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INTEGRALES EN LINEA U CURVILINEAS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Caminos , Integral de línea de campos escalares , Longitud de arco, Interpretación geométrica, Algunos ejemplos,Integral de línea de campos vectoriales ,Cambios de parámetro ,Relación con la integral de línea de campos escalares , La integral de la componente tangencial,Aplicaciones físicas,Independencia del camino 12 5.1. Segundo teorema fundamental del cálculo (regla de Barrow) para integrales de línea , Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea , Caracterización de los campos vectoriales gradiente , Una condición necesaria para que un campo vectorial sea un gradiente , Aplicaciones físicas , Potencial newtoniano, Principio del trabajo y la energía ,Principio de conservación de la energía mecánica: campos conservativos Momentos de inercia Para la curva material AB los momentos de inercia Ix, Iy, I0 con respecto a los ejes x, y y al origen est´an dados por las f´ormulas Ix = (x2 + y2) δ(x, y) dl. Ejemplo 2.1.3. Determinar el centro de gravedad de una semicircunferencia hecha con un alambre homog´eneo. Soluci´on. Consideremos que la curva es la parte superior de la circunferencia x2+y2 = R2 y que la densidad en cada punto es igual a 1 . En este cap´ıtulo se generaliza el concepto de integral de la Riemann b a f(x) dx de una funci´on f definida y acotada sobre el intervalo [a , b] de n´umeros reales, al caso de integrales de funciones (escalares o vectoriales) definidas sobre curvas (en el plano o en el espacio). Tales integrales son conocidas con los nombres de integrales de l´ınea, integrales curvil´ıneas o integrales de trayectorias. 2.1. Integral de l´ınea de tipo I Consideremos una curva L en el plano xy, de longitud l, que une los puntos A y B, y una funci´on continua f(x, y), de valor real, definida en todos los puntos de la curva L. Dividamos la curva en n subarcos Mi−1Mi mediante los puntos M0 = A,M1,M2, . . . ,Mn = B. Para i = 1, . . . , n, sea Δli la longitud del arco Mi−1Mi. (ver fig. 2.1). Figura 2.1. Divisi´on del arco AB En cada subarco Mi−1Mi escogemos un punto arbitrario (x∗i , y∗i ) y formamos Campos de vectores y formas diferenciales. Integraci´on curvil´ınea: Independencia del camino y existencia de funci´on potencial. Teorema de Green. Aplicaciones Para funciones reales de una variable real, toda funci´on continua g : [a, b] → R es la derivada de su integral indefinida f(x) = R x a g(t)dt. Adem´as, si una derivada f′ : [a, b] → R es integrable, la cl´asica f´ormula de Barrow relaciona la integral de f′ en el intervalo [a, b] con los valores de f en los extremos del mismo. En el contexto de las funciones reales de varias variables si una funci´on f es diferenciable en todos los puntos de su dominio, la alternativa a la funci´on derivada es el campo de formas lineales x → df(x) (o el campo de vectores x → ∇f(x)). Ahora se plantean problemas an´alogos a los mencionados en el caso de las funciones de una sola variable: En primer lugar hay que averiguar cuando un campo de formas lineales (o un campo de vectores) es la diferencial (el gradiente) de alguna funci´on real y en ese caso habr´a que desarrollar mecanismos para calcularla. Los dos planteamientos, el de los campos de formas lineales y el de los campos de vectores conducen a dos lenguajes distintos para tratar el mismo problema. De momento usaremos el m´as familiar de los campos de vectores. La integral curvil´ınea (o integral de l´ınea) que se estudia con detalle en este cap´ıtulo, es la herramienta para calcular, en el caso de que exista, una primitiva de un campo de vectores, es decir una funci´on real cuyo gradiente sea el campo dado. Con ella se obtienen versiones de los teoremas fundamentales del c´alculo an´alogos a los mencionados al principio. La analog´ıa consiste en que ahora la integral curvil´ınea tambi´en relaciona los valores de una funci´on en los extremos de un camino con la integral curvil´ınea de su gradiente a lo largo del mismo. Como consecuencia de esto, cuando se sabe que un campo continuo de vectores es el gradiente de alguna funci´on ´esta se puede calcular mediante la integral curvil´ınea del campo de vectores a lo largo de un camino de origen fijo y extremo variable (una versi´on de la f´ormula f(x) = R x a g(t)dt para obtener una primitiva de la funci´on continua g). Por otra parte, el problema de la existencia de primitiva de un campo de vectores no tiene una soluci´on tan directa como en el caso de las funciones de una sola variable. Ahora no se puede asegurar que un campo continuo de vectores sea un gradiente: Para que un campo de clase C1 sea un gradiente es necesario que las derivadas parciales de sus componentes est´en relacionadas por las condiciones que se precisan en 13.13. Estas condiciones no son suficientes para dominios arbitrarios, pero la integral curvil´ınea sirve para demostrar que son suficientes para dominios especiales (los estrellados). Este resultado es muy ´util en la pr´actica porque proporciona, para este tipo de dominios, una regla sencilla para saber cuando un campo de vectores de clase C1 es un gradiente. La segunda parte del cap´ıtulo est´a dedicada a los aspectos especiales referentes a funciones de dos variables y a campos planos de vectores. En este contexto el resultado sobre los abiertos estrellados que se acaba de mencionar se extiende a la clase m´as amplia de los abiertos simplemente conexos del plano. En segundo lugar se demuestra una versi´on elemental del teorema de Green que tiene diversas aplicaciones. Este teorema puede considerarse como una generalizaci´on de la cl´asica regla de Barrow ya que relaciona una integral doble, en la que intervienen las derivadas parciales de las componentes del campo, con la integral del campo a lo largo del borde del dominio de integraci´on. 13.1. Formas diferenciales e integral curvil´ınea Una forma diferencial de grado 1 en un abierto ⊂ Rn es una campo de formas lineales, es decir una aplicaci´on ω : → L(Rn,R) donde L(Rn,R) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales L : Rn → R. Durante todo este cap´ıtulo s´olo se van a considerar formas diferenciales de grado 1 y por ello cuando se hable de una forma diferencial deber´a entenderse siempre que es de grado 1. Si en el espacio vectorial L(Rn,R) se considera la base dual de la base can´onica de Rn, formada por las proyecciones dxj : (x1, x2, · · · xn) → xj , entonces la forma diferencial ω se escribe en la forma can´onica ω(x) = X j=1 Fj(x)dxj donde Fj son las funciones, definidas en , que dan las coordenadas de ω(x) respecto a esta base. Para cada x ∈ y cada h ∈ Rn, la imagen del vector h mediante la aplicaci´on lineal ω(x) viene dada por ω(x)h = X j=1 Fj(x)dxj ! h = X j=1 Fj(x)hj Si las funciones coordenadas Fj son continuas (resp. de clase Cm) en se dice que ω es continua (resp. de clase Cm) . Esta definici´on es intr´ınseca, es decir, no depende de la base considerada en L(Rn,R). Despu´es de estas definiciones queda establecido el significado de una expresi´on como la siguiente: sen(x + z)dx + zx2y3dy + sen x dz. Por otra parte, en virtud de la estructura eucl´ıdea de Rn, a cada forma diferencial de grado 1, ω : → L(Rn,R) se le puede asociar un campo de vectores F : → Rn, asignando a cada x ∈ , el ´unico vector F(x) ∈ Rn que verifica ω(x)h = hF(x) | hi para todo h ∈ Rn. Rec´ıprocamente, a un campo de vectores F : → Rn se le asocia la forma diferencial ω cuyas funciones coordenadas respecto a la base can´onica