SEMEJANZA DE TRIANGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 2 SECUNDARIA – MEDIA PDF

Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de : 
* Identificar si dos triángulos son semejantes y plantear la proporcionalidad de lados.

* Diferenciar entre congruencia y semejanza de triángulos. 

* Ver la importancia de la semejanza en la geometría y conocer su significado geométrico. 

* Conocer el significado geométrico de figuras semejantes y cuerpos en general.

* Aplicar la semejanza de triángulos para calcular las longitudes de sus lados y medidas angulares.  

* Reconocer figuras geométricas de uso más  frecuente en donde se note semejanza de triángulos y ver la relación adecuada de elementos homólogos.
Resolver los problemas relacionados con semejanza de triángulos. ***


PROPÓSITO DE LA UNIDAD La semejanza de figuras planas es un contenido matemático que es trabajado en los distintos niveles de la Educación Media, debido a su importancia desde el punto de vista matemático y también por su relevancia en contextos reales. CLICK AQUI PARA VER PDF    **** Durante esta unidad, queremos que los y las estudiantes sean capaces de identificar figuras semejantes, más allá de la simple visualización. Para ello, son enseñados tres importantes criterios de semejanza y el teorema de Thales, con el objeto de que puedan reconocer matemáticamente si diferentes figuras presentadas son semejantes, como por ejemplo al analizar la igualdad de ángulos y la proporcionalidad de los lados correspondientes. Toda esta amplitud y profundización de contenidos tiene como finalidad aplicar los nuevos conocimientos adquiridos en situaciones del contexto real. Por este motivo, a lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los y las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos matemáticos y cotidianos. En esta unidad se introduce en concepto de semejanza. Intuitivamente, las figuras semejantes están relacionadas por una transformación, ya sea de dilatación o contracción de sus longitudes, de modo que las razones entre las medidas de las distintas rectas que componen la figura original y la dilatada es la misma, así como los ángulos correspondientes. La razón entre sus longitudes es una medida de la magnificación de la transformación. Un caso especial de esto es la congruencia, donde la magnificación es igual a 1. Dos figuras que cumplan lo anterior, pero que estén rotadas una con respecto a otra, pueden causar cierta dificultad. Para ello, debe hacerse hincapié en la definición. Por ejemplo, dos figuras pueden ser semejantes pero no estar “semejantemente ubicadas”, tal como se muestra en la figura de la cámara oscura. Actividades complementarias 1. Supón que dos triángulos cumplen que la razón entre sus correspondientes lados es constante, ¿se puede decir que los triángulos son semejantes?, ¿es necesario verificar también que los ángulos correspondiente son iguales, tal como se enuncia en la definición del Texto? 2. Discute con tus compañeros y compañeras acerca de cómo se podría definir semejanza, en general, para figuras que no están formadas por segmentos de rectas. ¿Qué puedes decir de las figuras mostradas en la siguiente figura? En esta sección, se demuestra el teorema de Thales y su recíproco. Debe quedar claro que el recíproco establece condiciones para que dos rectas que cortan a dos secantes sean paralelas. De este modo, se pueden plantear condiciones sobre los segmentos proporcionales (según el teorema), aun cuando sus medidas son desconocidas. Por ejemplo, un tipo de problema muy común es que al alumno o alumna se le pregunta “¿qué valor debe tener x (algún segmento a determinar en el problema) para que las rectas sean paralelas?” El concepto de homotecia de razón negativa puede ser difícil de visualizar y entender para sus estudiantes. Para aclararles esto, puede dibujar en el pizarrón algunos ejemplos, poniendo énfasis en cómo se invierte la orientación de los distintos segmentos que componen una figura. También puede ser difícil visualizar una homotecia cuando el centro de la homotecia está dentro de la figura dada, tal como se plantea el problema 2. Puede aclarar este punto haciendo notar que el concepto de homotecia como una transformación de la figura no guarda relación con que el centro de la homotecia se encuentre en algún lugar particular del plano, ya que la forma de construir la imagen de una figura bajo una homotecia es siempre la misma. Semejanza de figuras ANALICEMOS... La imagen muestra la letra A tal como se ve cuando se pega, como imagen, en un editor de texto, como el Word. Cuando se quiere modificar esta imagen, ya sea ampliarla, reducirla o expandirla, se debe arrastrar con el mouse alguno de los puntos en los que aparece la doble flecha. Observa cómo se modifican las imágenes, en cada caso: En la situación anterior, se puede observar que cuando se ubica el cursor en el punto central de uno de los lados y se arrastra, la letra A se expande solo de manera horizontal, y se ve más ancha. De hecho, se deforma, ya que los ángulos del triángulo interno cambian y la proporción entre sus medidas no se mantiene constante. Ahora, si se ubica el cursor en el punto central, de arriba o de abajo y se arrastra, la letra se expande solo de manera vertical, y la letra A aparece alargada. Como en el caso anterior, cambian los ángulos del triángulo interno y la proporción entre sus lados. Finalmente, si se ubica el cursor en el punto ubicado en alguna de las esquinas, y se arrastra en diagonal, la letra A se expande de forma vertical y horizontal simultáneamente, y se mantiene la forma, ya que los ángulos son congruentes y todas las proporciones se conservan. En este caso, diremos que la figura inicial y la resultante son semejantes. • Entre ellas, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian? • Mide los ángulos del triángulo central de cada una de las letras. En cada caso, ¿son iguales a la primera?, ¿por qué? • Mide la longitud de cada parte de la letra. En cada caso, ¿son proporcionales a la primera?, ¿por qué? • ¿Cuál de ellas se parece más a la letra original? Justifica. GLOSARIO propiedad de dos figuras de tener la misma forma y tamaño; cuando al poner una figura sobre la otra, ambas coinciden. 147 Unidad 4 • Dos figuras son semejantes si todos sus correspondientes ángulos son congruentes y la razón entre sus correspondientes lados es constante. EN RESUMEN 1. Utiliza un par de escuadras y verifica que solo en el último caso el lado izquierdo de la letra A es paralelo al de la letra original. ¿Sucederá lo mismo para los otros lados de las letras A?, ¿por qué? 2. Dibuja en tu cuaderno dos figuras que sean semejantes. Luego, une los correspondientes puntos de cada letra con una recta. Comprueba que siempre estas rectas se cortan en un solo punto. 3. Explica por qué dos figuras no son semejantes si alguno de sus ángulos no son congruentes. 4. Dos cuadriláteros tienen, cada uno, sus cuatro lados iguales y el lado de uno mide el doble del lado del otro. ¿Es suficiente para que sean semejantes? Haz un dibujo y justifica tu respuesta. 5. Dos cuadriláteros que tienen, cada uno, sus cuatro ángulos interiores congruentes. ¿Son necesariamente semejantes? Justifica tu respuesta y haz el dibujo correspondiente. 6. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. b. Todos los cuadrados son semejantes. c. Todos los rectángulos son semejantes. d. Todos los círculos son semejantes. e. Dos figuras planas semejantes tienen sus correspondientes ángulos distintos. f. Si dos figuras son semejantes, la razón entre dos segmentos de una figura es igual a la razón de los correspondientes dos segmentos de la otra. g. Dos figuras semejantes son figuras congruentes. h. Dos figuras congruentes son figuras semejantes. EN TU CUADERNO Otra forma de visualizar figuras semejantes es imaginar qué sucede al proyectar una imagen en la pared. Puede ser utilizando un proyector de diapositivas o con imágenes formadas por sombras. También existe la cámara oscura, que es el fundamento de las cámaras fotográficas. Este instrumento produce figuras semejantes, pero invertidas. Semejanza de triángulos: criterio AA ANALICEMOS... A partir de lo visto en la sección anterior, dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de los lados correspondientes son proporcionales. Sin embargo, no siempre es posible determinar u obtener todos estos datos. Ya sabemos que en las figuras semejantes se conservan las medidas entre los correspondientes ángulos y las razones entre los lados correspondientes. Si se aplica esto al caso de los triángulos, la semejanza se resume así: ΔABC ~ ΔA’B’C’ si y solo si α = α’, β = β’, γ = γ’, y = = . Es decir, se deberían conocer todas las medidas de los lados y ángulos, para determinar si dos triángulos son semejantes o no. Pero, al igual que para determinar la congruencia de triángulos, existen tres teoremas que permiten establecer la semejanza de triángulos sin verificar necesariamente todas las igualdades. Por ejemplo, se puede afirmar que dos triángulos son semejantes solo comprobando que dos de sus correspondientes ángulos son iguales. Observa. Si se cumple que α = α’ y β = β’, se puede concluir que γ = γ’, ya que: α + β + γ = 180º γ = 180º – α – β γ’ = 180º – α’ – β’ γ = γ’ c c’ b b’ a a’ • ¿Cómo concluir que dos triángulos son semejantes? • ¿Es necesario conocer todas las medidas de sus lados y de sus ángulos? • Si no se conocen todos los datos, ¿es aún posible concluir semejanza? • ¿Cuál o cuáles datos pueden ser suficientes para determinar semejanza? GLOSARIO A’ se lee: “A prima”. ΔA’B’C’ ~ ΔABC se lee: “el triángulo A’B’C’ es semejante al triángulo ABC”. • Dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales. Esto es, si α = α’, β = β’, γ = γ’, a = a’, b = b’ y c= c’. • En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180º, es decir, α + β + γ = 180º. RECUERDA QUE... A’ α’ C’ b c’ a’ b’ α’ β’ a c α β γ γ’ γ’ B’ β’ A α a a’ b b’ c’ C γ c B β 149 Unidad 4 Por lo tanto, como ahora los tres ángulos correspondientes son iguales, los triángulos son semejantes. Pero, en realidad, solo basta con dos. Esto se conoce como primer criterio de semejanza o criterio AA (ángulo-ángulo). Observa el siguiente ejemplo, en que se establece la semejanza con el primer criterio. Durante la noche, Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don José, de pie junto al poste, es de 4 m. Si Miguel estima la altura de don José en 1,7 m, ¿cuánto medirá el poste? Se puede considerar que el poste y don José están perpendiculares al suelo. De este modo, CAB y EDB son ángulos rectos. Observa que además CBA es el mismo EBD. Entonces, por el criterio AA, ΔABC ~ ΔDBE, por lo tanto, los correspondientes lados son proporcionales y se cumple: = 6 h = 3,4 m 3 h 1,7 1. Determina cuáles triángulos de la siguiente figura son semejantes. Considera que todos estos triángulos son isósceles, DF es bisectriz de EDA y BE, AE y EG son bisectrices de ABC, CAB y FED, respectivamente. Justifica tu respuesta. EN TU CUADERNO • Dos triángulos son semejantes si todos los lados correspondientes son proporcionales y si las medidas de los ángulos correspondientes son iguales. • Criterio AA: dos o más triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales. EN RESUMEN C E D A h B D 36º A E F G C B Semejanza de triángulos: criterio LLL ANALICEMOS... Martín necesita determinar si los siguientes triángulos son semejantes. Observa. Observa que los triángulos tienen lados aparentemente proporcionales. Comenzando por el lado mayor, los lados correspondientes tienen la relación = = . Como esta razón es constante, los lados correspondientes son proporcionales y, luego, los triángulos son semejantes. Esto se conoce como segundo criterio de semejanza o criterio LLL (lado-lado-lado). 2 6 3 9 4 12 • ¿Martín puede aplicar el criterio AA en este caso?, ¿por qué? • ¿Se pueden ordenar los triángulos de modo que la razón entre sus correspondientes lados sea la misma?, ¿por qué? • ¿Estos triángulos son semejantes? Explica. • En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo, y del mismo modo, a menor lado se opone menor ángulo. • : Si dos triángulos tienen las medidas de sus lados correspondientes iguales, es decir, a = a’, b = b’ y c = c’, entonces son congruentes. RECUERDA QUE... EN TU CUADERNO 1. En un triángulo ABC, AB = 4 cm, BC = 7 cm y CA = 10 cm. En otro triángulo A’B’C’, A’B’ = 3 cm, B’C’ = 6 cm y C’A’ = 15 cm. ¿Son semejantes los triángulos ABC y A’B’C’? 2. ¿Son semejantes dos triángulos de lados a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm y a’ = 12 cm, b’ = 16 cm, c’ = 21 cm, respectivamente? 3. Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes con razón de semejanza . Los lados del triángulo ABC son a = 3 cm, b = 10 cm, c = 8 cm. Halla las longitudes de los lados del ΔA’B’C’. 4. Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. a. Si AB = 5 cm, BC = 8 cm, CA = 4 cm, PQ = 2,25 cm, RP = 1,8 cm, ¿cuánto mide ? b. Si AB = 2 cm, BC = 2 cm, CA = 3 cm, PQ = 4 cm, PR = 2x – 2 cm y QR = x, ¿cuál es el valor de x? ¿Cuánto mide ? 13 QR PR 60º 35º 4 6 2 3 12 9 5. Si ΔABC ~ ΔDEF, tales que = , y si se tiene que AB = 12 cm, BC = 9 cm y AC = 7,5 cm, calcula las medidas de los lados del ΔDEF. 6. Prueba que los triángulos dados son semejantes. 7. Determina los valores de x e y si los triángulos son semejantes. a. b. 2 3 AB DE 151 Unidad 4 • Criterio de semejanza LLL: dos o más triángulos son semejantes si tienen todos sus lados correspondientes en igual proporción. EN RESUMEN 6 x B x y 7 cm 3,5 cm 3 cm 4 cm C A R Q y 3 4 8 5,2 5 4 8 10 12 Semejanza de triángulos: criterio LAL ANALICEMOS... Matías dice que estos triángulos no pueden ser semejantes, porque no se ven como si el triángulo mayor fuera la ampliación del más chico. Antonia, en cambio, dice que los lados correspondientes están en distinta posición, por eso se ve raro. Observa que = ya que: = = 2. Además ACB = DCE ya que, como se ve en la figura, es exactamente el mismo ángulo. Otra forma de establecer la semejanza entre triángulos es verificar que dos de los lados correspondientes son proporcionales y que el ángulo determinado por estos lados es igual en cada triángulo. Este resultado se conoce como tercer criterio de semejanza o criterio LAL (lado-ángulo-lado). Para probarlo, basta aplicar transformaciones isométricas a uno de los triángulos, de manera que coincida uno de los correspondientes pares de lados, por ejemplo, a y a’. De esta forma, los lados b y b’ son paralelos y los ángulos γ y γ’ son iguales (porque son ángulos correspondientes entre paralelas). Por lo tanto, los triángulos son semejantes, según el criterio AA. 12 6 18 9 CA CD BC EC • ¿Quién tiene la razón, Matías o Antonia?, ¿por qué? • En este caso, ¿se puede utilizar el criterio AA?, ¿por qué? • ¿Y con el criterio LLL, se puede establecer la semejanza?, ¿por qué? • ¿Son semejantes los triángulos ABC y DEC? Justifica tu respuesta. • Al relacionar dos o más triángulos, el orden en que se nombran sus vértices indica cuáles son los vértices correspondientes, según el orden de las letras. Si ΔABC~ ΔDEC, Ase corresponde con D,B con E y C con C, en este caso. Luego, por ejemplo, el lado AB se corresponde con el lado DE, y BAC se corresponde con el EDC. NO OLVIDES QUE... • : si tienen dos de sus lados correspondientes de igual medida y los ángulos determinados por estos lados son de igual medida, es decir, si b = b’, c = c’ y α = α’, entonces los triángulos son congruentes. RECUERDA QUE... 12 18 6 9 E D A B C 6 6 9 9 D E A B C Para establecer la semejanza entre dos triángulos, se pueden utilizar los siguientes teoremas, conocidos como criterios de semejanza: • Criterio AA o primer criterio de semejanza: si dos triángulos tienen dos de sus ángulos iguales, entonces los triángulos son semejantes. • Criterio LLL o segundo criterio de semejanza: si dos triángulos tienen todos sus lados correspondientes en igual proporción, entonces los triángulos son semejantes. • Criterio LAL o tercer criterio de semejanza: si dos triángulos poseen dos de sus lados correspondientes en igual proporción y los ángulos comprendidos por dichos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. EN RESUMEN 153 Unidad 4 1. Comenta y determina con tus compañeros y compañeras si se puede afirmar que ΔABC ~ ΔA’B’C’, si solo se sabe que si b = b’, c = c’ y γ = γ’. 2. Prueba en cada caso si los triángulos dados son semejantes. a. b. 3. Establece todos los triángulos semejantes de la siguiente figura, si se sabe que D, E y F son puntos medios de BC, CA y AB, respectivamente. 