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INTERES COMPUESTO Y AMORTIZACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE NIVEL PREUNIVERSITARIO PDF























ESTUDIO DEL INTERÉS COMPUESTO En este caso. el interés se va calculando sobre el monto acumulado en cada período. como se explica a continuación: CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

1. Calcular el interés que gana un capital de 1200 prestados a una tasa de 100/0 mensual. con capitalización mensual de los intereses. en un tiempo de 3 meses. Resolución: Capitalización mensual quiere decir que los intereses se calculan mensualmente y se agregan al capital. y el interés se calcula sobre el monto acumulado. Este calculo se puede hacer como un porcentaje de porcentaje de la siguiente manera: Monto acumulado en 3 meses: 110% x 110% x 110% x 1200 = (110%)3 1200 = (:~r x 1200 = 1.331 x 1200 Monto acumulado en 3 meses: SI . 1597.20 Luego el interés obtenido en 3 meses es: 1597.20 - 1 200 = SI. 397.20 2. Calcular el interés que gana .el capital de SI. 10000 prestados con una tasa de 60% anual. Con capitalización Trimestral. durante 1 1h años. Resoluci6n: El período de capitalización es: 3 meses. En 1 1h años hay 6 períodos de capitalización. l1h años ·1 Siendo la tasa anual: 60% y habiendo 4 trimestres en un año. habrá 6 trimestres en total La tasa trimestral resulta: (60%)/4 = 15% trimestral. En los 6 períodos trimestrales el monto acumulado será: MpERIODOS = (115%)6 x 10000 MpERIODOS = (1 .15)6 x 10000 = 23130.6 El interés ganado será por lo tanto: 1 = 23130.6 - 10000 1 = 13130.6 soles Fórmula del Inter6s Compuesto: Se puede deducir. de los problemas básicos anteriores que el monto (M) acumulado al cabo de n períodos de capitalización esta dado por: M = ( 1~~ r r. C = ( 1 + I~O)n C = (1 + t)nC Entonces: M = C (1 + i)n Donde Tasa para el período r% Tasa anual N0 Periodos/Año = Tasa efectiva Capital: C Número de períodos : n tiempo de duración de depósito n = tiempo de duración del período El interés ganado se calcula: 1 = M - C También 1 = M - C = C( 1 + i)n - C 1 = CH 1 + t)n - 1] Comentario: Tomemos el siguiente ejemplo: Supongamos se tiene un capital de 1000 soles. que el tiempo sea 4 aftas. la tasa es del 10% anual, existe una capitalización anual. Observe el siguiente esquema Gana: SI lOO Gana: SI 110 Gana: SI 121 Gana: SI 133.1 ~~~~ I I I I I 1 año 2 año 3 año 4 año @ ([§) @ @D ~~40> capital inicial capital final En un interés compuesto. el capital se suma con el interés producido y este se convierte en un nuevo capital para un siguiente periodo. existe una capitalización. Sabemos que: Cf = C( 1 + i)n Despejando tendremos: Ejemplo: Cf:5000 C : 1000 n : 4 semestres J5000 i = n 1000 - 1 = 37.97% semestral también: log(~~ n = . se ha tomado logaritmo decimal log( 1 + i) pero también se pudo tomar el logaritmo neperiano. Ejemplo: Cf :S/.6000 C : SI. 800 r% : 20% anual <> 5% trimestral periodo de capitalización trimestral log(~) O 875 n = log( 1 + 0,05) = O: 021 = 41,6 trimestres <> 10,4 años 5.2.1 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Cuánto tiempo tomará para que SI. 600 ascienda a SI. 900 a una tasa anua! del 8% capitalizable trimestrahnente? Resolución: 600(1 + 0.08)n = 900 8% trimestral (1.08)n = 1.5 => Ln(1.08)n = Ln 1.5 n x 0.076 = 0.405 => n = 5.32 trimestres <> 15.96 meses Problema N° 2 Suponiendo que SI. 500 alcanzó la suma de SI. 588.38 depositado en una cuenta de ahorros' después de tres años. Si el interés fue capitalizado semestrahnente. encuentre la tasa de interés compuesto semestrahnente. Resolución: C = 500 Cf= 588.38 Capitalización semestral t = 3 años <> 6 semestres 588.38 = 500(1 + 1)6 1.176 = (1 + i)6 1 = 0.02738 2.738% semestral Problema N° 3 Se tiene un capital que es prestado al 5% trimestral y que se capitaliza semestralm~te. Si se presta dicho capital durante 2 años produce S /. 