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RAICES EJERCICIOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Raíz enésima , Raíces y operaciones , Potencias de exponente racional , Racionalización , Raíces enésimas, problemas y ecuaciones , Resolución de problemas , Para no cometer errores, MATEMÁTICA 2.º MEDIO Raíces De esto se trata… Las redes sociales han tenido un gran impacto en nuestro mundo, y todo indica que así seguirá siendo. Como nunca antes hoy es posible difundir una noticia en pocos minutos a practicamente todo el mundo, contando solo con que las personas que reciben una información la reenviarán. En ocasiones esto da pie a malos entendidos o a informaciones falsas, con o sin mala intención. El uso de redes sociales exige una gran responsabilidad en la difusión de noticias; en general, las personas subestiman las consecuencias de lo que se puede difundir, y se asume erróneamente que algo “lo verá muy poca gente”. La experiencia ha demostrado que no es necesario que sean muchas las personas que lean una información para que esta se difunda con mucha rapidez. El comportamiento de estas redes es un campo de estudio muy apreciado por empresas de publicidad que buscan difundir un contenido. La clave del éxito para estas empresas es conseguir, sin enviar demasiados mensajes, una difusión amplia y rápida. ¿Cuál es el menor número de personas a las que se debe enviar una información, para que esta se propague? ¿Y si es necesario que eso ocurra antes de una fecha u hora determinada? Estas son algunas de las preguntas a las que se enfrentan publicistas y encargados de distintos tipos de campañas. En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. ➊ Una persona publica una información que es vista por n personas. Cada una de ellas le informa, al minuto siguiente, a n personas más, y así sucesivamente. Al cabo de 20 minutos, la información es conocida por más de un millón de personas. Estimen el valor de n. ➋ El valor de n en la pregunta anterior es 2. En general, ¿qué tan bien estimamos este tipo de crecimientos? ➌ ¿Qué precauciones toman en el uso de redes sociales? Comenten con sus compañeros. Actividad grupal Propósito: que comprendas la definición de raíz enésima, y la apliques en el cálculo de resultados de operaciones y en la resolución de problemas. ¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá… A definir raíces y calcularlas aplicando su definición. Lección 5 realizar cálculos que permiten resolver distintos problemas. A realizar operaciones con raíces. Lección 6 A interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas. Lección 7 A racionalizar expresiones fraccionarias. Lección 8 A resolver problemas que involucran raíces. Lección 9 § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Base Ü Exponente Ü Potencia Ü Raíz Ü Subradical Explorando tus ideas previas Actividad Unidad 1 • números 31 1 2 3 4 ¿Qué debes saber? Autoevaluación: Indicador Sí No Calcular potencias de base racional y exponente entero. Más de 2 respuestas correctas 2 o menos Resolver operaciones que involucran potencias. Más de 2 respuestas correctas 2 o menos Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web… http://goo.gl/fxySW http://goo.gl/LghWU para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Realiza las siguientes actividades. Calcular potencias de base racional y exponente entero 1 Escribe como potencias las siguientes expresiones. a. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 b. 5 • 5 • 5 • 5 c. 7 • 7 • 7 d. 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x e. ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab f. –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 g. (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) h. 2 Resolver operaciones que involucran potencias 4 Reduce las siguientes expresiones, y calcula su valor cuando sea posible. a c l. (6)¹³ : (6)¹¹ m. (–21)² : (–21)– n. (–12)³ : (–12) 5 Reduce las siguientes expresiones, y calcula su valor cuando sea posible. a. 3³ • 4³ b. 2 6 − − 6 Resuelve en cada caso las siguientes operaciones. a. (13 : 13 ) • 1 ón Raíz enésima Propósito: de nir raíces y calcularlas aplicando su de nición. En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Un problema imposible de resolver en la geometría clásica –es decir, solo utilizando una regla no numerada y compás- es la duplicación del cubo, es decir, a partir de un cubo cualquiera construir otro cuyo volumen sea el doble del inicial. V=1u³ V=2u³ 1 Para abordar la duplicación del cubo, podemos suponer que tenemos uno cuya arista mide 1 u, y deseamos construir otro cuyo volumen sea el doble. a) ¿Cuál es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir? b) La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo? c) Si el lado de un cuadrado mide x, su área se calcula mediante la fórmula A = x² Si la arista de un cubo mide x, ¿cuál es la fórmula para calcular su volumen? d) Macarena realiza la siguiente a rmación: “para encontrar la medida del lado de un cuadrado cuya área es 2, debo encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 2”. ¿Qué número debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo pedido? De la misma manera que definimos la raíz cuadrada de un número a como el número que elevado a 2 da como resultado a, podemos definir otras raíces de acuerdo al resultado obtenido al calcular una potencia. Por ejemplo: 3•3= 3² = 9 → 3 elevado a 2 es igual a 9 → 3 es la raíz cuadrada de 9 → 9 = 2 9 =3 2•2•2= 2 = 8 → 2 elevado a 3 es igual a 8 → 2 es la raíz cúbica de 8 → x•x•x•x•x= x = –19 → x elevado a 5 es igual a -19→ → x es la raíz quinta de -19 Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Un problema imposible de resolver en la geometría clásica —es decir, utilizando solo una regla no numerada y compás— es la duplicación del cubo, es decir, a partir de un cubo cualquiera construir otro cuyo volumen sea el doble del inicial. V=1u³ V=2u³ 1 Para abordar la duplicación del cubo, podemos suponer que tenemos uno cuya arista mide 1 u, y deseamos construir otro cuyo volumen sea el doble. a) ¿Cuál es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir? b) La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo? c) Si el lado de un cuadrado mide x, su área se