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MONOTONÍA Y CURVATURA FUNCIONES CON DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcio´n f(x) x3 12x y calcula sus extremos relativos. 2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la siguiente funcio´n: f(x) x2 2x 2 3. Estudia la curvatura de la funci´on f(x) x 3 y determina sus puntos de inflexi´on. 4. Halla los ma´ximos, mı´nimos y puntos de inflexio´n, si los tiene, de la funcio´n f(x) x3 6x2 9x. Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y estudia su curvatura. 5. La funcio´n f(x) x3 3x2 ax b tiene un ma´ximo en el punto P(0, 1). Calcula los valores de a y b. 6. Dada la funcio´n f(x) x4 ax3 5, halla el valor de a para que tenga un extremo relativo (ma´ximo o mı´nimo) cuando x 1. 7. La capacidad de concentracio´n de una saltadora de altura en una competicio´n de atletismo de tres horas de duracio´n viene dada por la funcio´n f: [0, 3] definida por f(t) 100t · (3 t), donde t mide el tiempo en horas. a) Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentracio´n aumenta y los intervalos en que disminuye. b) ¿En que´ momento de la competicio´n la capacidad de concentracio´n de esta deportista es nula? c) ¿Cua´l es el mejor momento, en te´rminos de su capacidad de concentracio´n, para que la atleta pueda batir su propia marca? 8. Halla la base x y la altura y de una cartulina rectangular de perı´metro 60 cm que, al dar la vuelta completa a un lado vertical, genera un cilindro de volumen ma´ximo. y x 9. Una figura de cuatro metros de perı´metro esta´ formada por un recta´ngulo al que se encuentra adosado un tria´ngulo recta´ngulo iso´sceles, siendo el lado comu´n uno de los catetos. ¿Cua´les deben ser las dimensiones de esta figura para que su a´rea sea ma´xima? y x 2x SOLUCIONES 1. Dominio: f (x) 3x2 12 3 (x 2) (x 2) Posibles puntos crı´ticos x 2 y x 2. –2 2 – – + + _ _ + + + x + 2 x – 2 f'(x) = 3(x + 2)(x – 2) La funcio´n es creciente en ( , 2) y (2, ) y es decreciente en ( 2, 2). f (x) 6x; f ( 2) 12 0 ( 2, f( 2)) ( 2, 16) es un ma´ximo relativo f (2) 12 0 (2, f(2)) (2, 16) es un mı´nimo relativo. 2. Dominio: {1}; f (x) x · (x 2) 2(x 1)2 La derivada primera se anula en x 0 y x 2. 0 1 2 2(x – 1)2 + – _ + f'(x) = x(x – 2) La funcio´n es creciente en ( , 0) y (2, ) y es decreciente en (0, 1) y (1, 2). A partir de los intervalos de crecimiento: (0, f(0)) (0, 0) es un ma´ximo relativo y (2, f(2)) (2, 2) es un mı´nimo relativo. 3. Dominio: [3, ) f (x) f (x) 1 1 2 x 3 4(x 3) x 3 Como la derivada segunda es negativa en todo el dominio, la funcio´n es co´ncava en [3, ). No tiene puntos de inflexio´n. 4. Dominio: ; f (x) 3x2 12x 9 3 (x 1) (x 3) La derivada primera se anula en x 1 y x 3. f(x) es creciente en ( , 1) y (3, ) y es decreciente en (1, 3). (1, 4) es un ma´ximo relativo y (3, 0) es un mı´nimo relativo. f (x) 6x 12 se anula en x 2. f(x) es co´ncava en ( , 2) y es convexa en (2, ). El punto (2, 2) es un punto de inflexio´n. 5. f(0) 1 b 1. f (x) debe anularse en x 0: f (x) 3x2 4x a; f (0) a a 0 Para este valor f (0) 4 0, f(x) x3 2x2 1 tiene un ma´ximo en P(0, 1). 6. f (x) 4x3 3ax2 2x debe anularse en x 1, 0 f (1) 6 3a a 2 Para este valor f (1) 0, f(x) tiene un mı´nimo en x 1. 7. a) f (t) 300 200t y f (c) 200. f (t) se anula en t 1,5 y f (1,5) 200 0 por lo que se alcanza un ma´ximo. La capacidad de concentracio´n aumenta durante la primera hora y media y disminuye a partir de la hora y media. b) f(t) 0 t 0 y t 3. La capacidad de concentracio´n es nula al comienzo y al final de la competicio´n. c) f (1,5) 200 La capacidad de concentracio´n es ma´xima a la hora y media del comienzo de la competicio´n. 8. Perı´metro: 60 2x 2y y 30 x. El radio de la base sera´ x 2 r r x 2 El volumen del cilindro es: V(x, y) · ·y 2 x 2 V(x) · · (30 x) x 2 30x2 x3 2 4 Buscamos el ma´ximo de V(x): V (x) ; V (x) 0 60x 3x2 x 0 4 x 20 Como V (20) 0, se alcanza el volumen ma´ximo para x 20 cm, y 10 cm. 9. Per´ımetro: 2x 2y 2x 4 y 2 x 2 2 2 A´ rea: A(x, y) xy x2 1 2 A(x) x x2 2x x2 2 2 1 1 2 2 x 2 2 2 A (x) 2 (1 2)x A (x) 0 x 2 1 2 Como A 0, el a´rea es ma´xima para 2 1 2 x 0,83 m, y 0,59 m. 2 2 1 2 1. Determina el dominio de la funcio´n f(x) y estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento x 1 WxW y sus extremos relativos. 