Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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NUMEROS RACIONALES Y POTENCIAS EJERCICIOS RESUELTOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA PDF

• Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan situaciones descriptibles por adición iterada. • Multiplican y dividen potencias de base racional y exponente entero, en contextos numéricos. Relacionan el cambio de signo en el exponente con el valor inverso de una potencia. • Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas. • Resuelven problemas que involucran operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de resolución. • Estiman y analizan resultados en la realización de cálculos y en la resolución de problemas y los ajustan a sus características. • Interpretan la información que proporciona la calculadora. Diferencian entre números enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notación decimal y señalan su ubicación relativa en una recta numérica. • Conocen algunos antecedentes históricos de números irracionales. • Transforman números racionales en su forma decimal a su forma fraccionaria y viceversa. Actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como la aplicación de leyes y principios. Actividades orientadas a la resolución de problemas y pensamiento lógico. Desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia Las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas. Interés y capacidad de conocer la realidad. Esta unidad retoma conceptos acerca de los números enteros, fraccionarios y decimales y plantea fundamentalmente una profundización; se propone un trabajo que tiene como columna vertebral la resolución de problemas. Esta se orienta hacia el conocimiento de características y propiedades de los números racionales e irracionales, de la presencia de regularidades o patrones numéricos en la realidad y la forma en que las potencias facilitan la descripción de situaciones numéricas relativas a crecimientos o decrecimientos. Objetivos fundamentales verticales - Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución con los números naturales y enteros, y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero. - Representar números racionales en la recta numérica, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números racionales en situaciones diversas y reconocer algunas propiedades - Caracterización de los números racionales y de los tipos de problemas que permiten resolver. - Representación de los números racionales en la recta numérica y establecimiento de algunas propiedades de los números racionales y de las operaciones, tales como: entre dos números racionales siempre existe por lo menos un número racional; la suma, la diferencia, el producto y el cuociente de dos números racionales es siempre un número racional. - Transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción. - Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas. - Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y el reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales. - Interpretación y cálculo de potencias de base racional y exponente entero. Determinación y aplicación de propiedades. - Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. El desarrollo de esta unidad, lo mismo que las actividades propuestas, tiene la meta de que el estudiante descubra estrategias, analice y compare resultados propios o entre los de sus compañeros y compañeras, para luego argumentar respecto de la elección de una estrategia o resultado. Es importante destacar las actividades tendientes a mostrar la Matemática como un modelo de la realidad y diferenciarla de ésta. Muchas actividades son preguntas abiertas, del tipo, ¿es cierto que...?, de modo que necesariamente los estudiantes tendrán que investigar entre los ejemplos que poseen, para hacer una conjetura de la respuesta y luego dar un argumento que permita asegurar que sus afirmaciones son ciertas. Se sugiere en esos casos darles tiempo para reflexionar, y permitir la discusión en la sala de clases. Si después de un tiempo prudente no se vislumbra una respuesta, el profesor debiera darles algunas pistas que encaminen a la respuesta, por ejemplo: piensen en tal o cual caso, o qué pasaría si fuese falso. Es importante estar muy pendiente a los argumentos incorrectos, por ejemplo, conclusiones generales deducidas de casos particulares. Ejemplos de actividades. • La Matemática sólo es un modelo de la realidad. En la actividad de los computadores infectados se propone un modelo exponencial para explicar la propagación de un virus. Una de las preguntas al respecto es: Explica por qué este modelo de propagación es real para valores pequeños de n, pero no se ajusta demasiado a la realidad, para grandes valores de n. Estas preguntas se refieren a que la propagación exponencial es un buen modelo para tiempos cortos, pero en el largo plazo no puede serlo. Por ejemplo, si tenemos un cultivo bacteriológico que se duplica cada 1 hora, si continúa este crecimiento tarde o temprano llenará todo el planeta y el sistema solar completos; y esto es bastante poco probable. Se sugiere pedir un informe explicando por qué el modelo exponencial no puede modelar el crecimiento de la población enferma debido a una epidemia. • Conjetura y argumenta. Existen varios problemas que requieren conjeturar y luego argumentar, por ejemplo: ¿Cuál es la cifra de las unidades de 624? Muchos estudiantes intentarán calcular esa potencia. Calcularán 62, 63, y así sucesivamente, pero pronto se sentirán frustrados o aburridos sólo de pensar que les tomará demasiado trabajo llegar al resultado. Si esto ocurre, y los estudiantes no notan una generalidad, preguntarles: En las primeras potencias de 6, ¿cuál es la cifra de las unidades? Si la respuesta es 6 preguntar: ¿será cierto siempre? Un argumento podría ser: si se multiplica 6 por un número cuya cifra de las unidades es 6, el resultado también tendrá en el lugar de las unidades un 6. Como 6⋅6 = 36 , y por el argumento anterior, se cumple siempre que, cualquier potencia natural de 6 tiene en el lugar de las unidades al 6. Si un estudiante utilizó la calculadora y responde que la cifra de las unidades es 6, pues de hecho el número es 4 738 381 338 321 616 896. Pedirle ahora que calcule 6123 ; en este caso la calculadora falla, entonces hacer las mismas preguntas que en el caso anterior. El mismo desarrollo es válido para la pregunta, ¿cuál es la cifra de las unidades de 5100? De hecho, todas las potencias de 5 tienen en el lugar de las unidades a 5. La pregunta: ¿cuál es la cifra de las unidades de 284? es más interesante que las anteriores, debido a que las potencias de 2, tienen distintas cifras en el lugar de las unidades. De hecho, en el lugar de las unidades, pueden estar 2, 4, 6, y 8. Una forma de conjeturar es la siguiente: Las cifras de las unidades de las potencias de 2 se repiten en ciclos, y el ciclo es 2, 4, 8, 6. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 Por lo tanto, si 2 es elevado a una potencia que es múltiplo de 4, el resultado tendrá en el lugar de las unidades el 6. Por lo tanto, 284 = 24⋅21 tiene a 6 en el lugar de las unidades. Luego habría que probar que esta conjetura sea cierta. Otra estrategia que un estudiante puede utilizar es la siguiente: 284 es multiplicar 2 por sí mismo 84 veces, es decir: 284 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅... ⋅2  Pero si juntamos cuatro de esos productos, resulta 24 = 16, por lo tanto: 284 = 16⋅16⋅16⋅16⋅16⋅16⋅... ⋅16 Varias actividades se pueden realizar al respecto. Por ejemplo: con una tabla que tenga la medida en metros de diferentes distancias, la distancia de la Tierra a la Luna, la distancia de la Tierra a los otros planetas, la distancia de la Tierra al Sol, la distancia a la galaxia más cercana, la altura a la que vuela un avión comercial, la altura a la que puede volar un helicóptero, etc. La tabla puede estar en diferentes unidades (kilómetros, años luz, etc.). Pedirle al estudiante, cuál de las vistas mostradas corresponde a las distancias de la tabla, así por ejemplo, la imagen que muestra la Tierra desde una distancia de 107 m, ¿corresponde a la imagen tomada desde un avión?, ¿desde un satélite? o ¿es una imagen tomada desde la Luna? Pero como vimos antes, si un número terminado en 6 se multiplica por otro terminado en 6 el resultado también termina en 6. Por lo tanto, la cifra de las unidades de 284 es 6. En el caso de que aparezca más de una estrategia, compararlas y encontrar ventajas y deficiencias a cada una de ellas. Decidir en cuáles casos una estrategia es más conveniente que otra. Siempre dejando que cada estudiante, personalmente, elija la que más le acomode. Se sugiere que en grupos entreguen una hoja destacando una estrategia sobre las otras y argumentando el por qué de la elección. ERRORES FRECUENTES • La suma de dos números irracionales es un número irracional. Por lo general, los estudiantes creen que la suma de dos números irracionales es un número irracional. La verdad es que esa afirmación no es cierta en general, en algunos casos es cierto y en otros no lo es. Mostraremos un ejemplo, que evidencia que la afirmación es falsa. Se demostró en el texto del estudiante que 2 es un número irracional. Demostremos que 2− 2 también es un número irracional. De hecho, si no lo fuera, sería racional. Supongamos que r = 2− 2 es racional, entonces: 2− r = 2 Pero como la resta de números racionales es racional, implicaría que 2 es racional, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, 2− 2 es irracional. Ahora si consideramos los números irracionales: x = 2 e y = 2− 2 , se tiene que su suma es 2, un número racional. Entonces, es falso que la suma de dos números irracionales es irracional. • El producto de dos números irracionales es irracional. Esta afirmación también es falsa, y el error, igual que en el caso anterior, se debe a dos cosas: Primero: en todos los conjuntos numéricos que conocen, si satisfacen estas dos propiedades, es decir, para ,, y ahora  , se cumple que la suma y el producto de cualquier par de elementos de esos conjuntos pertenece al conjunto. Por lo tanto, creen que todos los conjuntos debieran cumplirla. Segundo: pertenece a los estudiantes, sólo prueban unos casos particulares, y si la propiedad es cierta en esos casos particulares, infieren que la propiedad es cierta en todos los casos. Por ejemplo: 2 + 3 y 2 ⋅ 3 corresponden a números irracionales, que son la suma y el producto de dos números irracionales. Por esta razón, es muy importante, que los estudiantes no infieran nada a partir de casos particulares, respecto al caso general. Sin embargo, la estrategia de utilizar casos particulares para conjeturar el caso general es siempre una muy buena idea, pero sin perder de vista que luego se necesita una demostración. Un ejemplo de que el producto de dos números irracionales puede ser racional es el siguiente: Sea a = 2 y b = 8 , ambos son números irracionales. Sin embargo, ab = 16 = 4 ∈ Luego, el producto de dos números irracionales puede ser racional. Este error es muy común, de hecho existen libros de matemáticas que lo fomentan. Por ejemplo, si en una calculadora se encuentra el número 0,0057803468208092485549132947976879 no podemos decir si el que la estaba usando, hizo un cálculo que da como resultado un número racional o no; de hecho, este número son los primeros 34 decimales del número racional 1 173 . Más aún, no es un problema fácil decidir cuán largo es el periodo de ese número. • La potencia de un número irracional es irracional. Este es un caso particular del error “el producto de dos números irracionales, es un número irracional”. Un ejemplo de que la afirmación es falsa, es el siguiente: a = 2 ; sin embargo, a2 = 2∈ . ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN Si las actividades del texto del estudiante, resultan de fácil acceso a los estudiantes de su curso, invite a dar argumentos de sus conclusiones, pues el texto está diseñado para cubrir diferentes ritmos de aprendizaje del alumnado y existen preguntas profundas, que requieren un pensamiento claro y ordenado, que no todos los estudiantes logran a esta edad. Si aún así, sus estudiantes sobrepasan en un tiempo corto estos temas, siempre existen actividades que permiten ampliar los conocimientos de esta unidad. A continuación presentamos unos ejemplos: 1. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua; 90 L son de alcohol y 10 L son de agua. Cada 10 minutos se sacan 10 L de mezcla e inmediatamente se rellena con 10 litros de una mezcla de 50% de agua y 50% de alcohol. ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de una hora? ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de 10 n minutos? ¿Qué pasará en el largo plazo? Este problema generaliza el Problema Resuelto del texto del estudiante, con la diferencia que ahora al tanque entra una cantidad significativa de soluto, en cambio en el caso del texto, no entraba al tanque soluto. La coincidencia de estos problemas está en que el volumen del tanque se mantiene constante. La idea del problema es que el estudiante descubra una generalidad utilizando potencias y así valorar la notación de potencias que le permite resumir grandes multiplicaciones. Un asunto más interesante, pero más difícil, es crear otro problema similar donde el volumen del tanque no se mantenga constante. Por ejemplo: 2. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua: 90 L son de alcohol y 10 L de agua. Cada 10 minutos se sacan 10 L de la mezcla e inmediatamente se rellena con 8 litros de una mezcla de 50% de agua y 50% de alcohol. ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de una hora? ¿Cuánto alcohol tendrá el tanque después de 10 n minutos? ¿Qué pasará en el largo plazo? ¿Qué parte de alcohol tendrá la última muestra de mezcla en el tanque? 3. ¿Es 3 racional? La idea de esto es repetir la demostración que se hizo para probar que 2 es irracional. Para ello basta tener en cuenta que si a2 es múltiplo de 3, entonces a lo es, así la demostración resulta idéntica a la mostrada en el texto del estudiante. 4. Imagina que das un paso de un metro, luego das un paso la mitad del largo del anterior, luego das un paso la mitad del anterior y así sucesivamente, das pasos del largo de la mitad del paso anterior. ¿Es cierto que a lo más recorrerás una distancia de dos metros? Se espera que un estudiante avanzado, encuentre una regularidad para la suma 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 + + + + ... + n el valor de esa suma es 2 1 2 − n . Si el estudiante no logra responder la pregunta, puede darle el valor de la suma para valores pequeños de n. Si aún así no conjetura la solución pueden invitarlo a investigar en la bibliografía. En el caso de que el alumno o alumna se sienta demasiado demandado por las actividades del texto del estudiante, se sugiere investigar a qué se debe este abrumamiento. Es posible que el estudiante no se sienta cómodo con los conocimientos previos a la unidad; en ese caso se sugiere hacer actividades de cálculo numérico relativos a operaciones con números racionales y propiedades de las potencias. Si es difícil seguir algunas actividades del texto, a continuación mostramos unos ejemplos que permiten acercarse a esas actividades. 1. Si los problemas relativos a procesos iterados, como el de la amigdalitis de Antonia resulta agobiante para algunos estudiantes, se sugiere introducir el siguiente problema a modo de acercamiento: Tu papá se sirve un café en la mañana, que tiene una cucharada de café en polvo. Se toma la mitad y se va corriendo al trabajo. A tu mamá no le gusta tan cargado como a tu papá, y rellena la taza con agua caliente, y se toma la mitad. ¿Qué parte de la cucharada inicial de café tomó tu mamá? Motivar al estudiante a preguntarse, ¿qué parte de la cucharada inicial tomó el papá? Luego, si la taza contiene sólo la mitad del café inicial, cuando lo tomó la mamá, y se tomó la mitad de lo que había, ¿qué parte del café inicial tomó la mamá? Luego invitar al estudiante a resolver el problema de Antonia. Si la incursión da resultados negativos, seguir intentando con el problema del café, agregando personas a la historia. Por ejemplo, “después vino tu hermano y rellenó la taza con agua y se tomó la mitad”, ¿qué parte del café inicial se tomó tu hermano? y repetir el proceso. Puede intentarse también, cambiando las fracciones de pérdida de mezcla; puede suponer que el papá se tomó 2/3 de la taza, y luego la mamá tomó 2/3 de lo que quedaba y así sucesivamente, hasta obtener, que el estudiante logre descubrir la recurrencia en potencias. MODELOS DIDÁCTICOS A continuación se darán ejemplos concretos y actividades que ayudarán a que los alumnos y alumnas logren los aprendizajes esperados en esta primera unidad. • Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan con situaciones descriptibles por adición iterada. El siguiente problema propuesto en las actividades para aplicar, en el tópico de potencias dice: El padre de Yael, le presenta dos alternativas para juntarle su dinero quincenal: la primera consiste en abonarle $1 000 cada día. La segunda en que el primer día le abona un peso, el segundo día dos pesos, el tercer día el doble del anterior, y así sucesivamente, cada día duplica la cantidad del día anterior. ¿Cuál propuesta le conviene más a Yael? Para calcular la cantidad de dinero, utilizando la primera propuesta, es necesario resolver una adición iterada, de hecho quince veces mil; en cambio; si utilizamos la segunda propuesta el ritmo de crecimiento es muy rápido y lo describe la potencia 2k. En este problema los alumnos, al principio, creerán que la primera propuesta es más conveniente por la cantidad de dinero con la que se inicia, que es bastante superior que en la segunda propuesta, pero después van a comparar las cantidades y verán que la primera propuesta el crecimiento es constante día a día, en cambio, en la segunda propuesta, el crecimiento se va duplicando. • Estiman y analizan resultados en la realización de cálculos y en la resolución de problemas y los ajustan a sus características. El siguiente problema corresponde al tema de aproximaciones tratado en la unidad. Supón que Ramón midió mal. La cancha mide realmente 25,1 m de ancho y 59,9 m de largo, ¿el área real es distinta o igual que si la hubiésemos calculado con los datos de Ramón? ¿Cuán diferentes? ¿Nos hubiésemos pasado o quedado cortos? Según Ramón las medidas iniciales eran de 25 m y 60 m. Notar que en una medida se equivocó por exceso y en otra por defecto, lo cual puede llevar a pensar a los estudiantes, que el área se mantiene igual. Por lo tanto, es importante invitar a los estudiantes a hacer los cálculos y comprobar sus conjeturas. • Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas. El siguiente problema se encuentra en las actividades tratadas en el tema de regularidades numéricas de la unidad: 1+ 2 = 22 −1, 1+ 2+ 22 = 23 −1, 1+ 2+ 22 + 23 = 24 −1, 1+ 2+ 22 + 23 + 24 = 25 −1 Conjetura cuál es el valor de 1+ 2+ 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 . ¿Cómo crees que será el caso general? Es importante que se explicite que una conjetura es muy distinta a una demostración. Que sólo con conjeturar y comprobar que una generalidad se satisface en algunos casos particulares no es posible decir que nuestra conjetura es cierta. • Diferencian entre números enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notación decimal y señalan su ubicación en la recta numérica. 1. Considera los números racionales 1 3 y 1 4 · a) Ubica los números en la recta numérica. b) Encuentra el punto medio M entre esos números. ¿Es un número racional? c) Encuentra el punto medio entre 1 3 y M y el punto medio entre M y 1 4 . ¿Son esos puntos números racionales? En este problema se pide que encuentre números racionales cumpliendo cierto orden y discrimine si estos números son o no racionales. Además, la actividad apunta a descubrir la propiedad que entre dos números racionales, existen infinitos números racionales. 2. ¿Es 2+ 2 racional? ¿Es 2 ⋅ 2 racional? En este problema se desea analizar y generalizar, si producto de dos irracionales es irracional, y si la suma de un número racional con un irracional resulta irracional. 3. Ordena los siguientes números de menor a mayor: 1 2 0 2 3 1 2 , , , , , . Ordenar números reales puede ser una tarea difícil para el estudiante, por ello se sugiere apoyar esta actividad muy fuertemente y sobretodo evaluar y corregir los argumentos. • Interpretan la información que proporciona la calculadora. Después de que Juan realizó una serie de cálculos, le apareció el siguiente resultado en la calculadora: 0,063583815028901734104046242774566. ¿Qué dirías tú acerca de este número? ¿Es racional o irracional? En ese momento se acerca el hermano de Juan y le pregunta en qué ocupa ese número irracional que aparece en la calculadora, pero Juan le comenta que es el racional 11 173 con sólo 33 decimales. Con esto el hermano de Juan se percató que utilizando la calculadora es imposible verificar si un número es irracional o no, ya que el periodo de un número, en caso de que lo tenga, puede aparecer muy tarde y la calculadora no lo mostrará. Así ambos se preguntaron, ¿después de cuántos decimales aparece el periodo de 11 173 ? ¿Podrías ayudarlos a resolver su problema? El objetivo de esta actividad es que el estudiante se convenza de que con la calculadora no puede decidir si un número es irracional o no, de hecho la calculadora solo trabaja con aproximaciones racionales. La actividad considera un número racional de un periodo bastante largo, para que no crea que se trata solo de lo acotado del número de decimales de nuestra calculadora en particular. mis conocimientos previos Repaso Los números naturales corresponden al conjunto  = {1, 2, 3, 4, ...