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LA INTEGRAL DEFINIDA EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Calcula el valor de las siguientes integrales definidas: a) x · e dx 2 2x2 0 b) x 2 sen x dx 0 2. Calcula el valor de las siguientes integrales definidas: a) x arctg x dx 1 0 b) sen3 x dx 2 0 3. Calcula el valor de las siguientes integrales definidas: a) (Lx )2 dx e 1 b) dx 4 3 2 tg x cos2 x 0 4. Calcula el valor de las siguientes integrales definidas: a) dx 0 x 3 x 2 x 5 x 2 x 2 1 b) 3 dx (x 1) (x 2)2 2 5. Calcula los puntos donde se anula la derivada de la funcio´n f (x ) 2x e dt 2x t2 10t 24 0 6. a) Mediante el ca´lculo directo de la integral definida, demuestra que dx 0 1 x x 2 4 1 b) Demuestra la igualdad anterior aplicando las propiedades de la integral definida. y = 9 – x2 1 2 Y O X 7. Halla una aproximacio´n por defecto del a´rea de la regio´n que aparece en la figura y que esta´ limitada por la funcio´n f (x ) 9 x 2 y el eje OX en el intervalo [1, 3] dividiendo este en tres partes iguales. 8. Halla una aproximacio´n por exceso del a´rea de la regio´n limitada por la funcio´n f (x ) y el eje OX en el 1 intervalo [2, 4], dividiendo este en dos partes iguales. x 9. Calcula la derivada de la funcio´n F (x ) (t 2 1)dt x2 0 SOLUCIONES 7. Se consideran los tres recta´ngulos que aparecen en la figura y que tienen por bases 1 y por alturas: f (1) 9 1 8 f (2) 9 4 5 f (3) 9 9 0 y = 9 – x2 1 2 Y O X Por tanto: S 1 · 8 1 · 5 1 · 0 13 uc 8. Se consideran los dos recta´ngulos que aparecen en la figura y que tienen por bases 1 y por alturas: f (2) f (3) 1 1 2 3 1 2 3 1 Y O X y = 1x Por tanto: S 1 · 1 · uc 1 1 5 2 3 6 9. F (x ) G(u ) (t 2 1) dt con u x 2 u 0 Aplicando la regla de la cadena: F (x ) · (u 2 1) · u dF dG du dx du dx (x 4 1) · 2x 2x 5 2x 1. Calcula el valor de la integral x 2 cos (nx ) dx en funcio´n de los valores de n. 2. Sea F (x ) arcsen t dt. Calcula F (x ). sen x 0 3. Si F (x ) sen t 2 dt. Calcula: x 0 a) F (x ) b) sen t 2 dt x 1 lim xA0 x 3 0 4. Calcula el siguiente lı´mite: x t 2 L(1 4t 2) dt 0 lim xA0 x 5 5. Dada la funcio´n f (x ) x 2 1 definida en el intervalo [ 3, 2] y la particio´n P del mismo formada por los puntos { 3, 2, 1, 0, 1, 2} tal y como aparece en la figura, calcula razonadamente cua´nto valen la suma superior y la suma inferior correspondiente a dicha particio´n y a dicho intervalo. f(x) = x2 + 1 Y –3 –2 –1 O 1 2 X 1 6. Demuestra que 1 2 dx 3 2 x 2 x 0 (Indicaci´on: Estudia el m´aximo de la funci´on 2 x 2 x en (0, 1)). 