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LIMITES EJERCICIOS RESUELTOS – UNIVERSIDAD PDF

Vecindad de un Punto , Límite de una Función , Propiedades de los Límites , Límites Laterales , Límites al Infinito , Límites Infinitos , Asíntotas , Definición 1. Sea a 6 IR, se llama vecindad abierta o bola abierta de centro a y radio 8 > 0, y se denota por B (a ; 8 ) , al intervalo ( a — 8 ; a 4- 5); es decir, B (a ; 5) = ( a — 5 ; a 4- 8 ) En ia figura 3.1 se observa que el punto a es el punto medio del intervalo. Ejemplo 1. Son vecindades de centro a = 3 los intervalos: 1 1 20 22 ' 1 1 11 13 ( 3 — - ; 3 + - ) = (y ; y ) . < 3 - í ; 3 + i ) = x £ (a — 5 ; a + 8) <^>a — 8 < x < a + 8 <=*—8 < x — a<8*=>\ x — a \ < 8 « x E { x £ 1 / |x - a\ < 5} 2) La intersección de dos vecindades de centro a es una vecindad de centro a, estoes, B( a ;¿>i) n B ( a ; ó'2) = B(a ; 8 ), donde 8 = mín{51,5 2} . Demostración x £ (a; (Jj) D B(a; 82) <=> x £ B (a; 5 j) A x £ B(a\ S2) <=> |x — a | < 8X A |x — a | < 82 \x — a¡ < 8. donde 8 = mín{<5^ 52} TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 3.2 LÍMITE DF UNA FUNCIÓN Uno de los conceptos básicos y fundamentales en el cálculo es el del límite. La noción de límite es muy importante para precisar otros, tales como continuidad, derivación, etc. En el siguiente ejemplo, se verá la idea de limite. Ejemplo 2 Dadas las funciones / y g definidas por . , „ , n . ( x 2 + 1, x * 2 / ( x ) = x + 3, í í 2 y g ( x ) = ^ _ 2 Las gráficas de estas funciones se muestran en las figuras 3.2 y 3.3. Se observa que / ( 2 ) no existe, mientras que g( 2) — 7. Sin embargo, el comportamiento de estas funciones en una vecindad de 2, excluyendo el punto 2, es exactamente el mismo y puede ser descrito del siguiente modo: Para valores de x próximos a 2. con x 2. los valores de /'(x ) y g { x ) se aproximan al número L = 5. En el caso de la función f . se dice que 5 es el límite de f ( x ) cuando x tiende (o se aproxima) a 2 v se denota por l í m / ( x ) = 5. x-*2 Análogamente, para la función g se dice que 5 es el límite de ,g(x) cuando x tiende a 2, y se representa por lim g{ x ) = 5. X -* 2 Se observa que el límite de / cuando x tiende a 2 no depende de / ( 2 ) (en este caso no existe), sino de los valores que / toma cuando x es próximo a 2 . Definición 2 Sea / : R -» K una función y a un punto que no necesariamente pertenece a Df , pero que toda vecindad de a contiene puntos de Df . Se dice que el límite de / ( x ) es L, cuando x tiende hacia a, y se escribe lim / ( x ) = L, cuando X-+ CI V £ > 0, 3 5 > 0 / V x E Df , x ^ a y a — 5 < x < a + 5=*L — e < f ( x ) < L + e En términos del valor absoluto, esta definición tiene la forma V £ > 0 , 3 8 > 0 / V x E , 0 < |x — a| < 5 => \ f ( x ) — L\ < £ Usando vecindades, la definición es equivalente a: V £ > 0, 3 á > 0 / V x £ B(a; í ) n D f , x í a = > / ( x ) £ B(L; s) El concepto de límite plantea el siguiente problema: ¿Qué tan cerca de a se debe tomar el valor de x para que / ( x ) diste de L en un número muy pequeño prefijado? Ejemplo 3. Si Hm (2x + 1) = 3, ¿qué tan cerca de 1 debe estar x para que | / ( x ) - 3| < 0,01? Solución Dado £ = 0,01, se desea que | / ( x ) — 3| < 0,01. Para encontrar un 8 adecuado, se observa que | / ( x ) - 3| = |2x + 1 - 3| = 2|x - 1| < 0,01 De esta última desigualdad se deduce que |x - 1| < 0,005, lo cual significa que si x dista de 1 en menos de 0,005, entonces f ( x ) dista de 3 en menos de 0,01. Observación 1. Para comprobar el limite por definición, inicialmente se debe descomponer | / ( x ) - L\ en dos factores, uno de los cuales debe ser \x - a\, esto es. ! / ( x ) - L\ = \x - a | | ^ ( x ) | (1) En segundo tugar, se debe elegir un valor inicial S - 8 X para acotar \g(x)\. de tal manera que Si 0 < |x - a| < ^ =* \g(x)\ < M (Ai > 0) (2) Asi, de (1) y (2) se tiene Si 0 < |x — a| < => \ f ( x ) - L\ = |x - a ||,g (x )| < |x - a\M £ Ahora, haciendo |x — a\M < e , se obtiene \x — a\ < — = 5, M Luego, el valor adecuado para 8 es 8 = minió',,—). ' M > En resumen, si 0 < |x - a | < 8 => | / ( x ) - L\ = |x - a ||g ( x ) | < e . Lo cual demuestra que l i m f ( x ) — L x-*a Observación 2 En la demostración de limites, es necesario tener en cuenta las siguientes recomendaciones'. a) Proponer un valor inicia! de 8, esto es 8 = 8^ de modo que 0 < |x - a\ < 8V Generalmente, se toma Sj_ = 1, pero si este valor es inadecuado, se debe considerar otro más pequeño. b) Al elegir el valor inicia! ó\, se debe tener cuidado de que no haya asíntota vertical de g { x ) dentro del intervalo (a — 8l \ a + ó'j ). LIMITES 111 c) Para acotar g ( x ) para el valor Sx elegido, es necesario tener presente las siguientes propiedades de las desigualdades y del valor absoluto. i) S / 0 < | x — a | < 5 = ^ a - 5 < x < a + 5 ii) Si a < u < b =$ |u | < máx{|a|, |6 |) Por ejemplo, si - 4 < 3x - 9 < 2 => |3x - 9| < 4, (4 = m á x { |- 4 |, 12 1}) iii) Si a < u < b => u 2 < k 2 donde k = máx{|a|, |6 |) d) Si S > 0 satisface la definición de limite, cualquier otro 8' con 0 < 8' < 8, también satisface dicha definición. Ejemplo 4. Si / ( x ) = 3 x 2 + 2x + 1, pruebe que lim / ( x ) = 6. x-»l Solución Dado e > 0, se debe probar que s i 0 < | x - l | < < 5 = * | / ( x ) - 6 | < e. Teniendo en cuenta la observación 1, se debe trabajar con | / ( x ) - 6 |, esto es, | / ( x ) - 6 | = \ 3 x 2 + 2x + 1 - 6 | = |(x - l ) ( 3 x + 5)| = \x - l | | 3 x + 5| (1) Para 8X - 1 buscaremos un número positivo M tal que, 0 < ¡jc — 1 1 < 1 => |3x + 5| < M En efecto, s i | x - l | < l = > 0 < x < 2 = > 0 < 3 x < 6 = > 5 < 3 x + 5 < l l = H 3 x + 5 | < l l (2) Multiplicando (2) por |x — 1|, se obtiene |x - l | | 3 x + 5| < l l | x -- 1|. £ De lo anterior.se deduce que 11 |x — 1| < e si - 1| < — • En resumen, Dado £ > 0, 3 8 = mín ^1, — J tal que 0 < |x - 1| < 5 => I / O ) - 6 | = \x - l | | 3 x + 5| < l l | x — 1| < e Por tanto, lim f ( x ) = 6. X — 1 Ejemplo 5 Si f ( x ) = k (k constante), demuestre que lim f ( x ) = k , donde a es x —a cualquier número real (el límite de una constante es la misma constante). Solución Sea £ > 0, para cualquier <5 > 0 se tiene 0 < \x - a | < 8 => |f ( x ) - k\ = \k - íf| = 0 < £. Luego, lim k = k x->a TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 112 x ^ — 9 Ejemplo 6 . Sea f ( x ) = ------ — , pruebe que lim /( x ) = 6. X j x~* ó Solución Sea £ > 0, se debe probar que 0 < \x — 3| < 8 =* | / ( x ) — 6 | < £ El hecho de que 0 < \x — 3| equivale a x * 3 y (x - 3)(x + 3) LIMITES 1 / 0 0 - 61 = x 2 - 9 --------— g ii x — 3 x - 3 - 6 = \x - 3| Por tanto, \ f ( x ) — 6 | < £ <=> |x — 3 | < £ = ¿> En resumen, para £ > 0 3 8 = £ / 0 < |x - 3| < á | / ( x ) — 6 | < £ x + 3 Ejemplo 7. Demuestre que — 3 = ^ Solución Se debe probar que si 0 < |x — 5| < 8 x + 3 x — 3 . _ 4 < £. Por otro lado, se tiene ix + 3 A —3(x — 5) 3 |x — 5 1 \x — 3o 1 x — 3 |x — 3| Si 8t = 1, entonces 1 1 0 < | x - 5 | < l = > 4 < x < 6 = > l < x - 3 < 3 = > - < ■ < 1 1 3| x — 5| £ =* ;------ 57 < 1 => ------ j r < 3| x - 5| < £ =* \x - 5| < - = S2 . ¡ x - 3 | |x — 3| 3, Por tanto, dado e > 0, 3 5 = mín = 1,82 = r ] tal que 0 < \ x - 5| < 8 x + 3 x — 3 3 | x - 5 | , , / £\ = T 7 T 3r < 3|j:- 5l < 3 ( 5) = E i , . i Ejemplo 8. Si f ( x ) —— —7=- compruebe que lim /( x ) = - 2 + Vx Solución 1 | 1 1 2 — Vx 41 “ 2 + Vx 4 4(2 + Vx) (2 - V x)(2 + \[x) 4(2 + Vx) 2 = | x - 4 | 4 ( 2 -i- v x ) 2 113 0 < |x - 4¡ < 1 => 3 < x < 5 => V3 < v x < V'5 = > v- 3 4 - 2 < V x 4 - 2 < V 5 - f 2 = > ——— —1— < 1 TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I 2 o) T o m a n d o ^ = 1, se tie n e (Vx + 2 )2 (2 + V3) 2 |x - 4| < \x - 4| _ < £ s¡ ¡x _ 4 | < 4(2 + V 3)2£ = á 2 4(2 4- Vx)2 4(2 4- V 3 ) 2 3 o) Finalmente, dado £ > 0, 3 8 = mínffij = 1 ,62 = 4(2 4- V 3 ) ‘ f } tai que 0 < |x - 4 | < 8 f W - ~ | 1| |x — 4| 4(2 4- V P f < £ Ejemplo 9. Pruebe auó lim (xJ + 6x" — x — 19) — —1. x-*-2 Solución 1°) |x 3 4- 6 x 2 - x - 19 - (-1 )1 = |x 4- 2 1|x2 + 4x - 9| 2o) Elegimos = 1, entonces 0 < 1x4- 2| < 1 => - 3 < x < - 1 => { _ 21 < 4 x _ 9 ,< _ 13 Sumando las dos últimas desigualdades, se sigue - 2 0 < x 2 + 4x - 9 < - 4 => |x 2 4- 4x - 9| < 20 => |x 4- 2 | | x 2 + 4x - 9| < 20 |x 4- 2| < £, si 1x4- 2 1 < — = S 3o) Por tanto, dado e > 0, 3 8 = mín (5X = 1 ,S2 = tal que 0 < |x 4- 2\ < 8 => |x 3 4- 6 x 2 - x - 19 - (-1 )1 < £ 5 — 3x Ejemplo 10. Demuestre que lim , ^ = 4. Solución |5 — 3x ; i - 2 3 ( x 4-1)1 1°) K\5rv-x- -iT-- ?=/ “- ¡ " It 554 x' +=s v7I 4- -I/ > ." ■ -7! ' =1 5Ix*4 +-7 1H 23 2 2 2°) Para acotar ---------- r se debe tomar un 8t < - , porque - es la distancia |5x 4- 7¡ s 3 entre el punto de aproximación —1 y la asíntota vertical x = —7 /5 . de manera que la asíntota no esté en el intervalo (—1 — — 1 4- 5j) (Fig. 3.4). 