Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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NÚMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Realiza las siguientes operaciones: a) (3 2i) ( 5 6i) d) (1 i) (2 i) (3 i) (4 i) b) ( 4 2i) (6 3i) e) (1 i) 2(2 i) 3(3 i) 4(4 i) c) 2(2 3i) 3(4 2i) 5i 2. Realiza las siguientes operaciones: a) (1 3i) · ( 2 5i) d) (1 i) · (2 i) · (3 i) b) ( 3 3i) · (2 3i) e) (1 i) · (1 2i) · (1 3i) 2i c) 3( 2 2i) · ( 3 3i) 2i 3. Calcula los siguientes cocientes de nu´meros complejos: a) 2 i 2 i b) 2 3i 3 2i c) 1 5i 3 4i d) (3 2i) · (1 4i) 2 2i 4. Escribe en forma bino´mica los nu´meros complejos z1, z2, z3 y z4 representados en la siguiente figura y, despue´s, calcula las siguientes operaciones: a) z1 z2 b) z1 z2 z3 c) z1 z2 z3 z4 d) z1 z2 z3 z4 Y 1 X 1 Z1 Z2 Z4 Z3 5. Calcula el inverso de los siguientes nu´meros complejos: a) 2 2i b) 1 3i c) 8 6i d) 12 5i 6. Calcula las siguientes potencias de nu´meros complejos: a) (3 2i)2 b) (4 i)3 c) ( 2 3i)4 7. Representa los siguientes nu´meros complejos y escrı´belos en su forma polar: a) 3 3i b) 3 3i c) 2 2i d) 1 i 8. Calcula las siguientes potencias de nu´meros complejos: a) ( 2 2i 5 ) b) (1 6 3i) c) ( 10 2 2i) 9. Calcula el valor de las siguientes raı´ces de nu´meros complejos: a) 3 3 3i b) 2 12i c) 4 1 3i 10. Halla todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) z2 6z 10 0 b)z4 z 0 c) z4 z3 z2 z 2 0 11. Calcula el valor de k para que el producto de nu´meros complejos (3 2i) · (k 1 ki): a) De´ como resultado un nu´mero imaginario puro. b) De´ como resultado un nu´mero real. SOLUCIONES 1. a) 2 4i d) 2 b) 10 5i e) 10 2i c) 8 7i 2. a) 13 11i d) 10i b) 3 15i e) 10 2i c) 38 i 3. a) i (2 i)2 3 4i 3 4 (2 i) · (2 i) 5 5 5 b) i i (2 3i) · (3 2i) 13 (3 2i) · (3 2i) 13 c) i (1 5i) · (3 4i) 23 11i 23 11 (3 4i) · (3 4i) 25 25 25 d) i (11 10i) · (2 2i) 21 1 (2 2i) · (2 2i) 4 4 4. z1 4 2i z3 2 i z2 3 i z4 1 3i a) 7 i b) 5 c) 4 3i d) i 5. a) i 2 2i 2 2i 1 1 (2 2i) · (2 2i) 8 4 4 b) i 1 3i 1 3i 1 3 (1 3i) · (1 3i) 10 10 10 c) 8 6i 8 6i ( 8 6i) · ( 8 6i) 100 i 2 3 25 50 d) 12 5i 12 5i ( 12 5i) · ( 12 5i) 169 i 12 5 169 169 6. a) 5 12i b) 52 47i c) 119 120i 7. a) z1 3 3i 3 45 2 Y 1 X 1 Z1 Z2 Z3 Z4 b) z2 3 2 330 3i 3 c) z3 2225 2 2i d) z4 1 i 135 2 8. a) (2 135 )5 128 675 128 315 2 2 2 128 2 (cos 315 i sen 315 ) 128 128 128i 2 2 2 i 2 2 b) (260 )6 64360 64(cos 360 i sen 360 ) 64 c) (2315 )10 1 0243 150 1 024270 1 024(cos 270 i sen 270 ) 1 024i 9. a) 3 3 3 3i 18 315 6 6 18315 18 105 3 6 6 18675 18 225 3 6 6 181 035 18 345 3 b) 260 230 2 12i 4 2 60 2420 2210 2 c) 4 4 1 3i 2 240 4 4 2240 2 60 4 4 4 2600 2 150 4 4 4 2960 2 240 4 4 4 21 320 2 330 4 10. a) z1 3 i z2 3 i b) z4 z z(z3 1) 0 z1 0 z2 i, z3 1, z4 i 1 3 1 3 2 2 2 2 c) z4 z3 z2 z 2 (z 1) · (z 2) · (z2 1) 0 z1 1, z2 2, z3 i, z4 i 11. (3 2i) · (k 1 ki) 3k 3 3ki 2ki 2i 2ki2 k 3 (5k 2)i a) Para k 3 el resultado es un nu´mero imaginario puro. b) Para k el resultado es un nu´mero real. 2 5 1. Sean z1, z2 y z3 las tres raı´ces cu´bicas de la unidad, demuestra que se verifica la siguiente igualdad: (z1 z2 z3) · (z1 z2 z3) 4 2. Demuestra que para cualquier nu´mero natural n se verifica: 2 1 3i 3n 1 3i 3n 2 2 3. Representamos por z el conjugado del nu´mero complejo z; es decir, si z a bi z a bi. a) Demuestra que z1 z2 z1 z2 para cualquier pareja de nu´meros complejos z1 y z2. b) Demuestra que z · z WzW2 para cualquier nu´mero complejo z. c) Ayuda´ndote de los apartados anteriores, comprueba que: Wz1 z2W2 Wz1 z2W2 2 · (Wz1W2 Wz2W2) 4. Con ayuda del cociente de los nu´meros complejos z1 1 i y z 3 2 1 i, calcula valores exactos de sen y de cos . 