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MATEMATICAS EJERCICIOS DEL TERCER BIMESTRE DE SEGUNDO DE SECUNDARIA EN WORD

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CLICK AQUI PARA VER VIDEOS 1. Comprender la definición y propiedades del M.C.D Y M.C.M. de dos o más expresiones algebraicas. 2. Emplear los conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, para determinar el M.C.D y el M.C.M de dos o mas expresiones algebraicas. PROCEDIMIENTOS A MOTIVACIÓN: Así como en la aritmética hemos podido determinar el máximo común divisor y el Mínimo común múltiplo de dos o mas cantidades, es también posible determinar, aplicando los mismos principios el Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas. Para determinar el M.C.D y el M.C.M de dos expresiones algebraicas, vamos a utilizar nuestros conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, tal como podremos observar en los ejemplos planteados. B. CONTENIDO TEÓRICO : 1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( M. C .D ) Antes de dar la definición es necesario enfatizar lo siguiente: * El Factor o Divisor de una expresión algebraica entera es otra expresión algebraica entera que la divide exactamente. * El divisor común de dos o mas expresiones algebraicas enteras es otra expresión algebraica entera que divide exactamente a cada una de ellas. DEFINICIÓN : El máximo común divisor de dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica entera de mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas Ejemplo : Divisores Algebraicos x4 – 1 ( x2+1) ; ( x+1) ; (x – 1) ( x2+1) ( x+1); ( x2+1) (x – 1) ; ( x+1) (x – 1); (x4 – 1) x3 – 1 ( x – 1) ; ( x2 + x + 1) ; ( x3 – 1) (x – 1)2 (x – 1) ; ( x – 1)2 El M.C.D. es : ( x – 1) 2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( M. C. M ) * El múltiplo de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica que se divisible entre la expresión dada inicialmente * Se llama Múltiplo Común de dos o más expresiones algebraicas, a toda expresión algebraica es divisible entre cada una de las expresiones dadas inicialmente Definición: El mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas enteras, es la expresión algebraicas entera de menor grado que es divisible entre cada una de las expresiones dadas. Ejemplo: Múltiplos Algebraicos x4 – 1 (x4 – 1) ; (x4 – 1) (x – 1) ; (x4 – 1) (x – 1) ( x2 + x + 1) ... x3 – 1 (x3 – 1); (x3 – 1) (x + 1); (x3 – 1) (x + 1) (x – 1); (x3 – 1) (x + 1) (x – 1) (x2+1) ..... (x – 1)2 (x –1)2; (x – 1)2 (x+1); (x – 1)2 (x+1) (x2+1); (x – 1)2 (x+1) (x2+1) (x2+x+1) .... El M.C.M es : (x – 1)2 (x + 1) (x2 +1) (x2+ x + 1) PROPIEDADES : Si dos o mas expresiones algebraicas son primos entre si, entonces su M.C.D es la unidad y su M.C.M. es el producto de ellos. Sean A y B dos expresiones algebraicas primas entre si : M.C.D.( A ; B ) = 1 M.C.M.( A ; B ) = A . B Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras ,se cumple : M.C.D.( A ; B ) . M.C.M.( A ; B ) = A . B 4. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL M.C.D. Y EL M.C.M. POR DESCOMPOSICION DE FACTORES Para calcular el M.C.D. y el M.C.M. de expresiones algebraicas enteras por el método de la descomposición en factores, es importante que se utilice correctamente las definiciones expuestas anteriormente y según el siguiente procedimiento: a) Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos (se factorizan) b) El M.C.D. se determina multiplicando los factores comunes afectados con su menor exponente. c) El M.C.M. se determina multiplicando los factores comunes y no comunes, afectados con su mayor exponente. Ejemplo 1.- Sean los monomios : A = 24x2y z5 de donde: 24 = 23. 3 B = 216x3y z7 216 = 23. 33 C = 480x4y2 480 = 25. 3 . 5 Entonces: M.C.D. = (23) (3) x2y = 24x2y M.C.M. = (25) (33) (5) x4y2z7 = 4320x4y2z7 Ejemplo 2.- Dadas las expresiones algebraicas P(x) = (x+2)3 (x – 5) (x – 3)3 de donde: Q(x) = (x+4) (x – 5) (x – 3)2 Factores Comunes (x – 3); (x – 5) R(x) = (x+2) (x – 5) (x – 3)2 Factores no Comunes (x + 2); (x + 4) Entonces: M.C.D. = (x – 3)2 (x – 5) M.C.M = (x – 3)3 (x – 5)3 (x + 2)3 (x + 4) Ejemplo 3.- Calcular el M.C.D. y el M.C.M. de los polinomios P(x) = 32 x2 – 64 x – 256 Q(x) = 48 x2 – 48 x – 576 R(x) = 24 x3 – 216 x2 + 480 x RESOLUCION Se factorizan los polinomios aplicando el método de factorizacion que estime conveniente de acuerdo a la forma de la expresión. P(x) = 32 x2 – 64 x – 256 = 32 (x2 - 2x – 8) =32 (x – 4) (x+2) Q(x) = 48 x2 – 48 x – 576 = 48 (x2 – x – 12) = 48 (x – 4) (x+3) R(x) = 24 x3 – 216 x2 + 480 x = 24x (x2 – 9x + 20) =24x (x – 4) (x – 5) Donde: 32 = 25 Para los coeficientes 48 = 24. 