UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
CLAVES: Examen Matemáticas (Lunes 17 Febrero)
Pregunta N.o 6
En el siguiente proceso de construcción tenemos
inicialmente un triángulo equilátero de área 1, del
cual vamos retirando paulatinamente los triángulos
equiláteros como se muestra en la figura. Determine
el área total de los triángulos retirados.
Pregunta N.o 13
Un comerciante tiene que formar paquetes diferentes
de 8 unidades de frutas, para ello debe
escoger entre plátanos y peras. Cada plátano
cuesta S/.0,20 y cada pera S/.0,50. ¿Cuál es el
promedio de la venta de los paquetes?
Asúmase que hay suficientes plátanos y peras.
Rpta.:
2,80
Pregunta N.o 17
Las notas obtenidas por tres postulantes hacen un
promedio de 15. La relación entre las notas del
primero y el segundo es 4/5 y la relación entre
el segundo y tercero es 5/6. Calcule la diferencia
entre la mayor y menor nota.
Pregunta N.o 19
Una persona dispone de cierto capital, el cual es
dividido en dos partes. La mayor parte la impone
al 14% anual y la otra parte al 8% semestral. Si al
cabo de un año los montos obtenidos son iguales,
determine el capital inicial, sabiendo que las partes
se diferencian en 1200. Todas las cantidades están
en nuevos soles.
Rpta.:
138 000
Pregunta N.o 20
Si una cadena de 16 kilates cuyo peso de metal
ordinario es 32 gramos se funde con un lingote
de oro de 104 gramos con ley 0,65. De cuántos
kilates es la aleación obtenida.
Rpta.:
15,792
Pregunta N.o 22
La generatriz de un cilindro oblicuo de base
circular mide igual que el diámetro del cilindro
disminuido en 10 dm. Sean M y N los centros
de las bases y AB un diámetro de la base inferior
que contiene a N. Si AM=19 dm y MB=13 dm
entonces el volumen del cilindro (en dm3) es:
Pregunta N.o 24
La altura de un cono circular recto mide 15 cm y
el radio de su base 8 cm. Se taladró un agujero
cilíndrico de diámetro 4 cm en el cono, a lo largo de
su eje, resultando un sólido como el que se muestra
en la figura. Calcule el volumen de ese sólido.
Pregunta N.o 27
Dado un cuadrado ABCD de lado a > 6, exterior
a un plano P. Si las distancias de A, B y C al plano
P son 3 u, 6 u y 7 u respectivamente, halle la
distancia de D al plano P (en u).
Rpta.:
4
Pregunta N.o 30
Sea ABCD un rectángulo, M punto medio de BC,
PM perpendicular al plano ABC, O centro del
rectángulo, si BC=2AB=8 y PM=AB, entonces
el área de la región triangular APO es:
Rpta.:
4 6
Pregunta N.o 31
En un rectángulo ABCD (AB < BC), se dibuja
una semicircunferencia con diámetro AD
tangente a BC en P. Se ubica el punto Q en PC
y se traza QE perpendicular a PC donde el punto
E está sobre la semicircunferencia. Si PQ=1 cm
y el perímetro del rectángulo ABCD es 48 cm,
entonces la longitud de AE (en cm) es:
Rpta.:
12
Pregunta N.o 35
De un disco de cartulina de radio 6 cm, se corta
un sector circular de ángulo central q=120º. Con
la parte restante, uniendo los bordes se forma
un cono. Determine el coseno del ángulo en el
vértice del cono construido.
Rpta.:
1
9
Pregunta N.o 40
En la función: y(t) = 2cos 2t + 4 2 sen 2t; la amplitud
y el periodo son respectivamente:
Rpta.:
6 y p
MATEMÁTICA PARTE I
(Aritmética y Álgebra)
1. Razones y proporciones
Razón aritmética, geométrica y
armónica. Proporción aritmética,
geométrica y armónica (discretas y
continuas). Media aritmética, media
geométrica y media armónica.
Propiedades fundamentales.
Razones geométricas iguales.
Aplicaciones.