calcula mediante la fórmula A = x² Si la arista de un cubo mide x, ¿cuál es la fórmula para calcular su volumen? d) Macarena realiza la siguiente a rmación: “para encontrar la medida del lado de un cuadrado cuya área es 2, debo encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 2”. ¿Qué número debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo pedido? De la misma manera que definimos la raíz cuadrada de un número a como el número no negativo que elevado a 2 da como resultado a, podemos definir otras raíces de acuerdo al resultado obtenido al calcular una potencia. Por ejemplo: 3 • 3= 3² = 9 → 3 elevado a 2 es igual a 9 → 3 es la raíz cuadrada de 9 → 9 = 2 9 =3 2 • 2 • 2= 2 = 8 → 2 elevado a 3 es igual a 8 → 2 es la raíz cúbica de 8 → 3 8 =2 x • x • x • x • x = x = –19 → x elevado a 5 es igual a –19→ 5 –19 = x → x es la raíz quinta de –19 Dato Existen otros dos problemas imposibles de resolver en geometría clásica: § La trisección del ángulo: dado un ángulo, dividirlo en tres ángulos congruentes. § La cuadratura del círculo: dado un círculo de radio conocido, construir un cuadrado que tenga la misma área. Ayuda Las expresiones 3 8=2 y 2³ = 8 entregan la misma información; podemos decir que 2³ = 8 es la potencia equivalente a 3 8=2. 5 Unidad 1 • números 33 1 2 3 4 En general, si n es un número natural mayor que 1 y a es un número real, decimos que xn = a, entonces x es la raíz enésima de a: xn =a n a = x x es la raíz enésima de a. Además, a se llama cantidad subradical y n es el índice de la raíz. 2 Calculen las siguientes raíces y justifiquen según el ejemplo: 4 81=3 , porque 3 = 81 3 125 5 –32 4 16 6 729 3 Observen los siguientes resultados: 3 64 = 4 pues 4³ = 64 3 –64 =–4 pues (–4)³ = –64 4 16 =2 pues 2 = 16 4 16 =–2 pues (–2) = 16 4 –16 ≠2 pues 2 = 16 4 –16 ≠–2 pues (–2) = 16 a) ¿Existe la raíz cuarta de –16? Justi quen. b) ¿Qué relación existe entre 3 64 y 3 –64? ¿Se cumplirá una relación similar entre 5 32 y 5 –32? Generalicen estos resultados. c) Si n es un número par y a es positivo, ¿siempre será posible encontrar dos valores para n a? ¿Por qué? Justi quen. A partir de los resultados anteriores, si a es un número positivo, se observa que: • Si n es impar, siempre es posible calcular n a y n –a. Además, n a es un número positivo y n –a = –n a. Por ejemplo: 5 243 =3 5 –243 =–5 243 =–3 • Si n es par, n –a no es un número real. Además, se define que n a solo es el valor positivo x que cumple que xn = a. Por ejemplo: 4 –2401 no es un número real 4 2401=7 Ayuda Puedes utilizar la calculadora para determinar el valor de las raíces enésimas. (en este caso, para la raíz quinta de 6): x Observa que… Cuando el índice de la raíz es 2, no se escribe: 2 a= a En caso que n a esté definida en los , se tiene, n a a n ( )= . Razona y comenta § ¿Cómo interpretarías la expresión 1 5? Justifica y discute tu afirmación con tus compañeros. En resumen Sea a un número real y n un número natural mayor que 1. Si xn = a, decimos que x es la raíz enésima de a, que se escribe n a. n a=x↔xn =a Si a es un número positivo, se observa que: Si n es par: • n –a no es un número real. • n a siempre es un número positivo. Si n es impar: • n a y n –a siempre son números reales. n –a=–n a Practiquemos lo aprendido 34 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Escribe como potencias las siguientes expresiones. a) 10 • 10 • 10 • 10 b) 4 • 4 • 4 • 4 • 4 c) a • a • a • a • a • a • a • a d) (b + 2) • (b + 2) e) 4 5 • 4 5 • 4 5 f) – 1 2 • – 1 2 • – 1 2 g) 1 625 h) 512 49 i) (2a + 3) • (2a + 3) • (2a + 3) j) b+1 c –1 • b+1 c –1 3. Escribe las siguientes expresiones como potencias con exponentes naturales. a) 3–¹ b) (4,2)–¹ c) 10–² –2 o) –10–² • 4–¹ Práctica guiada 4. Escribe para cada potencia una expresión equivalente con raíces. Guíate por el ejemplo. 2 = 16 24 = 16 4 16 =2 a) 3 = 81 b) 4² = 16 c) (–6) = –216 d) ax = b e) 4y = c f) 2 5. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo. 3= 5 x Paso 1 Se determina la potencia equivalente. 3= 5 x 35 = x Paso 2 Se calcula el valor de x. 3⁵ = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243 a) 2= 5 x b) 6= 3 x c) 4= x d) 3= 3 x e) 1 2 = 3 x f) 4 5 = x g) 3 2 = 4 x h) 0,25= x i) 2,5= 3 x j) 5= 3 x2 6. Calcula, cuando sea posible, el valor de las siguientes raíces utilizando los valores dados. Justifica cuando no sea posible. Guíate por el ejemplo. 2²= 4 2³= 8 2 = 16 2 = 32 3²= 9 3³= 27 3 = 81 3 = 243 5²= 25 5³= 125 5 = 625 5 = 3125 3 –125 Paso 1 Si es necesario se determina una expresión equivalente 3 –125 =–3 125 – Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 35 1 2 3 4 § ¿Cómo interpretarías la expresión –3 n? Discute con tus compañeros. Reflexiona Paso 2 Se calcula el valor pedido –3 125 =–5 a) 3 –27 b) 3 –8 c) 3 125 d) –9 e) 4 f) 4 –81 g) 5 –243 h) 25 i) 4 625 j) –25 k) 4 16 l) 4 –16 m) 5 3125 n) 5 –32 Aplica 7. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) 4+3 27 b) 4 256+ 81 c) 2 64−3 8 d) 3 64+33 8 –57 1 e) 4+4 4 625 f) 10000 – 1 2 4 3 1000 g) 36 6 + 2 729 3 3 h) 49+3 2401 7 4 i) 5 32(3 4+3 216 – 23 27) 8. Utiliza la calculadora para determinar una aproximación redondeada a la milésima de las siguientes expresiones. Calcula además el error relativo cometido en la aproximación. a) 3 2 b) 4 5 c) 5 12 d) 23 6 e) 37 18 f) 85 –19 g) 3 11– 2 5 h) 73 0,2 – 4 8 i) 4 5 21+6 13 9. Determina qué condiciones debe cumplir en cada caso el número real a para que la raíz pueda calcularse en los números reales. a) a b) 3 a c) 4 a d) a+1 e) 4 a–1 f) a 2 6 g) h) 3a i) – 2a 3 7 j) – 4a 5 6 k) (a+1)(a–1) l) (a+2) (a–2) 10. Desafío: realiza la siguiente actividad con tu calculadora. a) Escoge un número positivo mayor que 1, y calcula una raíz de él a tu elección (por ejemplo, su raíz séptima. b) Al resultado anterior, calcúlale su misma raíz enésima. c) Repite el paso anterior tantas veces como te permita la calculadora. ¿A qué resultado llegas? Explica por qué. d) Repite los pasos anteriores, con un número positivo menor que 1. ¿A qué resultado llegas? Compara con el caso anterior y explica. 11. Desafío: considera las siguientes raíces enésimas. 