Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

RADICACIÓN ARITMÉTICA - CONCEPTOS BÁSICOS - ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS:
Al finalizar el presenle capítulo , el lector estará en la capacidad de:
 * Interpretar la raíz inexacta de un número .
* Relacionar el valor real y aproximado de una raíz con la cota de error empleada en el cálculo de la aproximación .


CLICK AQUI opción 2 PDF *****

CLICK AQUI PARA VER VIDEOS

INTRODUCCIÓN:
El uso del signo radical ( ) se debe al alemán
Christoph Rudolff (1525). Hay dos teorías con
respecto a la forma del símbolo: unos defienden que
se trata de una forma estilizada de la letra «r».
inicial de radix. que en latín quiere decir «radical»’.
Sin embargo, otros creen el signo actual evolucionó
a partir de un punto al que posteriormente se le
añadió un trozo oblicuo en la dirrección del
radicando. Se basan en que en ocasiones dicho punto
se utilizó delante de las expresiones para indicar la
extracción de la raíz cuadrada.
RADICACIÓN
Es la operación inversa a la potenciación, en el cuál
dados dos números llamados índice y radicando,
consiste en calcular un tercer número llamado raíz,
que elevado a un exponente igual al índice, resulte
el radicando.
n N=k Donde: N: Radicando
n: Índice
k: Raíz
* Se cumple N=kn
2
2
4 4
3 3
144=12 144=12
625=25 625=25
81 = 3 81=3
343=7 343=7








NOTA:
Toda potencia de grado n, posee raíz enésima exacta
RADICACIÓN ENTERA
Al extraer la raíz de un número entero el resultado
no siempre es entero, por tal motivo se recurre a un
término adicional llamado residuo, de modo así que
todos los términos sean enteros.
n N k
r
N=k +r ; r: Residuo n
RAÍZ CUADRADA ENTERA:
Se denomina así a la raíz cuadrada, cuando el índice
es 2. N=K  K2=N
* Puede ser:
A) EXACTA (r=0):
Resulta cuando es residuo es cero, y para ello el
radicando debe ser un cuadrado perfecto
EJEMPLO:
144 12 144=122
0
EN GENERAL:
N k
0
N=k2 196
r=0
14
 196=142
B) INEXACTA (r  0) :
Resulta cuando el residuo es diferente de cero; se
puede extraer la raíz de dos maneras; por defecto o
por exceso.
I) POR DEFECTO:
EJEMPLO:
N 8
6
70=8 +6 2
* EN GENERAL:
N k
r
N=k +r 2
3
k: Raíz cuadrada por defecto
r: Residuo por defecto
II) POR EXCESO:
EJEMPLO:
70
11
9
* EN GENERAL:
Nr
e
k+1
(k+1): Raíz cuadrada por exceso
re: Residuo por exceso
PROPIEDADES:
e
máx mín
* r + r = 2k + 1
* 0 r 2k 1
* r = 2k r =1
  
y
RAÍZ CÚBICA ENTERA
Se denomina así a la raíz, cuando el índice es 3.
* Puede ser:
A) EXACTA (r=0):
Resulta cuando el residuo es cero y para ello el
radicando debe ser un cubo perfecto.
3 N k
0
K N=K3
EJEMPLO:
3 64
0
4 64=43
B) INEXACTA (r  0) :
Resulta cuando el residuo es diferente de cero. Se
puede extraer la raíz de dos maneras : por defecto o
por exceso.
I) POR DEFECTO:
EJEMPLO:
3 N k
r
N=k3+r 3 612 8
512
k: Raíz cúbica por defecto
r : Residuo por defecto
 612=83+100 r=100
II) POR EXCESO :
EJEMPLOS:
3 N k+1
re
N=(k+1)3 re
k+1: Raíz cúbica por exceso
re: Residuo por exceso
3 612 9
729
 612=93  117
PROPIEDADES:
e
máx mín
* r+r =3k(k+1)+1
* 0<r<3k(k+1)+1
* r =3k(k+1) y r =1
MÉTODO PARA DETERMINAR LA
RAÍZ CUADRADA
I) POR DESCOMPOSICIÓN DE SUS
FACTORES PRIMOS :
EJEMPLO:
Determinar la raíz cuadrada del número: 22 500
RESOLUCIÓN:
* Descomponiendo en factores primos:
2 2 4
2 2 4 2
22 500=2 3 5
2 3 5 = 2 3 5
22 500 =150
 
