 12 soles. III. La diferencia de impuestos totales es 264 soles. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) Todas e) Ninguna TAREA DOMICILIARIA 01. Un hambriento caminante, encuentra a dos pastores que se disponen a compartir con él los panes que iban a comer. Uno de los pastores tenía 5 pares y el otro 3. Todos comieron por igual. Al partir, el caminante les dejó 8 monedas para que se repartan. ¿Cuántas monedas les tocó a cada uno? a) 5 y 3 respectivamente b) 4 a cada uno c) 7 y 1 respectivamente d) 6 y 4 respectivamente e) N.a. 02. Una piscina tiene una capacidad total de 100 litros; un cierto día tenía agua s ólo hasta sus 3/4 partes. Si ese día extraemos con una cubeta la quinta parte de lo que había. ¿Cuántos litros de agua serían necesarios ahora para llenar la piscina? a) 75  b) 60  c) 40  d) 25  e) 30  03. Al preguntársele a un postulante que parte del examen ha resuelto, éste responde: "He contestado los 4/5 de lo que no contesté", ¿qué parte del examen ha contestado? a) 4/9 b) 1/4 c) 1/5 d) 3/5 e) 5/9 04. De un depósito se ha extraído dos veces 1/4 de su contenido, si al final tengo 3/8 del depósito. ¿Qué fracción del depósito estaba lleno al principio? a) 1/3 b) 2/3 c) 1/4 d) 3/4 e) 2/5 05. En una aula de 30 alumnos, las 2/3 partes tienen buzos deportivos. ¿Qué fracción de los que tienen buzos, no tiene buzo? a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 3/2 I) OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Relacionar correctamente las edades de unas o más personas en el transcurso del tiempo. • Orientar y desarrollar las formas de resolución (Planteo de Ecuaciones) en la aplicación a problemas sobre edades. • Usar adecuada y convenientemente el cuadro de doble entrada en el proceso de ordenamiento y relación de los datos. Introducción: Veremos a continuación problemas sobre edades, entendiendo que para su correcta solución generalmente se ordenan y relacionan los datos y se plantea enseguida la ecuación para su posterior resolución. Evidentemente que en cuanto sea posible anteponer criterios lógicos, practicaremos formas sencillas de resolución en comparación con los métodos tradicionales. Tipo (I) Cuando interviene la edad de un solo sujeto Algunas consideraciones 01. Si actualmente una persona tiene “a” años, entonces hace “n” años tenía (a - n) años y dentro de m años tendrá (a + m) años. Ejemplo: Si actualmente una persona tiene 27 años, ¿Qué edad tenía hace 15 años y cuántos años tendrá dentro de 20 años? Resolución: 02. Si hace n años un sujeto tenía b años, actualmente tendrá (b + n) años. Ejemplo: Si hace 35 años, Juan tenía 12 años. ¿Cuantos años tiene actualmente? Resolución: 03. Si dentro de “m” años un sujeto tendrá “c” años, entonces actualmente tiene (c – m) años. Ejemplo: Se sabe que dentro de 12 años Carmen tendrá 27 años. ¿Cuántos años tiene actualmente? Resolución: Tipo (II) Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos Para resolver los problemas donde intervienen dos o más sujetos, es recomendable hacer uso del siguiente cuadro: En el cuadro se cumple las siguientes relaciones con las edades. Donde: Sujetos: Son las personas, animales u objetos cuyas edades intervienen en el problema. Tiempo: Es el tiempo al cual corresponde la edad del sujeto, que puede ser: pasado, presente o futuro. En un mismo problema puede haber más de un pasado o más de un futuro. Por ejemplo: “Dentro de 10 años” y “Dentro de 5 años” se refiere a dos futuros distintos. Si en un enunciado se indica exactamente dentro de a años o hace b años entonces, en el cuadro se pondrá: “Dentro de a años en lugar de “futuro” y “hace b años” en lugar de pasado. También se pueden usar los términos “tengo”, “tienes”, “tenía”, “tendré”, “tendrás”, etc.; en lugar de “pasado”, “presente” o “futuro”, siempre que represente mejor el enunciado del problema. Condiciones: Son los enunciados que indican las relaciones existentes entre las edades de los sujetos. Ejemplos: “La suma de edades es “ .....”; “tengo el doble de la edad que tienes”. “Sus edades están en la relación de ....” etc. Las condiciones permiten llenar el cuadro con las edades o en todo caso permiten plantear ecuaciones con las edades PROBLEMAS RESUELTOS 01. Actualmente una persona tiene 28 años, ¿Cuántos años tendrá dentro de 11 años? Resolución: +11 Ahora Dentro de 11 años 28 39 Rpta. Tendrá 39 años. 02. Dentro de “x + y” años Pedro tendrá “3x – y” años. ¿Cuántos años tuvo hace “y –2z” años. Resolución: Hace “y – 2z” Actual Dentro de “x+y” – (y – 2z) – (x+y) (2x - 3y + 2z) (2x – 2y) (3x – y) Rpta. Tuvo “2x – 3y – 2z” años. 03. Paco le pregunta a Pepe por la edad de su loro, éste le responde: “Hace 4 meses que tendrá la cuarta parte de los meses que tendrá dentro de 8 meses”. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el cuádruple de los meses que tenía hace 3 meses? Resolución: * Hallaremos primero la edad actual del loro: Hace 4 meses Actual Dentro de 8 meses – 4 + 8 (x – 4) x (x + 8) De: “................................... tenía la cuarta parte De ...........................................“ 4x – 16 = x + 8 * Entonces, hace 3 meses tenía 8 - 3 = 5 meses. Hace 3 meses Actual Dentro de x años – 3 + x 5 8 4 (5)=20 Del esquema: x + 8 = 20 Rpta. Dentro de 12 meses. 04. Juan le dice a Manuel: Actualmente tengo el triple de tu edad; pero dentro de 12 años tendré sólo el doble. ¿Qué edad tengo? Resolución: Elaboramos un cuadro teniendo en cuenta, el número de personas que intervienen, la cantidad de expresiones que indican tiempos y las condiciones (relaciones entre las edades), éstas generarán las ecuaciones que permitirán resolver el problema. Presente Dentro de 12 años Juan 3x ................................ Manuel x ................................ J = 2M  condición * Completamos las edades Presente Dentro de 12 años Juan 3x (3x + 12) Manuel x (x + 12) J = 2M  condición * De la condición (futuro): J = 2M; reemplazamos las edades respectivas. (3x + 12) = 2(x + 12) Rpta. Juan: Tengo 36 años. 05. Jorge le dice a María: “Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la edad que tengo y sabes que cuando tenía 10 años; tú tenías la edad que tengo. ¿Cuánto suman las edades actuales de Jorge y de María? Resolución: *Elaboramos un cuadro adecuado, teniendo en cuenta que las edades que tenemos como datos no son numéricos, son valores desconocidos y tendremos que representarlas por variables adecuadamente. Pasado Presente Futuro Jorge Manuel NOTA IMPORTANTE: El tiempo que transcurre para una persona, transcurre también para las demás personas. * Entonces, planteamos las siguientes ecuaciones: * Resolvemos estas ecuaciones: Rpta: .............................................................. 