3 2 4 81 8 27 3 1024 5 3 5 a) Determina su valor con calculadora. b) A partir del cálculo anterior, ¿cuáles son irracionales? ¿Cuáles son racionales? Justifica. c) Considera la afirmación “si la raíz enésima de un número entero no es entera, es irracional”. ¿Te parece que es cierta? Investiga al respecto y da un contraejemplo si es falsa, o una demostración si es verdadera. 1 a 3 36 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Lección Sofía está realizando algunos cálculos que involucran raíces, y utilizará la calculadora para obtener su resultado final. Sin embargo, ha llegado a una expresión que le resulta difícil de manejar: 2 • 3 + 192 – 12 2 5 5 5 4 4 Para reducirla un poco deduce algunos resultados previos mediante los siguientes pasos: Paso 1 Plantea la siguiente relación: ( ) ( )( ) = ( ) = = = = = = 2 • 3 x / 2 • 3 x 2 3 x 2 •3 x 2 •3 x 6 x 6 2• 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Por lo tanto, 5 2 • 5 3= 5 6. En general, se puede utilizar la propiedad de la multiplicación de raíces de igual índice: n a • n b = n ab Paso 2 Para el segundo término, observa que: = = = = 192 32• 6 192 2 • 6 192 2 • 6 192 2 • 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 En general, se puede utilizar la propiedad de introducción y extracción de un término a una raíz: n anb =an b Observa que este resultado puede utilizarse de dos maneras, tanto para introducir términos en una raíz como para sacarlos. Para introducir un coeficiente a la raíz Para sacar una potencia de la raíz = = = 3 5 3 • 5 3 • 5 405 4 4 4 4 4 4 4 = = = = 112 8•14 2 •14 2 • 14 2 14 3 3 3 3 3 3 3 3 Propósito: realizar operaciones con raíces. Se busca una expresión equivalente. Se utiliza el producto de raíces de igual índice. Raíces y operaciones Producto de potencias de igual exponente. Por definición. Por definición. 6 Unidad 1 • números 37 1 2 3 4 Paso 3 Analiza la expresión 12 2 4 4 = = = = 12 2 2 • 6 2 2 6 2 6 12 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 En general, se puede utilizar la propiedad de la división de raíces de igual índice: = a b a b n n n Paso 4 Remplaza y reduce la expresión 2 • 3 + 192 – 12 2 6 +2 6– 6 3 6– 6 5 5 5 4 4 5 5 4 5 4 Los términos que contienen raíces con igual índice y cantidad subradical pueden sumarse o restarse de la misma manera en que se hace con términos semejantes. Si no son iguales, no podemos reducir las expresiones entre sí. Estos resultados nos permiten manejar expresiones más pequeñas, que puedan ser determinadas más cómodamente en la calculadora. Así, utilizando la calculadora tenemos que: 35 6 – 4 6 ≈2,7278 En general, aunque utilizamos la calculadora para obtener este tipo de resultados. Es conveniente que las expresiones sean lo más breves posibles pues nos permitirá disminuir el riesgo de errores gracias a que podremos realizar menos operaciones. Razona y comenta § En la sección 1 se vio que no siempre el producto de dos números irracionales da como resultado un número irracional. Por ejemplo: 2 • 8 y 8 : 2 no son números irracionales. Demuestra ahora por qué. § Determina en pocos pasos un procedimiento para ubicar en la recta las siguientes raíces cuadradas. Utiliza lo visto en la lección. 45 75 98 En resumen Es posible sumar o restar entre sí raíces enésimas si sus índices y cantidades subradicales son iguales. Si n a y n b pertenece a los , se verifican las siguientes propiedades: a • b= ab a b=a b a b = a b n n n n n n n n n Practiquemos lo aprendido 38 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones. a) wz + 5zw – 3y b) a+3a– 1 2 a c) m² + 4m² – 9m² d) 3a² + b – a² + b e) 12m²y + 3xy – 12m²y – xy f) 0,2x²y – 0,3xy² + 0,5x²y + x²y – 0,4xy² g) 15xy – 1 6 y – 3xy 2 2 3 +4y – 5xy 2 3 h) a b 2 –2ab +3a b– 6ab 5 2 2 2 2 2. Reduce las siguientes expresiones, y calcula su valor cuando sea posible. a) 2³ • 5³ b) 10² • 5² c) ab • cb • db d) 6 3 4 4 e) –16 4 6 6 f) x z y y g) (5–3)4 h) 3 b 3. Resuelve en cada caso las siguientes operaciones. a) 2 • 4 1 5 5 5 b) 16³ : 8³ • 3³ c 3 3 Práctica guiada 4. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 3 5 • 3 12 = 3 5•12 = 3 60 a) 3 6 • 3 4 b) 5 • 6 c) 6 3 • 6 12 • 6 2 d) 1 2 • 4 6 4 4 e) f) n a • n b g) 4 a • 4 a h) a b b • b 4 • b b 5. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 24 3 = 4 24 •3 = 4 16•3 = 4 48 a) 24 4 b) 4 2 c) an b d) 5 1 5 e) x 3 x f) 2n5 3 g) 4 5 4 125 h) 32 5 3 6. Reduce las cantidades subradicales de las siguientes expresiones hasta el menor número natural posible. Guíate por el ejemplo. 5 288 = 5 32•9 = 5 25 •9 =25 9 a) 5 96 b) 4 80 c) 3 108 d) 5 224 e) 4 240 f) 4 a7 g) 5 b8 h) 4 8 i) 648 384 3 j) a b4a 7. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo. = 12 5 12 5 7 7 7 a) 10 5 4 4 b) 6 3 –7 • 1 7 8 8 Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 39 1 2 3 4 § Una calculadora o un computador pueden realizar cálculos con gran rapidez, sin necesidad de que los valores se ingresen “reducidos”. ¿Qué sentido puede tener saber hacer esto manualmente? Discute con tus compañeros. Reflexiona c) 1024 4 5 5 d) a b 3 3 e) xy xy n n f) 4 b : 4 a g) + + 7 4 5 y 5 y h) 23b 8b 12 2 12 i) x+y x 3 3 j) 6 : 4 9 9 9 9 Aplica 8. Resuelve las siguientes operaciones. a) 19–2 2+1–2 2 b) 9,2 3+2 3+0,6+2 2 c) 2,27+4 8+ 2 7 3 +3 8 d) 21–3 5+7–7 5 e) 2,4+3 7– 3 2 3 – 3 7 f) 2,5 5+3 11– 3 5 5+ 11 g) 835–5 223+14–2 223 h) 8,3 51–22 51+1,8–21 49 i) 81– 2,1π+ 3+ π 6 13 3 – 3 3 j) 1,3π–3 11π– π π 3 5 –33 11 k) 125 –3,8+ 7– 1 2 – 7 3 3 l) 6+ 6+ 9 m) 169 • 25 13 • 1 625 9. Aplica las propiedades de las raíces para resolver las siguientes ecuaciones. a) 21+x – 4 8 =32– 8 b) 3 3+ 5+y=2 5 – 2 3 c) 1,5 9 • = 3 14 3+y 4– 12 5 3 3 d) x – 3=3– 18 •7 2 e) 2 : 4 5 3 – z= 98 : 2 f) 3 x = 4 3 • 2 10. Resuelve los siguientes problemas. a) Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide 5 3 cm. b) Calcula el área de un círculo cuyo radio mide π m. c) Calcula el perímetro de un triángulo, cuyos lados miden 75 m, 100 m y 125 m. d) Calcula el perímetro y el área de un rectángulo cuyo largo mide 3 24 m, y su ancho, 3 375 m. e) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas miden 2 cm, 6 cm y 10 cm. 11. Calcula el valor numérico de cada expresión: a) 9 •2 3• 2 3 b) 5,3 50 : (2 2) c) 2,9 •9 27 • 1 21 3 d) 3 11 : 3 5 11 3 3 e) 81•2,7 • 3 3 • 3 3 f) a •(–4a 24 ) : 24 g) (2 8 – 4 8) : 2 2 h) 11, 4 : 103 9 ( 3 4 : 3 4 ) i) 1,3•3a 25 – 3 5 a–33a3 125 j) a 12 : (b 12) •b–12a+1 40 