2541 más que si se prestara sólo por 1 año. Halle dicho capital. Resoluci6D: 5% trimestral <> 10% semestral Capitalizable semestrabnente t = 2 años <> 4 semestres Cf = Co(1 + O. 1)4 Cf - 2541 = C(1 + 0.1)2 ~ Cf = 14641 C = 10000 Problema N° 4 Se tiene un capital el cual se deposita a un 20% semestral capitalizable semestralmente durante 18 meses. si el mismo capital se hubiera depositado al 10% trimestral cap1ta1tzable trimestralmente. Cuál sería la relación de los capitales 8oaIes. Resoluci6n: 20% semestral <> 10% trimestral Capitalización semestral t = 18 meses <> 3 semestres <> 6 trimestres Cf = CoO + 0.2)3 ~ = CoO + 0.1)6 Luego: Cf 1 22 =-'-- (1,1)6 5. Un capital de 2648 soles se presta a un interés de 10% mensual. La deuda debe ser cancelada con 3 cuotas mensuales de igual monto. Considerando que el interés se aplica sobre el saldo adeudado. ¿Cuánto debe ser la cuota mensual? Resolucl6n: ® ® ® 1 mes 2 mes 3 mes 10% mensual C = 2648 = C 1 + C2 + C 3 '" (*) 1 CI R R = C 1 ( 1 + O, 1) => =- 1, 1 R = C 2 R 2 (1 + O, 1) => C 2 = __ o Reemplazando en (.) 1 1, 2 R = C 3 R s( 1 + O, 1) => Cs =-- 1, 13 ( 2648 = R 111 +--1 2+--13) . , 1, 1 1, 1 R = 1064.8 Problema N° 6 Una deuda de sI. 662 se debe pagar en 3 mensualidades de igual monto. con una tasa de 10% mensual aplicada sobre el saldo. Calcular el monto de cada mensualidad. Resolución: La deuda se divide en 3 partes 662 = A + B+ C OO' (1) La la mensualidad = A + '10%662 = A + 66.20 La 2a mensualidad = B + 10%(662 -A) = B + 66.20 -AjlO La. 3a mensualidad = C + 10%(662 - A - B) = C + lOo,..(¡ C = 11 O%C Siendo las 3 mensualidad de igual monto También (2) Y (3) en (1) A + 66.20 = B + 66.20 -A/lO B = !lA 10 A + 66.20 = 110% C 11 A+ 66.20 = 10 C C = lOA 662 11 + 11 11 10 662 662 = A + lOA + liA + 11 10. 662 = 110A+ l2lA+ 100A 11 110 100·662 = 33lA ~ A = SI. 200 .... (2) ... (3) Monto de cada mensualidad = 200 + 66,20 = SI. 266,20 Otro m~todo de solucl6n: Deuda: 662 soles = C1 + C2 + C3 ... (.) ~P P I 1 mes 2 mes 3 mes P = C1(l + 0,1)1 P ~ C1=-- (1,1)1 P = C2(l + 0,1)2 P ~ C2=-- (1, 1)2 Reemplazando en (.¡ P = C3(1 + 0,1)3 P ~ C3=-- (1, 1)3 . Luego: ~ + .-L +.-L = 662 ~ P = 266, 20 1, 1 1, 12 1, 13 Problema N° 7 Se depositan dos capitales de 5000 soles y 6000 soles por 5 y 6 meses respectivarn.ente. El primero a una tasa del 30% trimestral, capitalizable mensualmente, y el otro a una tasa de r% anual bajo el régimen de interés simple. Al finalizar los periodos de depósito, se obtienen montos iguales, entonces r es: 5000 6000 MI =M2 30% bimestral capitalizable mensualmente 5 meses rGh anual. interés simple 6 meses 5000(1 + O, 30)5 = 6000(1 + r X 6) 3 1200 r = 68,4 Problema N° 8 Se deposita un capital C durante un afio en un banco A que paga un interés del 8% anual capitalizable semestralmente. el interés obtenido semestralmente. el interés obtenido se deposita en otro banco B que paga un interés del 10% anual capitalizable semestralmente. Al final del segundo afio el monto obtenido en el banco B fue de 11245.50 soles. entonces la suma de las cifras de Ces: Resoluci6n: C A: Cf = C( 1 + 0,~8r = 1,0816 C Interés: 0.0816 C 0.0816 C B: 8% anual capitalizable semestralmente 1 año 10% anual capitalizable semestralmente 11 245.5 = 0.0816 C( 1 + O,;Or e = 125000 Suma de las cifras: 8 Problema N° 9 Un préstamo de SI . 