06. Hace 10 años la edad de A era el doble de la de B. Actualmente sus edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad de B? Resolución: Sujetos: A y B Tiempo: Hace 10 años (pasado) Actualmente (presente) Condiciones: La edad de A era el doble de la de B Actualmente sus edades suman 56 años Elevando estos datos al cuadro. Hace 10 años Actualmente A 2x 2x + 10 B x x + 10 A = 2B ... (I) A + B = 56 ... (II) La condición (I) lo hemos utilizado para poner en la columna de “hace 10 años” la edad de B igual x y la de A igual a 2x por ser doble. Según la condición (II): (2x + 10) + (x + 10) = 56 3x = 36 x = 12 La edad actual de B es: x + 10 = 12 + 10 = 22 años. 07. Hace 7 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo; pero dentro de 9 años será solamente el doble. ¿Cuál es la suma de las edades actuales? a) 48 b) 78 c) 68 d) 49 e) 10 Resolución: Hace 7 años Ahora Dentro de 9 años Padre (P) 3x 3x+7 3x+16 Hijo (H) x x+7 x+16 P=3H...(I) P=2H ... (II) Según la condición (II): (3x + 16) = 2(x + 16) x = 16 Ahora el padre tiene 3x + 7 = 55 y el hijo tiene x + 7 = 23; entonces la suma de sus edades es 55 + 23 = 78 años PRÁCTICA DE CLASE 01. Un padre le dice a su hijo: ahora tu edad es un quinto de la mía y hace 5 años no era más que la novena parte. ¿Cuántos años tiene el padre? a) 40 b) 50 c) 48 d) 54 e) N.a. 02. María tiene 24 años y su edad es el doble de la que tenía Ana, cuando María tenía la edad que ahora tiene Ana. ¿Cuántos años tiene Ana? a) 9 b) 18 c) 15 d) 21 e) N.a. 03. La suma de las edades de un padre y su hijo, es 50 años. Dentro de 5 años estarán en la proporción de 1: 2. Hallar en qué proporción está actualmente. a) 1:2 b) 1: 3 c) 3:7 d) 2:5 e) N.a. 04. Dentro de 4 años, el cuadrado de la edad de Javier será 4 veces la edad que tiene, aumentada en 28 años. ¿Cuál es la edad de Javier? a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años e) N.a. 05. La edad de Diana dentro de 4 años será un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá Diana dentro de 8 años? a) 28 años b) 26 años c) 24 años d) 20 años e) 17 años 06. Actualmente tengo el triple de tu edad; pero dentro de 12 años tendré sólo el doble. ¿Qué edad tienes? a) 12 años b) 14 años c) 16 años d) 24 años e) 18 años 07. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía, si dentro de 6 años él va a tener el cuádruplo de tu edad. ¿Dentro de cuántos años tendré 30 años? a) 18 años b) 14 años c) 12 años d) 10 años e) 16 años 08. La suma de las edades de Elizabeth, Genaro y Víctor es 88 años. De los tres, el mayor tiene 20 años más que el menor y el del medio tiene 18 años menos que el mayor. ¿Cuál será la edad del menor dentro de 12 años? a) 34 b) 30 c) 36 d) 33 e) 38 09. Mi hijo tiene actualmente 30 años menos que yo. Si pudiera verlo hasta cuando el tenga mi edad actual, mi edad sería igual a cinco veces la edad que él tiene actualmente. ¿Qué edad tengo? a) 45 b) 42 c) 48 d) 50 e) 60 10. A un hombre le preguntaron cuántos años tiene, él respondió: “Multipliquen por tres los años que tendré dentro de 3 años y réstenle el triple de los que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo”. ¿Qué edad tiene este hombre? a) 11 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 11. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, mi edad será 40 años. ¿Qué edad tienes? a) 30 b) 20 c) 40 d) 10 e) 60 12. Si sumo de dos en dos las edades de mis tres hijas obtengo 13, 17 y 24 años. ¿Qué edad tiene Nataly siendo ella la mayor? a) 10 años b) 8 años c) 14 años d) 12 años e) 16 años 13. La edad de un padre y su hijo suman 35 años si el padre tuviera 17 años menos y el hijo 8 años más; los dos tendrían la misma edad. Determinar ¿Cuántos años tiene el padre? a) 25 años b) 30 años c) 35 años d) 40 años e) 60 años 14. Hace 2 años Martha le dijo a su hijo: dentro de 5 años la relación de nuestras edades será como 23 es a7. Determinar la edades actuales (en años) si la relación actual es como 5 es a 1. a) 35 y 7 b) 30 y 6 c) 40 y 8 d) 20 y 4 e) N.a. 15. Los tres hijos de Vítor tienen (2x + 9) ; (x - 1) y (x + 2) años respectivamente. ¿Cuántos años tiene que transcurrir para que la suma de las edades de los dos últimos sean iguales a la edad del primero? a) 5 b) 8 c) 9 d) 0 e) N.a. 16. Cuando Inés nació, Juana tenía 30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Esteban que tiene 32 años. ¿Qué edad tiene Miguel que nació cuando Inés tenía 11 años? a) 6 b) 4 c) 3 d) 10 e) N.a. 17. Una persona nació en el año y en el año , tiene (a + b ) años. ¿En qué año tuvo (a . b) años? a) 1963 b) 1960 c) 1965 d) 1959 e) N.a. 18. Julio nació 6 años antes que Víctor. En 1948 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿En qué año nació Julio? a) 1934 b) 1940 c) 1931 d) 1937 e) N.a. 19. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940? a) 66 b) 72 c) 67 d) 70 e) N.a. 20. En la actualidad las edades de A, B y C suman 60 años. Hallar la edad de A sabiendo que hace 4 años su edad era el triple de la suma de las edades que B y C tenían a) 40 b) 50 c) 30 d) 28 e) 42 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 3 01. En 1909 decía un padre a su hijo, mi edad es el quíntuplo de la tuya, pero en 1930, sólo será el doble. ¿Qué edad tenía el padre en 1930? a) 48 b) 39 c) 56 d) 52 e) N.a. 02. César y su abuelo tenían en 1928, tantos años como lo indicaban los números formados por las 2 últimas cifras de los años de sus nacimientos. ¿Cuántos años tenía el abuelo cuando nació César? a) 40 b) 50 c) 45 d) 55 e) N.a. 03. La edad de Ricardo y Ana es 6 veces la suma de las edades de sus hijos. Hace 2 años ésta suma era 10 veces la de sus hijos y dentro de 6 años será 3 veces la edad de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen? a) 4 b) 2 c) 3 d) F.D. e) N.a. 04. Una persona en el año 1975 se le preguntó por su edad y contestó tengo en años la mitad del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Hallar la suma de las cifras de su edad. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 05. Dentro de 4 años la suma de las edades de 2 hermanos será “k” años. Si hace 4 años la edad del mayor era el triple de la edad del menor. Hallar la edad actual del mayor. a) k/4 b) k/8 c) d) e) 3k – 32 06. La suma de las edades de un padre y un hijo da 48 años. Dentro de algunos años el padre tendrá el doble de la edad del hijo; y la edad del padre será entonces 8 veces la edad que el hijo tiene ahora. ¿Cuántos años tiene el padre? a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) N.a. 07. José le dice a Walter: “Hace 21 años mi edad era la mitad de la edad que tendrás dentro de 4 años, cuando yo tenga el doble de la edad que tú tienes. ¿Qué edad tiene José? a) 28 años b) 30 años c) 32 años d) 34 años e) N.a. 08. Supongamos que yo tengo 10 años más que tú. ¿Qué edad tendrías tú ahora, si dentro de 5 años yo tuviera los 4/3 de la edad que tú tuvieses? a) 18 b) 35 c) 20 d) 25 e) N.a. 09. Determinar la edad que cumplió Miguel en 1922, sabiendo que es igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento. a) 22 b) 21 c) 24 d) 23 e) 25 10. El año 1984 ha sido declarado en el Perú: “Año del Sesquicentenario del Natalicio del Almirante Miguel Grau”. Si Grau murió el 8 de Octubre de 1879. ¿A qué edad murió Grau? a) 48 años b) 56 años c) 45 años d) 50 años e) 53 años 11. Hace 2 años tenía 6 veces tu edad. Dentro de 5 años tendré 25 veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tendrás dentro de 11 años. ¿Que edad tengo? a) 28 b) 20 c) 36 d) 18 e) 14 12. Al preguntarle la edad a Víctor, este responde: mi edad, la de mi esposa y la de mi hijo son 3 números primos. La suma de las 3 edades es 62 años, y mi edad es igual a la suma de sus edades. ¿Cuál es la edad de su esposa? a) 31 años b) 29 años c) 23 años d) 19 años e) 20 años 13. El tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos años tiene ella? a) 52 b) 36 c) 40 d) 54 e) 50 14. Yolanda le dice a Silvana: “Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la que tengo disminuido en 5; pensar que cuando tenía 10 años tú tenías la edad que tengo”. ¿Qué edad tendrá Silvana dentro de 15 años? a) 27 b) 29 c) 33 d) 32 e) 35 15. Mario tiene el cuádruple de la edad que tenía César cuando él tenía la edad que César tiene; pero cuando César tenga la edad que Mario tiene ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Mario? a) 20 b) 40 c) 10 d) 15 e) 25 16. María le dice a Susy: “Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la que tengo y sabes que cuando tenía 10 años, tu tenías la edad que tengo”. ¿Cuánto suman las edades actuales de ambas? a) 50 b) 40 c) 70 d) 30 e) 60 17. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, mi edad será 30 años. ¿Qué edad tengo? a) 12 b) 24 c) 18 d) 36 e) 54 18. La suma de las edades de un padre y un hijo da 48 años. Dentro de algunos años el padre tendrá el doble de la edad del hijo: y la edad del padre será entonces 8 veces la edad que el hijo tiene ahora. ¿Cuántos años tiene el padre? a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) N.a. 19. Fidel le dice a Paola: “Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la edad que tengo y sabes que cuando tenía 10 años, tú tenías la edad que tengo. ¿Cuánto suman las edades actuales de Fidel y Paola? a) 20 años b) 30 años c) 40 años d) 50 años e) 60 años 20. “A” le dice a “B” yo tengo 5 años más de la edad que tú tenías, cuando yo tenía 3 años menos de la edad que tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 49 años. ¿Qué edad tiene “A”? a) 11 años b) 12 años c) 13 años d) 15 años e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01. Una persona en el año 1975 se le preguntó por su edad y contestó tengo en años la mitad del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Hallar la suma de las cifras de su edad. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 02. A Carlos le preguntaron por su edad, este aficionado a los números y acertijos respondió: “Si al triple de la edad que tendré dentro de 3 años le restan el triple de la edad que tuve hace 3 años obtienen mi edad”. ¿Cuántos años tiene Carlos? a) 18 b) 15 c) 17 d) 12 e) N.a. 03. Pepe le dice a Eduardo: “Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años”. ¿Cuántos años tiene Pepe? a) 28 b) 16 c) 24 d) 21 e) N.a. 04. Nora es madre de Celia y Pedro es hijo de Dora. Cuando nació Pedro, Dora tenía el triple de la edad que tenía Nora. Cuando nació Celia, Nora tenía el doble de lo que tenía Pedro en ese momento. Cuando Celia tuvo la edad que tenía Pedro cuando ella nació, las edades de Nora y Dora sumaban 96 años. ¿Cuántos años tenia Nora cuando nació Pedro? a) 6 años b) 8 años c) 10 años d) 12 años e) 14 años 05. En 1977 la edad de Julio era aunque con el orden cambiado igual a las dos últimas cifras del año de su nacimiento, lo mismo sucede con su abuelo. Si la diferencia de sus edades es 45, y la edad del abuelo en 1977 era, con el orden cambiado de sus cifras igual a la edad de Julio. ¿Cuántos años tendrá el abuelo en 1985? a) 83 b) 71 c) 75 d) 69 e) N.a. 06. La edad de dos hermanas se puede representar por 2 números primos absolutos y se sabe que la suma de dichas edades es 36 y si al producto de dichos números primos se le agrega una unidad, el número resultante tiene 15 divisores. ¿Qué edad tiene la mayor? a) 17 b) 13 c) 23 d) 19 e) N.a. 07. Un niño nació en Noviembre y el 10 de Diciembre tiene una edad igual al número de días transcurridos del 1° de Noviembre al día de su nacimiento. Hállese la fecha de su nacimiento. a) 15 de Noviembre b) 10 de Noviembre c) 20 de Noviembre d) 12 de Noviembre e) 18 de Noviembre 08. Antonio le dice a María: “Yo tengo el doble de la edad que tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades sería 8. Hallar la edad de María. a) 18 años b) 21 años c) 24 años d) 28 años e) 32 años 09. Cierta vez se cumplió que la diferencia de edades de Antonio y Miguel que sabía tocar piano era igual a la suma de las cifras del año en que estaban. Si el mayor, Antonio, nació en 1934. ¿Qué edad tenía Miguel cuando se cumplió aquello? a) 6 b) 10 c) 9 d) 15 e) 19 10. Nataly le dice a Vanessa: cuando yo tenía tu edad. María tenía 10 años y Vanessa le responde: cuando yo tenga tu edad, María tendrá 26 años, María dice: si sumamos los años que ustedes me llevan de ventaja, resultará el doble de mi edad. ¿Cuál es la edad del mayor? a) 40 años b) 30 años c) 32 años d) 25 años e) 48 años Nos introducimos ahora a situaciones donde dos autos se acercan entre sí, o de dos microbuses que parten al mismo tiempo de dos puntos diferentes pero en el mismo sentido o de un auto que alcanza a una bicicleta. Ejercitemos nuestro razonamiento en una situación específica como la siguiente: Dos ómnibuses avanzan por carreteras paralelas en sentidos contrarios. Uno viaja a 70 y el otro a 50 kilómetros por hora. Sobrevolando las carreteras, una paloma vuela de un ómnibus al otro, es decir, luego de llegar a uno, de inmediato da media vuelta y regresa al otro y así va volando de ómnibus en ómnibus. Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora, y que cuando inició su vaivén la distancia entre ambos ómnibuses era de 60 kilómetros, ¿cuántos kilómetros habrá volado la paloma cuando los dos ómnibuses se encuentren? Razonemos así: Inicialmente estaban los ómnibuses separados una distancia de 60 kilómetros. En una hora uno va 70 km y el otro 50 km, es decir se acercarían 120 km. Esto significa que ambos se encuentran en 1/2 hora. Como la paloma recorre 80 kilómetros en 1 hora, entonces en 1/2 hora recorrerá 40km. ¿Sencillo? ... Nociones Previas: • Al objeto o la persona que se desplaza se le llama MÓVIL. • Si con una línea unimos los puntos recorridos por el MÓVIL, tal línea se llama TRAYECTORIA. • La TRAYECTORIA puede ser rectilínea o curvilínea. En este capítulo sólo veremos casos de móviles que siguen una trayectoria rectilínea. • Si nos situamos en un punto fijo (puede ser un poste) y desde allí vemos que un móvil cambia de posición de un punto a otro en un tiempo determinado, a tal fenómeno se le llama MOVIMIENTO. • Un MOVIMIENTO puede ser más rápido que otro. A este movimiento se le mide con una magnitud llamada velocidad. • VELOCIDAD, es una magnitud escrita como un número seguido de la unidad correspondiente. Nota: El profesor explicará los casos particulares. PRÁCTICA DE CLASE 01. Una hormiga recorre el tramo MN en 20 horas. Si quisiera hacerlo en 25 horas debe disminuir su velocidad en 8Km/h. ¿Cuántos kilómetros mide el tramo MN? Rpta: ....................................................... 02. Un tren recorre 540 km con una cierta velocidad. Otro recorre la misma distancia con doble velocidad y un tercero con velocidad triple que del. Entre los tres tardaron 22 horas. ¿Cuál es la velocidad del segundo en metros por segundos? Rpta: ....................................................... 03. A y B compiten en una carrera de 1000m dando "A" inicialmente a "B" a una ventaja de 40m llegando a la meta con una ventaja de 20seg y regresando ambos al punto de partida. Hallar las velocidades de ambos corredores si "A2 gana nuevamente en el tramo de regreso con 5seg de ventaja. Rpta: ....................................................... 04. Si 2 autos parten simultáneamente uno al encuentro del otro, de 2 ciudades "A" y "B" se encontrarían al cabo de 5 horas. Si el tiempo que se demora el primero en recorrer 5km es el mismo que demora el segundo en recorrer 3km. Hallar en que tiempo recorrería el primero la distancia de "A" hacia "B". Rpta: ....................................................... 05. Un viajero se queda dormido cuando el carro en el viaja está a 30 km detrás de otro carro. Al cabo de 6 horas, se despierta cuando el carro en el que viaja está a 30 km delante del otro carro. ¿Carro es la velocidad de este último si la velocidad del carro del viajero es de 75 km/h?. Rpta: ……………………………………….. 06. Dos trenes marchan en sentidos contrarios a 25 km/h y 35 km/h. Un pasajero de uno de ellos ve pasar al otro en 6 segundos. ¿Cuál es la longitud de este tren ?. Rpta: ……………………………………….. 07. Un atleta da la vuelta a una pista circular cada 40 sg otro atleta recorre la pista en sentido contrario y se cruzo con el anterior cada 15 sg. ¿Qué tiempo emplea el segundo atleta en dar una vuelta completa?. Rpta: ……………………………………….. PROBLEMAS PROPUESTOS N° 4 01. Dos trenes marchan en sentido contrario y sobre vías paralelas, con velocidades de 18 y 30 Km/h respectivamente; un pasajero en el segundo tren calculó que el primero demoró en pasar 9 segundos. ¿ Cuál es la longitud de este último tren? a) 80m b) 480m c) 100m d) 180m e) 120m 02. “El Correcaminos” ha recorrido los 4/9 del camino que une la ciudad de Lima y Huacho; si aún le falta recorrer 80 km. y ya lleva corriendo 28800 segundos. ¿Cuál es su velocidad en m/min? a) 133,3 b) 250 c) 300 d) 380 e) 480 03. Cristóbal Colón recorre 240 km. en 2 horas a favor de la corriente y en contra de la corriente 190 km menos en 1 hora menos. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? a) 80km/h b) 35 km/h c) 85 km/h d) 45 km/h e) 65 km/h 04. Fido dispone de 51 segundos para ir a traer un hueso. Si la ida la hace con una velocidad de 12 m/s y al regreso a 7 m/s menos que la ida. ¿Qué tiempo demora en el movimiento de ida? a) 36 s b) 12 s c) 25 s d) 15 s e) 20 s 05. Dos personas deben hacer un mismo recorrido de 28 km; la primera está a pie y hace 5 km/h; la segunda a caballo y hace 12 km/h; si la primera parte a las 05:00 horas. ¿A qué hora deberá partir la segunda para llegar al mismo tiempo a su destino? a) 08 h. 20 min. b) 07 h. 14 min. c) 08 h. 10 min. d) 08 h. 16 min. e) 07 h. 19 min. 06. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m. de circunferencia y en el mismo sentido. El primero, que tiene 18 m. de adelanto corre con una velocidad de 2,90 m/s y el otro 2,54 m/s. Calcular la suma de las distancias recorridas hasta su encuentro. a) 1188 b) 1088 c) 888 d) 9080 e) Imposible calcular 07. Dos ciclistas, “El Cóndor” Zavaleta y Echecopar parten simultáneamente en viaje de la herradura a San Bartolo, distante 60 km, la velocidad de “El Cóndor” Zavaleta es 4 km, menor que la de Echecopar. Después de llegar Echecopar a San Bartolo, emprendió inmediatamente el viaje de regreso y se encuentra con “El Cóndor Zavaleta a 12 km. ¿Cuál es la velocidad de “El Cóndor” Zavaleta? a) 6 km/h b) 8 km/h c) 10 km/h d) 12 km/h e) 20 km/h 08. Claudia debe realizar un viaje de 820 km. en 7 horas. Si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h y el resto en auto a razón de 55 km/h. ¿ Cuál es la distancia recorrida en avión? a) 200 km b) 500 km c) 600 km d) 700 km e) 800 km 09. Un automóvil debe hacer un cierto trayecto en 4 h. Una hora después de la partida, el piloto acelera la velocidad a fin de llegar media hora antes y hace entonces 16 km más por hora. ¿Cuál fue la distancia recorrida? a) 290 km b) 300 km c) 310 km d) 320 km e) 350 km 10. Un ciclista recorre 60km en 3 horas. Llegó a la mitad del camino y observó que su velocidad media fue de 2 km/h inferior a la que debió llevar. ¿Cuál fue la velocidad media en km/h durante el tiempo que le restó, si llegó a la hora fijada? a) 22,5 b) 21,5 c) 21 d) 20,5 e) 22 11. Nicky Lauda parte de A a B con una velocidad de 200 km/h, cuando aún le faltaba recorrer 4/5 de su camino duplica su velocidad lo que le permite llegar a su destino con 2 h. de anticipación. ¿Qué longitud tiene su