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Lección En años anteriores se definió que si n es un número natural, an, corresponde a una multiplicación de n factores, todos iguales a a. Con esta definición no es natural pensar que n pueda ser igual a –2, por ejemplo, pues correspondería a multiplicar “–2 factores” iguales a a. De la misma manera, tampoco resulta muy comprensible que el exponente pudiera ser igual a 1 5 . Sin embargo, sí podemos hacer una interpretación de lo que corresponde a una potencia de exponente entero o racional. Paso 1 Sabemos que, para dividir dos potencias de igual base, se mantienen las bases y se restan los exponentes. Por lo tanto: = = 3 3 3 3 5 7 5–7 –2 Si para realizar este cálculo desarrollamos las potencias, tendríamos que: = = = = 3 3 3• 3• 3• 3•3 3• 3• 3• 3• 3• 3•3 3 • 3 • 3 • 3 • 3 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3•3 1 3•3 1 3 5 7 2 Por lo tanto, se puede interpretar que 3 1 3 –2 2 = . En general, a 1 a –n n = . Paso 2 Sabemos también que (72 )3 =72•3 =76 . En general, podemos utilizar la propiedad de potencia de potencia am a ( )n m•n = . ¿Cómo se puede interpretar 5 1 4? Podemos llamarlo x, y aplicar la propiedad anterior: por definición = ( ) = = = = 5 x / 5 x 5 x 5 x / 5 x 1 4 4 1 4 4 4 1 4 •4 4 1 4 4 Por lo tanto, se puede interpretar que 5 5 1 4 = 4 . En general, podemos interpretar una potencia de exponente 1 n (con n número natural mayor que 1) como la raíz enésima de la base: a = n a 1 n Propósito: interpretar las raíces como potencias de exponente racional. En las potencias, si a y b son números racionales distintos de cero, y m y n son enteros, se cumple que: an • am = an+m an : am = an–m (an)m = amn an • bn = (ab)n an : bn = (a : b)n a = 1 No existen propiedades para la multiplicación y división de potencias de distinta base o distinto exponente. Debes saber… Potencias de exponente racional 7 Unidad 1 • números 41 1 2 3 4 Paso 3 Interpretaremos ahora el sentido de la expresión a 2 3, utilizando los resultados anteriores. Tenemos dos formas de hacerlo y son equivalentes entre sí. ( ) = = = a a a a 2 3 1 3 •2 2 3 2 1 3 ( ) = = = a a a a 2 3 2• 2 3 2 3 2 1 3 Es decir, a a a 2 3 = 3 2 = 3 2 . En general, a n a a m m n mn = = . Estos resultados nos permiten reducir expresiones y demostrar otras propiedades, como se muestra: Propiedad Ejemplo nr amr =a =a = n am m r n r mn 8 36 =2•4 32•3 = 4 33 ( ) = = = a • b a •b ab ab m n m n n m mn mn mn 5 92 • 5 52 = 5 452 = = = a b a b a b a b n m n m n m mn mn mn = 2 11 2 11 7 4 7 4 7 4 = = = ( ) a • a a • a a a m n p q mq+np nq mn p q mq+np nq = = ( ) = + 6 21 • 7 22 21 •2 2 42 219 6 2 7 7 12 42 = = = a ( ) a a a a a n m q p nq mq–np mn p q mq–np nq 8 8 8 8 8 8 8 5 4 3 1 – 15 7 4 5 1 3 4 5 1 3 12 5 = = ( ) = ( 15 ) = − m n a a a • a mn a 1 n 1m 1 n 1m 1 = (( ) ) = ( ) = ( )mn = 3 5 10 = ((10) ) = (10) = 15 10 1 5 1 3 1 15 Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional sí es posible realizar algunas operaciones que con exponentes enteros no habríamos podido realizar, ya que en este caso siempre será posible igualar los exponentes. Por ejemplo: = 5 • 7 5 •7 3 8 5 12 38 5 12 Tenemos un producto de potencias con distinta base y exponente, que hasta el momento no habíamos podido operar. En este caso amplificaremos los exponentes para que tengan igual denominador, lo que nos permitirá luego igualarlos, como se muestra. 5 •7 5 •7 5 •7 5 • 7 5 •7 9 10 24 9 10 38 5 12 3 • 3 8 • 3 5 • 2 12 • 2 9 24 10 24 1 24 1 ( ) ( )24 = = = = Ayuda La interpretación de una raíz como potencia de exponente racional se puede calcular en la planilla de cálculo. Por ejemplo, para calcular 3 5, puedes utilizar el siguiente comando: =POTENCIA(5;1/3) Razona y comenta § Hemos definido las raíces enésimas considerando solo números naturales para el índice, es decir: 5 3 8 4 21 7 17 9 § ¿A qué raíces enésimas son equivalentes las siguientes expresiones? Justifica. 5– 1 2 7– 1 3 2– 1 4 8– 1 5 En resumen Una raíz enésima puede relacionarse con una potencia de exponente racional, como se muestra: a = n am = n am mn Al considerarla así, es posible aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias. Practiquemos lo aprendido 42 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones para expresar el resultado en una única potencia. 5. Representa como potencias las siguientes raíces. Guíate por el ejemplo. 5 5 1 = 2 a) 13 b) 3 2 4 c) 3 a+b d) – 8 e) 2 5 5 6 f) 5 a7 g) (3+5x)2 h) 9 (–2)7 i) 4 3–4 j) b 2a2 6. Representa las siguientes raíces como otra raíz equivalente, con el menor índice posible. Guíate por el ejemplo. 6 515 =5 =5 = 5 3 •5 Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 43 1 2 3 4 § Como viste en la lección, en ocasiones se definen operaciones que luego deben ser interpretadas nuevamente para darle sentido. ¿Conoces casos similares en otras disciplinas? Comenta con tus compañeros. Reflexiona 7. Reduce las siguientes multiplicaciones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 4 23 • 4 33 =2 •3 =(2•3) = 6 4 3 4 3 4 3 3 4 a) 65 • 75 b) 54 • 44 c) 5 7–3 • 5 3–3 d) 4 • 10 1 2 5 1 2 5 e) 6 –108 • 6 78 f) g) a 6b • a 9b h) (1+x) • 6 5 2 5 2 i) –c 5a3a • c xa j) (−5)3 • 53 8. Expresa las siguientes divisiones como una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 9. Expresa las siguientes multiplicaciones de raíces de igual base como una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 3 42 • 5 46 4 • 4 4 4 2 3 6 Se llama racionalizar una expresión fraccionaria a encontrar otra expresión equivalente a ella, pero que no contenga raíces en el denominador. Puedes verificar utilizando la calculadora que: 1 2 1: 2 2: 2 2 2 = = = Para determinar esta expresión buscaremos en cada caso el valor por el cual debemos amplificarla. Caso 1 Consideremos el caso 4 5 . Necesitamos amplificarla por un número que, multiplicado por 5 dé como resultado un número racional. Lo más sencillo es que sea precisamente 5, pues 5 • 5=5. Por lo tanto: 4 5 4 = 5 • 5 =5 Hemos obtenido así una expresión cuyo denominador es un número entero. En general: = a b a b b Caso 2 Consideremos el caso 4 5 73 . ¿Qué número multiplicado por 5 73 da como resultado un número entero? Podemos observar que 5 73 • 5 72 = 5 75 =7 , por lo que amplificaremos por 5 72 . 