7. Sea f una funcio´n real de variable real, continua y positiva tal que f (t ) dt ex arctg x a. Aplicando el x 0 teorema fundamental del ca´lculo, determina el valor de la constante a y halla la expresio´n algebraica de f (x ). 8. Calcula el valor de las siguientes integrales definidas: a) Wx 1W dx b) 3 1 arctg x1 x 2 2 0 9. a) Halla los ma´ximos y mı´nimos, si es que existen, de la funcio´n F (x ) dt x 1 1 2 cos t 0 b) Calcula la derivada de la funcio´n G(x ) dt x2 1 sen t x SOLUCIONES 1. I (n ) x 2 cos (nx ) dx; integrando por partes: F (x ) x 2 sen nx 2x cos nx 2 sen nx n n 2 n 3 Entonces: I (n ) F ( ) F ( ) 2 sen n 2 cos n 2 sen n 2 2 3 n n n 2. F (x ) G(u ) arcsen t dt, con u sen x. u 0 Entonces: F (x ) dF (x ) dG (u ) du dx du dx arcsen u · u F (x ) arcsen (sen x ) · cos x F (x ) x · cos x 3. a) F (x ) sen x 2 b) Es de la forma . Aplicando la regla de L’Hoˆ- 0 0 pital: F (x ) F (x ) sen x 2 1 lim lim lim xA0 x 3 xA0 3x 2 xA0 3x2 3 4. Si F (x) t 2 L(1 4t 2) dt, L . x F (x) 0 lim xA0 x 5 0 0 Aplicando la regla de L’Hoˆpital: L , y como F (x ) x 2 L(1 4x 2), F (x ) lim xA0 5x 4 tendremos L L (1 4x 2) lim xA0 5x 2 8x 8 4 lim lim xA0 (1 4x 2) · 10x xA0 10(1 4x 2) 5 5. La suma de las a´reas de los recta´ngulos superiores es: S 1 · f ( 3) 1 · f ( 2) 1 · f ( 1) 1 · f (1) 1 · f (2) 10 5 2 2 5 24 La suma de las a´reas de los recta´ngulos inferiores es: s 1 · f ( 2) 1 · f ( 1) 1 · f (0) 1 · f (0) 1 · f (1) 5 2 1 1 2 11 6. El m´aximo de la funci´on 2 x 2 x es . Por tanto, en 1 3 3 , 2 x 2 x 2 2 2 (0, 1); es decir, 1 2 2 x 2 x 3 dx 1 1 dx 2 2 2 2 x x 3 3 0 0 1 1 2 2 x 2 x 3 0 7. Sustituyendo x 0 en la expresio´n: f (t ) dt e0 arctg 0 a 0 0 0 1 a 0 a 1 Segu´n el teorema a fundamental del ca´lculo, se tiene que: f (t ) dt f (x ) ex x d 1 dx 1 x 2 0 8. Wx 1W x 1 si x 1 1 x si x 1 Wx 1W dx (1 x ) dx (x 1) dx 3 1 3 2 2 1 2 9 13 2 2 dx (arctg x ) dx 1 1 arctg x 1 1 2 2 1 x 1 x 2 0 0 3 2 3 1 2 3 (arctg x ) 4 2 3 2 3 3 3 64 12 2 0 2 9. a) F (x ) 1 1 2 cos x Esta funcio´n derivada no se anula en ningu´n punto. La funcio´n no tiene ma´ximos ni mı´nimos. b) Sea H(t ) una primitiva de g (t ) . 8. Halla una funcio´n F tal que F’(x) x 2 2x 3 y F(0) 2. 9. Halla una funcio´n F tal queF’’(x) 6x 10, F(0) 4 y F(1) 0. 10. Halla una funcio´n F tal queF’’(x) x cosx, F’(0) 0 y F(0) 3. 11. Calcula una primitiva de la funcio´n f(x) xe cuya gra´fica pase por el origen de coordenadas. x2 12. Calcula una primitiva de la funcio´n f(x) cuya gra´fica pase por el origen de coordenadas. 5x 1 x 2 13. De una funcio´n derivable, se conoce que f’(x) y que f (0) 0. Halla el valor de a. cos x si x 0 2x a si x 0 14. Halla una funcio´n f tal que tiene un punto de inflexio´n en el punto (1, 3) y que f’(x) 3x 2 ax.