RADICACIÓN ARITMÉTICA - CONCEPTOS BÁSICOS - ARITMÉTICA PDF

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    Al finalizar el presenle capítulo , el lector estará en la capacidad de:
     * Interpretar la raíz inexacta de un número .
    * Relacionar el valor real y aproximado de una raíz con la cota de error empleada en el cálculo de la aproximación .
    INTRODUCCIÓN: El uso del signo radical ( ) se debe al alemán Christoph Rudolff (1525). Hay dos teorías con respecto a la forma del símbolo: unos defienden que se trata de una forma estilizada de la letra «r». inicial de radix. que en latín quiere decir «radical»’. Sin embargo, otros creen el signo actual evolucionó a partir de un punto al que posteriormente se le añadió un trozo oblicuo en la dirrección del radicando. Se basan en que en ocasiones dicho punto se utilizó delante de las expresiones para indicar la extracción de la raíz cuadrada. RADICACIÓN Es la operación inversa a la potenciación, en el cuál dados dos números llamados índice y radicando, consiste en calcular un tercer número llamado raíz, que elevado a un exponente igual al índice, resulte el radicando. n N=k Donde: N: Radicando n: Índice k: Raíz * Se cumple N=kn 2 2 4 4 3 3 144=12 144=12 625=25 625=25 81 = 3 81=3 343=7 343=7         NOTA: Toda potencia de grado n, posee raíz enésima exacta RADICACIÓN ENTERA Al extraer la raíz de un número entero el resultado no siempre es entero, por tal motivo se recurre a un término adicional llamado residuo, de modo así que todos los términos sean enteros. n N k r N=k +r ; r: Residuo n RAÍZ CUADRADA ENTERA: Se denomina así a la raíz cuadrada, cuando el índice es 2. N=K  K2=N * Puede ser: A) EXACTA (r=0): Resulta cuando es residuo es cero, y para ello el radicando debe ser un cuadrado perfecto EJEMPLO: 144 12 144=122 0 EN GENERAL: N k 0 N=k2 196 r=0 14  196=142 B) INEXACTA (r  0) : Resulta cuando el residuo es diferente de cero; se puede extraer la raíz de dos maneras; por defecto o por exceso. I) POR DEFECTO: EJEMPLO: N 8 6 70=8 +6 2 * EN GENERAL: N k r N=k +r 2 3 k: Raíz cuadrada por defecto r: Residuo por defecto II) POR EXCESO: EJEMPLO: 70 11 9 * EN GENERAL: Nr e k+1 (k+1): Raíz cuadrada por exceso re: Residuo por exceso PROPIEDADES: e máx mín * r + r = 2k + 1 * 0 r 2k 1 * r = 2k r =1    y RAÍZ CÚBICA ENTERA Se denomina así a la raíz, cuando el índice es 3. * Puede ser: A) EXACTA (r=0): Resulta cuando el residuo es cero y para ello el radicando debe ser un cubo perfecto. 3 N k 0 K N=K3 EJEMPLO: 3 64 0 4 64=43 B) INEXACTA (r  0) : Resulta cuando el residuo es diferente de cero. Se puede extraer la raíz de dos maneras : por defecto o por exceso. I) POR DEFECTO: EJEMPLO: 3 N k r N=k3+r 3 612 8 512 k: Raíz cúbica por defecto r : Residuo por defecto  612=83+100 r=100 II) POR EXCESO : EJEMPLOS: 3 N k+1 re N=(k+1)3 re k+1: Raíz cúbica por exceso re: Residuo por exceso 3 612 9 729  612=93  117 PROPIEDADES: e máx mín * r+r =3k(k+1)+1 * 05542 * COMO : Resultó mayor , entonces la cifra “4” no cumple , por lo que es necesario probar con la cifra “3”, veamos: ya cumple 300(22) 3+30  2  32+33 = 4167 < 5542 Þ La cifra “3”, es la correcta * Finalmente , resultará: 1 3 5 4 2 2 3 8 300 × 2 × 3 = 3600 5 5 4 2 30 × 2 × 3 = 540 4 1 6 7 3 = 27 1 3 7 5 4167 < 5542 2 3 3 NOTA : Si hubieran más grupos por bajar , se procede con las mismas operaciones que se hicieron. * Los método anteriores se fundamentan , en : I) du2= (10d+u)2=100d2+2 × 10 × d ×u+u2 * Acomodando adecuadamente , resultará: du2=100d2+(2d)u u II) du3=(10d+u)3 * Acomodando adecuadamente , resultará: du3=1000d3+300u2 d+30ud2+d3 EJEMPLO 2 : Calcular la raíz cúbica de 7529537 RESOLUCIÓN: 3 3 2 2 7 5 2 9 5 3 7 196 1 1 3 1 100 9=2700+ 6 5 2 9 3 1 3 10 9 =2430 5 8 5 9          3 2 2 729 9 = 5859 6 7 0 5 3 7 6 7 0 5 3 6 1 3 19 100 6=649800+ 3 19 10 6 =20520       3 216 6 = 570536 RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO CON ERROR MENOR QUE m/n * Se utiliza: 2 2 n m N= N m n   RAÍZ CÚBICA DE UN NÚMERO CON ERROR MENOR QUE m/n
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