4 7 4 7 • 7 7 4 7 7 7 4 7 7 5 3 5 3 5 2 5 2 5 2 5 3 5 2 5 2 = = = En general, para m < n tenemos que: = a b a b n m b n n–m Propósito: racionalizar expresiones fraccionarias. Toda fracción se puede amplificar por un número distinto de cero, obteniendo así una fracción equivalente. Por ejemplo: 3 5 • 6 6 3 • 6 5 • 6 18 30 = = Debes saber… Racionalización Dato Existen análisis matemáticos que requieren estudiar el denominador de una fracción, por lo que se necesita que esté expresado de la manera más simple posible. Por esto, se evitan las raíces inexactas en el denominador. amplificando Ayuda ¿Por qué escogimos 5 72 para amplificar? Comenzamos buscando una expresión del tipo 5 7x . Así, 5 73 • 5 7x = 5 73+x Lo más sencillo es hacer que 5 73+x = 5 75 =7. Por lo tanto, 3 + x = 5 x = 5 – 3 x = 2 8 Unidad 1 • números 45 1 2 3 4 Caso 3 Consideremos ahora los casos 3 15– 2 y 3 15+ 2 . Ahora hay dos raíces cuadradas en el denominador. Para determinar el término por el cual amplificar utilizaremos el producto notable conocido como suma por diferencia: ( )( )= = = 15+ 2 15– 2 15 – 2 15–2 13 2 2 Por lo tanto, la primera fracción la amplificaremos por 15+ 2, y la segunda, por 15– 2. Obtendremos así una diferencia de cuadrados que será un número entero. 3 15– 2 3 15– 2 • 15+ 2 15+ 2 3 15+ 2 15– 2 15+ 2 3 15+3 2 15 – 2 3 15+3 2 15–2 3 15+3 2 13 b–c En ocasiones habrá que utilizar más de una vez estos procedimientos, o más de uno de ellos en cada caso, para racionalizar expresiones más complejas. Ayuda Suma por diferencia (x – y)(x + y) = x – y Razona y comenta § ¿Qué procedimiento se puede utilizar para racionalizar la siguiente expresión? 1 3 –1 § Ubica en la recta numérica los siguientes números irracionales: 1 3 ; 1 5 – 2 ; 1 5 81 ; 1 7 En resumen Dada una expresión que contiene una o más raíces inexactas (irracionales) en su denominador, se llama racionalizar al proceso de encontrar una expresión equivalente a ella que no contenga raíces en el denominador. Para ello se pueden emplear las siguientes equivalencias: a b = a b b a b = a b b a b± c = a b± c b–c n m n n–m ( ) Practiquemos lo aprendido 46 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Resuelve los siguientes productos notables. a) (a + b)² b) (x – y)² c) (2 + a)² d) (xy – 4a³)² e) (5 + b)(5 – b) f) (3a + 5)(3a – 5) g) (4x – 1)(4x + 2) h) (x + 3)(x + 4) i) (a – 3)(a² + 9 + 3a) j) (4 + x³)(16 + x – 4x³) k) (x + y + 2z)² l) (2a + b²)² m) (3a² + 4xy³)² n) (5x² + 3)(5x² – 3) 2. Reduce las siguientes expresiones. a) (1– 2) 2 b) 5 – 1 5 5+ 1 5 c) (x – 8)(x – 8) d) (2– 2) –(2– 2)(2+ 2) 2 e) b b– 1 a 3 3 a 3 f) a b b a x4 – x6 – 3 x 6 + x2 2 ( ) Práctica guiada 3. Determina para cada expresión otra equivalente sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo. = = = 1 3 1 3 • 3 • 3 3 3 3 3 3 a) 1 6 b) 1 8 c) 3 a d) – 21 2 e) 5 3 6 f) g) 5 13 h) x y i) 6 x+y j) 5 3z 4. Determina para cada expresión otra equivalente sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo. = = = = = 2 4 2 4 • 4 4 2 4 4 4 2 4 4 • 4 2 4 4 2 4 4 5 2 5 2 5 5–2 5 5–2 5 3 5 2 5 3 5 3 5 2 3 5 3 5 5 5 3 a) 2 3 4 b) – 12 3 72 c) 10 23 16 d) 2 3 a2b e) f) a 13 b7 g) – 5 83 625 h) a 125b 2 6 4 5. Determina para cada expresión otra equivalente sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo. ( )( ) = = = = = 4 3+ 10 4 3+ 10 • 3 – 10 3 – 10 4 3–4 10 3+ 10 3 – 10 4 3–4 10 3 – 10 4 3–4 10 3–10 – 4 3–4 10 7 2 2 a) 1 2+ 8 b) 9 5 – 3 c) 17 18– 11 d) 32 21– 13 e) 1 7– 6 f) 2 2+ 2 g) – 3 4– 5 h) – 7 7+ 12 i) 1+ 2 1– 2 j) 15 2 4+3 5 – 2 7 3 7 5 43 Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 47 1 2 3 4 § Investiga respecto a la utilidad de racionalizar una expresión. ¿Qué sentido puede haber tenido hacerlo hace doscientos años? ¿Qué sentido puede tener hacerlo ahora? Reflexiona Aplica 6. Determina para cada expresión otra equivalente sin raíces en el denominador. Si es necesario aplica más de una vez los procesos vistos. a) 5 5+ 2 b) x x+ 3 c) 1 4 2+ 3 d) 4– 3 4+ 3 e) 1 5 3 1024b10 f) 1 4 2+4 6 g) 2 1 2 3 h) 6 –4 6+4 i) a 4 27a2 j) 3x– xy 3 xy –y 7. Racionaliza y luego evalúa la expresión obtenida para a =5, b=2 y c=6. a) c a b) b b c) c 3 a d) 1 4 a+b e) a a –1 f) c a – b g) b b+ b h) a 2 c– b 8. Calcula a² + b² si a= 1 2 3– 6 y b= 5 2 3+ 6 9. Calcula a² – b² si a= 2 2 – 5 y b= –4 2+ 5 10. Calcula (a + b)² si a= 3 5 8 y b= 3 4 6 11. Calcula 4a² + 8ab + 4b² si a= 1 5+ 3 y b= 1 5– 3 12. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo. ( ) ( ) ( )( ) = = = = 1 6+ 5 1 6+ 5 • 6 – 6 •5+ 5 6 – 6 •5+ 5 6 – 6 •5+ 5 6+ 5 6 + 6+ 5 • – 6 •5 + 6+ 5 5 6 – 30+ 5 6+ 5•6 – 6 •5 – 6 •5 + 5 •6 +5 6 – 30+ 5 11 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 a) 1 3 2+3 4 b) 2 3 5+3 8 c) 3 33 9+33 10 d) 1 2+3 12 e) 2c 3 c – 3 b f) 1 3 6 – 3 3 g) 5 23 5+3 4 h) 1 3 4 3 – 3 5 i) 2 3 6 –1 j) 5b–c 3 a – 3 b 13. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones. a) 3 2 – 3+ 5 b) 7 2– 3+ 2 c) a–b 3 (a–b)2 48 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Lección Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo alemán que describió las relaciones entre las masas de los planetas, sus distancias y sus órbitas. La tercera ley de Kepler permite relacionar el período de traslación t de un planeta (medido en años terrestres) con su distancia d al Sol –medida en unidades astronómicas– por medio de la siguiente fórmula t= d3 El período de traslación t del planeta Marte es de 1,8809 años terrestres. ¿Cuál es su distancia al Sol? Para averiguarlo, resolvemos la siguiente ecuación: = = = = 1,8809 d 1,8809 d 3,53778481 d 3,53778481 d d 1,52 3 2 3 2 3 3 Hemos resuelto una ecuación cuya incógnita se encontraba en la cantidad subradical de una raíz. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones radicales. Como regla general, para resolverlas aislamos una raíz a uno de los lados de la ecuación y elevamos a la potencia adecuada para eliminarla. Es preciso además comprobar que la solución obtenida no sea contradictoria con las restricciones de la raíz. Observa en los siguientes casos. Caso 1 Considera las ecuaciones 2x+8 – 3x – 6 =0 y 2x – 8 – 3x+6 =0 ( ) = = = = 2x+8– 3x –6 0 2x+8 3x–6 / 2x+8 3x–6 x 14 2 Al remplazar en la ecuación se obtiene: = = = = 2 •14+8– 3•14–6 0 28+8– 42–6 0 36– 36 0 6–6 0 ( ) = = = = 2x–8– 3x+6 0 2x–8 3x+6 / 2x–8 3x+6 x –14 2 Al remplazar en la ecuación se obtiene: = = = 2 • –14–8 – 3• –14+6 0 –28–8 – –42+6 0 –36 – –36 0 Podemos observar que en la primera ecuación, al remplazar el valor obtenido se confirma que es correcto porque la igualdad se satisface. En la segunda, el valor obtenido genera raíces cuadradas de números negativos, lo que no es válido en los números reales. Por lo tanto, en la primera ecuación la solución es x =14, mientras que la segunda no tiene solución. Para que una raíz de índice par esté definida, es necesario que su cantidad subradical no sea negativa. Debes saber… Raíces enésimas, problemas y ecuaciones Dato Una unidad astronómica (UA) corresponde a la distancia de la Tierra al Sol. Con ello, se puede medir la distancia de los demás planetas en unidades astronómicas. Venus Tierra 0,72 UA 1 UA Sol Propósito: resolver problemas que involucran raíces. Se deja una raíz a cada lado, y se eleva al cuadrado. 9 Unidad 1 • números 49 1 2 3 4 Caso 2 Considera la ecuación x+11+ 4x+9 – 9x+34 =0 En este caso es preciso aislar una de las raíces y será necesario elevar al cuadrado dos veces, como se muestra: ( ) ( )( ) ( ) = = = = = = = = x+11+ 4x+9 – 9x+34 0 x+11+ 4x+9 9x+34 / x+11+2 x+11 4x+9 +4x+9 9x+34 2 4x +53x+99 4x+14 /:2 4x +53x+99 2x+7 / 4x +53x+99 4x +28x+49 25x –50 x –2 2 2 2 2 2 2 Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que: = = = –2+11+ 4 • –2+9– 9• –2+34 0 9+ 1– 16 0 3+1–4 0 No se verifican restricciones, por lo que la solución es válida. Caso 3 Considera la ecuación 5–2x 98–2x x+7 2 = . Podemos multiplicar la ecuación a ambos lados por x+7 y resolvemos ( )( ) ( ) = = = = = = = 5–2x 98–2x x+7 / • x+7 5–2x x+7 98–2x 5–2x x+7 98–2x –9x –2x +35 98–2x / –9x –2x +35 98–2x –9x 63 x –7 2 2 2 2 2 2 2 2 Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que: 5–2 • –7 98–2 –7 –7+7 19 0 0 2 ( ) = = Observa que este valor hace que el denominador de la fracción sea igual a cero, esto no debe ocurrir. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. Se aísla una de las raíces y se eleva al cuadrado. Se aplica la propiedad del producto de raíces. Se reducen términos semejantes Se eleva al cuadrado nuevamente Razona y comenta § ¿Sabemos que por definición la raíz cuadrada de x es el valor positivo que, multiplicado por sí mismo, da como resultado x. ¿Por qué la ecuación 2x+5+ 3x –8 =0 no tiene solución? Justifica. En resumen Una ecuación radical es aquella cuya incógnita se encuentra en una cantidad subradical. Para resolverla es necesario utilizar las propiedades de las raíces y considerar sus restricciones. Practiquemos lo aprendido 50 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Desarrolla las siguientes potencias. a) (a + b)2 b) (x + y)3 c) (2 – y)2 d) (p – 3)3 e) (2a + 5)2 f) (4c – 3)3 g) (p2 + q3)2 h) (2ap3 – 5q)2 2. Determina en cada caso qué condición debe cumplir a para que sea posible calcular la raíz. a) a b) a+5 c) a–8 d) 4 a–3 e) 6 3a– 8 f) 10 5a3 Práctica guiada 3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo. ( ) = === x+6 – 2x–6 0 x+6 2x –6 / x+6 2x –6 x 12 2 Al remplazar en la ecuación se obtiene: − = == 12+6 2 •12–6 0 18– 18 0 0 0 No hay restricciones, por lo que la solución es válida. a) 2x+2 – 3x+1=0 b) x –10 – 5x – 6 =0 c) 4x – 5+ x+12 =0 d) x+4 – 6x – 6 =0 e) f) x2 –25 + x2+5x =0 g) 3x+9 – 63=0 h) x+5 + x+3=2 4. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = = = = ==== x+4+ 49x+9 64x+25 / x+4+2 x+4 49x+9 +49x+9 64x+25 2 x+4 49x+9 14x+12 x+4 49x+9 7x+6 / 49x +205x+36 49x +84x+36 205x 84x 121x 0 x 0 2 2 2 2 Al remplazar en la ecuación se obtiene = = = 0+4+ 49• 0+9 64 • 0+25 4+ 9 25 2+3 5 No hay restricciones, por lo que la solución es válida. a) x – 3= 4x – 3 – x+6 b) x+16 + 4x+52 = 9x+124 c) x+9 + 16x+84 = 25x+141 d) x+6 = 16x+48 – 9x+22 e) 5x+35= 20x+181– 5x+56 f) x+1+ 25x+329 = 36x+484 g) 2x – 25= 32x – 263 – 18x – 200 h) 3x – 23= 27x – 251– 12x –120 i) 4x – 3+ 9x – 27 = 25x – 66 j) x+5+ 64x – 255 = 81x – 308 5. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo. ( )( ) ( ) = = = == = 2–3x 7–3x x –1 2–3x x –1 7–3x 2–3x x –1 7–3x / –3x +5x –2 7–3x 5x 9 x 9 5 2 2 2 2 2 2 Al remplazar en la ecuación se obtiene: = = = 2–3• 9 5 7–3• 9 5 9 5 –1 2– 27 5 7–3• 81 25 4 5 – 17 5 7– 243 25 4 5 2 1 2 x+3 – 3 2 x – 5=0 Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 51 1 2 3 4 § Discute con tus compañeros los resultados obtenidos en la pregunta 13. ¿Es consciente, la mayoría de la gente, de los efectos de un leve aumento en una tasa de interés? ¿Cómo eso puede afectar y producir un sobreendeudamiento de las personas? Reflexiona Hay raíces con cantidad subradical negativa, por lo que la solución no es válida. a) 7–3x 1– 6x 2x –1 2 = b) 2+4x 7+12x 3x –1 2 = c) 2+5x 7+10x 2x –1 2 = d) 9x+1 7+18x 2x+3 2 = e) 8x+1 8x x+5 2 = f) 6x+3 3+6x x+3 2 = g) x–2 10+2x 2x 2 = Aplica 6. Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones y verifica su validez. a) 3 x+5 =3 b) 16x2 +x –3 =2 x c) x+3 – x –7 = 4 4x –1 Resuelve los siguientes problemas 7. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma una unidad, se obtiene el número 3. ¿Cuál es el resultado de calcular la raíz cúbica del doble del número? 8. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es 4 16cm2? 9. ¿Cuál es la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es de 8 64cm3? 10. Los lados de un rectángulo miden 3 3 y 4 3. ¿Cuánto mide su diagonal? 11. ¿Cuál es el radio r de un cilindro de altura h igual a 16 cm y volumen (V) de 64 cm3? (el volumen del cilindro está dado por V= r2 •h) 12. Conexiones: se puede calcular el tiempo t (en segundos) que tarda un objeto en caer al suelo si se lo suelta desde una altura h, mediante la fórmula t= h 5 a) ¿Cuántos segundos demora en caer un objeto si se lo suelta desde una altura de 100 m? b) Josefa deja caer una piedra desde un puente y activa un cronómetro para medir cuándo demora en llegar al suelo. Si el tiempo registrado es de 2,15 segundos, ¿cuál es la altura del puente? 13. Conexiones: Si un capital C se deposita en un banco a una tasa de interés del i% anual durante t años, se obtendrán = C C 1+ i 100 t t a) Una persona depositó $120 000 en un banco a una cierta tasa de interés, y luego de 7 años obtuvo $147 585. ¿Cuál era la tasa de interés? b) Sergio invirtió un dinero en un banco con cierto interés, durante 10 años. Andrea invirtió el mismo dinero también durante 10 años, pero obtuvo el doble que Sergio. ¿Qué relación hay entre las tasas de interés de Sergio y de Andrea? Explica. 14. Conexiones: En física, la aceleración de gravedad puede calcularse con la ayuda de un péndulo. En el movimiento de un péndulo se verifican las siguientes relaciones: f = 1 T T=2 L g Donde f es la frecuencia del péndulo (en Hz), L es su longitud (en metros) y g es la aceleración de gravedad, en m/s . a) Calcula la aceleración de gravedad de un lugar en el cual un péndulo cuya longitud es 0,4 m oscila con una frecuencia de 0,83 Hz. (Considera π = 3) b) En un lugar, la aceleración de gravedad es igual a 10. ¿Cuál es la longitud del péndulo, si oscila con una frecuencia de 0,53 Hz. 52 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. ¿Qué valor se obtiene al simplificar la siguiente expresión? x 5 x4 6 x2 Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere obtener una vez resuelto el problema? Una expresión equivalente a la dada, más simple. Esto quiere decir que debe tener menos raíces. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Para simplificar esta expresión se procederá desde adentro hacia afuera, es decir, nos fijaremos primero en las raíces más interiores, con las que realizaremos las operaciones necesarias (introducir términos a una raíz o simplificar exponentes e índices) para luego continuar cada vez con raíces más exteriores. Paso 3 Resuelve el problema Aplica la estrategia. En la expresión x 5 x4 6 x2 la raíz más interior es 6 x2 . En ella podemos simplificar el exponente de la cantidad subradical, es decir: 6 x2 = 3 x Por lo tanto, x 5 x4 6 x2 = x 5 x4 3 x En la expresión x 5 x4 3 x , podemos proceder ahora a operar la raíz 5 x4 3 x • Introducimos el término x4 a la raíz 3 x x4 3 x = 3 x12 3 x = 3 x13 5 x4 3 x = 5 3 x13 • Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión 5 3 x13 5 3 x13 =15 x13 Por lo tanto, 5 x4 3 x =15 x13 y con ello, x 5 x4 6 x2 = x15 x13 En la expresión x15 x13 : • Introducimos el término x a la raíz x15 x13 15 x13 • x15 = 15 x28 • Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión 15 x28 15 x28 =30 x28 • Simplificamos el exponente y el índice de la expresión 30 x28 30 x28 =15 x14 Por lo tanto, se tiene que x 5 x4 6 x2 =15 x14 Paso 4 Revisa la solución Puedes verificar el resultado obtenido dando distintos valores a x y calculando ambas expresiones con calculadora, para verificar que se obtiene el mismo resultado y por ende ambas expresiones son equivalentes. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 54. Unidad 1 • números 53 Para no cometer errores 1 2 3 4 § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos? Reflexiona Macarena desea calcular el valor de la siguiente expresión, para a = 3 4 1– a • 4 2 – a Para hacerlo aplica propiedades de las raíces = ( )( ) = 1– a • 2–a 1–a 2–a 2–3a+a 4 4 4 4 2 Finalmente, remplaza a = 3 en esta expresión = = 2–3•3+3 2–9+9 2 4 2 4 4 Razona y comenta § ¿Cuál es el error cometido por Macarena? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con raíces? Las propiedades de las raíces solo pueden aplicarse cuando son números reales. En este caso, si a = 3, se tiene que 4 1–3 • 4 2–3=4 −2 • 4 –1 Tenemos raíces de índice par de números negativos, lo que no está definido en los números reales. Por lo tanto, no se pueden aplicar propiedades ni calcular el valor pedido. Analiza la situación Aprende la forma correcta Rubén debe resolver la siguiente ecuación radical. 3 2 x+1=–1 Para hacerlo realiza lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = == = 2 x+1 –1 / 2 x+1 –1 2 x+1 –1 / 2 x+1 –1 4x+4 1 4x –3 x –3 4 3 3 3 3 3 2 2 2 Razona y comenta § ¿Cuál es el error cometido por Rubén? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones radicales? Rubén no consideró la definición de raíz cuadrada, que corresponde a un valor positivo. Por lo tanto, al llegar a 2 x+1=–1 se puede concluir que la ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada tendría que ser un número negativo. Analiza la situación Aprende la forma correcta 54 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Evaluación Integrando lo aprendido Lección 5: Raíz enésima 1 Expresa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias. a. 27 = 128 b. (–9)3 = –729 c. 1 10 0,001 3 = d. 64 =8 e. 3 –125=–5 f. 32 3125 2 5 5 = 2 Calcula el valor de las siguientes raíces. a. 3 125 b. 5 –32 c. 7 –1 d. 4 81 e. 5 1 f. 2 81 3 Determina en cada caso las restricciones de a para que las siguientes raíces sean números reales. a. 2 a–5 b. 4 3a– 9 c. 5 19a d. 6 12a e. 4 a–51 f. 8 a2 Lección 6: Raíces y operaciones 4 Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones. a. 5 12 • 5 7 b. 3 5p • 3 10p c. 4 16 • 4 1024 d. 7 14 : 7 49 e. 3 36 : 3 8 f. 9 1000 : 9 250 5 Juzga si las siguientes equivalencias son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. 3 2 = 18 b. 7 3= 21 c. 23 5= 30 d. 5 64 =25 2 e. 48 27 4 3 = f. 1 100 1 10 1 10 3 = 3 6 Calcula las siguientes expresiones. Expresa el resultado de la manera más reducida posible. a. 4 75 –2 25•3 –2 100 • 3 –3 3 b. –5 32 – 4 18 c. 2 3–7 27 –3 12 d. 21• 5 3 210 3 3 3 7 Resuelve los siguientes problemas. a. Calcula el perímetro del siguiente triángulo rectángulo 3 17+1 b. Un paralelepípedo tiene aristas de medida 8 m, 4 3 m y x m. Su volumen es el mismo que el de un cubo cuya arista mide 2 4 3 m. ¿Cuál es el valor de x? Lección 7: Potencias de exponente racional 8 Expresa, en cada caso, las raíces como potencias y las potencias como raíces. a. 21 b. 3 34 c. 5 25 d. 5 1 3 e. f. 22 5 3 9 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones. a. 3 12 b. 4 31 c. 6 52 d. 12 27 10 Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. b • b b 4 8 b. 3 x : (3 x • 3 x2 ) c. n •n n 3 –1 12 –2 d. p : p p 4 3 4 − e. k : k k : k 5 4 2 5 f. a • b b • a 4 4 3 4 8 11 Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. 