de L(Rn,R) son las componentes del campo F. Por las razones que se ver´an m´as adelante, a la forma diferencial Pn j=1 Fj(x)dxj asociada al campo F se le suele llamar trabajo elemental del campo de vectores F. Ejemplo 13.1 Si f : → R es diferenciable en un abierto ⊂ Rn entonces df es una forma diferencial cuya expresi´on can´onica es df(x) = Pn j=1Djf(x)dxj En particular, si f es la restricci´on a de una aplicaci´on lineal L(x) = P j ajxj , entonces df es constante, y su expresi´on can´onica es df(x) = L = Pn j=1 ajdxj, para todo x ∈ . En el ejemplo anterior el campo vectorial asociado a la forma diferencial df es el gradiente, ∇f : → Rn. En lo que sigue 1( ) designar´a el conjunto de las formas diferenciales de grado 1 definidas en , m1 ( ) el subconjunto de 1( ) formado por las formas diferenciables de clase Cm y 01 ( ) el conjunto de las formas diferenciales continuas. Obs´ervese que 1( ) (resp. m1 ( )) es un espacio vectorial real con las operaciones naturales de suma y producto por un escalar (ω + ω′)(x) = ω(x) + ω′(x); (cω)(x) = cω(x) Tambi´en se puede definir el producto de una funci´on f : → R por una forma ω ∈ 1( ) del modo natural: (fω)(x) = f(x)ω(x). En particular, multiplicando las funciones Fj por las formas constantes dxj resultan las formas diferenciales Fjdxj , cuya suma es ω. Si 0( ) es el conjunto de las funciones diferenciables f : → R (se les llama tambi´en formas diferenciales de grado 0) entonces la diferencial d : f → df, es una aplicaci´on lineal d : 0( ) → 1( ) que cumple d(fg) = fdg + gdf. Cuando es conexo su n´ucleo son las funciones constantes (v´ease 5.23). Definici´on 13.2 Si ω es una forma diferencial en un abierto ⊂ Rn y existe una funci´on diferenciable f : → R, tal que ω = df se dice que la forma diferencial ω es exacta y que f es una primitiva de ω. Si para cada a ∈ existe una bola abierta B(a, r) ⊂ tal que ω|B(a,r) es exacta se dice que ω es una forma diferencial cerrada. Es decir, una forma diferencial ω es exacta si est´a en la imagen de la aplicaci´on lineal d : 0( ) → 1( ). Si ω es exacta y es conexo, la primitiva de ω queda un´ıvocamente determinada salvo una constante aditiva. Por las aplicaciones f´ısicas conviene introducir tambi´en la terminolog´ıa alternativa que corresponde al lenguaje de los campos de vectores: Si la forma diferencial ω asociada a un campo de vectores F es exacta y ω = df entonces el campo es un gradiente, F = ∇f, y se dice que f es una funci´on potencial del campo F. Cuando es conexo, la funci´on potencial de un campo de vectores, si existe, no es ´unica, pero dos funciones potenciales del mismo campo difieren en una constante, de modo que una funci´on potencial concreta se determina especificando su valor en un punto. La integral curvil´ınea que se estudia a continuaci´on es la herramienta que permite obtener primitivas de formas diferenciales y caracterizar las formas diferenciales exactas. Con el fin de motivar la definici´on de la integral curvil´ınea comenzamos formul´andola en t´erminos de campos de vectores. Conceptos f´ısicos importantes como el trabajo realizado por una fuerza al mover una part´ıcula material a lo largo de una curva o la circulaci´on de un campo de velocidades a lo largo de una trayectoria se definen mediante integrales curvil´ıneas. Un campo de vectores en un abierto ⊂ Rn es una aplicaci´on continua F : → Rn que se suele representar dibujando, para cada x ∈ , un vector F(x) aplicado en el punto x. Para simplificar la cuesti´on de motivar la definici´on suponemos que es un camino en de clase C1 con derivada no nula en todo punto. Su abscisa curvil´ınea s = v(t), es una funci´on invertible de clase C1 y con la sustituci´on t = v−1(s) se obtiene una representaci´on param´etrica equivalente ˜ (s) = (v−1(s)) cuyo par´ametro es el arco. Si L = Long(γ), para cada s ∈ [0, L] la derivada ˜ ′(s) es un vector tangente unitario y la componente del vector F(˜ (s)) seg´un este vector unitario viene dada por el producto escalar h F(˜ (s)) | ˜ ′(s) i. La integral de este producto escalar, sobre [0, L], representa el trabajo realizado cuando la part´ıcula material se mueve a lo largo de la trayectoria orientada , sometida al campo de fuerzas F. Si se efect´ua el cambio de variable s = v(t), teniendo en cuenta que ′(t) = ˜ ′(s)v′(t), resulta Z L 0 h F(˜ (s)) | ˜ ′(s) ids = Z b a h F( (t)) | ′(t) i dt Esta interpretaci´on es la que motiva la siguiente definici´on Definici´on 13.3 Dado un campo continuo F : → Rn, F = (F1, F2, · · ·Fn) en un abierto ⊂ Rn, y un camino regular a trozos : [a, b] → , = (γ1, γ2, · · · γn), la integral curvil´ınea de F a lo largo de se define as´ı: Z F = Z b a h F( (t)) | ′(t) i dt = Xn j=1 Z b a Fj( (t)) ′j(t) dt Obs´ervese que es derivable en [a, b] salvo en un conjunto finito de puntos x1 < x2 < · · · < xn−1 del intervalo abierto (a, b), por lo que la funci´on f(t) = Xn j=1 Fj( (t)) ′j(t) est´a definida en [a, b] excepto en este conjunto finito. Sin embargo en todos los puntos x1, x2 · · · xn−1 existen las derivadas laterales de , y f coincide en cada intervalo abierto (xi−1, xi) con la restricci´on de una funci´on continua. Si se define f en los puntos x1, x2, ..xn−1, asign´andole valores arbitrarios, se obtiene una funci´on integrable Riemann cuya integral no depende de los valores asignados a f en estos puntos (recu´erdese que si una funci´on integrable se modifican en un conjunto finito de puntos se obtiene otra funci´on integrable con la misma integral). A la integral curvil´ınea tambi´en se le suele llamar integral de l´ınea o integral de contorno y para ella tambi´en se suelen utilizar las notaciones Z h F | d i = Z Xn j=1 Fj dxj = Xn j=1 Z Fj dγj En el lenguaje de las formas diferenciales, la definici´on se formula as´ı Definici´on 13.4 Sea ω(x) = Pn j=1 Fj(x)dxj una forma diferencial de grado 1 de- finida y continua en un abierto ⊂ Rn. Si : [a, b] → es un camino regular a trozos, la integral curvil´ınea de ω a lo largo de se define como la integral curvil´ınea del campo de vectores asociado: Z ω = Z b a ω( (t)) ′(t) dt = Z b a Xn j=1 Fj( (t)) ′j(t) dt = Xn j=1 Z b a Fj( (t))γ′j (t) dt donde γj, 1 ≤ j ≤ n, son las componentes de . Las consideraciones preliminares que han motivado la definici´on, la integral curvil ´ınea de un campo de vectores F a lo largo de un camino regular a trozos se puede interpretar como la integral respecto al arco de la componente de F seg´un la direcci´on de la tangente al camino Por ello importantes conceptos f´ısicos, como el trabajo realizado por una fuerza al mover una part´ıcula material a lo largo de una curva o la circulaci´on de un campo de velocidades a lo largo de una trayectoria se expresan mediante integrales curvil´ıneas de campos de vectores. Esta interpretaci´on f´ısica es la que motiva el nombre de trabajo elemental del campo F que se suele utilizar para designar la forma diferencial Pn j=1 Fj(x)dxj . Aunque para interpretaciones f´ısicas conviene considerar las integrales curvil´ıneas en t´erminos de campos de vectores, sin embargo, desde el punto de vista algor´ıtmico del c´alculo tienen ventaja las integrales curvil´ıneas expresadas en t´erminos de formas diferenciales. Con ellas se pone de manifiesto la utilidad de la expresi´on can´onica de una forma diferencial y la ventaja de la notaci´on empleada para la base can´onica de L(Rn,R): Para calcular la integral de una forma diferencial ω sobre un camino x(t) = (x1(t), · · · xn(t)) basta calcular la integral definida de la funci´on que se obtiene sustituyendo formalmente, xj = xj(t), dxj = x′j(t) dt en la expresi´on can´onica de la forma diferencial Xn j=1 Fj(x1, x2, · · · , xn)dxj Orientaci´on de un arco de curva regular a trozos. Para caminos regulares a trozos, que son los que intervienen en la integral curvil´ınea, conviene considerar la siguiente relaci´on de equivalencia: Dos caminos regulares a trozos f , g son equivalentes como caminos regulares a trozos cuando se pueden expresar en la forma f = f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fm, g = g1 ∨ g2, ∨· · · , gm donde, para cada k ∈ {1, · · ·m} los caminos fk y gk son C1 equivalentes. Es f´acil ver que, en este caso, un camino se obtiene efectuando en el otro un cambio de par´ametro estrictamente mon´otono regular a trozos. Cuando sea creciente diremos que los dos caminos tienen la misma orientaci´on y cuando sea decreciente que tienen orientaciones opuestas. En el primer caso los dos caminos tienen el mismo origen y el mismo extremo, pero en el segundo caso el origen de un camino coincide con el extremo del otro y los dos caminos recorren el mismo trayecto, pero en sentidos opuestos. La noci´on de caminos regulares a trozos equivalentes es una relaci´on de equivalencia y cada clase de equivalencia se dice que es un arco de curva regular a trozos. An´alogamente se define la noci´on de arco de curva orientado regular a trozos considerando como relaci´on de equivalencia la de caminos regulares a trozos equivalentes con la misma orientaci´on. Un arco de curva regular a trozos queda orientado cuando se elige una de sus representaciones param´etricas regulares a trozos. Las siguientes propiedades de la integral curvil´ınea son consecuencia inmediata de la definici´on y de las propiedades b´asicas de la integral de Riemann: Proposici´on 13.5 Sean F1, F2 campos de vectores definidos y continuos en un abierto ⊂ Rn y , 1, 2 caminos regulares a trozos en . Se verifica: i) R (F1 + F2) = R F1 + R F2 ii) R F = R 1 F + R 2 F si = 1 ∨ 2 iii) R ∼ F = − R F iv) Si 1, 2 son caminos regulares a trozos equivalentes entonces R 1 F = ǫ R 2 F donde ǫ = 1 (resp. ǫ = −1) si los caminos tienen la misma orientaci´on (resp. orientaciones opuestas). La propiedad iv) de la proposici´on 13.5 permite definir la integral curvil´ınea de un campo de vectores continuo sobre un arco de curva orientado regular a trozos, a trav´es de una cualquiera de sus representaciones param´etricas admisibles. Es decir, la integral curvil´ınea es realmente una noci´on asociada al arco de curva orientado, que cambia de signo cuando se cambia su orientaci´on. Aunque no se acostumbra a hacer ´enfasis en este hecho, sin embargo se hace uso frecuente del mismo sin advertirlo expl´ıcitamente. As´ı por ejemplo, como cualquier camino regular a trozos es equivalente a otro, con la misma orientaci´on, cuyo dominio es un intervalo prefijado, frecuentemente se asume que el camino que interviene en una integral curvil´ınea est´a definido en el intervalo que convenga en cada caso. Esto es lo que se hace cuando se considera la yuxtaposici´on de dos caminos, que a priori no est´an definidos en intervalos contiguos, siempre que el extremo del primero coincida con el origen del segundo (para definir expl´ıcitamente la yuxtaposici´on ser´ıa preciso reparametrizar los caminos en intervalos contiguos). Proposici´on 13.6 Sea F(x) = (F1(x), · · · , Fn(x)) un campo vectorial continuo en un abierto ⊂ Rn y un camino regular a trozos en . Entonces Z F ≤ MLong( ) con M = sup{kF(x)k2 : x ∈ ([a, b])} Dem: En virtud de la desigualdad de Cauchy, si x ∈ ([a, b]) |h F(x) | h i| ≤ kF(x)k2 khk2 ≤ M khk2 luego Z F ≤ Z b a |h F( (t)) | ′(t) i| dt ≤ M Z b a k ′(t)k2 dt = MLong( ) Se deja al cuidado del lector el enunciado de los resultados anteriores en t´erminos de formas diferenciales. En lo que sigue, por comodidad de notaci´on, consideraremos preferentemente integrales curvil´ıneas de formas diferenciales. Independencia del camino. Definici´on 13.7 Si ω es una forma diferencial de grado 1 definida y continua en un abierto ⊂ Rn, se dice que la integral curvil´ınea R ω no depende del camino en si para cada par de caminos regulares a trozos 1, 2 en , con el mismo origen y el mismo extremo, se verifica R 1 ω = R 2 ω. Proposici´on 13.8 Si ω es una forma diferencial de grado 1 continua en un abierto ⊂ Rn son equivalentes a) La integral curvil´ınea R ω no depende del camino en . b) R ω = 0 para cada camino en , cerrado y regular a trozos. Dem: a) ⇒ b) es inmediato pues todo camino cerrado tiene los mismos extremos que un camino constante. b) ⇒ a) Si 1, 2 son caminos regulares a trozos en con los mismos extremos entonces = 1 ∨ (∼ 2) es un camino cerrado en y por hip´otesis 0 = Z ω = Z 1 ω − Z 2 ω Ejemplo 13.9 La forma diferencial ω(x, y) = ydx + 2xdy, est´a definida en todo el plano, y su integral curvil´ınea R ω depende del camino. Dem: Obs´ervese 1(t) = (t, t) y 2(t) = (t, t2), t ∈ [0, 1], son caminos en R2 con el mismo origen y el mismo extremo, que proporcionan distinta integral curvil´ınea. La siguiente proposici´on que da una condici´on suficiente para que la integral de l´ınea R ω sea independiente del camino en , proporciona el procedimiento estandar para conseguir una primitiva de una forma diferencial exacta. Proposici´on 13.10 Sea ω una forma diferencial de grado 1 continua en un abierto ⊂ Rn. Si ω es exacta y f es una primitiva de ω entonces para todo camino regular a trozos en de origen x y extremo y, se verifica Z ω = f(y) − f(x) Dem: Sea ω = df donde f : → R es diferenciable. Consideremos una subdivisi´on a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b de [a, b] tal que cada |[xj−1,xj ] es de clase C1. Entonces Z ω = Z df = Xn j=1 Z xj xj−1 df( (t)) ′(t) dt = Xn j=1 Z xj xj−1 (f ◦ )′(t) dt Utilizando el teorema fundamental del c´alculo y recordando que (a) = x, (b) = y se obtiene Z ω = Xn j=1 [f( (xj) − f( (xj−1))] = f( (b)) − f( (a)) = f(y) − f(x) Esta ´ultima proposici´on pone de manifiesto que cuando se sabe que una forma diferencial ω es exacta, ω = df, la integral curvil´ınea es la herramienta adecuada para determinar (salvo una constante) la primitiva f: Si es conexo, se obtiene una primitiva f de ω fijando un punto a ∈ y definiendo f(x) = R x ω donde x es cualquier camino en , regular a trozos, con origen fijo en a y extremo variable x ∈ . (Si no es conexo se obtiene la primitiva procediendo como se acaba de indicar en cada una de sus componentes conexas). En el lenguaje de los campos de vectores, e interpretando la integral curvil´ınea como trabajo, la proposici´on anterior se traduce en el principio f´ısico que dice que si un campo de fuerzas F admite funci´on potencial f, entonces el trabajo realizado cuando una part´ıcula recorre la trayectoria sometida al campo de fuerzas F es igual a la diferencia del potencial del campo entre los extremos de la trayectoria. En este caso el trabajo realizado no depende de la trayectoria que ha seguido la part´ıcula; s´olo depende de la posici´on final y de la posici´on inicial de la misma. Por esta raz´on se llaman conservativos a los campos de fuerzas cuya integral curvil´ınea no depende del camino, es decir el trabajo que realizan a lo largo de un camino s´olo depende de los extremos del camino. En particular, no se realiza trabajo al cuando la part´ıcula recorre una trayectoria cerrada. Con el siguiente teorema quedan caracterizados los campos conservativos como aquellos que tienen funci´on potencial. Teorema 13.11 Si ω es una forma diferencial continua, de grado 1, definida en un abierto ⊂ Rn son equivalentes a) ω es exacta. b) R ω = 0 para cada camino cerrado y regular a trozos en . Dem: a) ⇒ b) Es consecuencia inmediata de la proposici´on 13.10 b) ⇒ a) No es restrictivo suponer que es conexo y por lo tanto conexo por poligonales, (si no es as´ı se aplica el siguiente razonamiento en cada componente conexa). Fijado a ∈ , para cada x ∈ existe un camino regular a trozos x : [0, 1] → de origen a = x(0) y extremo x = x(1) y se define f(x) = Z x ω. En virtud de la proposici´on 13.8 la definici´on de f(x) s´olo depende del extremo x del camino. El objetivo es demostrar que f es diferenciable en con df(x) = ω(x) para todo x ∈ . Es decir, hay que demostrar que ǫ(h) = f(x + h) − f(x) − ω(x)h verifica l´ım h → 0 ǫ(h)/khk2 = 0 Fijado un punto x ∈ comenzamos eligiendo ρ > 0 tal que B(x, ρ) ⊂ . De esta forma, si khk < ρ, podemos asegurar que el segmento σ(t) = x + th, t ∈ [0, 1] est´a contenido en y con ello que el camino regular a trozos x ∨ σ, de origen a y extremo x + h, est´a contenido en , de modo que podemos utilizado para calcular f(x + h). Usando las propiedades de la integral curvil´ınea f(x + h) − f(x) = Z x∨σ ω − Z x ω = Z σ ω Si F es el campo vectorial asociado a ω, como σ′(t) = h, resulta ǫ(h) = Z σ ω − ω(x)h = Z 1 0 h F(σ(t)) − F(x) | h i dt Como F es continuo en x ∈ existe B(x, r) ⊂ B(x, ρ) tal que kF(y) − F(x)k2 < ǫ para todo y ∈ B(x, r). Entonces, si khk2 < r, en virtud de la desigualdad de Cauchy, |h F(σ(t)) − F(x) | h i| ≤ kF(σ(t)) − F(x)k2 khk2 ≤ ǫ khk2 y se obtiene |ǫ(h)| ≤ Z 1 0 |h F(σ(t)) − F(x) | h i| dt ≤ ǫ khk2 es decir khk2 < r ⇒ |ǫ(h)| < ǫ khk2 y esto termina la prueba. Si ω(x) = df(x) = Pn j=1Djf(x)dxj es una forma diferencial exacta de clase C1, sus funciones coordenadas Fj(x) = Djf(x) son de clase C1, lo que significa que f es de clase C2 y aplicando el teorema de Young 6.4 se obtiene que que para todo i, j ∈ {1, 2 · · ·n} y todo x ∈ se cumple DiFj(x) = Dijf(x) = Djif(x) = DjFi(x). El rec´ıproco se cumple cuando el abierto es estrellado: Definici´on 13.12 Un abierto de Rn se dice que es estrellado si hay un punto a ∈ tal que para cada x ∈ el segmento [a, x] est´a contenido en . Teorema 13.13 Si ω(x) = Pn j=1 Fj(x)dxj es una forma diferencial de clase C1 definida en un abierto estrellado ⊂ Rn, son equivalentes: i) ω es exacta. ii) DiFj(x) = DjFi(x) para cada i, j ∈ {1, 2, · · ·n} y cada x ∈ . Dem: Ya hemos visto que i) ⇒ ii) aunque no sea estrellado, ii) ⇒ i) Supongamos, para simplificar la escritura, que es estrellado respecto al origen. Para cada x ∈ sea σx(t) = tx, t ∈ [0, 1], el segmento de origen 0 y extremo x, que por hip´otesis est´a contenido en , lo que permite definir la funci´on f(x) = Z σx ω = Z 1 0 h F(tx) | x i dt = Z 1 0 h(x, t) dt donde F es el campo vectorial asociado a ω. La funci´on h(x, t) = Xn j=1 xjFj(tx) posee derivadas parciales continuas respecto a las variables x1, x2, · · · xn ∂h ∂xk (x, t) = Fk(tx) + Xn j=1 txjDkFj(tx) En virtud de la hip´otesis ii), DkFj = DjFk luego ∂h ∂xk (x, t) = Fk(tx) + Xn j=1 txjDjFk(tx) = d dt (tFk(tx)) Utilizando 12.10 se concluye que f posee derivadas parciales continuas en que se obtienen derivando bajo la integral Dkf(x) = Z 1 0 ∂h ∂xk h(x, t) dt = Z 1 0 d dt (tFk(tx))dt = Fk(x), 1 ≤ k ≤ n luego f es diferenciable en y df = ω Como las bolas son conjuntos estrellados, aplicando el teorema anterior sobre cada bola B(a, r) ⊂ se caracterizan las formas diferenciales cerradas de clase C1 Corolario 13.14 Si ω(x) = Pn j=1 Fj(x)dxj es una forma diferencial de clase C1 definida en un abierto ⊂ Rn, son equivalentes: i) ω es cerrada. ii) DiFj(x) = DjFi(x) para cada i, j ∈ {1, 2, · · ·n} y cada x ∈ . El siguiente ejemplo pone de manifiesto que el resultado expuesto en el teorema 13.13 no se cumple cuando es un abierto arbitrario. Ejemplo 13.15 En virtud del corolario 13.14 la forma diferencial ω(x, y) = −y x2 + y2 dx + x x2 + y2 dy es cerrada en el abierto = R2 \ {0}. Sin embargo no es exacta porque C(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π es un camino cerrado en y R C ω = 2π 6= 0. Ejemplo 13.16 En virtud del teorema 13.13 la forma diferencial ω(x, y) = 2xydx + (x2 + 2y)dy, definida en R2, es exacta. Si f : R → R es una primitiva de ω debe cumplir D1f(x, y) = 2xy, D2f(x, y) = x2 + 2y. De la primera condici´on se sigue que f es de la forma f(x, y) = x2y + ϕ(y) donde ϕ : R → R es una funci´on derivable, y utilizando la segunda condici´on se llega a que x2+2y = x2+ϕ′(y) luego ϕ(y) = y2+c. Se obtiene as´ı la primitiva f(x, y) = x2y + y2 + c. 13.2. Formas diferenciales en el plano En esta secci´on se consideran aspectos particulares de las formas diferenciales de dos variables que escribiremos en la forma ω(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Mediante el corolario 13.14 han quedado caracterizadas las formas diferenciales cerrada de clase C1 como aquellas que verifican la condici´on D2P = D1Q. Cuando n = 2 las formas diferenciales cerradas tambi´en se pueden caracterizar mediante una condici´on de distinta naturaleza, que tiene la ventaja de aplicarse a formas diferenciales que s´olo se suponen continuas (v´ease 13.17). Tambi´en se estudia en esta secci´on el problema general de la independencia del camino para el caso de las formas diferenciales de dos variables. En lo que sigue cuando se hable de rect´angulos en el plano se supondr´a que son cerrados de lados paralelos a los ejes, es decir, de la forma R = {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]} En ese caso ∂R denota al camino poligonal cerrado que recorre la frontera en el sentido (a, c) → (b, c) → (b, d) → (a, d) → (a, c). Diremos que es un abierto especial si existe (a, b) ∈ tal que para cada (x, y) ∈ el rect´angulo R de v´ertices opuestos (a, b), (x, y) est´a contenido en . (N´otese que R puede degenerar en un segmento si x = a o si y = b). Son abiertos especiales los discos, los semiplanos abiertos determinados por rectas paralelas a uno de los ejes y los cuadrantes abiertos. Para los abiertos especiales se verifica Teorema 13.17 Si ω(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy es una forma diferencial defi- nida y continua en un abierto especial ⊂ R2, son equivalentes a) ω es exacta. b) R ∂R ω = 0 para cada rect´angulo R ⊂ . Dem: a) ⇒ b) est´a probado en 13.11. b) ⇒ a) Sea (a, b) ∈ un punto tal que para todo (x, y) ∈ el rect´angulo R determinado por (a, b), (x, y) est´a contenido en . Su borde orientado es la yuxtaposici´on de cuatro segmentos ∂R = σ1 ∨ σ2 ∨ σ3 ∨ σ4 donde σj son los segmentos que se indican a continuaci´on σ1 es el segmento horizontal de origen (a, b) y extremo (x, b). σ2 es el segmento vertical de origen (x, b) y extremo (x, y). σ3 es el segmento horizontal de origen (x, y) y extremo (a, y). σ4 es el segmento vertical de origen (a, y) y extremo (a, b). Consideremos los dos caminos 1 = σ1 ∨ σ2, 2 = (∼ σ3) ∨ (∼ σ4) de origen (a, b) y extremo (x, y). Como ∂R = 1 ∨ (∼ 2), en virtud de la hip´otesis b) se cumple Z 1 ω − Z 2 ω = Z ∂R = 0 Para cada (x, y) ∈ sea f(x, y) = R (x,y) ω donde (x,y) es uno de los dos caminos 1, 2 que se acaban de considerar. Bastar´a demostrar que para todo (x, y) ∈ se cumple D1f(x, y) = P(x, y) y D2f(x, y) = Q(x, y) pues de aqu´ı se sigue, usando la continuidad de P y Q, que f es diferenciable en con df = ω. Fijado (x, y) ∈ , sea r > 0 tal que B((x, y), r) ⊂ . Entonces si |h| ≤ r podemos asegurar que el segmento σh(t) = (x + th, y), 0 ≤ t ≤ 1, est´a contenido en B((x, y), r). Si usamos el camino 2 para calcular f(x, y) y el camino 2 ∨ σh para calcular f(x + h, y) obtenemos la siguiente expresi´on del cociente incremental (h) = f(x + h, y) − f(x, y) h = 1 h Z σh ω = 1 h Z 1 0 P(x + th, y)h dt En virtud del teorema 12.9 la funci´on (h) = R 1 0 P(x + th, y) dt es continua en [−r, r] y se sigue que l´ımh → 0 (h) = (0) = P(x, y). Con un razonamiento an´alogo se demuestra que D2f = Q. En este caso, hay que considerar cociente incremental (h) = f(x, y + h) − f(x, y) h y para calcular f(x, y +h) (resp. f(x, y)) debemos usar el camino 1 ∨σh (resp. 1) con σh(t) = (x, y + th), 0 ≤ t ≤ 1. nota: En las condiciones del teorema anterior, haciendo expl´ıcitas las dos integrales de l´ınea que se pueden usar para obtener la primitiva f se llega a las siguientes f´ormulas para una primitiva de P(x, y)dx + Q(x, y)dy en . f(x, y) = Z y y0 Q(x0, t) dt + Z x x0 P(t, y) dt = Z x x0 P(t, y0) dt + Z y y0 Q(x, t) dt En la definici´on de forma diferencial cerrada s´olo se exige que fijado un punto a ∈ haya una bola suficientemente peque˜na B(a, r) ⊂ donde la forma diferencial tenga primitiva. Cuando n = 2 ocurre lo mismo cuando la bola se toma todo lo grande que se pueda. Esto es consecuencia de la siguiente proposici´on, seg´un la cual en los abiertos especiales toda forma diferencial continua y cerrada es exacta. Proposici´on 13.18 Si ω es una forma diferencial de grado 1 definida y continua en un abierto ⊂ R2, son equivalentes: a) ω es cerrada. b) R ∂R ω = 0 para cada rect´angulo R ⊂ . c) ω posee primitiva en cada abierto especial V ⊂ (y en particular en cada bola B(a, r) ⊂ ) Dem: b) ⇒ c) est´a probado en 13.17 y c) ⇒ a) es evidente. a) ⇒ b) Se puede probar por reducci´on al absurdo, suponiendo que R ∂R ω 6= 0 para alg´un rect´angulo cerrado R ⊂ . Sea  = di´ametro(R). Trazando los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos se descompone R en cuatro rect´angulos congruentes R1,R2,R3,R4. Teniendo en cuenta las cancelaciones de la integral curvil´ınea sobre segmentos opuestos resulta: 0 6= Z ∂R ω = X4 j=1 Z ∂Rj ω luego R ∂Ri ω 6= 0 para alg´un i ∈ {1, 2, 3, 4}. Si R1 = Ri se tiene, di´ametro(R1) = /2. Repitiendo con R1 el razonamiento que se acaba de hacer con R se obtiene un rect´angulo cerrado R2 ⊂ R1 tal que di´ametro(R2) = /2 y R ∂R2 ω 6= 0. De modo recurrente se obtiene una sucesi´on decreciente de rect´angulos cerrados Rn tal que para todo n ∈ N se cumple di´ametro(Rn) = /2n y Z ∂Rn ω 6= 0 La intersecci´on de la sucesi´on decreciente de compactos Rn no es vac´ıa (de hecho se reduce a un punto). Si (x0, y0) ∈ T n∈N Rn, por hip´otesis ω tiene primitiva en alguna bola B = B((x0, y0), r) ⊂ . Sin embargo para n suficientemente grande es Rn ⊂ B y R ∂Rn ω 6= 0. Con esta contradicci´on concluye la demostraci´on Homotop´ıa e independencia del camino. Diremos provisionalmente que un abierto ⊂ R2 tiene la propiedad P si todas las formas diferenciales cerradas y continuas definidas en son exactas. Seg´un el ejemplo 13.15 el abierto = R2 \{(0, 0)} no tiene la propiedad P y la proposici´on 13.18 dice que todos los abiertos especiales la tienen. Los abiertos con la propiedad P se pueden caracterizar en t´erminos topol´ogicos mediante la noci´on de homotop´ıa que estudiamos a continuaci´on. Definici´on 13.19 Dos caminos cerrados 0, 1 : [0, 1] → en un abierto ⊂ R2 se dice que son -homot´opicos (como caminos cerrados) si existe una funci´on continua H : [0, 1] × [0, 1] → que verifica: i) H(0, t) = 0(t), H(1, t) = 1(t), para todo t ∈ [0, 1]. ii) H(s, 0) = H(s, 1) para todo s ∈ [0, 1]. Dos caminos 0, 1 : [0, 1] → , con los mismos extremos: 0(0) = 1(0) = x0, 0(1) = 1(1) = x1, se dice que son -homot´opicos (con los extremos fijos) si existe una funci´on continua H : [0, 1] × [0, 1] → que cumple: i) H(0, t) = 0(t), H(1, t) = 1(t), para todo t ∈ [0, 1]. ii) H(s, 0) = x0, H(s, 1) = x1 para todo s ∈ [0, 1]. Para interpretar el significado de la -homotop´ıa de caminos cerrados consideremos el conjunto ( ) formado por los caminos cerrados : [0, 1] → , dotado de la distancia de la convergencia uniforme d∞( , ) = m´ax{k (t) − (t)k2 : 0 ≤ t ≤ 1} Si H : [0, 1] × [0, 1] → es una homotop´ıa entre los caminos cerrados 0, 1, para cada s ∈ [0, 1] la funci´on parcial Hs : [0, 1] → , Hs(t) = H(s, t) es un camino cerrado en , con H0 = 0 y H1 = 1. Como H es uniformemente continua en el compacto [0, 1] × [0, 1], dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si s, s′ ∈ [0, 1] y t, t′ ∈ [0, 1] verifican |s − s′| < δ, |t − t′| < δ entonces kH(s, t) − H(s′, t′)k2 < ǫ. Entonces, si |s − s′| < δ, para cada t ∈ [0, 1] se verifica d∞(Hs,Hs′) ≤ ǫ, lo que significa que la aplicaci´on s → Hs de [0, 1] en el espacio m´etrico (( ), d∞) es continua. Vemos as´ı que el hecho de que dos caminos cerrados 0 y 1 sean -hom´otopicos (como caminos cerrados) significa que existe una familia uniparam´etrica Hs de caminos cerrados en , que depende continuamente de s ∈ [0, 1], mediante la cual el camino 0 = H0 se va deformando continuamente, dentro de , hasta transformarse en 1 = H1. La interpretaci´on de la -homotop´ıa de caminos con extremos fijos es similar considerando el conjunto x0x1( ) formado por los caminos : [0, 1] → , con (0) = x0, (1) = x1, dotado de la m´etrica de la convergencia uniforme. Ahora todos los caminos intermedios Hs tienen los mismos extremos que 0 y 1. Comenzamos con algunas observaciones preliminares que ayudar´an a redactar la prueba de teorema 13.22. Si ω es una forma diferencial cerrada definida en un abierto ⊂ R2, dados dos caminos regulares a trozos con los mismos extremos , ˜ : [0, 1] → , diremos que ˜ es una ω-modificaci´on elemental de si existe un intervalo [t0, t1] ⊂ [0, 1] tal que (t) = ˜ (t) para todo t ∈ [0, 1] \ [t0, t1] y adem´as ([t0, t1]) ⊂ D, ˜ ([t0, t1]) ⊂ D donde D ⊂ es un disco abierto tal que ω|D es exacta. Si ˜ se obtiene a partir de mediante una cadena finita de modificaciones elementales sucesivas diremos que ˜ es una ω-modificaci´on de . Lema 13.20 Sea ω una forma diferencial cerrada y continua, definida en un abierto ⊂ R2 y , ˜ : [0, 1] → dos caminos regulares a trozos en , con los mismos extremos. Si ˜ es una ω-modificaci´on de se cumple Z ω = Z ˜ ω Dem: Basta demostrarlo cuando ˜ es una ω-modificaci´on elemental de . En este caso basta observar que las integrales de ω a lo largo de |[t0,t1] y ˜ |[t0,t1] coinciden en virtud del teorema 13.11. Lema 13.21 Sea ω una forma diferencial cerrada, definida en un abierto ⊂ R2 y H : Q → una funci´on continua definida en Q = [0, 1]×[0, 1]. Entonces existe una subdivisi´on p ∈ P(Q) tal que para cada rect´angulo S ∈ (p) hay un disco abierto DS ⊂ tal que H(S) ⊂ DS y ω|DS es exacta. Dem: Consideremos una sucesi´on pn ∈ P(Q) tal que cada pn+1 es m´as fina que pn y kpnk → 0. Para cada n, diremos que S ∈ (pn) es aceptable si cumple la condici´on requerida en el enunciado (e.d. existe un disco abierto DS ⊂ tal que H(S) ⊂ DS y ω|DS es exacta). Sea Kn la uni´on de los rect´angulos no aceptables S ∈ (pn). Al refinar una subdivisi´on, los rect´angulos aceptables se descomponen en rect´angulos aceptables luego Kn es una sucesi´on decreciente de compactos. La prueba habr´a terminado cuando probemos que alg´un Kn es vac´ıo (ya que, en ese caso, todos los rect´angulos de (pn) ser´an aceptables). Esto lo haremos por reducci´on al absurdo. Si suponemos lo contrario la intersecci´on de la sucesi´on decreciente de compactos Kn ser´a no vac´ıa y si a = (s0, t0) es un punto de esta intersecci´on, para cada n existir´a un rect´angulo no aceptable Sn ∈ (pn) tal que a ∈ Sn. Por otra parte, como ω es cerrada habr´a un disco D = B(H(a), r) ⊂ tal que ω|D es exacta. Entonces, en virtud de la