OPTIMIZACION EJERCICIOS RESUELTOS PDF
PROBLEMAS DE OPTIMIZACiÓN
Una de las aplicaciones más importantes del análisis matemático es obtener el diseño óptimo de un producto. El problema de minimizar costos o maximízar el volumen de un objeto se reduce con frecuencia a hallar mínimos y máximos de funciones.
En cuyo caso, el uso de los puntos críticos y los criterios de la primera y segunda derivada adquieren relevancia especial. R
ecordemos que para minímizar o maximizar una función sobre un intervalo cerrado es esencial tomar en consideración tambíén los valores de esa funcion en los puntos terminales del intervalo. Antes de exponer un meto do general de resolución para tales problemas, se mostra rá un ejemplo que es típico. El único rero nuevo es como traducir el problema en lenguaje de funciones.
(EJEMPLO 1)
Un pedazo rectangular de lámina metálica mide 5 pies de ancho y R pies de largo. Se van a cortar cuadrados congruentes en las eS(lui mt..¡ para doblar In pieza metálica resultante y soldarla pam t'onnar una caja sin tapa, cumo se muestra en la Figura 5.59.
Qué dimensiones producirán una Caj~l de volumen máximu'!
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓIN 1.
Demostrar las diversas magnitude~ de] problema con letras. tales como .l,)', . ' 1 ·V. A. S. etc. ~; es posible hágase un dibjo esquemático 2. Escribir Ulla ecuución p,.imaricl pura la mugnitud a optimizar. 3. Por eliminaci6n de variables, reducir la ecuación primaria a otra que contenga una sola variable indepenJicnte. Esto puedeexi gil' el u~o de ecual"iom'J 5C'cund~~,'¡ as que relacionen la variables independientes de la ecuación primaria. 4. ,Dett:rminar eL domino dc la,ecuación primaria. Esto CS~· alluellos valo¡-cs por Jo!que el problema propuesto tenga sentido. s. Optimizar la función así obtenida por medio de las t~níCilS cxpue~1as en la!' secciones EJEMPLO·2 El producto de dos números positivos es 192, Qué números hacen mínima la suma del primero más tres veces el segundo E~EMPLO 3 Hallar los puntos de la parábola)' :;: 8 - Ji! que est~ln m~í.s próximos al punto A(O. 3). EJEMPLO 4 La esquina inferior derecha de una página se dohla hasta alcanzar el lado izquierdo. Sí el ancho de la página es de 6 pulgadas: a) Hallar la longitud mínima del pliegue b) Qué ángulo forma el pliegue mínimo con el lado mayor derecho de la página'! Suponer que la página es lo suficientemenle larga para evitar que e I pi ¡egue alcance la parte superior de la págin~. EJEMPLO 5) Do. postes de 15 y 20 pies de altura. distan 21 pies entre si. El extremo superior de cada uno está unido mediante un tirante a una eslacu situada en el ",ueto y en línea recta entre los postes. En qué lugar debe colocarse la estaca para que ellirante tenga longitud total mínima? ( E~EMPLO 6) Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares (Figura 5.63). Qué dimensiones se dehe elegir p::1TfL que el área encerrada sea máxima (EJEMPLO 7) Hallar el área del mayor lrapecio comprend ido In curva y = 4x -r y el eje X. EJEMPLO 8 Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes coordenados que pueda inscribirse en la región limitada por las paníbo- 1¡)Ser.: 3)' = 12 - x~ y cr3:6y= x-- 12. EJEMPLO 9 ) na (liigina rectángular debe contener 432 cm.:! de nmterÜl1 impreso. Los rn.irgenes superior e inferior dehe lener 4l:tIl de anchura y los laterales 3 cm. Qué dimensiunes de la página minimizan la canlidm] de p,are! requerid;'l"! E.JEMPLO 10) Hallar las dimensiones y el área de) mayor rectángulo que tiene uno de sus lados sobre la recta e : x = 9 Y los vértices del lado opueslo sobre la paráboln "P: )'l - 4)' - x + 7 = O EJ EM PLO 1 1 ) En la Figura 5.68~ la longitud del segmento AB es a, la longitud deJ segmento AC es b y la medida del ángulo CAB es (l (a, b y Cl son conslantes)L~ DC H AB, hallar la longitud del segmento De para que el área sombreadasea mínima. (E.JEMPLO 12) Hal1ar el volumen maximo de un cono circular recto inscrilo en una I.!sfera tic radio r. EJEMPLO 13 Determinar el máximo volumen del recipiente cónico que se obtiene extrayendo un sector circular de un círculo de hojalata de radio R. EJEMPLO 14 Elegir e] radio de una esfera de tal manera que al introducirla en una copa cónica (profundidad m y ángulo cónico 20;) llena de agua se derrame la mayor cantidad posible de Ifquido. EJEMPLO 15 Un só1ido de revolución se ha obtenido haciendo girar un rectángulo alrededor de) eje Y tal que su base está en el eje X; y todo el rectángulo está contenido en la región comprendida entre la curva y::. -+-' y el eje X. x> O. Halle las x +1 dimensiones del rectángu lo generador del sólido de volumen máximo (E.JEMPLO 16) Una isla A está a 10 km del punto B má' cercano sobre una playa recla. Una tienda está en el punto C. a 26 km de B ~obre la playa, Si un hombre rema a razón de 5 kmlh Y camina a razón de 13 km/h. en que punto deberá desembarcar para ir de la isla a la tienda en el menor tiempo posible? EJlEMPLO 17) Los puntos A y B estan opuestos uno al otro en los riberas de un río reciO que tiene un ancho constante de 3 km. El punro D está en la misma riher.l que B. Se desea tender un cable de A a D. Si el costo del cable por agua es un 25% más caro que el costo del cable por tierra~ que línea de cable será la menos costosa'! E..JEMPLO 18) Deseamos hacer una lata cilíndrica c{)n 100 pulgadas del 'uclo hay que fijar el cable para usar el minímo cable posible"? 10. Hallar las coordenadas de los puntos P == (x. )'), con )' ~ 1, sobre la parábola 1); y = Xl, que