SITUACIONES LÓGICAS DE JUEGOS Y ESTRATEGIAS PREGUNTAS RESUELTAS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PDF


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  • PROBLEMA 1 : Se tienen 34 puntos sobre una circunferencia. María, José, Pedro, Manuel y Paul juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno de ellos traza un segmento uniendo dos de los puntos dados que no hayan sido unidos entre sí anteriormente. El juego termina cuando ya no se puedan trazar más segmentos. El vencedor es la persona que realiza el último trazo. Si María empieza el juego y continúan jugando en el mismo orden en que fueron mencionados, ¿quién puede asegurarse la victoria? A) María B) José C) Pedro D) Manuel E) Paul RESOLUCIÓN : • Se pide determinar cual de los 5 participantes del juego puede asegurar su victoria. CONDICIONES DEL JUEGO • Se tiene 34 puntos sobre una circunferencia. • Participan 5 jugadores: María, José, Pedro, Manuel y Paul. • Cada jugador traza un segmento uniendo dos puntos que no hayan sido unidos anteriormente. • Gana el juego aquel que realiza el último trazo. De las condiciones del juego se deduce que para poder determinar el ganador, es decir, al que realice el último trazo, se debe determinar primero ¿Cuántos trazos se pueden realizar con 34 puntos, que sean distintos? Veamos: Del gráfico, total de segmentos con 34 puntos Ahora, como son 5 participantes, ellos irán trazando segmentos distintos en el orden que se mencionaron: Entonces, se pueden generalizar para este juego del siguiente modo: Como el total, de segmentos es: María trazará el último segmento. María se asegura la victoria RPTA : ‘‘a” PROBLEMA 3 : Se tiene 19 fichas y 2 jugadores: Marcos y Javier, donde cada jugador a su turno deberá retirar 1; 2 ó 3 fichas. Si el jugador que retira la última ficha pierde, ¿cuántas fichas deberá retirar Marcos en su primera jugada y en qué turno comenzaría para asegurar su triunfo? A) 2; 2do B) 1; 1ro C) 3; 2do D) 3; 1ero E) 2; 1ero RESOLUCIÓN : Se pide determinar el turno y cuantas fichas debe retirar en su primera jugada para asegurarse su triunfo. Condiciones del juego: • Participan dos jugadores: Marcos y Javier. • En cada turno pueden retirar 1; 2 ó 3 fichas. • Son 19 fichas en total y el que retira la última pierde. De las dos primeras condiciones del juego se puede deducir que cuando juegan Marcos y Javier,en cualquier orden, pero de manera consecutiva, entre los dos pueden retirar,como máximo y con seguridad, 4 fichas en total: • Si uno retira , el otro retirará • Si uno retira , el otro retirará • Si uno retira , el otro retirará Entonces las 19 fichas la descomponemos del siguiente modo: 5 juegan de c/u en total. Como Marcos es el que debe asegurarse el triunfo, entonces el debe comenzar el juego (1er turno). Vemos como se realizaría el juego: Estrategia ganadora de Marcos: Retira 2 en su 1ra jugada y elegirá el 1er turno. RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 4 : Un juego consiste en avanzar una ficha desde el casillero de inicio, uno, tres o cinco casilleros contiguos por turno. Gana el que llegue al casillero 74, Si juegan Antonio, Braulio, César y Danilo en el orden mencionado, ¿quién puede asegurarse la victoria? A) Antonio B) Braulio C) Antonio o César D) Braulio o Danilo E) Antonio o Danilo RESOLUCIÓN : Se pide determinar a los que pueden asegurarse la victoria. Condiciones del juego: • Juegan en el orden mencionado: Antonio, Braulio, César y Danilo. • Avanzan 1 ó 3 ó 5 casilleros contiguos por turno. • Gana aquel que llegue al casillero 74. De las condiciones del juego, como cada uno avanza una cantidad impar de casilleros, se deduce que cada dos turnos consecutivos, el total de casilleros avanzados será par. Veamos: Se observa que los jugadores que pueden asegurar un triunfo llegando al casillero 74, son Braulio o Danilo. Pueden asegurar su victoria, Braulio o Danilo. RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 5 : Se colocan monedas, una por vértice, en todos los vértices de un polígono regular de 10 lados. Dos jugadores retiran alternadamente una, dos o tres monedas, en estos últimos casos deben