Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) 2x2 1 c) f(x) x x2 9 e) f(x) x2 1 g) f(x) x2 4x 3 x2 1 b) f(x) 3 x 2 d) f(x) x 3 f) f(x) x2 2x h) f(x) x2 x 6 x2 3x 4 2. Representa gra´ficamente las siguientes funciones definidas a trozos: a) f(x) 2 x si x 2 x2 1 si 2 x 2 5 six 2 b) f(x) x 1 si x 2 WxW 1 si 2 x 2 2 si x 2 3. Dada la tabla de la funcio´n f(x), halla el error que se comete cuando se calcula f(0) mediante interpolacio´n lineal utilizando los otros valores de la tabla. x 1 0 3 f(x) 4 0 8 4. Escribe la fo´rmula de recurrencia de las potencias positivas de 3. 5. Escribe los cinco primeros te´rminos de cada una de las siguientes sucesiones: a) an ( 1)n 1 · n c) an ( 1)2n 1 · (2n 1 1) b) an ( 1)n · (2n 1) d) an 2 ( 1)n · n 2 6. Escribe la expresio´n del te´rmino general de las siguientes sucesiones sabiendo que viene dado mediante una funcio´n lineal de n. ¿De que´ clase son estas sucesiones? a) 1, 3, 5, 7, ... b) 5, 11, 17, 23, ... 7. Escribe la expresio´n del te´rmino general de las siguientes sucesiones sabiendo que viene dado mediante una funcio´n cuadra´tica de n. a) 2, 1, 6, 13, ... b) 1, 2, 5, 10, ... 8. Escribe la expresio´n del te´rmino general de las siguientes sucesiones sabiendo que viene dado mediante una funcio´n exponencial. ¿De que´ clase son estas sucesiones? a) 9, 27, 81, 243, ... b) 5, 10, 20, 40, ... 9. Dadas las sucesiones (an) (0, 3, 8, 15, ...) y (bn) (2, 3, 4, 5, ...) Escribe el te´rmino general de las sucesiones: a) an bn b) bn an c) 3 an d) an bn 10. La antigu¨edad en an˜os de un automo´vil y el nu´mero medio de kilo´metros, en miles, que ha rodado durante su vida se relacionan en la siguiente tabla: Antigu¨edad 2 4 5 Kilo´metros 30 50 60 a) Obte´n el polinomio de interpolacio´n de segundo grado que expresa los kilo´metros recorridos en funcio´n de los an˜os de vida del automo´vil. ¿Co´mo explicas el resultado obtenido? b) Si un automo´vil tiene 3 an˜os, ¿cua´ntos kilo´metros se esperarı´a que hubiese rodado? SOLUCIONES 1. a) e) ( , 1] [1, ) b) {2} f) ( , 2] [0, ) c) { 3, 3} g) { 1, 1} d) [ 3, ) h) { 4, 1} 2. a) b) 1 Y O 1 X 1 Y O 1 X 3. Para calcular y ax b, se conoce: 4 a · ( 1) b 8 a · 3 b Resolviendo el sistema: a 3, b 1 y 3x 1. El valor estimado para x 0 es y 1. El error en la estimacio´n es, en valor absoluto, 1. 4. an 3 · an 1 a1 3 5. a) a1 1, a2 2, a3 3, a4 4, a5 5 b) a1 3, a2 5, a3 7, a4 9, a5 11 c) a1 3, a2 7, a3 15, a4 31, a5 63 d) a1 , a2 2, a3 , a4 3, a5 1 1 3 2 2 2 6. a) an a(n) an b Se conoce: a a · 1 b 1 1 a a · 2 b 3 2 Resolviendo el sistema: a 2, b 1 El te´rmino general es an 2n 1 b) an a(n) an b Se conoce: a a · 1 b 5 1 a a · 2 b 11 2 Resolviendo el sistema: a 6, b 1 El te´rmino general es an 6n 1 Son sucesiones aritme´ticas, ya que la diferencia entre dos te´rminos consecutivos es constante. 