4. En la figura, considera que el ángulo de incidencia x es igual al ángulo de reflexión y. a. Demuestra que los dos triángulos son semejantes. b. Calcula la altura H si se sabe que h = 1,5 m, a = 2 m y b = 6 m. c. Explica por qué siempre se cumple que H= . bh a EN TU CUADERNO h a H b 6 60º 4 8 60º 12 6 50º 4 8 50º 12 E A F B D C Análisis de semejanza en figuras planas ANALICEMOS... Andrea necesita determinar si las siguientes figuras son semejantes, pero solo tiene un transportador; entonces, decide dividirla en triángulos. Toda figura geométrica (formada por segmentos rectos) se puede descomponer en triángulos. Por esta razón, el estudio de los triángulos es tan importante en geometría. Por ejemplo, para determinar si estos polígonos son semejantes, se descomponen en triángulos y se determina si los correspondientes triángulos, en cada caso, son semejantes. Observa: Entonces, se debe verificar la semejanza de cada par de triángulos correspondientes para concluir que ambas figuras son semejantes. En cambio, basta comprobar que un par de triángulos no sea semejante para concluir que las figuras no son semejantes. Como Andrea tiene solo un transportador, se debe usar en cada caso el criterio AA de semejanza. Para esto, ella nombra los vértices de la primera figura desde el vértice superior como A, B, C, D, E y F, en sentido horario, y los de la segunda, como A’, B’, C’, D’, E’ y F en sentido antihorario, ya que estas figuras no tienen la misma orientación. Así, Andrea mide los ángulos correspondientes y comprueba queΔABE y ΔA B E son semejantes, así como ΔBCE y ΔB C E ,ΔCDE yΔC D E ,ΔAFE yΔA F E . Por lo tanto, como cada par de triángulos correspondientes son semejantes, se concluye que ambas figuras son semejantes. • ¿Por qué Andrea dividió las figuras en triángulos?, ¿cómo crees que verificará ahora que son semejantes? • ¿Qué se debe cumplir para determinar si dos triángulos son semejantes? • ¿Se puede determinar la semejanza de triángulos solamente verificando que sus ángulos correspondientes son iguales? Justifica tu respuesta. GLOSARIO figura geométrica plana, cerrada y cuyos lados son rectas. todos los lados y ángulos interiores del polígono son iguales. 155 Unidad 4 1. Sobre una hoja de papel cuadriculado, realiza una figura semejante a las dadas a continuación cuyas medidas sean el doble de las medidas originales. 2. Un rectángulo mide 18 cm de largo por 12 cm de ancho. Un segundo rectángulo, semejante al primero, mide 12 cm de largo. a. Determina la razón de semejanza entre el primer y segundo rectángulo. b. Calcula el ancho del segundo rectángulo y el área de este. c. Calcula el cuociente entre el área del primer y segundo rectángulos. d. ¿Qué relación tiene el cuociente obtenido con la razón de semejanza? 3. Dos triángulos rectángulos semejantes son tales que, para el primero, la medida del cateto mayor es 28 cm y su área es de 294 cm2 y, para el segundo, la medida del cateto menor es 12 cm y su área es de 96 cm2. Determina la razón de semejanza. 4. Dado el pentágono de la figura, calcula el perímetro de otro de menor tamaño si la razón de semejanza es 4 : 3. EN TU CUADERNO • Para analizar si dos figuras planas con lados rectos son o no semejantes, se pueden descomponer en triángulos y asociar los pares de triángulos correspondientes. • Si en todos los casos estos triángulos son semejantes, entonces las figuras son semejantes. • Si en algún caso los triángulos correspondientes no son semejantes, las figuras tampoco lo son. EN RESUMEN E A B C 14 cm D 8 cm 11 cm 6 cm 9 cm Javiera ha decidido con su familia la ampliación de su casa, para agregar un dormitorio. El arquitecto fue a conversar con ellos y medir la casa y, días después, les mostró el plano de la casa, con la ampliación incluida. Observa. Primero, observa que en todo plano o mapa aparece la escala en que está dibujado. Esto indica cuántas veces el dibujo es más pequeño que la realidad, y, por lo tanto, es una razón entre las longitudes, esto es, entre las medidas en un plano y las medidas reales del objeto o del terreno. De modo que, para obtener las medidas reales, se debe medir con una regla cada habitación, y con estos datos se puede calcular cuál es la superficie total de la casa. Por ejemplo, en el plano, el comedor mide 1,5 cm de largo y 1,2 cm de ancho; luego, las medidas reales se calculan utilizando proporciones; para el largo: = y para el ancho = . Luego, el comedor mide 300 cm de largo, es decir, 3 m, y 240 cm ó 2,4 m de ancho. En un plano se puede determinar a simple vista si un dormitorio es más grande que otro, porque todas las medidas son proporcionales; luego, si en el plano es posible distinguir que el baño es más pequeño que la cocina, entonces a escala real también es más pequeño. 200 a 1 1,2 200 l 1 1,5 • ¿A qué se refiere la expresión “Escala 1 : 200” que aparece en el plano? • ¿Cuáles son las medidas reales del dormitorio 3 de la casa? • ¿Cuál es la superficie total del dormitorio 3? ANALICEMOS... Aplicación de la semejanza en modelos a escala Escala 1 : 200 Comedor Living Dormitorio 3 Entrada Dormitorio 1 Dormitorio 2 Baño Cocina GLOSARIO es la razón de semejanza entre la medida de un segmento en el plano y la medida de ese mismo segmento en la realidad. comparación entre dos cantidades por medio de un cuociente. es el cuociente de las medidas de segmentos homólogos o correspondientes. 157 Unidad 4 • La escala de un plano o mapa es la razón de semejanza entre la distancia de dos puntos cualesquiera en el plano y la distancia de los correspondientes puntos en la realidad. • Para calcular las distancias reales respecto de las distancias en un plano o mapa a escala, se escribe la proporción correspondiente, considerando la escala indicada en el plano o mapa. EN RESUMEN 1. Determina las dimensiones reales de cada uno de los dormitorios de la casa y calcula la superficie total de la casa. 2. Si en un plano un segmento de 5 cm representa 300 m en la realidad, ¿a qué escala está construido el plano? 3. Un plano se encuentra a escala 1 : 500. Si una superficie se representa por un rectángulo de 6 cm de largo por 4 cm de ancho, determina las medidas de la superficie real. 4. En un mapa a escala 1 : 625 000, dos ciudades se encuentran a 32 cm. ¿A qué distancia se encuentran realmente? 5. Dos pueblos se encuentran separados a 90 km. Si en un mapa de la zona se encuentran a 3,5 cm, determina la escala en que está dibujado. 6. Una maqueta de una avioneta hecha a escala 1 : 50 tiene las siguientes medidas: 32 cm de largo, 24 cm de ancho y 8 cm de alto. Determina las dimensiones reales del aparato. 7. Observa el dibujo del siguiente mueble. a. Calcula el largo, ancho y alto del mueble. b. Calcula el tamaño de sus puertas. c. Calcula el volumen de sus cajones. d. ¿Cuántas cajas de discos compactos de 14,2 cm de largo; 12,5 cm de ancho y 1 cm de alto caben en los cajones? EN TU CUADERNO Visto de frente Escala 1 : 50 Visto de arriba Escala 1 : 50 MI PROGRESO 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones caracteriza a las figuras semejantes? A. Sus ángulos correspondientes son iguales y la razón entre sus lados no es constante. B. Sus ángulos correspondientes son iguales y la razón entre sus lados es constante. C. Sus ángulos correspondientes no son iguales y la razón entre sus lados es constante. D. Sus ángulos y lados correspondientes son iguales. 2. ¿Qué afirmación es correcta acerca de dos cuadriláteros si solo se sabe que tres de sus ángulos son iguales? A. Las figuras no son semejantes ni congruentes. B. Las figuras son semejantes, pero no son congruentes. C. Las figuras son congruentes, pero no son semejantes. D. No puede determinarse si son o no semejantes. 3. Considera ΔABC ~ ΔDEF. Los lados del ΔABC miden 3 cm, 10 cm y 8 cm, respectivamente. Si la razón de semejanza es de 2 : 3, determina las medidas de los lados del ΔDEF. 4. En un ΔABC, BC = 11 cm y CA = 7 cm, y BCA = 70º. Si ΔA´B´C´ ~ ΔABC y la razón de semejanza es 2, determina las medidas de B´C´ y C´A´. 5. Si ΔABC y ΔDEF son tales que ABC y EDF miden 63º, y BCA y DEF miden 74º, ¿pueden ser semejantes?, ¿por qué? 6. Si en un plano un segmento de 12 cm representa 600 m en la realidad, ¿a qué escala está construido el plano? 7. En un mapa cuya escala es 1 : 375 000, dos ciudades se encuentran a 24 cm. ¿A qué distancia se encuentran realmente? CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS • Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno. ¿Cómo voy? Reconocer figuras semejantes. 1 y 2 /2 Aplicar criterios de semejanza de triángulos. 3, 4 y 5 /3 Aplicar el concepto de escala. 6 y 7 /2 159 Unidad 4 Observa que DE // AB, y CA es transversal a ellos, entonces: CAB = CDE, son ángulos correspondientes entre paralelas. ACB = DCE, por construcción, son el mismo ángulo. ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio AA de semejanza. Luego, los segmentos AC, DC, BC y EC son proporcionales. Teorema de Thales: toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corte a los otros dos lados divide a estos últimos en segmentos proporcionales. Ahora, cabe preguntarse ¿si un segmento DE corta a los lados AC y BC en segmentos proporcionales, se cumple que DE // AB? Recíproco del teorema de Thales: si una recta divide dos lados de un triángulo en una misma proporción, la recta es paralela al tercer lado del triángulo. Las cantidades a, b, c, d se dicen proporcionales si existe una proporción entre ellas, es decir, si se cumple que: = c = r. d a b RECUERDA QUE... Teorema de Thales ANALICEMOS... Considera el ΔABC, y un segmento de recta, paralelo a AB, tal que interseca a los lados del triángulo en los puntos D y E. • ¿Se cumple que CDE y CAB tienen igual medida?, ¿por qué? • ¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual medida en la figura?, ¿cuáles? • ¿ΔABC y ΔDEC son congruentes?, ¿son semejantes? Justifica tu respuesta. • ¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?, ¿por qué? GLOSARIO : suposición o condición a partir de la cual se pretende establecer una consecuencia. GLOSARIO rectas que no se intersecan. C B A D E Demostración. En el ΔABC, sea DE el segmento que cumple la hipótesis, esto es, tal que sobre los lados AC y BC se cumple la proporción = . Entonces: ACB = DCE, ya que, por construcción, ΔABC y ΔDEC tienen en común el ángulo con vértice en el punto C. = , por hipótesis y componiendo = . ΔABC ~ ΔDEC, por el criterio LAL de semejanza. Como consecuencia de la semejanza, los ángulos correspondientes restantes de cada triángulo son iguales. Dicho de otra forma, CDE = CAB y DEC = ABC. Por lo tanto, los segmentos DE y AB son paralelos. CE + EB CE CD + DA CD CE EB CD DA CE EB CD DA 1. En la figura siguiente, BC // DE. a. Determina EC, si AD = 3, DB = 4 y AE = 4,5. b. Determina EC, si AD = 3,5, DB = 4 y AE = 5,25. c. Determina BC, si AD = 3, DB = 4,5 y DE = 4. 2. En cada caso, considera que D es un punto del segmento AB y E es un punto del segmento AC, y determina si los segmentos DE y BC son paralelos o no. a. Si AD = 3, DB = 4,5, AE = 4,5 y EC = 5,75. b. Si AD = 2, DB = 2 y DE = 3 y BC = 6. c. Si AB = 6, AD = 2, DB = 4, BC = 7,5 y DE = 2,5. EN TU CUADERNO C B A A D E B C A B C D E 161 Unidad 4 • Teorema de Thales: toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corte a los otros dos lados divide a estos últimos en segmentos proporcionales. • Si una recta divide dos lados de un triángulo en una misma proporción, la recta es paralela al tercer lado. EN RESUMEN 3. En la figura, RT // PQ. a. Escribe todas las proporciones que se pueden establecer entre los segmentos de la figura. b. Si SR = 40 m, ST = 42 m y TQ = 63 m, calcula las medidas de RP y SP. 4. Determina el valor de x de manera que se cumpla RT // PQ. 5. ¿Con cuál de los siguientes conjuntos de medidas se cumple que DE // AB? a. CD = 20, DA = 5, CE = 24 y EB = 6. b. CD = 18, DE = 6, CA = 21 y AB = 7. c. CB = 30, EB = 4, CD = 21 y DA = 3. S R T P Q S 3x – 1 3x + 4 x + 2 x R T Q C P E A B D Teorema general de Thales ANALICEMOS... A partir de la conclusiones de la página anterior, considera ahora la siguiente figura, con AB // DE: ACB y DCE tienen la misma medida, ya que son ángulos opuestos por el vértice. Por otra parte, CAB y CDE tienen la misma medida, ya que son ángulos alternos internos entre paralelas. Entonces, por criterio AA, ΔABC ~ ΔDEC, y los segmentos AC y DC, BC y EC son proporcionales. Pero no se cumple solo en un triángulo con una paralela, sino que, en general, si existen rectas paralelas cortadas por transversales, siempre se obtienen segmentos proporcionales. Teorema general de Thales: si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos que se determinan en las secantes son proporcionales. Si AA’ // BB’ // CC’ y O es el punto de intersección de las rectas secantes, entonces se cumple: = = Además, por semejanza, se pueden probar = = ; = = OC , entre otras. CC OB BB OA AA OC CC 0B BB OA AA OC OC BO B O AB A B • ¿Se cumple que CDE y CAB tienen igual medida?, ¿por qué? • ¿Hay otros pares de ángulos que tengan igual medida en la figura?, ¿cuáles? • ¿ΔABC y ΔDEC son semejantes? Justifica. • ¿AC, DC, BC y EC son proporcionales?, ¿por qué? E D C B A A B O C’ C B’ A’ 163 Unidad 4 En esta actividad, aprenderás a verificar el teorema general de Thales, que se refiere a los segmentos proporcionales de rectas secantes que se cortan por tres o más rectas paralelas, usando el programa CarMetal. Para acceder al programa ingresa a www.geometriadinamica.cl/carmetal/ y haz clic en el botón Abre CarMetal. • Una vez instalado el programa, con el botón Semirrecta, marca dos puntos, y la semirrecta quedará determinada. Luego, construye otra cuyo origen sea el mismo de la primera semirrecta. • A continuación, marca los dos puntos que están uno en cada semirrecta, y con el botón Recta construye la recta que pasa por A y B. Luego, con el botón Recta paralela, marca la recta recién construida, y un nuevo punto en cada semirrecta, para obtener tres paralelas. • Marca los puntos restantes que corresponden a la intersección de paralelas con las semirrectas secantes. Deberías tener 7 puntos marcados. • Para comprobar las relaciones del teorema de Thales, selecciona Segmento y luego Medida de segmentos. Entonces marca la medida de los segmentos correspondientes en la figura. Puedes tomar, por ejemplo, las medidas que se dan en la imagen de abajo. Ejercicios 1. Con ayuda de una calculadora, comprueba que la razón entre las medidas correspondientes es la misma para ambas semirrectas. 2. Comprueba las otras relaciones del teorema de Thales, obteniendo las medidas restantes y calculando las relaciones entre medidas de segmentos correspondientes. HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS EN TU CUADERNO 1. Si AA’ // BB’ // CC’ y CO = 3, OB = 4, OB’ = 4, AA’ = , 2. Determina el valor de x, en cada caso, de manera que AB y CD sean paralelas. a. b. 3. Calcula la medida de EF, si E y F dividen respectivamente a AC y BC en la razón 2 : 3, con AE > EC. 4. Demuestra que, en la siguiente figura, la expresión de h en términos de a y b corresponde a: h = ab a + b 10 3 • Teorema general de Thales: si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos respectivos que se determinan en las secantes son proporcionales. EN RESUMEN C’ C O B B’ A A B C D 18 cm 24 cm x + 5 x + 3 A’ A B C D 6 cm 12 cm 9 cm x C F A B E 10 cm 20 cm 15 cm h b a BB’ = 25, calcula las medidas de: CC’, OC’, A’B’ y AB. 12 165 División de un trazo en una razón dada Unidad 4 ANALICEMOS... Dado un segmento AB, se puede dividir el trazo en dos: AP y PB, ubicando el punto P en AB, entre A y B. El siguiente procedimiento permite dividir al segmento AB en la razón , basado en la semejanza de los triángulos que se forman. Observa. 1. Se dibujan rectas paralelas entre sí y secantes a AB en los puntos A y B. 2. Con un compás y utilizando la misma abertura del compás (como unidad), se marcan: C a 5 unidades hacia arriba de A, y D, a 2 unidades hacia abajo de B. 3. Se unen los puntos C y D. El punto P, donde CD interseca a AB, divide al trazo AB en la razón , es decir: = . Como ΔAPC ~ ΔBPD, entonces: = = . 5 2 AC BD AP PB 5 2 5 2 AP PB 5 2 • Mide los segmentos y calcula el valor de . • Dibuja en tu cuaderno un segmento CD, pero más largo, y ubica en él un punto Q, de modo que la razón sea la misma que . ¿Cómo determinaste dónde se ubica el punto P? • En general, ¿un segmento AB puede dividirse en una razón dada cualquiera? Es decir, ¿existe un punto P del segmento tal que sea exactamente la razón dada? AP PB AP PB CQ QD AP PB A P B • Para dividir segmentos en una razón dada, esta razón siempre es un número positivo, porque las medidas de los segmentos son positivas. NO OLVIDES QUE... u u u u u u u u A C P B D Ejemplo La bisectriz interior de uno de los ángulos de un triángulo divide el lado opuesto al ángulo en la razón de los otros dos lados del triángulo. Es decir, si CD es bisectriz de ACB entonces = . Demostración: Se dibuja una recta paralela a CD que pase por B y se prolonga la recta AC. El punto donde intersecan es el punto E. Entonces, como BE // CD, se tiene ACD = AEB (son ángulos correspondientes) y DCB = CBE (son ángulos alternos internos). Luego, los cuatro ángulos marcados son iguales. Y como BE // CD, por teorema de Thales, = . Pero ΔBEC tiene dos ángulos iguales, por lo tanto es isósceles y BC = CE. AC BC AD DB DB CE AD AC 1. Dado un segmento AB, cópialo y divídelo en las siguientes razones en cada caso: a. b. c. d. • ¿Qué puedes observar en estos casos?, ¿se acerca P al punto A o al punto B? ¿Qué puedes concluir? 2. En la figura aparece un rayo láser que se emite desde el punto F, rebota en un espejo en el punto E y llega al punto D. Si A, E y B están en la misma línea, en el espejo, a. ¿cómo son los triángulos AEF y BED? b. ¿qué sucede con el punto D si, al girar el foco, E se mueve hacia el punto B? c. ¿qué sucede en la razón al realizar esto? 2 5 AE EB 5 4 1 6 3 7 EN TU CUADERNO EN RESUMEN Remplazando BC en CE en la proporción anterior, se obtiene: = (que es lo que se quería demostrar). AC BC AD DB Para dividir un segmento AB en una razón : • Se trazan por A y B rectas paralelas y secantes a AB. • Se marca un punto C a p unidades sobre A y un punto D a q unidades bajo B y se unen C y D. • CD interseca a AB en un punto P, tal que = . p q AP PB p q B C A D B C A D F A E B D E 167 Teorema de Euclides Unidad 4 ANALICEMOS... En el ΔABC, rectángulo en C, se traza la altura hc desde este vértice al lado AB, al que interseca en un punto D, y se obtienen dos nuevos triángulos: ΔACD y ΔCBD. • ¿ΔACD es un triángulo rectángulo?, ¿por qué? • ¿ΔACD es semejante al ΔABC?, ¿por qué? • Si son semejantes, ¿qué proporciones se pueden establecer entre los lados correspondientes? • ¿Se puede establecer lo mismo para el ΔCBD? • ¿Estas proporciones son siempre ciertas para cualquier triángulo rectángulo?, ¿por qué? GLOSARIO : dado un segmento AB y una recta L que contiene al punto A, la proyección de AB sobre L es el segmento AC tal que BC es perpendicular a L. C A D B a q p b hc α β Como el ΔABC es rectángulo en C, se cumple la relación α + β = 90º. Como CD divide el ángulo recto en dos ángulos, entonces x + y = 90°. Además, como CDA es un ángulo recto, en el ΔACD se tiene la relación x + α = 90º, por lo tanto x = β. Luego, se cumple que ΔABC, ΔACD y ΔBCD tienen dos ángulos iguales: β y el ángulo recto, en cada caso. Por criterio AA, los tres triángulos son semejantes y sus lados correspondientes son proporcionales. Ahora, sea hc la medida de la altura sobre la hipotenusa y p y q las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, observa en el ΔABC: • ΔABC ~ ΔCBD, ya demostrado = = , son sus lados correspondientes = = , de donde se concluye a2 = c · p. • ΔABC ~ ΔACD, ya demostrado = = , son sus lados correspondientes = = , de donde se concluye b2 = c · q. b q a hc c b AC AD BC CD AB AC b hc a p c a AC CD BC BD AB CB y x B C L A GLOSARIO segmento que une un vértice del triángulo con el lado opuesto (o una prolongación de este) formando un ángulo recto. C A 8 q p 6 h 10 • ΔACD ~ ΔCBD, ya demostrado. = = , son sus lados correspondientes. = = , de donde se concluye hc 2 = p · q. Estas tres relaciones se conocen como el teorema de Euclides. Ejemplo Determina los valores de p, q y h en el triángulo rectángulo ABC: Por el teorema de Euclides, se cumplen las siguientes relaciones: • 82 = 10 · p, luego p= = 6,4, • 62 = 10 · q, luego q= = 3,6, • h2 = p · q, es decir, h2 = 6,4 · 3,6 = 23,04, luego, aproximadamente, h = 4,8. q hc hc p b a AD CD CD BD AC CB 36 10 64 10 1. En el ejemplo anterior, verifica las relaciones h2 + q2 = 36 y h2 + p2 = 64. 2. Considera que p ≥ q, o bien que a ≥ b, y determina: a. p, q, h si a = 24, b = 7. c. a, b, q y hc si c = 5, p = 3,2. b. a, b, c y q si hc = 3, . d. a, b, p y h si c = 13, q= . 3. Demuestra que para todo triángulo rectángulo se cumple: a. a · b = c · hc. b. = + . p = 3 1 b2 1 a2 1 hc 25 13 EN TU CUADERNO • En ΔABC, rectángulo en C, la altura desde C interseca al lado AB en un punto D, formando dos nuevos triángulos rectángulos ΔACD y ΔCBD, que son semejantes al ΔABC, y semejantes entre sí. • Las medidas de sus lados forman las siguientes relaciones, conocidas como teorema de Euclides: • a2 = c · p • b2 = c · q • hc 2 = p · q EN RESUMEN b hc a C A q D p B c = si y solo si a · d = b · c. b, d > 0 c d a b RECUERDA QUE... B 169 Aplicaciones del teorema de Euclides Unidad 4 ANALICEMOS... Durante las vacaciones, Tamara decidió lanzarse en canopy, que básicamente consiste en lanzarse por un cable atado a grandes distancias y diferentes alturas mediante una polea y un arnés sostenido a ella. El punto de partida está a 9 m de altura y recorre en su bajada 15 m. Como se busca calcular el segmento de menor longitud, que corresponde al segmento perpendicular AB, en este caso, y ya que el ΔABC de la figura es rectángulo, entonces se puede determinar la medida de BD aplicando el teorema de Euclides. Observa. Por el teorema de Euclides, se cumple la relación BC2 = AB · BD. Remplazando los valores correspondientes, se tiene 81 = 15 · BD, de donde BD= = 5,4. Luego, el punto D debe estar a 5,4 m del punto B. Por otro lado, para determinar la medida del segmento CD, se debe usar la relación para la altura, que en este caso corresponde a CD, es decir, CD2 = AD · BD. Antes se debe calcular la medida de AD: AD = AB – BD = 15 – 5,4 = 9,6 Y ahora se puede calcular la medida de CD: Por lo tanto, a medida que Tamara hace el recorrido, la menor distancia al punto C es de 7,2 metros. Esta distancia se consigue al hacer 5,4 metros del recorrido. 81 15 • ¿En qué lugar está Tamara más cerca de Andrés, que observa todo desde la base del punto de partida (representada por C)?, ¿antes de partir?, ¿al llegar?, ¿en algún punto intermedio? Justifica. • ¿Cuánto debe desplazarse la polea para que la distancia entre D y C sea la menor posible?, ¿qué distancia es? La distancia más corta entre una recta y un punto fuera de ella es la perpendicular trazada desde el punto a la recta. RECUERDA QUE... B D C A 15 m 9 m CD = AD⋅BD = 9,6 ⋅5,4 = 51,84 = 7,2 1. En un rectángulo ABCD, se traza desde el vértice A la perpendicular a la diagonal BD. Sabiendo que la diagonal queda dividida en dos segmentos que miden 4 cm y 9 cm, determina las medidas de los lados del rectángulo. 2. Considera la recta dada por la ecuación 2x + y = 7. a. Construye la gráfica de la recta. b. Calcula la menor distancia al origen y encuentra el punto que lo verifica. c. Calcula la distancia entre este punto y la intersección con cada uno de los ejes. 3. El dueño de un terreno rectangular de 150 m de ancho y 250 m de largo desea construir su casa en uno de los vértices del terreno y un puente sobre el río que cruza diagonalmente el terreno. Si desea que el puente esté lo más cercano posible a su casa: a. ¿En qué punto sobre el río lo construirá? b. ¿A qué distancia de su casa estará el puente? 4. Construye triángulos rectángulos tales que sus alturas desde la hipotenusa midan exactamente cm, cm y cm. 5. A partir del teorema de Euclides, deduce el teorema de Pitágoras. 6. Si el largo de las vigas de un techo de 12,5 m de ancho están en razón 3 : 4 y deben formar un ángulo recto, ¿cuál es la altura del techo? 7. Considera la recta dada por la ecuación 3x + 2y = 12. a. Grafica la recta. b. Determina la menor distancia al origen. c. ¿Puedes determinar qué punto de la recta es el más cercano al origen? 8. La medida de la diagonal de un rectángulo mide 34 cm y sus lados están en razón 15 : 8. Determina el área del rectángulo. 9. En un triángulo rectángulo, una altura intersecta a la hipotenusa, definiendo dos segmentos de longitudes 25 cm y 4 cm. Halla la longitud de la altura. 