} Los números cardinales corresponden al conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Los números enteros corresponden al conjunto = {...−2, −1, 0, 1, 2,...}. El valor absoluto de un número a es la distancia que existe entre dicho número y el 0. Se define como: a = { a, si a 0 –a, si a< 0 Para comparar números enteros negativos, será mayor aquel número que esté más cerca del 0. Al comparar un número positivo y un número negativo, siempre será mayor el número positivo. El orden de los números positivos sigue las mismas relaciones que en los números naturales. Para representar números enteros en la recta numérica debes ordenarlos de menor a mayor y ubicarlos según la posición en que se encuentre el número 0. Caracterizar números enteros 1 Identifica si los siguientes números o resultados son enteros. Si lo son, calcula su valor absoluto. a. −3 b. 5 c. 25 5 d. −2 −1 e. −(5 + 3) f. −2 g. 3 • 5 h. −2 • 10 Ordenar y comparar números enteros 2 Compara y escribe >, < o = según corresponda. a. −2 −3 b. −10 1 c. −82 −83 d. 0 −4500 e. 3500 0 f. −8000 −500 g. 103 − (−103) h. 81 –9 −8 i. 5 5 −1 3 Compara los siguientes números y ordénalos de menor a mayor. a. −2, −6, 100, −10, 5, 0 b. –[–(99)],−99, 100, −100, 101, −(101) c. –3 –3 , 5, −5, −22, −23, |8|, 8 2 Representar números enteros 4 Representa los números en la recta numérica. a. −12, 1, −6, −10, 2. 0 b. −9, −18, 3, −21, −12. −24 0 Repaso 1 2 3 4 La prioridad de las operaciones es la siguiente: 1° Paréntesis 2° Potencias 3° Multiplicación y/o división de izquierda a derecha. 4° Adición y/o sustracción de izquierda a derecha. Para multiplicar o dividir números enteros la regla de los signos es: + • + = + − • − = + + • − = − − • + = − Una potencia se define de la siguiente manera: an = a• a• ... • a con n ∈ . n veces Para resolver problemas que involucren potencias puedes utilizar sus propiedades. • Sean m y n números naturales y a  0, entonces se cumple que: (an)m = an • m am • an = am + n am ÷ an = am − n • Si a ∈  y m ∈ entonces: (−a)m = am cuando m es par. (−a)m = −am cuando m es impar. Operar con números enteros 5 Calcula las operaciones. a. 7 − [5 − 4 • (3 − 2) +1] b. 25 + 2 • [3 − (−9)]÷ (−2) c. − {(−2) + (−9) • 5 − 80 ÷ (−4) − (2 − 3)} d. (−1) • {(−1) + 1 − 1+ [(−1) − 1 + 1 • ((−1) ÷ 1)] + 1} Calcular potencias de base entera y exponente natural 6 Calcula las siguientes potencias. a. –5 3 ( ) b. –6 2 ( ) c. −16 d. 10000 e. 36 3 2      f. –4 4 −( ) Calcular potencias utilizando sus propiedades 7 Aplica las propiedades de las potencias. a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) –1 • –5 • –1 –5 • –1 • –5 2 13 10 8 9 2 b. 12 • 36 • 4 12 2 •9 • 6 7 2 7 2 c. 3 • –2 • 3 • –2 3 • –2 10 3 2 4 15 5 ( ) ( ) ( ) d. 3 5 8 0 ((( ) ) ) e. { } ( )   –2 2 2 2 f. 2 •5 •25 5 •– 2 2 6 2 32 3 ( ) Resolver problemas que involucran números enteros y potencias 8 Resuelve los problemas. a. En mi cuenta corriente tengo un saldo a favor de $25 000. Si me cobran un cheque de $60 700, ¿qué saldo quedará en mi cuenta? b. Un submarino desciende 3000 m desde la superficie del mar, pero su tripulación es alertada de un peligro, y asciende rápidamente 1560 m. Luego de que la alerta fuera levantada, desciende nuevamente 650 m. ¿A qué profundidad se encuentra el submarino? c. Un comerciante guarda 20 dulces en cada bolsa, 20 bolsas en cada caja y 20 cajas en cada cajón. ¿Cuántos dulces se guardarán en dos cajones? Lección Taller Reúnanse en grupos de tres estudiantes, resuelvan las siguientes ecuaciones y completen la tabla. Ecuación Solución ¿Es un número entero? a) 2x + 8 = 7 x = –1 2 No b) 3x = 7 c) x 20 =2 d) 4x + 16 = 2 e) 16 x = −48 f) 7x + 3 = 5 § Si cada una de estas ecuaciones representara un problema, ¿tendrían todas solución en los números enteros? ¿Qué tipo de números obtuviste como solución? § ¿Qué puedes concluir acerca de la necesidad de ampliar el ámbito numérico que ya conoces? Razonen y comenten ¿Qué problemas no tienen solución en los números enteros, pero sí en los números racionales? • Si la solución de una ecuación fuese −0,1, ¿a qué conjunto numérico correspondería este número? Existen ecuaciones y problemas que no tienen solución en los números enteros, pero sí en los números racionales, en este conjunto están contenidos los números enteros positivos, negativos, fracciones y decimales positivos, y además las fracciones y decimales negativos. Palabras clave Ü Números racionales. En resumen El conjunto de los números racionales  está compuesto por todos los números que se pueden escribir como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero), son números enteros. a b , a y b ; b 0        =      : Números naturales : Números enteros : Números racionales Relaciona § ¿Cómo podrías escribir un número entero como fracción? Da un ejemplo. § ¿Conoces números decimales que se pueden escribir como fracción? ¿Cuáles? Da un ejemplo. Repasa § Un problema o ecuación tiene solución en los números enteros siempre y cuando se obtenga una cantidad entera positiva o negativa o bien el cero. Por ejemplo: § 2x + 8 = 4 → x = −2 1 Practica 1 2 3 4 Repaso 1. Identifica cuál de los siguientes números corresponden a un número entero. a) 3 b) −2 c) 0,4 d) 0 e) 4 2 f) 0,3 g) 1 3 h) 1 2 7 i) 1,537 2. Resuelve los siguientes problemas con números enteros. a) Un día la temperatura, a las 4:00 horas, era de 3 grados bajo cero y a las 15:00 horas de 4 °C. ¿Cuál fue la variación de temperatura? b) Jaime quiere comprar un teléfono de $25 000, pero el saldo de su cuenta es de −$9000. Si ese día realiza un trabajo y gana $18 000, ¿cuánto dinero le faltaría para comprar el teléfono? Práctica guiada 3. Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación y determinando si la solución es un número entero o no lo es. a) Jaime leyó los 3 5 de un libro. Si este tiene 125 páginas en total, ¿cuántas páginas no ha leído aún? b) Bernardita compró un computador en $200 000 que corresponden a un tercio del dinero que tenía ahorrado. Luego realiza un trabajo y recibe la novena parte del dinero que tenía ahorrado. ¿Cuánto dinero ganó por el trabajo? c) Martín comió un postre y dejó un octavo de él. Si pesaba 100 gramos, ¿cuántos gramos del postre comió Martín? 4. Identifica si los siguientes números se pueden escribir como fracción. De ser así, exprésalos como en el ejemplo. a) 18 b) 1,4 c) 6,59 d) 28,0 e) 5,64567 f) ¿Cuáles de los números anteriores son racionales? Aplico 5. Identifica si los siguientes problemas tienen solución en los números enteros o solo en los números racionales. a) Para rodear un cono se necesitan 100 cm de cinta y esta se debe cortar en tres trozos de igual longitud. ¿Cuál es la medida de cada trozo de cinta? b) Jaime donará la cuarta parte de sus ahorros a una fundación y además, su amiga se sumará aportando $10 000. Si el monto total de la donación es de $48 000, ¿cuánto dinero aportó Jaime? 6. Conecta. Marta dice que los números naturales son un subconjunto de los números racionales, ¿es cierto lo que dice Marta? 7. Describe el procedimiento. Explica cómo expresar un número decimal finito en fracción. 8. Argumenta. ¿Es posible hacer una representación gráfica del número – 3 5 ? Justifica tu respuesta. Integro Refuerzo 1. Escribe dos ejemplos de números racionales. 2. Escribe dos ecuaciones: una que tenga solución en los enteros y otra en los racionales no enteros. 3. Escribe dos problemas: uno que tenga solución en los enteros y otro en los racionales no enteros. § ¿Eres capaz de reconocer problemas que no tienen solución en los enteros, pero sí en los racionales? § ¿Por qué piensas que son importantes los números racionales? Ejemplifica con dos situaciones. Lección Tres amigos comparten una pizza de manera equitativa. El primero dice que le corresponden 0,3 partes de la pizza; el segundo dice que le corresponde 1 3 de esta; el tercero dice que ambos están en lo correcto. ¿Es cierto lo que afirma el tercer amigo? Si es cierto lo que afirma el tercer amigo, habría que verificar que: 0,3 1 3 = . Luego: Paso 1 Sea x = 0,33… Paso 2 Al multiplicar por 10 a ambos lados de la igualdad, se tiene: 10 • x = 3,33… Paso 3 Al restar los valores obtenidos en el paso 2 y en el paso 1, se tiene que: 10x − x = 3,33...− 0,33...  9x = 3 / •  =  =  = 1 9 9 • 1 9 x 3• 1 9 x 3 9 x 1 3 Entonces, el tercer amigo sí estaba en lo correcto. Por lo tanto, los números decimales finitos e infinitos periódicos son números racionales, ya que pueden ser expresados como fracción. ¿Y los números decimales semiperiódicos, son números racionales? Si no se comieron 0,16 partes de la pizza, ¿qué fracción de la pizza sobró? Observa los pasos para transformar el número decimal semiperiódico a fracción: Paso 1 Sea x = 0,1666… Paso 2 Al multiplicar por 10 a ambos lados de la igualdad, se tiene: 10x = 1,666… Paso 3 Al multiplicar por 100 a ambos lados de la igualdad, se tiene: 100x = 16,66… Palabras clave Ü Números decimales periódicos y semiperiódicos. Los números decimales periódicos y semiperiódicos, ¿son números racionales? • Toda fracción puede escribirse como número decimal. ¿Se puede escribir cualquier número Repasa decimal como fracción? Existen números decimales: § Finitos: en los cuales su parte decimal tiene un número finito de cifras decimales. Ejemplo: 7,56. § Infinitos periódicos: en los cuales una o más cifras de la parte decimal (llamado periodo) se repite. Ejemplos: En 3,1 la cifra 1 es el periodo. § Infinitos semiperiódicos: en los cuales no todas las cifras de la parte decimal se repiten. La parte decimal que no se repite se llama al anteperiodo, y la parte decimal que se repite corresponde al periodo. Ejemplo: En 5,25 la cifra 5 es el periodo y la cifra 2 el anteperiodo. Relaciona § ¿Por qué en el paso 2 la ecuación se multiplicó por 10? § ¿Por cuánto se debería multiplicar si la ecuación fuese x = 0,272727…? § En la situación inicial, ¿qué tipo de representación es más adecuada para interpretar lo que le corresponde a cada amigo? ¿Por qué? 2 1 2 3 4 Practica 1. Representa las fracciones como un número decimal y clasifícalo en finito, periódico o semiperiódico. a) 7 11 b) 5 99 c) 4 45 d) – 8 3 e) – 1 225 f) 2 6 9 g) 7 2 3 h) 25 4 Práctica guiada 2. Transforma cada número decimal finito en fracción. a) 0, 515 b) 7, 11 c) 6, 01 d) 33, 96 e) 20, 999 f) 29, 2 g) −134, 67 h) − 800, 231 § ¿Todos los números decimales infinitos pueden ser representados como fracción? ¿Por qué? § Observa el decimal: 0,1010010001… Si se mantiene el patrón de aumentar cada vez la cantidad de ceros en la parte decimal, este número infinito, ¿se podrá expresar como fracción? ¿Por qué? § Los números infinitos que no se consideran periódicos ni semiperiódicos ¿son números racionales? ¿Por qué? Razona y comenta En resumen Dentro de los números racionales existen números decimales finitos e infinitos. Los números decimales infinitos pueden ser periódicos o semiperiódicos. Los números decimales infinitos que no sean periódicos ni semiperiódicos pertenecen a otro conjunto numérico, denominado conjunto de los números irracionales. 3. Transforma cada número decimal periódico en fracción de acuerdo a la justificación revisada en la lección. a) 5,21 b) 0,5 c) 0,09 d) 4,13 e) 2,153 f) 0, 47 g) −1,001 h) − 320,8 4. Transforma cada número decimal semiperiódico en fracción de acuerdo a la justificación revisada en la lección. a) 1,57 B 23, 456 c) 1,2472 d) 0,376 e) 31, 47 f) 4,25 g) 102,07 h) −10,3602 Repaso Observa § Al transformar un número decimal periódico o semiperiódico negativo a fracción se realiza el procedimiento considerando el valor absoluto del número decimal. Links Para profundizar en la caracterización de los números racionales visita: http://www.educando.edu.do/ articulos/estudiante/nmero-racional/ Paso 4 Al restar los valores que se tienen en el paso 3 y en el paso 2 se tiene que: − = −  =  =  =  = 100x 10x 16, 66... 1, 666... 90x 15/ • 1 90 90• 1 90 x 15• 1 90 x 15 90 x 1 6 Entonces, la fracción de pizza que quedó es 1 6 . Por lo tanto, un número decimal infinito semiperiódico también es un número racional, ya que puede ser expresado como fracción. Practica 5. Analiza la siguiente tabla. Luego complétala. Número Tipo Representación decimal Representación fraccionaria 1, 023 Decimal infinito periódico 1, 023023023… 1022 999 2 33 –2,98 Decimal finito 0, 56 6. Observa el procedimiento para transformar números decimales periódicos a fracción y luego transforma a fracción los decimales que aparecen a continuación. Para transformar a fracción un decimal periódico se realiza lo siguiente: Se escribe el número sin comas y se le resta lo que está antes del período. El denominador tendrá tantos 9 como cifras tenga el período. 23,81= 2381− 23 = = 99 2358 99 23 9 11 a) 1,8 17 9 = b) 37,2 335 9 = c) 300,1 2701 9 = d) 5,03 166 33 = e) 16,29 1613 99 = f) 84,27 927 11 = g) 300,36 3304 11 = h) 33,300 11 089 333 = 7. Observa el procedimiento para transformar números decimales semiperiódicos a fracción y luego transforma a fracción los decimales que aparecen a continuación. Para transformar a fracción un decimal semiperiódico se realiza lo siguiente: Se escribe el número sin comas y se le resta lo que está antes del período. El denominador tendrá tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Anteperíodo 17,265 = − = = 17265 172 990 17093 990 17 263 990 a) 0,03 = 3 90 b) 1,14 103 90 = c) 23,32 2099 90 = d) 66,02 2971 45 = e) 2,332 2309 990 = f) 9,121 8209 900 = g) 1,724 569 330 = h) 6,130 2023 330 = 8. Explica a un compañero o compañera el procedimiento utilizado para justificar las igualdades anteriores. Practica 1 2 3 4 9. Analiza las siguientes situaciones. a) Si m = 1 18 y n = 18 11 , ¿es cierto que m • n = 1? b) Si n = 18 11 y r = 1,63 , ¿es cierto que 5n = 5r? c) Si n = 18 11 y r = 1,63 , ¿es cierto que n ÷ r = 0? d) Si m = 1 18 ; n = 18 11 ; q = 0,54 y r = 1,63 , ¿es cierto que mn + 1 2 > qr? e) Si m = 1 18 y q = 0,54 , ¿es cierto que m < q? f) Si n = 18 11 , ¿es cierto que 11n + 180 = k; k ∈ ? 10. Resuelve los siguientes problemas. a) Carlos necesita 1,3 metros de género para confeccionar una cartera. ¿Es posible comprar 1,3 metros? ¿Es la mejor forma de representar una medida? ¿Cómo le recomendarías que solicitara la cantidad de género que necesita? b) María necesita 1,6 metros de alambre para cercar una huerta. ¿Es posible comprar 1,6 m? ¿Es la mejor forma de representar una medida? ¿Cómo le recomendarías que solicitara la cantidad de alambre que necesita? c) Alex necesita 0,3 kg de harina para preparar un queque. ¿Cómo podría obtener esta cantidad? d) A Paula le encargaron pintar una pared de la siguiente manera: 0,2 de la superficie con color blanco, 0,6 con color amarillo y 0,1 con color azul. ¿Es posible que Paula realice este encargo? ¿Cómo sabría exactamente cuál es la parte de la pared que debe pintar de cada color? e) Para viajar en bus los pasajeros pueden llevar equipaje con una masa de 20 kg como máximo, ya lleven una, dos o más maletas o bolsos. La tabla muestra las masas de cada maleta que llevan tres pasajeros: Pasajero Equipaje Masa total Masa de exceso Pasajero 1 Maleta: 18, 3 kg Bolso: 5,8 kg Pasajero 2 Maleta 1: 6,2 kg Maleta 2: 12, 01kg Pasajero 3 Maleta: 3,8 kg Bolso 1: 5,23 kg Bolso 2: 15,9 kg • Calcula la fracción correspondiente al exceso de masa que llevan los pasajeros que superan el máximo. • ¿Cuál es la fracción de masa que les falta a los pasajeros para alcanzar el máximo? 11. Conecta. ¿Cuál es el valor de (0,06) 3 ? 12. Descubre el error. Pamela escribió la siguiente igualdad: 4,53 = 453 90 . ¿Cuál es el error que cometió? 13. Describe el procedimiento. Explica el procedimiento para transformar un número decimal de la forma a,b, c en fracción. Considera que a, b y c son números enteros mayores o iguales a cero, y menores o iguales a 9. 14. Desafío. Demuestra, utilizando el procedimiento de la página 12, que 0,9 = 1. 15. Argumenta. ¿Es posible ubicar en la recta numérica el número decimal 3,06 ? Justifica tu respuesta. Aplico Integro Refuerzo 1. Describe el procedimiento para justificar la transformación de un número decimal finito a fracción. 2. ¿El número π = 3,1415926... es un número racional? ¿Por qué? § La justificación de la transformación de un número decimal periódico negativo a fracción es la misma que para uno positivo. ¿Por qué? Explica con un ejemplo. § ¿Por qué piensas que es importante justificar los procedimientos matemáticos? Lección ¿Cómo comparar números racionales? • ¿Cómo comparabas números enteros? ¿Y números decimales? ¿Y fracciones? ¿Piensas que se utilizan las mismas estrategias para comparar números racionales? Palabras clave Ü Orden y comparación de racionales. María recibió los siguientes resultados de un examen de sangre: PARAMETRO RESULTADOS UNIDADES VALORES REF. HEMATOLOGÍA HEMATÍES 5,38 10 E12 / L ( 4,20 - 5,90 ) HEMOGLOBINA 16,3 G/6L ( 13,5 - 17,0 ) HEMATOCRITOS 50,5 % ( 40,0 - 45,0 ) PLAQUETAS 215 10E9 / L ( 150 - 400 ) LEUCOCITOS 5,1 10E9 / L ( 4,5 - 11,0 ) Para interpretarlo, María debe comparar sus resultados con los valores referenciales, es decir, comprobar si cada resultado está entre los valores referenciales. Para ello siguió los pasos: Paso 1 Identificar qué tipo de racionales aparecen, en este caso son números decimales finitos. Paso 2 Los decimales finitos o infinitos periódicos o semiperiódicos, se compara primero por su parte entera, en caso que estas sean iguales, se compara su parte decimal cifra a cifra comenzando por las décimas, centésimas, milésimas hasta comparar cifras diferentes. • En el caso del resultado de la Hemoglobina: 16,3 13,5 16,3 17,0 1 = 1 1 = 1 6 > 3 6 < 7 16,3 > 13,5 16,3 < 17,0 • En el caso de números decimales periódicos o semiperiódicos: 24,81 24, 815 24,81818181… 24,815151515… = = = = 8>5 24,81 > 24, 815 Por lo tanto, María puede concluir que solo el valor del hematocrito se escapa del valor referencial, ya que 50,5 > 45,0. Relaciona § ¿Cómo se comparan números naturales? Utilízalo para comparar el valor de las plaquetas. § ¿Cómo escribirías un número entero como decimal? Repasa Orden en enteros Sean a y b números enteros. § Si a > 0, entonces: –a < 0 a > –a § a > b si y solo si (a - b) > 0 a < b si y solo si (a - b) < 0 § Ejemplos: –5 > –8 –11 < –7 3 Las decenas de los números son iguales a 1, por lo tanto, se compara la siguiente cifra. Al comparar las unidades 6 > 3 y 6 < 7. Practica 1 2 3 4 1. Compara los números enteros, escribiendo los signos <, > o =. a) –2 2 b) –9 0 c) 0 –72 d) –56 –40 e) –78 –87 f) –130 –128 g) 500 523 h) –1000 –1001 i) 23 –23 j) 168 –138 2. Compara los números decimales, escribiendo los signos <, > o =. a) 1,03 1,3 b) 0,6 0,06 c) 78,6 7,86 d) 8,59 8,32 e) 0,33 0,3 f) 2,3 2,33 g) 1,5 1,55 h) 12,63 12,62 i) 23,899 23,8989 j) 93,005 93,0505 3. Compara las fracciones, escribiendo los signos <, > o =. a) 1 3 2 5 b) 4 7 4 8 c) 8 9 3 5 d) 13 25 11 20 e) 1 2 3 32 25 f) 2 5 10 11 2 4. Resuelve los problemas. a) Jaime compra 3 8 kg de uvas el lunes y 7 9 kg el martes. ¿Qué día compró más kg de uvas? b) Rocío trota durante la mañana 0,3 km y durante la tarde 1 3 de km más. ¿Durante qué periodo del día Rocío trota menos? ¿Cómo se comparan números racionales en forma fraccionaria? Para ello puedes seguir uno de los siguientes pasos: Paso 1 Transformar las fracciones a números decimales y seguir los pasos anteriores. Paso 2 Igualar los denominadores de las fracciones, asegurándose que ambos denominadores sean positivos, y luego comparar numeradores. Paso 3 Utilizar la forma abreviada del paso anterior, que es multiplicar en forma cruzada las fracciones con ambos denominadores positivos y comparar los resultados, es decir: – 5 9 – 8 11 → –(5 • 11) –(9 • 8) → –55 > –72 → – 5 9 > – 8 11 En resumen Para comparar números racionales puedes: • Si están en su forma decimal, comparar primero la parte entera, en caso que sean iguales comparar la parte decimal cifra a cifra, de izquierda a derecha. • Si están en su forma fraccionaria, y sus denominadores son enteros positivos, puedes utilizar las siguientes estrategias: a) Igualar los denominadores de las fracciones y comparar los numeradores. b) Sean a b y c d con a, c ∈, b, d ∈+. Si a • d > b • c, entonces a b c d > . Praáctica Repaso Repasa Orden en fracciones 3 8 7 9 → 3• 9 8 • 9 7 8 9 8 • • → 27 72 56 72 → 27 < 56 → 27 72 < 56 72 § ¿Aplicaste las mismas estrategias que ya conocías para comparar números racionales? ¿Por qué? § Si tuvieras que comparar una fracción con un número decimal, ¿qué estrategia utilizarías? ¿Por qué? § Si tuvieras que comparar un número racional positivo con uno negativo, ¿necesitarías utilizar alguna de estas estrategias? ¿Por qué? Razona y comenta Practica Práctica guiada 5. Compara