8 000 a una tasa de 3% mensual. capitalizable mensualmente. Si se realizan dos pagos a cuenta. de SI. 3 500 Y SI . 2 500 luego de 60 días y 90 días respectivamente. Determine el pago adicional a realizar 6 meses después de haber recibido el préstamo. de modo que el acreedor dé por cancelada la deuda. Dato: 1.033 = 1.0927 Resolución: Tiempo Deuda Deuda Pago Saldo al1nicio al final deudor 60 8000 8487.2 3500 4987.2 90 4987.2 5136.8 2500 2636.8 180 2636.8 2881.2 2881 .2 O Pago que cancela la deuda: 2881.2 Otro tipo de soluci6n: ~ 8000 3500 2500 I I I 2 meses 3 meses C 1 = 3500 2 = 3299, 0856 (1 + O, 03) C'J = 2500 = 2287, 854 ~ (l + O, 03)3 C 1 + C2 = 5586, 9396 Falta pagar: 8000 - 5586.9396 = 2413.0604 Luego: 2413.0604 N N = 2413.0604 (l + 0.03)6 = 2881.32 = 2881.2 Problema N° 10 Se ha comprado una máquina con 3000 dólares de cuota inicial y se han firmado 18 letras mensuales iguales de 250 dólares a la tasa del 18% semestral con capitalización mensual. Si se hubiese dado 5000 dólares de inicial y se hubiesen firmado 12 letras iguales bimestrales. con una tasa del 12% trimestral el valor de cada una de estas letras sería: Resolucl6n: Observaci6n previa Amortizaciones: Supongamos que una persona quiere comprar un artefacto eléctrico y acude a una casa comercial que ofrece la venta al crédito. Sea el precio al contado P soles. pero la compra se realiza al crédito. el comprador debe pagar la deuda en n letras o cuotas de R soles cada una: la tasa es del r% por periodo. ®®® ®® I I I I I 1 ° 2° So (n- 1)° n° Siendo el precio P soles al contado. este se particiolla en n partes diferentes de tal manera que cada parte es utilizada para pagar una letra. es decir: I P = PI + P 2 + P 3 + ... + Po '" (*) PI se utiliza para pagar la primera letra: R = P 1(1 + i)l P2 se utiliza para pagar la segunda letra: R = P2( 1 + i)2 Ps se utiliza para pagar la tercera letra: R = Ps (1 + i)3 Po se utiliza para pagar la n-ésima letra: R = Pn(1 + l)n Todas las letras son del mismo importe o valor (R) Despejando y reemplazando en (*) se tiene: Q( 1 1 1 1 ) P = "\( 1 + i) + (l + i)2 + (1 + i)3 + ... + (l + 1)n P = ((1 + 1)n-1 + (1 + 1)n-2 + ... + 1) (1 + 1)n P = R [(1 +1)n-1J (1 +1t 1 P i (1 1)11 R = + Con esta fórmula se calcula el importe o [( 1 + 1t - 1] valor de cada letra Aplicando en el problema propuesto 18% semestral <> 3% mensual 13000 1 250 250 I I I 1° 18 P = 250 [1,03 -1] = 3438,37 18 0,03 xl, 03 El precio al contado es: 3000 + 3438,37 = 6438,37 250 I Pero si se da 5000 de inicial resta 1438,37 que se tendría que pagar con 12 letras iguales bimestrales. Tasa 12% trimestral <> 4% mensual <> 8% bimestral. Tenemos: R I 1° R I R I 12 R = 1438,37 x O, 08( 1,08) 1,0812 _1 R = 190,86 dólares R I 5.2.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Cada año se depositan 2000 soles en una cuenta bancaria que produce 8% de interés semestral y con el mismo período de capitalización. ¿Qué capital en soles se tendría inmediatamente después de haber efectuado el tercer depósito? a) 7 035.87 d) 7530.87 b) 7053.78 e) 7853.87 e) 7350.87 2. ¿Cuánto tiempo tomará para que 600 soles se conviertan en S /. 