camino? a) 2000 km b) 1800 km c) 1000 km d) 4000 km e) N.a. 12. Un peatón recorre 23 km. en 7 horas; los 8 primeros con una velocidad superior en 1 km a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer trayecto. a) 2 km/h b) 3 km/h c) 4 km/h d) 5 km/h e) 6 km/h 13. Pilar se dirige a depositar una carta a una velocidad de 12 km/h regresa a 3 km/h . Si usa 20 horas en total . ¿Qué distancia a recorrido? a) 46 km b) 48 km c) 36 km d) 24 km e) N.a. 14. Viajando a 100 km/h un piloto llegaría a su destino a las 19 horas. Viajando a 150km/h llegaría a las 17 horas. ¿Con qué velocidad debe viajar si desea llegar a las 18 horas? a) 125 km/h b) 120 km/h c) 130 km/h d) 135 km/h e) N.a. 15. Yazmín, el primer día, fue al colegio a 6 km/h y llegó 15 minutos retrasada. El segundo día fue a 12 km/h llegando 15 minutos adelantada. ¿ A qué velocidad debe viajar para que saliendo a la misma hora llegue puntualmente ? a) 7 km/h b) 8 km/h c) 9 km/h d) 9 ½ km/h e) 8 ½ km/h 16. Raquel escapó de su casa, contigua a una carretera. Dos horas después de salir Raquel, fue el padre en su busca y 5 horas después de haber salido el padre, salió la madre al encuentro de los dos. Padre, madre e hija, caminaron a razón de 6; 6 y 4 km/h respectivamente. En el momento que el padre encontró a Raquel, volvió con ella a su casa caminando a 4 km/h. ¿ A qué distancia de su casa encontraron a la madre? a) 18 km b) 8 km c) 12 km d) 10 km e) 12,8 km 17. Un tren emplea 12 segundos en pasar delante de un observador y 46 segundos en recorrer una estación de 374 m. de longitud. Hallar la longitud del tren. a) 120 m b) 108 m c) 132 m d) 124 m e) 121 m 18. Un estudiante va a pie de la UNAC a Breña, sale a las 16 horas y recorre 70 m. por minuto, en cierto punto de la carretera sube a un microbús que recorre 630 m/min. y que pasó por la UNAC a las 16 1/3 horas. Hallar a qué distancia de la UNAC abordó el estudiante al microbús ? a) 1655 m b) 1745 m c) 1835 m d) 1575 m e) 1925 m 19. Patricia y Carlos están separados por 680 m. Patricia parte primero al encuentro de Carlos con una velocidad de 6 m/min. Calcular el tiempo que demoran en encontrarse si cuando Patricia ya había recorrido 420 m. recién parte Carlos con una velocidad de 7 m/min. ¿ El tiempo perdido es, desde que sale Patricia? a) 56 min. b) 38 min. c) 68 min. d) 86 min. e) 90 min. 20. Si dos autos parten de dos ciudades Lima y Tacna al mismo instante uno de Lima y otro de Tacna, y al cabo de 10 horas el auto que salió de Lima está a 250 km de Tacna y el que salió de Tacna ya habría recorrido las 2/3 partes del camino que separa dichas ciudades. Hallar la distancia que separa ambas ciudades, si se sabe que la diferencia de velocidades es de 30 km/h. a) 1500 km b) 1780 km c) 1650 km d) 1260 km e) 1560 km TAREA DOMICILIARIA 01. Dos ciclistas salen simultáneamente al encuentro, el primero sale de “A” con una velocidad de 7 km/h y el segundo sale de “B” con una velocidad de 3 km/h. Al segundo lo acompaña su perro, que corre una velocidad de 5 km/h, el perro sigue la ruta encuentra al otro ciclista y vuelve al encuentro de su amo, y así sucesivamente sigue corriendo hasta que los dos ciclistas se encuentran. que distancia ha recorrido el perro si de A a B hay 40 kilometros. a) 20 km b) 25 km c) 30 km d) 32 km e) 40 km 02. Del embarcadero “A” partieron al mismo tiempo río abajo un bote y una balsa. El bote después de pasar 96 km. río abajo, vuelve hacia atrás y regresa a A al cabo de 14 horas. Hallar la velocidad del bote en agua muerta y la velocidad de la corriente, si se sabe que en su camino de regreso el bote encontró a la balsa a la distancia de 24 km. de A. a) 12 y 4 km/h b) 14 y 2 km/h c) 16 y 3 km/h d) 42 y 12 km/h e) 17 y 7 km/h 03. Un peatón parte de A a las 8 de la mañana anda 1 km. cada 9 minutos y descansa ¼ de hora cada vez que anda 45 minutos. Un coche sale también de A a las 10 de la mañana en la misma dirección, recorre 9Km. por hora y se detiene 20 minutos cada 20km. andados. ¿A que hora encontrará al peatón? a) 13h 32’ 18” b) 12h 32’ 18” c) 13h 33’ 18” d) 13h 32’ 15” e) 14h 30’ 17” 04. Un ciclista se dirige de A hacia B con una velocidad de 20 Km/h. Después de haber recorrido km. es alcanzado por un auto que recorre la distancia entre A y B con velocidad constante y que salió de A ¼ de hora después que él. Después de recorrer de nuevo 25 km. encuentra de nuevo al auto que vuelve de B donde ha estado media hora ¿Cuál es la distancia entre A y B? a) 39,58 b) 39 c) 38,52 d) 38,98 e)39,85 05. Pedro y Juan hacen un recorrido de 100 km. así: Pedro y Carlos parten en un automóvil a una velocidad de 25 km/h, al mismo tiempo que Juan sale, a pie, a 5 km/h. A cierta distancia, Carlos se baja del carro y continua caminando a 5 km/h. Pedro regresa, recoge a Juan y continua la marcha llegando al lugar de destino al mismo tiempo que Carlos. ¿Cuántas horas duró el viaje? a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e)10 06. Para los ensayos de motocicletas de diferentes de diferentes tipos, los motociclistas parten al mismo tiempo del punto “A” a “B” y de el punto “”B” a “A”. La velocidad de los dos motociclistas es constante y al llegar al punto final vuelven inmediatamente hacia atrás. La primera vez se encontraron a la distancia de “p” kilómetros de “B” y la segunda a “q” kilómetros “A”, “t” horas después del primer encuentro, hallar la distancia en A y B. a) 3p – q b) 3q – p c) 2p + 3q d) 2p – pq e) 5p – 3q 07. Las velocidades de dos autos son como 6 a 5. El primero recorre 720 km. en 6 horas. ¿Cuánto recorre el segundo en 7 horas? a) 740 b) 680 c) 700 d) 760 e) 640 08. Un automóvil parte de Piura a las 17:00 y llega a Lima al día siguiente a las 14:00. Otro sale de Piura a las 15:00 y llega a Lima al día siguiente a las 9:00. ¿A qué hora el segundo auto alcanzó al primero? a) 11:00 b) 02:00 c) 03:00 d) 04:00 e) 05:00 09. En 100 metros un corredor “A” vence a otro “B” por 1/5 de segundo, pero si “A” le da 3 metros de ventaja a “B” este vence a “A” por 14/13 de segundo. ¿Cuánto tarda “B” en recorrer 100 metros? a) 40,56 s b) 41,56 s c) 42,56 s d) 43,56 s e) 38,56 s 10. Dos automóviles partieron al mismo tiempo de un mismo punto en un mismo sentido. La velocidad del primero es 50Km/h y la del segundo de 40km/h. Después de media hora, del mismo punto y en el mismo sentido parte un tercer automóvil que alcanza al primero 1,5 horas más tarde que al segundo. Hallar la velocidad del tercer automóvil. a) 70Km/h b) 60Km/h c) 65Km/h d) 68Km/h e) 75 Km/h OBJETIVOS: • Aprender a resolver los