   
*Entonces :
4
MÉTODO GENERAL PARA
EXTRAER RAÍZ CUADRADA
EJEMPLO ILUSTRATIVO:
* Calcular la raíz cuadrada de: 74356
RESOLUCIÓN :
1ER. PASO :
* Se divide en grupos de 2 cifras empezando por la
derecha ( )
7 4 3 56
1 2 3
No importa, que
este quede con 1 cifra.
ro. do. ro.
2DO. PASO
* Se extrae la raíz cuadrada entera del 1er. Grupo y
ella será la primera cifra de la raíz.
3ER. PASO :
* Se resta de 1er. Grupo el cuadrado de la cifra que
forma parte de la raíz.
7 2
2 4
3

2
4TO. PASO:
* Se baja el 2do. Grupo y luego observa
detalladamente el mecanismo a seguir:
~~~
7 4 3 2
Se duplica
se obtiene tanteando
4 4 n n 343
3 4 3
×
¿Cuándo debe ser “n” , para que 4n×n sea igual o
aproximadamente 343?
RPTA : n=7 ; ya que 47 × 7 = 329
IMPORTANTE :
‘‘n=7”, va a formar parte de la raíz , entonces:
7 4 3 2 7
4 47 7 = 329
3 4 3
3 2 9
1 4
×

5TO. PASO:
* Se baja el tercer grupo y se prosigue como en los
pasos anteriores.
~~~
se duplica
7 4 3 5 6 2 7
4 4 7 ×7 =329
3 4 3
3 2 9
1 4 5 6 54m×m 1456
* Tanteando adecuadamente , encontraremos , que:
m=2; dado que 542 × 2 =1084
* Finalmente resultará:
7 4 3 5 6 2 7 2 raíz final
4 47 7 = 329
3 4 3 54 2 2 =14 5 6
2 2 9
1 4 5 6
1 0 8 4
3 7 2

residuo
×
×
* Verificación: 2722+372 =74356
EJEMPLO 2 :
Calcular la raíz cuadrada de 4273
RESOLUCIÓN:
* Separar el radicando en períodos de dos cifras,
comenzando por la derecha.
4273
* Extraer la raíz cuadrada del primer período de la
izquierda (puede ser de una o dos cifras).
4273 6
* Elevar el cuadrado la raíz hallada y restar dicho
valor al primer período.
* Escribir a continuación del resto el segundo
período y separar la cifra de las unidades.
 
2
4273 6
36 6 =36
673


* Determinar el duplo de la raíz. Dividir por ese
valor el número que queda a la izquierda de las
unidades separadas.
 
2
4273 6
36 6 = 36
673 6 2=12 67÷12=5

 
5
* Escribir el valor de duplo de la raíz seguido del
cociente hallado, y multiplicar el número formado
por dicho cociente.
4273 6
36 6 =36 2
673 6×2= 12 ; 67 ÷ 12= 5
125×5=625
* Restar el producto obtenido al número formado
por el resto más el segundo período (si la resta no
fuera posible se disminuye en 1 el cociente); Si la
resta es posible, el cociente obtenido es la segunda
cifra de la raíz.
4273 6
36 62=36
673 6 2=12 67÷12= 5
625 125 5= 625
48
resto




EJEMPLO 3 :
* 4 5 0 2 1 * 2 1, 4 1
4 41 1= 41 1 24 4=96
5 0 100 141 1=141
4 1
9 400
141
21 + 9 = 450 259
× ×
×
Se coloca 2
ceros para la
coma
2
96
1 42 , 72 3 11, 9 4
1 21 1 = 2
4 2 229 9 = 2061
2 1 2384 4 = 9536
2 1 , 7 2
2 0 , 6 1
1 , 1 1 3 0
0 , 9 5 3 6
0 , 1 5 9 4
×
×
×
 142,723=(11,94)2+0,1594
EJEMPLO 4:
Dado el siguiente esquema de la raíz cuadrada,
donde cada * representa una cifra:
* 4 6 * 9 * 8 *
*
* 4 6
* 2 *
* * * 9
* * * *
2 3
Hallar la suma de las cifras desconocidas del
radicando
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN:
a
4 6 9 * 8*
4 6
2
* *
*
*
* *
 9
deja
resto
Puede ser
a=1 2, su
cuadrado
es una cifra