114 LIMITES ■2/5 — -7/5 -1-8, - 1+ 6 , Fig. 3.4 1 1 Si ó\ = - A 0 < |x 4- 11 < — D j 6 4 . - 5- < x < - - 3 => 1 < 5x4- 7 < 3 1 ¡5x 4- 7| < 1 2 3 1 x -f- 1 1 £ |5x + 7| < 23|x 4- 1| < £, si l* + l | < 2 3 1 £ 3°) En consecuencia, dado £ > 0, 3 ô = mín S2 = — J tal que 0 < |x 4 - 1| < <5 => -------- —4 = -nr------ — <•£ 5 — 3x A 23|x 4- 1| 5x 4- 7 15x4- 7¡ 1 — \x\ Ejemplo 11. Si / ( x ) = —------- , demuestre que lirn f ( x ) = 1. Solución Dado £ > 0 , |f i x ) - 1| = l - | x | „ - | x | - X |x| 4- x 1 4- X 1 4-X 1 + X Se observa que existe un valor absoluto dentro del valor absoluto que nos impide simplificar. Como los valores de x son próximos a - 1 / 4 , tomando un 8 lo suficientemente pequeño (8 < 1 /4 ) para que |x| = - x (Fig.3.5), se tiene: l / ( x ) - 1 1 = |x| + X -X 4- X l f X 1 4- X = 0 < £ TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I E JER C IC IO S I) Aplicando la definición de límite, demuestre los siguientes límites hallando el valor de 8 (8 > 0) para el e dado. 1) lim(5x — 3) = 12 , £ = 0,03 R. 8 < 0,006 2) lim (3x + 5) = —1 , £ = 0,012 3) lim x ¿ - 4 x — 2 = 4 , £ = 0,004 4) lim (7 x 2 - 20x + 2) = 5 , £ = 0,001 x-*3 5) lim 3x — 2x - 1 x - i x — 1 4 , £ = 0,015 4x - 1 6) l i m - ------ - = 2 , £ = 0,07 y_¿ 2x - 1 R. 8 < £ R. 8 < 0,005 Vx — 1 1 7) lim ------- — = - , £ = 0,013 x-»i x — 1 2 3x — 1 8) lim 3 3x z- ---- 2^5 = “ 5, £ = 0,001 R. 5 < 0,026 9) lim *^2 7x - 13 = 4 , £ = 0,01 10) lim - 14x = - 8 , £ = 0,1 JC-*4 lOx — 41 II) Aplicando la definición de límite, demostrar los siguientes límites: 1) Xl-i*m2 (3x2 - x - 2) = 8 2) lini(3x2 — x — 2) = 8 3) lim x - 3 x — 2 3 + 2x 8 4) l i m - -------= - v i s — x 9 5) lim V6 - x = 1 2x - 4 7) lim ----------- = —4 ' x— 4 5x + 23 6) lim X 4- 1 x - > ? 9 x - 6 0 3 x - 1 8) lim ------ x~‘1 Vx2 + 3 - 2 116 LIMITES 9) lim -------------- = - x — 2 3 o V 3x2 — 11 1 11) lim x — \Í2 13) lim 2 x + V 3 3x \ -21 15) lim x + 8 ¡x| 1 17) lim v x — 1 x~h* Vx + 3 = 1 19) lim M o 21) lim. I x + 1 3 x 2 + 1 7 x - ’M'Z X 4 + 1 23) lim ¿x x ^ o 63x - 1 X t 1 10) lim — — = 2 ■ f-1 V x 8x 12) lim = 0 14) lim x - o 64x — 1 x 2 + 2x + 2 i ^ o x 2 — 2x 4- 1 12 — x | 1 = 2 16) *li-m>i 3x — 1 2 18) lim x - 5 . 4 + x _ 3 x 2 — 9 4 20) lim 3x n 6x — 5n = 3 22) lim V 4 x 2 + 1 = 1 x-»0 24) lim íx j + 2 16 .1 x 2 25 4 x 2 -r 1 25) lim = - 5 x-*-i 3x + 2 x 3 - 15x - 4 27) lim ----------- ------ = 0 j r - 4 X — 3 29) lim 2 + x + x ¿ 2x + 5 ■= 4 13 + x + x 2 31) S i r T T ' 3 X2 + 1 33) lim ------- - = - 1 0 1 x— z 2 x + 5 26) lim S g n ^ x 2 - 1) 1 x->3 x + 4 7 Ix] -I- X 28) lim_—— -------r = l *W 2 3 + x - x ¿ v - 4 x - 3 30) lim --------- -— = - 3 } JC— 3 X + 2 Vx + 62 32) lim --------— = 2 X->2 X + 2 4x 34) lim ------ = 10 x->5X - 3 117 Antes de dar las propiedades de los límites, se enunciará una propiedad de los números reales. TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! 3.3 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Proposición 1. Si x G IHLj es tal que x < £ para todo e > 0, entonces x = 0. Demostración Como x > 0 = > x = 0 ó x > 0 . La posibilidad x > 0 no es posible porque, por hipótesis, x < £, V £ > 0. En particular, para £ = x se cumpliría que x < x, lo cual es imposible. Luego, debe cumplirse x = 0. Corolario. Si |x| < £ , V £ > 0 = * x = 0 Teorema 1 (Unicidad del límite) Si existe el límite de una función, entonces el límite es único, es decir, si l i m / ( x ) = Lí y l i m / ( x ) = Lz => L-. - l 2 x~-a x —a Demostración Sea £ > 0 (cualquier número positivo). Será suficiente probar que \L1 - L2\ < £, porque, en virtud del corolario anterior, — L2 = 0 => L, = L2. En efecto, por la definición de límite, existen ^ > 0 y 52 > 0 tales que Si 0 < |x - a| < 5, => |/ ( x ) - < - y Si 0 < \x - a| < S2 => |/ ( x ) - L2\ < | Luego, tomando 8 = mín{5,,52} y 0 < \x - a| < 8 se tiene: |L¡ - L21 = !(/., - / ( x ) ) + ( f ( x ) - L2)\ < |Ll - f ( x )| + |/ ( x ) - L2\ < ^ = £ ¿ L. Por tanto, Lx = L2. Teorema 2 (Conservación del signo) Si lim / ( x ) = L , existe una vecindad I x-*a B{a\ 8 ) tal que V x £ B(a; 8) A x ^ a, f ( x ) y L tienen el mismo signo. Demostración Como lim / ( x ) = Z-, para 0 < £ < |L| ,3 8 > 0 / V x G B(a; 5), x * a x —*a =$ L - £ < f ( x ) < L + £. Como £ < |L|, los números L — £ y L + £ tienen el mismo signo de L (si L > 0, ambos son positivos y si L < 0, ambos son negativos), entonces / ( x ) y L tienen el mismo signo. LIMITES Teorema 3 Si lim f ( x ) = L, existe una vecindad B (a; 8 ) y un número M > 0 X —*CL tal que / ( x ) < M , V x G B( a; 8) . con x í a . Demostración Como lim / ( x ) = L, dado £ > 0, 3 8 > 0 / V x G B(a; 8), x * a, se cumple x->a que | / ( x ) - ¿| < £. Pero | / ( x ) | — |L| < | / ( x ) — L| < £, entonces | / ( x ) | < |L| + £ . Por tanto, considerando M = \L\ + e, se tiene que |/ ( x ) ¡ < M, V x G B ( a ;5 ) , con x a. Teorema 4 S\ f y g son dos funciones tales que: a) / ( x ) < M => L — M > 0. Como lim / ( x ) = L y lim,g(xj = M, para £ - (L - M) / 2 existen ó\ > 0 y x —*c. ’ i52 > 0 taies que 0 < |x — a | < ó\ L — £ < / ( x ) < L + e Q < \ x - a \ < 8 2 = * M - £ < g ( x ) < M + e Tomando 8 = mínfáj, ó'2, r ) . si 0 < ¡x — a| < 8, se verifica M - e < g ( x ) < M + e = L - e < / ( x ) => g ( x ) < f ( x ) Ello contradice el hecho de que / ( x ) < g( x ) . Por lo tanto, L < M. Teorema 5 ( Teorema del sándwich) Sean / , g y h funciones tales que a) / ( x ) < g ( x ) < h ( x ), V x G B ( a ,r ) , c o n x ^ a b) lim / ( x ) = lim h{x) = L x->a x-*a Entonces, lim g ( x ) = L _________ 125______________________________________________________ Demostración Teniendo en cuenta b), para £ > 0, existen > 0 y 82 > 0 tales que: 0 < ¡ x - a ¡ < 5 1 = > ¿ - £ < / ( x ) < L + e ... (1) 0 < |x - a¡ < ¿>2 =» L - £ < /i(x) < L + £ ... (2) 119 Tomando S = mín{51( = * ¿ - £ < f ( x ) < g ( x ) < /i(x) < L + e => L - £ < g ( x ) < L + e => Ig(x') - L\ < £ Ello demuestra que lim 0 tal que l5 (x)| < M, V x £ B ( a ;r ) , con x * a Entonces, lim f ( x ) • g ( x ) = 0. x->a Demostración Sea £ > 0, de las hipótesis (a) y (b), existe una vecindad B (a; 8), con 0 < 8 < r. s tal que, V x e B(a; 8), con x =¡t a => 1/0)1 < —. M También se verifica 1 / 0 ) • 9 0 ) 1 = 1 / 0 ) 1 1 5 0 ) 1 < 1/0 )1 ' M < JM7 ■ M = £ En resumen, si O < \x - a| < <5 => | / 0 ) • 5 0 ) 1 < £• Por lo tanto, lim / O ) ■ g ( x ) = 0. x->a Ejemplo 12 Sean / y g dos funciones tales que 1 /0 ) 1 ^ \g{x)\, V x £ B(a-,r) y x- 7- a . Si xli—ma g O ) = O, demuest» re que xli—ma / O ) = 0. Solución Previamente, dejamos al lector, verificar los siguientes resultados: a) Si lim 1 / 0 ) I = O .entonces l i m / O ) = O (Ejercicio l(a )) x-*a x-*a b) Si lim / O ) = L, entonces lim 1 / 0 ) | = |L| (Ejercicio l(c )) x-*a x-*a Como O < | / 0 ) 1 < |< 7 0 ) |, V x £ B( a ; r ) y x =*= a, y teniendo en cuenta que xli—ma 0 = 0 = xli—ma|g(x)|, entonces, por el teorema 5, lim 1 / 0 ) ¡ = O => l i m / O ) = O I |iinplo 13. Supongamos que P (x ) - a x l + bx + c (a, b y c constantes) es tal que \ ax 2 + bx + c| < |x 3| , Vx £ IR . Pruebe que a = b — c — 0. Solución < 01110 O < l a x 2 + bx + c\ < \ x3\ v lim O = lim |x 3| = O, entonces, por el ^-♦0 teorema 5. se concluye que *li-m0 ( a x 2 + bx + c) = c = 0. Ueescribiendo (I) para x O, se tiene O < \b + ax\ < | x |2, V x £ IR. Aplicando el razonamiento anterior (dos veces), se demuestra que b = O y a = 0. U . l PR O PIED A D ES O PERA CIO N A LES DEL LÍM ITE I IMI I I S l iorcma 7. Sean g funciones tales que xl—ima / O ) = L y xli—ma g (x) = M. entonces: I) lim c = c , c constante 11) limjc/'(x)J = c l im /( x ) x—a Lx-*a J e l ,c constante m i lim [/(x) ± o(x)j = lim / ( x ) ± lim ^ O ) = L ± M x-*a z-*a x-*a iv) lim l/(x ) • 5 (x)j = lim /(x ) • lim ^O ) = L ■ M x -a x - a x - a 1 1 1 v) lim— — = - ------— = — , siAÍ * O x-a g( x) lim ^ O ) M x-*a / O ) li m / O ) L vi) Xli-ma -g7 O—)r = f l—im^—O) = - , si M * MO Demostración Solo se demostrará algunas de estas propiedades. lii) Como lim / ( x ) = L y lim g (x) = M , dado £ > O, existen 8t > O y 8Z > O x-a x—a tales que * £ O < ¡x - a¡ < <5X => |/ ( x ) - i i < - £ O < ¡x - aj < 82 =» \g(x) - L\ < - Tomando 8 = mín{5i, 52}, para O < |x - a| < <5. se tiene |[/( x ) + g (x )\ - [(L + Af)]| < 1/ 0) - L\ + 1 50) - M| c C- + | = £ Por tanto, lim [ / O ) + 5 O ) ] = L + M. 121 iv) Como lim g ( x ) = Ai, por el teorema 3, existen 8% > 0 y k > 0 tales que x —a \ g(x)\ < k y x e B(a-, Sx) y x * a ... (J> Dado £ > 0, por la definición de límite (suponiendo que L =£ 0), 3 S2 > 0 tal que 0 < \x — a | < ¿>2 =* |g ( x ) - M\ < Como lim / ( x ) = L. 3 53 > 0 tal que x->a 0 < \x - a | < S3 => | / ( x ) - L\ < ^ Para 8 = mín{<5j; 52:53} y 0 < \x — a\ < 8. se tiene 1 / 0 0 ■ f l W — L • M\ = |[ / ( x ) - L]g(x) 4- L[g(x) - M]\ < |f ( x ) - L\\g(x)\ + \L\\g(x) - M| < — • k + \L\ j ^ = £ En resumen, 0 < \x — a | < 8 => \/OO ■ g{ x ) — L . M | < £ En consecuencia, l i m / ( x ) • g( x) — L ■ M (para L =* 0). x-*a Cuando L - 0. la demostración es evidente, porque lím / ( x ) - 0 y (I) son las x->a son las hipótesis del teorema 6 y, en virtud a este teorema, lim / 0 0 ■ g ( x ) = 0 = L ■ M x-*a Corolario 1. Si limf i ( x ) = , 1 < i < n, entonces x->a a) lim [ /iO ) + / 20 ) + ••• + / „ W ] = Lx 4- L2 + ... + Ln x-*a b) lim [/t(x ) • / 2(x) ■ ... • f n(x)] = Lj • L2 ■ ... ■ Ln x-*a Corolario 2. Si l i m / ( x ) = L y n e Z, entonces l i m [ /( x ) ] n = f lim /( x ) l - Ln x - a x-*a J (si n < 0, L debe ser diferente de cero). Corolario 3. Si f ( x ) - a 0x n + a 1x n~1 + ... + a n ( a 0 , a x , . . . , an constantes), entonces lim (a 0x n 4- a 1x n~1 + ... 