15 2 6 11 EN TU CUADERNO • Para resolver un problema en el cual se debe aplicar el teorema de Euclides, es necesario representar gráficamente el problema, determinar los datos conocidos y, luego, aplicar la o las relaciones correctas, según la pertinencia del problema. EN RESUMEN 171 Homotecia Unidad 4 ANALICEMOS... Las transformaciones isométricas del plano (traslación, reflexión y rotación) conservan la forma y el tamaño de las figuras, de modo que la figura resultante es congruente a la figura inicial. Sin embargo, no todas las transformaciones del plano conservan el tamaño de las figuras, como, por ejemplo, las aplicadas en las siguientes imágenes. Observa: En cada caso, la figura resultante tiene la misma forma original, pero no las mismas medidas. Es decir, son figuras semejantes, ya sean de menor o mayor tamaño. En la primera figura, la imagen resultante se puede construir con ayuda de rectas que pasan por el mismo punto O. De este modo, al medir y comparar los segmentos correspondientes (por ejemplo, OA con OA , OB con OB , etc.), se observa que la razón de estos segmentos es una constante positiva. Se dice que una de las figuras es la imagen de la otra bajo una transformación llamada homotecia. La homotecia está definida por el punto O, el centro de la homotecia, y un número k, que es la razón entre la longitud de los segmentos correspondientes en esa transformación. El número k es distinto de cero, ya sea positivo o negativo. Vectorialmente, la homotecia se describe así: se considera O como el origen de todos los vectores, cuyo punto final corresponde a cada uno de los puntos A, B, C, etc. Dado que la homotecia tiene una razón positiva k, se puede concluir que la magnitud del vector OA es k veces igual a la magnitud del vector OA. Lo mismo ocurre para los vectores OB , OC , etc., respecto de los vectores OB, OC, etc., lo cual se denota como: OA = k · OA, OB = k · OB, OC = k · OC, … • ¿ΔOBC y ΔO’B’C’ son semejantes en cada caso?, ¿por qué? • ¿Hay otros triángulos semejantes en estas figuras? Justifica. • ¿Cómo describirías las figuras obtenidas respecto de la original? Explica. • ¿De qué depende que la imagen resultante esté o no invertida? • ¿Qué tienen en común las líneas que unen los puntos de la figura original y de la resultante en cada caso? GLOSARIO : elemento (punto, segmento o figura) obtenido a partir de otro similar mediante una transformación del plano. C’ B O C A B’ C’ A’ B B’ C O A A’ C’ B’ A’ A B C O 45º GLOSARIO transformación en el plano con respecto a un centro O que permite obtener un polígono semejante a otro polígono dado. es la razón entre las medidas de los lados correspondientes de los polígonos semejantes. En la segunda figura, también se pueden ver triángulos semejantes y configuraciones de paralelas sobre rectas secantes. Eso sí, las rectas paralelas se recorren en sentidos contrarios. Por ejemplo, AB y A’B’ están sobre rectas paralelas, pero para ir de A hasta B hay que subir, y para ir de A’ hasta B’ hay que bajar. Ocurre igual si es de izquierda a derecha o en otra dirección. Por lo tanto, en este caso se considera k < 0, aunque al determinar la relación entre longitudes se obtiene: = = = … = k Dado que la homotecia tiene razón –k, puede darse una interpretación vectorial más exacta. Tomando el centro de la homotecia O como origen, se debe notar que el vector OA está en la misma dirección pero en sentido contrario al vector OA. Si se asigna la dirección positiva a los vectores OA, OB, OC, etc., esto se interpreta dando el signo negativo a los vectores OA , OB , OC , etc., obteniendo las siguientes relaciones, esta vez aplicadas a vectores: OA = –k · OA, OB = –k · OB, OC = –k · OC, … Ejemplo: Dados los puntos O y A, construir A’, A’’ y A’’’ de A en los siguientes casos: Razón de homotecia k = , k = – y k = Para construir los nuevos puntos habrá que construir tres segmentos de longitudes OA, OA, y OA. Luego, hay que llevarlos sobre la recta OA y colocarlos a partir del punto O, al mismo lado que A (es decir, a la derecha) si k > 0 y al lado opuesto de A (es decir, a la izquierda) si k < 0. Observa. De este modo, se tiene que OA’ = OA, OA’’ = – OA y OA’’’ = 2 OA. 2 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 5 2 OC OC OB OB OA OA O A A’ A’’’ A O A’’ 173 Unidad 4 1. En la figura, el punto A’ es homotético al punto A. ¿Cuál es el centro de homotecia?, ¿cuál es la razón de homotecia? 2. Si el punto A’ es homotético al punto A con razón y centro de homotecia O, ¿cuál es la longitud del segmento OA’ cuando OA = 9 cm?, ¿cuál es la longitud del segmento A’A? 3. Determina si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes respecto de la homotecia de la figura dada. Justifica tus respuestas. a. El centro de homotecia está fuera del ΔA’B’C’. b. El factor k de la homotecia que envía ΔABC en ΔA’B’C’ es negativo. 4. Considera la homotecia con centro en O y razón k que transforma ΔABC en ΔA’B’C’. Responde las siguientes preguntas y justifica: a. ¿k > 0 o k < 0? b. El perímetro del ΔA’B’C’, ¿es igual a k veces el perímetro del ΔABC? c. Sean hc y hc’ las alturas respectivas desde C y C’ a los lados opuestos c y c’. ¿Se verifica la relación = ?, ¿por qué? 1 3 1 k hc hc’ EN TU CUADERNO • Una homotecia de centro O y razón k (número real distinto de cero) es una transformación que deja fijo el punto O y mueve cualquier punto P a un único punto P’, tal que O, P y P’ están en una misma recta y OP’ = k · OP. Entonces, transforma todo segmento AB en un segmento paralelo A’B’, tal que A’B’ = k · AB. • Si la razón es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razón es negativa, la homotecia invierte las figuras. • Vectorialmente, una homotecia de razón k transforma un vector OP en un vector OP’, tal que OP’ = k · OP. EN RESUMEN C C’ B C B B’ A A’ C’ B’ A’ A O A A’ 2 4 Aprenderás a analizar gráficamente el concepto de homotecia usando el programa CarMetal, con el cual trabajaste en la página 163 de este Texto. • Con el comando vector, construye 3 ó 4 vectores cuyo punto de origen sea el mismo para todos lo vectores. • A continuación, selecciona del menú Macros, la opción Vectores y luego Vect. mult. por un real (dlog). Selecciona uno de los vectores, y luego marca el punto de origen del vector. • Escribe la razón de homotecia en un cuadro que aparecerá más abajo (no muy grande, por ejemplo 2,0 ó 2,5) y presiona enter. Aparecerá en pantalla un segundo vector con el mismo origen y en la dirección del primero. • Repite el paso anterior para cada uno de los demás vectores, cuidando de multiplicar todos los vectores por el mismo factor. La razón de homotecia será el factor de multiplicación, ya que al indicar el origen del vector, el segundo vector toma como origen este mismo punto. • Finalmente, presiona el botón mover o selecciona esta opción del menú Edición. Puedes mover tanto el centro de homotecia (el origen de los vectores que construiste) como los puntos finales de estos. Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen: Ejercicios 1. Comprueba que la razón de homotecia se mantiene, independiente de mover el origen o cualquiera de los puntos de la figura original. 2. Para la figura obtenida, ¿cuál es la razón entre las áreas de la figura resultante y la original?, ¿se relaciona con el factor k? 3. Considera ahora una homotecia con un factor k negativo, de modo que el origen quede entre la imagen original y la resultante, y cuidando de mantener la misma proporción entre los nuevos vectores. ¿Cuál es la razón entre las áreas de la figura resultante respecto de la original? HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS 175 Unidad 4 MI PROGRESO 1. Si AA’’ // BB’’ // CC’’ y OC’ = 3, OB = 5, OB’ = 2,5, A’B’ = 1, AA’ = 6,5, CC’’ = 8 y A’’B’’ = 1,5, calcula las medidas de los segmentos: OC, CC’, AB, BB’ y C’’B’’. 2. Dibuja en tu cuaderno un segmento AB. a. Encuentra puntos que dividan a AB en razón , , y 4. c. Si R divide al segmento AB en la razón , ¿de qué punto está más cerca? 3. Si P divide a AB en razón áurea y AB = 7, determina la medida de AP. 4. Copia la siguiente figura en tu cuaderno y construye las siguientes homotecias como se indica: a. Con el centro en el punto O1, con k = 2; k = ; k = –1; k = – . 