3 M.C.D. = 23 = 8 24 = 23. 3 M.C.M. = 25. 3 = 96 Entonces: M.C.D. = 8 (x-4) M.C.M.. = 96 (x-4) (x-5) (x+2) (x+3) 5. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL M.C.D. DE DOS O MAS POLINOMIOS POR EL METODO DE LA DIVISION SUCESIVAS. Cuando en la factorización polinomios se presentan dificultades, se utiliza como alternativa el método o algoritmo de las divisiones sucesivas. Teniendo dos polinomios únicamente, se procede así: Se divide los polinomios. Si la división resultante es exacta, M.C.D. es el polinomio que hace de divisor. Si la división no es exacta, se divide el primer divisor entre el primer residuo; se continuara sucesivamente hasta llegar a una división exacta siendo el ultimo divisor el M.C.D. de los dos polinomios dados en el inicio. IMPORTANTE: Recuerdes el esquema adjunto para A y B Polinomios enteros: Q1 Q2 Q3 Qn Qn+1 A B R1 R2 Rn-2 Rn-1 Rn R1 R2 R3 Rn 0 Ejemplo 1.- Hallar el M.C.D y M.C.M. de los polinomios A (x,y) = 16x3 +36x2y – 12xy2 – 18y3 B (x,y) = 8x2- 2xy – 3y2 Ejemplo: Hallar el M.C.M. y M.C.D. de los polinomios: PRÁCTICA DE CLASE  Hallar el MCD y el mcm de los siguientes polinomios: 1) x; y 2) (x + 1); (x – 1) 3) (x – y); (x + y) 4) xy; xz; xz 5) x (x + y); x (2x – y) 6) x2 – 4x – 12; x2 – 5x – 6 7) a2 + a – 2 ; a2 – a – 6 ; a2 + 9a + 14 8) x2 – 2x – 3 ; x – 3 ; x3 – 7x2 + 15x – 9 9) y2 + 7y ; y2 – y – 56 ; y2 + 14y + 49 10) x3 – 2x2 – 39x – 72 ; x3 + 2x2 – 5x – 6 11) x2 + 5x + 6 ; x2 + 6x + 8 12) c3 – c2 – 8c + 12 ; c3 + 2c2 – 5c – 6 PROBLEMAS PROPUESTOS N° 01  En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, resuelva cada uno de los siguientes ejercicios. 01. Indicar el M.C.D. de los polinomios P (x,y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + 2y3 Q (x,y) = 2x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 a) x2 + xy + y2 b) x2 – y2 c) x2 - xy + y2 d) x2 + y2 e) x + y 02. ¿Cuantos factores primos tiene el M.C.M. de los polinomios? A (x) = x7 – x B (x) = x5 – x C (x) = x4 – x a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 03. Hallar el numero de factores primos en que se descompone el M.C.M. de los polinomios: P (x) = x2 – 3x + 2 Q (x) = x2 – 5x +6 R (x) = x2 – 4x +3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. El M.C.D. de: x4 + 2x3 – Px2 + Qx +R y x3 + 7x2 – Qx + 20 es: x2 + 3x +5 Hallar P. Q . R . a) –340 b) 340 c) 680 d) –680 e) 170 05. Hallar la suma de los coeficientes del M.C.M. de : x3 – 9x2 + 26x – 24 y x3+ 2x2 – 13x +10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 06. El M.C.D de P (x) = 2x4+ 4x3+mx2 +nx + p y Q (x) = x3 + 9x2 – mx – 21 es x2 +2x – 3 Hallar n . p a) –150 b) 120 c) -180 d) 140 e) –100 07. El término independiente del mcm de: x2 – 5x + 6; 4x2 – 12x – 16; 3x – 2k es 96. Hallar "k" a) 2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/2 e) 1 08. Al multiplicar el MCD y el mcm de dos polinomios P(x) y Q(x) resulta: 3x5 + 3x4 – 3x3 – 8x2 – 8x + 8 Hallar el polinomio P (x), sabiendo que Q (x) es x2 + x – 1 a) 3x3 – 6 b) 3x2 + 8 c) 3x2 – 6 d) 3x3 + 8 e) 3x3 – 8 09. Hallar ab, si se sabe que el MCD factorizado de P y Q es: (x – a) (x – b) P = x3 – 7x + 6 Q = x3 – 2x2 – x + 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 10. El MCD de P y Q es de la forma ax2 + bx + x, según esto, calcular el valor de a + b + c, si se sabe que: P = x3 + 5x2 + 3x – 9 Q = x3 – 3x + 2 a) 1 b) 5 c) –3 d) 0 e) 4 TAREA DOMICILIARIA 01. a3 – 2a2 – 4a – 16 ; a3 + a2 – 14a – 24 02. p2 – 7p + 10 ; 2p3 – 5p2 – 4p + 12 03. m2+ ; mp2 ; m2 +p2 04. a2 (a + c)2 ; a (a + c)3 ; (a + c) b2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Aprender a manejar correctamente las operaciones entre fracciones algebraicas, esto es; simplificar y efectuar operaciones combinadas con dichas fracciones. PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACIÓN: Antes de iniciar el desarrollo del presente módulo, es necesario recordar el campo numérico que sirve como referencia. Cuando hablamos de fracciones algebraicas, los términos que lo constituyen (numerador y denominador) deben ser racionales. Además, las variables que participan deben admitir solo valores adecuados de tal forma que la fracción no tenga denominador nulo y tenga sentido en el conjunto de los números reales. Por ejemplo: Para que la expresión tenga sentido, la variable “x” puede admitir cualquier número real excepto x=5 ; x =–2/3, es decir: B. CONTENIDO TEÓRICO: 1. Definición. Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales, de los cuales el denominador no debe ser una constante. Ejemplo ; ; ; Ahora identificamos los términos de una fracción: Numerador Denominador 2. Clases de Fracciones. 2.1 Fracción Algebraica Propia. Es la fracción que se caracteriza por que el numerador es de menor grado que el denominador. Ejemplo: 2.2 Fracción Algebraica Simple. Es la fracción que se caracteriza por que el numerador es de mayor grado que el denominador. Ejemplo: 2.3 Fracción Algebraica Compleja. Se caracteriza por que el numerador y el denominador, son expresiones racionales fraccionarias. Ejemplo: ; 3. Signos de una Fracción Algebraica. Observación: El signo de una fracción afecta a toda ella, y su tratamiento es análogo al de un signo de colección. Ejemplo: Por lo expuesto podemos ampliar: a) Cuando se cambia de signo a un número impar de factores, el signo de la fracción cambia. Esto es: b) Cuando se cambia de signo a un número par de factores, el signo no cambia. Esto es: 4. Simplificación de Fracciones Algebraicas. Simplificar una fracción algebraica es transformarla a otra fracción equivalente e irreductible. Observaciones: * Para simplificar una fracción, lo primero que se hace es factorizar el numerador y el denominador, después de lo cual se eliminan (simplifican) los factores comunes. * Los factores comunes a simplificarse nos muestran el M.C.D. de los términos de la fracción. * Dos fracciones son equivalentes por que presentan el mismo valor numérico, para un conjunto de valores admitidos por la(s) variable(s) * Una fracción se considera irreductible cuando sus términos son expresiones algebraicas primas entre sí. Ejemplo. Simplificar: Solución Factoricemos todas las expresiones posibles: Efectuamos las simplificaciones: M.C.D. = (x-5) (x-11) (x+4) (x+9) (x+6) Por tanto la fracción original es equivalente a : ¡Importante!. Las Fracciones equivalentes tienen el mismo valor sí: x  R = {5 ; 11 ; -4 ; -9 ; -6 ; 9} 5. Operaciones con Fracciones Algebraicas. Adición y Sustracción a) Fracciones homogéneas. b) Fracciones Heterogéneas. • Para sumar y/o restar fracciones heterogéneas se procede así: – Se factorizan los denominadores de cada una de las fracciones. – Se halla el M.C.M. de los denominadores, es decir, se da un común denominador a las fracciones. – Se efectúan operaciones y luego se simplifican. Multiplicación Para multiplicar fracciones se procede así: – Verificar si existen factores comunes en los términos de la fracción – Realizadas las simplificaciones se multiplican lo que queda del numerador y denominador. División Para dividir fracciones se procede así: – Se invierte la fracción que hace de divisor y el operador de la división es cambiado por el operador de la multiplicación. – Luego se procede como en el caso anterior. Ejemplo 1. Efectuar. Solución. Factorizando los denominadores tenemos: Dando común denominador tenemos: Ejemplo 2: Simplificar Solución. Trabajemos primero en los denominadores PRÁCTICA DE CLASE I. Simplificar las siguientes fracciones considerado sólo cambios de signos en sus términos: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) II. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) PROBLEMAS PROPUESTOS N° 02  En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, resuelva cada una de las siguientes ejercicios. 01. Simplificar: a) x + 1 b) x – 1 c) 1 d) –1 e) 1 – x 02. Efectuar: Indicar su numerador: a) b) c) d) e) 03. Efectuar: y señalar el numerador a) x+1 b) x-1 c) 2x-3 d) 2x e) x+3 04. Efectuar: a) x / (x+1) b) x / (x-1) c) 1 / (x+1) d) 1 / (x-1) e) 0 05. Simplificar: a) b) c) d) e) 1 06. Luego de simplificar la fracción: Indique la diferencia del numerador menos el denominador. a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 07. Efectuar: a) x b) –x c) 1 d) –1 e) 2x 08. Efectuar: a) x b) –x c) 1 d) –1 e) 0 09. Simplificar: a) x + 1 b) x – 1 c) x d) e) 10. Reducir : a) 1 b) x c) d) e) TAREA DOMICILIARIA OBJETIVOS ESPECÍFICOS Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades que corresponden PROCEDIMIENTOS A MOTIVACIÓN: Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 - 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al algebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas”, escrita en 1767. La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones. B CONTENIDO TEORICO: 1. Igualdad Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo = que se lee igual. 