2. Magnitudes proporcionales
Magnitudes directamente
proporcionales e inversamente
proporcionales, simples y
compuestas. Interpretación gráfica.
Regla de tres simple y compuesta.
Tanto por cuanto, tanto por millón,
tanto por mil, tanto por ciento,
tanto por uno. Incrementos y
descuentos sucesivos. Reparto
proporcional (simple y compuesto).
Aplicaciones: reparto de utilidades.
3. Interés simple y compuesto
Elementos principales: capital, tasa,
tiempo. Monto generado a interés
simple y a interés compuesto.
Monto con capitalización continua.
Descuento comercial y racional.
Letra de cambio. Relación entre
descuentos. Intercambio de letras y
vencimiento común. Aplicaciones.
4. Mezcla y aleación
Mezcla de sustancias de diferentes
precios, de diferentes
concentraciones y de diferentes
densidades. Cálculo del precio
medio. Aleación de dos o más
metales, amalgama. Ley de las
aleaciones de oro. Aplicaciones.
5. Estadística
Definición. Población y muestra.
Variables, clasificación.
Organización y presentación de
datos: elaboración de tabla de
frecuencias, gráficos estadísticos
(gráfico de barras, histograma,
polígono de frecuencias, ojiva,
diagrama circular, pictogramas).
Medidas de tendencia central:
media o promedio aritmético,
mediana y moda. Media ponderada,
geométrica y armónica. Medidas de
dispersión: varianza y desviación
estándar. Interpretación de
resultados. Aplicaciones.
6. Probabilidad
Concepto de probabilidad.
Experimento aleatorio, espacio
muestral, suceso o evento. Álgebra
de eventos. Asignación de
probabilidad a un evento:
frecuencial y teórica. Propiedades.
Principios fundamentales del
conteo: principio de multiplicación
y principio de adición. Factorial de
un número. Variaciones o
permutaciones. Combinaciones.
Variable aleatoria discreta. Función
de probabilidad. Esperanza
matemática. Aplicaciones.
7. Numeración
Formación de un sistema de
numeración. Representación
polinomial de los números reales.
Cambios de sistemas de
numeración. Propiedades. Conteo
de números y de cifras.
Aplicaciones.
8. Los números naturales y los
números enteros
Los números naturales N.
Operaciones–propiedades. Limitaciones.
Extensión. Los números
enteros Z. Operaciones–propiedades.
Limitaciones. Extensión. Aplicaciones.
9. Divisibilidad
Teoría de la divisibilidad. Teoremas
fundamentales. Criterio general de
divisibilidad. Criterios particulares.
Criterios de divisibilidad en otros
sistemas de numeración. Restos
potenciales, aplicaciones del
binomio de Newton. Ecuaciones
diofánticas lineales. Aplicaciones.
10. Números primos
Números primos y compuestos.
Tabla de números primos. Teorema
fundamental de la Aritmética. Criba
de Eratóstenes. Descomposición de
un número en factores primos.
Cantidad de divisores de un
número. Suma y producto de
divisores. Suma de inversas de los
divisores. Función de Euler. Máximo
común divisor y mínimo común
múltiplo. Algoritmo de Euclides y su
aplicación en la representación de
un número mediante fracciones
continuas. Aplicaciones.
11. Números racionales e irracionales
Los números racionales como
extensión de los números enteros.
Limitaciones. Densidad de los
números racionales. Números
racionales como clases de
equivalencias. Operaciones.
Fracciones ordinarias y decimales.
Expresiones decimales periódicas
puras y mixtas. Generatriz de una
expresión decimal. Aplicaciones.
Números irracionales: su
representación decimal.
Aproximación de un irracional por
racionales.
12. Potenciación y radicación
Teoremas fundamentales.
Cuadrado y cubo perfecto. Raíz
cuadrada y raíz cúbica. Propiedades
de los residuos. Cálculo de raíces
con aproximación. Aplicaciones.
13. Lógica, conjuntos, números reales,
ecuaciones e inecuaciones
Proposición lógica, clases de
proposiciones, operaciones:
conjunción, disyunción, disyunción
exclusiva, condicional (implicación),
bicondicional (doble implicación),
negación. Tautología, contradicción
y contingencia. Leyes lógicas.