continuidad de H, existir´a δ > 0 tal que H(Q∩B(a, δ)) ⊂ D. Como a ∈ Sn y diam(Sn) ≤ kpnk → 0, para alg´un n se cumplir´a Sn ⊂ Q∩B(a, δ) luego H(Sn) ⊂ D y por lo tanto Sn ser´a aceptable. Con esta contradicci´on queda demostrado que alg´un Kn es vac´ıo Teorema 13.22 Sea ω : → L(R2,R) una forma diferencial cerrada, definida y continua en un abierto ⊂ R2. Si 0, 1 : [0, 1] → son caminos regulares a trozos -homot´opicos con los extremos fijos se cumple Z 0 ω = Z 1 ω Dem: En virtud del lema 13.20 basta demostrar que 1 es una ω-modificaci´on de 0. Sea Q = [0, 1] × [0, 1] y H : Q → una homotop´ıa de caminos con extremos fijos entre 0 y 1. Seg´un el lema 13.21 existe una subdivisi´on de Q, p = ((s0, s1, · · · sn), (t0, t1, t2, · · · tm)) tal que para cada rect´angulo Sij = [si−1, si]×[tj−1, tj ], existe un disco abierto Dij ⊂ tal que H(Sij) ⊂ Dij y ω|Dij es exacta. . Consideremos los caminos continuos sk(t) = H(sk, t), t ∈ [0, 1]. Para 1 ≤ k < n sea χsk el camino poligonal de origen x0 = 0(0) y extremo x1 = 0(1), inscrito en sk , con v´ertices en los puntos sk(ti), 1 ≤ i < m; es decir, χsk se obtiene mediante yuxtaposici´on sucesiva de los segmentos [ sk(ti−1), sk(ti)] i = 1, · · ·m. En una primera etapa el camino 0 se transforma en la poligonal χs1 mediante una cadena de m modificaciones elementales, sucesivas β1, β2, · · · βm, realizadas en la forma indicada en la figura. La primera modificaci´on β1 de 0 se realiza dentro del disco D11, sustituyendo el trozo del camino 0|[t0,t1] por la yuxtaposici´on de dos segmentos contenidos en este disco. An´alogamente la modificaci´on βj+1 de βj se realiza dentro del disco D1j , donde ω tiene primitiva. En una segunda etapa, mediante otra cadena de m modificaciones elementales sucesivas se transforma la poligonal χs1 en la poligonal χs2. Finalmente, en la ´ultima etapa se obtiene 1 como una ω-modificaci´on de la poligonal χn−1. Queda demostrado as´ı que 1 es una ω-modificaci´on de 0. γ0 γs1 x0 x1 D11 β1 ........................................................................................................................ γ0 γs1 x0 x1 D12 . β2 ......... ....................................................................................................... γ0 γs1 x0 x1 ...... D13 . β3 ......... .................................................................................... γ0 χ1 x0 x1 Fin de la primera etapa . Con una demostraci´on similar se obtiene Teorema 13.23 Sea ω : → L(R2,R) una forma diferencial cerrada, definida y continua en un abierto ⊂ R2. Si 0, 1 : [0, 1] → son caminos cerrados regulares a trozos -homot´opicos (como caminos cerrados) se cumple Z 0 ω = Z 1 ω Definici´on 13.24 Un subconjunto abierto y conexo ⊂ R2 se dice que es sim- plemente conexo si cada camino cerrado en es -homot´opico a un camino constante. Los abiertos estrellados son simplemente conexos: Todo abierto estrellado ⊂ R2 es conexo porque es conexo por poligonales y si : [0, 1] → es un camino cerrado en , que se supone estrellado respecto al punto a ∈ , entonces la funci´on H(s, t)) = sa + (1 − s) (t) ∈ , (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 1] establece una homotop´ıa en mediante la cual = H0 se transforma en el camino constante H1 = a. Tambi´en es inmediato que todo abierto homeomorfo a un abierto simplemente conexo es simplemente conexo. Se sigue de esto que son simplemente conexos todos los abiertos ⊂ R2 que son homeomorfos al disco D(0, 1). El siguiente resultado topol´ogico, que no ser´a demostrado, proporciona una caracterizaci ´on ´util de los abiertos simplemente conexos como los abiertos conexos que no tienen orificios. Esta noci´on se formula de modo preciso utilizando la compactificaci ´on por un punto del plano eucl´ıdeo R2, denotada R2 ∞ . Proposici´on 13.25 Las siguientes propiedades de un abierto conexo ⊂ R2 son equivalentes a) es homeomorfo al disco D(0, 1). b) es simplemente conexo. c) Toda pareja de caminos en con los mismos extremos, son -homot´opicos como caminos con extremos fijos. d) Para toda curva cerrada simple (curva de Jordan) C en la regi´on interior a C est´a contenida en . e) R2 ∞ \ es conexo. Teorema 13.26 Si ω es una forma diferencial cerrada definida y continua en un abierto simplemente conexo ⊂ R2 se verifica: a) R ω = 0 para cada camino cerrado y regular a trozos en b) R 0 ω = R 1 ω para cada par de caminos 0, 1 en regulares a trozos y con los mismos extremos. Es decir toda forma diferencial cerrada ω definida y continua en un abierto simple- mente conexo es exacta. Dem: a) Como es simplemente conexo es -homot´opico a un camino constante 1, para el que es obvio que R 1 ω = 0, luego, en virtud del teorema 13.22, R ω = 0. b) Si se plica a) al camino cerrado = 0 ∨(∼ 1) resulta 0 = R ω = R 0 ω− R 1 ω. (tambi´en se puede obtener como consecuencia de 13.25 y 13.22) y con el teorema 13.11 se concluye que ω es exacta. Corolario 13.27 Sea ω = P(x, y)dx+Q(x, y)dy una forma diferencial continua en un abierto simplemente conexo ⊂ R2. Son equivalentes a) ω es exacta. b) R ∂R ω = 0 para todo rect´angulo cerrado R ⊂ . Cuando P,Q son de clase C1( ) tambi´en es equivalente c) D2P(x, y) = D1Q(x, y) para todo (x, y) ∈ . Dem: Es consecuencia inmediata de 13.26, 13.18 y 13.14. 13.3. El teorema de Green La f´ormula de Green relaciona una integral doble sobre un recinto plano M con una integral de l´ınea a lo largo de su frontera ∂M: Z M (D1Q − D2P)dxdy = Z ∂M Pdx + Qdy Las hip´otesis para la validez de esta f´ormula son las naturales para que tengan sentido las integrales que figuran en ella: Por una parte M ⊂ R2 es un compacto medible Jordan cuya frontera ∂M es una curva cerrada simple, regular a trozos (brevemente, regi´on de Green). En la integral curvil´ınea de la derecha se supone que la frontera ∂M est´a orientada positivamente (es decir, en el sentido opuesto al de las manecillas del reloj). Por otra parte, para asegurar la existencia de las integrales involucradas, se supone que P y Q son funciones continuas en un abierto ⊃ M donde existen y son continuas las derivadas parciales D1Q, D2P. La condici´on de que ∂M sea una curva cerrada simple regular a trozos significa que existe un camino cerrado simple y regular a trozos : [0, 1] → R2, tal que ∂M = ([0, 1]). Las curvas cerradas simples se suelen llamar curvas de Jordan, debido al famoso teorema de Camile Jordan (1838-1922) que asegura que toda curva plana cerrada simple descompone al plano en dos abiertos conexos que tienen a la curva como frontera com´un. Uno de ellos es acotado y se llama regi´on interior a la curva y el otro, que no es acotado, se llama regi´on exterior. La orientaci´on positiva de una curva cerrada simple es la que se obtiene al recorrerla en sentido opuesto al de las manecillas del reloj, de modo que la regi´on interior quede siempre a la izquierda (se supone que usan los criterios habituales para representar los ejes de coordenadas en el plano). Esta definici´on, que no es rigurosa pero tiene la virtud de ser muy clara a nivel intuitivo, se puede formular de modo m´as formal pero m´as oscuro (que a lo mejor tranquiliza a alg´un lector muy escrupuloso con el rigor): Una parametrizaci´on regular a trozos (t) = (x(t), y(t)) de la curva cerrada simple C tiene orientaci´on positiva cuando para cada t ∈ [0, 1] donde existe y no es nulo el vector tangente ′(t) se cumple que el vector normal n(t) = (−y′(t), x′(t)) (obtenido girando π/2 el vector tangente) entra en M, regi´on interior a C, es decir, existe δ > 0 tal que 0 < s < δ ⇒ (t) + sn(t) ∈ M. j : 7 Y I ? U (t) * ′(t) n(t) M