1 2 3 2 4 7 5 3 6 7 1 5 CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS • Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno. ¿Cómo voy? Aplicar el teorema de Thales. Dividir trazos en una razón dada. 1 2 y 3 /6 /6 Aplicar homotecias. 4 /8 b. Si Q divide al segmento AB en la razón , ¿de qué punto está más cerca? 2 1 b. Con el centro en O2, con k = 3; k = 0,9; k = – , k = –3. 1 3 C’ O C C’’ B A A’ A’’ B’ B’’ O2 O1 Cómo resolverlo EN TU CUADERNO 1. En el rectángulo de la figura, a : b = 4 : 3 y la diagonal BD = 10 cm. ¿Cuánto mide AE? 176 Problema resuelto 1 Considera el siguiente rectángulo ABCD. Calcula la medida del segmento RS sabiendo que = , AR = 20 cm y BC = 15 cm. Solución: = RC = = 4 · 2 = 8 AC2 = AB2 + BC2 282 = AB2 + 152 784 = AB2 + 225 784 – 225 = AB2 = AB2 23,6 cm Entonces tenemos que: = = RS = RS = 12,71 cm AR RC 20 RC 20 · 2 5 15 · 20 23,6 5 2 5 2 AB AR BC RS 23,6 20 15 RS Como = y AR = 20 cm, se remplaza y se obtiene la medida de RC. AC = AR+ RC = 20 + 8 = 28 cm y, por Pitágoras, se obtiene el valor de AB. Como el ΔABC es semejante con el ΔARS (por tener sus tres ángulos correspondientes congruentes), se aplica el teorema de Thales. Se obtiene la medida de RS. AR RC 5 2 A B D C 20 8 23,6 R S A B D C R S A D E b a B C 559 177 Unidad 4 EN TU CUADERNO 1. Si a un triángulo equilátero de 12 cm de lado se aplica una homotecia tal que k = 3, determina el área del triángulo resultante. 2. El área de un cuadrado es de 64 cm2. Luego de aplicar una homotecia, se obtiene un cuadrado de área 4 cm2. ¿Cuál es el factor de esta homotecia? 3. Si a un cuerpo de volumen 27 cm3 se aplica una homotecia con k = , determina el volumen del cuerpo resultante. Problema resuelto 2 Si ΔA’B’C’ ~ ΔABC, a. Determina la razón entre sus perímetros. b. Determina la razón entre sus áreas. Solución: a. Ya que las figuras semejantes tienen sus lados proporcionales, sus perímetros necesariamente también están en la misma proporción. Si ΔABC ~ ΔA B C , entonces se cumple = = = k. Luego, se cumple que: A B = k · AB; B’C’ = k · BC; C’A’ = k · CA; De donde: A B + B’C’ + C’A’ = k · (AB + BC +CA); Es decir: perímetro ΔA’B’C’ = k · perímetro ΔABC, O bien: = k. b. Por otro lado, si dos triángulos son semejantes, entonces se pueden dibujar de manera que se relacionen por una homotecia de centro O y razón k, que transforme el segmento AB en un segmento paralelo A’B’ tal que c’ = k · c, como se muestra en la figura. Naturalmente, este k es el mismo de la parte anterior. De modo que la altura hc’ es el segmento homólogo de hc y satisface la relación hc’ = k · hc. Luego, Área ΔA’B’C’ = · c’ · hc’ = · k · c · k · hc = k2 · Área ΔABC. Entonces, = k2. A’B’ AB perímetro ΔA’B’C’ perímetro ΔABC B’C’ BC C’A’ CA 1 2 5 3 1 2 Área ΔA’B’C’ Área ΔABC B’ B c’ hc’ hc A’ C’ A c C 178 En terreno Dibujo de planos a escala La escala se refiere a la cantidad de veces que la representación del plano o del mapa es más pequeña que la realidad, y, por convención, está señalada en centímetros. Por ejemplo, si en un mapa, con escala “1 cm = 10 km”, dos lugares están separados por 2,5 cm, en realidad distan 25 km uno del otro. Si un plano está dibujado a escala 1 : 10 000, entonces un centímetro del plano equivale a 100 metros en la realidad. De esta forma, puede construirse desde el plano de una casa, un edificio o de una ciudad, hasta mapas que representan regiones, países o el mundo completo. 1. Consigue un plano de un edificio o un sector de la ciudad y fíjate en la escala en la que está dibujado. Toma sus medidas y calcula, aproximadamente, la superficie que representa. 2. Si la escala de un mapa es mayor que la de otro mapa del mismo sector, ¿qué puedes decir de la superficie que representa? Explica. 3. Según el plano que tienes, ¿a qué distancia se encuentran en realidad dos puntos que en el plano están separados por 1 cm?, ¿y por 1,5 cm?, ¿y por 3 cm? 4. A mayor escala, ¿pueden distinguirse más detalles o menos detalles?, ¿por qué ocurre esto? 5. Si se debe representar con cierto detalle una región pequeña, ¿es más conveniente una escala pequeña o una escala grande?, ¿por qué? EN TU CUADERNO Ahora, trabajen en grupos de dos personas. 1. Comparen las soluciones obtenidas por cada uno y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta. Recuerden que no todos los planos están en una misma escala, lo que lleva a resultados diferentes. 2. Discutan si existe una manera de cambiar la escala del plano usado por cada uno, de manera que el plano obtenido sea mayor (por ejemplo, del doble de largo y ancho) que el original. 3. Repitan el problema anterior ahora, para el caso de que se necesite que el plano sea menor (por ejemplo, la mitad de largo y ancho) que el original. 4. Elijan uno de los planos que tengan y cambien la escala del plano, manteniendo tantos detalles como sea posible, según la nueva escala del mapa que van a construir. Necesitarán cinta adhesiva y un pliego de papel mantequilla. Para esto, junto con tu compañero o compañera, sigan estos pasos: a. Elijan uno de los planos. Luego, deben fijarlo en una superficie lisa, sobre el papel de mantequilla ya extendido. b. Marquen un punto O, ubicado suficientemente lejos del plano elegido, el que será el centro de la homotecia. c. Marquen los puntos correspondientes a las esquinas o bordes del plano, y tracen líneas rectas desde cada uno de estos puntos hasta el punto O. Después, marquen los puntos medios de cada recta y únanlos formando un nuevo rectángulo, que será el borde del plano, pero a una nueva escala. d. Luego, marquen puntos correspondientes a otras marcas importantes del plano, y desde cada uno tracen líneas rectas hasta el punto O , y marquen el punto medio de cada recta, el que, en cada caso, debería estar dentro del rectángulo previamente demarcado. e. Finalmente, unan estos puntos formando figuras semejantes a las que aparecen en el plano original. Obtendrán un nuevo plano, esta vez en una escala que es la mitad de la del plano original. f. Determinen la escala del nuevo plano y comprueben que la superficie representada por el plano original y el que construyeron a una nueva escala es la misma. • Comparen los resultados obtenidos con los de sus compañeros y compañeras. ¿Se obtienen los mismos resultados? De no ser así, ¿cuáles son las diferencias? • ¿Es posible mantener a esta nueva escala todos los detalles que tiene el plano original?, ¿por qué? • ¿Creen que estos pasos descritos puedan aplicarse para crear un plano de mayores dimensiones? En caso de que no sea posible, ¿qué cosas deberían cambiar? 179 Unidad 4 EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO INVESTIGUEMOS… 180 Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye con ellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. 1 Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. Si dos figuras planas son semejantes, entonces son congruentes. b. Al dividir un trazo AB en razón 1, el punto de división es el punto medio de A y B. c. Todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí. d. El teorema de Euclides se aplica a todo tipo de triángulo. e. Dos triángulos semejantes poseen igual área. f. Si una recta corta dos lados de un triángulo de modo que determina segmentos proporcionales, la recta es paralela al tercer lado. g. Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí. h. Si dos hexágonos se relacionan mediante una homotecia de razón k = –2, la figura resultante es de mayor tamaño que la original. i. Al dividir un trazo AB en razón 2, el punto de división está más cerca de A que de B. j. Si dos triángulos poseen dos de sus lados de medidas proporcionales, entonces son semejantes. k. Una homotecia de razón k = –1 no preserva longitudes de segmentos. l. Si dos figuras planas son congruentes, entonces son semejantes. m. Todos los triángulos rectángulos son semejantes entre sí. Semejanza Teorema de Euclides División de trazos Semejanza de figuras Teorema de Thales Homotecias Criterios de semejanza de triángulos Escala 181 Unidad 4 2 Aplica lo que aprendiste en la unidad para resolver los siguientes problemas: a. Paloma mide 1,60 m y quiere calcular la altura del edificio donde vive. Sabe que, a una cierta hora, su sombra mide 2,50 m y la sombra del edificio mide 62,5 m. ¿Cuál es la altura del edificio? b. Si un segmento AB de 75 cm de longitud está dividido en razón 1 : 4 por un punto P, encuentra la diferencia entre las medidas de los segmentos AP y PB. c. En un ΔABC isósceles, sus lados iguales miden 13 cm y el ángulo comprendido entre ellos mide 50º. Otro ΔDEF isósceles tiene sus lados iguales de medida 7 cm y uno de sus ángulos basales mide 65º. Comprueba que ambos triángulos son semejantes. d. Considera un triángulo rectángulo como el de la figura. Si a = 3b, prueba que p = 9q. e. Una figura plana tiene como imagen bajo una homotecia una figura semejante, cuya área es la quinta parte del área de la figura original. Determina el factor k de la homotecia. f. En este dibujo, se muestra otra forma de medir la altura de un árbol. • Determina si los dos triángulos son semejantes. • ¿Qué criterio de semejanza te sirve para demostrarlo? Completa la demostración. • Calcula la medida de AB si AC = 12 m, EF = 1 m y ED = 1,5 m. DIBUJO C A c B a q p b hc B A C E F D 182 Evaluación de la Unidad 1. En la figura, AC // BD, entonces x mide: A. 5 cm B. 6,4 cm C. 10 cm D. 17 cm E. 22, 5 cm 2. Con respecto a la figura, donde AB // CD // EF, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. = B. = C. = D. = E. = 3. En la figura, AC = 14 cm, AE = 21 cm y AD : DE = 4 : 3. ¿Cuál(es) de la(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)? I. DB : EC = 4 : 3 II. AD + BC = 18 cm III. DB = cm A. Solo I B. Solo III C. I y II D. II y III E. Ninguna de las anteriores. 4. En la figura, PQ // RS // TU, ¿cuánto mide x? A. 5 cm B. 12,8 cm C. 24 cm D. 80 cm E. Ninguna de las anteriores. 5. Las rectas m, n y p de la figura son paralelas. ¿Cuánto mide a? A. 6 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 18 cm E. 24 cm 6. En un plano, la distancia entre el casino y la biblioteca es de 8 cm. Si la distancia real entre dichos lugares es 200 m, ¿cuál es la escala del plano? A. 1 : 20 B. 1 : 250 C. 1 : 2500 D. 4 : 100 E. Ninguna de las anteriores. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y selecciona la alternativa correcta en cada caso. AB CD OB OD OA CE OB DF AC CE CD EF OC CE OD DF EF AB FO BO B A C D E C A O B D F E D B C A O P Q R S T U a m n p 18 cm 8 cm 24 cm x 8 cm 20 cm 32 cm 12 cm 8 cm 15 cm x cm 80 183 Unidad 4 7. Un segmento AB de 7 cm está dividido interiormente por un punto P en la razón . Calcula las longitudes de los segmentos AP y PB. A. AP = 2 y PB = 5 B. AP = 3 y PB = 4 C. AP = 2,8 y PB = 4,2 D. AP = 2,1 y PB = 4,9 E. AP = 1,4 y PB = 2,1 8. En la siguiente figura, AD : DB = 3 : 2 y ED // BC. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)? I. AE : EC = 3 : 2 II. DE : CB = 3 : 2 III. AD : DE = AC : CB A. Solo I B. Solo III C. I y III D. II y III E. Ninguna de las anteriores. 9. En la figura se observa una homotecia de factor 2,5. Si el perímetro del ΔA’B’C’ es 35 cm, ¿cuál es el perímetro del ΔABC? A. 7 cm B. 14 cm C. 17,5 cm D. 87,5 cm E. 105 cm 10. En la figura, M es punto medio de AB, AE = AB, EF // CM y AC = 20 cm. ¿Cuánto mide FC? A. 8 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm E. 50 cm 11. En la figura, AB // DE. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) falsa(s)? I. CB · BE = CA · AD II. = III. CB · CA = CE · CD A. Solo I. B. Solo II. C. I y III. D. I, II y III. E. Ninguna de las anteriores. 12. En el ΔABC isósceles de la figura, DE // AB. Entonces el valor de CH es: A. 1 B. 1,5 C. 3 D. E. 1 5 2 3 CA AB CD DE A A B C C 4 D E H 2 A 3 B C’ B’ A’ E D B C A E F M C B C B E D A 2 15 1. De acuerdo a la figura, determina en qué razón están las medidas de los segmentos dados, en cada caso: a. = c. = b. = d. = 2. Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes proporciones: a. = c. = b. = d. = 3. En las siguientes parejas de triángulos están marcados algunos elementos congruentes. Determina si los triángulos son congruentes. Justifica tu decisión. a. c. b. d. 24 25 5 (5 + y) y 3 27 y AC BD AB AD x 10 15 25 3 x 21 14 AC AD AB AC Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. A 3 4 6 B C D Semejanza | ¿QUÉ DEBES RECORDAR? 4. Si L1 // L2 // L3, determina en cada caso la medida de los ángulos. a. b. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. • Las siguientes proporciones son equivalentes: = ↔ = ↔ = ↔ = • Descomposición de proporciones: = ↔ = • Si L1 // L2 entonces se tiene que: • Ángulos alternos internos: 3 y 5; 2 y 8. • Ángulos alternos externos: 1 y 7; 4 y 6. • Ángulos correspondientes: 1 y 5; 4 y 8; 2 y 6; 3 y 7. • Ángulos opuestos por el vértice: 1 y 3; 2 y 4; 5 y 7; 6 y 8. • Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. • Dado un triángulo de vértices A, B y C, los ángulos respectivos se denotan por α, β y γ, y los lados opuestos a cada vértice se denotan por a, b, y c, respectivamente. • Dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales. Esto es: ΔABC ≅ ΔA’B’C’ si y solo si α = α’, β = β’, γ = γ’, a = a’, b = b’ y c = c’ c – d d a – b b c d a b c a d b d c b a b d a c c d a b • Teorema fundamental de las proporciones: Si se tiene la proporción = , entonces se cumple que a · d = b · c. c d a b • Las medidas a y b están en una razón r si se cumple que: a = r. b • Composición de proporciones: = ↔ = c + d d a + b b c d a b L2 1 4 2 3 5 8 6 7 L1 γ C B a c b A α β y L2 L3 47° L1 L2 L3 L1 α L2 // L3 33° 72° 64° 65° z x y x Páginas 144 y 145 (¿Cuánto sabes?) 1. a. b. c. d. 3. a. No b. Sí (LAL) c. No d. Sí (LLA>) 4. a. x = 129º, y = 136º, z = 51º b. x = 80º, y = 47º, α = 33º Página 147 1. Sí. 4. No. Podrían ser rombo y cuadrado. 5. No. Podrían ser rectángulo y cuadrado. 6. a. Verdadero. d. Verdadero. g. Falso. b. Verdadero. e. Falso. h. Verdadero. c. Falso. f. Verdadero. Página 149 1. ABC ∼ DAB ∼ EAD ∼ FED ∼ GFE. Por otra parte, sin ser semejantes con los anteriores, se cumple que BCD ∼ ABE ∼ DAF ∼ EDG. Página 150 1. No son semejantes. 2. No son semejantes. 3 7 7 13 3 13 7 10 2. a. x = 2 b. x = 6 c. y = 9 d. y = 5 24 3. Si ABC es el de menor tamaño, las medidas del A’B’C’ son 9 cm, 30 cm y 24 cm, respectivamente. 4. a. QR = 3,6 cm b. x = 4 cm. PR = 6 cm Página 151 5. DE = 18 cm, EF = 13,5 cm, DF = 11,25 cm 6. Sí, son semejantes, por criterio LLL. 7. a. x = 6, y = 2,6. x = 2 cm, y = 6 cm. Página 153 1. No se puede afirmar. 2. a. No se puede probar. b. Son semejantes, por criterio LAL. 3. ABC ∼ AFE ∼ DEF ∼ FBD ∼ EDC. 4. b. 4,5 m Página 155 2. a. 3 : 2 b. 8 cm y 96 cm2 c. d. Es el cuadrado de la razón de semejanza. 3. 4. 36 cm. Página 157 1. Dormitorio 1: 5,76 m2, dormitorio 2: 5,76 m2, dormitorio 3: 6,16 m2. Superficie total: 42,84 m2. 2. 1 : 6 000 3. 30 m de largo y 20 m de ancho. 4. Están a 200 km de distancia. 5. 1 : 2 571 428, o bien 7 : 18 000 000. 6. La avioneta tiene 16 m de largo, 12 m de ancho y 4 m de alto. 7. a. 1 m, 0,5 m, 0,95 m. b. 0,45 m x 0,45 m c. 0,045 m3 d. En cada cajón caben 16 cajas de discos compactos. Página 158 (Mi progreso) 1. B 5. Sí, ABC ~ DEF. 2. D 6. 1 : 5 000 3. 4,5 cm, 15 cm, 12 cm. 7. 90 km 4. 22 cm y 14 cm. Página 160 1. a. EC = 6 b. EC = 6 c. BC = 10 2. a. No b. Sí. c. Sí. Página 161 3. a. = , = , = , = b. RP mide 60 m y SP mide 100 m. 4. x = 2 5. a. Se cumple. b. Se cumple. c. No se cumple. Página 164 1. CC’ mide ; OC’ mide 3; A’B’ mide y 2. a. x = 3 cm b. x = 8 cm 3. EF = 8 cm Página 166 1. a. Al punto A. c. Al punto A. b. Al punto A. d. Al punto B. 2. a. Son semejantes. c. Aumenta su valor. b. Se acerca al punto B. Página 168 1. 4,82 + 3,62 = 36 y 4,82 + 6,42 = 64 2. a. p= , q = , h = b. a = , b = 6, c = , q = c. a = 4; b = 3; q = 1,8; h = 2,4 d. a = 12, b = 5, p= , h = AB mide 12 . 5 2 3 4 3 3 3 Página 170 1. AB = , AD = 2. a. b. La menor distancia al origen es y el punto es , . eje Y es . 3. a. Lo construye sobre el río, a m de la esquina que está a 150 m de la casa, y a de la otra esquina por donde pasa el río. b. El puente estará a ≈ 128,62 m de la casa. 6. El techo tiene 6 m de altura. 7. a. La menor distancia al origen es . c. El punto de la recta más cercano al origen es , . 8. 480 cm2 9. 10 cm Página 173 1. La razón de homotecia es 2 y su centro es el punto O. 2. El segmento OA’ mide 3 cm y el segmento A’A mide 6 cm. 3. a. Falso b. Verdadero 4. a. k > 0 b. Sí. c. Sí.
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