2. Ecuación Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución) Observación Enunciado Abierto; es toda expresión que contiene por lo menos una variable que para determinados valores se convierte en un enunciado verdadero o falso. Variable; Es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera. Ejemplo. La ecuación 3x – 5 = 0 , tiene como raíz o solución a : x = 5/3. Luego, su conjunto solución es: 3. Clasificación de las Ecuaciones. Cuando se plantea una ecuación, nos interesa saber si dicha ecuación tiene solución o no, si tiene solución se debe conocer si existe un número finito de soluciones o existen infinitas soluciones. Considerando lo antes mencionado, la siguiente clasificación está dada en función de las soluciones. Ecuaciones Consistentes o Compatibles. Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en: – Determinadas. Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. – Indeterminadas. Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones. Ecuaciones Inconsistentes o Incompatibles. Son aquellas que no tienen solución también se les denomina absurdas o imposibles. 4. Ecuaciones de Primer Grado o Lineales en una Variable. Son aquellas ecuaciones que tienen la forma: Donde a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita. Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos: x = - b/a Discusión de la raíz x= -b/a Si a  0 la ecuación es determinada. Si a = 0, b=0 la ecuación es indeterminada. Si a = 0, b  0 la ecuación es incompatible. Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta determinar el valor de la incógnita. Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o, cuando se presenta un término radical, es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones. Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente. a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero. Ejemplo. Resolver: (x+3) (x-2) = 4(x-2) Solución: Simplificando: (x-2)  x – 2 = 0 Para no perder solución x = 2 Luego, tendremos : x + 3 = 4  x = 1 La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2). b) Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación. Ejemplo. Resolver . Solución Primero simplificamos (x-2) y tendremos x+3=4  x =1 Observación. Si hubiésemos trasladado (x-2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x=2 que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad. c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas. Ejemplo: Resolver Solución Elevando al cuadrado: 14x = 42  x=3 Pero si reemplazamos; x=3 en la ecuación dada tendremos . (No cumple), luego : x=3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución. Observación. Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser solucionados verdaderos. PRACTICA DE CLASE 01. Resolver: a) 6 b) –6 c) 6y – 6 d) Indeterminado e) Incompatible 02. Resolver: a) 6 b) –6 c) 6y – 6 d) Indeterminado e) Incompatible 03. Resolver: Marca lo correcto: a) Tiene una raíz b) Tiene dos raíces c) Tiene tres raíces d) Indeterminado e) Incompatible 04. Resolver: Indique el número de sus raíces. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Incompatible 05. Resolver: a) Incompatible b) 0 c) 5 d) 5; – 5 e) Indeterminado 06. Resolver: Indique la suma de sus raíces. a) 0 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 07. Resolver: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. Resolver: Indique a) 4 b) 2 c) –27 d) e) 3 09. Resolver: a) 0 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5 10. Resolver: a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 14 11. Dada la ecuación en x: Dar el valor de verdad: I. La ecuación dada es lineal. II. La ecuación tiene infinitas soluciones III. La ecuación tiene una solución única. IV. es solución de la ecuación V. La ecuación dada es ecuación polinomial. a) FVFVV b)FVFVF c) VVVFF d) FFVVV e) VFVFV TAREA DOMICILIARIA Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: 01. 02. 03. 04. Encierra en una circunferencia cada una de las respuestas correctas. 05. Resolver. a) 10/9 b) 10/9 ; -10/9 c) 0 d) Indeterminado e) Incompatible 06. Una ecuación compatible: a) Tiene 2 incógnitas b) No tiene solución c) Tiene un número finito de soluciones d) Tiene un número infinito de soluciones e) c y d. 07. Toda ecuación lineal presenta. a) 1 solución b) 2 soluciones c) 3 soluciones 4) 4 soluciones e) N.a. 08. Se llama ecuación polinomial a la: a) Ecuación algebraica racional entera b) Ecuación algebraica racional fraccionaria c) Ecuación trascendente d) Ecuación irracional e) N.a. 09. Una ecuación se llama incompatible si: a) Tiene infinitas soluciones b) Tiene 3 incógnitas c) Tiene un número finito de soluciones d) Es irracional e) No admite solución. 