los números racionales y completa con los signos >, < o =. a) –2,9 –2,99 b) –0,123 –0,123 c) 1 2 1 8 d) 5 2 2 5 e) 12 3 − 12 –3 f) 7 3 2,3 g) 11 2 11,2 h) –2,02 – 21 9 i) 75,3 220 3 j) –2 6 –0,3 6. Ordena los números racionales de forma creciente. a) 0;0,7;−0,7;0,07;−7;7;0,7 b) 1,76;17,6;1,76;–1,76;–17,6 c) – 1 2 ; –1 4 ; 5 4 ; –8 3 ; 3 2 ; 1 3 d) 25 99 ; 25 10 ;– 23 9 ;– 52 10 ; 5 3 ; 2 5 ; 42 100 e) 0,189; – 92 10 ;1,198; –0,99; 7 5 f) 0,04; –2,243; 1 2 ; – 56 25 ; – 4 7 ; 0,5 7. Analiza las siguientes situaciones a partir de la actividad anterior. a) ¿Qué número racional existe entre el penúltimo y último término en b)? ¿Por qué? b) ¿Qué número racional existe entre el tercer y cuarto término en f )? ¿Por qué? 8. Identifica tres números racionales que cumplan las siguientes condiciones: a) Números racionales entre 1 10 y 1 3 . b) Números racionales entre −0,6 y 1 2 − . c) Números racionales entre 31,24 y 31,24 d) Números racionales entre 1 9 − y 1 5 − . e) Números racionales entre 6 5 y 1,3 . f) Números racionales cuya distancia a 8 9 sea mayor que 1 5 y que sean menores que 8 5 . g) Números racionales cuya distancia a 16 5 sea mayor que 1 3 y que sean menores que 17 3 . h) Números racionales cuya distancia a −2,3 es mayor que 0,5 y que sean menores que 2,3. Aplico 9. Resuelve los siguientes problemas. a) Un estudiante prepara un examen durante la mitad de un mes de 30 días. Un tercio de los días que restan se dedica a limpiar su habitación, los tres quintos de los restantes hace deporte y el resto es tiempo libre. ¿Cuál es el orden creciente de las actividades que realiza ese mes según el tiempo que le dedica a cada una? b) Dos automóviles A y B, recorren un mismo trayecto de 279 km. El automóvil A lleva recorridos los 7 12 del trayecto y el automóvil B los 5 8 del mismo. ¿Cuál de los dos ha recorrido una mayor distancia? c) Al repartir una herencia entre tres personas, la primera recibió dos novenos del total, la segunda, tres octavos y la última, el resto. ¿Quién recibió más dinero? Practica 1 2 3 4 d) Javier y Andrea leen el mismo libro. Javier lleva 15 22 del libro y Andrea lleva 3 5 . ¿Cuál de los dos ha leído una menor cantidad de páginas? Si el libro tiene 198 páginas, ¿cuántas páginas leídas lleva el que ha leído más? e) Una arquitecto dibujó 19 23 del diseño de una casa durante la mañana y durante la noche termina su diseño, dibujando los 4 23 de él. ¿En qué periodo avanzó más con su diseño? f) Luisa, técnico en sonido, está chequeando el cableado de un escenario para un concierto folclórico. Para ello, 9,1 m del cableado debe estar conectado a teclados y guitarras eléctricas, y 23 3 m a baterías y bombos. ¿A qué instrumentos se le asigna una mayor cantidad de cable? g) Don Juan cocina pan amasado y ocupa 10,8 kg de harina para el pan de la mañana y 98 9 kg para el de la tarde. ¿En qué momento ocupa una mayor cantidad de harina? h) Fabián debe leer un libro, cumpliendo las siguientes metas: Un décimo de el lo debe leer a más tardar el 10 de enero, un quinto del libro, hasta el 15 de enero, tres décimos, hasta el 25 de enero y dos quintos, hasta el 30 de enero. ¿En qué fecha Fabián leyó la menor cantidad de páginas? i) Sean a, b, c y d números enteros negativos tal que d > b, a > b, c > d y a d = 1. Completa con > o < según corresponda y justifica tu respuesta. • c b a b • d c a b 10. Conecta. Para una mezcla homogénea se necesitan entre 0,4 g y 1 2 g de bicarbonato sólido. Si Paula cuenta con 1 3 g de este, ¿le alcanza para formar la mezcla? 11. Descubre el error. Felipe ordenó en forma creciente la lista con la cantidad de frutas y verduras que tiene que comprar: ✓ 0,25 kg de mandarinas ✓ 1 3 kg de porotos verdes ✓ 1 2 kg de zapallo ✓ 15 9 kg de tomates ✓ 3,25 kg de limones ✓ 3,2 kg de papas Lista de frutas y verduras ¿Cuál es el error que cometió Felipe? 12. Describe el procedimiento. Escribe otro procedimiento, diferente al visto en la lección, para comparar y ordenar los siguientes números: 0,7; 16 9 ;–1,7;– 7 10 ;–1,7;1,7 13. Desafío. Verifica que si a b < c d con a, b, c y d ∈, b y d  0, entonces: a b < a+c b+d < c d 14. Argumenta. ¿Es cierto que si a y b son números enteros positivos, tales que a > b, entonces 1 a > 1 b ? Justifica tu respuesta. Integro Refuerzo 1. Escribe 3 racionales que estén entre 1,5 y 1,71. 2. Escribe 3 racionales que estén entre 11 45 y 3 10 . 3. Escribe 3 racionales que estén entre 7 8 y 0,89 . § ¿Por qué piensas que es importante establecer relaciones de orden en los números racionales? Ejemplifica con dos situaciones. § En matemática siempre hay más de un método. ¿Qué efecto piensas que tiene esto en tu aprendizaje? Lección Ejemplo 1: Repres entación de números decimales en la recta numérica. En el desierto de Atacama se registran temperaturas bajo cero. La tabla muestra las temperaturas mínimas registradas en los meses de otoño. ¿Cómo representarías estas temperaturas en la recta numérica? ¿Entre qué intervalos se ubican? Para representar en la recta numérica estos números racionales puedes realizar lo siguiente: Paso 1 Determinar los números enteros entre los que se ubican las temperaturas. 4,4 se ubica entre 4 y 5 –0,7 se ubica entre –1 y 0 2,2 se ubica entre 2 y 3 –0,5 se ubica entre –1 y 0 Paso 2 Para representar números decimales hasta la décima cada entero se divide en 10 tramos iguales. −0,5 2,2 −0,7 4,4 −1 0 1 2 3 4 5 Por lo tanto, las temperaturas registradas en otoño se encuentran entre –1 °C y 5 °C. ¿Cómo representar números racionales en la recta numérica? • Si tuvieras que representar – 1 2 en la recta numérica, ¿cómo lo harías? Describe tu procedimiento y coméntalo con un compañero o compañera. Palabras clave Ü Recta numérica. § ¿Por qué –0,7 quedó ubicado a la izquierda de –0,5 en la recta numérica? § ¿Entre qué valores quedaron ubicadas las temperaturas negativas? ¿Y las positivas? Razona y comenta Mes T (°C) Marzo 4,4 Abril 2,2 Mayo –0,7 Junio –0,5 Repasa § Al representar los números –4, 5, –6, 3 y 0 en la recta numérica se obtiene: −6 −4 0 3 5 –6 < –4 < 0 < 3 < 5 § Al representar los números 0,3; 0,6; 0,8; 0,1 y 1,0 en la recta numérica se obtiene: 0 0,1 0,3 0,6 0,8 1,0 0,1 < 0,3 < 0,6 < 0,8 <1,0 Relaciona § ¿En cuántos tramos dividirías la recta numérica para representar centésimas? 4 Practica 1 2 3 4 1. Representa los siguientes números enteros en una recta numérica. a) –8, 0, –5, 10, 12, –3 b) –87, –88, 89, 90, 91, –92 c) 100, –95, 56, –48, 32, –101 d) 700; –900; 100; 500; –300; –200 e) 2000, –800, 500, –1500, –300, 4000 2. Representa los siguientes números decimales en una recta numérica. a) 0,1; 0,9; 0,5; 0,2; 0,8; 0,4 b) 0,02; 0,12; 0,04; 0,10; 0,08; 0,15 c) 0,11; 0,1; 0,22; 0,2; 0,12; 0 d) 0,07; 0,03; 0,071; 0,04; 0,042; 0,035 e) 3; 3,2; 3,35; 3,3; 3,4; 3,25 Practica § ¿Aplicaste estrategias que conocías para representar números racionales en la recta numérica? ¿Cuáles? § ¿Es posible determinar la ubicación exacta de un decimal periódico en su representación decimal? ¿Cómo? Comenta con tus compañeros o compañeras. § Si tuvieras que estimar la ubicación de un número decimal periódico en la recta numérica, ¿qué estrategia utilizarías? ¿Por qué? § ¿En qué casos es más adecuado expresar los racionales en fracciones para ubicarlos en la recta? ¿En qué casos no es lo más adecuado? Fundamenta tu respuesta. Razona y comenta Repaso Ejemplo 2: Representación de números decimales y fracciones en la recta numérica. Lucía y Jaime tienen que ubicar los racionales – 2 3 , 0,16 y 1,3. Lucía opina que deben transformar los decimales a fracción, pero Jaime dice que no es necesario. ¿Qué opinas tú? Para representar en la recta numérica estos números racionales puedes realizar lo siguiente: Paso 1 Transformar los números decimales periódicos y semiperiódicos a fracción. 0,16 = 16–1 90 = 15 90 = 1 6 1,3 = = = = 13–1 9 12 9 4 3 1 1 3 Paso 2 Se dividen los trazos unitarios según el denominador y se ubica la fracción tantos lugares desde el cero a la derecha o izquierda, según el signo de la fracción, como lo indique el numerador. Links Para reforzar la comparación de números racionales visita: http://www.profesorenlinea.cl/ matematica/ FraccionesRepresentar.htm Repasa § Al representar los números 1 10 ; 3 10 ; 1 5 ; 3 5 y 1 2 en la recta numérica se obtiene: 0 1 10 3 10 3 5 1 5 1 2 1 1 10 < 1 5 < 3 10 < 1 2 < 3 5 Relaciona § ¿Por qué es conveniente transformar una fracción impropia a número mixto, para representarla en la recta numérica? −1 0 1 2 1 1 3 1 6 – 2 3 Las subdivisiones rojas corresponden a sextos. Las subdivisiones verdes corresponden a tercios. Practica m) −0,10 n) 0,56 o) 2,03 p) −1,01 q) −2,36 r) 12,34 s) −0,808 t) −2,303 u) –18,214 7. Identifica y escribe el número que se ubica en la posición marcada en la recta numérica. a) 1 2 b) 5 6 c) 0,2 0,3 d) 0,01 0,02 e) −1,9 −1,8 f) 1 2 3 5 g) – 9 10 – 4 5 h) – 1 4 5 4 i) 228 25 913 100 Aplico 8. Calcula el número que se encuentra a la misma distancia de los números ubicados en la recta numérica. a) 8 9 b) −5 3 c) −3,28 8,6 d) 5 8 4 5 3. Representa las siguientes fracciones en una recta numérica. a) 1 3 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 8 ; 1 7 ; 1 5 b) 2 3 ; 4 15 ; 5 9 ; 4 9 ; 7 15 ; 1 3 4. Estima los números indicados por los puntos M, N y O . a) –2 M 2 b) 0,4 N 0,5 c) 1 O 2 Práctica guiada 5. Representa los siguientes números racionales en una recta numérica. a) 0,2; –0,6; –0,4; 0,1; 0,5; –0,8 b) 1,4; –2,5; 3,1; –4,6; 2,8; –1,9 c) 0,02; –0,06; –0,04; 0,01; 0,05; –0,08 d) 0,12; –0,16; –0,14; 0,11; 0,15; –0,18 e) 1,02; –2,06; –3,04; 1,01; 4,05; –2,08 f) 4; 7 14 ; 14 7 ; 47 10 ; 21 5 ; 23 5 g) 1 8 ; 1 3 ; 1 2 ; 1 6 ; 1 8 ; 1 4 − − − h) 8 5 ; 5 3 ; 4 15 ; 1 3 ; 1 15 ; 1 5 − − − − − − 6. Identifica entre qué números decimales finitos se encuentran los siguientes números. a) −0,7 b) 3,67 c) 0,5 d) −0,6 e) −0,8 f) −1,3 g) 1,7 h) − 1,6 i) 0,10 j) 5,9 k) −0,01 l) 0,05 Practica 1 2 3 4 9. Resuelve los siguientes problemas. a) Se estima que la Tierra tiene aprox. 4600 millones de años de antigüedad. Actualmente vivimos en lo que se llama el eón Fanerozoico que constituye alrededor de 7 60 del tiempo de existencia de la Tierra. El primer eón llamado Hadeano constituye aprox. 0,175 del tiempo de existencia de la Tierra. ¿Qué eón representa más tiempo? b) Carla va a la feria, una vez por semana, para abastecerse de frutas y verduras. La tabla muestra la masa del carro que cargó en un mes luego de ir a la feria. N° de semana Masa (kg) 1 20,5 2 77 4 3 18,2 4 20 1 4 • Representa en una recta numérica las masas del carro que cargó Carla durante el mes. • ¿En qué semana, Carla cargó con menos masa en su carro luego de ir a la feria? • Si el carro soporta a lo más 20 kg, ¿en cuántas semanas sobrepasó esa masa? c) El IMC (índice de masa corporal) se utiliza como indicador de sobrepeso y obesidad de una persona, y se calcula mediante la expresión: IMC = Masa Estatura2 donde la masa se mide en kilogramos y la estatura en metros. Completa la tabla utilizando la información anterior. Nombre Masa (kg) Estatura (m) IMC Carla 45,3 1,60 Ignacio 76,5 1,72 Tomás 68,8 1,76 • Representa en una recta numérica las masas de las personas. • Representa en una recta numérica las estaturas de las personas. • Representa en la siguiente recta numérica el IMC de cada persona. Bajo Peso Peso Normal Sobre Peso 18 25 • Según su IMC, ¿qué personas puedes clasificar con peso normal? • Según su IMC, ¿qué personas puedes clasificar con bajo peso? • Según su IMC, ¿qué personas puedes clasificar con sobrepeso? 10. Conecta. Al construir distintos tipos de gráficos, estos están formados por dos rectas numéricas que se intersectan. En ellos, ¿puedes representar números racionales? Justi ca. 11. Descubre el error. ¿Cuál es el error cometido en la representación de los siguientes números racionales en la recta numérica: – 9 4 ; –1 2 3 ; –2; –1,5; – 11 5 ? – 9 4 – 11 5 –1 2 −2 3 −1,5 0 12. Describe el procedimiento. ¿Cómo se representan en la recta numérica las temperaturas registradas en la tabla? Descríbelo. Día Temperatura (°C) Lunes –2,6 Martes –3 Miércoles –3,5 Jueves 1,8 Viernes 2,4 13. Argumenta. ¿Es posible ubicar en la recta numérica un número decimal periódico entre dos números enteros dados? Justifica tu respuesta. Integro Refuerzo 1. Ubica 3 números racionales con dos decimales en la recta numérica, que estén entre 0 y 1. 2. Ubica 3 números racionales con dos decimales en la recta numérica, que estén entre −1 y 0. § ¿Por qué piensas que es importante representar gráficamente los números racionales? Ejemplifica con dos situaciones. Integración Integro mis aprendizajes 1 Identifica si los problemas tienen solución en los enteros o en los racionales y resuélvelos. a. Un litro de bebida se reparte completamente en 4 envases pequeños, llenando cada uno de ellos. ¿Cuántos milímetros cúbicos de bebida llenan cada envase? b. Una panadera reparte diariamente 50 kg de pan entre 20 almacenes de manera equitativa. ¿Cuántos kilogramos de pan recibe cada almacén? c. En una fábrica se elaboran 200 cajas de leche en una hora. ¿Cuántas cajas de leche se elaborarán en 5 horas y media? d. Marcos tiene recomendado tomar media pastilla en la mañana y media pastilla en la tarde, para controlar la hipertensión arterial. ¿Cuántas pastillas toma Marcos en 15 días? e. El perímetro de un rectángulo es de 23 cm. Si el largo del rectángulo es el triple del ancho, ¿cuál es su área? f. Nicole y dos amigos diseñan una maqueta en 5 horas. ¿Cuántas horas demorarán si trabajan 5 personas en la maqueta? 2 Evalúa si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas. a. −5 pertenece al conjunto de los números naturales. b. −18 pertenece al conjunto de los números enteros. c. 2 pertenece al conjunto de los números racionales. d. 25 pertenece al conjunto de los números racionales. e. El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros negativos. f. 1 2 pertenece al conjunto de los números enteros. g. −0,5 no pertenece al conjunto de los números enteros. h. El conjunto de los números enteros es un subconjunto de los números racionales. 3 Identifica si los siguientes números son racionales. De ser así, exprésalos como fracción. a. 1 b. 5,96333… c. −25 d. −2,122322… e. 0,001 f. 26,07 g. 3,1415… h. −13,55555… 4 Analiza cómo Juan justifica la igualdad a,bc = abc–ab 90 . Sea x = a,bcccc... 10 • x = ab,ccccc... 1000 • x = abcc,ccc... 1000x − 10x = abcc,ccc... − ab,cccc 990x = abcc − ab x abcc –ab 990 = ¿Es correcto el procedimiento que realizó Juan? ¿Por qué? 5 Justifica las igualdades utilizando lo anterior. a. 0,a = a 9 b. 0,ab a(b –1) 90 = c. 0,00ab = ab 9900 d. 0,0bc b(c –1) 900 = 6 Comprueba las igualdades si: r = –1,16 ; s =1,1 y t = −0, 1 a. r • s = 35 27 b. s t – 100 9 ÷ = c. r •t – 7 60 = d. r • s t > –3 Caracterizar los números racionales (lecciones 1 y 2). Integración Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto. 1 2 3 4 10 Identifica los conjuntos numéricos a los que pertenece cada uno de los siguientes números y represéntalos en la recta numérica. a. 3 b. 0 c. −2 d. 0,9 e. − 1 3 f. 3 4 g. −0,8 h. 9 i. − 15 3 11 Evalúa la relación de orden y marca la fracción que corresponda a cada intervalo. Intervalo numérico a b a. a b <–1 – 3 4 –4 3 3 4 b. –1< a b <0 –5 2 2 5 –2 5 c. 0> a b >–1 –3 6 6 –3 3 6 d. 1< a b 8 5 5 8 –5 8 12 Identifica y escribe el número que se ubica en la posición marcada en la recta numérica. a. −1,1 −1,02 b. 3 4 7 4 c. –9 10 –3 10 d. – 1 3 0,6 7 Calcula las siguientes divisiones, e identifica si se obtiene un entero, decimal finito, periódico o semiperiódico. Luego relaciona el resto obtenido con el cociente y responde las preguntas. 6 ÷ 2 = 15 ÷ 3 = 14 ÷ 7 = 5 ÷ 2 = 28 ÷ 8 = 13 ÷ 2 = 17 ÷ 3 = 25 ÷ 3 = 11 ÷ 9 = 1 ÷ 6 = 5 ÷ 6 = 35 ÷ 6 = a. ¿Cómo es el resto de las divisiones en la primera fila? ¿Cómo es el cociente? b. ¿Qué sucede con el resto de las divisiones de la segunda fila? ¿Qué tipo de decimal es el cociente? c. ¿Qué sucede con el resto de las divisiones de la tercera fila? ¿Qué tipo de decimal es el cociente? d. ¿Qué sucede con el resto de las divisiones de la cuarta fila? ¿Qué tipo de decimal es el cociente? Formular estrategias para comparar y representar en la recta numérica números racionales (lecciones 3 y 4). 8 Representa gráficamente en la recta numérica. a. 6 7 b. 7 2 c. 1 5 d. 5 8 e. 1 8 f. 3 10 9 Ordena los números racionales de menor a mayor. a. 0 , 032 ; 0,032 ; 0,032 ; 0,032 ; 0 , 320 b. 3 4 ; 0,75 ; 7 5 9 ; 1,75 ; 7 4 c. 1 125 999 ; 9 8 ; 557 495 ; 1 8 ; 1013 900 Lección ¿ Cómo resolver operaciones con números racionales? • Las propiedades en las operaciones de números enteros, decimales y fracciones positivas, ¿se cumplirán en el conjunto de los números racionales? Palabras clave Ü Adición y sustracción de números racionales. Ü Multiplicación y división de números racionales. Ejemplo 1: Adición y sustracción de números racionales Pablo siguió el programa "Elige Vivir Sano" del Ministerio de Salud y el primer mes bajó 2,25 kg; el segundo, 1,1 kg; el tercer mes subió 3 4 kg y el cuarto mes perdió 1 8 9 kg. Si su masa era de 68 kg, ¿con cuántos kilogramos quedó después del cuarto mes? Para sumar o restar números racionales puedes realizar lo siguiente: Paso 1 Plantear las adiciones y sustracciones involucradas en el problema. 68 –2,25–1,1+ – 3 4 1 8 9 Lo que bajó el 2° mes Masa de Pablo al inicio Lo que bajó el 1° mes Lo que subió el 3° mes Lo que bajó el 4° mes Paso 2 Como hay números decimales periódicos involucrados, resulta pertinente transformar los decimales a fracción. Al sumar o restar fracciones de igual denominador se suman o restan los numeradores. + = + = + + + = + + = + = + = + = = = = 68–2 1 4 – 10 9 3 4 –1 8 9 68 – 9 4 3 4 – 10 9 – 17 9 68 (–9) 3 4 (–10)–17 9 68 (–6) 4 (–27) 9 68 (–6) 4 –3 65 (–6) 4 260 4 (–6) 4 260–6 4 254 4 127 2 63 1 2 La fracción –27 9 equivale al entero –3. El entero 65 equivale a la fracción 260 4 . Después del cuarto mes, Pablo quedó con una masa de 63 1 2 kg. En resumen Para sumar y restar números racionales se puede utilizar su representación fraccionaria o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos a fracción para operarlos con otro número racional. En  la adición cumple con las propiedades de conmutatividad, asociatividad, existencia de un único elemento neutro aditivo y un elemento inverso aditivo . Observa Verifica el resultado usando la calculadora, para ello usa la tecla: para colocar fracciones. Relaciona § ¿Por qué 65 1 = 260 4 ? § ¿Es cierto que –6) 4 = – 6 4 ( ? ¿Por qué? 5 1 2 3 4 Tierra y Luna El peso se mide en Newton (N) que equivale a kg • m/s2. Ejemplo 2: Multiplicación de números racionales El peso de un individuo depende de la gravedad con la que es atraído al centro del planeta. En el caso de la Tierra, el peso (en Newton) de un individuo se calcula con la fórmula P = m • g, donde m corresponde a la masa (en kg) de un individuo y g = 9,8 m/s2 es aproximadamente la aceleración de gravedad. Si en la Luna el peso de un individuo corresponde a 1 6 de su peso en la Tierra, ¿cuál será el peso de Pablo en la Luna? Para calcular el peso de Pablo en la Luna puedes seguir los pasos: Paso 1 Calcular el peso de Pablo en la Tierra, multiplicando su masa por la aceleración de gravedad: Caso 1: Transformar la aceleración de gravedad a fracción y multiplicar las fracciones. • • • 2 63 → 1 2 kg = 254 4 = 127 2 127 2 9,8= 127 2 98 10 = 127 2 49 5 = 127• 49 2 •5 = 6223 10 = 622 3 10 = 622,3kg•m/seg Se simplifica 98 10 y se obtiene 49 5 . Se transforma el decimal a fracción. Se transforma el decimal a fracción. Se multiplican las fracciones. Caso 2: Transformar la masa a número decimal y multiplicar los decimales. Se multiplican los decimales según el valor posicional. 3 4 2 4 6 3 , 5 • 9 , 8 5 01 8 0 + 51 7 1 5 6 2 2, 3 0 El resultado tendrá tantas cifras decimales como la suma de la cantidad de cifras decimales de los factores. Paso 2 Multiplicar el peso de Pablo en la Tierra por 1 6 . • • • • 622,3 1 6 = 6223 10 1 6 = 6223 1 10 6 = 6223 60 =103,716 El peso en la Tierra de Pablo es de 622,3 kg • m/s2 y en la Luna 103,716 kg • m/s2; es decir, aproximadamente, 103,7 kg • m/s2. Observa § Verifica la multiplicación de fracciones con la calculadora: 254 4x9810 6223 10. § Verifica la multiplicación de decimales en la calculadora: 63. 5x9.8 622.3 Relaciona § ¿Por qué para multiplicar 622,3 • 1 6 se transformó el decimal a fracción y no la fracción a decimal? Praáctica Lección Camaleón Repaso 1. Calcula las siguientes operaciones con números enteros. a) (–2) + 5 b) (–56) + 38 c) 26 + (–31) d) (–2) + 9 – 5 e) 103 – (1 + 63) f) (–5) • 6 g) 30 – 50 – 80 h) (–25) ÷ 5 i) (–84) ÷ (–3) j) 56 – 2 • 5 k) 12 – 9 + 5 • (–4) l) (–1) + (1 – 1 ) • (–1) § ¿Cuál es la propiedad de la división que se cumple solo en el conjunto de los números racionales? § ¿ 2 3 ÷ 1 2 es lo mismo que 2 • 2 3 ? ¿Por qué? Justifica tu respuesta. § ¿Cuál es la diferencia en los procedimientos para multiplicar y dividir fracciones? Razona y comenta En resumen Para multiplicar y dividir números racionales se puede utilizar su representación fraccionaria o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos a fracción para operarlos con otro número racional. En  la multiplicación cumple con las siguientes propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro multiplicativo, elemento inverso multiplicativo y distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Ejemplo 3: División de números racionales Un camaleón pesa en la Tierra 4 9 10 kg • m/s2 y en la Luna, 49 60 kg • m/s2. ¿Cuál es el promedio de su peso en ambos lugares? Para calcular el peso promedio del camaleón se puede: Paso 1 Sumar ambos pesos. La fracción 49 10 se amplifica por 6, quedando la fracción 294 60 . 