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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS RESUELTOS-QUINTO DE SECUNDARIA PDF







Sistema de ecuaciones.- Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas.
Solución de un sistema .- Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierte en identidades.
Sistemas equivalentes.- Son aquellos que a pesar de tener ecuaciones diferentes aceptan las mismas soluciones.

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Clasificación de los sistemas
I) Atendiendo sus soluciones
1. Sistema compatible: Cuando existe solución.
Ejemplo:
El sistema: x + y = 6
                   x - y = 2
es compatible, su solución es: x = 4 ; y = 2

2. Sistema incompatible: Cuando no existe solución.
Ejemplo:
El sistema: x + 3y = 10
                  x + 3y = 13
es incompatible, por que no hay ningún par de valores de “x” e “y” que verifique ambas.

II) Atendiendo al número de ecuaciones con el número de incógnitas
1.Sistema determinado.- Cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas.
2.Sistema indeterminado.- Cuando el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, estos sistemas se caracterizan por tener infinidad de soluciones.
3.Sistema incompatible, imposible, absurdo o inconsistente.- Cuando el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incógnitas.
Observación:Se denomina ecuaciones independientes, si los coeficientes de una misma incógnita no son proporcionales.

Resolución de sistemas de primer grado
El método que mayormente se utiliza es el denominado método algebraico que consiste en realizar transformaciones lineales con las ecuaciones del sistema para eliminar progresivamente las incógnitas.

Sistema de primer grado con dos incógnitas
Forma normal:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
donde: “a1” , “a2” , “b1” , “b2” , “c1” y “c2”; son números reales.

I. Método de sustitución
Se resume en los siguientes pasos:
a) Reducir el sistema a su forma normal.
b) En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita).
c) Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita.
d) Resolver la ecuación obtenida.
e) Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita.

* Resolver: 5x - 2y = 4 ........... (I)
Solución: Si en la segunda ecuación suponemos conocida la incógnita “x”, obtenemos:
y = 9 - 3x; y la solución general de esta ecuación está dada por el par {x; 9 - 3x }. Si ésta fuera también solución del sistema, sustituida en la primera ecuación tendrá que verificarse la igualdad: 5x - 2(9 - 3x) = 4
3x + y = 9 ........... (II)
Obtenemos así una ecuación de primer grado con una incógnita, que podemos resolver fácilmente: 5x - 18 + 6x = 4
11x = 22
   x = 2
Si ahora sustituimos el valor de “x” en [II], podemos hallar el correspondiente valor de “y”. y = 9 - 3 [ 2 ] = 9 - 6 = 3
La solución del sistema vendrá dada por el par { 2 ; 3 }.

II. Método de igualdad
Podríamos resumir este método de igualación con los siguientes pasos:
a) Reducir el sistema a su forma normal.
b) Despejar en las ecuaciones la misma variable.
c) Igualar las dos expresiones de la variable despejada.
d) Resolver la ecuación obtenida.
e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita.