FACTORIZACION DE UN TRINOMIO POR SUMAS Y RESTAS - QUITA Y PON , CAMBIOS DE VARIABLE Y ARTIFICIOS PROBLEMAS RESUELTOS

Factorización de un trinomio por suma y resta (quita y pon) Se basa en el siguiente principio: Si a una expresión se le suma y se le resta una misma expresión, la expresión inicial no varía. Ejemplo 1 Factorizar: x4 + 4y4 Resolución: 1) Extraemos las raíces cuadradas de cada término, así: 2) Sumamos y restamos este doble producto para completar el trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.) y además obtener una diferencia de cuadrados. Así: x4+4y4 = (x2+2y2)2-(2xy)2; por diferencia de cuadrados = [(x2 + 2y2) + (2xy)][(x2 + 2y2) - (2xy)] \ x4 + 4y4 = (x2 + 2y2 + 2xy)(x2 + 2y2 - 2xy) Ejemplo 2 Factorizar: x4 + 2x2 + 9 Resolución: 1) Extraemos las raíces cuadradas de los términos extremos, así: 2) Como en la expresión: x4+2x2+9 hay 2x2, bastará sumar y restar: 4x2 para así completar los 6x2 Así: x4 + 2x2 + 9 = x4 + 2x2 + 4x2 + 9- 4x2 x4+2x2+9 = (x2+3)2-(2x)2 ; por diferencia de cuadrados x4+2x2+9 = [(x2+3)+(2x)][(x2+3)-(2x)] \ x4+2x2+9 = (x2+2x+3)(x2-2x+3) Ejemplo 3 Factorizar: x4 + x2 + 1 Resolución: En este caso los 3 términos son cuadrados perfectos, de modo que al escoger lo hacemos convenientemente: 1) Extraemos las raíces cuadradas de los términos extremos, así: 2) Como en la expresión: x4+x2+1 tiene x2, bastará sumar: x2 para completar así los 2x2. (Lógicamente también restamos) Así: x4+x2+1 = x4+x2+x2+1-x2 x4+x2+1 = - x2 = (x2 + 1)2 - x2 ; por diferencia de cuadrados = [(x2 + 1) + x][(x2 + 1) - x] \ x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) Factorizar los polinomios siguientes: a) 4x4 + y4 d) 4m4 + 3m2 + 9 g) 36m4 + 15m2n2 + 4n4 b) 4a4 + 81 e) 16x4 + 4x2 +1 h) 9x4 + 2x2 + 1 c) a4 + a2b2 + b4 f) 4x4 + 3x2 + 1 i) 9x4 + 8x2y2 + 4y4 Clave de respuestas a) (2x2+y2+2xy)(2x2+y2-2xy) d) (2m2+3m+3)(2m2-3m+3) g) (6m2+3mn+2n2)(6m2-3mn+2n2) b) (2a2+6a+9)(2a2-6a+9) e) (4x2+2x+1)(4x2-2x+1) h) (3x2+2x+1)(3x2-2x+1) c) (a2+ab+b2)(a2-ab+b2) f) (2x2+x+1)(2x2-x+1) i) (3x2+2y2+2xy)(3x2+2y2-2xy)

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