49 10 + 49 60 = 294+49 60 = 343 60 Paso 2 Dividir en 2 el resultado anterior. El entero 2 es equivalente a la fracción 2 1 . Para dividir fracciones se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. • 343 60 ÷2= 343 60 ÷ 2 1 = 343 60 1 2 = 343 120 =2 103 120 El camaleón pesa en promedio 2 103 120 kg • m/s2 entre la Tierra y la Luna. Relaciona § ¿Por qué 343 60 no se transformó en decimal para dividirse en 2? § ¿A qué número decimal corresponde el peso del camaleón? 5 Practica 1 2 3 4 2. Calcula las siguientes operaciones con números decimales. Puedes utilizar la calculadora. a) 0,1 + 0,3 b) 3,20 + 5,16 c) 5,1 + 1,3 – 4,6 d) 6,8 – 3,12 + 0,2 e) 0,3 • 1,4 f) 5,25 • 2,3 g) 8,2 ÷ 6,4 h) 2,65 ÷ 1,62 3. Calcula las siguientes operaciones con fracciones. Utiliza la calculadora. a) 5 8 + 9 2 b) 7 5 – 1 3 c) 10 3 + 9 8 – 1 24 d) 7 2 • 9 5 e) 1 2 3 • 13 5 f) 2 9 ÷ 6 12 Práctica guiada 4. Calcula las adiciones y sustracciones de números racionales. Simpli ca si es posible y veri ca tus resultados con la calculadora. a) – 2 3 – 1 3 + 14 3     b) 3 8 + 1 8 – 7 8 c) 1 4 + 3 4 – 6 4 d) 1 2 + 5 2 – 4 2 – 7 2     e) 1 7 – 3 7 + 10 7 + 6 7     f) 4 5 + 16 12 g) 5 6 5 2 −      + h) 1 5 – 1 4 + 2 3 i) – 1 3 + 5 7 – 11 5      j) 1 7 + 3 2 – 2 3 – 1 5     k) 0,3 + 0,8 l) 0,15 – 0,23 m) (–0,16) – 5,14 n) 5,89 – 0,9 o) 0,1 + 3,58 – 15,39 p) 13,5 – 38,7 – 89,2 q) 5,956+(9,85– 2) r) (–9,001)–(18,6+1,1) 5. Calcula las operaciones combinadas. Verifica tus resultados con la calculadora. a) 1,24 – 0,31 b) 7,2 –(7,2+0,2) c) 1,7 – 2 9 – 1 6 +0,34          d) 0,1– 3, 41+5,2 e) 1 11 – 0,26 – (–1,06)+1,3 ( )      f) 2,5+ 1 3 – 7,1– 1 5     6. Analiza cada igualdad. Luego, complétala con la fracción correspondiente. a) –1 1 2 –5 4 5 + 1 4     = b) 0 5 + 3 8 + 1 3 + 2 5 =      c) – 9 4 + – 7 8 + 1 4 + 5 16         =      7. Calcula las multiplicaciones de números racionales. Simplifica si es posible y verifica tus resultados con la calculadora. a) 81 4 • 16 3 b) 25 36 • 64 125  −      c) 3 5 • – 2 3     d) 1 4 • 2 3 −      −      e) 1 1 2 • 5 6  −       −      f) 3 4 • 3 2 •(−8) g) 0,6 • 1,5 h) 3,2 • (–0,8) i) (–4,25) • (–6,3) j) 60,05 • (3 • (–0,2)) k) (–1,1) • (–7,2) • (–3) l) (– 20,6) • 5,3 • 2,02 Practica 8. Calcula las divisiones con números racionales. Simplifica si es posible y verifica tus resultados con la calculadora. a) – 4 9 ÷ 8 16      b) – 23 6 ÷ 50 8     c) – 5 3 ÷ – 4 8            d) 2 5 ÷2 e) 3÷ – 9 5     f) 8 7 ÷ 9÷ – 1 3           g) ( –1,5)÷ 0,3 h) 2 ,8 ÷ ( −1,04) i) ( –45,5) ÷ (–0,5) j) 4, 46 ÷ (–0,02) k) (4 ÷ ( –3,8 )) ÷ (–2,9) l) 2,21 ÷ 9,6 ÷ (– 0,6 ) 9. Calcula las operaciones combinadas de números racionales. Puedes utilizar la calculadora. a) 1 1 2 ÷5 3 8 b)      21 2 • – 3 49 • 1 9 c) 5 1 4 ÷ 1 4 • – 1 6         d) 6– 3 5 ÷5 1 2 1 10 • 2 11     +     e) 3,5÷(−2,3) •2,6 f) (5,01•0,100)÷0,003 g) 3, 4 ÷0,34 (–0,10) h) (–5,78)÷(–0,02) 3,25 Aplico 10. Analiza la tabla. Luego, completa. a > 0 > b > c Signo del producto a > b> 0 > c Signo del producto 0 > a > b > c Signo del producto a b • c b a b • b c c b • a b • c a•b c • b • c a a b • c • b c • a a• c b • c b 11. Verifica si se cumplen las siguientes propiedades para la adición de números racionales. a) Propiedad conmutativa: a + b = b + a; a, b ∈ . b) Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c); a, b, c ∈ . c) Elemento neutro: a + 0 = 0 + a ; a ∈ . 12. Resuelve los siguientes problemas. a) El precio del dólar es de $504,3. ¿A cuánto dinero equivalen 7,5 dólares? b) ¿Cuántos octavos hay en 9,5 kg de té? c) ¿Cuántos tercios hay en 20 5 kg de almendras? d) ¿Cuántos metros cuadrados tiene un terreno rectangular de 60 7 m de largo y 40 9 m de ancho? e) La madre de Camilo le legó 5 4 de la tercera parte del terreno que recibió su hermana. ¿Qué fracción del terreno recibirá Camilo? f) Si el terreno heredado en el ejercicio anterior corresponde a 50 000 hectáreas, ¿cuántas hectáreas recibirá Camilo? g) Si tres cuartos de kilogramos de manzanas tienen un valor de $862, ¿cuál es precio de medio kilogramo? h) Un cuarto de kilogramo de queso es dividido en trozos de 0,025 kg. ¿Cuántos trozos de queso se obtuvieron? i) Una jarra con capacidad de 3 1 2 litros llena de jugo se reparte en vasos de 1 4 litro. ¿Cuántos vasos se pudieron llenar con esa capacidad? Practica 1 2 3 4 Integro Refuerzo 1. Si se dividiera 1 3 de una torta entre tres amigos, ¿cuánto recibiría cada uno? 2. Describe el procedimiento para calcular 4,5 • 1 9 . 3. Al calcular – 1 4 + – 2 3         , ¿qué signo tendrá el resultado? § ¿Cuál es la importancia del inverso multiplicativo en la operatoria con números racionales? Investiga por qué también se le llama recíproco. § Al operar con números decimales periódicos o semiperiódicos, ¿qué estrategias se pueden utilizar? Describe dos. § ¿Cuál es la importancia de la calculadora en la operatoria con números racionales? Explica. j) Don Elías reparte 3 1 5 kg de alimento entre los animales de su granja. Si cada uno come 8 15 kg de alimento, ¿cuántos animales hay en su granja? ¿Cuánto alimento necesitaría si la cantidad de animales se duplicara? k) Las aristas de la figura 1 miden: a = = = 1 2 m, b 2 3 m y c 7 2 m ¿Cuáles son los volumenes de las figuras 1 y 2? ¿Cuántas veces puede contener como máximo la figura 2 a la figura 1? b (b + 2) (c + 0,5) (a + 1) Figura 2 c a Figura 1 l) En la cuenta de una casa comercial, al no pagar en la fecha correspondiente, se aplicará un interés de 6% por cada peso impago que deberá ser cancelado el próximo mes. Si una persona no pagó su cuenta en la fecha y el monto corresponde a $4500, ¿cuánto dinero más tendrá que pagar el próximo mes? m) Un quinto del tiempo libre que tiene Lucía lo dedica al deporte, un tercio a las salidas con amigos y un cuarto lo dedica a escuchar música. Si quisiera agregar otra actividad extraprogramática, ¿qué fracción de tiempo le queda? n) Jorge ahorra monedas de $1 y $5. Se sabe que 2 9 de las monedas ahorradas corresponden a monedas de $1 y el resto son de $5. Si en total tiene 13 500 monedas, ¿cuántas monedas de $5 tiene?¿Cuál es el monto ahorrado por Jorge? o) Mariela lleva un conteo promedio de las personas que viajan en su bus. Ella sabe que 3 5 de las personas que viajan, lo hacen durante la mañana y de las personas que viajan el resto del día, 1 4 lo hace de noche. Si un día jueves viajan entre 500 y 1000 personas, ¿cuántas personas como mínimo y como máximo no viajan durante la mañana? 13. Conecta. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación? x+ 1 3 = 0,5÷ 3 2 14. Descubre el error. ¿Cuál es error cometido en el desarrollo? +      = +      =       =     = 1 5 3 4 • – 7 5 –1,3 1 5 3 4 • – 7 5 – 4 3 19 20 • – 7 5 – 4 3 – 133 100 – 4 3 – 799 300 15. Describe el procedimiento. Describe paso a paso cómo resolverías la siguiente operación combinada: •      4 5 – 8 3 ÷1,16 0,12+1 5 8 16. Argumenta. ¿Para todo a, b y c ∈  se cumple que a • (b • c) = (a • b) • c? 17. Crea. Inventa un problema cuya solución se calcule con la operación 1 1 2 ÷ 1 8 . 18. Desafío. Dos amigos se disponen a comer unos pasteles. El primero tiene 5 pasteles y el segundo 3. Cuando van a comenzar a comer llega un tercer amigo, sin pastel alguno, y les dice: “¿qué les parece si repartimos sus 8 pasteles de manera equitativa y a cambio yo les doy $800 y ustedes se reparten el dinero de una manera que encuentren justa?”. Los dos amigos se miraron y aceptaron. ¿Cómo repartieron los $800 los dos amigos? Lección ¿Qué es la propiedad de Clausura? • Al restar dos números naturales, ¿siempre se obtiene un número natural? ¿Por qué? Ejemplifica. • Al dividir dos números enteros, ¿siempre se obtiene un número entero? ¿Por qué? Ejemplifica. Palabras clave Ü Clausura. Ü Operaciones en los números racionales. En resumen En el conjunto de los números racionales , las operaciones de adición, multiplicación, sustracción y división (con divisor distinto de cero) cumplen con la propiedad de clausura, es decir, al operar con números racionales siempre se obtendrá otro número racional. Taller Reúnanse en parejas y realicen las actividades. Comparen sus resultados con otras parejas. 1. Encuentren un ejemplo en que la resta de dos números naturales no sea un número natural. 2. Encuentren un ejemplo en que la división de dos números enteros no sea entera. 3. Encuentren un ejemplo en que la suma entre dos fracciones sea un número entero. 4. Encuentren un ejemplo en que la multiplicación entre dos fracciones sea un número entero. 5. Encuentren un ejemplo en que la división entre dos fracciones sea un número entero. 6. Observen la siguiente operación definida en los números naturales: Para a, b ∈ , se define la operación (♥) como a♥b = 2a – 3b. Por ejemplo: 8 y 5 ∈ , si se calcula 8♥5 se obtiene que: 8 ♥ 5 = 2 • 8 − 3 • 5 = 16 − 15 = 1 Luego, 1∈ . a) Calculen 9♥4, 3♥5, 10♥3 y 2♥8. b) Al aplicar la operación ♥, ¿siempre se obtiene un número natural? c) La operación ♥, ¿es cerrada en los números naturales? § ¿Existe un ejemplo en que al sumar o restar dos números racionales no se obtenga un número racional? ¿Por qué? § ¿Existe un ejemplo en que al multiplicar o dividir dos números racionales no se obtenga un número racional? ¿Por qué? § La adición, sustracción, multiplicación y división, ¿cumplen la propiedad de clausura en los números racionales? Razonen y comenten Repasa – 3 4 + 1 3 = –9)+4 12 = – 5 12  (      5 8 • – 3 7 = – 15 56            – 4 9 ÷ – 8 12 = – 4 9 – 12 8 = –4) –12) 9 8 • ( •( •                 ÷ – 8 12 = – 4 9 – 12 8 = –4) –12) 9 8 • ( •( •             = –1)•(–4) 3• 2 = 4 6 = 2 3 ( 1 4 3 2 – 12 8 = –4) –12) 9 8 • ( •( •       6 Practica 1 2 3 4 Repaso 1. Calcula las operaciones entre números naturales e identifica si el resultado es un número natural. a) 3 + 5 b) 25 − 3 c) 55 − 36 d) 150 + 235 − 450 e) 4 − 2 f) 5 − 9 g) 8 − 5 + 3 h) 9 + 8 − 19 2. Calcula las divisiones de números enteros e identifica si el resultado es un número entero. a) (−25) ÷ (−5) b) 56 ÷ (−4) c) 87 ÷ 3 d) 45 ÷ 6 e) (−1232) ÷ 22 f) 1542 ÷ (−35) g) (−2496) ÷ (−26) h) (−5987) ÷ 12 Práctica guiada 3. Analiza la siguientes situaciones. a) Encuentra dos números racionales cuyo producto sea un número natural. b) Encuentra dos números racionales cuyo cociente sea cero. c) Encuentra dos números enteros cuyo cociente sea un número decimal semiperiódico. Aplico 4. Evalúa si las siguientes operaciones cumplen con la propiedad de clausura en el conjunto en el que están definidas. a) Se define la operaciónpara a, b ∈ , como: a  b = 3a – 4b b) Se define la operación  para u, v ∈ , como: u  v = u – v • u + v c) Se define la operación « para r, s ∈ , como: r « u= (r + u) – u 5. Analiza la siguiente afirmación. Luego responde. a, b ∈  ⇒ a ÷ b = k; k ∈  a) Traduce a lenguaje natural la afirmación propuesta. b) Da tres ejemplos en los que se cumpla la afirmación. c) ¿Es verdadera la afirmación propuesta para cualquier par de números racionales? Fundamenta. 6. Evalúa las siguientes afirmaciones. Si la afirmación es falsa indica un contraejemplo. a) La adición es cerrada en los números naturales. b) La división es cerrada en los números naturales. c) La multiplicación es cerrada en los números naturales. d) La sustracción es cerrada en los números naturales. e) La sustracción es cerrada en los números enteros. f) La división es cerrada en los números enteros. g) La multiplicación es cerrada en los números enteros. 7. Descubre el error. ¿Cuál es el error en la siguiente afirmación? “Si r, u ∈ , entonces, la operación r ☺ u = r u u r + u r • es cerrada en ”. 8. Argumenta. Claudia afirma que si se dividen dos números naturales pares, el cociente entre ellos es un número natural. ¿Es correcto lo que ella afirma? Justifica tu respuesta. Integro Refuerzo 1. La operación a ♣ b = a + b – a • b, ¿es cerrada en los números naturales? 2. La operación a ♠ b = (a – b) • (a + b), ¿es cerrada en los números enteros? 3. La operación c∅d= c d –c , ¿es cerrada en los números racionales? § En los números naturales, ¿qué operación cumple la propiedad de clausura? ¿Y en los números enteros? ¿Por qué? § Si la adición es cerrada en un conjunto numérico, ¿se puede afirmar, sin necesidad de comprobarlo, que la sustracción también es cerrada? ¿Por qué? § ¿Por qué es importante comprender que las operaciones en los números racionales cumplen la propiedad de clausura? Lección ¿Por qué los números racionales son densos? • Si te preguntaran: ¿Cuántos números naturales hay entre 1 y 2? ¿Y cuántos números enteros hay entre –5 y –4? ¿Qué considerarías para responder estas preguntas? Palabra clave Ü Densidad. En resumen El conjunto de los números racionales  cumple con la propiedad de la densidad, ya que entre dos números racionales existen infinitos números racionales. Praáctica Repaso 1. Calcula el antecesor y sucesor de los siguientes números naturales. a) 8 b) 28 c) 51 d) 79 e) 150 f) 600 g) 1200 h) 7990 2. Encuentra un número natural entre cada par de números. a) 5 y 7 b) 96 y 103 c) 46 y 72 d) 165 y 178 Taller Reúnanse en parejas y sigan las instrucciones. 1. Elijan dos números enteros positivos a y b tal que a < b. Por ejemplo, 2 y 3. 2. Ubíquenlos en la recta numérica. 3. Calculen el promedio d entre a y b y ubíquenlo en la recta numérica. Por ejemplo, el promedio entre 2 y 3 es (2 + 3) ÷ 2 = 2,5, por lo tanto d = 2,5. 4. Calculen el promedio entre a y d y entre d y b y estimen su ubicación en la recta numérica. 5. Repitan las cuatro instrucciones anteriores para dos números enteros negativos. 6. Repitan las cuatro primeras instrucciones para dos números racionales no enteros. § ¿Podrían seguir encontrando números racionales entre los números enteros dados al inicio? § ¿Cuántos números racionales, por lo menos, hay entre dos números racionales? § ¿Siempre se puede encontrar un número racional entre dos números racionales? ¿Por qué? § ¿Cuántos números racionales hay en total entre los números enteros dados al inicio? ¿Es posible calcularlo? § Vuelve a responder la pregunta inicial. ¿Cambió tu respuesta? Razonen y comenten 7 Practica 1 2 3 4 3. Identifica un número entero entre cada par de números. a) 9 y 12 b) –1 y 1 c) –5 y 6 d) –16 y 0 e) 0 y 7 f) –250 y –248 g) –47 y –45 h) –150 y –111 i) –35 y –29 j) –100 y 98 Práctica guiada 4. Analiza las rectas numéricas y luego responde. • • b a) −2 −1 a • Encuentra el número b que esté entre a y −1. • Encuentra el número c que esté entre −2 y b. b) −0,1 0,1 a • Encuentra el número b que esté entre a y 0,1. • Encuentra el número c que esté entre −0,1 y b. c) – 12 5 a – 23 10 • Encuentra el número b que esté entre a y −12 5 • Encuentra el número c que esté entre − 23 10 y b. d) 8 5 9 5 a • Encuentra el número b que esté entre a y 9 5 . • Encuentra el número c que esté entre 8 5 y b. 5. Calcula un número racional entre los dados, utilizando la propiedad a b < a+c b+d < c d . a) 1 4 y 3 10 b) 5 8 y 1 2 − − c) 3,7 y 5,8 Aplico 6. Analiza la siguiente información. Luego, responde. 0 a c b b = a + 1 a) Si a y b son números naturales, ¿c es un número natural? b) Si a y b son números enteros, ¿c es un número entero? c) Si a y b son números racionales, ¿c es un número entero? d) Determina tres posibles valores de a, b y c para el caso anterior. 7. Conecta. ¿Qué diferencias y similitudes tendrá la densidad en matemática con la densidad en física? Investiga. 8. Descubre el error. ¿Qué error cometió Matilde al decir que entre un millón y dos millones hay infinitos números enteros? 9. Argumenta. ¿Por qué en el conjunto de los números enteros no existe un número que se encuentre entre dos números consecutivos? Justifica. Integro Refuerzo 1. Describe una estrategia distinta a la vista en la lección para encontrar un número racional entre dos números racionales dados. 2. Utiliza el valor posicional para mostrar que entre 1,1 y 1,2 se encuentran los números racionales 1,11; 1,12; 1,13… etc. 3. Utiliza lo anterior para determinar 10 números decimales entre 2,1 y 2,2. § ¿Son densos los números naturales? ¿Y los números enteros? ¿Por qué? § ¿Por qué es importante comprender que los números racionales son densos? § Imagina que los números racionales son puntos geométricos en una línea recta que representa la recta numérica. ¿La línea recta queda totalmente completa con estos números o quedarían espacios sin rellenar? Lección ¿ Cómo aproximar números racionales? • Si tu promedio es 3,966666… en una asignatura, ¿la aprobaste o no? ¿Por qué? • ¿Cuántas cifras significativas tendrá el decimal anterior? ¿Qué consideraste como cifra significativa? Explica. Palabras clave Ü Aproximación. Ü Redondeo. Ü Truncamiento. Ü Cifras significativas. En resumen Al aproximar un número racional por redondeo o por truncamiento, el número resultante puede ser menor o mayor que el original; de ser menor, se dirá que la aproximación es por defecto; mientras que si es mayor, se dirá que es por exceso. Felipe calculó su promedio y le dio 3,96. La profesora le indicó que podía redondear el promedio a la décima o truncarlo a la misma posición. ¿Qué le conviene realizar a Felipe? Para aproximar por redondeo, Felipe puede hacer lo siguiente: Paso 1 Identificar la posición a la que se quiere redondear, en este caso, a la décima. Paso 2 Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente a la que determine la aproximación: • Si dicha cifra es menor que 5, no hay modificaciones en las cifras que se conservan. • Si dicha cifra es igual o mayor que 5, la cifra por aproximar se debe aumentar en una unidad. Cifra de la décima Cifra mayor que 5 6 > 5 por lo tanto la cifra de la décima aumenta de 9 a 10. El resto de los decimales se transforman en 0. 3,9666666… → 4,0 Luego, el promedio de Felipe quedaría en 4,0 y aprobaría la asignatura. Para aproximar por truncamiento Felipe puede realizar lo siguiente: Paso 1 Identificar la posición a la que se quiere truncar, en este caso a la décima. Paso 2 Considerar las cifras decimales hasta la posición que se determinó en el paso anterior. Cifra de la décima No se consideran todos los 3,9666666… → 3,9 decimales después del 9. Luego, el promedio de Felipe quedaría en 3,9 y no aprobaría la asignatura. A Felipe le conviene redondear su promedio. Otros ejemplos • 2,7811 redondeado a la centésima es 2,78. • 67,065 redondeado a la milésima es 67,065. • –1,32 truncando al décima es –1,3. • 900,7 truncado a diezmilésima es 900,7777. Repasa Redondear § 3601 redondeado a la UM resulta 4000. § 456 redondeado a la D resulta 460. § 0,19 redondeado a la décima resulta 0,2. § 0,4385 redondeado a la milésima resulta 0,439. Observa § Al redondear o truncar se comete un error que corresponde al valor absoluto de la diferencia del valor exacto y su aproximación. § Por ejemplo: |3,966666…− 4,0| = |−0,033…| = 0,033… 8 1 2 3 4 2,1803 0,0803 4,8200 § Vuelve a responder las preguntas que se hicieron al inicio, ¿cambiaron tus respuestas? ¿En qué? Explica. § Al redondear el promedio de Felipe, ¿la aproximación es por defecto o por exceso? § Al truncar el promedio de Felipe, ¿la aproximación es por defecto o por exceso? § ¿En qué casos se hace necesario trabajar con cifras significativas? Menciona dos situaciones. Razona y comenta En resumen • Al sumar o restar medidas, la cantidad de decimales del resultado es igual a la menor cantidad de decimales de los términos de la operación. • Al multiplicar o dividir medidas, la cantidad de c. s del resultado es igual a la menor cantidad de c. s de los términos de la operación. ¿Cuándo una cifra es significativa? En Química, Felipe debía medir la masa de ciertos reactivos y anotar las medidas con dos cifras significativas. ¿Qué número debería anotar Felipe para la masa de cada reactivo? Las cifras significativas (c. s.) sirven para expresar cantidades correspondientes a unidades de medidas. Para determinar las c. s. de una medida puedes seguir los criterios: • Todos los dígitos distintos de cero son significativos. • Los ceros situados entre dos c. s. son significativos. • Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. • En los números que poseen cifras decimales, los ceros a la derecha del último dígito distinto de cero son significativos. Al escribir las cantidades con dos cifras significativas se redondea la última c. s., es decir: 2,1803 gramos tiene cinco c. s., escrito con dos c. s. es 2,2 g. 0,0803 gramos tiene tres c. s., escrito con dos c. s. es 0,080 g. 4,8200 tiene cinco c. s., escrito con dos c. s. es 4,8 g. Luego, Felipe debía sumar las masas registradas utilizando c. s. Para ello siguió los pasos: Paso 1 Sumar las cantidades utilizando la calculadora. Paso 2 Calcular la menor cantidad de cifras decimales que poseen los sumandos. Paso 3 Escribir el resultado redondeando a la cantidad de cifras decimales determinada en el paso 2. Por lo tanto, 2,2 + 0,080 + 4,8 = 7,08. La menor cantidad de decimales es 1 y el resultado se expresa como 7,1 gramos. Para multiplicar medidas utilizando c. s. se puede: Paso 1 Multiplicar las cantidades usando la calculadora. Paso 2 Calcular la menor cantidad de c. s. que poseen los factores. Paso 3 Escribir el resultado con la cantidad de c. s. determinada en el paso 2. Por ejemplo, el peso de un reactivo es 0,07 • 9,8 = 0,686. La menor cantidad de c. s. es 1, por lo que el resultado se expresa como 0,7 kg · m/s2. Observa § Escribir las medidas con una cifra significativa: 2,1 → 2 ya que 1 < 5 0,08 0 → 0,08 ya que 0 < 5 4,8 → 5 ya que 8 > 5 § Por lo tanto, las masas de los reactivos escritos con una c. s. son 2 g, 0,08 g y 5 g. § Cuando las medidas se expresan en notación científica, se consideran las c. s. que acompañan a la potencia de 10. 