5 5 12 12 5. Resuelve, en el conjunto de los nu´meros complejos, la ecuacio´n z4 z. 6. Regiones del plano definidas con la ayuda de los nu´meros complejos. Has visto que se puede asociar a cada nu´mero complejo su afijo, que no es ma´s que un punto del plano geome´trico. Por esta razo´n, se pueden definir ciertas regiones del plano con la ayuda de expresiones algebraicas en las que intervienen nu´meros complejos. En primer lugar, demuestra las siguientes afirmaciones: a) El mo´dulo de la diferencia de dos nu´meros complejos es igual a la distancia que separa a sus afijos. b) Wz (1 i)W 3 representa el conjunto de puntos del plano que pertenecen a la circunferencia de centro el punto (1, 1) y radio 3. c) El conjunto de nu´meros complejos z tales que WzW 5 representa el conjunto de puntos del plano que pertenecen a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 5. d) Wz iW 3 representa el conjunto de puntos del plano que pertenecen al cı´rculo de centro (0, 1) y radio 3, incluidos los que pertenecen a la circunferencia que lo limita. 7. Representa geome´tricamente el conjunto de puntos del plano definido por los afijos de los nu´meros complejos z que verifican: Wz iW Wz 2W 8. Sea Re(z) la parte real del nu´mero complejo z y sea Im(z) la parte imaginaria del mismo nu´mero complejo, es decir: si z a bi Re(z) a Im(z) b Representa geome´tricamente el conjunto de puntos del plano definido por los afijos de los nu´meros complejos z que verifican: 1 Re(z) 3 Im(z i) 2 9. Determina el conjunto de puntos del plano definido por los afijos de los nu´meros complejos z que verifican: Re(iz) 2 Im( iz) 3 SOLUCIONES 1. z12 (z2 z3)2 z12 z22 z23 2z2z3 (10 )2 (1120 )2 (1240 )2 2 · 1120 · 1240 1 (cos 240 i sen 240 ) (cos 120 i sen 120 ) 2 1 0,5 0,5 2 4 2. (1120 )3n (1240 )3n 1360 n 1720 n 1 1 2 3. a) Sean z1 a bi y z2 c di z z (a c) (b d)i 1 2 z z a bi c di 1 2 z z z z 1 2 1 2 b) z · z (a bi) · (a bi) a2 b2 WzW2 ( )2 a2 b2 a2 b2 z · z WzW2 c) Wz1 z2W2 Wz1 z2W2 (z1 z2) · z1 z2 (z1 z2) · z1 z2 (z1 z2) (z1 z2) (z1 z2) (z1 z2) Wz1W2 z1 · z2 z2 · z1 Wz2W2 Wz1W2 z1 · z2 z2 · z1 Wz2W2 2 (Wz1W2 Wz2W2) 4. 1 3i ( 1 3i) (1 i) 1 i (1 i) (1 i) i 1 3 1 3 2 2 1 3i 22 2 3 1 i 2 25 4 12 cos sen i 5 5 2 2 12 12 1 3 5 2 cos 2 12 1 3 5 2 sen 2 12 sen 5 1 3 6 2 12 2 2 4 cos 5 1 3 6 2 12 2 2 4 5. z r z r cos r sen i r(cos( ) sen( )i) r Por tanto, la ecuacio´n se puede escribir como: r r r4 r y 4 360 k 44 r 0 z 0 r 1 y 72 k con k 0, 1, 2, 3 ´o 4 6. a) Se toman z1 a bi, z2 c di A(a, b), B(c, d) Wz z W (a c)2 (b d)2 1 2 d(A, B) (a c)2 (b d)2 Wz1 z2W d(A, B) b) Por el apartado anterior, Wz (1 i)W 3 representa al conjunto de puntos z del plano tales que su distancia al punto (1, 1) es igual a tres, es decir, representa a la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3. c) Por el apartado a, WzW Wz (0 0i)W 5 representa una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 5. d) Wz iW representa la distancia existente entre el punto asociado al nu´mero complejo z y el punto (0, 1). Si esta distancia debe ser menor o igual que 3, estara´n incluidos todos los puntos que pertenecen al interior o a la frontera de la circunferencia de centro (0, 1) y radio 3. 7. El conjunto de puntos tales que Wz iW Wz 2W representa la mediatriz del segmento de extremos (0, 1) y ( 2, 0). Y (0, 1) (–2, 0) O 1 X 1 8. Sea z x iy. Y O 1 X 1 1 Re(z) 3 Im(z i) 2 1 x 3 y 1 2 1 x 3 y 3 9. Sea z x iy. Re(iz) 2 y 2 y 2 Im( iz) 3 x 3 x 3