estar en vértices consecutivos. Gana el que retire la última moneda. Si tuviera que jugar, ¿para ganar, qué turno escogería y cuántas monedas retiraría en su primer turno? A) primero; 2 monedas. B) primero; 1 ó 3 monedas. C) segundo; 2 monedas. D) segundo; lo mismo que el primero en su turno. E) segundo; diferente a lo que retiró el primero en su turno. RESOLUCIÓN : Nos piden escoger el turno y la cantidad de monedas a retirar para ganar siguiendo una estrategia. El juego consiste en retirar de una a tres monedas (consecutivas) por turno de un total de 10 monedas distribuidas en un polígono. Gana el que retira la última ficha (es decir cuando el otro ya no puede retirar). Notamos que ante cualquier jugada del primero, el segundo puede hacer una jugada igual (por simetría). Estrategia del segundo jugador: Si el primer jugador retira la ficha 1 el segundo podrá (y debe) retirar la ficha 6. Si el primer jugador retira la ficha 2 el segundo podra (y debe) retirar la ficha 7. Siempre que el primero retire una ficha el segundo también podrá hacerlo, de igual forma si retira más de una (el segundo retiraría los simétricos de estos). Conclusión: Para ganar conviene jugar en el segundo turno y sacar un número de monedas igual al primero (las simétricas). Luego,debemos escoger el segundo turno y sacar el mismo número de monedas que el primero en su turno. RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 6 : En el gráfico se muestra un juego en el que participan dos personas, cada uno con un color de ficha. Consiste en que cada jugador moverá una de sus fichas hasta conseguir alinear las tres de igual color, moviendo en cada turno por una línea del tablero hasta un vértice sin pasar por otro. Gana el que logre hacerlo primero. si Ud. quiere asegurarse el triunfo, ¿Qué turno y qué ficha elegiría (precisar)? y ¿Cuántos movimientos realizaría como mínimo? A) Primero; A; 8 B) Segundo; M; 7 C) Primero;B; 9 D) Primero; N; 3 E) Segundo; P; 9 RESOLUCIÓN : Se pide determinar el turno, la ficha y la cantidad mínima de movimientos para asegurar el triunfo. CONDICIONES DEL JUEGO: •Participan dos jugadores. •Cada jugador debe mover una ficha, de un color cada uno por cada línea del tablero hasta un vértice sin pasar por otro. •Gana el primero que consigue alinear las 3 de igual color. Obsevamos en el tablero que entre las posición de las fichas de color amarillo (A, B, C) y azul (M, N, P) hay simetría con respeto a la diagonal del tablero. Entonces: El primero en mover asegurará su triunfo, cualquiera sea el color que elija Solo podrá ganar el segundo, si el primero realiza una jugada errónea. Ahora falta determinar que fichas moverá,como mínimo, para ganar. Elijamos un color para analizar sus movimientos: Azul Su primer movimiento será necesariamente hacia la diagonal,pero, ¿será al centro o a uno de los extremos de ésta y con qué ficha? 1) Veamos que sucede si movemos, M(ó P) al extremo. 2) El otro movería A, al centro. 3) El primero tendría que mover P al otro extremo de la diagonal para no perder. Con estos movimientos el primero no gana ni pierde El movimiento correcto del primer jugador, para asegurar su triunfo, sería al centro de la diagonal. Veamos, los movimientos comenzando con B amarillo: El ganador hizo 3 movimientos de sus fichas, pudiendo comenzar con cualquier color. Primero, N, 3 RPTA : ‘‘D’ PROBLEMA 7 : Dexter y Genio , juegan a sacar fichas de una caja, con las siguientes reglas: • Se puede sacar 1; 2 ó 3 fichas en cada turno. • Pierde el que saca la última ficha. Si le toca jugar a Dexter y ninguno de los dos se equivoca, ¿qué afirmaciones son ciertas? I) Si sobran 5 fichas , gana Dexter. II) Si sobran 8 fichas , gana Genio. III) Si sobran 10 fichas gana Dexter. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III RESOLUCIÓN : Analicemos cada alternativa : Si Dexter juega , estará perdido ya que: • Al sacar la 1, Genio saca la 2 ; 3 y 4, ganando. • Al sacar la 1 y 2 , Genio saca la 3 y 4, ganando. • Al sacar la 1 y Genio saca la 2 ; 3 y 4 ganando(F) Si Dexter juega , basta con que saque la 1; 2 y 3 para poner a Genio en el caso anterior , en el que este último quedaría irremediablemente perdido. (F) Ya se habrá dado cuenta que el que se quede con 5 fichas tocándole jugar , pierde , por lo cual a Dexter le basta sacar la ficha 1, y luego a cualquier jugada de Genio , Dexter sacará la ficha 5 , y como estamos en el caso 1, tocándole a Genio , este último perderá. (V) rpta : ‘‘C’’ PROBLEMA 8 : Dos estudiantes A y B juegan de forma alternada a retirar de un montón de 25 monedas una, dos o tres monedas, en su turno. Si A inicia y gana aquél que retira la última moneda, ¿cuántas monedas debe retirar en su primer juego, de manera que asegure su triunfo, si se sabe que sigue una estrategia? A) 1 B) 2 C) 3 D) cualquier cantidad permitida E) B siempre gana RESOLUCIÓN : Gana quien toma la última moneda, esto es quien toma la moneda número 25, entonces perderá quien tome la moneda anterior: número 24, también perderá quien tome solo hasta la moneda número 23, porque según las reglas del juego un jugador podrá tomar 1; 2 ó 3 monedas en su turno y si se toma hasta la moneda 23,el siguiente podrá tomar las últimas 24 y 25. Similar ocurre quien tome solo hasta la 22, el siguiente tomará las monedas 23, 24 y 25, y ganará en consecuencia. Gana: toma la moneda 25 Pierde: toma hasta la moneda 24 o toma hasta la moneda 23 o toma hasta la moneda 22. De lo anterior, ganará quien saque la moneda 21, porque el siguiente jugador a lo más podrá sacar hasta la moneda 24 (máximo número de monedas a sacar 3) y entonces perderá, siguiendo el mismo razonamiento anterior se tendrá: Gana: toma la moneda 21. Pierde: toma hasta la moneda 20 o toma hasta la moneda 19 o toma hasta la moneda 18. Entonces se puede afirmar que se ganará si se extraen las monedas correspondientes a los números. Gana: toma las monedas 25, 21, 17, 13, 9, 5 y 1. Si A inicia, debe retirar la primera moneda para ganar el juego y su estrategia será sacar las monedas indicadas para obtener la última. RPTA : ‘‘a’’ PROBLEMA 10 : Se tiene un rectángulo cuadriculado tal como se muestra en el gráfico con el cual se realiza un juego en el que participan dos jugadores. Cada jugador por turno va realizando cortes rectos por las líneas de la cuadricula separándola en dos partes, quedándose con aquella que contiene el cuadrado sombreado y desechando la otra parte. El jugador que se quede con el cuadrado sombreado gana el juego. Si se juega con una estrategia, ¿quién puede asegurarse la victoria? A) El primer jugador B) El segundo jugador C) Cualquiera de los dos D) Faltan datos E) No se puede determinar RESOLUCIÓN : Se pide determinar al ganador del juego. Condiciones del juego: • Participan dos jugadores alternadamente. • Cada jugador por turno va realizando cortes rectos separando en dos partes la cuadrícula. • Gana el jugador que se quede con el cuadrado sombreado. Analicemos del siguiente modo: • Si la cuadricula fuera 2×2, con dos cortes se obtendría el cuadrado sombreado. • Si fuera de 3×3, con 4 cortes, como máximo, se obtendría el cuadrado sombreado. En ambos casos anteriores el segundo jugador se quedaría con el cuadrado sombreado, siendo una cuadrícula cuadrada lo que se tenía al inicio. Como la cuadrícula del problema era rectangular, el primer jugador se pueda asegurar el triunfo haciendo su primer corte como lo muestra el gráfico, dejando una cuadrícula cuadrada y a partir de su segunda jugada buscará siempre volver a dejar otra cuadrícula cuadrada. El primer jugador se asegura el triunfo. RPTA : ‘‘A’’ problema 11 : Dos jugadores Pablo y Raúl y otras 2019 personas forman un círculo, de manera que ellos no queden ubicados en posiciones consecutivas para que puedan alternadamente realizar jugadas. Una jugada consiste en tocar a una de las personas que se encuentra a su lado, la cual saldrá del círculo. Gana el jugador que logre sacar del círculo a su oponente. Si pablo comienza el juego, ¿quién de los dos, siguiendo una estrategia, logrará ganar? A) Pablo B) Raúl C) cualquiera D) ninguno E) no se puede determinar RESOLUCIÓN : Se pide determinar al ganador del juego. Condiciones del juego • Participan dos jugadores: Pablo y Raúl, realizando jugadas alternamente, con otras 2019 personas. • Una