10. Resolver: a) 4 b) –3 c) 3 d) 1 e) –4 Son las que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas Ejm: RESOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES. Existen 4 métodos. El de Sustitución, el de Igualación, el de Reducción y por Determinantes. A. METODO DE SUSTITUCIÓN.- Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones del sistema (de preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en la otra ecuación y por último resolver la ecuación de 1er grado con una variable que resulta. Así. Ejm : Resolver : Solución.- Despejando ¨y ¨ en la ecuación ( 1 ) y = 41 – 5 x Reemplazando este valor en la ecuación ( 2 ) 2 x + 3 ( 41 – 5x ) = 32 .... Luego x = 7 Sustituyendo x = 7 en la ecuación ( 1 ) 5x + y = 41  5 ( 7 ) + y = 41 .... Luego y = 6 CS = { 7, 6 } Rpta B. METODO DE IGUALACION.- Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2 ecuaciones e igualar, luego las 2 expresiones que representan el valor de la variable despejaba. Ejm : Resolver : Solución.- Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas. Igualando estos valores: 8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 – 3y )  48 + 40 y = 364 – 39 y 40 y + 39 y = 364 – 48 Reemplazando y = 4 en la ecuación ( 2 ) 8 x + 3 ( 4 ) = 28  8 x = 28 - 12  x = 2 CS = { 2, 4 } Rpta. C. METODO DE REDUCCION.- Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma variable en las 2 ecuaciones, por medio de la multiplicación, y luego sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable. Ejm. Resolver : Solución.- Eliminaremos a ¨y ¨ y multiplicamos a la ecuación ( 1 ) por 2 y a la ecuación ( 2 ) por 3. Así: 2 ( 4 x + 3 y ) = ( 3 4 ) 2  8 x + 6y = 68 3 ( 6 x – 2 y ) = ( 12 ) 3  18 x – 6y = 36 26 x = 104 Sustituyendo x = 4 en ( 1 ) 4 ( 4 ) + 3 y = 34  16 + 3 y = 34 3 y = 34 - 16 3 y = 18 CS = { 4, 6 } Rpta. EXISTE UN CUARTO METODO LLAMADO: D. METODO POR DETERMINANTES.- Consiste en aplicar el concepto de MATRIZ Ejm. Resolver: Solución.- a) Hallamos el determinante del sistema ¨D¨, usamos la matriz ¨2 x 2¨, colocamos los coeficientes de x y de y. b) Hallando el determinante de x: D ( x ), reemplazamos los coeficientes de x por los términos independientes, respetándose los coeficientes de y. Así : c) Hallando D ( y ), así :reemplazamos los coeficientes de y por los términos idependientes, respetándose los coeficientes de x. Así: PRÁCTICA DE CLASE  Por el Método de Sustitución, Resolver: 01. a) ( - 3, -1 ) b) ( 1, 3 ) c) ( -1, 3 ) d) ( 3, 1 ) e) N.a. 02. a) ( - 7, - 3 ) b) ( 3, 7 ) c) ( -3, - 7 ) d) ( -3, 7 ) e) N.a. 03. a) ( 4/3, - 5/2 ) b) ( 3/4, 2/5 ) c) ( - 3/4, 5 ) d) ( - 3, - 5 ) e) N.a. 04. a) ( - 2/3, - 3 ) b) ( 2/3, 4 ) c) ( 2/3, 2 ) d) ( 3, - 2 ) e) N.a. 05. a) ( 1/3, 1/2) b) ( 1/2, 1/3 ) c) ( 2,- 3 ) d) ( - 1/2, - 1/3 ) e) N.a.  Por el Método de Igualación, Resolver : 06. a) ( 3, 4 ) b) ( -3, 4 ) c) ( 3, - 4 ) d) ( - 3, 4 ) e) N.a. 07. a) ( 1/2, 1 ) b) ( 2, 1/3 ) c) ( 1, 1/2 ) d) ( 3, 1/4 ) e) N.a. 08. a) ( 2/3, 8 ) b) (– 2/3, 9 ) c) (– 2/3, 1 ) d) (– 2/3, 7 ) e) N.a. 09. a) (– 4, – 5 ) b) (–5, – 4 ) c) ( 4, 5 ) d) ( 5, 4 ) e) N.a. 10. a) ( 12, 14 ) b) ( 14, 12 ) c) (–12, 14) d) (–14, 12 ) e) N.a.  Por el Método de Reducción, Resolver: 11. a) (3, 1 ) b) ( 1, 3 ) c) (–1, 3 ) d) (– 3, 1 ) e) N.a. 12. a) (–2, 5 ) b) ( 5, 2 ) c) (–2, 3 ) d) (–2, –6 ) e) N.a. 13. a) (– 4 , – 20) b) ( 4, – 18 ) c) ( 4, 4 ) d) ( 4, 20 ) e) N.a. 14. a) (–2, –1 ) b) (–1, –2 ) c) ( 2, 1 ) d) ( 0, 3 ) e) N.a. 15. a) (1, 2 ) b) (–1, –2) c) ( 2, 1 ) d) (–2, –3 ) e) N.a. PROBLEMAS PROPUESTOS N° 03 01. Luego de resolver el sistema: 3 (x + y) + 2 (x – y) = 17 5 (x + y) + 4 (x – y) = 29 Señale el valor de: 3x + 4y – xy a) 11 b) 9 c) 31 d) 7 e) 41 02. Resolver el sistema: 4 (2x + y) + 5 (2x – y) = 17 3 (2x + y) – ("x – y) = 8 Indicar luego el valor de x2 – y2 a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 9 03. Resolver el sistema literal: ax + by = 2ab ................. (1) bx + ay = a2 + b2 ........... (2) Señale luego el valor de: a) 25 b) 9 c) 49 d) 1 e) N.a. 04. Luego de resolver el sistema: (a + b) x + by = a2 x + y = a Señale el valor de: ab – xy a) b b) b2 c) a2 d) ab e) 1 05. Después de resolver el sistema: = 2; x + y = 2a tendremos que: M = x2 + y2 + 2 (a2 – b2), resulta: a) 3a2 b) 4a2 c) a2 d) 2a2 e) N.a. 06. La tercera parte de la edad de Juan excede a la quinta parte de la edad de Pedro en 2; además dentro de 4 años la relación de ambas edades será de 8 a 7. ¿Cuál es la edad de Juan? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) N.a. 07. Quique le dice a José: "la relación de nuestras edades hace 3 años era de 3 a 2 y dentro de 13 años será de 7 a 6". ¿Cuál es la suma de las edades actuales? a) 20 b) 30 c) 18 e) 26 e) 19 08. Si sumamos 5 a ambos términos de una fracción obtenemos 4/5, y si en cambio restamos 2 a ambos miembros, resulta 5/8. Indicar la suma de los términos de la fracción original. a) 16 b) 17 c) 21 d) 13 e) 6 09. Miguel puede hacer una obra en 12 días, mientras que junto con Oscar pueden hacer la obra en 8 días. ¿En cuánto tiempo haría Oscar solo la obra? a) 24 b) 20 c) 16 d) 32 e) N.a. 10. Si la relación: ax + by + cz = d, está sujeta a la tabla de valores: a b c d 1 1 0 7 1 0 1 8 0 1 1 9 Calcule: 2x + 3y – 5z a) 7 b) –7 c) 2 d) –2 e) 6 11. Se da la relación: mx + ny = p y la tabla siguiente: m n p a + b a – b 2(a2 – b2) 2a 2b 2(a2 + b2) Calcule "x" a) a + b b) a – b c) 2a d) 2b e) ab 12. Del problema anterior calcular y: a) a + b b) a – b c) 2a d) 2b e) ab 13. Calcular m sabiendo que el sistema: (m – 2) x + 2y = 3 (m + 3) x + 4y = m – 1 es compatible indeterminado. a) 6 b) 7 c) 9 d) 1 e) 2 14. ¿Para qué valor de m el sistema mostrado a continuación; mx + (m – 2) y = 6 (m + 3) x + my = 12 es compatible determinado? a) Para m = 6 solamente b) Para todo valor c) Para cualquier valor diferente de 6 d) Para todo valor mayor que 6 e) Para todo valor menor que 6 15. Indique la suma de valores de m que hacen que el sistema: (m + 1) x + 4y = 7 (m + 2) x + 6my = 9 sea compatible. a) –1/2 b) –1/4 c) –1/5 d) –1/6 e) –1/3 16. Si la siguientes tabla de valores satisface a y = 5x + a + b; calcular x, cuando y = 12 x b –1 y 2 2a a) 13 b) 1/3 c) 6 d) 3 e) 9 17. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 5y + z = 28 4x – 2y – 3z = 7 x + 3y + 4z = 11 Hallar: x + y + z a) 4 b) 5 c) 7 d) 3 e) 6 18. Hallar el valor de x para que el determinante sea igual a – 20 a) 2 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17 19. Calcular x en: a) 1 b) 8 c) 10 d) 12 e) 4 20. Hallar el valor de y en el siguiente sistema: x – y = 3 a) –1/2 b) –3/2 c) 1/2 d) 3/2 e) 1 TAREA DOMICILIARIA  Resolver: 16. a) ( 6, 2) b) ( 2, 2 ) c) ( 6, 6 ) d) ( 0, 0 ) e) N.a. 17. a) ( 0, 3 ) b) ( 4, 0 ) c) (–2, –4 ) d) ( 2, 4 ) e) N.a. 18. a) ( 1, –2 ) b) (– 6, – 8 ) c) ( 7, - 8 ) d) ( 8, 7 ) e) N.a. 19. a) ( 3, 4 ) b) (– 3, – 4 ) c) ( 2, 4 ) d) (– 3, 0 ) e) N.a. 20. a) ( 2, 2 ) b) ( 3, 3 ) c) ( 4, 4) d) ( 5, 5 ) e) (2; 4) Ecuaciones de 2do Grado: Llamadas ecuaciones cuadráticas, porque tienen como máximo exponente el número 2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN: A) Por Factorización: Ejm: Factorizar: (x-4) (x-1) = 0 x – 4 = 0  x´= 4 x – 1 = 0  x´´= 1 Cs = { 4, 1} B) Por la Fórmula General: La expresión se llama DISCRIMINANTE Ejm: Resolver: Solución: a = 1 ; b = -5 ; c = 4 Reemplazando:  NATURALEZA DE LAS RAÍCES: Se presentan 3 casos del valor del DISCRIMINANTE: 1°) Si D  0 Discriminante positivo. Entonces las raíces son reales y diferentes. 2°) Si D = 0 Discriminante nulo. Entonces las raíces son iguales y reales. 3°) Si D  0 Discriminante negativo. Entonces las raíces no son reales (Imaginarias y Conjugadas) PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Dada la ecuación cuadrática , podemos hallar la suma, diferencia, producto y suma de inversas de las raíces SIN RESOLVER dicha ecuación empleando las siguientes propiedades: 1° 2° 3° 4° FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Dadas las soluciones X1 y X2 , para formar una ecuación cuadrática aplicamos la fórmula siguiente: donde S = suma y P = producto Ejm: Dadas las raíces 7 y –3, hallar la ecuación cuadrática. Solución: S = 7 – 3 = 4 Luego: P = (7) (-3) = 21 es la ecuación cuadrática ECUACIONES BICUADRÁTICAS: Son aquellas que se pueden transformar a ecuaciones de la forma: , y tienen la siguiente forma general: Para resolverlas sólo se hace el siguiente cambio de variable: , con lo cual la ecuación queda convertida en una ecuación cuadrática. Ejm: RESOLVER: Escribimos Solución: Cambiamos a Luego: ENTONCES: y´= 9 y´´ = 4 Luego: x2 = 9  x1 = 3 ; x2 = – 3 x2 = 4  x3 = 2 ; x4 = – 2 PRATICA DE CLASE I. ¿Cuáles de los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes, o sea que tienen el mismo valor? 1) 11) 2) 12) 3) 13) 4) 14) 5) 15) 6) 16) 7) 17) 8) 18) 9) 19) 10) 20) II. Resolver las siguientes ecuaciones: 1) 14) 27) 2) 15) 28) 3) 16) 29) 4) 17) 30) 5) 18) 31) 6) 19) 32) 7) 20) 33) 8) 21) 34) 9) 22) 35) 10) 23) 36) 11) 24) 37) 12) 25) 38) 13) 26) 39) TAREA DOMICILIARIA I. Dadas las siguientes ecuaciones, calcular el discriminante de cada una de ellas y resolverlas empleando la FÓRMULA GENERAL. 1) PRÁCTICA DE CLASE II I. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones. 1) II. Completar el siguiente cuadro: N° ECUACIÓN SUMA DE RAÍCES DIFERENCIA DE RAÍCES PRODUCTO DE RAÍCES SUMA DE INVERSAS DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS N° 04 01. Calcular la suma de raíces reales en la siguiente ecuación: 3x2 = – 2 (x + 4) a) 5 b) –3 c) –1/3 d) e) 1/3 02. Calcular el discriminante correspondiente a la siguiente ecuación: 7x (x + 5) = 3 a) 89 b) –89 c) 1 309 d) –109 e) 106 03. Con el solo cálculo del discriminante en el problema anterior. ¿Qué puedes afirmar acerca de las raíces de dicha ecuación? a) Son reales e iguales b) Son reales y diferentes c) Son complejas d) Son complejas e iguales e) No se puede afirmar nada. 04. Hallar el valor de m para el cual la ecuación siguiente tiene raíces de la ecuación: x2 + 8x + m = 0 a) 2 b) 16 c) –2 d) 8 e) 6 05. Hallar el valor de P para el cual la diferencia de las raíces de la ecuación: 4x2 + 8x + P = 1 es nula. a) 5 b) 3/2 c) 1/2 d) 1/5 e) –5 06. Si se cumple que: x  y = x2 + 2y2 – 4xy + 4x + 4 ¿Cuál es la naturaleza de las raíces de la ecuación: z  (2z) = 0? a) Raíces reales e iguales b) raíces reales y diferentes c) raíces no reales d) Raíces complejas e iguales e) La ecuación no tiene raíces 07. Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación (sin resolverla) a) –2 b) 1/2 c) – 1/2 d) 5/3 e) 2 08. ¿Cuál es el producto de las raíces de la siguiente ecuación (encontrar la respuesta sin resolver la ecuación)? a) – 2/7 b) 2/7 c) – 3 d) 3 e) 0 09. ¿Qué valor debe tener m para que una raíz sea la inversa de la otra en: a) – 1 b) 2 c) – 2 d) 6 e) 4 10. Si b es una raíz de la ecuación: x2 + bx – 2 = 0 Hallar la suma de las raíces de: b2 x2 + 7x – 8 = 0 a) – 7 b) 7 c) – 8 d) 8 e) 1 11. Hallar q, sabiendo que el producto de raíces de la ecuación 2x2 + 3x + q = 0, es igual a la suma de las raíces de la ecuación: 3x2 – 6x + 7 = 0 a) 6 b) 4 c) – 4 d) 5 e) – 5 12. En la siguiente ecuación: 5x2 = x + 1, calcular la suma de las inversas de sus raíces. a) 1 b) 0 c) – 1 d) 1/2 e) – 2 13. x2 + 12x – 3k = 0. Si la ecuación anterior, tiene raíces iguales, K es igual a: a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) N.a. 14. Dada la ecuación: 3x2 + 23x – 36 = 0, hallar el producto de sus raíces. a) 12 b) – 12 c) 15 d) – 15 e) 20 15. Se debía repartir 1 800 soles entre cierto número de personas; cuatro de ellas renunciaron a su parte con lo cual a cada una de las restantes le tocó 15 soles más. ¿Cuántas personas eran originalmente? a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 36 16. Resolver en x: x2 – 7ax + 12a2 – ab – b2 = 0 y encontrar la diferencia de las raíces. a) a – 2b b) 2a + b c) a + 2b d) 2a – b e) a + b 17. Hallar m de tal modo que en la ecuación: x2 – 3 (m – 2) x + 1 = 0 la suma de inversas de las raíces es 24. a) 12 b) – 6 c) 8 d) 10 e) – 8 18. Formar la ecuación cuyas raíces sean las inversas de las raíces de la ecuación: 3x2 + 8 = – 5x a) 6x2 + 8x + 5 = 0 b) 8x2 + 5x + 3 = 0 c) x2 + 5x + 3 = 0 d) x2 – 5x – 3 = 0 e) 8x2 – 5x – 3 = 0 19. ¿Qué valor debe tomar m para que una raíz de 2x2+ mx + 2 = 0 sea igual a – 2. a) 3 b) 4 c) 5 d) – 5 e) 6 20. Hallar la ecuación cuyas raíces sean: a) x2 – 6 x + 6 = 0 b) x2 + 6x + 6 = 0 c) x2 + 6 x + 6 = 0 d) x2 + 6 x – 6 = 0 e) x2 – 6 x – 6 = 0 TAREA DOMICILIARIA ECUACIÓN ECUACIÓN 2 a + 1 a - 1 2a + 3b a – 4b Es una desigualdad formada por 2 miembros unidos por el signo > ó < Así: Signo Desigual Solución.- Para resolver inecuaciones de 1er. grado se procede así: 1.- Se suprimen los signos de colección. 2.- Se reducen los términos semejantes 3.- Transposición de términos 4.- Volvemos a reducir los T.S y despejamos la incógnita. Ejm. Resolver: 5x – 7 < 3x –( x + 1 ) Solución .- Suprimimos los signos de colección  5x – 7 < 3 x – x – 1 Se reducen T.S. en cada miembro  5x – 7 < 2 x – 1 Transponemos los términos  5x – 2x < - 1 + 7 Se reducen T.S. nuevamente  3x < 6 Despejando la incógnita  x < 6/3 Observación: Cuando la variable cambia de signo, la inecuación cambia de sentido Así: - 3 x < 18 x > PRÁCTICA DE CLASE 01. Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente inecuación: 8x < x + 56 02. Resolver: x + (x + 5)  (x + 7) 03. ¿Cuántos números enteros y positivos satisfacen la siguiente inecuación? 1  (x + 5) (x – 2) – (x – 1) (x + 3) 04. Resolver: (x + 2) (x2 – 2x + 4) < 11x + x3 + 1 05. Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente inecuación: 0 < x + (2x + 1) – (3x + 2) 06. ¿Cuál es el conjunto de valores de x que permiten que la siguiente desigualdad sea cierta? 1 > 7x2 – (3x2 + 1) – 4x (x + 1) + 4x 07. Resolver: 08. Hallar la suma de números enteros y positivos que satisfacen a la siguiente desigualdad: 09. Resolver la siguiente inecuación: 10. Resolver la siguiente inecuación: 11. Dados los intervalos: A = ] –2; 9] ; B = [ 2; 12[ ; C = [0; 7] ; D = ] 3 ; 9 [ Calcular: • (A  B) – C • (D  A) – B • (B  C) – D • (A  C) – D • (C  D) – A • (B  D) – C Calcular también los intervalos equivalentes a: • (A  B) – (A – B) • (A  D) – (B  C) • (B  C) – (B – C) • (A  D) – (B  C) • (B  D) – (C  D) • (A  C) – (A  D) PROBLEMAS PROPUESTOS N° 05 01. ¿Cuántos números enteros y positivos menores que 5, satisfacen a la siguiente inecuación? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. ¿Para cuántos valore enteros de x, menores de 7, se cumple que en la siguiente fracción, el numerador es mayor que el denominador? a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) Ninguno 03. ¿Cuántos números enteros permiten que en la fracción el numerador sea menor que el denominador, si x  [2; 7] ? a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2 04. ¿Cuántos valores de x enteros no negativos, hacen que en la siguiente fracción el denominador sea menor que el numerador? a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4 05. El triple de la cantidad de manzanas disminuido en uno que compró Fernando, es menor que dicha cantidad de manzanas aumentadas en 3, ¿cuántas manzanas compró Fernando? a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 06. Encontrar el conjunto de valores de x, que satisfacen a la siguiente desigualdad? 5x – 1 < 6x + 7 a) x > – 4 b) x < 4 c) x < – 7 d) x > – 8 e) x < – 8 07. Hallar la suma de números enteros positivos que satisfacen a la siguiente inecuación: a) 4 b) 7 c) – 2 d) 6 e) 3 08. Hallar el conjunto de valores de x, que reemplazados en la fracción: permiten que el numerador sea mayor que el denominador. a) x > 1 b) x  2 c) x > – 1 d) x < – 2 e) x < 4 09. Hallar la suma de los valores enteros de x que satisfacen: – (x + 3) < 3x + 5 < x + 13 a) 4 b) – 5 c) 5 d) 3 e) 1 10. Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 4x2 + 4x – 11 < 0 a) x  b) x  c) x  d) x  e) x  11. Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones: x – 3 < 2x + 2 < x + 5 a) ] 0; 1[ b) ] –2 ; 5 [ c) ] – 5; 3 [ d) ] – 4; 2 [ e) ] – 1; 1 [ 12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones? 11 – 6x  1 – x < 7 – 2x a) 1 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6 13. Hallar la suma de valores enteros de x que satisfagan el siguiente sistema de inecuaciones: – 17 – x  7 x – 1  x + 11 a) 4 b) – 5 c) 5 d) 0 e) – 3 14. ¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente inecuación? 12x – 11 < 7 a) ] – 3; 4 [ b) [–3; 4] c) [– 3; 4 [ d) ] – 3; 4 ] e) [– 1; 5 ] 15. Calcular la suma de los números enteros que satisfacen a la siguiente inecuación: a) – 1 b) – 6 c) – 3 d) – 4 e) – 5 16. Resolver la inecuación: x2 + 2x – 15 < 0 a) x  –5 ; 3  b) x   – 1; 3  c) x   –3; 5  d) x   – 3;  e) N.a. 17. Si x es un número real tal que – 1 < x < 3, entonces x2 satisface la relación: a) 0  x2 < 1 b) 1  x2 < 9 c) 0  x2 < 9 d) 1 < x2 < 9 e) 0 < x2 < 9 18. Resolver: a) ] – 4; +  [ b) ] – 1/4 ; +  [ c) ] – 1; 4 [ d) e) ] –  ; – 4 [ 19. Determinar el conjunto solución de: a) ] 3 ; +  [ b) ] –3 ; – 1/2[ c) ] –3; 1/2 [ d) ] 1/2 ; 3 [ e) ] –1/2 ; 3 [ 20. Hallar la suma de valores de x (x  Z) tales que: y a) 57 b) 52 c) 58 d) 59 e) 55 TAREA DOMICILIARIA 01. Luego de resolver la inecuación: Indicar el mínimo valor entero que la verifica. 02. Luego de resolver la inecuación: Señalar el mayor valor que puede tomar x. 03. Resolviendo la inecuación:  1 ¿Cuál es el mínimo valor para x?, ¿cuál es el máximo valor de x? 04. Dar el intervalo que cumple simultáneamente las inecuaciones mostradas: 2 (x – 4) + 3 (x – 5)  2 3 (x – 2) + 2 (x – 1)  2 05. Resolver el sistema de inecuaciones: 5 (x + 1) + 3 < 4 (x + 3) + 5 7 (x – 2) + 1  9 (x – 6) + 1 06. ¿Cuántos valores enteros cumplen simultáneamente las inecuaciones: SOLUCIONARIO N° Ejercicios Propuestos