Conjuntos: elementos, representación
gráfica. Determinación de
conjuntos: por extensión y por
compresión, relación de
pertenencia e inclusión. Conjuntos
especiales: vacío, unitario,
universal. Operaciones: unión,
intersección, diferencia, y
complemento. Propiedades.
Conjunto potencia. Propiedades.
Proposiciones y conjuntos: inclusión
de conjuntos y la implicación;
igualdad de conjuntos y doble
implicación; complementación de
conjunto y negación; intersección
de conjuntos y conjunción; unión de
conjuntos y disyunción; diferencia
de conjuntos y conjunción y
negación; diferencia simétrica de
conjuntos y disyunción exclusiva.
Cuantificadores.
Conjunto de los números reales.
Propiedades. Ecuación de primer
grado con una variable.
Inecuaciones de primer grado con
una variable. Valor absoluto.
Ecuaciones e inecuaciones con valor
absoluto. Interpretación gráfica.
14. Ecuaciones e inecuaciones de
segundo grado
Ecuaciones de segundo grado con
una variable. Propiedades.
Interpretación geométrica.
Ecuaciones bicuadradas y
recíprocas. Ecuaciones e
inecuaciones con radicales.
Inecuaciones cuadráticas.
Inecuaciones con dos variables.
Inecuaciones de grado superior.
Interpretación geométrica.
15. Funciones
Función. Definición, dominio y
rango. Propiedades. Representación
gráfica. Composición de funciones.
Funciones elementales (constante,
lineal, afín, identidad). Funciones
reales de una variable real.
Funciones cuadrática, cúbica, valor
absoluto, máximo entero, par,
impar, inyectiva, sobreyectiva,
monótona, homogénea, sucesión
(f : N R).
Operaciones con funciones reales:
suma, resta, multiplicación,
división.
Función biyectiva, inversa de una
función. Variación directa e inversa
de dos variables.
Función acotada.
Determinación de funciones
inversas mediante gráficas.
Técnicas de graficación a partir
de la gráfica de f para obtener
la gráfica de y = ± f(± x + a) + b,
y = f(| x |), y = | f(x) |
16. Funciones Polinomiales
Polinomios (de una o más
variables). Definición, igualdad de
polinomios.
Grado de un polinomio: grado
absoluto y relativo.
Polinomios especiales:
homogéneos, completos,
ordenados, idénticos,
idénticamente nulos. Propiedades.
Operaciones con polinomios: suma,
resta, multiplicación y división.
Productos notables y cocientes
notables. Factorización. Radicación,
racionalización de denominadores.
Raíz cuadrada de un polinomio.
Polinomio de una variable.
Algoritmo de la división (método de
Horner, método de Ruffini). Función
polinomial, notación.
MCD, MCM de polinomios. Raíces
de una ecuación polinomial.
Teorema del residuo y del factor.
Raíces enteras y racionales de
ecuaciones polinomiales.
Conjunto de los números
complejos. Representación
geométrica. Forma rectangular,
forma polar, forma exponencial.
Módulos y argumentos.
Operaciones con números
complejos: suma, resta,
multiplicación y división. Fórmulas
de De Moivre. Raíces enésimas de
un número complejo, gráficas.
Polinomio complejo, teorema
fundamental del Álgebra.
Polinomios con coeficientes
enteros, raíces reales y complejas y
su descomposición en factores.
Interpretación geométrica de las
raíces complejas.
17. Función exponencial y logarítmica
Función exponencial, propiedades,
gráficas. Funciones logarítmicas,
propiedades, gráficas. El número e.
Sistemas de logaritmos.
Ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
Inecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
18. Matrices y determinantes
Matrices, definición. Tipos de
matrices (cuadrada, rectangular,
nula, diagonal, escalar, identidad,
triangular superior, triangular
inferior, transpuesta, simétrica,
antisimétrica, etc.). Propiedades.
Operaciones con matrices: suma,
resta, multiplicación. Propiedades.
Inversa de una matriz. Definición.
Propiedades.
Cálculo de la inversa de una matriz
(por definición, operaciones
elementales).