4- an) = a0bn + a 1b n~1 4- — t- a n x->b TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I " v ■ Teorema 8. Si l i m / ( x ) = L, entonces \i mnJ f ( x ) = nflim /(x ) = 'V I , donde x-*a x->a v . -\Jx->n L > 0 y n es cualquier entero positivo ó L < 0 y n es cualquier entero positivo impar. LIMITES 5 x 2 - lOx - 6 Ejemplo 14. Halle limx~* 2 X 3 - 10 Solución 5 x 2 - lO x - 6 lim (5 x 2 - lO x - 6 ) _ 6 lim ---------------------= ------------------------= — = 3 *-*2 x 3 - 10 lim (x3 - 10) - 2 x-*2 3 + 3 Ejemplo 15. Calcule lim ------ ----------- , x— 1 y] x 5 + 2 Observación 3 f { x) a) Si al tra ta r de calcular lim—— , se obtiene lim f ( x ) ~ 0 y lim g (x ) = 0 X~>ag(x) x-a x-a (no es pasible aplicar el teorema 7-vi), se dice que el límite es indeterminado (desconocido) y es de la form a 0/0. En este caso, se debe factorizar (x — a ) en el numerador y en el denominador, y luego simplificar el factor común para calcular el límite. b) En general, Ias form as indeterminadas son: 0 °o — , — , oo — oo , 0. oo 0 , 1“ y (o o )° 0 oo c) Para calcular un límite indeterminado se debe utilizar ciertos procesos o artificios que permitan eliminar la indeterminación, tal como veremos en ios siguientes ejemplos. 6x — 6 Ejemplo 16. Halle lim—:------------- * - i x z — 3x 4- 2 Solución Éste es un límite indeterminado de la forma 0/0. Por la observación 3-a), se debe factorizar x — 2 en el numerador y en el denominador. De esta manera, se tiene 6x - 6 6(x - 1) 6 lim — -------- = lim -------— ------— = lim ------- = - 6 *-*i x 2 — 3x 4- 2 *->i (x — l ) ( x — 2) ^ x-n x — 2 (La simplificación efectuada en (*) es válida porque al hallar lim / ( x ) se cumple x - l que x * 1) (— A- -----------1--2-----\ 2 — x 8 - x 3/ Solución Después de escribir la diferencia como una sola fracción, se obtiene la forma indeterminada 0/0 y se debe factorizar (x — 2) en el numerador y en el denominador. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I lim ( — ---------- ——'j x - > 2 \ 2 - X 8 - x 3 / lim ■ x 2 4- 2x - 8 ■ = lim ■ (x - 2 )(x 4- 4) x^ 2 (2 - x ) ( x 2 4- 2x 4- 4) x-*2 (2 - x ) ( x 2 + 2x + 4) (x + 4) 6 1 ~ Y 2 = ~ 2 - lim X -+ 2 x 2 4- 2x + 4 E je m p lo 18. Calcule lim ----- . *-*3 V4 - x - 1 Solución Este límite es de la forma 0 /0 . Efectuando una doble racionalización se obtiene l i m ^ + x ~ 3 - i j m + x ~ 3)(V6 + x 4- 3)(V4 - x 4- l ) x -*3 V4 — x — 1 ™ (V4 - x - l)(V 4 - x 4- 1)(V6~+X + 3) (x - 3)(V4 - x + l ) y fT -^ x + l 1 = lim-------- - ) ----- ~= l i m - ----- = - - *-*3 (3 - x)(V6 + x + 3) x-*3 V6 + x + 3 3 Observación 4. Para la racionalización es necesario recordar que: i) ( a n - b n) = (a - ¿ ) ( a n_1 + a n~2b + a n~3b 2 4-... + a b n~2 4- 6 n_1) A l factor a ”-1 + a n~2b + a n~3b 2 4- ... 4- a b n~2 4- 6 n_1 se le denomina facto r racionalizante. ii) ( a n 4- b n) = (a 4- b ) ( a n~1 - a n~2b 4- a n_3b 2 4-... - a b n~2 4- b n~x), si n es impar A l factor a n_1 - a n~2b + a n~3b 2 4-... - a b n~2 4- 6 n_1 se le denomina fa cto r racionalizante. V9x - 3 Ejemplo 19 Halle lim -— ----- V3x - 3 Solución El límite es de la forma 0/0. Para conseguir el factor común x - 3, se debe multiplicar el numerador y el denominador por V3x 4- 3 (factor racionalizante de V3x - 3) y por \ J ( 9 x ) 2 4- 3 V9x 4- 9 (factor racionalizante de V9x - 3). De este modo, tenemos LIMITES V9x — 3 _ . ( V9x - 3 ) ( V ( 9 x ) 2 -t- 3 V9x + 9 ) ( V H 4- 3) V3x - 3 ~ (V3x - 3)(V 3x 4- 3 ) ( V ( 9 x ) 2 4- 3V 9x 4- 9) (9x - 27)(V3x 4- 3) = l i m -------------- -----—— ----- r *~*3 (3x - 9) ( V ( 9 x ) 2 4- 3V 9x 4- 9 ) 3(V3x 4-3) 2 - lim ---------------- r = — *"*3 ( V ( 9 x ) 2 4- 3V 9X 4-9J 3 Vi 4-x2 - VI 4-x4 Ejemplo 20. Halle lim --------------r------------ • * K x - 0 X 2 Solución El límite es de la forma 0/0. Al efectuar la racionalización, empleando la fórmula a 4 - b 4 = (a - b ) ( b 3 4- a 2b 4- a b 2 4- b3, donde a = 7 ( 1 + * 2) 2 = V T T x 2 y b = V i 4- x 4). se obtiene V i + X 2 - V T T ? , 7 ( 1 4- X 2) 2 - V i + X 4 lim -------------- ;------------ = lim • -------------------------- lim (1 4- x 2) 2 - (1 4- x 4) 0 X 2 [ V ( l + * 2) 3 + d + X 2) V i 4 - X 4 4- V i 4- X2V1 + X 4 4- 7 ( 1 4 - X 4 ) 3] = lim 2 x ‘ * -° X2 [ V ( l + X 2) 3 4- ... 44-- 47/(n1 44-- Xv '4i ')í 33]] 1 4 - 1 4 - 1 4 - 1 2 Vx 4- 1 - 1 Ejem plo 21. Calcule l i m .. :— -■ 1 v x~*o Vx 4- 1 - 1 Solución El límite es de la forma 0/0. En este ejemplo, en lugar de usar una doble racionalización (para simplificar el proceso) se hará un cambio de variable. Como x 4- 1 aparece con los exponentes 1/3 y 1/4, reemplazamos x 4- 1 por y n , donde n es el mínimo común múltiplo de 3 y 4 (para eliminar los exponentes fraccionarios ) y obtenemos m. c. m. {3; 4} = 12 => x + l = y iz Dado que x - > 0 = > x 4 l - » l = > y i z - » l = » y - ^ l - Luego, V x + T - l y 4 - 1 (y - l ) ( y 3 + y 2 + y + 1) __4 Vx 4 - 1 - 1 y™ y 3 - i y™ (y - i ) ( y 2 + y + i ) 3 124 125 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! VX + 1 — 4Vx 4- 1 Ejemplo 22 Calcule lim ---, ----------------. at-4095 MX + 1 _ g Solución El límite es de la forma 0/0. Como 1/2, 1/3 y 1/4 son ¡os exponentes de x -r 1, el cambio de variable es x 4- 1 = y 12, pues m. c. m {2,3,4} = 12. De este modo, si x —> 4095 => x 4- 1 = y 12 -» 4096 = 212 => y -» 2. Luego, Vx 4- 1 - 4 V F + T y lim ___ ____ _______ = lim Ï - 4 0 9 5 V x T T - 8 4 y 4 lim • y 4 (y - 2) (y 4- 2) 16 y-*2 y 3 - 8 y ->2 ( y - 2) ( y 2 + 2y + 4) 3 6Vx 4- 6 - 4Vx 4- 7 Ejemplo 23. Calcule lim---------- --------------- . *->2 x z — 4 Solución El límite es de la forma 0/0. En este ejemplo mostraremos un artificio que permite resolver este tipo de límites. Se observa que cuando x -> 2, óVx 4- 6 y 4Vx -i- 7 tienden a 12. Para transformar el límite en la suma de dos límites indeterminados de ia forma 0/0. sumamos y restamos 12 en el numerador y luego agrupamos tal como se indica a continuación. , 6V x + 6 - 4 V x + 7 ( ó V x T ó - 12) + (12 - 4 V x T 7 ) h m ----------- -— ---------- = lim ---------------------- ------ --------------------- x->2 X" — 4 x-2 x 2 — 4 6 ( V x T 6 - 2) 4(3 - Vx + 7) = lim x-*2 lim • x-*2 i x 2 - 4 6(x - 2) 4(2 - xj (x - 2)(x + 2)[V(x + 6)2 + 2Vx + 6 + 4] (x - 2)(x + 2)[3 + Vx + 7] 4 (12) 4(6) 1 24 V 2 4- Vx 4* Vx — 4 Ejemplo 24. Calcule lim --------------------------. x-8 x — 8 Solución El límite es de la forma 0/0. Utilizando el artificio indicado en el ejemplo anterior, separamos en dos sumandos manteniendo siempre la indeterminación. Así, se tiene V 2 4- Vx + Vx — 4 lim --------------- -----------= lim x ->8 X — 8 a:-»8 7 2 + Vx - 2 Vx - 2 + x - 8 x - 8 - xli-ma V í - 2 V F - 2 (Vx - 2)(Vx2 + 2 Vx + 4) (2 + V2 + Vx) (Vx - 2 ) ( 3vx2 + 2Vx + 4) _5_ 48 i 26 LIMITES <1 + b Ejemplo 25. Calcule L = ali-m*b \ 'a + x + Vb 4- x - 2 J x 4- ^~2 v a 4- x — yjb + x Solución El límite es de la forma 0/0. En este ejemplo, la variable es a y las otras letras (fo y x) son constantes. Procediendo como en el ejemplo anterior, separamos la expresión en dos sumandos de modo que permanezca la indeterminación. L = lim a->b lim a-»ó Va 4- x - lx + a ; b V b T x - + y X 4- ■ Va 4- x — Vb + x Va 4- x — yjb 4- x i ( a - b)(V a 4- x 4- \'b 4- x) i( b - a ) ( v a 4 x + V i t x ) ( a - b) 2VÖ 4- X 2 y jb + X Va 4- x 4- J x + 2 ± b J ( a - b ) ^ V è 4-x + J x 4- a-f b 2 2 yfb + X 2\ib -r X V F - V i Ejemplo 26 Halle lim --------- *•*> 1 - V x Solución El limite es de la forma 0/0. En este ejemplo podríamos trabajar como en el ejemplo anterior, pero es más favorable hacer el cambio de variable x = y 60, donde 60 = m. c. m {5,4,3). Como x -> 1 =» y 60 -» 1 => y -» 1, entonces V I = lim V x2 - Vx y 2 4 - y 20 y-»i 1 - y 15 y-1 (1 - y 15) lim *-1 1 - Vx y 20( y - 1)(1 4-y 4-y 2 + y 3) y 20( y 4 - i ) = lim- = lim y-*i (1 - y ) ( l 4- y 4- y 2 4— .. 4-y14) 4 Î 5 E JER C IC IO S I) Demuestre las siguientes propiedades 1) I í m / ( x ) = 0 <=> li m |/ ( x ) | = 0 x —a x —a 2) l i m / ( x ) = L «=> lim f/(x ) - L] = 0 x-*a x —a 3) l im /( x ) = L => lim |/ ( x ) | = |L| x —a x —a 4) l im /( x ) = l i m / ( a + h) x —a x —h II) Indique un ejemplo de modo que 1) Existe l í m |/ ( x ) | y no existe lim /( x ) x —a x —a 2) Existe l im [ /( x ) + g (x)] y no existe lim /( x ) ni límc/(x) x —a x —a x —a III) En los siguientes ejercicios, si su respuesta es afirmativa, justifique; en caso contrario, indique un contraejemplo. 