3,45 x10−3 tiene 3 c. s. 5,6 x 108 tiene 2 c. s. Masa de los reactivos. Practica Repaso 1. Aproxima por redondeo los números, según la cifra que se indica. a) 456 a la decena b) 863 a la decena c) 5719 a la centena d) 19 568 a la centena e) 637 a la unidad f) 3,7 a la unidad g) 21,62 a la décima. h) 0,36 a la décima. i) 1,232 a la centésima j) 3,995 a la centésima k) 0,7896 a la milésima l) 9,0099 a la milésima Práctica guiada 2. Aproxima por redondeo los números decimales, según la cifra que se indica. a) 5,05 a la décima b) –6,79 a la décima c) 4,708 a la centésima d) 0,0009 a la milésima e) 0,65 a la décima f) –2,13 a la diezmilésima 3. Encuentra un número a partir de la aproximación por redondeo indicada. a) –8 a la unidad b) 1,8 a la décima c) –1,7 a la décima d) 5,60 a la centésima e) –80,615 a la milésima f) –0,1111 a la diezmilésima 4. Aproxima por truncamiento los números decimales según la cifra que se indica. a) 0,96 a la décima b) –9,28 a la décima c) 90,02 a la centésima d) 21,667 a la milésima e) 5,6 a la décima f) – 60,8 a la centésima 5. Encuentra un número a partir de la aproximación por truncamiento indicada. a) 0,9 a la décima b) –5,8 a la décima c) 6,70 a la centésima d) –90,062 a la milésima e) –1,2223 a la diezmilésima f) –10 a la unidad 6. Analiza la tabla y luego complétala. Número Redondear a la… Error –25,46 décima –25,5 |–25,46 – (–25,5)| = 0,04 87,15 décima –2,1 centésima 6,235 milésima –13,28 diezmilésima 7. Analiza la tabla y luego complétala. Número Truncar a la… Error –9,18 décima –9,1 |–9,18 –(–9,1)| = 0,08 –3,2 décima 1,37 milésima –5,007 centésima 28,132 diezmilésima 8. Calcula las cifras significativas de los siguientes componentes de una mezcla. a) 3,405 l de cloro. b) 1,025 g de azufre. c) 3,800 g de platino. d) 1,950 l de nitrógeno. e) 0,003 g de aluminio. f) 0,960 g de bromo. 9. Expresa las siguientes medidas con la cantidad de cifras significativas que se indican. Medida (g) Expresada con … 0,250 1 c. s. 0,3 0,256 1 c. s. 1,750 1 c. s. 3,089 2 c. s. 0,102 2 c. s. 1,800 3 c. s. 2,0890 3 c. s. Practica 1 2 3 4 10. Calcula las siguientes adiciones y sustracciones con la calculadora y expresa el resultado, aplicando los criterios de cifras significativas. a) 1,400 + 1,009 b) 0,002 + 5,17 c) 3,06 – 0,07 d) 5,890 – 9,6 e) 0,0560 – 0,005 f) 9,015 + 0,16 + 4,90 g) 7,905 – 0,12 – 2,100 h) 8,6 + 0,008 – 5,930 11. Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones con la calculadora y expresa el resultado, utilizando los criterios de cifras significativas. a) 0,9 • 0,5 b) 3,2 • 2,1 c) 4,52 • 0,3 d) 89,6 • 1,02 e) 5,12 ÷ 0,20 f) 1,08 ÷ 72,06 Aplico 12. Resuelve los siguientes problemas. Para ello puedes utilizar la calculadora y si es necesario aproxima los datos o bien los resultados. a) Jaime tiene la siguientes notas en una de las asignaturas de la carrera que estudia: 4,5; 3,8; 6,5; 5,5; 4,8 Si aún le queda una evaluación por rendir, y para eximirse del examen final debe tener un promedio superior o igual a 5,0. ¿Desde qué nota no le permite cumplir el promedio? Considera que las notas tienen una cifra decimal. ¿Redondeaste o truncaste el promedio de las notas que tiene Jaime para determinar la respuesta? Justifica. b) Martina necesita cambiar 4,5 dólares en una casa de cambio. Si se sabe que 1 dólar equivale a $505,3, ¿cuánto dinero debiera entregarle el cajero? ¿Truncaste o redondeaste el resultado? Justifica. c) La encargada de una librería registra diariamente las ventas de agendas que se hacen en una semana. A continuación se muestran las ventas de la primera semana de enero: Día N° de ventas Lunes 20 Martes 16 Miércoles 18 Jueves 19 Viernes 10 • ¿Cuántas agendas se venden en promedio durante esa semana? ¿Truncaste o redondeaste el resultado? Justifica. d) Mauricio debe realizar una mezcla con elementos sólidos. ¿Cuánta masa tiene la mezcla de 1,036 g de potasio; 3,20 g de sodio y 0,120 g de calcio? Expresa tu resultado con cifras significativas. e) Lorena debe vaciar en un recipiente 3 frascos de precipitados con 0,003 g de molibdeno y la mitad de un vaso que contiene 0,50 g de cobalto, ¿cuántos gramos aproximadamente depositará en el recipiente? Expresa tu resultado con cifras significativas. 13. Conecta. La masa de la tierra es de 1,9891 • 1030 kg. ¿Cuántas c. s. tiene este valor? 14. Descubre el error. Francisco midió gramos de aluminio en su balanza. La pesa mostró una masa de 1,0130 g. Al registrar esta medida en su cuaderno, anotó 1,013 g. considerando tres c. s. ¿En qué se equivocó? 15. Describe el procedimiento. Describe paso a paso el procedimiento para calcular la siguiente operación utilizando cifras significativas: 0,010 • 1,20 – 0,108 ÷ 1,20 16. Crea. Inventa un problema en donde sea necesario aproximar o truncar a la unidad. Integro Refuerzo 1. Calcula el error que se comete al redondear y truncar a la centésima la masa de un roedor que pesa 4,567 kg. ¿En qué aproximación el error es menor? Entonces, ¿cuál resultado es más exacto? 2. La sonda Pathfinder fue enviada a Marte en 1996. Si la masa del robot era de 870 kg y la aceleración de gravedad en el planeta rojo es de 3,711 m/s2, ¿cuál es el peso de la sonda expresado con 2 cifras significativas? § ¿Cuál es la importancia de la aproximación en la operatoria con números racionales? Investiga la aproximación que se utiliza en informática. § ¿Cuál es el rol que cumple el error en la aproximación de los resultados? § ¿Cuál es el rol que cumplen las cifras significativas al expresar los resultados? Explica. Lección ¿ Cuáles son las limitaciones de la calculadora al realizar cálculos con números racionales? • Si tuvieras que ingresar 0,1 en la calculadora y colocaras muchos unos al decimal, ¿podrías considerar que ingresaste el número 0,1? ¿Por qué? ¿Qué resultado entrega la calculadora al realizar la división entre 71 y 3? Palabras clave Ü Calculadora. Ü Aproximación. Una de las limitaciones que existe al trabajar con números racionales en la calculadora es que los resultados que muestra la pantalla son aproximaciones del resultado real. Esto se debe al tamaño limitado de su pantalla: mientras más grande sea esta, más decimales aparecerán y más exacto será el resultado. Por otra parte, al utilizar aproximaciones de los resultados de las operaciones intermedias que resuelven un problema, se comete un error en el resultado final. Veamos un ejemplo: Los tres amigos deben dibujar el rectángulo anterior repetidas veces hasta cubrir una hoja tamaño carta. Si la hoja mide 21,59 cm de ancho y 27,94 cm de largo, ¿cuántos rectángulos como máximo pueden dibujar? ¿Queda hoja sin rellenar con rectángulos? ¿Cuál es el área que queda? Taller Reúnanse en grupos de cuatro integrantes, lean y discutan las preguntas planteadas. Pedro, Ana y Raúl calcularon el área de un rectángulo de lados 3 7 cm y 5 7 cm en diferentes calculadoras y obtuvieron los siguientes resultados. Pedro 0,306122449 Ana Raúl 0,30612244897959 § ¿Por qué las calculadoras entregan diferente cantidad de cifras decimales? ¿De qué depende? § ¿Por qué en la primera calculadora la última cifra decimal es 9? ¿Qué aproximación realizó? § Si el número encontrado lo tienen que usar para otra operación, ¿qué harían? § ¿Qué limitaciones existen al trabajar con números racionales en la calculadora? Razonen y comenten Relaciona § S i los amigos consideraran el rectángulo en la hoja de la siguiente manera: 27,94 cm 21,59 cm 3/ 7 5/ 7 § ¿ Cuántos rectángulos como máximo pueden dibujar? ¿Serán más o menos que de la otra manera? ¿Cuál es el área que queda sin rellenar con rectángulos? 9 27,94 cm 21,59 cm 3/ 7 5/ 7 1 2 3 4 Los amigos realizaron las siguientes operaciones en la calculadora para determinar cuántos rectángulos caben en el ancho de la hoja y cuántos en el largo: Paso 1 Dividir el ancho de la hoja en el ancho del rectángulo. 21,59÷ = 3 7 21,59 ÷ 3⅃7 50,37666667 50 redondeado a la unidad Paso 2 Dividir el largo de la hoja en el largo del rectángulo. 27,94÷ = 5 7 21,94 ÷ 5⅃7 39,116 39 redondeado a la unidad Caben 50 rectángulos hacia al lado y 39 hacia abajo, en total 50 • 39 = 1950 rectángulos. Como se aproximaron los resultados significa que queda parte de la hoja donde no cabe un rectángulo completo. § ¿Es necesario considerar los decimales de los resultados obtenidos en la calculadora para lo que se desea conocer? ¿Para qué se redondeó a la unidad? § ¿Qué aproximación realizó la calculadora en el paso 1? ¿A qué número racional exacto corresponde? Razona y comenta Para calcular esa superficie, los amigos realizaron lo siguiente en la calculadora: Paso 3 Multiplicar el ancho del rectángulo por las 50 veces que cabe. Realizar el procedimiento para el largo. 50 x 3⅃7 21.42857143 39 x 5⅃7 50• 27.85714286 3 7 = Para el ancho: Para el largo: 39• 5 7 = Paso 4 Restar el resultado anterior al ancho de la hoja y obtener el ancho de la hoja restante. Repetir el procedimiento para el largo. Para el ancho: Para el largo: 21.59 – Ans 0.161428571 27.94 – Ans 0.082857142 Paso5 Calcular el área de la superficie, considerando dos cifras significativas. 0,16 • 0,08 = 0,0128 → 0,013 cm2 El área que queda sin cubrir es de 0,013 cm2. Caben 1950 rectángulos sobrando 0,013 cm2 de la hoja tamaño carta. § Los resultados obtenidos en el paso 3, ¿son números racionales? ¿Por qué? § En el paso 4, ¿si aproximaras los resultados a qué posición lo harías? ¿Por qué? ¿En qué influirá esta aproximación en el resultado final? § ¿Por qué en el paso 5 se aproximó? ¿Cómo ingresarías las operaciones en la calculadora para no tener que aproximar? Razona y comenta Observa § La tecla Ans ( ) es la abreviatura de answer que significa respuesta o contestación. Esta tecla muestra en pantalla el resultado de la operación anterior. Es muy útil para seguir operando. Observa § Para calcular la superficie no ocupada, utilizando tu calculadora y realizando los pasos 3, 4 y 5 en uno solo, debes utilizar paréntesis en las operaciones. Sigue la ruta para introducir a tu calculadora la operación completa: Practica Repaso 1. Completa las siguientes tablas. Número Redondear a la… Error 0,326 centésima 10,9109 décima –35,4752 diezmilésima 0,999 unidad –2,3422 milésima Número Truncar a la… Error 2,4571 centésima –25,83579 décima 899,9999 diezmilésima –10,8756 unidad 1,111122 milésima 2. Identifica cuántas cifras significativas tienen los siguientes números racionales. a) 0,156 b) 7,639 c) 0,10 d) 2,05 e) 0,180 f) 5,6 g) 1,330 h) 402,3 i) 96,500 j) 1,01 k) 6,203 l) 0,00306 Práctica guiada 3. Identifica la aproximación que realizó la calculadora. a) 15÷9 1.666666667 b) 2÷3 0.666666666 c) 8÷15 1.533333333 d) 3÷7 0.428571428 e) 1÷18 0.055555555 f) 10÷11 0.909090909 4. Calcula las siguientes operaciones en la calculadora. a) 0,1+ 3 4 • 5 8 b) 0,5– 2 3 + – 15 4     c) 0,25– 1 3 +1,12      d) 3,1+ 8 5 – 4 7     e) 10,9– 8,002+ 8 9     f) 13 12 •(–0,1)+2,13 g) 9 • – 2 3 – 3,56+ 1 2         h) 1,64+7,6 ÷0,6–8,1+ 17 2 Aplico 5. Analiza la situación y luego responde. Martina introdujo la siguiente operación en la calculadora científica: 0,17+ 2,68 −1,6 redondeando los números decimales a la centésima y obtuvo 1,27. a) Si el valor exacto de la operación es 1,26, ¿cuál es el error cometido entre el valor exacto y la aproximación? b) Redondea a la centésima el valor exacto de la operación. c) ¿Cuál es el error cometido entre el valor exacto y lo que obtuviste en b)? d) Compara los errores calculados en a) y en c). ¿Qué sucedió? e) ¿Qué puedes concluir acerca de los procedimientos realizados? 6. Analiza la situación y luego responde. Manuel introdujo la siguiente operación en la calculadora científica: 1,8− 2,3− 0,8, truncando el número decimal a la unidad y obtuvo –1. a) Si el valor exacto de la operación es –1,3. ¿Cuál es el error cometido? b) Trunca a la unidad el valor exacto de la operación. c) ¿Cuál es el error cometido entre el valor exacto y lo que obtuviste en b)? d) Compara los errores calculados en a) y en c). ¿Qué sucedió? e) ¿Qué puedes concluir acerca de los procedimientos realizados? Practica 1 2 3 4 7. Analiza con tu calculadora científica qué sucede cuando el resultado de una operación entre dos o más valores es un número de 10 o más cifras. A modo de ejercicio, resuelve lo siguiente: 23 567 895 • 410 –12 555 980 a) ¿Qué número se muestra como resultado en tu calculadora? b) ¿El número es finito o infinito? Justifica. c) Si es finito, escribe el número completo. d) Trunca el número obtenido en la calculadora a la centésima. Luego, inventa una situación en la que puedas escribir este valor truncado. e) Si el número resultante en la calculadora lo redondeas a la centésima, ¿se obtiene la misma aproximación realizada en d)? Justifica. f) Si ahora calculas 2 ÷ 7, ¿se obtiene un número decimal finito o infinito? Justifica. g) ¿Crees que la calculadora está programada para redondear o truncar ciertos tipos de números? Para responder, haz la prueba resolviendo varias operaciones entre dos o más valores. 8. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la calculadora y realizando las aproximaciones que estimes convenientes. a) Los lados de un triángulo son 4 3 cm, 5,8 cm y 6,6 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? b) ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 13 7 cm? c) El volumen de una esfera se puede determinar con la fórmula π V 4 r 3 3 = . ¿Cuál es el volumen de una esfera de radio 4,9 m? d) Para convertir grados Fahrenheit en grados Celsius se emplea la expresión C 5 9 ° = •(°F − 32). ¿A cuántos grados Celsius equivalen 0,8 °F? 9. Conecta. La fuerza eléctrica entre dos cargas se puede calcular mediante la expresión F K • q •q r 1 2 2 = donde K es la constante de Coulomb cuyo valor es 9 • 10⁹ Nm²/C², q1 y q2 son las cargas de los dos cuerpos y r la distancia entre dichos cuerpos. ¿Cuál es la fuerza eléctrica que ejercen dos cuerpos cuyas cargas son de 3,5 C y 5,1 C respectivamente y que se encuentran a una distancia de 4 3 m? 10. Descubre el error. Martina realizó una operación matemática en su calculadora y en el resultado obtuvo el siguiente número: -9,65865866 Luego, Martina afirma que el número es un irracional, y que este ha sido redondeado por la calculadora. ¿Cuál es el error que cometió Martina en su afirmación? 11. Describe el procedimiento. Cuando utilizas tu calculadora para operar con los datos de un problema cuyo resultado es un número decimal periódico o semiperiódico, ¿cómo determinas si el número fue truncado o aproximado por la calculadora? ¿Cómo entregas la solución al problema? ¿Aproximas o truncas? ¿Con cuál de las dos aproximaciones se comete un menor error? ¿Qué es más exacto, aproximar los datos o aproximar el resultando final? 12. Argumenta. María afirma que se comete un menor error, cuando se aproxima por redondeo que cuando se hace por truncamiento. ¿Es correcta su afirmación? Justifica. 13. Crea. Inventa un problema donde tengas que utilizar como datos números racionales y la solución al problema corresponda a un número decimal periódico o semiperiódico. Integro Refuerzo 1. Describe una situación en donde sea necesario entregar un resultado lo más exacto posible. 2. Describe una situación en donde sea pertinente y necesario aproximar ya sea el resultado o las cantidades involucradas. § ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de utilizar la calculadora para realizar operaciones con números racionales? Describe dos ventajas y dos desventajas. § ¿En qué casos la aproximación prevalece frente a la exactitud de los resultados? En estos casos, ¿qué rol cumple la calculadora? Explica. Integración Integro mis aprendizajes 1 Resuelve las siguientes operaciones combinadas. a. 7 ÷ – 2 7     b. 1 4 – 3 8 + 1 2     c. 1 5 + 0,3– 0,2 d. 2 3 • 1 4 3 8  −      − e. 1 3 ÷ 2 5 • – 8 9         f. 4 5 – 1 6 ÷ 5 9 + 2 3         g. 13 8 + 5 4 • 4 9 2÷ 8 9 −      −      + h. 1 2 + 4 3 – 10 9 ÷ 8 9     i.                – 1 2 ÷ 3 2 ÷ – 9 10 j. 5 6 • 3 2 3 ÷ 1 36     k. 2– 1 3 • 3– 1 4 ÷ 1– 1 5             l. 4 9 ÷ 16 18 – 1 5 8 +2          2 Calcula la aproximación por redondeo y truncamiento de los números según la cifra decimal que se indica. a. 21,9 a la décima. b. –7,099 a la centésima. c. 8,32 a la décima. d. 2,109 a la centésima. e. −18,07 a la décima. f. 90,51 a la unidad. g. 0,008 a la diezmilésima. 3 Resuelve los siguientes problemas utilizando aproximaciones. a. Las notas de Estela en Matemática eran las siguientes: 3,8; 5,6; 6,2; 4,1; 5,8; 4,4 Si para eximirse debe tener un promedio superior a 5,0, ¿se debiera truncar o redondear el promedio para tener la nota mínima de eximición? ¿A qué cifra decimal se debiera truncar o redondear el promedio? Justifica tu respuesta. b. El precio por litro de bencina de 93 octanos es de $723,6. Si un taxista llena su estanque con 23 L de bencina, ¿cuál es el monto aproximado que debiera pagar por llenar el estanque? ¿Truncaste o redondeaste el resultado? Justifica tu respuesta. c. La madre de Ana debe repartir entre ella y sus seis hermanos una herencia de $12 000 000. ¿Cuál es el dinero aproximado que recibirá cada hermano? ¿A qué cifra decimal se debiera aproximar el monto, si debe ser equitativo con cada uno? Justifica tu respuesta. d. El ascensor de un edificio asciende y desciende en promedio 700 m diariamente. Si a las 8:00 ya lleva recorrido 8 15 de lo que recorre en promedio, y desde las 8:00 hasta las 13:00 realiza 2 5 más de recorrido, ¿cuál es la fracción que le queda por recorrer y cuántos metros le faltan para alcanzar el promedio recorrido diariamente? e. Tres hermanas recibirán una herencia. La mayor recibirá 1 7 de los $1 500 000 que se heredarán, la hermana del medio recibirá 1 9 de la herencia y la pequeña recibirá el resto. ¿Cuál es la fracción que heredó la hermana menor? ¿Cuánto dinero aproximadamente recibirá cada hermana? Resolver problemas utilizando la aproximación y la operatoria en los números racionales (lecciones 5, 8 y 9). Integración Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto. 1 2 3 4 Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales (lección 6 y 7). 4 Resuelve los siguientes problemas. a. Un castor come un cuarto de su comida diaria durante la mañana y luego come 3 5 más de su comida durante la tarde. ¿Cuál es la fracción de comida que le falta por consumir? b. El total de estudiantes de un curso es 45. Un tercio de ellos escogió el electivo de Matemática, 4 9 escogió Biología y el resto escogió Lenguaje. ¿Cuál es la fracción de estudiantes que escogió Lenguaje? ¿Cuántos estudiantes escogieron este electivo? c. Valeria se comió 13 16 de sus papas en el almuerzo. ¿Cuántos gramos de papas tenía inicialmente si se comió 300 gramos? d. Una vuelta de broca de un taladro deja un agujero en la muralla de 3 4 milímetros de profundidad. ¿Cuántas vueltas tendrá que dar la broca para que el agujero alcance una profundidad de 8 cm? e. Jaime compró 20 docenas de huevos para abastecer su negocio. 8 16 del total de huevos, los vendió durante la primera semana y 2 5 de los huevos que quedaban, durante la segunda. ¿Cuántos huevos quedan aún por vender? f. El corazón de una persona de 25 años late hasta 32 veces en 10 segundos al realizar actividad física. Si una persona de esa edad se ejercita 40 minutos, ¿cuántas veces latirá su corazón en ese periodo de tiempo? g. La calidad de los objetos de oro se mide en quilates. Un quilate significa que de 24 partes de un metal, una parte de ellas es oro puro. Si se tiene una joya de 18 quilates que pesa 90 gramos, ¿cuál es la cantidad de oro que tiene dicha joya? c. Si c, d ∈ −, entonces c d c d + d c  = ∈ . d. Si a, b ∈ −, entonces a Θ b = 2a² + 3b² ∈ . e. Si a, b ∈ +, entonces a Ω b = ab − (a + b)² ∈ . f. Si c, d ∈ , entonces c ⊗ d = 2cd c − 5cd ∈ +. 6 Entre 0,5 y 0,6 se encuentran los números 0,51; 0,52;… Encuentra 3 números entre: a. 0,1 y 0,2 b. 2,8 y 2,9 c. –5,3 y –5,2 d. 0,01 y 0,02 e. 7,26 y 7,27 f. –13,25 y –13,24 g. 0,001 y 0,002 h. 5,803 y 5,804 i. –60,008 y –60,007 7 Calcula tres números racionales entre los siguientes números. a. 0 y 1 b. 4 5 − y 0,2 c. 1 9 y 6 9 d. 1,2 y 1,2 e. – 2 3 y – 3 5 f. – 9 4 y – 2,2 g. – 12 9 y 1,3 h. –0,3 y – 3 10 8 ¿Existen infinitos números racionales con denominador 6 entre 4 3 y 16 6 ? Justifica tu respuesta. 9 ¿Existen infinitos números racionales con hasta dos cifras decimales entre 0,9 y 1,1? Justifica tu respuesta. 10 ¿Existen infinitos números racionales con hasta tres cifras decimales entre 0,11 y 0,12? Justifica tu respuesta. 