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ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Dada la funcio´n f(x) 0 si x 0 2 x x si x 0 a) Calcula su dominio y dibuja su gra´fica. b) Define la funcio´n f en x 0 para que sea continua en ese punto. c) Estudia si, al dar a f(0) el valor obtenido en el apartado anterior, la funcio´n es derivable en x 0. Y 2. Una funcio´n f(x) tiene por derivada f (x) cuya gra´fica es la dada en la figura. Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n. 3. Una funcio´n f(x) tiene por derivada f (x) cuya gra´fica es la dada en la figura. Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n. 4. Una funcio´n f(x) tiene por derivada f (x) cuya gra´fica es la dada en la figura. Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n. 5. Halla las ası´ntotas de la funcio´n f(x) y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de 1 x x 2 la funcio´n, calculando el punto de corte. 6. Halla las ası´ntotas de la funcio´n f(x) y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de x 1 x2 1 la funcio´n, calculando el punto de corte. 7. Representa las siguientes funciones: a) f(x) x2 2x 3 b) f(x) 6x x2 8. Representa las siguientes funciones: a) f(x) x3 3x 2 b) f(x) (x 1)3 9. Representa las siguientes funciones: a) f(x) x x 1 b) f(x) x2 x 1 SOLUCIONES 1. a) Dominio {0} b) f(0) lim f(x) 0 xA0 c) f (x) 0 si x 0 2x 1 si x 0 f (0 ) 0 y f (0 ) 1 Como las derivadas laterales son distintas, la funcio´n no es derivable en x 0. 2. Si x 2 f (x) 0: f(x) es creciente. Si x 2 f (x) 0: f(x) es decreciente. f (2) 0 y f pasa de ser positiva a ser negativa f(x) tiene un ma´ximo en x 2. Como f (x) es decreciente, f(x) es siempre co´ncava y no tiene puntos de inflexio´n. 3. Si x 2 o x 2 f (x) 0: f(x) es creciente. Si 2 x 2 f (x) 0: f(x) es decreciente. En x 2, f ( 2) 0 y f pasa de ser positiva a ser negativa f(x) tiene un ma´ximo en x 2. En x 2, f (2) 0 y f pasa de ser negativa a ser positiva f(x) tiene un mı´nimo en x 2. En x 0, f (x) pasa de ser decreciente a ser creciente f(x) pasa de ser co´ncava a ser convexa y, por tanto, hay un punto de inflexio´n. 4. Si x 1 f (x) 0: f(x) es decreciente. Si x 1 f (x) 0: f(x) es creciente. En x 1, f ( 1) 0 y f pasa de ser negativa a ser positiva f(x) tiene un mı´nimo en x 11. En x 0 y en x 2 cambia el crecimiento de f (x) cambia la curvatura de f(x) y, por tanto, hay puntos de inflexio´n. 5. El denominador se anula en x 2. Como y , 1 x 1 x lim lim xA2 x 2 xA 2 x 2 x 2 es ası´ntota vertical. Como 1 y 1, 1 x 1 x lim lim xA x 2 xA x 2 y 1 es ası´ntota horizontal. El sistema no tiene solucio´n. 1 x y x 2 y 1 No hay puntos de corte con la ası´ntota. 6. No tiene ası´ntotas verticales ya que el denominador no se anula. Como 0 y 0, x 1 x 1 lim lim x2 1 x2 1 xA xA y 0 es ası´ntota horizontal. tiene como solucio´n x 1 x 1 y x2 1 y 0 ( 1, 0) es el punto de corte con la ası´ntota. 7. a) f (x) 2x 2 b) f (x) 6 2x f (x) 2 f (x) 2 Y O (–1, –4) 1 x = –1 1 X Y O 2 2 X f(x) = x2 + 2x – 3 f(x) = 6x – x2 (3, 9) x = 3 8. a) f (x) 3x2 3 b) f (x) 3(x 1)2 f (x) 6x f (x) 6(x 1) Y O 1 (1, 0) (0, 2) (–1, 4) 1 X Y O 1 1 (–1, 0) X f(x) = x3 – 3x + 2 f(x) = (x + 1)3 9. a) f (x) b) f (x) 1 x(x 2) (x 1)2 (x 1)2 f (x) f (x) 2 2 (x 1)3 (x 1)3 Y O 2 (–2, 4) 2 (0, 0) X x = –1 y = –x + 1 Y O 2 2 x = –1 y = –1 X f(x) = – f(x) = – x + 1 x x + 1 x2 1. Halla las ası´ntotas de las siguientes funciones y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de la funcio´n, calculando el punto de corte: a) f(x) x4 8 x3 x2 b) f(x) 1 si x 0 x x2 x si x 0 x 2 2. Representa gra´ficamente la funcio´n f(x) x sen x en el intervalo [ 2 , 2 ]. 3. Representa gra´ficamente la funcio´n f(x) cos x sen x en el intervalo [ 2 , 2 ]. 4. Representa gra´ficamente la funcio´n f(x) sen x · ex en el intervalo [ 2 , 2 ]. 5. Representa gra´ficamente la funcio´n f(x) . x Lx 6. Representa gra´ficamente la funcio´n f(x) x · ex. 7. Estudia el comportamiento de la funcio´n f(x) en el intervalo [ 5, 5] y representa esta funcio´n de forma aproximada sabiendo que su derivada tiene la siguiente gra´fica: Y O 1 1 X f'(x) 8. Demuestra que para cualquier funcio´n polino´mica de grado tres, f(x) ax3 bx2 cx d, se verifica que: a) Si la derivada f (x) se anula en dos puntos x1 y x2, la funcio´n tiene un punto de inflexio´n en x . x x 1 2 2 b) Si la derivada f (x) se anula en un u´nico punto x0, ese punto es un punto de inflexio´n. SOLUCIONES 1. a) El denominador se anula cuando: x3 x2 x2 (x 1) 0 x 0, x 1 lim f(x) , lim f(x) xA 1 xA 1 x 1 es ası´ntota vertical. lim f(x) , lim f(x) xA0 xA0 x 0 es ası´ntota vertical. y x 1 es ası´ntota oblicua. No hay puntos de corte con la ası´ntota. b) lim f(x) , lim f(x) 0 xA0 xA0 x 0 es ası´ntota vertical cuando x A 0 . (0, 0) es punto de corte con la ası´ntota. lim f(x) , lim f(x) xA2 xA2 x 2 es ası´ntota vertical. y 0 es ası´ntota horizontal cuando x A . (0, 0) y (1, 0) son puntos de corte con la ası ´ntota. y x 1 es ası´ntota oblicua cuando x A . No hay puntos de corte con la ası´ntota. Y O 2 X f(x) = x + sen x –2π π 2π 2. f (x) 1 cos x f (x) sen x f(x) = cos x + sen x Y O 2 X –2π π 2π 3. f (x) sen x cos x f (x) (cos x sen x) f(x) = sen x . ex Y O 2 –2π –π π 2π X 4. f (x) (cos x sen x) ex f (x) 2 cos x · ex Y O 2 2 X f(x) = x Lx 5. f (x) Lx 1 (Lx)2 f (x) 2 Lx x(Lx)3 f(x) = x . ex Y O 1 X 1 6. f (x) ex (x 1) f (x) ex (x 2) 7. f (x) es negativa y constante en ( 5, 3) f(x) es decreciente y lineal. f (x) es negativa y creciente en ( 3, 2) f(x) es decreciente y convexa. f (x) es positiva y creciente en ( 2, 1) f(x) es creciente y convexa. f (x) es positiva y decreciente en (1, 3) f(x) es creciente y co´ncava. f (x) es positiva y creciente en (3, 5) f(x) es creciente y convexa. f ( 2) 0 ( 2, f( 2)) es un mı´nimo relativo. (1, f(1)) y (3, f(3)) son puntos de inflexio´n. 8. f (x) 3ax2 2bx c; f (x) 6ax 2b a) x1 y x2 son soluciones de la ecuacio´n 3ax2 2bx c 0 x1 x2 2b 3a x x x x 1 2 1 2 f 6a 2b 2 2 3a 2b 2b 2b 0 2b 3a f 6a 0 x x 1 2 2 En x hay un punto de inflexio´n. x x 1 2 2 b) x0 es solucio´n doble de la ecuacio´n 3ax2 2bx c 0 x0 2b 6a 2b 0 2b f (x0) 6ax0 2b 6a 2b 2b 6a f (x0) 6a 0 En x x0 hay un punto de inflexio´n.