Función determinante.
Propiedades. Aplicaciones (inversa
de matrices por cofactores, etc.).
19. Sistemas de Ecuaciones e
Inecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales con
dos variables. Métodos de solución
(sustitución, reducción, igualación,
por matrices). Regla de Cramer.
Sistemas de ecuaciones no lineales.
Interpretación geométrica.
Sistemas de inecuaciones lineales y
no lineales. Interpretación
geométrica. Sistemas de ecuaciones
lineales con tres variables. Sistemas
de n ecuaciones con n incógnitas.
Interpretación geométrica.
Sistemas de n inecuaciones con n
incógnitas. Interpretación
geométrica.
20. Introducción a la programación
lineal
Definición.
Determinación de la región
admisible. Valores máximos y
mínimos de la función objetivo en
una región convexa.
Métodos analítico y gráfico de la
solución de un problema de
optimización lineal.
21. Sucesiones y series numéricas
Sucesiones. Definición, notación
(f : N R). Clases de sucesiones
(alternantes, monótonas,
acotadas). Convergencia.
Propiedades.
Suma finita. Notación. Propiedades.
Series. Definición. Notación.
Convergencia. Aplicaciones.
Progresión aritmética y geométrica.
Aplicaciones.
Binomio de Newton generalizado.
B. MATEMÁTICA PARTE II
(Geometría y Trigonometría)
1. Nociones básicas
Figura geométrica: concepto.
Términos no definidos: punto, recta
y plano. Definiciones de segmento,
rayo y ángulo. Postulados
fundamentales de la distancia, de la
regla (Cantor– Dedekind), de la
recta, de la medida de un ángulo, de
la construcción de un ángulo, de la
adición de ángulos y del
suplemento. Conjuntos convexos y
no convexos: definición, partición
de un conjunto, postulado de la
separación de puntos de un plano,
intersección de conjuntos convexos.
Ángulos: bisectriz de un ángulo,
clases de ángulos y teoremas
fundamentales.
2. Triángulos
Definición, clasificación. Teoremas
fundamentales: suma de las
medidas de los ángulos internos,
medida del ángulo externo,
correspondencias entre ángulos y
lados, desigualdad triangular.
Congruencia de triángulos: idea de
correspondencia biunívoca,
postulados de la congruencia (LLL,
LAL, ALA). Aplicaciones de la
congruencia: teorema de la
bisectriz de un ángulo, teorema de
la mediatriz de un segmento,
teorema de la mediana de un
triángulo rectángulo, teorema de la
base media.
3. Polígonos
Definición, clasificación. Teoremas
fundamentales: suma de las
medidas de los ángulos internos,
suma de las medidas de los ángulos
externos, número de diagonales de
un polígono convexo, número de
diagonales medias. Cuadriláteros:
definición, clasificación, teoremas
sobre paralelogramos, trapecios y
trapezoides.
4. Circunferencia
Definición, elementos. Teoremas
fundamentales: radio perpendicular
a la tangente, radio perpendicular a
una cuerda, arcos comprendidos
entre cuerdas paralelas. Posiciones
relativas entre dos circunferencias.
Tangentes comunes a dos
circunferencias. Teorema de
Poncelet. Cuadrilátero circunscrito
y circunscriptible. Teorema de Pitot.
Cuadrilátero ex inscrito y ex
inscriptible. Teorema de Steiner.
Ángulos en la circunferencia: ángulo
central (medida en grados de un
arco), ángulo inscrito, ángulo
seminscrito, ángulo ex inscrito,
ángulo interior, ángulo exterior.
Arco capaz de un ángulo. Teoremas
sobre cuadriláteros inscrito e
inscriptible.
5. Proporcionalidad
Teorema de las equiparalelas.
Teorema de Thales. Teorema de los
segmentos determinados por las
bisectrices interior y exterior de un
triángulo. Teorema del incentro.
Teorema de Menelao. Teorema de
Ceva. Semejanza de triángulos:
definición y casos. Puntos notables
de un triángulo. Recta y
circunferencia de Euler.