jugada consiste en tocar a una persona de su lado, la cual saldrá del círculo • Gana el jugador que logre sacar del círculo a su oponente. Como 2019 es una cantidad impar, a un lado entre Pablo y Raúl hay un número par de personas y en el otro un número impar. Si uno de los dos logra que se repita esa situación cada vez que sea su turno, entonces logrará sacar a su oponente. Si Pablo comienza el juego, el tiene la primera opción de lograr esa situación, por ejemplo, una jugada de Pablo y luego de Raúl: Pablo ganará el juego RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 12 : RESOLUCIÓN : Se pide determinar quien de los hermanos se puede asegurar el triunfo. CONDICIONES DEL JUEGO • Participan dos jugadores. • Cada uno debe escribir la diferencia positiva entre dos números que están en el tablero, si dicha diferencia no está en él. • Pierde el jugador que no pueda escribir un nuevo número. Analicemos las condiciones del juego pero con cantidades más pequeñas, de manera que podamos hallar una estrategia para ganar el juego. Como las cantidades son 17 y 22, notamos que: son primos entre sí (PESI), además, la primera es impar y la otra par. Entonces, veamos algunos casos : Con 1 y 4: las diferencias que se pueden obtener, incluyendo a los números: Con 3 y 8: Si seguimos analizando con más casos particulares obtendremos las siguientes concluciones: 1) Al ser los dos números iniciales PESI, origina que el total de números del tablero sea el mayor de los números. 2) Como la cantidad mayor es PAR, entonces tendremos un total de números escritos, también PAR. Entonces, el ganador será el segundo jugador. En el problema, los números iniciales son , y Ángela inicia el juego: Ángel ganará el juego. RPTA : ‘‘B” PROBLEMA 13 : RESOLUCIÓN : Se pide la cantidad de cartas que debe extraer Alberto en su primera jugada para asegurarse el triunfo. Condiciones del juego: • Se tiene 54 cartas en total. • Alternamente debe extraer 1; 2 ó 3 cartas. • El que extrae la última carta gana el juego. De las condiciones del juego se deduce que cuando Augusto y Alberto realicen una extracción consecutiva cado uno, en total podrán extraer 4 cartas como máximo. Además, como Alberto dede ser el ultimo en extraer: Cada uno (Augusto y Alberto) realiza 13 jugadas. Alberto debe extraer 3 cartas en su primera jugada. RPTA : ‘‘C’’ Se tiene 19 fichas y 2 jugadores: Marcos y Javier, donde cada jugador a su turno deberá retirar 1; 2 ó 3 fichas. Si el jugador que retira la última ficha pierde, ¿cuántas fichas deberá retirar Marcos en su primera jugada y en qué turno comenzaría para asegurar su triunfo? A) 2; 2do B) 1; 1ro C) 3; 2do D) 3; 1ero E) 2; 1ero Un juego consiste en avanzar una ficha desde el casillero de inicio, uno, tres o cinco casilleros contiguos por turno. Gana el que llegue al casillero 74, Si juegan Antonio, Braulio, César y Danilo en el orden mencionado, ¿quién puede asegurarse la victoria? A) Antonio B) Braulio C) Antonio o César D) Braulio o Danilo E) Antonio o Danilo Se colocan monedas, una por vértice, en todos los vértices de un polígono regular de 10 lados. Dos jugadores retiran alternadamente una, dos o tres monedas, en estos últimos casos deben estar en vértices consecutivos. Gana el que retire la última moneda. Si tuviera que jugar, ¿para ganar, qué turno escogería y cuántas monedas retiraría en su primer turno? A) primero; 2 monedas. B) primero; 1 ó 3 monedas. C) segundo; 2 monedas. D) segundo; lo mismo que el primero en su turno. E) segundo; diferente a lo que retiró el primero en su turno. En el gráfico se muestra un juego en el que participan dos personas, cada uno con un color de ficha. Consiste en que cada jugador moverá una de sus fichas hasta conseguir alinear las tres de igual color, moviendo en cada turno por una línea del tablero hasta un vértice sin pasar por otro. Gana el que logre hacerlo primero. si Ud. quiere asegurarse el triunfo, ¿Qué turno y qué ficha elegiría (precisar)? y ¿Cuántos movimientos realizaría como mínimo? A) Primero; A; 8 B) Segundo; M; 7 C) Primero;B; 9 D) Primero; N; 3 E) Segundo; P; 9

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