problemas sobre cronometría. • Reforzar la capacidad de abstracción adquirida en el capítulo de planteo de ecuaciones. • Diferenciar los diferentes tipos de problemas y su particualr forma de resolverlos. INTRODUCCIÓN: “Hallar una hora exacta (por la mañana) en la cual las agujas del reloj forman un ángulo recto, sabiendo además que si transcurren 3 horas, las agujas formarán un ángulo llano” Solución: * Una hora exacta . . . ángulo recto * Si transcurre 3 horas . . . ángulo llano De lo que se observa podemos concluir que la hora pedida es 3:00 a.m. Para un mejor aprendizaje de este capítulo, clasificaremos a los problemas de la siguiente manera: * Problemas sobre campanadas * Problemas sobre tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir * Problemas sobre adelantos y atrasos * Problemas sobre manecillas de reloj Problemas sobre Campanadas En este primer grupo veremos problemas que involucran campanas y relojes que indican la hora dando campanadas. Vemos los siguientes casos: 1. Se tiene un reloj que indica la hora con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 5:00 a.m demoró 4s, ¿cuánto demorará para indicar que son las 10:00 a.m. del mismo día? Solución: Luego: Por lo tanto el tiempo total que demoró para indicar la hora es: 9(1) = 9s 2. Una campana demoró 8s para tocar 7 campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en 20s? Solución: Se observan 6 intervalos y cada uno es de: s Luego: Sabemos que cada intervalo es de s, entonces el número de intervalos es: Por lo tanto si son 15 intervalos entonces fueron 16 campanadas. Conclusiones: número de campanadas = número de intervalos +1 Problemas sobre tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir: En este grupo veremos problemas que involucran el transcurrir del tiempo ya sea en 1 año, 1 mes, 1 semana ó 1 día. • Veamos los siguientes casos: 1. Si el tiempo transcurrido del día excede en 6hr a la quinta parte del tiempo que queda del día, ¿qué hora es? Solución: Según datos: Resolviendo: x = 9hr Por lo tanto la hora es: 9:00 am. 2. ¿Qué hora es?, si dentro de 35 minutos faltarán para las 18hr, 5 minutos más que los minutos transcurridos desde las 16hrs. Solución: Desde las 16:00 hasta las 18:00 son 2h<>120min Del gráfico: x + 35 + (x+5) = 120 Resolviendo: x = 40 Luego: La hora es 16:00 + x min = 16:00 + 40 min  La hora es 16:40 Problemas sobre adelantos y atrasos: En este grupo de problemas veremos aquellos que involucran relojes que por un mal funcionamiento se atrasan o se adelantan. • Veamos los siguientes casos: 1. Siendo las 6:00p.m. un reloj empieza a atrasarse a razón de 6 minutos cada hora. ¿Qué hora mercará cuando sean las 6:00 a.m. del día siguiente? Por dato: En 1hr. se atrasa 4 minutos en 18hr. se atrasará 18(4) = 72 min. 2. Siendo las 17:20hr un reloj marca 17:28hr, Si dicho reloj se adelanta a razón de 30s cada hora, ¿a qué hora empezó a adelantarse? Solución: Son las 17:20 Está adelantado Hora que marca 17:28 8 minutos Por dato: Se adelanta 30s en 1h  1min en 2h Para que su adelanto sea 8min han debido pasar 8(2) = 16h Luego: La hora que empezó a adelantarse es: 17:20 - 16hr = 1:20 hr Conclusiones: Cuando un reloj se atrasa: Cuando un reloj se adelanta: Problemas sobre manecillas del reloj: En este grupo de problemas veremos aquellos que involucran el desplazamiento tanto del horario como del minutero, y el ángulo que forman las manecillas a determinadas horas. Veamos algunas consideraciones previas: NOTA: Como hemos indicado, trabajaremos con relojes de tipo circular y con manecillas. Recuerda que la circunferencia mide 360º * Como sabemos la circunferencia del reloj está dividida en 12 espacios separados por las marcas horarias (ver figura). * Cada espacio entre las marcas horarias tiene una medida de 30º (ver figura). * También sabemos que el espacio comprendido entre 2 marcas horarias está dividido en 5 espacios que corresponden a los minutos (ver figura). * El espacio correspondiente a un minuto tiene una medida de 6º (ver figura). Ahora analicemos los desplazamientos tanto del horario como del minutero. Digamos que son las 3:00 y que a partir de este momento transcurre una hora. En general: x min. x/12min ó xº/2 NOTA: Para calcular el ángulo que forman las manecillas de un reloj a una determinada hora o para calcular la hora conociendo el ángulo que forma las manecillas, debemos tomar como punto de partida la hora exacta más próxima pero anterior a la hora indicada como dato. NOTA: A una determinada hora, las manecillas de un reloj forman dos ángulos “” y “” (ver figura); convencionalmente el que se calcula es el menor ángulo (). Pero si nos pidieran calcular el otro ángulo “”, bastará con recordar que: + = 360º. Veamos los siguientes ejemplos aplicativos: 1. Calcular el ángulo que forman las manecillas de un reloj a las: a. 4:40 b. 7:24 Solución: a. Tomamos como punto partida las 4:00 Del gráfico  + 20º = 120º   = 100º Desde las 4:00 hasta las 4:40 han transcurrido 40 min. Esto quiere, decir que el minutero ha recorrido 40 min, entonces el horario ha recorrido (ver Fig.) Recuerda también que entre 2 marcas horarias hay 30º. b. Tomamos como punto partida las 7:00 Del gráfico  = 12º + 66º   = 78º El ángulo a calcular es “” Han transcurrido 24min, esto quiere decir que el minutero ha recorrido 24min, entonces el horario ha recorrido (Ver figura) Recuerda también que el espacio que corresponde a 1min mide 6º 2. ¿A qué hora, entre la 1:00 y las 2:00 las manecillas del reloj forman un ángulo de 60º? Solución: Digamos que sean 1:x Punto partida las 1:00 Han transcurrido “x” min. esto quiere decir que el minutero ha recorrido “x” min (ver figura), entonces el horario ha recorrido (ver figura) Del gráfico: Resolviendo x = La hora pedida es: hr PROBLEMAS RESUELTOS 01. Un reloj que da la hora mediante campanadas, se demora 1 segundo para dar las 2. ¿Cuántos segundos se demorará en dar las 4, si las campanadas están igualmente espaciadas? Resolución: Si se demora 1 segundo en dar las 2, implica que se demora en dar 2 campanadas, quiere decir que de la primera campanada a la segunda ha transcurrido 1 segundo. Nótese que el tiempo que se considera, no es el que demoran en sonar las dos campanadas, sino el tiempo transcurrido entre una y otra campanada. Luego para dar las 4 (es decir para dar 4 campanadas) de la 1ra a la 2da campanada habrá 1 segundo; de la 2da a la 3ra otro segundo y de la 3ra a la 4ta un segundo más, vale decir, tardará tres segundos. Total: 3 segundos. 