6. Relaciones métricas en un
triángulo
Relaciones métricas en el triángulo
rectángulo. Teorema de Pitágoras y
aplicaciones. Relaciones métricas
en el triángulo oblicuángulo:
teorema de las proyecciones,
teorema de la mediana, teorema de la ceviana (teorema de Stewart),
teorema de Herón, teorema de
Euler en los cuadriláteros.
7. Relaciones métricas en la
circunferencia
Teorema de la tangente. Teorema
de las secantes. Teorema de las
cuerdas. Teorema del triángulo
inscrito. Teorema de la longitud de
la bisectriz interior y exterior.
Teorema de Ptolomeo. Teorema de
Viette.
8. Polígonos regulares convexos
Definiciones: ángulo central,
apotema de un polígono regular.
Fórmula del apotema. Fórmula del
lado del polígono inscrito de doble
número de lados. Polígonos
regulares notables inscritos
(n = 3, 4, 6, 8, 12 lados)
División de un segmento en media y
extrema razón. Número áureo.
Polígonos regulares notables
inscritos de 5 y 10 lados. Polígonos
isoperímetros. Simetría en el plano
con respecto a un punto y a una
recta.
9. Longitud de la circunferencia
Proporcionalidad entre la longitud
de la circunferencia y la longitud del
diámetro. Definición del número p.
Cálculo aproximado del número p
por el método de los perímetros.
Determinación analítica y gráfica de
la longitud de la circunferencia.
Longitud de un arco de
circunferencia.
10. Áreas de regiones polígonales
Postulados fundamentales. Áreas
de las regiones: rectangular,
paralelográmica, triangular y
trapecial. Área de una región
triangular: en función de los tres
lados, en función del inradio, en
función del circunradio, en función
del ex-radio relativo a un lado.
Relación entre áreas de regiones
triangulares: triángulos de alturas
congruentes y diferentes bases,
triángulos semejantes, triángulos
con un ángulo congruente o con un
ángulo suplementario. Áreas de
regiones cuadrangulares: área de
las regiones rómbica y trapezoidal.
Relaciones entre áreas de regiones
cuadrangulares. Área de regiones
circulares: área del círculo, área del
sector circular, área del segmento
circular, área de la lúnula circular,
área de la hoja circular, área de la
corona circular, área del trapecio
circular.
11. Elementos de geometría del
espacio
Postulados fundamentales.
Determinación de un plano.
Posiciones relativas de rectas y
planos en el espacio. Ángulo entre
dos rectas que se cruzan. Recta
perpendicular a un plano. Teorema
de las tres perpendiculares. Planos
perpendiculares. Menor distancia
entre rectas cruzadas. Teorema de
Thales en el espacio.
12. Ángulos diedros
Definición, elementos, notación.
Ángulo plano o rectilíneo y medida
de un ángulo diedro. Proyección
ortogonal de una recta sobre un
plano. Ángulo entre recta y plano.
Proyección ortogonal de un
segmento y de una región poligonal
sobre un plano.
13. Ángulos sólidos o ángulos
poliedros
Definición, elementos, notación.
Teorema sobre la suma de las
medidas de sus caras. Ángulo
triedro: definición, elementos,
notación y clasificación. Teoremas
fundamentales: suma de las
medidas de las caras, desigualdad
triangular, suma de medidas de los
ángulos diedros y correspondencia
entre las caras y los diedros. Ángulo
triedro polar.
14. Poliedros geométricos
Definición, elementos. Clasificación:
poliedros convexos y no convexos.
Teorema de Euler. Teorema de la
suma de medidas de los ángulos
internos de las caras de un poliedro
convexo. Teorema de existencia de
los cinco poliedros regulares
convexos. Poliedros regulares
conjugados. Características
principales de los poliedros
regulares. Simetría en el espacio:
simetría con respecto a un punto,
con respecto a una recta y con
respecto a un plano.
15. Prisma
Superficie prismática: definición.
Prisma: definición, elementos,
notación. Clasificación: prisma
recto, prisma oblicuo, prisma
regular. Sección transversal y
sección recta de un prisma.
Desarrollo de la superficie lateral de
un prisma.
