LOGARITMOS NEPERIANOS EJERCICIOS RESUELTOS

LOGARITMO NATURAL, NEPERIANO O HIPERBOLICO El logaritmo neperiano, llamado también natural, es aquél que tiene como base el número e. La utilidad de este logaritmo,en contraposición al de base 10, radica en que al ser su base el número irracional "e", permite la transformación de muchas operaciones con números irracionales, a racionales o enteros. Por lo demás,la determinación de un logaritmo neperiano,sigue las mismas reglas que el logaritmo en cualquier otra base. Por ejemplo: Ln 5 = x. determina que 5 = e^x. En este ejemplo puedes comprobar como representando la función y = e^x, puedes determinar el valor de cualquier logaritmo. Utilizando el teorema de caracterización de las funciones logarítmicas, existe un número real positivo al que llamaremos e'" 2,718281828459, tal que frx)=logeX; x E IR + Notación frx )=logeX=lnx Hemos, entonces, denotado lnx en vez de logex, Y llamaremos al número lnx 1 logaritmo natural de x. Esto quiere decir que lnx es el área bajo la curva y =- desde 1 hasta x. el logaritmo neperiano usado para referirse al logaritmo natural, a pesar de que difiere de este último. Fue definido por primera vez por John Napier La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668, a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural. Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico, puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente. Para determinar el valor de Ln(x) para cualquier x positivo, la cosa no es facil (al menos manualmente). Dado que fue definido como la funcion inversa de una suma infinita, se puede expresar como otra suma infinita. El tema es que uno no va a hacer infinitos calculos para obtener un numero. Antiguamente existian tablas con valores (las conocidas "tablas de logaritmos") y actualmente estan las calculadoras que determinan su valor mediante algoritmos (no hacen infinitos calculos, pero si los suficientes para llenar la pantalla de digitos). Uno de los algoritomos que se usa es el de Newton-Raphson. Nuevamente, de forma manual es largo, pero pensa que una calculadora/computado hace muchas operaciones en fracciones de segundo. Una breve reseña a ese metodo: Si tenemos una función del tipo F(x) = e^x - a Donde "a" es el valor al cual le queremos calcular el logaritmo natural. Entonces la fórmula de recurrencia es: x(n+1) = x(n) + a / ( e^x(n) ) - 1 Y como converge siempre, podés tomar como valor inicial x(0) = 0 Por ejemplo, querés calcular Ln ( 24 ). Partís de: x(0) = 0 (dato) Querés calcular x(1), vemos que eso se cumple cuando en: x(n+1) = x(n) + a / ( e^x(n) ) - 1 ponemos n=0: x(1) = x(0) + a / ( e^x(0) ) - 1 Como ya sabemos quien es x(0) ( y a=24 ): x(1) = 0 + 24 / ( e^0 ) - 1 Es decir: x(1) = 23 Ahora quiero calcular x(2), es decir pongo "n=1" en la formula de recurrencia: x(2) = x(1) + 24 / ( e^x(1) ) - 1 Fijate que me pide el resultado anterior: x(2) = 23 + 24 / ( e^23 ) - 1 Luego: x(2) = 22 Y así voy siguiendo, los valores de x(n) me van dando cada vez una mejor aproximación: x(0) = 0 x(1) = 23 x(2) = 22 x(3) ~ 21.00000001 x(4) ~ 20.00000003 x(5) ~ 19.00000008 x(6) ~ 18.00000021 x(7) ~ 17.00000058 x(8) ~ 16.00000157 x(9) ~ 15.00000427 x(10) ~14.00001161 ... x(21) ~ 3.585334159 x(22) ~ 3.250791776 x(23) ~ 3.180636244 x(24) ~ 3.178057162 x(25) ~ 3.17805383 x(26) ~ 3.17805383 <--- ya no gano cifras nuevas (al menos en mi calculadora) El problema de este método es que: a) Necesito saber siempre valores de e^x b) Puede tardar en llegar al resultado, dependiendo de las condiciones iniciales (fijate que me llevó 25 pasos llegar a un resultdo con 8 cifras correctas). Se pueden usar otros métodos numéricos (como un Taylor corrido). Avisame si querés más información.

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