5 Evalúa las siguientes afirmaciones. a. Si a, b ∈ , entonces a ⊕ b = a • b + 1 ∈ . b. Si a, b ∈ , entonces a Δ b = 2b + 3a ∈ . Aplico mis aprendizajes Resolución de problemas Problema Javier y Matilde tienen un canasto de mandarinas. Javier se comió 2 3 de ellas y Matilde 1 30 . ¿Qué fracción de mandarinas quedan sin comer? Paso 1 Comprendo. ¿Qué entendiste del problema? Se quiere determinar la fracción de mandarinas que no se han comido. Paso 2 Planifico. ¿Qué harías para resolver el problema? 1° Sumar las fracciones de mandarinas que se comieron los amigos. Para ello se debe obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores y amplificar las fracciones para igualar los denominadores, luego se suman los numeradores. 2° Restar al entero la fracción obtenida en el paso anterior. Paso 3 Resuelvo. ¿Cómo ejecutarías la estrategia? 1° El mínimo común múltiplo entre 3 y 30 es 30. Se amplifica la primera fracción por 10 y la segunda queda igual 2 + = + = = 3 1 30 20 30 1 30 21 30 7 10 La fracción de fruta que se comieron fue de 7 10 . 2° El entero en este caso sería 10 10 . Al restarle la fracción de fruta comida quedaría: 10 − = 10 7 10 3 10 Ada Byron, Lady Lovelace (1815 – 1852) Hija del poeta Lord Byron y su esposa Anne Isabella Byron, se destacó como matemática y escritora. Fue conocida principalmente por su trabajo en la máquina de Charles Babbage , la máquina analítica. Sus notas incluyen lo que se reconoce como el primer algoritmo destinado a ser procesado por una máquina. Debido a esto, a menudo se considera la primera programadora de computador del mundo. Resolución de problemas 1 2 3 4 Resuelve los siguientes problemas. 1. Un alumno dedica 1 4 del día en ir al colegio, 3 8 del día en dormir y 1 5 del día para realizar tareas pendientes. Si el resto del día es dedicado al tiempo libre, ¿cuál es la fracción del día correspondiente a dicho tiempo libre? 2. Una profesora corrigió 6 7 de pruebas con lápiz de pasta rojo y 1 9 con lápiz de pasta azul. Si aún le quedan 70 pruebas por corregir, ¿cuántas ha corregido? 3. Martín se fue de vacaciones al sur con sus amigos. Durante el viaje recorrió 2 7 del camino en camiones, 3 8 en buses y el resto lo hizo en automóviles. Si en total recorrió 950 km, ¿cuántos kilómetros recorrió en automóviles? 4. Cristina tiene variados juegos de consola. Un quinto de ellos es de estrategias, 3 8 de misterio, 1 9 son juegos basados en historias de películas y el resto de los juegos son de deportes. ¿Cuál es la fracción de juegos correspondientes a deportes? 5. Se ocuparon 3 8 de un cuaderno de 100 hojas, la mitad quedó desocupada y el resto fue arrancado. Paso 4 Reviso. ¿Cómo saber que es correcto el resultado? Comprueba el resultado sumando las fracciones. Debe ser equivalente a la unidad. + + = + + = + + = = 2 3 1 30 3 10 2 • 10 1•1 3• 3 30 20 1 9 30 30 30 1 Paso 5 Comunico. ¿Cómo interpretas el resultado obtenido? La fracción de mandarinas que queda sin comer es 3 10 . ¿Cuál es la fracción de hojas que fueron arrancadas? ¿Cuántas hojas están desocupadas? 6. Marcelo dividió una tortilla en 8 trozos iguales. Él se comió la cuarta parte de los trozos de una tortilla y Felipe, el doble de los trozos que comió Marcelo. Por otra parte, Camila dice que Marcelo se comió la mitad de lo que han comido juntos Marcelo y Felipe. ¿Cuántos trozos han comido Marcelo y Felipe juntos? ¿Está en lo correcto Camila? 7. Una parcela se divide en tres terrenos. El primero corresponde a los 4 7 de la superficie total de la parcela, y el segundo corresponde a la mitad del primero. ¿Qué fracción de la parcela representa el tercer terreno? 8. Fabián donó $600 000 a tres fundaciones. A la fundación X donó la tercera parte del dinero, a la fundación Y donó 2 5 , y a la fundación Z donó el resto. ¿Cuál es la fracción del dinero que donó a la fundación Z? ¿Cuánto dinero donó a cada fundación? 9. De un depósito con agua, se ha sacado: un sexto de agua la primera vez y luego el resto. Si el depósito tenía 300 litros de agua, ¿cuántos litros de agua se sacaron la primera vez? ¿Y la segunda vez? § Explica con tus palabras la estrategia trabajada y comenta con tus compañeros y compañeras qué les pareció. § ¿Qué otra estrategia conoces para resolver el mismo problema? Describe una. § ¿Cómo resolverías este tipo de problemas? ¿Por qué? Reflexiona El papiro de Ahmes fue escrito por el escriba Ahmes en 1650 a.C. a partir de escritos de 200 anos de antigüedad. De este, se extrajo información sobre cómo los egipcios resolvían problemas cotidianos que involucraban fracciones. Lección Palabras clave Ü Potencias de base racional y exponente entero. Carla, técnico electricista, realiza la mantención del puente que se muestra en la imagen. Si en el puente, a cada pilar lo sigue otro cuya longitud es 5 6 del anterior, ¿cuál es la longitud del quinto pilar, considerando que el mayor de ellos tiene una longitud de 50 m? Para calcular la longitud del quinto pilar Carla siguió los pasos: Paso 1 Expresar la longitud del pilar 5 en función del primero y del resto de los pilares anteriores a él. 50• 5 6 • 5 6 • 5 6 • 5 6 Longitud del 2do pilar. Longitud del 3er pilar. Longitud del 4to pilar. Longitud del 5to pilar. Longitud del 1er pilar. Paso 2 Expresar la multiplicación iterada como una potencia de base racional y exponente entero. 50• 5 6 4      Paso 3 Calcular el resultado de la potencia para encontrar la longitud del pilar 5. 5 6 5 6 • 5 6 • 5 6 • 5 6 5• 5• 5•5 6 • 6 • 6 • 6 5 6 625 1296 4 4 4     =                 = = = Luego, 50• 625 1296 50• 625 1296 31 250 1296 24 73 648 = = = = 24,11265432  24 El quinto pilar mide aproximadamente 24 m de longitud. ¿Qué es una potencia de base racional y exponente entero? • Si quisieras expresar 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 de forma abreviada ¿cómo lo harías? Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 Pilar 4 Pilar 5 Observa § 9 7 = 9 7 • 9 7 • 9 7 = 9 • 9 • 9 7 • 7 • 7 = 9 7 = 729 343 3 3 3     § – 1 3 = – 1 3 • – 1 3 = 1•1 3• 3 = 1 3 = 1 9 2 2 2             § • 1,6 = 16 –1 9 = 15 9 = 5 3 = 5 3 5 3 = 25 9 2 2 2 2             10 En resumen Para calcular una potencia de base racional y exponente entero positivo puedes utilizar la siguiente expresión: a b a b n n n     = con a, b ∈, b  0 y n ∈+. Observa + corresponde al conjunto de números enteros positivos. 1 2 3 4 ¿Cómo se calcula una potencia de base racional y exponente entero negativo? En este nivel se introduce la potencia de base racional y exponente negativo que equivale al inverso multiplicativo de la base elevada a un exponente positivo. Observa los pasos para calcular la potencia 4–². Paso 1 Expresar la potencia involucrada, utilizando la propiedad de división de potencias de igual base. 4 = 4 = 4 = = = 4 4 • 4 • 4 4 • 4 • 4 • 4 • 4 1 4 • 4 1 4 –2 3–5 3 5 2 Paso 2 Calcular el resultado de la potencia de base racional y exponente entero positivo. Se observa que la potencia involucrada es igual al inverso multiplicativo de la base elevada al inverso aditivo del exponente. ( ) Luego 4 = 1 4 = 1 16 Además4 = 1 4 = 1 4 –2 2 –2 2 2 ¿Cómo se calcula una potencia de base racional y exponente cero? Observa el procedimiento para calcular a⁰ donde a ∈  y a ≠ 0 . a⁰ = an–n = = = a • a • ... • a a • a • ... • a a • a • ... • a a • a • ... • a 1 n veces n veces   En resumen 1. Para calcular una potencia de base racional y exponente entero negativo puedes utilizar la siguiente expresión:     =     =      − a b 1 a b b a = b a n n n n n con a, b ∈ –{0} y n ∈+. 2. Para calcular una potencia de base racional y exponente cero puedes utilizar la siguiente expresión: a b 1 0      = con a, b ∈ –{0}. Practica Repaso 1. Representa como potencia las siguientes multiplicaciones iteradas. a) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 b) (–6) • (–6) • (–6) c) (–3) • (–3) • (–3) • (–3) d) 111 • 111 • 111 • 111 e) (–8) • (–8) • (–8) f) 12 • 12 • 12 • 12 • 12 Observa §¿Por qué      2 3  – 2 3 3 3 – ? § – 2 3 = – 2 • 2 • 2 3 = – 8 3 3 §                 – 2 3 = – 2 3 • – 2 3 • – 2 3 = – 8 27 3 Relaciona § ¿Cuánto es 0,3–2? Describe cómo lo calculaste. § ¿Cuanto es – – 2,13 1 ( ) ? Describe como lo calculaste. § Vuelve a responder la pregunta del inicio, ¿cambió tu respuesta? ¿Por qué? § ¿Cómo calcularías (0,33333…)–2? Describe tu procedimiento. § ¿Cuál es el resultado de 0 5 3      ? Recuerda que 0n = 0, con n ≠ 0. Razona y comenta 2. Representa como una multiplicación iterada las siguientes potencias. a) –116 b) –25 c) (–7)4 d) 443 e) (–22)3 f) 1234 Practica 3. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) (–3) • –3 •3 3 2 2 3 2 b) 5 (–5) 5 • 4 2 c) –3 +4 – –7 3 3 2 3 ( ) ( ) d) ( –1) •(–3) +(–8) –(–5) 17 5 2 3 Práctica guiada 4. Representa cada número como una potencia de base positiva y también como una potencia de base negativa. Luego, responde. a) 64 b) 121 c) 169 d) 625 e) En cada caso, ¿por qué las potencias de base positiva o negativa tienen el mismo valor? Justifica. 5. Expresa como potencias de exponente entero positivo. Luego, calcula su valor. a) 5–4 b) 8–4 c) 10–6 d) 3–2 e) 12–6 f) (–3)–4 g) –7–2 h) –9–3 6. Expresa como potencias de exponente entero negativo. a) – 1 35 b) 1 106 c) 1 96 d) 1 (–1)4 e) 1 (–2)5 f) 1 (–3)3 g) 1 (–5)4 h) 1 –32 7. Calcula el valor de las potencias. a) (–3)–4 b) –8–3 c) 6–4 d) 5–5 e) –(–2)–10 f) –(–3)–5 g) –(–1)–100 h) –11025 i) –(–3)–4 j) (–2)–11 k) –(–8)–3 l) (–7)–4 8. Calcula el valor de las potencias. Luego resuelve la adición. a) 6–2 + 6–3 b) 2–2 + 2–4 c) –5–2 + 5–3 d) –4–4 + 4–2 9. Calcula el valor de las potencias. Luego resuelve la multiplicación. a) 5–2 • 5–3 b) 8–1 • 8–5 c) (–6)–2 • (–6)–2 d) –12–3 • (–12)–5 10. Calcula el valor de las potencias. a) 1 2 4      b) (–0,5)2 c) 1 4 4 −      d) 2 3 10      e) 3 5 2 −      f) 1 20 0 −      g) (–4,75)1 h) –(0,75)3 i) 2 3 5 −     j) 1 3 4 − −      k) 5 4 1 −     l) –2,5 3 ( ) m) 1,028 1 ( )− n) –4,5–2 o) –4,5 –2 ( ) 11. Calcula el valor de las potencias. Luego resuelve la multiplicación. a) 1 –4 • –2 –5 ( 8 ) ( ) b) –3 • – 1 –9 5 –2 ( )       c) – 1 –6 • –2 2 ( –8 ) ( ) d) –1 – –5 • 4 –3 –3 ( ) Practica 1 2 3 4 A este que se le aplica el mismo procedimiento, uniendo sus puntos medios y así sucesivamente. • ¿Cuál es el área del cuadrado que resulta al repetir 4 veces el procedimiento? • ¿Cuál es el área del cuadrado que resulta al repetir n veces el procedimiento? e) En una tienda de artículos escolares aumentan de manera considerable sus ventas en los meses de marzo y abril, de tal manera que cada semana se obtiene una ganancia del 50% mayor a la de la semana anterior. • Si la primera semana la ganancia fue de $200 000, ¿cuál fue la de la sexta semana? • Determina una expresión que permita calcular las ganancias obtenidas en una semana s. • Si las ganancias disminuyeran en un 10% a medida que transcurren los meses (desde mayo a diciembre), ¿cuál es la expresión que permite calcular las ganancias de un mes m, sabiendo que en el mes de abril las ganancias fueron aproximadamente $2 200 000? • ¿Cuál es la ganancia que obtuvo la tienda en el mes de diciembre? 13. Conecta. Los científicos Marie y Pierre Curie descubrieron el polonio y el radio, elementos radioactivos. La cantidad de estos elementos tarda un tiempo determinado (llamado vida media) en reducirse a la mitad. Por ejemplo, 1000 gramos de una sustancia radioactiva con una vida media de 10 años, tomará 10 años para reducirse a la mitad.Pasados 20 años se reduce a la cuarta parte; y aún al término de cincuenta años, queda una treintaidosava parte activa. Esto es poco más de 30 gramos. Esta situación, ¿se puede expresar utilizando potencias de base racional y exponente entero? 14. Descubre el error. ¿Cuál es error que cometió Marcela en resolver la siguiente potencia?     = −      = − − = 1 7 1 7 1 7 • 1 7 1 49 –2 2 Integro Refuerzo 1. La arista de un cubo mide 3 7 cm. Expresa su volumen como una potencia. 2. La superficie de un cubo se calcula con la fórmula 6 • a2 donde a corresponde a la arista del cubo. Si un cubo tiene una arista de 1,7 cm, ¿cuál es su superficie? 3. Muestra que – 4 7 ≠ – 4 7 3 3      . § ¿Por qué 1 2 2      no es lo mismo que 1 2 2 ? § ¿Cuál es la importancia de los paréntesis al calcular potencias de base racional y exponente entero? § ¿La potencia es una operación cerrada? Es decir, ¿al elevar un número racional a un exponente entero siempre se obtendrá un número racional? Aplico 12. Representa las siguientes situaciones a través de una potencia de base racional y exponente entero. Luego, resuélvelas. a) Un tipo de bacteria se triplica cada hora en el organismo de un animal. Si en el momento que le diagnostican la enfermedad el animal tenía 20, ¿cuántas bacterias tendrá transcurridas 8 horas? b) Hay siete casas, con siete gatos cada una. Cada gato atrapa siete ratones que se habían comido siete espigas de trigo por cabeza. Cada espiga había producido siete hekats (unidad de capacidad principal que fue empleada en el antiguo Egipto equivalente a 4,54 l.) de grano. ¿Cuántas unidades tenemos de cada cosa? (Problema 79, papiro de Rhind). c) El fractal conocido como copo de nieve de Koch se forma del siguiente modo: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Se tiene un triángulo equilátero. Se divide cada lado en tres partes iguales, y en el segmento central de cada lado se levanta un triángulo equilátero. Se repite el proceso anterior en cada lado de cada triángulo. Se repite el proceso anterior en cada lado de cada triángulo. Si el lado del triángulo de la figura 1 mide 30 cm: • ¿Cuánto mide el perímetro de la figura 2? • ¿Cuántos triángulos nuevos se formaron en los lados del triángulo original para formar la figura 3? • ¿Cuál es el perímetro de la figura 4? d) En un cuadrado de lado 8 m se unen los puntos medios de sus lados para formar otro cuadrado. Lección Taller Reúnanse en parejas y respondan las preguntas. Multiplicación de potencias • Pablo necesita resolver          − 3 4 • 3 4 4 3 y realizó el siguiente desarrollo. 3 4 • 3 4 1 3 4 • 3 4 3 4 • 3 4 • 3 4 3 4 • 3 4 • 3 4 • 3 4 ¿? 4 3 4 3          =         = = − 1. ¿Cómo expresarías el desarrollo anterior en una sola potencia? 2. El exponente de esta potencia, ¿cómo se relaciona con los exponentes de las potencias originales? ¿Qué regularidad observas? 3. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular – 2 7 • – 2 7 3 –4          ? Expresa la multiplicación en una sola potencia. • María necesita resolver −      −      2 3 • 7 9 4 4 y realizó el siguiente desarrollo.         =         =                 = – 2 3 • – 7 9 – 2 3 • – 2 3 • – 2 3 • – 2 3 • – 7 9 • – 7 9 • – 7 9 • – 7 9 – 2 3 • – 7 9 • – 2 3 • – 7 9 • – 2 3 • – 7 9 • – 2 3 • – 7 9 ¿? 4 4 1. ¿Cuántas veces está repetida la expresión – 2 3 • – 7 9     en total? 2. ¿Cómo expresarías el desarrollo anterior en una potencia de base – 2 3 • – 7 9     3. ¿Qué regularidad observas? 4. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular – 5 8 • 8 9 –4 –4          ? Expresa la multiplicación en una sola potencia. ¿Qué propiedades se pueden utilizar para operar con potencias? • ¿Es posible que ( )      0,13 • = 2 15 1 2 –2 ? ¿Cómo se podría expresar 1 como una multiplicación de potencias? Palabras clave Ü Propiedades de multiplicación y división de potencias. Ü Potencia de una potencia. Relaciona § ¿Por qué – 2 3 • – 3 2         es igual a 1? Justifica tu respuesta. § ¿Cuál es el resultado de         – 5 6 • 1 7 0 0 ? 11 En resumen Para todo número racional se cumplen las siguientes propiedades de la multiplicación de potencias. Sean a y b distintos de 0. a b • a b a b a b • c d a b • c d n m m n n n n                         = = + § ¿Las propiedades de la multiplicación de potencias con base entera y exponente natural se conservan para las con base racional y exponente entero? ¿Por qué? § Al multiplicar potencias de igual base racional e igual exponente entero, ¿qué propiedad se aplica? ¿Por qué? ¿Cuál es el resultado de         1 2 • 1 2 2 2 ? ¿Por qué? Razona y comenta 1 2 3 4 División de potencias • Observa los siguientes desarrollos: −      ÷ −      = −      −      −      −      −      −      = −      −      = −      7 10 7 10 7 10 • 7 10 • 7 10 • 7 10 7 10 • 7 10 7 10 • 7 10 7 10 4 2 2     ÷     =                     =     =     − 2 7 2 7 2 7 • 2 7 2 7 • 2 7 • 2 7 1 2 7 2 7 2 3 1 1. ¿Cómo se relaciona el exponente de la potencia resultante con los exponentes de las potencias regulares? 2. ¿Qué regularidad observas? 3. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular – 2 5 ÷ – 2 5 3 –4          ? • Observa el siguiente desarrollo:     ÷     =     ÷     =                         =                        = − − 3 4 5 8 4 3 8 5 4 3 • 4 3 • 4 3 8 5 • 8 5 • 8 5 4 3 8 5 • 4 3 8 5 • 4 3 8 5 ¿? 3 3 3 3 1. ¿Cuántas veces está repetida la expresión 4 3 8 5         en total? Exprésala como una potencia. 2. ¿La expresión que encontraste en la pregunta anterior es equivalente a 3 4 ÷ 5 8 –3                ? ¿Por qué? 3. ¿Qué regularidad observas? ¿Se cumple la misma regularidad al calcular – 5 7 ÷ 2 9 –4 –4          ? § ¿Las propiedades de la división de potencias con base entera y exponente natural se conservan para las con base racional y exponente entero? § Al dividir potencias de igual base racional e igual exponente entero, ¿qué propiedad se aplica? ¿Por qué? § ¿Cuál es el resultado de 1 2 1 2 2 2      ÷     ? ¿Por qué? Razonen y comenten Links P ara profundizar en el uso de potencias visita: http://www.thatquiz.org/es-2/ matematicas/potencia/ Praáctica Lección En resumen • Para todo número racional se cumplen las siguientes propiedades de la división de potencias. Sean a y b distintos de 0. a b ÷ a b = a b n m n–m              a b ÷ c d a b ÷ c d n n n              = • Para todo número racional se cumple la siguiente propiedad de potencia de una potencia. Sean m, n y b distintos de 0. a b a b n m n •m                = Repaso 1. Expresa como una sola potencia las siguientes multiplicaciones. a) 2² • 2⁴ b) 5³ • 5⁸ c) 8² • 4² d) (–4)⁵ • (–2)⁵ e) (–6)⁵ • (–6)⁵ f) (–1)¹¹ • (–1)¹⁶ g) (–2)²⁵ • (–2)⁷ h) 4⁸ • (–4)⁶ i) (–3)³ • –3³ j) (–1)¹⁸⁰⁰• −1⁵⁰⁰⁰ Potencia de una potencia • Observa los siguientes desarrollos: −            = −            = −      −            = −      −      = −      −      = − − − − − − 6 7 7 6 7 6 • 7 6 7 6 • 7 6 6 7 • 6 7 ¿? 2 3 2 3 3 3 3 3 3 1. ¿Cuántas veces en total está repetido – 6 7     ? 2. ¿Cómo expresarías el desarrollo anterior en una sola potencia? 3. El exponente de la potencia anterior, ¿cómo se relaciona con los exponentes de las potencias originales? 4. ¿Qué regularidad observas? 5. ¿Se cumple la misma regularidad al calcular – 5 8 –4 2           ? Expresa la multiplicación en una sola potencia. § Vuelve a responder las preguntas del inicio de la lección. ¿Cambiaron tus respuestas? Razonen y comenten 2. Expresa como una sola potencia las siguientes divisiones. a) 3¹ ÷ 3³ b) 4² ÷ 4⁵ c) 18¹⁵ ÷ 9¹⁵ d) (–1)² ÷ (–1)⁴ e) (–15)⁷ ÷ (–3)⁷ f) (–11)¹⁵ ÷ (–11)⁹ g) (–13)²⁶ ÷ (–13)⁹ h) 19² ÷ (–19)² i) (–20)⁵ ÷ –20¹ j) −1⁸⁰⁰ ÷ (–1)⁷⁶¹ Observa 2 =2 2 =2 2  2 En general : a a cona 0 2 8 2 3 6 2 23 m mn 3 3 n ( ) ( ) ( )    11 Practica 1 2 3 4 3. Expresa como una sola potencia utilizando la propiedad potencia de una potencia. a) (32 )3 b) (51)4 c) (38 )2 d) 2 1 5 ((− ) ) e) –7 4 3 (( ) ) f) 2 7 8 ((− ) ) g) 12 6 (− ) h) –1 2 4 3 ((( ) ) ) i) (((−4) ) ) 1 7 10 4. Aplica las propiedades de las potencias para resolver los siguientes ejercicios. a) 5² • 5⁴ b) –2 • –2 3 1 ( ) ( ) c) 3⁴ ÷ 3¹ d) –1 ÷ –1 5 3 ( ) ( ) e) 52 3 ( ) f) 4⁵ • 4³ • 4¹⁰ g) –8 • –8 • –8 0 4 3 ( ) ( ) ( ) h) 4 • 4 4 1 3 2 i) 9 • 9 9 • 9 5 8 4 6 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − j) 1 • 1 ((− )23 )0 (− )5 Práctica guiada 5. Expresa como una sola potencia las siguientes multiplicaciones de potencias de igual base. a)          1 2 • 1 2 3 4 b)          − 5 3 • 5 3 2 3 c) – 1 3 • – 1 3 5 2          d) – 2 5 • – 2 5 –2 4          e) ( )      1 2 • 0,5 4 5 f) ( )      − 0,3 • 1 3 2 3 6. Expresa como una multiplicación de potencias de igual base las siguientes potencias. a) 1 4 5      b) 8 9 –8      c) – 11 4 –1      d) – 7 12 –15      e) –0,6 –2 ( ) f) –0,51 –10 ( ) 7. Expresa como una sola potencia las siguientes multiplicaciones de igual exponente. a)          3 5 • 4 3 7 7 b) 1 2 • 3 8 –2 –2          c) – 8 3 • – 11 4 3 3          d) 40 3 • 57 10 –2 –2      −      e) 0,5 • 58 8 –4 –4 ( )      f) –0,12 • 18 44 3 3 ( )      8. Expresa como una multiplicación de potencias de igual exponente y distinta base las siguientes potencias. a) 14 15 –1      b) – 1 32 –8      c) 80 295 –2      d) – 9 68 –3      e) 1,5 –4 ( ) f) –2,05 –1 ( ) g) –1,5 –10 ( ) h) 1,02 –20 ( ) i) –3,25 –25 ( ) 9. Expresa como una sola potencia las siguientes divisiones de potencias de igual base. a) 1 5 ÷ 1 5 2 3          b) – 7 9 ÷ – 7 9 2 6          c) 2 3 ÷ 2 3 –6 2          d) – 4 5 ÷ – 4 5 –3 4          e) 1 6 ÷ 0,16 3 4 ( )      f) 0,25 ÷ 1 4 3 –12 ( )      Practica 10. Expresa como una división de potencias de igual base y distinto exponente las siguientes potencias. a)      3 8 7 b) 1 3 –3      c) – 15 2 –1      d) – 17 16 –9      e) (0,6)−² f) (3,2)−¹ g) 0,2 –3 ( ) h) –0,6 –2 ( ) i) –1, 4 –6 ( ) 11. Expresa como una sola potencia las siguientes divisiones de potencias de igual exponente. a) 1 8 ÷ 4 6 8 8          b) – 6 5 ÷ – 20 9 2 2          c) – 81 24 ÷ – 28 18 –5 –5          d) 5 2 ÷ 6 10 –1 –1          e) 1,5 ÷ 33 8 –2 –2 ( )      f) –1,35 ÷ 63 82 3 3 ( )      12. Expresa como una división de potencias de igual exponente y distinta base las siguientes potencias. a) 12 9 –9      b) 81 64 –3      c) 1,8 –10 ( ) d) – 72 64 –12      e) (0,8)–⁶ f) (–1,89)–¹³ g) 2,3 –8 ( ) h) 1,01 –8 ( ) i) –2,06 –19 ( ) 13. Expresa como una sola potencia, utilizando la propiedad potencia de una potencia. a)            3 2 5 6 b) 8 7 3 –1         c) – 2 3 2 1           d) – 1 4 5 –2           e) – 3 19 –2 –9 0                 f) 0,2–1 –8 2 (( ) ) 14. Expresa como una potencia de una potencia las siguientes potencias. a) 1 8 –6      b)      10 7 1 c) – 11 8 –18      d) – 13 16 18      e) (–1)−³⁶⁰ f) (1,1)¹⁶ g) 5,6 8 ( ) h) –1,3 24 ( ) i) 2,15 –20 ( ) 15. Aplica las propiedades de las potencias para resolver los siguientes ejercicios. a) –2 • 5 • –2 5 • –2 5 –6 –8 –2 –5 ( ) ( ) ( ) b) 125 8 • 2 5 4 25 –1 2         c) 0,1 • 1 0,1 • 0,1 –3 –2 –2 ( ) ( ) ( ) d) (−3,5) •(0,5) •(−4) 2 2 2 e) ( ) ÷( ) ÷( )− 1,2 1,2 1,2 6 3 2 f) 1 4 –3 2 1                       16. Relaciona la operación de potencias con su valor escribiendo en la columna B la letra correspondiente. Columna A Columna B a) 1 2 8 • 5 4 –1 –2          4 3 b) 2 3 • 6 9 –3 –2              7 8 –1 c) 0,75 • 4 3 –3 –2      −2–³ d) –2 • 2 4 –5 –2      2⁶ • 3³ e) 7 8 • 8 7 –3 –2              4 5 3 f) 12 • 3² • 2⁴      3 2 5 Practica 1 2 3 4 17. Relaciona la operación de potencias con su valor escribiendo en la columna B la letra correspondiente. Columna A Columna B a) ((–3)2 )–2 1 729 b) 0,125 0,375 2 –3           1 64 c) 22 11 2 –3           –4 d) (3²)³ 1 81 e) 5 15 –1 –6           6561 f) −(–2−¹)−² 729 Aplico 18. Resuelve los siguientes problemas. a) ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 0,5² m? b) ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado      5 3 3 cm? c) ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista      1 3 2 cm? d) ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista (1,2) 3 cm? e) ¿Cuál es el área de una superficie rectangular cuyo largo mide     13 8 5 m y su ancho mide      13 8 3 m? f) ¿Cuál es el volumen de una prisma rectangular de largo      4 3 5 cm, ancho      4 3 cm y alto      4 3 3 cm? g) Una superficie rectangular tiene un área de 103 cm2. Si la medida de su ancho es 64 cm, ¿cuánto mide su largo? Expresa la respuesta como una potencia de exponente 3. 