7. a) an a(n) an2 bn c Se sabe que a a b c 2 1 a 4a 2b c 1 2 a 9a 3b c 6 3 Resolviendo el sistema: a 1, b 0 y c 3. El te´rmino general es an n2 3. b) an a(n) an2 bn c Se sabe que a a b c 1 1 a 4a 2b c 2 2 a 9a 3b c 5 3 Resolviendo el sistema: a 1, b 2 y c 2. El te´rmino general es an n2 2n 2. 8. a) an a(n) ( 1)n a · bn Se sabe que a a · b 9 1 2 a a · b 27 2 Resolviendo el sistema: a 3, b 3. an ( 1)n 3 · 3n ( 1)n 3n 1 b) an a(n) a · bn Se sabe que a a · b 5 1 2 a a · b 10 2 Resolviendo el sistema: a , b 2. 5 2 an · 2n 5 · 2n 1 5 2 Son sucesiones geome´tricas, ya que el cociente entre dos te´rminos consecutivos es constante. 9. an n2 1 y bn n 1 a) an bn n2 n b) bn an n2 n 2 c) 3an 3n2 3 d) n 1 an bn 10. a) P(x) ax2 bx c Sabemos que: P(2) 4a 2b c 30 P(5) 16a 4b c 50 P(10) 25a 5b c 60 Resolviendo el sistema: a 0, b 10 y c 10. El polinomio de interpolacio´n es lineal: P(x) 10x 10. b) P(3) 40. Se esperarı´a que el automo´vil hubiese rodado 40 000 km. 1. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) (x 2) 1 x 1 x b) f(x) e x2 1 c) f(x) 1 x 1 3 1 x 1 2. Con los datos de la siguiente tabla, x 0 1 2 halla por interpolaci´on lineal el valor de 1,6: 1 x 1 1,4142 1,7321 3. Dada la tabla de la funcio´n f(x): x 1 1 2 3 f(x) 1 1 7 25 a) ¿Existe algu´n polinomio de grado tres que tome esos valores? b) En caso afirmativo, calcula los valores de f(x) interpolando para x 0 y extrapolando para x 5. 4. Sucesiones nume´ricas y sucesiones de diferencias. Una estrategia muy u´til para encontrar el te´rmino general de una sucesio´n, o el polinomio de interpolacio´n de una funcio´n de la que conocemos las ima´genes de valores naturales consecutivos, es estudiar las sucesiones que se obtienen al hallar las diferencias sucesivas entre los te´rminos. Sucesio´n 3 8 15 24 35 Primera diferencia 5 7 9 11 Segunda diferencia 2 2 2 Al ser las segundas diferencias constantes, esto nos indica que la sucesio´n original tiene por te´rmino general un polinomio de grado 2, an an2 bn c, cuyos coeficientes podemos calcular dando valores y resolviendo el sistema. Dando a n los valores 1, 2 y 3, y resolviendo el sistema, tenemos a 1, b 2, c 0 an n2 2n. a) Calcula los te´rminos generales de la sucesio´n: 6 10 16 24 34 ... b) ¿De que´ grado es el mejor polinomio de interpolacio´n de la siguiente funcio´n tabulada? Calcula P(6,5) y P(0,5). x 1 2 3 4 5 f(x) 1 5 19 49 101 5. Una especie de aves emigra de la zona A a la zona B. La distancia entre ambas zonas es de 1 000 km. Suponemos que la zona A de partida corresponde al kilo´metro x 0 y la zona B de destino al kilo´metro x 1 000 de la ruta. Al principio y al final de la ruta se encuentran diversas fuentes de alimentacio´n, pero, a lo largo de la ruta, las aves solo encuentran alimento en el kilo´metro x 400. Representa la funcio´n f(x) que describe la distancia del kilo´metro x de la ruta a la fuente de alimentacio´n ma´s cercana y en que´ punto del recorrido se alcanza la ma´xima distancia a una fuente de alimento. 