3 5+ 25 75: 3 4 b. 3 13(5 13+2 52) Lección 8: Racionalización 12 Aplica las propiedades para racionalizar las siguientes expresiones. a. b. 4 20 c. d. 4 3 7 7 2 9 3 15 2 28 Unidad 1 • números 55 Evaluación 1 2 3 4 e. 2 5 27 f. g. 9 7 – 5 h. 13 13+ 10 i. 6 1 6 2 + − 13 Aplica sucesivamente las propiedades para racionalizar las siguientes expresiones. a. 3 2 –1 b. 7 3 4 – 2 c. 1 5 2 d. 1 2 –1–1 e. x–1+ x x–1– x f. x+y – x x– y+ x g. 3 4 3 –3 Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones 14 Resuelve las siguientes ecuaciones. a. x+7 + 4x+16 = 9x+43 b. 5x+19 = 20x+1– 5x –14 c. x+7 + 16x+52 = 25x+91 d. 5–6x 1– 2x 1+3x 2 = e. 1+ x 1– x 3– x 8– x = f. 1+16x 3+x = 4 g. 3 x+3 =5 h. 3+ x =5 15 Plantea y resuelve los siguientes problemas. a. Paola desea depositar un dinero en el banco con interés compuesto anual, durante 10 años. ¿Cuál debe ser la tasa de interés, si le interesa triplicar el dinero invertido? Recuerda que, para el interés compuesto, C C 1+ i 100 t t = b. La tercera ley de Kepler relaciona el período de traslación t de un planeta (en años terrestres) con su distancia d al Sol —medida en unidades astronómicas (ua)—, mediante la fórmula t= d3 ¿Cuál es el período de traslación de un planeta cuya distancia al Sol es de 10 ua? 11 121 4 4 Recapitulemos En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas. Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección? Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección? ¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección? Autoevaluación Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s) Definir raíces y calcularlas aplicando su definición 2 respuestas correctas 32 y 33 Realizar operaciones con raíces 3 respuestas correctas 36 y 37 Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas 3 respuestas correctas 40 y 41 Racionalizar expresiones fraccionarias 2 respuestas correctas 44 y 45 Resolver problemas que involucran raíces 2 respuestas correctas 48 y 49 Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Actividad 56 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Sección 3 Logaritmos De esto se trata… Si decimos que el Sol tiene un diámetro de casi 1 400 000 kilómetros, es muy difícil hacernos una idea de lo que es eso. Cuando es necesario explicar tamaños y distancias es frecuente recurrir a comparaciones como la siguiente: Si el Sol fuera una bola de 1 metro de diámetro: • Mercurio mediría unos 3,5 mm (un grano de arroz), y se ubicaría a 42 metros de él (casi media cuadra). • Venus y la Tierra medirían 8,7 mm y 9,2 mm (un poroto), ubicados a 77 metros y 107 metros, respectivamente (una cancha de fútbol suele tener 105 metros de largo). • Marte mediría unos 5 mm (una arveja), a 163 metros. • Júpiter y Saturno medirían 10,2 cm y 8,7 cm respectivamente (una naranja grande y una manzana mediana). Júpiter estaría a 558 metros, y Saturno aproximadamente a un kilómetro. • Urano y Neptuno medirían 3,7 cm y 3,6 cm respectivamente (una ciruela pequeña), ubicados respectivamente a 2062 kilómetros (la distancia entre Arica y Santiago, aproximadamente) y 3230 kilómetros (la distancia entre Calama y Puerto Aysén). Aunque queramos hacer estas comparaciones, rápidamente nos vemos trabajando nuevamente con números grandes. Para abordar este problema es preciso relacionar los números de otras formas, es decir, utilizando escalas distintas que permitan reflejar grandes aumentos en la realidad en aumentos numéricos más pequeños. En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. ➊ ¿Qué distancias son capaces de estimar? Estimen, sin averiguar, la distancia entre Chile y Japón, la distancia de la Tierra a la Luna, etc. ➋ ¿Qué tamaño tiene un microbio? ¿Cuál es el grosor de un cabello humano? Estimen y comparen. ➌ Averigüen las medidas anteriores y compárenlas con su estimación. ¿Cómo fueron sus resultados? ➍ Observen la animación de la página http://goo.gl/57sIa, que muestra el universo con distintas escalas. Actividad grupal Propósito: que comprendas el concepto de logaritmo, sus propiedades y aplicaciones en distintos ámbitos. ¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá… A identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias. Lección 10 A deducir y aplicar propiedades de logaritmos. Lección 11 calcular y resolver problemas en distintos ámbitos. A resolver problemas aplicando logaritmos. Lección 12 § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Escala Ü Potencia Ü Exponente Ü Base Explorando tus ideas previas Actividad Unidad 1 • números 57 1 2 3 4 ¿Qué debes saber? Autoevaluación: Indicador Sí No Relacionar raíces y potencias Más de 2 respuestas correctas 2 o menos Calcular raíces y potencias aplicando propiedades Más de 2 respuestas correctas 2 o menos Si marcaste No para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Realiza las siguientes actividades. Relacionar raíces y potencias 1 Representa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias. a. 7² = 49 b. 5 = 625 c. (–2) = –32 d. 1 3 1 9 2 = e. 3 4 81 256 4 = f. 5 2 8 125 –3 = g. (ab³)² = a²b h. (3x²y)² = 9x y² i. 3 216 =6 j. 17 –1=–1 k. 6 64 =2 l. 1 343 1 7 3 = m. 243 32 768 3 8 5 = n. 100 9 10 3 = ñ. 5 a10b5 =a2b o. 3 64a6b9 = 4a2b3 2 Plantea una ecuación que represente cada situación y resuelve. a. Un número elevado a su quinta potencia es igual a 32. ¿Cuál es el número? b. –8 se eleva al cubo. ¿Cuál es el resultado? c. Luego de multiplicar 6 veces un número por sí mismo se obtuvo –729. ¿Cuál es el número? d. ¿Cuál es el valor de la tercera potencia de 5 dividido por 2? e. 256 125 corresponde a la tercera potencia de un número. ¿Cuál es ese número? 3 Juzga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso. a. El resultado de una potencia puede ser un número negativo. b. Toda potencia de base 1 es igual a 1. c. El resultado de cualquier potencia siempre es distinto de cero. d. Todo número elevado a 0 es igual a cero. Calcular raíces y potencias aplicando propiedades 4 Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. 5 b. 3 2 2 c. (–2) d. (–3) e. 6–² f. (–7)–³ g. 4 5 –2 h. – 6 7 –4 i. 3 125 j. 4 25 k. 3 –27 l. 4 10000 m. 1 32 5 n. 0,01 ñ. 3 27p3x12 o. 16 m n 8 16 4 5 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones. a. 2p • 2q b. (-3)q • (-3)q c. 5²x • (–5)²x d. a–² • a–² e. 2a • 3a f. 7–x : 4–x g. (3a²b )–³ : (ab)–³ h. (6a )² : (3a²)² 6 Aplica las propiedades de raíces para reducir las siguientes expresiones. a. 3 a • 3 b b. 3 x2 • 3 2x c. 7 3g : 7 6g4 d. 3 –9p2q2 : 3 pq e. 6 q4 f. 5 a2 • 3 a2 g. 3 2p • 2p h. m• 4 n i. 6 x5 : 4 y3 j. 6 4n10x7 k. 3 p2q5r7