02. Un reloj de campanadas se demora 1 segundo en dar las 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar las 5 horas? Resolución Dato:  Para dar las 5 horas: Total: 4 (1/2) = 2 seg. 03. Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj, a razón de 5 minutos por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj, cuando en realidad sean las 10 p.m. del mismo día? Resolución: De las 8 a.m. hasta las 10 p.m. han transcurrido 14 horas. En 1 hora se adelanta 5 minutos. En 14 horas se adelantará “x” minutos. x = 14 x 5 = 70 min ó 1 hora 10 min. Luego: a las 10 p.m. tendrá un adelantado de 1 hora 10 min, entonces marcará 11.10 p.m. 04. Un reloj que se atrasa 4 minutos cada 5 horas, se pone a la hora al medio día. Se desea poner nuevamente a la hora a las 8:00 am. ¿Cuántos minutos se debe adelantar para ponerlo a la hora? Resolución: Del medio día, a las 8:00 a.m. del otro día han transcurrido 20 horas. En 5 horas se atrasa 4 minutos. En 20 horas se atrasará “x” minutos. x = = 16 minutos Luego, para ponerlo a la hora, hay que adelantarlo en 16 minutos. 05. Cuando son exactamente las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m. Se sabe que el reloj sufre un retraso constante de 2 minutos cada 3 horas. Determinar a que hora marcó la hora correcta por última vez Resolución: Como son las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m., entonces tiene un retraso de 20 minutos. En 3 horas se retrasa 2 minutos. En “x” horas se habrá retrasado 20 minutos. x = = 39 horas Luego, para retrasarse 20 minutos se ha demorado 30 horas, por lo que se deduce que hace 30 horas marcó la hora correcta por última vez, es decir, a las 10:00 a.m. 06. Siendo las 12 del día, un reloj empezó a adelantarse a razón de 10 minutos por hora. ¿Dentro de cuántas horas volverá a marcar la hora correcta por primera vez? Resolución: Para que un reloj que se adelanta vuelva a marcar la hora correcta por primera vez, tiene que adelantarse en 12 horas como mínimo. Por ejemplo, supóngase que en estos momentos son las 10:00 a.m.; tenemos un reloj que marca la hora correcta y adelantemos en 12 horas, notaremos que a pesar de estar adelantado en 12 horas, estará marcando la hora correcta, es decir, las 10:00. Es por ello, que en este problema, tendríamos que esperar que el reloj se adelante en 12 oras = 12 x 60 = 720 minutos, para que vuelva a marcar la hora correcta. Luego: En 1 hora se adelanta 10 minutos. En “x” horas se adelantará 720 minutos. x = = 72 horas = 3 días. Volverá a marcar la hora correcta por primera vez dentro de 3 días. 07. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 7:24 a.m.? Resolución: 08. ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj, a las 9:10 p.m.? 09. ¿A qué horas, entre las 4 y las 5, las manecillas de un reloj, forman un ángulo de 65° por primera vez? Resolución: 10. ¿A qué horas entre las 2 y las 3, las manecillas de un reloj formarán un ángulo de 145° por segunda vez? Resolución: El ángulo que forman las manecillas del reloj, se mide en sentido horario a partir de horario si el minutero adelanta al horario y a partir del minutero si el horario adelanta al minutero. Por lo anterior, en este ejemplo:  = 360° – 145° = 215° A las 2 con 50 minutos. PRÁCTICA DE CLASE 01. Un reloj da 3 campanadas en 3 minutos en cuánto minutos dará 9 campanadas. a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) N.a. 02. Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos. ¿En cuántos segundos dará 12 campanadas? a) 9 b) 12 c) 15 d) 11 e) N.a. 03. Un reloj demora 5 segundos en dar las 6, empezando exactamente a las 6:00. Si los tic tac están uniformemente espaciados. ¿Cuántos segundos tarda en dar las 12:00? a) 11 s b) 9 s c) 12 s d) 20 s e) N.a. 04. Un reloj demora 5 seg. en dar las 6 empezando exactamente a las 6:00. Si los tictac, están uniformemente espaciados. ¿Cuántos segundos tarda en dar las 12:00? a) 11" b) 9" c) 12" d) 10" e) N.a. 05. ¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 hrs. si no suena más que a las horas, dando en cada hora tantas campanadas como el número que representa la hora? a) 144 b) 120 c) 176 d) 156 e) N.a. 06. Los 2/3 de lo que falta transcurrir de un día equivale al doble de lo transcurrido. ¿Cuántas horas faltan para el medio día? a) 4 b) 6 c) 12 d) 18 e) 20 07. Mirando un reloj se observa que la parte transcurrida del día es igual a los 3/5 de lo que falta por transcurrir. ¿Qué hora es en el momento que se miró el reloj? a) 8 a.m. b) 6 p.m. c) 9 a.m. d) 8 p.m. e) N.a. 08. La hora que falta para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en relación de 3:5. ¿Cuántas horas han transcurrido desde el mediodía? a) 5h b) 4h c) 3h d) 2h e) 6h 09. ¿Qué hora es, si falta del día, la tercera parte de lo que faltaba hace 6 horas? a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 10:00 a.m. d) 8:00 p.m. e) 9:00 p.m. 10. ¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido? a) 9h 36’ a.m. b) 8h 20’ p.m. c) 9h 20’ p.m. d) 8h 15’ p.m. e) N.a. 11. ¿Qué hora es? …. Para saberlo, basta con sumar la mitad del tiempo que falta para las doce del medio día y los 2/3 del tiempo transcurrido desde las doce de la noche? a) 2 a.m. b) 6 p.m. c) 9 a.m. d) 4 p.m. e) N.a. 12. Si fuera 5 horas más tarde de lo que es, faltarían para acabar el día el triple de las horas que había transcurrido hasta hace 3 horas. ¿Qué hora es? a) 4 a.m. b) 6 p.m. c) 9 a.m. d) 8 p.m. e) N.a. 13. A que día y hora del mes de Abril de 1976, se verificó que la fracción transcurrida del mes fue igual a la fracción transcurrida del año. a) Día 9 a las 3 am. b) Día 13 a las 6 pm. c) Día 8 a las 3 am. d) Día 15 a las 10 pm. e) N.a. 14. Faltan transcurrir del día tanto como la tercera parte del tiempo que transcurrió hasta hace 4 horas. ¿Qué hora es? a) 8 pm. b) 5 pm. c) 10 pm. d) 7 pm. e) 6 pm. 15. 6,25hrs, equivalen a: a) 6hr 25’ b) 6hrs 36’ c) 6hrs 15’ d) 6hrs 45’ e) N.a. 16. 5.4 hrs. equivalen a: a) 5h 36' b) 5h 24' c) 5h 4' d) 5h 40' e) N.a. 17. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 4h 40’? a) 110° b) 130° c) 100° d) 124° e) N.a. 18. ¿Qué es el menor ángulo que se forman las manecillas de un reloj a las 3hrs.20’? a) 110° b) 130° c) 100° d) 124° e) N.a. 19. Son las 8 de la noche, a que hora las agujas del reloj forman primera vez un ángulo de 70°? a) 8h 30 10/11’ b) 8h 31 2/11’ c) 8h 35 1/11’ d) 8h 31 5/11’ e) N.a. 20. ¿Qué ángulo forman entre si las agujas de un reloj a las 9hrs 10’ de la noche? a) 145 b) 225 c) 215 d) 135 e) a y c 21. ¿Qué ángulo forman entre si las agujas de un reloj a las 11,45 horas? a) 165 b) 16830’ c) 18130’ d) 178 e) N.a. 22. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 9h 30 min? a) 130° b) 110° c) 105° d) 150° e) 90° 23. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 7h 20 min. ? a) 95° b) 100° c) 105° d) 110° e) N.a. 24. Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 9h 45'? a) 15 b) 22,5 c) 30 d) 32,5 e) 45 25. Qué ángulo forman entre sí, las dos agujas de un reloj a las 4 y 15 pm? a) 36 15' b) 37 30' c) 37 45' d) 38 e) N.a. 26. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 3h 40'? a) 110 b) 130 c) 100 d) 124 e) N.a. 27. Un reloj forma a las 3:00 un ángulo de 80 debido a una falla mecánica. ¿Qué ángulo formará a las 4 y 40’? a) 90 b) 100 c) 110 d) 115 e) Ninguna 28. ¿A qué hora entre las 6 y las 7 las agujas del reloj estarán superpuestas? a) 6h 30’ b) 6h 31’ c) 6h 31 7/11 min. d) 6h 32 8/11’ e) N.a. 29. Entre las 8 y las 9hrs ¿A qué hora están superpuestas las agujas de un reloj? a) 8hrs 40’ b) 8hrs 42’ c) 8hrs 43 d) 8hrs 44’ e) N.a. 30. Entre las 5 y las 6hrs. ¿A qué hora por primera vez, se forma un ángulo de 40? a) 5 y 34min b) 5 y 35 min c) 5 y 34 min d) 5 y 20min e) c y d PROBLEMAS PROPUESTOS N° 5 01. Entre las 5 y las 6. ¿A qué hora forman el ángulo recto las agujas del reloj por primera vez? a) 5hrs 10 min b) 5hrs 7 min c) 5hr 15 min d) 5hr 12min e) 5hr 8 min. 02. ¿A qué hora entre las 2 y las 3 las agujas de un reloj se superponen? a) 2h 10 10/11 min b) 2h 10 7/11 min c) 2h 10 9/11 min d) 2h 8/11 min e) 2h 10 5/11 min. 03. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas de un reloj están en línea recta? a) 4h 54 5/11 min b) 4h 54 2/11 min c) 4h 54 7/11 min d) 4h 54 3/11 min e) 4h 54 6/11 min. 04. Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿A que hora entre las 5 y las 6, las agujas de un reloj forman un ángulo recto? a) 5h 11 5/11 min. b) 5h 11 9/11 min. c) 5h 10 10/11 min. d) 5h 11 2/11 min. e) N.a. 05. ¿A qué hora entre las 4 y las 5, el minutero y el horario formarán un ángulo que sea la quinta parte del ángulo convexo? a) 4h y 11 10/11' b) 4h y 10 10/11' c) 4h y 12 10/11' d) 4h y 8/11' e) N.a. 06. En un día ¿Cuántas veces las agujas de un reloj se superponen? a) 24 b) 23 c) 25 d) 21 e) 22 07. ¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj forman un ángulo recto? a) 15 min b) 30 min c) 32 8/11 min d) 36 7/11 min. e) N.a. 08. ¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj se superponen? a) 10 10/11 min b) 10 8/11 min c) 30 min d) 15 min e) N.a. 09. ¿Cuántas veces las manecillas de un reloj se superponen exactamente en una semana? a) 150 b) 152 c) 154 d) 168 e) 161 10. Después de las 3 am. ¿Cuál es la hora más próxima en que las agujas de un reloj forman un ángulo llano? a) 3 h 49 min b) 3 h 49 7/11 min c) 3 h 49 1/11 min d) 3 hr 50 min e) 3 h 49 2/11 min. 11. Las 2 manecillas de un reloj están superpuestas al medio día. ¿A qué hora se encontrará nuevamente la una sobre la otra? a) 1hr 4 min 2 2/11 seg b) 1hr 6 min 32 1/11 seg c) 1 hr 5 min 27 3/11 seg d) 1hr 5 min 27 8/11 seg e) 1hr 20 min 16 3/11 seg 12. Un reloj se atrasa un minuto por hora. Si empieza correctamente a las 12 m. del día miércoles 13 de Julio. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta? a) Miércoles, 10 de Agosto b) Viernes, 12 de Agosto c) Lunes, 8 de Agosto d) Sábado, 13 de Agosto e) Martes, 9 de Agosto 13. Un reloj se atrasa 4 segundos cada 2 horas; hace 1 mes que se viene atrasando. ¿Qué hora marcará si son en realidad las 4h 22’? a) 4h 46’ b) 4h 24’ c) 3h 58’ d) 3h 24’ e) N.a. 14. Un reloj se adelanta 4 minutos cada 6 horas, hace 12 días que se viene adelantando, ¿Qué hora son en realidad si marca 2h 8’? a) 10h 56’ b) 11h 56’ c) 5h 20’ d) 3h 12’ e) N.a. 15. Un reloj comienza adelantarse 5 minutos cada 10 horas. ¿Cuánto tiempo pasará para que marque la hora exacta nuevamente? a) 40 días b) 50 días c) 60 días d) 70 días e) 30 días 16. Un reloj se adelanta 1 minuto cada 15 minutos. Si ahora marca las 4h 20’ y hace 1/3 del día que funciona con ese desperfecto, la hora correcta es: a) 4h 28’ b) 4h 52’ c)3h 48’ d) 3h 52’ e) N.a. 17. ¿Qué hora es? Sé que son antes de las 3:00 de la tarde; sin embargo, mi reloj marca las 3h 30’. También sé que mi reloj se adelanta 2’ cada 3 horas, desde hace dos días. a) 2h 56’ p.m. b) 2h 58’ am. c) 2h 57’ p.m. d) 2h 58’ p.m. e) N.a. 18. ¿A qué hora después de las 3 el número de minutos transcurridos a partir de las 3 es igual al número de grados que adelantan el minutero al horario? a) 3h 10’ b) 3h 15’ c) 3h 20’ d) 3h 25’ e) 3h 30’ 19. Un reloj se adelanta 7’ cada 6 horas. ¿Al cabo de 18 horas se habrá adelantado? a) 21’ b) 42’ c) 3,5’ d) 14’ e) Ninguna 20. Un reloj se adelanta 4’ cada 7 horas ¿A que hora empezó a adelantarse, si las 11hrs 10’ de la noche marca 11hrs 38’? a) 3hrs 10’p.m b) 3hrs 10’a.m c) 10hrs 10’p.m d) 10hrs 10’p.m e) 4hrs 20’p.m TAREA DOMICILIARIA 01. Un reloj demora 5 segundos en dar las 6, empezando exactamente a las 6:00. Si los tic tac están uniformemente espaciados. ¿Cuántos segundos tarda en dar las 12:00? a) 11 s b) 9 s c) 12 s d) 20 s e) N.a. 02. ¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido? a) 9h 36’ a.m. b) 8h 20’ p.m. c) 9h 20’ p.m. d) 8h 15’ p.m. e) N.a. 03. Los 2/3 de lo que falta transcurrir de un día equivale al doble de lo transcurrido. ¿Cuántas horas faltan para el medio día? a) 4 b) 6 c) 12 d) 18 e) 20 04. Mirando un reloj se observa que la parte transcurrida del día es igual a los 3/5 de lo que falta por transcurrir. ¿Qué hora es en el momento que se miró el reloj? a) 8 a.m. b) 6 p.m. c) 9 a.m. d) 8 p.m. e) N.a. 05. La hora que falta para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en relación de 3:5. ¿Cuántas horas han transcurrido desde el mediodía? a) 5h b) 4h c) 3h d) 2h e) 6h 06. ¿Qué hora es, si falta del día, la tercera parte de lo que faltaba hace 6 horas? a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 10:00 a.m. d) 8:00 p.m. e) 9:00 p.m. 07. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 4h 40’? a) 110° b) 130° c) 100° d) 124° e) N.a. 08. ¿A qué hora entre las 6 y las 7 las agujas del reloj estarán superpuestas? a) 6h 30’ b) 6h 31’ c) 6h 31 7/11 min. d) 6h 32 8/11’ e) N.a. 09. Son las 8 de la noche, a que hora las agujas del reloj forman primera vez un ángulo de 70° ? a) 8h 30 10/11’ b) 8h 31 2/11’ c) 8h 35 1/11’ d) 8h 31 5/11’ e) N.a. 10. Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de un reloj forman un ángulo recto? a) 5h 51 2/11’ b) 4h 54 6/11’ c) 5h 10 10/11’ d) 5h 11 2/11’ e) N.a. SOLUCIONARIO