2. Dada la funcio´n f: A definida por f(x) x · WxW si x 1 x si 1 x 2 4 x si2 x a) Halla los puntos en los que f(x) es derivable. b) Estudia si existen ma´ximos y mı´nimos relativos de la funcio´n f(x). 3. Estudia los ma´ximos y mı´nimos relativos y los puntos de inflexio´n de la funcio´n f(x) x2 · e x. Y O 1 1 X f'(x) 4. La siguiente gra´fica corresponde a la funcio´n f (x), primera derivada de una determinada funcio´n f(x). a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la funcio´n f(x) interpretando la gra´fica de f (x). b) Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexio´n de f(x) utilizando solamente la gra´fica de f (x). Y O 1 1 X f'(x) 5. La siguiente gra´fica corresponde a la funcio´n f (x), primera derivada de una determinada funcio´n f(x). a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la funcio´n f(x) interpretando la gra´fica de f (x). b) Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexio´n de f(x) utilizando solamente la gra´fica de f (x). 6. La funcio´n f(x) x3 ax2 bx c verifica que f(1) 1, f (1) 0. Calcula a, b y c sabiendo que f no tiene un extremo relativo en x 1. 7. ¿En que´ punto de la curva f(x) (1 x2) 1 es ma´xima la pendiente de la recta tangente? 8. Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto (3, 2) y corta a los ejes de coordenadas determinando, en el primer cuadrante, un tria´ngulo de a´rea mı´nima. 9. Desde una casa situada en el punto P(7, 0) se quiere hacer un camino recto para conectarla con una carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuaci´on y 1 2x 2x2. ¿En qu´e punto de la carretera conectara´ el camino ma´s corto posible? SOLUCIONES 1. f(x) x si x 0 y x 1 1 x x si x 0 y x 1 1 x Dominio { 1, 1} f (x) 1 si x 0 y x 1 (1 x)2 1 si x 0 y x 1 (1 x)2 En x 0 la funcio´n es derivable, ya que las derivadas laterales coinciden. f (x) es positiva en todo el dominio; por tanto, f(x) es creciente en todo el dominio. 2. a) f(x) x2 si x 0 x2 si 0 x 1 x si1 x 2 4 x si x 2 El dominio es . f (x) 2x si x 0 2x si 0 x 1 1 si1 x 2 1 six 2 En x 0 la funcio´n es derivable, ya que las derivadas laterales coinciden. En x 1 y x 2 la funcio´n no es derivable, ya que las derivadas laterales son distintas. b) La funcio´n tiene un ma´ximo relativo en x 2, aunque no es derivable en ese punto. 3. Dominio . f (x) e x · x · (2 x) f (x) se anula en x 0 y en x 2. f (x) e x · (x 2)2, sustituyendo f (0) 4 0, luego (0, 0) es un mı´nimo relativo; f (2) 0, pero estudiando el signo de f vemos que el punto (2, 4e 2) es un ma´ximo relativo. 4. a) f(x) es decreciente en ( , 2) (f (x) 0) y creciente en ( 2, ) (f (x) 0). f(x) alcanza un mı´nimo relativo en x 2. b) Como f (x) es creciente (f (x) 0), la funcio´n f(x) es convexa; no tiene puntos de inflexio´n, ya que no cambia la curvatura. 5. a) f(x) es creciente, ya que f (x) es siempre positiva f(x) no tiene extremos relativos. b) f (x) es decreciente en ( , 0) (f (x) 0); por tanto, la funcio´n es co´ncava en ese intervalo. f (x) es creciente en (0, ) (f (x) 0); por tanto, la funcio´n es convexa en ese intervalo. 6. Como f(1) 1 a b c 0. Adema´s: f (x) 3x2 2ax b f (1) 0 3 2a b 0 Como x 1 no es un extremo relativo, debe ser un punto de inflexio´n: f (x) 6x 2a y f (1) 0 6 2a 0 Resolviendo el sistema: a 3, b 3, c 0. La funcio´n es: f(x) x3 3x2 3x. 7. La funcio´n que queremos maximizar es la pendiente de la tangente p(x) f (x) . 2x (1 x2)2 Buscamos los valores que anulan p (x) 6x2 2 (1 x2)3 p (x) 0Kx 3 3 Como p 0, la pendiente ma´xima se al- 3 3 canza en x . 3 3 8. La recta es de la forma y 2 m(x 3). Corte con los ejes: y (0, 2 3m). 2 3 , 0 m El a´rea del tria´ngulo depende de la pendiente m: A(m) · (2 3m) 1 2 3 2 m A (m) 9 se anula en m . 4 2 m2 3 Como A 0, el a´rea es mı´nima para 2 3 m . La recta buscada es: y 2 (x 3). 2 2 3 3 9. Debemos minimizar la distancia entre P y Q, siendo Q(x, y) el punto de contacto: d(P, Q) (x 7)2 (y 0)2 Como Q pertenece a la curva: d(P, Q) (x 7)2 ( 1 2x 2x2)2 (x 7)2 1 2x 2x2 Minimizar esta funcio´n es igual que minimizar su cuadrado: d(x) (x 7)2 1 2x 2x2 3x2 12x 50 d (x) 6x 12 se anula en x 2, punto en el que se alcanza el mı´nimo, ya que d (2) 0. El punto buscado es Q(2, 13).