19. Analiza las siguientes situaciones. a) Si la base de una potencia es un número entero negativo y el exponente es un número par, ¿qué signo tiene el valor de la potencia? b) Si la base de una potencia es un número racional positivo y su exponente es el número cero, ¿qué signo tiene el valor de la potencia? c) Si la base de una potencia es el número cero, ¿a qué conjunto numérico pertenece el exponente de la potencia si el valor de esta es cero? d) Una potencia de base racional negativa con exponente par, ¿tiene el mismo valor que la potencia cuya base es el inverso aditivo del racional negativo e igual exponente par? 20. Descubre el error. Un estudiante calculó el valor de la siguiente potencia. Detecta el error y luego realiza el procedimiento correcto.         =     =      =     = − −+ − – – – – – 1 4 • 1 4 1 4 1 4 4 1 4 3 2 3 2 1 1 21. Describe el procedimiento. Describe paso a paso el procedimiento para calcular el valor de las siguientes potencias de base racional y exponente entero. a) ( ) −     − − 5 6 • 0,83 2 4 b) −            − 1 2 2 3 22. Argumenta. Utilizando las propiedades de potencias muestra que: a)       =      − a b 1 a b ,m m m b)       =      − a b b a ,m m m 23. Desafío. Analiza la resolución del siguiente ejercicio que involucra propiedades de potencias en lenguaje algebraico y luego resuelve el ejercicio propuesto. 1 − − = + − − + = − = 9 x y • xy • 3x 3 9 x y 3 9 x y x 3y 2 3 1 21 1 3 1 2 2 2 2 Ejercicio Propuesto: 1 ( ) − 18 x2y2 • 3x 3 • y 1 Integro Refuerzo 1. ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 0,3 cm 3 ( )− ? ¿Qué propiedad de las potencias utilizaste para calcularlo? 2. Expresa como una división de potencias de igual exponente 1⁴. § ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de utilizar las propiedades vistas en la operatoria con potencias? Menciona dos. § ¿Qué significa que las propiedades de las potencias son recíprocas? Investiga y explica con tus palabras. Lección La ley de gravitación universal determina a la fuerza de atracción que dos cuerpos de masa m y m ejercen y que se separan por una distancia r. Esta fuerza se calcula mediante la expresión F G• m •m r 1 2 2 = donde G 6,67 •10 Nm kg –11 2 2 = y es llamada constante de gravitación universal. ¿Con qué fuerza (F) se atraen la Tierra, de masa 5,97 • 10²⁴ kg y la Luna de masa 7,34 • 10²² kg, sabiendo que la distancia entre ellas es de 3,84 • 10⁸ m aproximadamente? Para calcular la fuerza de atracción puedes seguir los pasos: Paso 1 Identificar los datos. Masa de la Tierra → m₁ = 5,97 • 10²⁴ kg Masa de la Luna → m₂ = 7,34 • 10²² kg Distancia entre los cuerpos → r = 3,84 • 10⁸ m Constante de gravitación → G = 6,67•10− Nm kg 11 2 2 Paso 2 Remplazar en la fórmula F = G• m •m r 1 2 2 ( ) F = 6,67•10 • 5,97•10 •7,34 •10 3,84 •10 –11 24 22 8 2 Paso 3 Calcular el resultado de las operaciones combinadas utilizando los criterios de cifras significativas. ( ) ( ) ( )  =  = = = − − − + + 6,67•10 • 5,97•10 •7,34 10 3,84 •10 6,67• 5,97 •7,34 3,84 10 •10 •10 10 292 14,7 • 10 10 19,9• 10 10 19,9•10 11 24 22 82 2 11 24 22 8 2 11 24 22 16 35 16 19 Se agruparon decimales y potencias. Se aplicó la propiedad de potencias de igual base. L a Tierra y la Luna se atraen con una fuerza de 1,99 • 10²⁰ N. ¿Cómo resolver problemas que involucran operaciones combinadas con números racionales y potencias? • La prioridad de las operaciones con números enteros, ¿será la misma al operar con números racionales? ¿Por qué? Palabras clave Ü Operaciones combinadas. Ü Números racionales. Ü Potencias. Observa § La fuerza se mide en Newton (N). La constante de gravitación universal se mide en Newton por metros al cuadrado, dividido en kilogramos al cuadrado. Al reemplazar en la fórmula, las unidades de medida de metros y kilogramos se eliminan, quedando solo N. 12 1 2 3 4 § ¿Por qué es necesario comenzar con la operación que está en el paréntesis más interior al abordar estos ejercicios? Explica. § En los ejercicios vistos anteriormente, ¿qué dificultades pueden presentarse al ser calculados con el uso de la calculadora? Menciona dos. Razona y comenta En resumen Para resolver operaciones combinadas con números racionales y potencias se debe tener en cuenta la prioridad de las operaciones y ocupar las propiedades de las operaciones para que puedas simplificar los cálculos. ¿Cómo abordar este tipo de ejercicios combinados? − + + 2 3 5 2 1 2 1 3 Paso 1 Identificar las operaciones involucradas y aplicar la prioridad de las operaciones. Paréntesis → Potencias → Multiplicación → División → Adición → Sustracción En este caso existe una sustracción entre un racional y una división indicada por la línea fraccionaria que a su vez representa un paréntesis, por lo tanto, se realiza primero el paréntesis más interior. − + + 2 3 5 2 1 2 1 3 En este caso, está adición está en el paréntesis más interior. Paso 2 Realiza la operación que está en el paréntesis más interior al más exterior. En este caso hay una adición y una división. Por la prioridad se realiza primero la división. En este caso hay una sustracción y una división. Por la prioridad se realiza primero la división. 2 3 5 2 1 2 1 3 2 3 5 2 1 7 3 2 3 5 2 3 7 2 3 5 17 7 2 3 35 17 34 105 51 71 51 1 20 51 − + + = − + = − + = − = − = − = − = − 2 + = + = 1 3 6 1 2 7 3 2 + = + = 3 7 14 3 7 17 7 = = 1 7 3 1• 3 7 3 7 = = 5 17 7 5 • 7 17 35 17 El resultado de la operación es –1 20 51 . Si escribieras la operación con paréntesis sería: 2 3 – 5÷ 2+1÷ 2+ 1 3             El paréntesis rojo es el más interior. Practica Repaso 1. Calcula las siguientes operaciones combinadas con números enteros. a) 3 − 5 + 4 − 9 b) 48 + 19 − (13 + −35) c) 5 • (−2) + 8 − 4 d) (−71) − 5 • (−90) e) (−12) ÷ 3 − 11 + 5 f) 26 − 84 ÷ (−4) + 16 g) (−7) + 38 ÷ (−2) + 5 • 15 h) 45 − 63 • (−9) − 32 ÷ 16 2. Calcula las siguientes operaciones combinadas. a) 3 − 0,8 + 4 b) 41 − 5,69 − 1,02 c) 6,5 • 3 − 4,5 d) (−8) + 1,2 + 3,92 ÷ 0,2 e) 3 4 – 2 5 +2 f) 8 3 – 1 4 • 3 g) 47 12 –5+ 13 3 h) 16 7 • 3– 1 4 ÷ 1 2 –1 3. Aplica las propiedades de potencias y calcula las siguientes expresiones. a) 4 •3 •9 •8 27 • 2 2 3 5 b) 8 • 2 •7 2 •98 3 5       c) 3 4 ÷ 3 4 6 –5          d) – 2 3 • 9 4 • 1 3 5 5 –5              e) 5 2 • 2,5 –3 –3      f) (−0,7)−⁴ • (−0,7)−⁶ g) 2 •2,5 •8 3,5 • 32 3 –3 –4 h) 2 5  (2 )  5 2 5  2 5 • • • • • • 2 3 3 2 5 3 3 8 4 3 Práctica guiada 4. Calcula las siguientes operaciones combinadas. Puedes usar la calculadora. a) 1 8 – 5 7 2 9 b) – 7 5 • 30 49 2 7 + 1 9     c) 8 9 ÷ – 64 63 1 2 + 1 3     d) 3 2 • – 4 9 0,5     e) 0,3• 3 5 +11,2 2 3 – 7 2 • 4,23         f) 10 3 • – 9 2 0,6     g) – 4 3 + 2 7 • 2,16 1,5÷ 7 3 – 2 3               h) 3÷ 5 7 0,2 i) 3+ 1 4 2 j) 5 1+ 3 2+ 1 4 k) 12+ 1 1+ 1 3 1,5– 1 2 ÷ 12 30     l) 3+ 1,5+ 1 4 • 4 1 5 1+ 1 2+ 1 2     5. Calcula el valor de las siguientes operaciones combinadas con números racionales y potencias. a) 1 2 +1 2      b) 12 7 + – 8 3 2            c) 3 4 – 8 3 2      d) 9 8 – 1 3 –1      e) 5 6 • 36 125 –2      f) – 3 8 ÷ 8 5 –10 2          g) – 13 9 – 2 3 ÷5 –3          h) 9 7 • – 49 3 • 1 5 –1          i) 26 8 ÷ 7 5 –1 –1 –1               j) 81 64 ÷ – 126 45 –1 2                 k) 1,85• 0,25 4,5–2 l) 1 7 ÷0,1– 14 9 + 4−1 Practica 1 2 3 4 Aplicaciones en la Matemática Aplico 6. Resuelve los siguientes problemas. a) La medida del lado de un cuadrado es 1 4 de su perímetro. Si el perímetro del cuadrado es 20,3 cm, ¿cuál es el área del cuadrado? ¿Cuánto mide su lado? b) ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 1,2 cm? c) La superficie total de un cubo se calcula con la fórmula AT = 6a². ¿Cuál es el área total del cubo anterior? d) Calcula el volumen y la superficie total de un cubo de lado 0,3 cm. Describe paso a paso tu procedimiento. e) ¿Cuál es el área de un círculo de radio 2 3 m? Utiliza π redondeado a dos cifras decimales. f) El diámetro de una circunferencia es 3, 4cm. ¿Cuál es el área de la circunferencia? g) El perímetro de un círculo se calcula con la fórmula P = 2πr. ¿Cuál es el perímetro del círculo anterior? h) Calcula el área y el perímetro de un círculo de radio 1,6 cm. Describe paso a paso tu procedimiento. i) ¿Cuál es el volumen de una esfera de radio 3 4 m? Utiliza π redondeado a dos cifras decimales. Área del circulo: πr² donde r es el radio. r Volumen del cubo: a³ donde a es su arista. a Volumen de la esfera: 4 3 πr³ donde r es el radio. r j) La superficie total de una esfera se calcula con la fórmula A = 4 πr². ¿Cuál es el área total de la esfera anterior? k) Calcula el volumen y la superficie total de una esfera de radio 1,16 cm. Describe paso a paso tu procedimiento. l) El volumen de un cono se calcula mediante la siguiente expresión V 1 3 = r2 •h, donde r es el radio de la base del cono y h es su altura. Si el volumen del cono es de 0,53 π cm3 y su base tiene un radio que mide 6 5 cm, ¿cuál es la medida de su altura? m) Calcula el volumen del cono sabiendo que el área de la base es 1 9 π cm2 y su altura es de 1,2 cm. Describe paso a paso tu procedimiento. n) El volumen de una pirámide recta se calcula mediante la fórmula V 1 3 • A •h b = , donde Ab es el área basal de la pirámide, y h corresponde a su altura. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada cuya altura es 1,5 cm y la medida del lado de la base es de 8 3 cm? o) En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 1 2 cm y su hipotenusa mide 3,6 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto? Recuerda que el teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, se cumple que a² + b² = c². Practica Aplicaciones en la Física 7. Resuelve los siguientes problemas. a) Cuando la rapidez de un objeto en movimiento es constante esta se puede calcular mediante la expresión V = d t donde d es la distancia que ha recorrido el objeto en movimiento durante un tiempo t. ¿Cuál es la rapidez constante de un móvil que ha recorrido una distancia de 90 km en un tiempo de 50 minutos? b) Si un móvil va a 55 km/h, ¿cuál es la distancia que puede alcanzar a esa rapidez en 40 minutos? c) La energía cinética se calcula mediante la expresión E = 1 2 mv c 2 donde m corresponde a la masa del cuerpo en movimiento y v a la rapidez de dicho cuerpo. ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil cuya masa es de 850 kg y que recorre una carretera a una rapidez de 80 m/s? d) Si la energía cinética de un móvil es de 2,25•10 kg • m s 5 2 2 y su masa es de 500 kg, ¿cuál es su rapidez? e) ¿Cuánto disminuye la energía cinética de un automóvil de 400 kg si su rapidez varía de 25 m/s a 15 m/s? f) La fuerza de atracción de dos cuerpos se calcula mediante la expresión F G• m •m r 1 2 2 = , donde G 6,67 •10 Nm kg –11 2 2 = . ¿Con qué fuerza se atraen dos cuerpos en el espacio, cuyas masas son de 1 kg y 2 kg y están situadas a 0,5 m de distancia uno del otro? g) Si la distancia entre los cuerpos en el espacio del problema anterior aumentara al doble, ¿cómo varía la fuerza de atracción entre ellos? Justifica. h) ¿Crees que la conclusión obtenida en la pregunta anterior se mantendrá para cualquier par de cuerpos en el espacio? Justifica. Aplicaciones en la resolución de problemas 8. Resuelve los siguientes problemas utilizando los cinco pasos. a) Si una llave vierte 4 1 5 litros y otra 3 3 4 litros de agua por minuto, ¿en cuánto tiempo llenarán un depósito de 62 litros de capacidad cada una? • ¿Qué entendiste del problema? • ¿Qué harías para resolverlo? • ¿Cómo ejecutarías la estrategia? • ¿Cómo verificarías el resultado? • ¿Cómo interpretas el resultado obtenido? b) Francisco cada mes deposita en el banco 1 4 del dinero que depositó el mes anterior. Si se sabe que en el primer mes depositó $3000 y en el cuarto mes, además depositó 5 9 del dinero inicial, ¿cuánto depositó el cuarto mes? c) Un vendedor de productos lácteos vendió en una semana 2 3 de lo que vendió la semana anterior. Si la semana anterior vendió $850 300 y su comisión corresponde a 2 3 de lo vendido en esa semana, ¿cuál es la ganancia del vendedor? d) Se necesitan 5 tiras de 5,3 cm de lana roja para diseñar un chaleco y además, se necesitan los 2 5 del resto de lana que queda del ovillo. Si el ovillo es de 100 cm, ¿cuántos metros de lana quedan en el ovillo? e) Un vendedor de fiambrería vendió a una persona 1 4 de los 5 kg que pesa una pieza de jamón. Luego viene otra persona y compra 1 4 de lo que va quedando de la pieza de jamón. Una última persona compra nuevamente 1 4 de lo que va quedando de la pieza. ¿Cuántos kilogramos de jamón quedan en la pieza? Practica 1 2 3 4 f) Una población de bacterias se triplica cada 30 minutos. Además se estima que cierto alimento debe tener al menos 1 968 300 de estas bacterias para que se determine como contaminado. • Haz un esquema que muestre el crecimiento de la población de bacterias al cabo de 4 horas. • ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 3 horas si inicialmente habían 100? • Si inicialmente el alimento tiene 100 bacterias, ¿cuánto tiempo debió pasar para que estuviera contaminado? g) Un ciclista cada semana va aumentando su rutina de entrenamiento para participar en una carrera. La primera semana recorre 0,6 km y cada semana recorre 3 2 de lo que recorre la semana anterior. • ¿Cuántos kilómetros recorre la segunda semana? • ¿Qué expresión te permite calcular los kilómetros recorridos en la semana s? • ¿Qué estrategia utilizaste para determinar la expresión pedida en la pregunta anterior? • ¿Cuáles fueron los pasos mentales que te permitieron llegar a la estrategia? • Si en una semana el ciclista recorrió 2,025 km, ¿cuántas semanas pasaron desde que empezó a entrenar para recorrer dicho kilometraje? Ayúdate de una calculadora para responder. • ¿Qué operaciones están involucradas en la pregunta anterior? • ¿Qué estrategia utilizaste para llegar a la respuesta? 9. Conecta. La masa de un cuerpo celeste se calcula mediante la expresión M= g•r G 2 donde g es la gravedad asociada al cuerpo celeste, r (en metros) es el radio de él y G es la constante de gravitación universal equivalente a 6,67 • 10–11 N•m Kg 2 2 . Si la Luna tiene una gravedad de 1,62 m seg2 y un radio de 1 738 000 m, ¿cuál es la masa de la Luna? Ayúdate de la calculadora para determinarlo. 10. Descubre el error. El volumen de una esfera se puede determinar mediante la expresión: V =  4 3 r3 Si el radio de la esfera es 1,7 cm, ¿cuál es el error que cometió Antonia al operar los valores de la expresión? V =  ( ) =  =  4 3 • • 1,7 4 3 • • 17 10 4 3 • 4913 10 3 3 =  19 652 30  655,1 11. Describe el procedimiento. Describe el procedimiento para resolver la siguiente operación combinada.                     – – 4 9 –1,10 • 8 9 ÷ – 1 3 1,3 –1 12. Argumenta. ¿Qué propiedad permite calcular el valor de 356 7 1       − ? Justifica tu respuesta. Integro Refuerzo 1. El área total de un cilindro de altura h y radio r se calcula con la fórmula 2πr (h + r). ¿Cuál es el área total de un cilindro de radio 1 5 cm y altura 0,8 cm? 2. Describe paso a paso el procedimiento que utilizaste para resolver el problema anterior. § ¿Por qué existe una prioridad en las operaciones? ¿Qué sucedería si no existiera? § ¿Por qué las propiedades conmutativas, asociativas, distributivas, inverso y opuesto, entre otras, facilitan los cálculos al resolver operaciones combinadas? Justifica. Integración Integro mis aprendizajes 1 Expresa como potencias de exponente entero positivo. Luego calcula su valor. a. 7−² b. 2−⁶ c. 5−³ d. –8−² e. –(–4)−³ f. (–3)−⁴ g. –(–1)−¹⁰⁰ h. –1−¹⁰²⁵ 2 Calcula las operaciones con potencias. a. 3−² + 3−² b. –5−² • 2² + 3−¹ c. (–7)−² • 2−² + 3−² d. 1 10 • –3 –3 –4 ( ) e. –(–9) • –3 3 –1 –3 –1 –1       f. 1 7 – 4 2 –(–1) –3 − 1002 3 Calcula las expresiones. a. 1 2 6      b. 5 3 3      c. – 4 2 –5      d. – 11 66 –2      e. – – 1 3 4      f. (0,3)−3 g. 1,25 2 ( ) h. – –0,2 0,1 –6       i. –25 –5 –5 –5 ( ) ( ) j. – (–16) (–3) –2 –2 4 Evalúa las siguientes afirmaciones. Justifica. a. Toda potencia de base distinta de 0 y exponente igual a 0 será 0. b. Si la base de una potencia es menor que 0 y su exponente es un número par, su valor es mayor que 0. c. El valor de una potencia de base y exponente menor que 0 es siempre mayor que 0. d. Que el resultado de una potencia sea un número entero depende del exponente de esta. e. Si la base de una potencia es un número racional y su exponente es un número entero positivo, su valor siempre es un número entero. 5 Aplica las propiedades de potencias para resolver las operaciones. a. − 64 25 b. 8¹⁰ • 8−⁸ c. 46³ • 46² d. 5− • 1 5 2 e.      1 − 4 • 4 0 3 f. (−7)−⁸ • (−7)−¹¹ g. (−0,5)−⁷ ÷ (−0,5)−³ h. (−5²)−¹ i.          − 1 3 • 1 3 2 2 j.      ÷     − 3 4 3 4 1 4 k. 1 2 1 6 −            − − l. –2 • 5 • 5• –2 5 • –2 5 –6 –8 2 –5 ( ) ( ) − ( ) Comprender las potencias de base racional y exponente entero y aplicar sus propiedades (lecciónes 10 y 11). Integración Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto. 1 2 3 4 6 Expresa la potencia que desarrolla los siguientes problemas. a. ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 2 3 4      m? b. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 0,3 m? c. La mitad de un patio de forma rectangular de lados 19 8 m y 3 2 m se cubrirá con pasto. ¿Cuál es la superficie que será rellenada? 