Paralelepípedo: clasificación,
propiedades fundamentales. Plano
diagonal. Área lateral y total de un
prisma. Volumen de un prisma.
Tronco de prisma triangular recto y
oblicuo: área y volumen.
16. Pirámide
Superficie piramidal: definición.
Pirámide: definición, elementos,
notación. Pirámide regular:
apotema y desarrollo. Área lateral y
total de una pirámide regular.
Volumen de cualquier pirámide.
Tronco de pirámide. Tronco de
pirámide regular. Apotema y
desarrollo de la superficie lateral de
un tronco de pirámide regular. Área
lateral y total del tronco de
pirámide regular. Volumen de
cualquier tronco de pirámide.
Prismoide.
17. Cilindro
Superficie cilíndrica: definición.
Cilindro de revolución: definición,
elementos. Cilindro oblicuo.
Desarrollos del cilindro recto y del
cilindro oblicuo. Área lateral, total y
volumen de un cilindro. Tronco de
cilindro recto y oblicuo de sección
recta circular: desarrollo, áreas
lateral, total y volumen. Postulado
de Cavalieri.
18. Cono
Superficie cónica: definición.
Cono de revolución: definición,
elementos, cono oblicuo.
Desarrollos del cono recto y del
cono oblicuo. Área lateral, total y
volumen de un cono. Tronco de
cono de revolución: desarrollo,
áreas lateral, total y volumen.
19. Esfera
Superficie esférica: Definición.
Circunferencia máxima y
circunferencia menor. Área de la
superficie generada por un
segmento de recta y por una línea
poligonal regular que giran
alrededor de un eje. Zona esférica.
Casquete esférico. Área de la
superficie esférica. Huso esférico.
Esfera: definición. Volumen del
sólido generado por la rotación de
una región triangular y de una
región poligonal regular alrededor
de un eje. Volumen de un sector
esférico y de la esfera. Partes de la
esfera: cuña esférica, anillo
esférico, segmento esférico.
Teorema de Pappus.
20. Ángulo trigonométrico
Generación de ángulos. Definición
de ángulo. Sistemas de medición
angular: sexagesimal, centesimal y
radial. Fórmulas de conversión de
unidades.
21. Longitud de un arco de
circunferencia y área del sector
circular
Longitud de un arco. Número de
vueltas de una rueda sobre una
superficie plana y/o circular.
Aplicaciones: dos ruedas unidas por
engranajes, por una faja y por un
eje común. Área de un sector
circular. Trapecio circular.
22. Razones trigonométricas de
ángulos agudos
Razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo: razón
trigonométrica, razones
trigonométricas recíprocas, razones
trigonométricas de ángulos
complementarios. Razones
trigonométricas de ángulos
notables de medidas 15º, 30º, 45º,
60º y 75º. Razones trigonométricas
de ángulos aproximados de medidas
8º, 16º, (37/2)o, (53/2) o, 37º y 53º.
Resolución de triángulos
rectángulos. Aplicaciones de
ángulos verticales: ángulos de
elevación y depresión.
23 Razones trigonométricas de
ángulos de cualquier magnitud
Recta numérica y sistema de
coordenadas rectangulares. Ángulo
en posición normal. Ángulos
coterminales y cuadrantales.
Razones trigonométricas de un
ángulo en posición normal
(positivos y negativos). Razones
trigonométricas de ángulos
cuadrantales y ángulos
coterminales. Signos de las razones
trigonométricas en los cuatro
cuadrantes. Área de un triángulo
utilizando pares ordenados.
Distancia entre dos puntos. Punto
medio de un segmento. Área de una
región triangular utilizando pares
ordenados. La recta. Pendiente de
una recta. Ángulo entre dos rectas.
Definición de una línea recta.
Ecuación de la recta conociendo un
punto y la pendiente. Ecuación de la
recta que pasa por dos puntos.
Ecuación simétrica de la recta.
Posiciones relativas de dos rectas.
Distancia de un punto a una recta.
24. Razones trigonométricas en la
circunferencia trigonométrica
Definición de circunferencia
trigonométrica. Elementos. Líneas
trigonométricas: seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y
cosecante. Variación numérica de
las líneas trigonométricas. Reglas de
reducción de arcos al primer
cuadrante. Relación entre las
razones trigonométricas de ángulos
suplementarios.