1) Si existen los límites l im /( x ) y lim [/(x ) + g (x )] , ¿existe lim g(x)? x —a x —a x —a 2) Si existe l i m / ( x ) y no existe ]im g(x), ¿existe lim [ /( x ) + g(x)]? x —a x —a x —a 3) Si existen los límites l im /( x ) y Iím [/(x ) • g( x)], ¿se sigue de ello que x —a x —a existe limgQe)? x —a IV) Supóngase que existe un <5 > 0 tal que si 0 < \x - a\ < S => f { x ) = g( x) . Demuestre que si existe lim /( x ) = L, entonces limgCx) = L. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I V) Calcule los siguientes límites [ x — 4 X -> 2 2 ) l i m / ( x ) , donde / ( x ) = *->i 5 , s i x = 2 x 2 + 5 x c2 - l si X < 1,1 R. 6 si X > 1,1 3 x 2 - 17x + 20 3) xü-m4 —4 x 2— — —25—x +— 36 R' 1 128 LIMITES 4 ) ,'Í?2 3x * + 3 * - 6 ~ T x ‘ - 1 5 5) lim —— - R. - i - i x 6 - 1 6 x 7 — a 7 7 6) lim —------ 7 R. - a x 3 — 2 x 2 - 4 x + 8 1 6 x-*a X3 — a 3 3 2 x 2" + 1 - 3 x ' 7 ) ¿l'“™*í 3o„x22nn — 5r. +, 2ñ Zx~-22n R ' 5 x 2 - (a - l ) x - a a + 1 8) l i m —:;---- -------—------— R. ------— x - a x 2 — (a — 2)x — 2a a + 2 3x - 6 3 9) l im .......... ....... R. - - x~*21 — V4x 7 2 x + 3 4 1 0 ) lim ........ ....... R. - - at— 3 V x 2 + 7 - 4 3 3 — V s + x 1 11) lim ------- — ~ R. - - x" 4 1 — v 5 — x 3 V x 2 — A \fx + 4 1 12) xü~m*s -----(T-x- -—--- 8--)--2- ---- R. T1T4T4 Vx - 8 13) lim — ----- R- 3 x-*64 Vx — 4 V 3 F - 1 7-=----- -, Vx - 1 3 Vx - 1 „ 4 14) lim — ----- R. V 2 *1" VX — 2 1 15) lim ----------- ------ R. — x-+8 x — 8 48 V5x + 3 - V3x + 1 2 16) lim -------—------------------ R. — Vx - 3 x t 2 15 2 - Vx — 1 17) lim -------- = R. — 3 1 - V 3 - v T ^ T V x T 7 - 2 V 2 18) lim , ----- = R. — *-*1Vx + 7 - v 8 3 129 I9 ) R 2 5 V í i Mx 4- 27 - 3 32 20) l i m- — — ------ R. — M x + 1 6 - 2 27 2Vx - 4 - 4 21) lim ------ R. 5 *-20 V x + 12 - 2 V 8 - x V6 22) lim ----------- R. — *^2 3x — 2V15 — 3x 12 V 9 x - 3 2 23) l i m— ------ R. - *-»3 V3x - 3 3 x 2 + VF=~2 - 4 V2 24) l i m— , ----------- R. - J L *^2 V 4 - x V 3 x - 2 V7 7 7 ^ 9 x 4 - 7 - 2 25) lim -------- 3 R. 1 *-*-3 2 - Vx + 11 |x 3 - 1| 26) lim------- — —------ — R. 3 x-»i |x - 1| 4- |x — 1 |2 x 2 + Vx - 3 - 9 1 27) lim R - V 9 - W 4 ^ 1 V5 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 5 x — 1 0 ___ V i — x + Vx + 3 — 2 28) lim ----- 3 ......... —----- R. 1 V x z - 3 x 4 - 2 2 x 3 - 5 x 2 - 2x - 3 1 1 29) lim — ----------- --------------- R — jt->3 4 x 3 - 13x2 4- 4x - 3 7 1 - V2x - 3 30) lim _________ R. - 1 2 * " 2 2 - V9 - V2x - 3 1 - x 2 1 31) limTT- -------T5— 7------\ n , 77~ , 1 au >/ 0u yv au Tí *l x Rrv.. _ *-1 (1 + a x ) 2 - (a 4- x ) 2 1 - a £ / 2 2 \ 32) lim f ---------------—---------------) *->2 V3x — 6 2 x 2 — 5x 4- 2 / x 4 R- 9 ! 30 33) lim LIMITES x"- - a* r, a > 0 34) lim x—*a 2 x z — a x — a 2 ‘ 4 x 4 4- 9 x 3 4- 3 x 2 — 5x — 3 35) lim x — i 3 x 4 4- 9 x 3 4- 9 x 2 4- 3x x 3 4- 6 x 2 4- 9x x— 3 x 3 4- 5 x 2 4- 3x — 9 V x 4 - a 4 - ö - V a 4 - b 36) lim ------------------------------, a > 0, b > 0 x - o x 37) lim V/)2 - x - V b r x - a 38) lim- *->3 Vx 2 — 2x 4- 6 — V x 2 4- 2x — 6 x 2 - 4x 4- 3 ni— n /— \ X - Va 39) l i m------------- , a > 0 x-'o. x — a / ( 4 4- h ) - / ( 4 ) 40) lim h-0 n 1- x 2 4- 4 41) l i m/ ( 1 + k) f i 1} , / ( I - 2x) = 8 x 2 h-*0 h 42) lim h-»0 43) lim h-*0 V h F + ï 4- V W T Ï + h 2 - 2 /i — /iV/i 4- 1 V/13 4- 1 4- V/l5 4- 1 - r h 3 - 2 44) lim - x->2 /i - h \ ih 2 4- 1 V 3x2 - 8 - xV x 4- 6 4- x 2 - 2 x 3 - 2 x 2 4- x - 2 45) iim V—x 4 - 6 - 3 46) lim a-*b x~’~ 3 x 2 — V—x — 2 — V x 2 — 1 4- 2x V x 2 4- 2ax 4- a 2 4- ^ x 3 + a ^ ° - 2 x - b Va -t- x - Vx 4- fa 2 R' 3 R. R. R. 1 R. -■ 2 V a 4- 6 1 2 \¡b 2 1 R' ~ 3 R. n ’\Jan~ í 1 R' 50 R. - 8 R. 8 R- ’ I 29 R' 30 R. 1 18 R. 2vT T x ( 1 4- 9 x 2) 9 Í 2 131 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I 47) lim 7 a - b 3I , , ¿ - a . . * 2------yjx + ~ r " „ V ( b + x j 2 (9x + 4) o i- - . . q , ' R- ñ a~*b y/a + x — y/x + b 12x 2 JO, / 4 - x 2 \ f y / x - 1 - 1 \ 6 m \ 3 - y/x2 + 5 / \ ' V F r I - l ) R' n (3 - J 3 S^nCx3 + 6 ) - 2x)X¡2Q y/x2 + 1 3 - 1 9 6 49) lim --------1------- X—-6 V x+~6 2 4 + J | x - 2 | - 4 g J *9 vr7x — 20 + 5 S g n (x z — 8 ) |x - 3 | 2 + 2 6|x + 3| - 26y/yf3x + 33 58) lim ----------------- X -* 3 3 4 - 2 Mx 2 + 15x - 6 R. - 64 V I y/3x2 + x + 4 + Vx2 + 5x + 1 0 - 6 x 2 506 50) lim ------ ; r............----------------------------------- R. ^ 7- ^ y ¡ y / x T 3 + 6 + y / x T 8 - 5 x 2 3 7 1 V 5 x 2 + 7 + Vx4 + 9 - 8 2652 51) lim 3 ■ = ----- ——— ----- R. *~>2 V V x2 + 5 + 9x + 6 + Vx + 2 - 5 29 V ( x 2 + l ) 2 - 2 y/2x2 + 2 + V4 V4 52) lim ---------------- -------— ---------------- R. — *-*i (x — l ) 2 9 Vxt i T + 4 1Vx ^ T - 1Vx T7I + 4 3584 53) lim - 77= ------c-- — 77= ------- R. — —----- *-*° Vx — 1 — 5Vx — 1 + Vx - 1 - 3 4719 V x T T - 3 V F T T + 2 135 54) lim Ts- — :— rr - , , ------ R. - —— * - 0 Vx + 1 + Vx + 1 - 2 43 x V x 2 + 5 — x Vx3 + 3 x 2 + 7 + 4x - 2 520 55) lim ------------------------ ----- -------------- R . ------- —- *~*2 2 x — Vx3 + 3x + 2 9 V F + 3 v x - 3x - 1 27 56) lim --------— ------ T7= r—— R. — x + 3yfx - 3 y fx 2 - 1 8 rr7N |x + 1 | 3 + |x + I x / 8 ] | - y / v f ^ ï + 2 235 57) lim - 7 R. - 6 9 LIMITES | l / 5 y lOOx + 2 S g n ( 16 - x 4) | + V x 2 + 2 - x + 6 136 59) lim ----------------------- --------------------------- R .-------- ^ “ 5 y/ x 2 + V—5x + 6 — 6 1 8 9 60 Hm ~ 6 4 ) ( 9V x ^ 3 - l ) ( V 3 x - 4 + V x2 + 9 - 7) 294 6 0 ( 2 - V x T 4 ) ( 3V F r 3 - l ) (7 - Vx3 - 15) R' 5 + 4x - x 2 + 31 + 7 |3x - 21| + 5 - 2 s 61) lim-51--------------------— -.... ............................ R . - I----- V x 2 - 9 V Ï Ô X + Ï y¡405 ’ V5x - 1 0 \ / J 2 + V 8* / 5 - 2 \ V5 62-) i ^20 V2V5 - VxJ \ x 2 — 400 ) R' 400 x 2 — mx + 3x — 3m 63) Si / ( x ) = ---------------------------, halle los valores de m, de modo que x — m lim / ( x ) = m 2 - 17. R. m - 5 , m - —4 x — 2 a x + ax^ 2 ax + x2 sabiendo que a > 0. R. a = 2 64) Si / ( x ) = ------) -s-u-**- --I --—----- y^ lv i.m1/(x ) = 2a — 5, halle el valor de a, / ( x ) 5 (x) / (x) 65) Si lim------- 7 = 4 y lim -------- = —6, calcule lim ------. R. —1 *-»1 1 — x s x~*\ 1 x X_>1 5 (x) / ( * + 2 ) n 5 ( x + 2 ) / ( x ) hm -___ ;----- = 8 y h m —, .......... = 3 , calcule h m ------ . x - - 2 y / - 2 x - 2 x— 2 xz - 4 *->oc;(x) / ( a + x) ------- g(a-t-x) , lim —= = -----;-------= 12V£> + x y lim . , — - = Q I v^2 a->D Va + x — y/b + x a"’b y/b + x — yfa + x =4 f( a + b + x) halle l im—------7------- R.—2 n -o g (a + b + x) x2 — 1 68) Si lim— -— ---- — = L ï 0, calcule el valor de a + b. R.—2 *-1 a x2 + 2 x + b V x - 1 Vx + 1 - 1 1 69) Si l im— ----- • = L í 0, halle lim ----- R. — *-*1 x - 1 *-*0 V x + T - 1 2 L 70) Sean rj < r 2 las raíces de la ecuación x 2 — 2px + q2 = 0, con p,q E R + y p > q. Calcule los límites: a)^ l1i- m r2_ r, i= RD -VÍ 8Q p- bL\) 1h- mP---^---- -Q---2- Ro .- 1, c)s hm -P--r-2-------í--rX R. 1 q-v y/p - q 1-p prx - q ¿ r-*p prx - qr2 133 Cuando se calcula Hrn / ( x ) = L, el problema se reduce a encontrar el número L al cual se aproximan los valores de / ( x ) cuando x tiende hacia a, tanto para valores menores que a (por la izquierda de a) como para valores mayores que a (por la derecha de a). Consideremos la función f ( x ) = S g n ( x ) cuya gráfica se muestra en la figura 2.26 (Capítulo II). Se observa lo siguiente: i) Si x se aproxima a 0 por la izquierda, f ( x ) se aproxima a - 1 . En este caso, se dice que —1 es el límite lateral de / ( x ) cuando x tiende a 0 por la izquierda, y se escribe lim f ( x ) ~ - 1. Af—*0~ ii) Si x se aproxima a 0 por la derecha, f ( x ) se aproxima a 1. En este caso, se dice que 1 es el límite lateral de f ( x ) cuando x tiende a cero por la derecha, y se escribe lim f ( x ) = 1. 0- f ' En general, se tiene las siguientes definiciones: Definición 3. Sea f una función definida en el intervalo (a; c>, con c > a. Se dice que L es el límite lateral de / ( x ) cuando x tiende hacia a por la derecha, y se denota por lim f ( x ) = L ó / ( a +) = L (Fig.3.6), si x->a* V c > 0, 3 <5 > 0 / 0 < x - a < 5 = > ¡ /( x ) - L\ < e Definición 4. Sea / una función definida en el intervalo (c; a ) , con c < a. Se dice que M es el límite lateral de f ( x ) cuando x tiende hacia a por la izquierda, y se denota por lim / ( x ) = M ó f ( a ~ ) = M (Fig.3.6). si x-*a~ ° 7 V í > 0 , 3 ( 5 > 0 / 0 < a - x < ( 5 = > | / ( x ) - M\ < s TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1 3.4 L ÍM ITES LATERALES 134 Para el siguiente teorema es requisito que sea factible el acercamiento hacia a por la derecha y por la izquierda. LÍMITES Teorem a 9. lim / ( x ) = L lim / ( x ) = L y lim / ( x ) = L x->a x->a~ x-*a+ En otras palabras, existe límite de una función si y solo si existen los límites laterales y son iguales. __________________________ __ Observación 5 1) En el caso de que es posible acercarse hacia a por la izquierda y por la derecha, lim / ( x ) no existe'. x-*a i) Cuando uno de los límites laterales no existe ó ii) Cuando los límites laterales existen y son diferentes. 2) Cuando la función tiene diferentes reglas de correspondencia para x < a y para x > a , para hallar lim / ( x ) es necesario calcular los correspondientes límites laterales. ' x 2 — 3 , si x > 1 1 si x = 1, calcule lim g ( x ) , si existe, y trace ' x - » l . - 1 - X , s i x < 1 Ejemplo 27. Seac/(x) su gráfica. Solución La función g ( x ) tiene diferentes reglas de correspondencia para x < 1 y para x > 1. Por la observación 5, es necesario calcular los límites laterales. lim o(x) = lim ( - 1 - x) = - 2 A lim o (x ) = lim ( x 2 - 3) = - 2 x - \ ~ X->1- * -* l+ *-*1 Puesto que los dos límites laterales existen y son iguales, entonces H m ^íx) = - 2 . La gráfica de la función se muestra en la Fig. 3.7. |x + 3| Ejem plo 28. Sea h( x ) = a) Halle lim h(x). b) Halle lim /i(x). x~-3+ c) Trace la gráfica de h(x). Solución (x + 3 , si x > - 3 , Como |x + 3| = | ^ + 3) ^ s j I < _ 3 . tenemos -C * + 3) 1 a) lim h( x) = lim — r - ’ x->-3~ x— 3~ 2(3 + x) 2 135 ( x + 3 ) 1 b) lim h( x ) = Iim v \ = - at— 3+ a:-v- 3 + 2 ( 3 + X ) 2 De a) y b), se concluye que no existe lim h( x) (los límites iaterales son x— 3 diferentes) c) La gráfica de h ( x ) se muestra en la fig. 3.8. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! Ejemplo 29. Sea /i(x) = a) Trace la gráfica de h ( x ) 4 — x 2 , x < 2 2, 2 < x < 5 \x - 5 | , x > 5 b) Calcule lim /i(x) y lim h(x), si existen. x->2 *->5 Solución a) La gráfica de h( x ) se muestra en la fig. 3.9. b) Para calcular los dos límites, es necesario hallar los límites laterales en cada caso. lim h( x ) = lim (4 — x 2) = 0 y f—»2“ lim h ( x ) = lim 2 = 2 X~>2 r -* 7 ~ X -> 2 + Xr--»*?2 + Como los límites laterales son diferentes, no existe lim h(x). x-*2 Análogamente, lim ft(x) — lim 2 = 2 y lim h{x) = lim \x — 5| = O X -* S ~ Vx-->.55 + + -- r + En conclusión, no existe lim h(x), pues los límites laterales son diferentes. jr->5 136 LIMITES E'j emplo 30. Calcule Xl-i.m0 + Vb + Ve - Vx + b - Vx + c --------- , s i b , c > 0 . V i Solución El límite es de la forma 0/0. Separando en dos sumandos y manteniendo la indeterminación, se tiene VF + Ve - Vx + b - Vx + c l i m ------------------- —----------------- = lim x-*0+ Vx x~>0 Vb - Vx + b Ve — Vx + c + = lim x->0+ -xVx + ■ - x V x x(VF + Vx + b) x(Vc + Vx + c) Vx = 0 + 0 = 0 Vx [ 1 \ n 4-x2 ~ 16 ) Solución lim x x->0 Y ~ 2 ~ 16 = l i m— V i - 6 4 x 2 \ x L x->o2|x| !X SI X „ u_ , calculando los límites laterales, obtenemos - x , si x < 0 lim — V i " 6 4 x 2 = - y lim — — V i _ 6 4 x 2 = — - x->o+ 2 x 2 * - o - 2 x 2 Luego, no existe lim x • I— - - 1 6 . . 4 x 2 Ejemplo 32. En una circunferencia de radio 4, Z(d) y L(d) son las longitudes de dos cuerdas que distan del centro d y - (4 + d) respectivamente, donde 0 < d < 4. L(.d ) Halle lim - — d-4" /(rf) Solución Una representación gráfica del problema es la que se muestra en la Fig. 3.10. ^ = V l 6 - d 2 => Z(d) = 2 V l6 — rf2 16 - (4 => ¿ ( d ) = V 64 - (4 + d ) 2 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN Luego, lim j ~ r = lim ^ (4 + - iim 1 |(4 - d ) ( d + 12) V2 2 ^ 1 6 ^ - J T 2 ^ d ) ( d + 4T = T - Fig. 3.10 E JE R C IC IO S " Ö Ä * " “ * ,ra“ 8 r á t o de la »' " - ¡ t e 1) f i x ) = x + |1 - x ¡ X 2 + l i) Halle lim /(x ). x->0 ii) Halle lim f i x ) . R. 1 R 2 2) f i x ) = * < 2 - 2x , x > 2 ' Halle xli-m2 /Yx'). R. 4 3) gix) = '3 + x 2 , x < - 2 0* x — —2 . Halle ¡im g i x ) . 11 ~ x 2 , x > - 2 *~~2 R. ( x 3 - 2 x 2 - 5 x + 6 A' f i x ) = x - 3 Vx + 1 - 1 x + 2 ' si x < 3 si x > 3 Halle lim f ( x ) . R. a 138 LIMITES x - 5 x > 5 5) gi x ) = ^2 ^ 5 - ^ nr • Halle limg(x). x 2 - 12x + 35 x - s aK J ----x-- -—-- 5=------ i x < 5 (6x - x 2 , x < 2 6) hi x) = 16 , v2xz — x — 3 , x > 2 x — 2 . Halle lim /i(x). x -2 7) hi x) = 1 - x 2, x < 1 I 1, ol 1 < x <. 2n . Halle lim h ix ) y lim hix). x ~ * l X -* 2 \X - 3| , X > 2 II) En los siguientes ejercicios, halle el límite indicado, si existe. 3V x — 1 — \¡x — 1 \ ( x 312 — 1 + Vx — 1^ 1) lim J *V --. 1i ++ \ 3 x 2 - 3 + 3V x ^ I Vx2 - 1 R. V2 Vx + Vx — 1 — 1 2) l i m --------- - ....... .......... X^l* yjX2 _ ! V2 R’ 2 3) l imVl *l + I3x] + 4 r . a 4) lim Vl*l + [3xJ + 4 R. V 5 4 5) lim 7 1 9 + x 2] x->0 R. 3 6) lim x-»l 7) lim X -> 1 x 3 - x 2 + 3 x — 3 x 3 - x 2 + 3x - 3 x - 1 R. 3 R. 4 8) limx-> 2 9) lim x-4 z' - 2 x z - 4x + 8 |x - 2| 2 [ x 2 + l]I + |x + 2 | - 2 Ï3x + 21 R. 0 R. 4 + V2 139 10) lim [x 2 - S g n ( \ x 2 — 1 j — 1)] R j X-»\J2 IV- 1 TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I U ) ^ - [ ^ - ^ n d ^ - l l - 1)] R 5 12) lim [3x + S g n ( \ x 2 — 1| — 1)] R 0 13) J i m [x2 + 5 + S g n ( \ x 2 - 1| - 1)] R 3 14) lim x 2 || 3 15) lim *-6 [2xJ + 10 R- 3 1 2 - Ü X / 3 J O [3x1 - 10 R- - 16) ]im 5 ^ x ~ 2 + 3V2 - x + 2V2x - 1 + 6 x 2 - 6 R. 14 17) iim 5Vx + 2 - 4V -1 - 2x + iJ T T lc - 2 y ^ l - 2x + 5x + 3 --------------------------------- R .- 1 1 18) ,i m ^ , - 2 -y ^ v F + , 3 V x - 3 x 1 x—V (x - l ) 2 R 9 11Q9), l i m -V------9--x--+----V---x-----2-- _ ,7 *— 1T X + 6lR - - l & j 3M . r~-------- \ ^ 7 1- V3 - X 20) lim — n 1 *~*3 y j V S g n í x - 1) - x 2 R. — V 6 O | LO 3.5 LÍM IT E S AL INFINITO Definición 5. Sea f : (a; 4-00) -> K y L 6 E. se dice que Z, es el límite de / ( x ) cuando x tiende a 4-oo, y se escribe *-l♦i m+ 0 0/ ( x ) = ¿, si V £ > 0 , 3 N > 0 / x >I V=? | / ( x ) - ¿1 < £ (Fig. 3.11) Definición 6 Sea g:(-co-, a) -> R y L 6 IR , se dice que L es el límite de g ( x ) cuando x tiende a —00 y se escribe *—lim-00 g( x ) = L , si V £ > 0 , 3 M > 0 / x < - M = > |.9 ( x ) - ¿ | < £ (Fig. 3.12) LIMITES La definición 5 tiene la siguiente interpretación: cuanto más grande es el valor de x, la diferencia entre / ( x ) y L es cada vez más pequeña En otras palabras, f ( x ) se aproxima a L cuando x se aleja hacia la derecha ( ver fig. 3.11). En el caso de la definición 6 , g ( x ) se aproxima a L cuando x se aleja hacia la izquierda (ver fig. 3.12). Proposición 2. Si n es un entero positivo cualquiera, entonces 1 1) *-l>i m+ o o —Xn = 0 1 ii) lim — = 0 X - - 0 0 x Demostración i) Demostremos para el caso n — 2. 1 Dado £ > 0 , 3 N = — > 0 / x > N => V £ 1 i 1 1 x 2 ! x 2 1V2 E' 1 P o r t a n t o , lim — = 0 03 X*' 141 TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Proposición 3. Sean f y g funciones definidas en ( a ; + 00) y (b]+ 00). respectivamente. Si lim f ( x ) = L y lim g ( x ) = M, entonces X-* + oo x —-ce a) lim [ c / ( x ) ] = c lim f ( x ) = c L, c es constante 3T—* + CO X-»t-CO b) lim [ / ( x ) ± ^ (x )] = lim / X-*+oo X->+00 ( x ) ± X—lim+ 0 0g (x ) - L ± M c) lim [/ (x) • g( x ) } = lim / ( x ) • lim g{ x ) = LM X -' + co x —> + CO * - , + 00 d) lim *-> + 00 ■/(*) g( x) lim / ( x ) i *-♦ + 00 • . , . r. Tli-m-- --g-(TxT) 7M7* si M i t O Observación 6 1) Cuando x -> —00, se obtiene propiedades similares a las de la proposición 3. 2) Cuando se calcula los limites al infinito de una función racional, se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x del denominador, y luego se aplican los resultados de las proposiciones 2 y 3. como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 33 Calcule los siguientes limites: x 3 x 2 — 6x + 2 9 — 7 x + 12x4 9x + 4 a) x-i+co x 2 + 2x — 3 b) Jx»—m-_00- ----4. +, 5 x 6 — c) x-l»im+o.o 7 — 5x Solución a) Teniendo en cuenta lo indicado en la observación 6, dividimos el numerador y el denominador entre x 2 (la mayor potencia del denominador). De este modo, se tiene 3 x ‘ - 6 x + 2 = 3 - f + j , _ _ J . m ( 3 - ^ | , ) 3 — 0 + 0 x 1 + 2x — 3 « 5 ? - 1 + ¡ _ 3 l l m ( 1 + | 3 1 + 0 — 0 X X x-*-*-co X X b) En este caso, dividiendo el numerador y el denominador entre x 6 obtenemos 9 7 , 1 2 l,m -9- -—-- --7-x-- +_ _1-2-x-- -- iim Z e - Z■s*--+---Z- -z - -------0-----0--- -+-- 0--- o x — 00 4 + 5x6 x - ^ - x _4^ 5 0 + 5 x 6 c) Dividiendo el numerador y el denominador entre x, se tiene 9x + 4 9 + í lim Í9 + £ ) 9 + 0 9 x-l.i+ma o -7— - —5x = x-l^i+ma . ----- 15 , ” /- -----5=\- = -7-----0-- = -7 7 - | lim ( 7 - f ) 7 X x -* + c o \ XJ 142 LIMITES 3.6 LÍMITES INFINITOS Sea f una función definida en un intervalo abierto 1 que contiene al número a (a puede o no estar en el dominio de /) . Definición 7. Se dice que el límite de / ( x ) es +co cuando x tiende al punto a, y se denota por lim / ( x ) = + 00, si x —a V K » 0, 3 6 > 0 / 0 < | x - a | < 5 = > / ( x ) > K (Fig. 3.13) Definición 8. Se dice que el límite de / ( x ) es -0 0 cuando x tiende al punto a, y se denota por lim / ( x ) = - 00, si x-*a V M » 0, 3 6 > 0 / 0 < | x - a | < < 5 = > f ( x ) < - M (Fig. 3.14) Fig. 3.13 Fig. 3.14 En el caso de los límites infinitos, también se define los siguientes límites laterales: a) lim / ( x ) = + 0 0 b) lim / ( x ) = + 0 0 x-*a+ x-*a c) lim / ( x ) = + 0 0 d) lim / ( x ) = - 0 0 x-»a x->a+ Observación 7 1) Si l i m f ( x ) = + 00, significa que los valores / ( x ) se hacen arbitrariamente x-*a grandes (o / ( x ) crece sin limite) cuando los valores de x se aproximan hacia a. 2) Si lim / ( x ) = -oo, significa que los valores / ( x ) se hacen arbitrariamente x-*a "infinitamente negativos” (o / ( x ) decrece sin límite) cuando los valores x se aproximan hacia a. 3) En el caso de los límites laterales, solo hay que agregar que la aproximación hacia a solo es por un lado. 143 a) JÍl? + 7 = + 0 ° b) lim - = —oo * u X x—*0~ x Solución 1 1 1 a) Dado fe > O, 3 5 = — > 0 / 0 < x < S = > - > - = k k x S Por consiguiente, lim -1= +oo *-o+ x b) Dado fe > O, 3 5 = i > O / - . 5 < x < O => i < - - = - f e k x 5 Por tanto, lim — - —00. x-*0- X 1 El gráfico de / ( x ) = - se representa en la figura 3.1 S. TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Ejemplo 34 Pruebe que Proposición 4. Si n es un entero positivo, entonces: i) lim — = +oo ¡n lim — = í -0 0 ' si n es imPa r x n x^>q- x n ( + 0° , si n es p a r Como casos particulares de esta proposición podemos indicar ios siguientes límites: Definición 9. Sea / una función cuyo dominio es D. El conjunto D en a) y en b) contiene a un intervalo de la forma (a; +oo); en c) y en d) contiene a un intervalo de la forma (-oo; a)). Con estas condiciones se define: a) lim / ( * ) = +0° « V Í » 0 , 3 M > 0 / i > M => /O O > K (Fig. 3.16) X-»+oo b) lim /(% ) = -o o <=» V tf » 0,3 M > 0 / x > M => f ( x ) < - K (Fig.3.17) X - í + c o c) lim f ( x ) = +oo « V K » 0 , 3 M > 0 / x < - M => f ( x ) > K (Fig. 3.18) X - * - c o d) lim /O O = -o o « = > V K » 0 , 3 M > 0 / i < - M ■=$ / ( x ) < - K (Fig. 3.19) X - > - c o LÍMITES I II definición ()(a) significa que para los valores de x bastante grandes (positivos), los valores correspondientes a / ( * ) también se hacen bastante grandes (positivos). Las otras definiciones pueden ser interpretadas fácilmente. 145 Ejemplo 35. Pruebe que lim x - +00 y ]¡m x = -o o . x-* + co a:-»-CO Solución Sea K » O, para M = K se tiene que s i x > M => x > K. Luego, lim x = + 00. X-> + co En forma análoga, dado K » O, 3 M = K / x < - M => x < - K . Por tanto, lim x - - 00. X -»-00 Observación 8 1) En lo que sigue, se escribirá l i m / ( x ) = 00 si lim | / ( x ) | = + 00. Esto x-»a significa que el valor absoluto de / ( x ) supera a cualquier K > O, cuando x se aproxima hacia a. 2) En particular, si una función f ( x ) es tal que sus dos límites laterales en el punto a son límites infinitos "de signos diferentes" (uno de los límites es +00 y el otro es —coy, escribiremos lim / ( x ) = 00. x-*a 3) 7eniendo en cuenta que los símbolos + 00, —00 y 00 no son números reales ninguno de los límites “infinitos” existen. El término "existe lím ite” se utiliza solo cuando el ¡imite es un número real. Ejemplo 36. Compruebe que lim - = 00. x -O X Solución TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 1 1 Como l i m - = + 0 0 y l i m - = - 0 0 => lim X - 0 + X X-O+X *-.0 1 = + 00. Por tanto, lim — = 00. *->ox La siguiente proposición presenta cuatro propiedades que permiten calcular los límites infinitos. Proposición 5 Sea a un número real tal que lim / ( x ) = O y lim q( x ) = c, donde *-*á x-*a i) Si c > O y / ( x ) -> O a través de valores positivos =» lim = +oc. ii) Si c > O y / ( x ) -» O a través de valores negativos => lim — ^ = -0 0 *-*“ f ( x ) iü) Si c < O y / ( x ) -» O a través de valores positivos => lim —^ = -0 0 . Jt- >u / ( * ) iv) Si c < O y / ( x ) -> O a través de valores negativos => l i m ^ = +oo. — / ( * ) 146 En la siguiente proposición se presentan otras propiedades que se utilizarán para calcular los límites infinitos. LÍMITES Proposición 6. Scan / y g dos funciones. a) Si lim f i x ) = ± 0 0 y lim g ( x ) - ± 0 0 => lim ( / ( x ) + g ( x ) ) = ±co a ' X - ’ + 'X' Jt->±00 AT-< + 00 lim ( x-*±co / ( x ) • g ( x ) ) = + 00. b) Si lim f { x ) - L y lim g { x ) = ±co =» lim ( f ( x ) + g ( x ) ) = ±co. ' X -* ± o o X->+00 x-*±co c) Si X-*l±i0m0 f { x ) = L. L > O, y X—l*i ±m00 #(x) = ±00 => *-*l±im00 ( / (x ) • g( x) ) = ± 00. d)7 Si x-l±im°o f i x ) = L, L< O, y Xli-*m±o os (x ) = ±00 => Xl-i*m±o o(/(x ) • 3 OO) = +°°- e) Si X-.+li0m0' f i x ) = +00 xy-> li±mco g ( x ) = ±00 => limX -<(±fo(ox ) ■ g ( x ) )= + 00. f i x ) n Si lim f i x ) = L, L constante, y lim g( x) = ±00 => hm1 —— 1 x-±°° x-*+oo x-> ±cog(x) : 0. La proposición 6 se puede resumir en el siguiente cuadro (fe es constante): i) k + ( + 00) = +00 Ü) Ä- + / s 1 8, 11 1 8 iii) (+ 00) .+ ( + 00) = +00 iv) ( - c o ) + ( - 00) = -0 0 V) ( + o o ) ( + o o ) = +00 vi) ( —o o ) ( —00) = +00 vii) ( + o o ) ( —00) = —00 viii) fe ----- = 0 + 00 + 00, si n es p a r positivo ix) ( —° o ) n = ^-00 , si n es im p a r positivo X) II c/— \ 8 +, +00 , n e Z + + 00, si fe > 0 X¡) /Ä—-s + II ,—oo, si fe < 0 —00, si fe > 0 xii) k ( - 00) = ,+ o o , si fe < 0 147 Ejemplo 37. Calcule lim / ( x ) , lim f ( x ) y lim /(x ), si f(x ) = —----------7 . x - l~ x - l + x - 1 2 — X — X 2 Solución Al evaluar / ( x ) en x = 1, se observa que tiene la forma 4/0 (el límite del numerador es 4 y el limite del denominador es 0). Aplicando la proposición 5, se puede concluir que los tres límites son infinitos. Para determinar el signo de infinito (+00 ó — 00), factorizamos el denominador para determinar si se acerca a 0 por valores positivos o por valores negativos. De este modo, tenemos i) lim (3x3 + 1) = 4 > 0 X - * l ¡i) lim (2 - x - x2) = lim (l - x)(x + 2) = 0 x-*l x->l Para x < 1 (muy próximo a 1): 1 — x > 0 y x 4- 2 > 0. entonces lim_(l — x)(x 4- 2) = 0+ (se aproxima a cero a través de valores positivos) Para x > 1 (muy próximo a 1): 1 — x < 0 y 2 4- x > 0, entonces lim_(l — x)(x 4- 2) = CP (se aproxima a cero a través de valores positivos) Entonces: 3x3 + 1 / 4 \ TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN i 3 x 3 + 1 oX / 4 \ a) lim 7------———— — = 4-00 (1 - x)(2 4 x) \ 0 +i 3x3 4-1 / 4 \ b) lim 7------—----------- — = —00 (1 — x)(2 4- x) V0- / 3x3 4- 1 c) De a) y b), se concluye que lim - 1 2 — x — x 2 Ejemplo 38. Halle 3x 4- 1 V 1 5 - X 2 a) lim —7---------- - b) lim --------- -— x-*3 ~ X — X — 6 X-+4+ x — 4 Solución a) El límite es de la forma 10/0. Aplicando el método anterior, se tiene 3 x 4 - 1 3 x 4 - 1 / 1 0 \ lim —------------ = lim x^3~ x 2 — x — 6 x^3~ (x - 3)(x 4 2) f f l - b) El límite es de la forma —1 /0 . Utilizando el argumento anterior, obtenemos V l 5 — x 2 / —1\ lim --------- -— I —— ) = -0 0 *-*4+ x —4 V0 + / 148 En la siguiente observación se mencionan dos propiedades que son importantes en el cálculo de límites. LÍMITES Observación 9. , Si P( x ) = a 0x n + a 1x n - 1 + - + a n es un polinomio de grado n y — bax m 4- b1x m" 1 4- — 1- bm es un polinomio de grado m, entonces 1) lim P (x ) = lim ( a 0x n 4- a ax n_1 4- - 4- a n) = h m ^ o x " ' X-++00 *->+“> Í oo, si n > m — , si n = m 0o° • , ^ si n < m La verificación de 1) es fácil, porque lim ( a 0x n + a 1x 'l_1 4- - + a n) = lim * B ( a 0 + j + - + ¿ ) = AXn—á±lcoog amente , se ve rifica 2). En efecto, ( 00, si n > mi P (x ) a 0x r xl-i+moo -Q-7(x—)- = x-l*im+c oTb~0x~n «o— , si n - m K ^0 , si n < m Ejemplo 39. Calcule los siguientes límites: 4x3 - 5x2 4- x - 3 a) lim (13 + 8x + 10x 2 - 2x 3) b) lim^ 6x2 + 4x + 50 *->+oo Solución Aplicando los resultados de la observación 9, se tiene a) lim (13 4- 8x 4- 10x2 - 2x3) = lim ( - 2 x 3) = X-. + 00 4x3 — 5x2 4- x — 3 _ 4x3 _ Iim = +00 x!ÍíPoo 50 - 4x — 6x 2 X-.-CO-6X2 3 3 5x3 4- 2x — 3 Ejemplo 40. Halle ^lirn^ Í Q x 2 _ 5 ■ Solución . . . . . . a I I limite es de la forma 00/ 00. Se puede aplicar el método de dividir el numerador \ denominador entre x 2 (la mayor potencia del denominador) o el método del , |, mplo anterior. Aplicando el primero, obtenemos r • 2 3 5x 3 4- 2x - 3 .. 5* + x ~ F _ + “ _ ^ U , n -------------------= l i m ------------ ?-------nr. _ ^ l()x2 — 5 *-+«• 1 0 _ | _ 10 149 c- , . . |. .| 6x4 Ejemplo 41. Halle Iim —--- -—-- -2-x--3- --+- -4--x--2- -—-- -1--0--1 *-*-» 5x2 - 3x + 2 Solución El límite es de la forma oo/oo. Aplicamos el método de la observación 9. 6x4 - 2x3 + 4x2 - 101 6 x 4 6x2 +oo ,im 7~Sz—x2 -o— 3x +- -2-- ------ = 5x2 x-*-co 5 5 - i™ ----= --------- = +oo TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I V i 6 - Ejemplo 42. Calcule lim - jt-4- x — 4 Solución Este límite es de la forma 0/0. Multiplicando numerador y denominador por Vl6 - x 2, se obtiene 00 V l6 - x 2 ( 4 - x ) ( 4 + x) _ ( x + 4 ) / _ 8 \ lim —- = lim ---------------------------------------------------------------------— - = lim . ( — ) = - *-4 x - 4 *-4 ( x - 4 ) V l 6 - x 2 x^ ~ M l 6 - x 2 V0+/ Ejemplo 43. Halle lim -----------. A T - . + CO X + 5 Solución Este límite es de la forma o o /c o . La mayor potencia del denominador es x. Dividiendo numerador y denominador entre x = V x 2 (x > 0), se tiene V x2 + 8 I §" V x2 + 8 J 1 + r 2 llm --lim l e = lim -------- F “ = 1 x - * + o o x + 5 * - * + c o X + 5 a t-* + o o 5 X X Vx2 + 8 Ejemplo 44. Calcule lim -----------. *-*-» x + 5 Solución El límite es de la forma o o /o o . Como en el ejemplo anterior, dividimos el numerador y el denominador entre x = —V x 2 (x < 0). De este modo, resulta Vx2 + 8 I .. V x2 + 8 lim ----- — - = hm — lim —^ = - l X~* — oo x + 5 X - * - c o x + 5 *-*-co 5 X + x 150 Ejemplo 45. Halle a) lim (Vx2 - 2 x - x ) b) lim (Vx2 - 2x - x ) X —* — oo A-—>+co Solución a) Como lim Vx2 - 2x = lim Vx2 = + “ y lim x = -oo, entonces X —* — oo *-» — 00 X-»-oo LÍMITES *-l♦im-00 (Vx2 - 2x — x) = (+oo) - ( -o ° ) - + c b) El límite es de la forma (o o ) - ( o o ). Para transformar a un cociente, se multiplica el numerador y el denominador por Vx2 - 2x + x. Así, se obtiene lim (V/-*--2- ----- -2-x- - x) = lim ~-2--x-- ------= li,•m --------2- ------= - 1 1 *-*+oo *-> + co V x 2 — 2x + X * °° EJj emp1 lo 46. Calcule x->li+moo v(Vx6 — 8 — x 3). Solución Este límite es de la forma oo - oo. Para aplicar el método utilizado en el ejemplo anterior, es necesario racionalizar la función. De este modo, tenemos , /,-r--6- -_--- - , (Vx6 - 8 - x 3)(Vx6 - 8 + x 3) - 8 q _ v3 = i ------------- / —--------------------= ------- y Vx6 - 8 + x 3 Vx6 - 8 + x 3 , ,______ x 8 lim ( v x 6 — 8 — x 3 ) = lim - --------- = 0 * - » + co V / *-»+00 tJ x 6 _ 8 + X 3 (Dividiendo numerador y denominador entre x 3) Ejemplo 47. Calcule lim ( M a x 2 + b x + c - Va x) , a > 0. J 1 a : - * + o o Solución Este límite es de la forma oo — oo. Aplicamos el método del ejemplo anterior. ____________ bx + c _ b lim ( Ma x 2 + bx + c - V a x ) = lim _ — p - - — j= x->+oo *-*+<*> V a x 2 + ¿x + c + Va x 2 v a (Dividiendo numerador y denominador entre x) V4 - x 2 Ejemplo 48 ¿ Existe ^ +— ? Solución I I dominio de la función es [ - 2 ; 2], lo que significa que x no puede tomar V4 - x 2 v a l o r e s positivos muy grandes y, por tanto, no existe Um, + -. 151 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Ejemplo 49. Calcule L = lim X - * + CO Solución (2 4- V x )(V F + 3) x —128x2 Dentro del radical, el límite es de la forma oo/co. Dividiendo entre x 2 el numerador y el denominador (dentro de radical) y agrupando convenientemente, se obtiene L = ATl-i» m+ oo - (2 + V i) (Vx3 + 3) V i Vx3 = lim X~> + co 1 X 128 a) xl-»i m+ o o (\ x 4- \]2 x2 - x 3)/ b) xl-i*m + o o (\- V* 3 4- 2x2 - 50 Ejemplo 50 Calcule los siguientes límites: f x 3 + 3x2 4- 5x 4- 2 x 2 4- 4x 4- 6 Solución a) El límite es de la forma oo — oo. Racionalizando, se tiene / 3/— -------2x 2 2 lim ( x + v 2x 2 - x 3 ) = lim --------- z— = = ------------ -------- = - V J ^+co ^2 _ x \J2x 2 - x 3 + V ( 2 x 2 - x 3) 2 3 (Dividiendo numerador y denominador entre x 2) b) El límite es de la forma oo — oo. En este caso, usamos el artificio de sumar y restar x para trabajar con dos límites de forma oo — oo, para luego trabajar con los métodos anteriores. ( x 3 + 3 x 2 + 5x + 2 3 /-------------------- lim ------------ ------- -------- J x 3 + 2 x 2 - 50 *->+«> \ x ¿ 4- 4x 4- 6 f x 3 + 3 x 2 + 5x + 2 = lim X - + + CO lim x —M -co x 2 + 4x + 6 -x2 - x + 2'' — x J 4- (x — \¡ x 3 + 2 x 2 — 5 o ) 5 0 - 2 x 2 + + 4x + 6 ) X 2 + X \ J X 3 + 2 x 2 _ 50 + 37 ( x 3 + 2 x 2 - 5 0 ) 2 2 5 ~ _ 1 ~ 3 ~ ~ 3 152 LÍMITES EJER CIC IO S I. Calcule los siguientes límites al infinito. 4 x 3 + 2 x 2 - 5 d _ 1 ! ) xJ "1™+‘o ° x + 2 _— «8vx 3T R- 2 4 x 3 + 2 x 2 — 5 R n 2) *-l>im+o o --x-- -+r- =2— — 85x13- K' U 2x 4- 3 r 9 3) lim ------ r p x - i + o o x + V X 3 x 2 - 2 x 2 - 4 x \ D 3 4) lim ( —— — ■ 4----------- — I R- o x-»+°° y 2x + 1 X 3 / V4 4- x 4- x 2 - x „ n 7) lim ---------- 5---------- K- u J x - * + °o X ¿ 8) lim (x 4- V l - x 3) R 0 * - * + co \ / 9) lim (V *2 - 2 x 4 - 4 4 -x ) R 1 X—* — oo V V i D O 1 0 ) lim ■ 5 r -¿ X - * + c o Vx3 11) lim U x 2 - 5 x 4 - 6 —x ) R- _ 5 / 2 X-» + co \ y 1 2 ) lim (Vx 4- V2 x - V x - V 2 x ) R ^ X— + oo * - * + co 16) lim ( 7 l 6 x 4 4- 1 5 x 3 - 2x 4- 1 - 2x) X - + + 0 0 (n 4- 3)! — (n 4- 4)! 3 17)' rt1-»™+a > ---------- 7(—n 4T- 74T)1!-------- 13) lim ( x - J { x - a ) { x - b ) ) R. ( a 4 -b ) / 2 X-» + co 1 4 ) lim ( V l 6 x 2 4- 8 x 4- 6 - V l 6 x 2 - 8 x - 6 ) R- 2 Vx2 4- 5 X - 1 - V x2 4- 3 p rv 15) lim ---------- 5= = ------------ R- 0 x-< + °° V x2 4* 3 15 R‘ 32 R. - 3 153 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I ... + n 18) n-l>i+mco 19) n-l>i+moo 20) lim l 2 + 2 2 + 3 2+ . . . + n 2 V x3 - 2 x 2 + 1 + V x4 + 1 ^ +co V x 6 + 6 x 5 + 2 - V x7- 21) lim X -> + CO 22) lim 51(5 - Vx)(Vx + 3) 243x - 11 3 V F ^ 2 + 5V 3x + 4 * -+ “ 2Vx + 4 \j2 x + 5 23) *l->im+o o[L Vx2 + x - Vx2 + 9|J 24) lim [Vx2 + x - Vx2 + 5| r —*—co j 25) lim ( J 4 x + ^ 4 x + V4x - 2Vx 26) lim 8x + J 8 x 2 + V 8x + V8x - 2Vx 1 R. - 2 1 R' 3 R. 1 1 R . ----- 3 R. 0 R. 1/2 R. - 1 / 2 R. 1/ 2 R. 1/ 6 27) lim ( J x 2 + V 2 7 x 4 + V x2 - V x2 28) ^ l i m J V x 3 + 2 x 2 + 3 - V x2 + 4x + l ) 29) *-l»im-0 0(v Vx 3 - x 2 + 1 + Vx4 - x 3 + l )/ Vx2 - 3(V1 + x + x 2 - 1)' 30) x-l>i+moo x V x 3 + 1 31) lim (V x4 + x 2 + 1 - V x 8 + x 4 + l ) R. 1 R. - 4 / 3 R. - 2 / 1 5 R. 1 R. 1 /4 154 LIMITES 32) lim a 2x 2 + ■ a - b 3 a 3x 3 + b 2 - a 2 R. 9x + 4 3 6 x 2 33) Xl-+0° V x 2 + 2x + 1 - V x2 - x 35) lim 3V 8x9 + 3 x 4 + 1 + V x 10 + x 2 + 1 + 10 x-+°° V x4 + x 2 + 1 + V x 12 + x 2 + 1 - 10 36) lim ^/x(x + a ) - x *-*+“ x - \ J x 3 + x 2 + 5 J l / x ] 3a 37) lim V V x3 + 5 + 4 x 2 + 6 — 2x X-.+00 x _ V x3 + 12x2 + 1 38) lim a->+oo 39) lim a-»-co 40) lim X - > + oo Va + a 2x 2 + Vfa + a 2x 2 - 2 ¡ a 2x 2 + ^ V a 2 + a 3x 3 + Vft2 + a 3x 3 - 2 a 3x 3 - a2+b2 R- 3 R. 2 R. - • R. - R. 0 R. 5 / 9 x 2 16 8 + f - i l + 3 32 + i - V 64x3 + 2 4 x 2 + 3 R .- 1 / 2 41) lim V x5 + x + 1 + V x4 - 1 3 x 2 + 36 V x 3 + 3x + 4 + V 4x2 - x 4 r . a 42) lim V a 7x 7 + a + V a2 — 4 R. a-,+co Va — 1 — a 5x 5 + V a 4 — 2 5 a 2 + 144 1 + x 1 - X cxc ^ + 2jcc 43) Halle el mayor valor de c de modo que lirn^—, sea finito y calcule *-*+0° V 3x2 + 1 el límite. R. c = 1 , L = —r 155 II. En los siguientes ejercicios, calcule los límites infinitos. x + 2 1) lim —— - x^>V x 2 — 4 V x2 — 9 2) lim ----------- a;-»3+ x — 3 V 16 — x z 3) lim ------------- X->4~ x — 4 3 x 2 - 7x + 6 4) lim — =---------- — x->-2~ x ¿ + x - 6 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 5) lim (■ 1 3 6) lim x- 2 \ x — 2 x 2 — 4 2 x 2 - 5x - 3 x->i x — 1 3 x 3 + 2 x 2 - 1 7) lim x--co 2 x 2 — 3 x + 5 5 x 3 + 1 8) lim , *-*20+ 2 0 x 3 - 8000x III. En los siguientes ejercicios, calcule el límite indicado. 1 1 1) lim x-*i 2) lim 1 — x x 2 — 2x — 1 6 x 7/6 + x 1/ 3 *->+co 5 x 4/ 3 + x 1/4 vTi2 + 2/1 + 4 + V/i3 + 3 h 2 + 3 h - 8 + 6 h 3) limh— o h V h T l - h 4) lim ( V * 3 + x - V * 3 + 1 - J x 3 - y/x6 - 3 x 3 X-»-co \ 5) lim ( x V x 2 + 1 — x 2) R. + oo R. + oo R. — oo R. — oo R. oo R. oo R. — oo R. + oo R. + oo R. O R. + 00 R. + oo R . — oo 156 6) lim 4 (x ^ [x 2~ + l - x 2) X —* + c o 7) lim ( V x 2 — 1 — ^ *—►+00 3 0 + 2x + 5x2 — x 3) V4 - x 2 LIMITES 8) lim X 2 + 1 1 2 x 3 + 6 x 2 - 3 9) lim X —* + c o 10) lim X-> + co 2 x 2 + 7 x 3 + 1 + V * 3 + 3 x 2 + 1 - 7x X 2 + 1 + V x 2 + 2 - 2x R. 2 R. + oo R. O R. 4 R. O IV. Sea Cx un círculo de radio r, Tx el triángulo equilátero inscrito en C1( C2 el círculo inscrito en Tlt Tz el triángulo equilátero inscrito en C2, y así sucesivamente. Así, Tn es el triángulo equilátero inscrito en Cn . Si A n es la suma de las áreas de los triángulos TX,T2, ,Tn y Bn es la suma de las áreas de los círculos C1,C2 , ..... , C„, halle nl-i»m+o oA n y nl-i*m+o oBn . V. Si en el ejercicio IV Tj (i = 1,2, ...,n) representa el cuadrado inscrito en C¿ (i = 1,2, ...,n), hallar lim A n . n->+co VI. En los siguientes ejercicios, halle las constantes a y b tales que: lim x 2 + 1 x-> + oo — ax — b 1 = 0 x + 1 ii) *-l*i m+ 0 0 (\ v x 2—x + 1 — ax — b )/ = O 157 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 3.7 ASÍNTOTAS Consideremos una curva cualquiera y un punto A que se mueve a lo largo de la curva. Se dice que el punto A tiende al infinito si la distancia entre A y el origen de coordenadas tiende al infinito (crece sin límite). Definición 10. Se dice que la recta L es asíntota de la curva C si la distancia entre la recta L y un punto A, que se mueve a lo largo de la curva, tiende a cero cuando A tiende al infinito, esto es, lim d(A, L) = 0 (Fig. 3.20). A-+CO Proposición 7. La recta x — a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f 0 0 s> se cumple una de las siguientes condiciones: a) lim / 0 0 = +co x->a (Fig. 3.21) b) lim f { x ) = +oo x->a+ (Fig. 3.22) c) lim f ( x ) = +oo x-*a (Fig. 3.23) 158 LÍMITES Proposición 8. La recta y = k es una asíntota horizontal de la gráfica de y = f (x ) s¡ se cumple una de las siguientes condiciones: a) lim f ( x ) = k (Fig. 3.24) a:->+co b) lim f { x ) = k (Fig. 3.25) X-r-CO y i k yi K K ------------------------------------- 0 !► 0 X — ........................................ X Fig. 3.24 159 Fig. 3.25 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN ( Proposición 9 La recta y = m x + b , m ^ O es una asíntota oblicua de la gráfica de y = / ( x ) si y solo si una de las siguientes condiciones se cumple. f ( x ) a) lim ------— m y lim [/(x ) - mx] = b (Fig. 3.26) x -» + o o X X-*+oo f ( x ) b) lim ------= m y lim [/(x ) — mx] — b (Fig. 3.27) Af-»—oo x x - » - c o Observación 10 1) Respecto a la proposición 9, es necesario tener en cuenta'. i) S i al calcular los valores de m y b (cuando x -» +oo), uno de los dos límites no existe, la curva no presenta asíntota oblicua a la derecha. Resultado similar se obtiene cuando x -> —oo. ii) Si m = O y b es finito, la asíntota es horizontal. 2) Si una función f { x ) tiene la form a de una fracción, las posibles asíntotas verticales se obtienen en los valores de x que anulan al denominador de f (x). Una vez hallados estos valores, se debe comprobar si su límite es infinito. Ejemplo 51. Halle las asíntotas de las gráficas de las siguientes funciones: 2 x 2 + 5x - 8 x 2 + 1 „ V3 - x a ) / W = i + 3 b ) ¡ , w = — c ) ftW = _ Solución a) i. Df = R — {—3} 160 ii. Asíntotas verticales: teniendo en cuenta la observación 10, x = - 3 anula el denominador de f ( x ) y lim / ( x ) = oo. Por tanto, la recta x = - 3 es la X - > - 3 única asíntota vertical de la gráfica de / . iii. Asíntotas horizontales: no tiene, pues lim / ( x ) = ± o o . X -> ± c o iv. Asíntotas oblicuas: al aplicar la proposición 8, se tiene m = lim /--O--O-- = 2 y b = lim [ /(x ) - 2x1 = - 1 * - » + » X x-<±oo v Luego, y = 2x — 1 es una asíntota oblicua (a la derecha y a la izquierda) b) i. Dg = R — {1} ii. Asíntota vertical: x = 1, pues en x = 1 el denominador de g ( x ) es cero y lim g ( x ) = oo. X -> 1 iii. Asíntotas horizontales: no tiene, pues lim g ( x ) = ± o o . X—*±oo iv. Asíntotas oblicuas: aplicando el mismo argumento de la parte a), se tiene m = *-l»i m+ o o = 1 y b = lim [g(x) - x] = + o o x X-++CO Por tanto, no existe asíntota oblicua a la derecha. Análogamente, no tiene asíntota oblicua a la izquierda. c) i. Dh = [0; 3] ii. Asíntota vertical: no tiene, pues si bien es cierto que x = 4 anula el denominador de h( x) , el dominio no permite tomar lim /i(x). x->4 iii. No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas, puesto que el dominio no permite tomar límites al infinito. 2 x 2 — Sx - 3 Ejemplo 52. Si / ( x ) = —— — .esboce su gráfica mostrando sus asíntotas. Solución a) Df = R - {1} b) Intersecciones con los ejes i. Con el eje y: x = O => /(O ) = 3 => i4 ( 0 ; 3) ii. Con el eje x: / ( x ) = O => x t - 1 /2 , x 2 = 3 =» B ( ~ 1/2; 0), C (3; 0) c) Asíntotas verticales: x = 1, pues l i m / ( x ) = oo. X ~ * l LIMITES 161 Para graficar, se necesita determinar el signo de oo cuando x -* l - y x -> 1 + . Así, se obtiene TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 2 x 2 - 5x - 3 l i m -------------------= +00 x-*i~ x — 1 2 x 2 — S x - 3 l i m -------------------= —oo x-*i+ x — 1 d) Asíntotas horizontales: no tiene, pues *-l♦i±m0 0f ( x ) — ±oo. e) Asíntotas oblicuas: la recta y = 2x — 3 es una asíntota oblicua (a la derecha y a la izquierda) de la curva y = f ( x ) , pues f ( x ) m = lim ------ = 2 y b = lim [ f i x ) - 2x] ?= —3 X - + ± c o X X-»±oo 1 O La gráfica se muestra en la fig. 3.28. Fig. 3.29 Ejemplo 53 Halle las asíntotas de la curva y — Vx3 — 3 x 2 — 9x + 27 y trace su gráfica mostrando sus asíntotas. Solución a) y = 7 ( x - 3 ) 2(x + 3) . Df = E b) No tiene asíntotas verticales (no tiene denominador) c) Como / O ) m = *-l*i±m00 ---X--«- = 1 y b = Xli-m>± 00¡ /O ) — x] = —1, entonces la recta y = x — 1 es una asíntota oblicua (a la derecha y a la izquierda). En consecuencia, no tiene asíntotas horizontales. d) L a g r á f i c a d e la f u n c ió n se m u e s t r a e n la f ig u r a 3 .2 9 . 162 Ejemplo 54 Trace la gráfica de la función / ( x ) = V x4 - 5 x 3 - 4 x 2 + 20x mostrando sus asíntotas. Solución a) Df = [x e E / x 4 — 5 x 3 - 4 x 2 + 20x > 0} = {x £ E / O - 2 ) 0 + 2 ) 0 - 5)X > 0} = (-oo; - 2 ] u [0; 2] u [5; +oo) b) Intersecciones con los ejes coordenados: A ( - 2; 0), B(0; 0),C (2; 0) y D(5; 0). ' c) No tiene asíntotas verticales. d) No tiene asíntotas horizontales, pues *-l»i±m0 0/ ( x ) = + 00- e) Asíntotas oblicuas: i. m = lim ^ = 1 y b = lim [ / ( x ) - mx] = - - X-»+co X * —*+co 4 Luego, la recta y = x - 5 / 4 es asíntota oblicua a la derecha. / O ) 5 ii. m -- Xl-i*m-o o ------ = - 1 y b = lim [ / (x ) ~ ^ x ] = - X 4 Por lo tanto, la recta y = - x + 5 / 4 es asíntota oblicua a la izquierda. I) La gráfica se muestra en la figura 3.30. LÍMITES Fig. 3.30 163 Ejemplo 55. Trace la gráfica de la función f { x ) = Solución a ) £ H * e R / E i ^ a o } = | - 6 : - t i u ( 2 ; 5 1 b) Intersecciones con los ejes coordenados: 4 (5; 0) y B (—4;0). c) No existen asíntotas oblicuas ni horizontales porque el dominio de la función no permite tomar límites cuando x -* ±°°. d) Las rectas x = — 6 y x = — 2 son las asíntotas verticales, pues lim / ( x ) = +oo y lim / ( x ) = +oo x->-6+ X->2+ e) La gráfica se muestra en la Fig. 3.31. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 2 x3 4" 3x "I- 1 i--------- Ejemplo 56 Trace la gráfica de f ( x ) = — ^— —— — + y/x2 + 6 indicando sus asíntotas. Solución a) Df = ¡ R - { 3 ,- 2 } b) Las rectas x - 3 y x - - 2 son asíntotas verticales, porque lim f ( x ) = — oo, lim / ( x ) = + o o , lim / ( x ) = — co, lim / ( x ) = + o o X - + - V X -* — 2 + x -t 3 ~ X-*3+ c) Asíntotas oblicuas.- siguiendo el procedimiento aplicado en los ejemplos anteriores, se tiene 1(5 — x ) ( x + 4) (x + 6)(x — 2) 164 LIMITES i. m = lim /--(-*--)-= 3 x—>+oo X b = ATl-+i m+ 0 0 [/(x) - 3x] = Xl-i»m + 00 2x3 + 3x + 1 \ ,-------- _ _ _ _ 2 * ) + ( V ^ T 6 - x ) = 2 Luego, la recta y = 3x + 2 es una asíntota oblicua a la derecha. íi. m = lim ------= 1 b = lim [/(x) — x] = lim x - » + o o a: - * + oo 2x3 + 3x + 1 x 2 — x — 6 Luego, la recta y = x + 2 es una asíntota oblicua a la izquierda, d) La gráfica se muestra en la figura 3.32. = 2 Ejemplo 57. Trace la gráfica de / ( x ) = indicando sus asíntotas. Solución a) Df = M —{—1} b) Asíntotas horizontales: x + 3 (x + l) ( x + 4) V i + x 2 , i) lim f ( x ) *-» + 00 lim X —* + co x + 3 x > O 3 < x < O x < - 3 ii) lim / ( x ) = lim - yj l + x 2 = -oo X - * - c o x - * - o o La única asíntota horizontal es y = 1 (a la derecha). c) Asíntotas verticales: teniendo en cuenta el dominio, las posibles asíntotas verticales son x = O y x = —1. Como lim / ( x ) = lim v-*n+ v—*n+ x + 3 +CO y lim x J - X ^ 0 +J X ' x~»—\ (x + l) ( x + 4) 3 x = O es la única asíntota vertical (x = - 1 no es asíntota vertical) , entonces TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I d) Asíntotas oblicuas f a x ) v t t f , i. m = lim ------ = l i m --------------- = 1 X-*-oo X X - > - o o b = lim [ f ( x ) - x] = lim ( —a y->a* y->a iii) La recta x = k y + b es asíntota oblicua de g ( y ) si y solo si a (y ) 1 lim ------= k A lim [ g ( y ) - ky] = b [ ó y-»+oo y y-*+oo I ( lim = k A lim [j?(y) - ky] = fe] [ y —' — oo y y-*—co ) 166 Ejemplo 58. Trace la gráfica de la curva y 3 - y 2x + y 2 + x - O mostrando sus asíntotas. Solución Observando la ecuación de la curva, es más fácil despejar x. Así, se obtiene y 3 + y 2 * “ y 2 - 1 y 3 + y 2 Luego, g (y ) = -¿™-----. a) La variación d e y (rango) es IR — {1, —1}. b) No existen asíntotas verticales, pues y-l*i+moo g ( y ) = ±oo. c) Las rectas y = 1 A y — — 1 son las posibles asíntotas horizontales. Como yl—im 1 g ( y ) = - 1 / 2 , ! a r e c t a y = - l no es asíntota horizontal. Puesto que yl-inm-r g ( y ) = +oo A yl-i*ml g ( y ) — —oo, la recta y = 1 es la única asíntota horizontal. (Si y -» 1+ =» x -» +oo a si y -* l~ => x -* -oo). d) Considerando que k — lim g-- -(-y--) = 1 y—*+oo A b = lim [g(y) — ky] = 1, entonces y y-*±00 la única asíntota oblicua es x — y + 1. e) La gráfica se muestra en la figura 3.34. LIMITES Fig. 3.34 167 Ejemplo 59 Trace la gráfica de la curva y 3x 2 — y 2 + y + 2 = 0 mostrando sus asíntotas. Solución Se observa que la curva es simétrica con respecto al eje y, pues al reemplazar x por - x su ecuación no varía. Despejando x en términos de y, se obtiene TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I 2 y - y X - --------T- x - ± y - 2 y Teniendo en cuenta la simetría con respecto al eje y, solo analizaremos la función 9 (y) = y 2 - y - 2 a) Rango (variación de y): {—1; 0) U [2; +oo). b) L a re c ta y = 0 es la única asíntota horizontal porque lim g i y ) = +oo. y~*o~ c) La recta x = 0 es la única asíntota vertical, pues lim g i y ) = 0. d) No tiene asíntotas oblicuas. La gráfica de la curva se muestra en la Fig. 3.35. La parte de la curva que se encuentra a la derecha deL eje y corresponde a la función g i y ) y la parte que se encuentra a la izquierda del eje y se ha graficado considerando la simetría.