5000 a una tasa anual del 10% capitalizable trimestralmente? (aproximadamente en afios). a) 9.2 b) 9.6 e) 10.3 d) 10.9 e) 11.8 3. El Banco X hace la siguiente publicidad: "Por cada 100 soles que te damos devuelve dos cuotas mensuales de 60 soles". ¿Cuál es la tasa trimestral si la capitalización es mensual? a) 36.25% d) 6E>% b) 39.198% e) 75% e) 54% 4. Se deposita un capital N soles a interés compuesto. con una tasa de 30%~ anual. con capitalización cuatrimestral y al cabo de 5.3 afios se tiene un monto de M soles. entonces a) 4.31246N < M < 4.31247N b) 4.7131N < M < 4.71320N e) 4.5949N < M < 5.49500N d) 4.6127N < M < 4 .61128N e) 4.5849N < M < 4.58500N 5. Se compra un artefacto valorizado en 3000 dólares. firmándose 12 letras a una tasa del 6% trimestral. con capitalización mensual. los pagos son al final de cada mes. Si el interés es conlpuesto. el importe en dólares de cada letra es: a) 273.2 b) 279.9 c) 280.2 d) 280.9 e) 283.67 6. ¿Cuál es la tasa efectiva anual que gana un capital. en un banco de cierto país. si los bancos pagan una tasa nominal de 20% anual capitalizable semestralmente. pero el gobierno cobra un impuesto de 10% a las utilidades obtenidas? a) 10% b) 18% c) 18.9% d) 19% e) 20% 7. Un capital de SI. 2 648 se presta a una tasa del 30% trimestral. la deuda debe ser cancelada con 3 cuotas mensuales de igual monto. Considerando que el interés se aplica sobre el saldo adeudado. Halle el valor de la cuota mensual. a) 1060 b) 1 060.8 c) 1 064.8 d) 1 066.2 e) 1 069.2 8. Úna persona solicita un préstamo de 10 000 dólares a un banco. el cual debe pagarlo en tres cuotas iguales cada 6 meses al 10% trimestral con capitalización semestral. Luego de pagar la segunda letra se da cuenta que tiene tan solo 3000 dólares para pagar la tercera letra. entonces deposita este dinero en un banco que le ofrece 7.6% anual. capitalizable mensualmente. ¿Podrá pagar la última cuota con el monto que obtendrá? a) No. le falta $ 91.45 b) No. le falta $ 283.8 e) No. le falta $ 100.65 d) Si. le sobra $ 186.5 e) Si. le sobra $ 634.6 9. Una deuda de N soles se pagará en 3 mensualidades iguales. con una tasa del 20% bimestral sobre el saldo adeudado capitalizable mensualmente. Una vez cancelada la deuda. se habrá pagado en intereses un r% de N. entonces el valor de res: a) 18 b) 20.63 e) 24.1 d) 26.2 e) 28 lO. Un capital se impuso al 5% anual. con capitalización anual. durante 3 afios y produjo un monto de 37 044 soles. ¿En cuánto aumentará el interés (en dólares) producido por dicho capital. si la capitalización fuera semestral? a) 62.18 b) 66.18 e) 70.2 d) 72.25 e) 80.80 5.2.3 CLAVE DE RESPUESTAS 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: I ~ol 5.3 INTERÉS COMPUESTO CONTINUO Si se invierten SI. 1000 al 6% de interés compuesto anualmente. después de un año el monto es SI. 1000(1.06) = SI. 1060. después de dos años es: [10000.06)) 1.06 = SI. 1123.6 Y después de "t" años es SI. 1000(1,06)t. En general, s1 se invierte una cantidad Ao. a una tasa de interés i. cuando pasen t años se tendrá: Ao(l + i)t. sin embargo. en el caso general el interés se capitaliza o se compone con más frecuencia digamos n veces por año. cuando sucede de esta forma. en cada periodo de capitalización la tasa de interés es 1/n y hay nt periodos de capitalización. luego; una inversión SI . 1000 al 6% de interés anual. al cabo de tres años resultará: 1 OOO( 1. 06)3 = 1191.02 con capitalización anual 10000.03)6 = 1194.05 con capitalización semestral 100Ó(1,015)12 = 1195.62 con capitalización trimestral 1000(1.005)36 = 1196.68 con capitalización mensual 1 000( 1 + O, 06)365 x 3 = 1197.20 con capitalización diaria 365 si hacemos que n ~ 00 [ J it n ~t.) = lim A(1 i nt i i + ü) = Ao lim (1 + -) n~- ° n~- n Am =Ao eit A(3) = 1000 eO.06x3 = 1197,22 interés compuesto continuo Luego: C(t) = Co x eit Donde: C(t) : Capital final Co : Capital inicial e = 2,71828.. . base dellogorttmo neperiano i : Tasa t : Tiempo Ejemplo: Si se depositan 6 000 soles en una cuenta de ahorros a un interés