25. Identidades trigonométricas
Clasificación de las identidades
trigonométricas. Identidades
trigonométricas de un arco simple.
Identidades fundamentales:
pitagóricas, recíprocas y por
división. Identidades auxiliares.
Aplicaciones en demostración con
alguna condición, simplificación y
eliminación de arcos.
Identidades con arcos compuestos:
adición y sustracción de dos arcos;
identidades auxiliares. Identidades
con arcos múltiples: arco doble,
arco mitad y arco triple. Fórmulas
de degradación de arcos dobles y
triples. Transformaciones
trigonométricas: Identidades que
transforman sumas algebraicas de
senos y/o cosenos a productos,
identidades que transforman
productos de senos y/o cosenos a
sumas algebraicas. Series
trigonométricas para senos y
cosenos en progresión aritmética.
26. Funciones trigonométricas y sus
gráficas
Estudio analítico de las funciones:
seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante;
dominio, rango, período,
continuidad, paridad, monotonía y
gráfica. Funciones trigonométricas
generalizadas, modificación de la
amplitud, período y desfasamiento.
Funciones auxiliares; seno verso,
coseno verso y ex secante.
27. Funciones trigonométricas inversas
y gráficas
Notación y definición de una
función trigonométrica inversa:
función univalente, función inversa,
gráfica de una función inversa.
Funciones trigonométricas inversas:
seno inverso o arco seno, coseno
inverso o arco coseno, tangente
inversa o arco tangente, cotangente
inversa o arco cotangente, secante
inversa o arco secante y cosecante
inversa o arco cosecante. Dominio,
rango y gráficas. Propiedades de las
funciones trigonométricas inversas.
28. Ecuaciones e inecuaciones
trigonométricas
Definición. Solución de una ecuación
trigonométrica: conjunto solución,
solución general (expresiones
generales), valor principal.
Ecuaciones trigonométricas
elementales (con una variable).
Ecuaciones trigonométricas no
elementales. Sistema de ecuaciones
trigonométricas con dos o más
variables: solución general y
soluciones particulares. Comparación
de cantidades. Inecuaciones
trigonométricas fundamentales.
Inecuaciones trigonométricas con
una variable, solución analítica y/o
gráfica.
29. Resolución de triángulos
Leyes trigonométricas: ley de senos,
ley de cosenos, ley de tangentes y ley
de proyecciones. Ángulos verticales.
Ángulos horizontales (Rosa Naútica).
Resolución de triángulos. Fórmulas de
los semiángulos internos de un
triángulo en función del
semiperímetro. Áreas de regiones
triangulares, conociendo lados,
alturas, ángulos, semiperímetro,
circunradio, inradio, exradios. Cálculo
de longitudes de las líneas notables
de un triángulo: alturas, medianas,
bisectrices interiores y exteriores.
Área de una región limitada por un
cuadrilátero: cuadrilátero inscriptible,
circunscriptible y bicéntrico.
30. Tópicos afines a la trigonometría
Aplicaciones de los números
complejos a la trigonometría.
Fórmulas trigonométricas. Gráficas.
Secciones cónicas: concepto. La
circunferencia: definición, ecuación
canónica, ecuación ordinaria,
ecuación general.
La parábola: definición, foco,
directriz, vértice, la ecuación
canónica, la ecuación ordinaria, con
vértice (h,k) y eje paralelo a un eje
coordenado.
La elipse: definición, focos, centro,
vértice, ejes, la ecuación canónica,
la ecuación ordinaria con centros
(h,k) y ejes paralelos a los ejes
coordenados, excentricidad.
La hipérbola: definición, focos,
centro, vértices, ejes, la ecuación
canónica, la ecuación ordinaria con
centro (h,k) y eje focal paralelo a los
ejes coordenados, excentricidad.
Ecuaciones polares de las cónicas.
Transformación de un sistema de
coordenadas: traslación y rotación
de ejes.
Eliminación del término xy en la
ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +
F = 0.
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