No demostraremos la versi´on general de la f´ormula de Green. Solo veremos la demostraci ´on para regiones de Green que son de uno de los dos tipos siguientes 332 I) M = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)} II) M = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, g1(y) ≤ x ≤ g2(y)} donde las funciones que las determinan f1, f2 : [a, b] → R, g1, g2 : [c, d] → R son de clase C1 a trozos. Con esta definici´on conviene advertir que una regi´on tan sencilla como el disco M := {(x, y)) : x2 + y2 ≤ 1} no es ni de tipo tipo I) ni de tipo II) porque al describirlo en la forma {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, −√1 − x2 ≤ y ≤ √1 − x2} las funciones involucradas en la descripci´on no son derivables en los extremos del intervalo [−1, 1]. La mayor parte de los textos que demuestran la f´ormula de Green s´olo lo hacen para regiones de Green que son simult´aneamente de los tipos I) y II) pero no advierten que con esta hip´otesis una regi´on tan simple como un disco compacto queda excluida de la clase de regiones para las que demuestran la f´ormula. Obs´ervese que para una regi´on de tipo I) la frontera se recorre en sentido positivo mediante la curva cerrada simple regular a trozos = σ1 ∨ σ2 ∨ (∼ σ3) ∨ (∼ σ4). .... .... .... .  k 6 ? ..................... σ1 σ2 ∼ σ3 ∼ σ4 M a b i) σ1(t) = (t, f1(t)), a ≤ t ≤ b. ii) σ2(t) = (b, t), f1(b) ≤ t ≤ f2(b). iii) σ3(t) = (t, f2(t)), a ≤ t ≤ b. iv) σ4(t) = (a, t), f1(a) ≤ t ≤ f2(a). An´alogamente, para una regi´on de tipo II) la frontera se recorre en sentido positivo mediante la curva cerrada simple, regular a trozos = (∼ ρ1) ∨ ρ2 ∨ (ρ3) ∨ (∼ ρ4). U Y -  ρ2 ρ3 ∼ ρ4 ∼ ρ1 M ..................... c ............... i) ρ1(t) = (g1(t), t), c ≤ t ≤ d. d ii) ρ2(t) = (t, c), g1(c) ≤ t ≤ g2(c). iii) ρ3(t) = (t, g2(t)), c ≤ t ≤ d. iv) ρ4(t) = (t, d), g1(d) ≤ t ≤ g2(d). Teorema 13.28 (Versi´on elemental del teorema de Greeen) Sean P,Q : → R funciones continuas en un abierto ⊂ R, tales que las derivadas parciales D1Q,D2P existen y son continuas en todo . Si M ⊂ es una regi´on de Green que simult´anea- mente es de tipo de tipo I) y de tipo II) se verifica Z M (D1Q − D2P)dxdy = Z ∂M Pdx + Qdy donde la frontera ∂M se supone orientada positivamente. Dem: Utilizando la descripci´on de M como regi´on de tipo I) se probar´a la igualdad − Z M D2Pdxdy = Z ∂M Pdx (I) An´alogamente, usando la descripci´on de M como regi´on de tipo II) resultar´a Z M D1Qdxdy = Z ∂M Qdy, (II) y sumando miembro a miembro las dos igualdades se obtendr´a el resultado. Bastar ´a hacer con detalle la prueba de (I) pues la prueba de (II) es an´aloga. ..................................................................................................................... .................................................................... ..................................................a b c d f2(x) f1(x)  U x i ...................................................................................................................... .................................................................... ..................................................a b c d k y ^ - g1(y) g2(y) y M Si M es de tipo I), utilizando la parametrizaci´on de ∂M descrita anteriormente para las regiones de este tipo resulta Z ∂M Pdx = Z σ1 Pdx + Z σ2 Pdx − Z σ3 Pdx − Z σ4 Pdx = Z σ1 Pdx − Z σ3 Pdx = Z b a P(t, f1(t))dt − Z b a P(t, f2(t))dt Por otra parte, utilizando el teorema de Fubini y el teorema fundamental del c´alculo Z Z M D2Pdxdy = Z b a dx Z f2(x) f1(x) D2Pdy = = Z b a [P(x, f2(x)) − P(x, f1(x))]dx = − Z ∂M Pdx La versi´on elemental del teorema de Green que acabamos de demostrar se aplica en particular a los rect´angulos M = [a, b] × [c, d] y esto ser´a la clave para la demostraci´on cuando M es un recinto que s´olo se supone de tipo I (o de tipo II). Antes de emprender la demostraci´on de este resultado conviene hacer algunas observaciones preliminares que recogemos en forma de lemas Lema 13.29 Sea E = {(x, y) : x ∈ [a, b], m ≤ y ≤ f(x)}, donde f : [a, b] → R es regular a trozos y m = inf{f(t) : t ∈ [a, b]}. Entonces Long(∂E) ≤ 4Long( ) donde (t) = (t, f(t)), t ∈ [a, b]. Dem: ∂E est´a formado por cuatro trozos: Dos segmentos verticales, un segmento horizontal y el camino . Basta ver que los tres segmentos tienen longitudes menores o iguales que Long( ). (a, f(a)) ? - .... ........ ....... ........ .. .............................. a b (b, f(b)) o6 ... p q ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . 6 E La longitud del segmento horizontal es b − a y teniendo en cuenta que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)) resulta b − a ≤ Long( ). Por otra parte, si M = m´ax{f(t) : t ∈ [a, b]}, la longitud de cada segmento vertical es menor o igual que ≤ M − m. Como existen α, β ∈ [a, b] con m = f(α) y M = f(β), y el camino pasa por p = (α,m) y q = (β,M) resulta M − m ≤ kp − qk2 ≤ Long( ) . Lema 13.30 En las condiciones del lema 13.29 si la forma diferencial ω = P dx + Q dy est´a definida y es continua en un abierto ⊃ ∂E, se verifica Z ∂E ω ≤ M L o n g (∂E) donde M = sup{kF(x, y) − F(s, t)k2 : (x, y), (s, t) ∈ ∂E} es la oscilaci´on sobre ∂E de F = (P,Q). Dem: Fijado un punto (x0, y0) ∈ E, como la forma diferencial constante ω0 = P(x0, y0)dx+Q(x0, y0)dy es exacta, se cumple R ∂E ω0 = 0, y utilizando la desigualdad 13.6 se obtiene Z ∂E ω = Z ∂E (ω − ω0) ≤ MLong(∂E) La siguiente observaci´on, que se aplicar´a varias veces durante la prueba del teorema 13.31, tambi´en es ´util en la pr´actica para justificar que la f´ormula de Green es v´alida para una regi´on concreta. Sea M una regi´on que se puede descomponer, sin solapamiento, en un n´umero finito de regiones Mj , 1 ≤ j ≤ m, para cada una de las cuales vale la f´ormula de Green. -   - 6 M  1 M4 M3 M2 M5 Se supone que la descomposici´on tiene la propiedad de que la curva orientada ∂M se deduce de las curvas orientadas ∂Mj efectuando las cancelaciones de los trozos de estas curvas que intervienen dos veces, pero con orientaciones opuestas. Entonces es inmediato que la f´ormula de Green tambi´en se verifica para la regi´on M. Teorema 13.31 (Teorema de Green para regiones de tipo I) Sean P,Q : → R funciones continuas en un abierto ⊂ R, en el que existen y son continuas las derivadas parciales D1Q, D2P. Si M ⊂ es una regi´on de tipo I o de tipo II se verifica Z M (D1Q − D2P)dxdy = Z ∂M Pdx + Qdy donde ∂M se supone con la orientaci´on positiva. Dem: Bastar´a hacer la prueba para regiones de tipo I M = {(x, y) : x ∈ [a, b], g(x) ≤ y ≤ f(x)} donde f y g son regulares a trozos (la prueba para regiones de tipo II es similar.) Consideraremos primero el caso en que una de las funciones que intervienen en la definici´on de M es constante; Si suponemos que g es la funci´on constante 0, se tendr´a M = {(x, y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)} Sea L = Long( ) donde (t) = (t, f(t)), t ∈ [a, b]. Utilizando la sobreyectividad de la funci´on abscisa curvil´ınea v(t) = V ( , [a, t]) podemos obtener una subdivisi´on pn = (t0 < t1 < · · · tn) de [a, b] tal que todos los trozos k = |[xk−1,xk] tienen la misma longitud Long( k) = L/n. Obs´ervese que xk−xk−1 ≤ L/n luego kpnk ≤ L/n. Entonces, dado ǫ > 0 existe un n ∈ N que cumple Z b a f(x)dx − s(f, pn) < ǫ .............................................................. ............ .......... .... ... ... .. ............ ............................................ ......................... ............... .... ... .... .......... .... Rk Ek R a xk−1 xk b Si Rk = [tk−1, tk] × [mk,Mk], con mk = inf f[tk−1,tk]) y Mk = sup f[tk−1, tk], la ´ultima desigualdad se traduce en los siguientes t´erminos ´ Area(M) − Xn k=1 ´ Area(Rk) < ǫ La f´ormula de Green es cierta para rect´angulos, y en virtud de la observaci´on previa al enunciado del teorema, tambi´en lo es para la regi´on Mǫ = Sn k=1 Rk. Z Mǫ (D1Q − D2P)dxdy = Z ∂Mǫ Pdx + Qdy Como ´ Area(M \Mǫ) = ´ Area(M) − Pn k=1 ´ Area(Rk) < ǫ resulta Z M (D1Q − D2P)dxdy − Z Mǫ (D1Q − D2P)dxdy ≤ K´ Area(M \Mǫ) ≤ Kǫ donde K > 0 es el m´aximo de la funci´on continua |D1Q − D2P| sobre el compacto M. - 6 k - Y Ek ) Rk ?  ?? 6 6 En virtud del lema 13.29, cada Ek = {(x, y) : x ∈ [tk−1, tk], mk ≤ y ≤ f(x)} cumple Long(∂Ek) < 4L/n luego diam(Ek) ≤ 4√2L/n. En virtud de la continuidad uniforme de F = (P,Q) sobre el compacto M, tomando n suficientemente grande podemos garantizar que la oscilaci´on de F sobre cada Ek es menor que ǫ y aplicando el lema 13.30 se obtiene Z ∂Ek ω ≤ ǫLong(∂Ek) ≤ ǫ4L/n Sea Gk = {(x, y) : x ∈ [xk−1, xk], 0 ≤ y ≤ f(x)} = Rk ∪ Ek Teniendo en cuenta las cancelaciones de la integral sobre segmentos opuestos podemos escribir Z ∂M ω = Xn k=1 Z ∂Gk ω = Xn k=1 Z ∂Rk ω + Z ∂Ek ω  = Z ∂Mǫ ω + Xn k=1 Z ∂Ek ω y se obtiene Z ∂M ω − Z ∂Mǫ ω ≤ Xn k=1 Z ∂Ek ω ≤ nǫ4L/n = ǫ4L Combinando la igualdad R Mǫ (D1Q − D2P)dxdy = R ∂Mǫ Pdx + Qdy con las dos desigualdades que hemos obtenido resulta Z M (D1Q − D2P)dxdy − Z ∂M ω ≤ (K + 4L)ǫ y como ǫ > 0 es arbitrario, la demostraci´on ha terminado para el caso particular que hemos considerado. Supongamos ahora que M = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} es de tipo I, pero con la condici´on adicional: f(x) < g(x) para todo x ∈ [a, b]. En este caso μ = m´ın{f(x)−g(x) : x ∈ [a, b]} se alcanza en alg´un punto, luego μ > 0, y en virtud de la continuidad uniforme de g sobre [a, b] existe δ > 0 tal que todo par s, t ∈ [a, b] con |s − t| < δ cumple −μ < g(s) − g(t) < μ. Entonces, para una subdivisi´on (a = x0 < x1 < · · · < xm = b) que cumpla la condici´on m´ax{xk − xk−1 : 1 ≤ k ≤ m} < δ se verifica ck = m´ax{g(t) : t ∈ [xk−1, xk]} ≤ m´ın{f(t) : t ∈ [xk−1, xk]} (Efectivamente, si sk ∈ [xk−1, xk] es tal que f(sk) = m´ın{f(t) : t ∈ [xk−1, xk]}, entonces para todo t ∈ [xk, xk−1] se cumple f(sk) ≥ μ + g(sk) = μ + (g(sk) − g(t)) + g(t) ≥ μ − μ + g(t) = g(t) . Ahora, si descomponemos M en las regiones Ak = {(x, y) : x ∈ [xk−1, xk], g(x) ≤ y ≤ ck} Bk = {(x, y) : x ∈ [xk−1, xk], ck ≤ y ≤ f(x)} para las que ya hemos demostrado que se cumple la f´ormula de Green, obtenemos que dicha f´ormula se sigue cumpliendo para M. Finalmente, sea M una regi´on de tipo I sin condici´on adicional. Si r > 0 es suficientemente peque˜no la regi´on Mr = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x) + r} est´a contenido en y cumple la condici´on adicional bajo la que tenemos demostrada la igualdad Z Mr (D1Q − D2P)dxdy = Z ∂Mr Pdx + Qdy Es f´acil ver que l´ım r → 1 Z Mr (D1Q − D2P)dxdy = Z M (D1Q − D2P)dxdy l´ım r → 1 Z ∂Mr Pdx + Qdy = Z ∂M Pdx + Qdy (esto se deja como ejercicio) y as´ı queda establecida la f´ormula de Green para las regiones de tipo I. La validez de la f´ormula de Green para un recinto circular {(x, y) : x2 +y2 ≤ R} no se obtiene con una aplicaci´on directa del teorema 13.31. Se puede justificar a posteriori descomponiendo el disco en tres regiones, trazando dos cuerdas paralelas al eje de abscisas, una por encima y otra por debajo del centro. Para las tres regiones se tiene demostrada la validez de la f´ormula: Obs´ervese que la que contiene al centro es de tipo II mientras que las otras dos (segmentos circulares) son de tipo I. Aplicaciones del teorema de Green. La caracterizaci´on de las formas diferenciales cerradas obtenida en el teorema 13.13, bastante ´util en la pr´actica, tiene el inconveniente de que s´olo se aplica a formas diferenciales de clase C1. Por otra parte, en la proposici´on 13.18 se obtuvo otra caracterizaci´on, usando una condici´on de distinta naturaleza, que tiene la ventaja de aplicarse a todas las formas diferenciales continuas. El teorema de Green, en su versi´on elemental para rect´angulos, permite aclarar la relaci´on que hay entre las condiciones que intervienen las dos caracterizaciones mencionadas. Al mismo tiempo proporciona otra demostraci´on de una versi´on algo m´as general de la proposici´on 13.14, que no utiliza el teorema de derivaci´on de integrales dependientes de un par´ametro. Para demostrar el teorema 13.33 se necesita el siguiente lema que se deja como ejercicio Lema 13.32 Si f : → R es continua en un abierto ⊂ R2 y R R f(x, y)dxdy = 0 para todo rect´angulo cerrado R ⊂ entonces f es id´enticamente nula. Teorema 13.33 Sea ω(x, y) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy una forma diferencial definida y continua en un abierto ⊂ R2 tal que en todo punto (x, y) ∈ las derivadas parciales D2P(x, y), D1Q(x, y) existen y son continuas. Entonces son equivalentes a) D2P(x, y) = D1Q(x, y) para todo (x, y) ∈ . b) R ∂R ω = 0 para cada rect´angulo R ⊂ . c) ω es cerrada. Si es simplemente conexo, tambi´en es equivalente d) ω es exacta. Dem: a) ⇒ b) es consecuencia inmediata del teorema de Green en su versi´on elemental para rect´angulos. b ⇒ a) se obtiene combinando el teorema de Green con el lema 13.32 aplicado a la funci´on f = D2P − D1Q. El resto de las afirmaciones del enunciado han sido probadas anteriormente. El siguiente corolario proporciona una nueva demostraci´on, basada en el teorema de Green, de un resultado obtenido en el cap´ıtulo 6. Corolario 13.34 Sea f : → R una funci´on de clase C1( ) tal que en todo punto (x, y) ∈ existen y son continuas las derivadas parciales D21f(x, y), D12f(x, y). Entonces D21f(x, y) = D12f(x, y) para todo (x, y) ∈ . Dem: Basta aplicar el teorema anterior a la forma diferencial df(x, y) = D1f(x, y)dx+ D2f(x, y)dy. El teorema de Green se aplica tanto para el c´alculo de integrales curvil´ıneas, (transform´andolas en integrales dobles) como para el c´alculo de integrales dobles (transform´andolas en integrales curvil´ıneas). En particular se puede aplicar para calcular ´areas: Proposici´on 13.35 Sea M ⊂ R2 una regi´on de Green y (t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un camino regular a trozos que recorre la frontera ∂M, con la orientaci´on positiva. Entonces ´ A r e a ( M) = 1 2 Z xdy − ydx = Z b a (y′(t)x(t) − x′(t)y(t))dt Dem: Basta aplicar el teorema de Green con P(x, y) = −y/2, Q(x, y) = x/2. 13.4. Ejercicios resueltos Ejercicio 13.36 Estudie si la forma diferencial ω(x, y) = −2xy x4 + y2 dx + x2 x4 + y2 dy es cerrada o exacta en el abierto = R2 \ {(0, 0)}. Calcule R γ ω, donde γ es un camino regular a trozos en , de origen (−a, 0) y extremo (a, 0). soluci´on Como las funciones P(x, y) = −2xy x4 + y2 , Q(x, y) = x2 x4 + y2 son de clase C1( ) y D2P(x, y) = D1Q(x, y) para todo (x, y) ∈ podemos afirmar que la forma diferencial es cerrada en . Obs´ervese que no es estrellado, de modo que s´olo podemos asegurar que ω|G es exacta sobre cada abierto estrellado G ⊂ . En particular, sobre el abierto A = {(x, y) : x > 0}, la restricci´on ω|A es exacta y es f´acil encontrar una primitiva f de ω|A: Buscamos una funci´on diferenciable f : A → R, que verifique D1f(x, y) = P(x, y), D2f(x, y) = Q(x, y). Para cada x > 0 la funci´on parcial y → Q(x, y) = x2 x4 + y2 tiene primitivas inmediatas. Son las funciones de la forma Arctg(y/x2)+ϕ(x) donde Arctg : R → (−π/2, π/2) es la rama principal de la funci´on multivaluada arc tg, y ϕ es una funci´on derivable que hay que se determinar imponiendo la condici´on P(x, y) = ∂ ∂x