6. Considera el conjunto formado por los intervalos [0, 1] y [2, 3] y un punto x del eje OX. Halla la expresio´n analı´tica de la funcio´n d(x) que representa la distancia mı´nima del punto x a uno de estos intervalos. B C K x N A L D M 7. En el tria´ngulo ABC de la figura, cuya base AC b y su altura BD h, esta´ inscrito un recta´ngulo KLMN, cuya altura es NM x. Expresa el perı´metro P del recta´ngulo KLMN y su a´rea S en funcio´n de x e indica el dominio de estas funciones. 8. Un trapecio recta´ngulo tiene sus a´ngulos rectos en los ve´rtices A y B. Sus bases son AD a y BC b, con a b. Se toma un punto M entre A y D y se traza la recta MN paralela a AB tal que la distancia AM x. Expresa el a´rea S(x) de la figura ABNMA. SOLUCIONES 1. a) [ 1,1) b) ( , 1] [1, ) c) [ 1, ) 2. y ax b. Conocemos 1 a · 0 b 1,4142 a · 1 b Resolviendo el sistema: y 0,4142x 1 1 x 1,6 x 0,6, interpolando este valor y 0,4142 · 0,6 1 1,24852 3. a) f(x) ax3 bx2 cx d f( 1) 1 a b c d 1 f(1) 1 a b c d 1 f(2) 7 8a 4b 2c d 7 f(3) 25 27a 9b 3c d 25 Resolviendo el sistema se obtiene: f(x) x3 x 1 b) f(0) 1 y f(5) 121 4. a) Sucesio´n 6 10 16 24 34 Primera diferencia 4 6 8 10 Segunda diferencia 2 2 2 Te´rmino general an an2 bn c: a 6 a b c 6 1 a 10 4a 2b c 10 2 a 16 9a 3b c 16 3 Resolviendo el sistema: an n2 n 4 b) f(x) 1 5 19 49 101 Primera diferencia 4 14 30 52 Segunda diferencia 10 16 22 Tercera diferencia 6 6 El mejor polinomio es de grado 3: P(x) ax3 bx2 cx d; conocemos P(1) 1 a b c d 1 P(2) 5 8a 4b 2c d 5 P(3) 19 27a 9b 3c d 19 P(4) 49 64a 16b 4c d 49 Resolviendo el sistema: P(x) x3 x2 1 P(6, 5) 233,375 y P(0, 5) 0,875 5. Y 400 700 km Máximo A B O 1000 100 200 Distancia al alimento 300 6. f(x) x six 0 0 si0 x 1 x 1 si 1 x 1,5 2 x si 1,5 x 2 0 si2 x 3 x 3 si x 3 7. Los tria´ngulos LBM y ABC son semejantes: AC BD b h LM BD LK LM h x El ancho del recta´ngulo es LM b(h x) h P P(x) 2 x 2b 2 x b(h x) b 1 h h S S(x) · x bx b(h x) x 1 h h El dominio de P(x) y de S(x) es el intervalo (0, h). 8. Para determinar la funcio´n S(x) que expresa el a´rea en funcio´n de x hay que distinguir dos casos: 1. 0 x b Es un recta´ngulo con base AM x A B C M x a N b D y altura AB h. El a´rea es S(x) xh. 2. b x a El a´rea buscada es el a´rea del A B C x M a N b E D trapecio ABCD menos el a´rea del tria´ngulo MND. Los tria´ngulos ECD y MND son semejantes: MN EC ED h a b h(a x) MN MD MN a x a b S(x) h (a x) a b 1 h(a x) 2 2 a b h a b 1 (a x)2 2 a b La funcio´n S(x) es, por tanto: S(x) xh si 0 x b 1 (a x)2 h a b 2 a b si b x a