THALES-MENELAO , CEVA TEOREMAS DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR PREGUNTAS DESARROLLADAS DE PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA pdf

Objetivos :
* Conocer las principales figuras cuyos segmentos asociados a ellas guardan propiedad de proporcionalidad. 
* Establecer la definición de razón de segmentos y segmentos proporcionales. 
*   Usar los conceptos y propiedades básicas para solucionar problemas y hacer demostraciones de teoremas 
* Utilizar adecuadamente dichos conceptos en el desarrollo de ejercicios que involucren la comparación de 2 o más segmentos. 


*
teorema de thales de mileto
Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas transversales a ellas, segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
Corolario del teorema de thales
Toda recta paralela, a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos lados en segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
Teorema de la bisectriz interior
En todo triángulo una bisectríz interior, divide al lado al cual es relativo en segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados adyacentes a dicha bisectriz.
Teorema de la bisectrIz exterior
En todo triángulo una bisectríz exterior (tal que los lados adyacentes a dicha bisectriz son de longitudes diferentes) divide a la prolongación del lado al cual es relativa en segmentos cuyas longitudes son proporcionales  a los lados adyacentes a dicha bisectríz.
Teorema de Ceva
En todo triángulo, tres cevianas interiores concurrentes dividen a cada lado en dos segmentos, cumpliéndose que el producto de las longitudes de tres de ellos, sin extremo común es igual al producto de las longitudes de los otros tres.
teorema del incentro y baricentro :
Si en un triángulo se cumple que el segmento que une al baricentro con el incentro es paralelo a un lado entonces dicho lado será igual a la semisuma de los otros dos lados.
Si los lados de un triángulo forman una progresión aritmética, entonces en dicho triángulo, el segmento que une el incentro con el baricentro será paralelo al lado cuyo valor es medio respecto a los otros.
1. En el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM, de tal manera que AM = 6 y MC = 9. Calcular AB. Si: BC = 12

Rpta.: .....
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
En un día de sol, los cuerpos producen sombra. ¿Te has detenido a pensar la relación que existe entre la altura de los cuerpos y la longitud de las sombras que éstos producen?
Ya en el s. VI a.J.C. uno de los siete sabios de Grecia, Tales de Mileto se planteaba esta y otras cuestiones análogas, de las que nos ocuparemos más adelante.

De la vida de Tales se sabe que era un rico comerciante de Mileto, que vivió aproximadamente desde el 640 hasta el 550 a.J.C. Tenía mucho éxito como hombre de negocios; sus tareas como mercader lo llevaron a muchos países y su ingenio natural le permitió aprender de las novedades que veía. Fue conocido por sus admiradores compatriotas de generaciones posteriores como uno de los Siete Sabios de Grecia, muchas leyendas y anécdotas se reúnen en torno a su nombre. Se dice que una vez Tales estaba encargado de algunas mulas cargadas con sacos de sal. Mientras cruzaban un río, uno de los animales resbaló, al disolverse, en consecuencia, la sal en el agua, su peso disminuyó instantáneamente  ¡El astuto animal, como es natural, se sumergió deliberadamente en el próximo vado y continuó este truco hasta que Tales atinó con la feliz solución de llenar, el saco de esponjas! Este demostró ser un remedio eficaz. En otra ocasión, Tales, que preveía una cosecha de olivas extraordinariamente finas, se apoderó de todas las prensas de olivas del distrito, una vez obtenido este “monopolio”, se convirtió en el jefe del mercado y pudo dictar sus propias condiciones. Pero entonces, según un relato, una vez hubo demostrado lo que se podia hacer, su propósito ya había sido conseguido; en vez de oprimir a sus compradores, vendió mangánimamente la fruta a un precio tan razonable que horrorizaría a un capitalista de hoy en día.

Tales, como muchos otros comerciantes de su tiempo, se retiró pronto de los negocios, pero, diferenciándose de otros muchos, dedicó su ocio a la filosofía y las matemáticas. Comprendió lo que había visto en sus viajes, particularmente en sus relaciones con los sacerdotes de Egipto; y fue el primero en poner de relieve algo del verdadero significado del saber científico egipcio.
Fue un gran matemático y un gran astrónomo  a la  vez. En realidad, gran parte de su fama popular se debió a su acertada predicción de un eclipse solar en el año 585 a.J.C. No obstante, se dice que, mientras contemplaba las estrellas durante un paseo nocturno, cayó dentro de una zanja, entonces una anciana que lo atendió exclamó: “¿Cómo podéis saber qué ocurre en los cielos si no veis lo que se encuentra a vuestros pies?”

Tales nunca olvidó a los sacerdotes de Egipto y cuando ya era un anciano aconsejó firmemente a su discípulo Pitágoras que les hiciera una visita, Pitágoras actuando de acuerdo con este, viajó y obtuvo una amplia experiencia, que le fue de gran utilidad cuando a la larga, se estableció y reunió sus propios discípulos a su alrededor, llegando a ser aún más  famoso que su maestro.
División de un segmento en partes iguales
El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales. Por ejemplo, para dividir el segmento  de la figura, de 9cm de longitud, en siete partes iguales, trazamos por A una semirrecta auxiliar y transportamos sobre ella siete veces una unidad arbitraria, (por ejemplo, 1cm)
Ejercicios

1. La sombra de un rascacielos en un determinado momento del día mide 192m. Si en el mismo instante y lugar la sombra de una señal de tráfico de 2,5m de altura, mide 1,5m, ¿cúal es la altura del rascacielos?

2. A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de 32m de longitud, que consta de 80 peldaños distribuidos uniformente. Al apoyar la escalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a 30cm del suelo.
a) ¿Qué altura del edificio alcanzará la escalera?
b) Si el fuego se halla en el quinto piso, y cada piso tiene 4,5m de altura ¿podrán ser rescatados los enfermos que allí se encuentren?
c) Puesto que las llamas ascienden, ¿es posible con dicha escalera evacuar los siete pisos con los que cuenta el hospital?

3. En un triángulo ABC, señalamos un punto P sobre  el lado  de modo que determine en él, segmentos de 6,4 cm y 8,3 cm. Si trazamos por P una paralela a , el lado  de 12 cm de longitud quedará cortado en el punto Q. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos determinados en  por el punto Q?
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