7 Resuelve las operaciones combinadas. a. 2 3 – 1 8 –2      b. 1 2 1 1 −      − c. 6 5 1 3 3 −       +      − d. −      −      − 3 2 3 4 • 1 3 7 9 1 e. −          − 5 6 2 3 • 1 6 3 8 Resuelve los siguientes problemas. a. La medida de la diagonal de un rectángulo se calcula mediante la expresión d = a2 +b2 donde a y b son las medidas de los lados del rectángulo. ¿Cuál es la medida de la diagonal de un rectángulo de lados 0,75 m y 1,5 m? b. El área total de un cubo se calcula mediante la expresión AT = 6a² donde a representa la medida de la arista del cubo. ¿Cuál es la medida de la arista si el área total del cubo es 37,5 m²? c. El volumen de una esfera se puede calcular mediante la fórmula V 4 3 = r3. ¿Cuál es el volumen de la esfera de radio 3 cm? Considera  = 3,14 aproximadamente. d. Una de las fórmulas que permite determinar el área de un triángulo cualquiera de lados a, b y c es la fórmula de Herón cuya expresión es la siguiente: A 1 4 = (a2 +b2 + c2 )2 − 2(a4 +b4 + c4 ) ¿Cuál es el área de un triángulo cuyos lados miden 1,5 cm, 2 cm y 5 2 cm? e. La apotema de un polígono regular se puede determinar a través de la fórmula = −     a r l 2 2 , 2 donde r es el radio circunscrito al polígono y l es el lado del polígono. ¿Cuál es la apotema de un polígono regular circunscrito de lado 6 cm y radio 5 cm? 1 r a 0 f. La distancia que un móvil puede alcanzar partiendo a una velocidad v, en un tiempo t y una aceleración constante a está dada por la fórmula d = v • t+ a • t 2 o 2 . Si un tren viaja inicialmente a 20 m s a una aceleración constante de 3 m s2 , ¿qué tan lejos llegará al cabo de 30 segundos? g. Cuando un automóvil recorre una curva circunferencial, la fuerza que ejerce hacia el centro de la curvatura es llamada fuerza centrípeta. Esta fuerza se calcula mediante la expresión f = m • v t 2 donde m es la masa del cuerpo en movimiento, v es la rapidez y t es el tiempo. Determina la fuerza centrípeta que ejerce un automóvil cuya masa es de 8503 10 kg y va a una rapidez de 45 km/h durante 2,5 horas. Resolver problemas que involucran números racionales y potencias (lección 12). Aplico mis aprendizajes Resolución de problemas Problema Un bosque de 80 hectáreas que actualmente se está reforestando tiene 50 000 m³ de madera y se sabe que la madera del bosque crece cada año 5 4 de lo que se tenía anteriormente. ¿Cuánta madera tendrá el bosque al cabo de 4 años? Paso 1 Comprendo. ¿Qué entendiste del problema? Se debe determinar la cantidad de madera que habrá en el bosque en 4 años más. Paso 2 Planifico. ¿Qué harías para resolver el problema? Aplicar la estrategia "hacer una tabla" que represente la cantidad de madera que tiene el bosque a medida que transcurren los años, hasta llegar al año cuatro. Paso 3 Resuelvo. ¿Cómo ejecutarías la estrategia? La tabla muestra la cantidad de madera que tiene el bosque a medida que transcurren los años: Años Cantidad de madera (m3) Años Potencias Cantidad de madera (m3) 0 50 000 0 50 000 5 4 0 •     50 000 1 50 000 5 4 • 1 50 000 5 4 1 •     62 500 2 50 000 5 4 5 4 • • 2 50 000 5 4 2 •     78 125 3 50 000 5 4 5 4 5 4 • • • 3 50 000 5 4 3 •     97 656,25 4 50 000 • 5 4 • 5 4 • 5 4 • 5 4 4      50 000 • 5 4 4 122 070,3125 Danny Perich Campana (1954) es un profesor de Estado en Matemática, chileno, diplomado en Planificación y Desarrollo de Organizaciones Educativas. Entre sus creaciones se puede destacar el Portal Web Sector Matemática, además de publicaciones tales como: Guías de Aprendizaje: “Un mundo Q de fracciones para sumar, compartir e imaginar”, “Aprender con Educared” y “Función cuadrática: La parábola”. Libros de ejercicios Simce: “Cuarto Básico”, “Octavo Básico” y “Segundo Medio”. Libros de lectura: “Las aventuras de Daniel” y “1200 Ejercicios de Matemática Múltiple Choice” Parque nacional Torres del Paine Resolución de problemas 1 2 3 4 Paso 4 Reviso. ¿Cómo saber que es correcto el resultado? Al calcular 50 000 • 5 4 4      , se tiene que: 50 000 • 5 4 50 000 • 5 4 • 5 4 • 5 4 • 5 4 50 000 • 5• 5• 5• 5 4 • 4 • 4 • 4 31 250 000 256 122 070,3125 122 070 4      = = = =  Paso 5 Comunico. ¿Cómo interpretas el resultado obtenido? Al cabo de 4 años, el bosque tendrá, aproximadamente, 122 070 m³ de madera. Resuelve los siguientes problemas. 1. Si un ser vivo al momento de morir tiene 1000 unidades de carbono 14, después de 5700 años tendrá 500 unidades, después de 11 400 años tendrá 250 unidades, y así sucesivamente. a. Completa la tabla utilizando la información anterior. Periodos de 5 700 años Unidades de carbono 14 0 1000 1 250 125 4 b. ¿Qué puede concluir una arqueóloga de un fósil que tiene 43,75 unidades de C14 si la especie al momento de morir tenía 700 unidades de este material? c. Escribe una expresión matemática que represente la regularidad que se produce entre los periodos de 5700 años transcurridos después de la muerte de una especie y las unidades de C14 presentes en el fósil. 2. Al dejar caer una pelota, esta cae desde un metro de altura y luego en cada rebote asciende 3 4 de la altura anterior. ¿Cuál es la altura en centímetros que alcanzará la pelota al quinto bote? 3. A una hoja cuadrada de lado 10 cm, se le hace un doblés con el que se obtiene un rectángulo cuya área es la mitad del área del cuadrado. Luego, se le vuelve hacer un doblés, quedando un cuadrado cuya superficie es la mitad del rectángulo obtenido anteriormente. ¿Cuál es el área de la figura resultante al hacer el sexto doblés? 4. La población inicial en una ciudad de Chile es de 1 000 725 habitantes en el año 2007, pero al transcurrir un año la población crece en 6 5 de la población anterior. ¿Cuál será la cantidad de habitantes que se espera en esa ciudad para el 2014? Expresa matemáticamente la potencia que representa la regularidad. 5. La presión atmosférica al nivel del mar es de 1 atmósfera. Al subir 1 km de altura, esta presión corresponde a 0,9 de la presión que se tenía inicialmente. ¿Cuál será la presión atmosférica a los 3 km de altura sobre el nivel del mar? § ¿Qué opinas de la estrategia hacer una tabla? Comenta con tus compañeros o compañeras las ventajas y desventajas de esta estrategia. § ¿En qué otras situaciones te ha servido esta estrategia? Describe dos situaciones. § ¿Qué otra estrategia conoces para resolver este tipo de problema? Describe una. Reflexiona Estudio mis posibles errores Tratamiento del error Operatoria de números racionales ¿Cuál de los siguientes procedimientos fue realizado correctamente? Compara los procedimientos paso a paso, guiándote por las flechas. Caso 1 1+ 2 1+ 1 2+ 1 2 = 1+ 2 1+ 1 5 2 = 1+ 2 1+ 5 2 = 1+ 2 7 2 = 1+ 4 7 = 11 7 Caso 2 1+ 2 1+ 1 2+ 1 2 = 1+ 2 1+ 1 5 2 = 1+ 2 1 2 5 + = 1+ 2 7 5 = 1+ 10 7 = 17 7 § ¿Cuál es el procedimiento correcto? § En el procedimiento erróneo, ¿cuál es el paso que tiene error? ¿Por qué? § ¿Influye en el resultado el error cometido en el procedimiento? Razona y comenta 1 Analiza cuál de los siguientes procedimientos es el correcto y en el caso incorrecto explica el error. Caso 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 10 2 2 2 14 2 2 4 14 32 14 16 7 + + + = + + = + + = + = + = = Caso 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 4 5 2 2 14 5 2 10 14 38 14 19 7 + + + = + + = + + = + = + = = 2 Calcula los siguientes ejercicios propuestos. a. + + + 1 3 1 3 1 1 1 1 3 b. 2 3 • 1 4 1 1 1 2 1 3 + − + c. 3 1 3 5 8 1 2 1 8 + + d. 5 4 2 7 8 9 • 9 8 6 1 2 •14 ÷ + Tratamiento del error 1 2 3 4 • En este tipo de ejercicio tienes que identificar qué tipo de operaciones se están trabajando. Toma nota § ¿Cuál es el error que cometes con frecuencia al resolver este tipo de ejercicios? ¿Coincide con los mostrados en esta página? § ¿Qué harás cuando te enfrentes a ejercicios de este tipo para evitar errores? Reflexiona Potencias de base racional y exponente entero ¿Cuál de los siguientes procedimientos fue realizado correctamente? Compara los procedimientos paso a paso, guiándote por las flechas. Caso 1 (0,004)–2 = 1 0,004 2      = 1 0,004 2 2 = 1 0,016 = 1 16 1000 = 1000 16 = 125 2 Caso 2 – (0,004) 2 = 1 0,004 2      = 1 0,004 2 2 =     1 4 1000 2 = 1 16 1000 000 = 1000 000 16 = 62 500 § ¿Cuál es el procedimiento correcto? § En el procedimiento erróneo, ¿cuál es el paso que tiene error? ¿Por qué? § ¿Influye en el resultado el error cometido en el procedimiento? Razona y comenta 1 Analiza cuál de los siguientes procedimientos es el correcto y en el caso incorrecto, explica el error. Caso 1 ( ) ( ) − = −     = − = −      = = = − 0,2 1 0,2 1 0,2 1 2 10 1 4 100 100 4 25 2 2 2 2 2 Caso 2 0,2 1 0,2 1 0,2 1 0, 4 1 4 10 10 4 5 2 2 2 2 2 ( ) − = −      = = = = = − 2 Calcula los siguientes ejercicios propuestos. a. (0,05)−³ b. (0,002)−⁶ c. 1,3 2 (− )− d. –10 2,5 –2      Conexión Taller Reúnanse en parejas, observen el esquema y respondan las preguntas. Tiempo Fracción de cantidades de carbono 14 0 años Cantidad original de carbono 14 Después de 5700 años 1 2 queda 1 2 desintegrado Después de 11 400 años 1 4 queda 3 4 desintegrado Después de 17 100 años 1 8 7 8 desintegrado Después de 22 800 años 1 16 15 16 desintegrado a. Transcurridos 5700 años, ¿qué sucede con el carbono 14? b. Transcurridos 4 periodos de 5700 años, ¿qué fracción del carbono 14 original queda? c. La fracción anterior, ¿a qué potencia corresponde? d. Si un ser vivo al momento de morir tiene 500 unidades de C14, ¿cuántas unidades tendrá después de 5700 años? ¿y después de 11 400 años? e. La prueba del C14 deja de ser útil para los fósiles de más de 57 000 años, ¿podrías explicar por qué? Investiga. La prueba del carbono 14 (C14) En el inicio de esta unidad se mostraron los fósiles encontrados de la cultura chinchorro datados con la prueba del carbono 14. A continuación se presenta un taller relacionado con este tema. ¿Cómo es el método del C14? El carbono 14 es una variante del carbono que forma parte del CO2 presente en todos los seres vivos. Mientras viven, las plantas y los animales absorben bióxido de carbono del aire, y cuando mueren, sus átomos de C14 comienzan a desintegrarse. Como se conoce la velocidad de desintegración del C14, la edad de los restos puede calcularse contando el número total de átomos de carbono que contienen. A medida que las sustancias radiactivas se desintegran, liberan partículas, y el tiempo que tardan en perder la mitad de ellas se conoce como su vida media. El C14 tiene una vida media de unos 5700 años, así que al cabo de dos vidas medias (unos 11 400 años) solo queda una cuarta parte de él, y después de tres vidas medias queda apenas la octava parte. Fuente: http://www.museoantropologia. unc.edu.ar/carbono%2014.htm Para saber más... § ¿La prueba del C14 resulta útil para conocer la edad de existencia de rocas o minerales? ¿Por qué? § ¿Cómo están involucradas las potencias de base racional y exponente entero en la prueba del C14? § Investiga otras situaciones en que estén involucradas potencias de base racional y exponente entero. Reflexiona Conecto con la Química Sintetizo mis aprendizajes Síntesis 1 2 3 4 ¿Cómo se hace? • Para comparar números racionales puedes hacer lo siguiente: 3 4 — 0,74 → 0,75 > 0,744444… → 5 > 4 → 3 4 > 0,74 5 9 — 7 11 → 5 • 11 — 9 • 7 → 55 > 63 → 5 9 > 7 11 • Para resolver operaciones combinadas puedes realizar lo siguiente: 1 3 + 1 2 • 2–1 2      = 5 6 • 2–1 2      = 25 36 • 2+1= 25 18 –1 = 7 18 Ahora refuerza • Compara y ordena en forma creciente los siguientes números racionales. a. 1, 41; 1, 41; 1,41 b. 2,308; 2,3; 2,38 c. 6,13 ; 6,13; 6,13 • Calcula el valor de las expresiones. a. 2 3 4 9 –2 –2       ÷     b. 2 •3 • 4 8 •9 + 3 5 –1 4 c. 2 3 –3 1 4 12 5 –1 2      ÷     d. ( ) −          −     −   − − 1 2 • 1 2 1 2 2 •2 4 2 2 4 2 3 § Al aproximar números decimales, truncar o redondear dependerá del problema planteado. § Para resolver operaciones combinadas entre fracciones y potencias debes recordar la prioridad de las operaciones. § Si en las operaciones combinadas aparecen números decimales periódicos y semiperiódicos, no olvides transformarlos en fracción antes de operar con ellos. Si estos números son negativos, realiza la transformación considerando su valor absoluto, luego coloca el signo negativo. Tips para estudiar ¿Cómo se llama? • Organiza las siguientes palabras en el mapa conceptual. Semiperiódicos − Clausura − Fracción − Enteros − Potencia − Densidad − Periódicos − Finitos Números Racionales Decimales base exponente se expresan en que pueden ser cumplen § ¿Cuáles son los conceptos principales de la unidad? ¿Por qué? § ¿Qué procedimiento te resultó más difícil de entender? Explícaselo a un compañero o compañera. § Si un compañero o compañera te pregunta: “¿cuáles son los números racionales?“, ¿qué le dirías? Explica. § ¿Por qué es importante sintetizar lo aprendido? Justifica tu respuesta. Reflexiona Refuerzo Refuerzo mis aprendizajes Caracterizar los números racionales (lecciones 1 y 2). 1 Evalúa las siguientes afirmaciones. Justifica. a. Un número natural es también un número racional. b. Un número negativo se puede escribir como fracción. c. Un número decimal periódico es un número irracional. Establecer relaciones de orden en los números racionales y representarlos gráficamente (lecciones 3 y 4). 2 Compara los siguientes pares de números. a. 3 8 ; 9 8 b. − 5 3 ; 3 5 c. −3,2 ; −3,2 d. 4 6 ; 12 13 3 Representa en una recta numérica los siguientes números. a. − − 1 3 ; 5 9 ; 4 3 ; 2 3 ; 1 3 10 b. 5,42; 5, 4 ; 5, 42 ; 5,42 ; 5, 4 Resolver problemas utilizando operatoria en los números racionales (lecciones 5, 8 y 9). 4 Resuelve. a. 1 3 1 6 • 1 2 + b. 2 7 • 9 4 8 1 3 − c. + + + 1 1 1 1 1 1 1 d. − − 0,05 0,5 5 e. Una persona cosechó 3 7 de terreno durante la mañana, y en la tarde la mitad del resto. Si aún le quedan 20,5 hectáreas por cosechar, ¿cuál es la superficie total del terreno? f. En una carrera un automóvil recorrió 5 6 del camino. Si en total son 10 km, ¿cuánto le queda por recorrer? g. Gabriela ocupó 3 8 kg de azúcar para un queque. Si tenía 1 kg de azúcar, ¿cuántos gramos de azúcar le quedaron? h. Juan regaló 1 9 de su dinero a su hermano, gastó 5 36 , y 4 10 los perdió en una apuesta. Si aún le quedan $3200, ¿cuánto dinero tenía en un inicio aproximadamente? Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales (lecciónes 6 y 7). 5 Evalúa las siguientes afirmaciones. a. Si x, y ∈ entonces x ♣ y = (x − y) − (x + y) ∈ . b. Si m, n ∈ , entonces m n m n 2  = + ∈ . Los números racionales se pueden expresar como fracciones, números decimales finitos y números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos. Para comparar números racionales en su forma fraccionaria puedes utilizar el método de los productos cruzados, por ejemplo: 7 8 2 3 → 7 • 3 8 • 2 → 21 > 16 → 7 8 > 2 3 Para calcular operaciones combinadas entre números racionales ten presente la prioridad de las operaciones. Si están involucrados números decimales periódicos o semiperiódicos, recuerda transformarlos en fracciones previamente. El conjunto de los números racionales cumple la propiedad de clausura, la cual indica que si se operan dos o más elementos del conjunto, el resultado seguirá siendo un elemento del conjunto. Refuerzo 1 2 3 4 Comprender las potencias de base racional y exponente entero y utilizar sus propiedades (lecciones 10 y 11). 6 Expresa como potencias de exponente entero positivo y calcula su valor. a. 6−¹ b. 8−² c. (−2)−⁶ d. (−5)−³ e. (−1)−¹⁰ f. −(−6)−² g. −9−³ h. −11−³ 7 Calcula las siguientes potencias. a. 1 2 –3      b. 3 4 –2      c. 1 8 1 −      − d. – 5 8 –2      e. 1,1 2 ( ) f. (−3,5)−¹ g. 0,5 2 2 −      − h. 0,13 3 −(− ) 8 Aplica las propiedades de potencias. a. 5−² • 5³ b. 2−³ ÷ 2−⁴ c. 3 4 –2 –1           d. 1 2 0,5 1 6 3            ÷ − − e. 0,3 0,1 3 2 1       − f. 1 3 • 1 3 10 6          − Resolver problemas que involucran números racionales y potencias (lección 12). 9 Resuelve. a. 2−¹+3−² b. 2 •3 •9 •2 27 • 2 2 3 1 3 5 − c. 1 5 •10 2 2 − − − − d. 2,5 •2 5 3 2 2 3 ( )− − − e. ( 8) • 1 2 2 4 − − − − f. 5 10 • 2 1 3 3            − − − g. 2 9 1 4 17 9 2 +       ÷      h. – 5 4 • 1 3 – 0,2 1                − i. 3 8 • – 5 3 – 9 7 –2            j. La superficie total de un cubo se calcula con la fórmula AT = 6a². ¿Cuál es el área total de un cubo cuya arista mide 12 3 m? k. El volumen de una esfera se calcula con V 4 r 3 3 =  donde r es el radio de la esfera. ¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo radio mide 0,5 metros? l. La energía cinética se calcula con E 1 2 •m • v c = 2 donde m es la masa y v la velocidad. Si la energía cinética de un móvil es de 5•10 kg • m s 4 2 2 y su masa de 1000 kg, ¿cuál es su rapidez? Se denomina potencia de base racional y exponente entero a toda expresión de la forma c d n      donde: c d n c d n Si n > 0 1 Si n = 0; c d  0 d c -n Si n < 0; c d  0                  = Las propiedades de las potencias son las siguientes: • an • am = an+m = am+n con a ∈y n, m ∈ • an am = a ÷ n - m con a –{0}y n,m  • an m = a ( ) n •m con a –{0}y n,m  Para calcular operaciones que involucren números racionales y potencias debes considerar la prioridad entre las operaciones. Primero debes resolver las potencias y luego las operaciones entre números racionales priorizando la multiplicación o la división sobre la adición o sustracción. Evalúo mis aprendizajes Evaluación 1 ¿Cuál de los siguientes números NO pertenece al conjunto de los números racionales? A. 2,555555… B. −0,342342… C. 65,06868… D. 0,101100111000... E. 4,100000… 2 ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 58 ? A. 5 8 − B. 8 5 − C. −1 D. 1 E. 8 5 3 ¿Cuál de los siguientes números NO es racional? A. Entero negativo B. Decimal finito C. Decimal infinito no periódico D. Decimal infinito periódico E. Decimal infinito semiperiódico 4 ¿Cuál de los siguientes números racionales es el mayor? A. 1,24 B. 1,2 C. 1,24 D. 1,2 E. 1,24 6 De mayor a menor, ¿cuál es el orden de los siguientes números racionales? a= – 2 3 , b= – 5 6 , c= – 3 8 A. a < b < c B. b < c < a C. b < a < c D. c < a < b E. c < b < a 7 ¿Cuál es el número racional correspondiente al punto P en la recta numérica? 0 P 1 A. 0,30 B. 0,33 C. 0,60 D. 0,70 E. 0,78 8 ¿Cuál de los siguientes números está después de 1 3 en la recta numérica? A. 0,3 B. 0,3333 C. 0,33 D. 0,333334 E. 0,333 Caracterizar los números racionales (lecciones 1 y 2). Resolver problemas utilizando operatoria en los números racionales (lecciones 5, 8 y 9). Formular estrategias para comparar y representar en la recta numérica números racionales (lecciones 3 y 4). I. Marca con una x la alternativa correcta. 5 Sebastián, Francisca y Florencia compran queso para preparar una pizza. Sebastián compró 260 g, Francisca 1 4 kg y Florencia 3 8 kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? I. Sebastián compró menos queso que Francisca. II. Florencia compró más queso que Francisca. III. Sebastián compró más queso que Florencia. A. Solo I. B. Solo II. C. Solo III. D. Solo I y II. E. Ninguna de las anteriores. 9 Al truncar el decimal 0,14 a la milésima, ¿cuál es el error que se comete? A. 0 B. 0,04 C. 0,4 D. 0,004444…. E. 0,0004444…. 10 El resultado de 1 3 8 – 0,75 + 1 3 8 – 0,25 es: A. 4 B. 8 3 C. 15 3 D. 16 3 E. – 16 3 Evaluación 1 2 3 4 11 Un niño bebe la mitad de un litro de jugo por la mañana, y en la tarde 1 3 de lo que quedaba. ¿Cuánto jugo bebió al final del día? A. 5 6 L B. 1 6 L C. 1 3 L D. 2 3 L E. 4 5 L 12 Se define a b = 1 a • b ★ . Entonces, el resultado de     2 – 8 7 3 4 ★ ★ es: A. 3 7 B. 7 3 C. – 3 7 D. – 7 3 E. Ninguna de las anteriores. 13 Si una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ya ha caminado 7850 metros, ¿cuántos kilómetros le faltan por recorrer? A. 4,45 km B. 4,55 km C. 5,55 km D. 5,45 km E. 6,62 km 14 Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa trabaja la cuarta parte del total de hombres disponibles y en la segunda, 2 3 del resto. Si en la tercera etapa trabajan los hombres que quedaron, ¿cuántos trabajaron solamente en la tercera etapa? A. La mitad del total. B. Un tercio del total. C. La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa. D. La mitad de los que trabajaron en la primera etapa. E. Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa. 15 Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad con 2 1 3 litros de agua. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo? A. 2 1 3 B. 2 2 3 C. 1 2 3 D. 3 1 3 E. 3 2 3 Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales (lecciones 6 y 7). Comprender las potencias de base racional y exponente entero y aplicar sus propiedades (lecciones 9, 10 y 11). 16 Se define la operación a t b = 2a ÷ b, donde a y b son números racionales. ¿Cuál afirmación es FALSA con respecto a la operación? A. Los resultados pueden ser números enteros. B. Solo está definida para b distinto de 0. C. Los resultados siempre serán números racionales. D. Los resultados pueden ser números decimales. E. Solo está definida para a distinto de 0. 17 ¿Cuál de los siguientes números NO puede ser escrito como potencia de exponente 3? A. 1 B. 8 C. 27 D. 169 E. 216 18 ¿Cuál es el valor de      – 4 8 –4 ? A. 16 B. 32 C. −32 D. −16 E. – 1 2 Evalúo mis aprendizajes Evaluación 19 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDA DERA? A. Toda potencia de base distinta de cero y exponente igual a 1 tiene valor igual a 1. B. Si la base de una potencia y su exponente son números enteros, su resultado puede ser un número entero. C. Si el exponente de una potencia es un entero negativo y su base un número racional, su resultado es siempre un número entero. D. A y B son falsas. E. B y C son falsas. 20 ¿Qué alternativa representa mejor al valor de la potencia ((−3))−¹? A. Es igual a cero. B. Es mayor que cero. C. Es menor que cero. D. No se puede determinar. E. Ninguna de las anteriores. 21 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm? A. 16 cm² B. (2³)² cm² C. 232 cm² D. 2 • 2³ cm² E. (2³ + 2³) cm² 23 ¿Cuál es el valor de ( 2 3 5 –8) 5 • • • 3 –2 –1 –1 ? A. 9 B. 9² C. −9 D. 1 9 E. – 1 9 24 ¿Cuál es el resultado de la expresión             2 3 3 2 9 4 • –4 2 2 ? A. 1 B. 2 3 C. 3 2 D.  9 4 E. 3 2 –2      25 Un tipo de bacteria se reproduce de acuerdo con la expresión 2t, siendo t el tiempo expresado en horas. ¿En cuánto tiempo se tendrán 1024 bacterias? A. 8 horas. B. 9 horas. C. 10 horas. D. 11 horas. E. 12 horas. 26 El número de bacterias (B) en cierto cultivo está dado por la expresión B = 100t • 100, donde t es el tiempo expresado en horas. ¿Cuál será el número de bacterias al cabo de 4 horas? A. 100²⁰ B. 100⁹ C. 104⁵ D. 400⁵ E. 4 • 100⁵ Resolver problemas que involucran números racionales y potencias (Lección 12). 1 Identifica a qué conjunto numérico pertenece la solución de cada ecuación. a. 3 6 x +1= 9 b. 6x − (2 − 3x) = 4 c. 2 1 3 x 1 2 x 2 9 + = + d. 25x + 1 = 2x + 3 Caracterizo los números racionales. 22 ¿Qué valor se obtiene al simplificar la expresión 1000 000 0,00012 10 • 4 ? A. 12 B. 1,2 C. 0,12 D. 0,012 E. 1200 II. Resuelve los siguientes problemas.