 * 2 * = (2)8  8
primera cifra
* Si a=1; 28×8=224 ....cumple
* Si a=2; 48×8=384....no cumple
* Reemplazando y reconstruyendo:
4 6 9 18 _
28 8
4 6 36
2 4
_ _
2 3
3 _
1
2
2
2 2 _ 9
_ _
×
×
Acaba en 6
Puede
ser 4  6
36_ _  22...
sólo 6: 3 ×6 = 22
* Se completa:
4 6 9 186
28 8
4 6 36 6 6
2 4
3 1
1
2
2
2 2 1 9
2 1 9 6
2 3
×
×
Suma de cifras
desconocidas del
radicando 3+1=4
RPTA : ‘‘B’’
6
EJEMPLO 5 :
Reconstruir la operación:
* * * * * 9 * 7 *
*
5 * * * * *
* * *
* * * * * * * *
* * **4


Hallar la suma de las cifras desconocidas del
radicando.
A) 8 B) 10 C) 16 D) 13 E) 17
RESOLUCIÓN:
* La raíz cuadrada es la forma: a7b , como el
cuadrado de “a” es un número de una cifra entonces
sólo puede ser 2 ó 3, luego:
2
2
a=2 2 +5= 9 imposible
a=3 3 +5=14 si cumple
 
 
Si
Si
*
* Es decir:
1 4 * * * 9 3 7 b
9 6 7 7 = 469
5 * *
4 6 9
* * * 9
* * * *
4

* Además se observa que:
2
2
2
14 * * * 9=37b + 4
14 * * * 5=37b
b=5
N=375 +4=140 629


* Nos piden,
La suma de las cifras desconocidas del radicando:
1+4+0+6+2+2 =13
RPTA: “D”
REGLA PARA EXTRAER LA RAÍZ
CÚBICA DE UN NÚMERO
* Para determinar la raíz cúbica de un número de
más de 3 cifras, se divide en períodos de tres cifras
empezando por la derecha.
* Se halla por las tablas de los cubos de los 9
primeros números, la raíz cúbica del primer período
y la cifra que resulta es la primera cifra de la raíz,
se eleva esta al cubo, se resta el primer período, ala
derecha de la diferencia se escribe el segundo
período, se separan las dos últimas cifras de la
derecha y el número que queda ala izquierda se divide
por el triple del cuadrado del número que forman
las cifras halladas de la primera cifra de la raíz.
* Se tantea por la regla dada dicho cociente entero,
se tienen una cifra, o la cifra 9 si el cociente tuviese
más de una cifra y se va rebajando de unidad en
unidad hasta obtener la segunda cifra de la raíz; a
la derecha del resto obtenido se escribe el período
siguiente, del número resultante se separan las dos
últimas cifras de su derecha y se divide el número
que queda a la izquierda el triple del cuadrado del
número formado por las dos cifras ya halladas de la
raíz .
* Este triple del cuadrado se forma sumando tres
números que son:
* EL PRIMERO: el producto de la última cifra
hallada de la raíz por el número que resulta de
escribir a la derecha del triple del número que
forman todas las cifras antes calculadas. La última
cifra hallada.
* EL SEGUNDO: es el resultado de sumar el primero
con el triple del cuadrado del número que forman
las cifras halladas de la raíz menos la última.
* EL TERCERO: es el cuadrado de la última cifra de
la raíz.
* El cociente entero que este triple del cuadrado será
igual o mayor que la tercera cifra de la raíz, se tantea
este cociente entero por la regla para comprobar la
cifra hasta obtener la tercera cifra de la raíz, a la
derecha del resto se escribe el período siguiente y
así sucesivamente se continúa hasta hallar la
última cifra de la raíz.
* recordar que:
(d+u)3 =d3 +3d2u+3d u2+u3
EJEMPLO ILUSTRATIVO :
Calcular la raíz cúbica de : 1 3 5 4 2
RESOLUCIÓN :
1ER PASO:
* Se divide en grupos de 3 cifras empezando por la
derecha ( ):
1 3 5 4 2
No importa que esto quede
con menos de 2 cifras.
3
7
2DO. PASO:
* Se extrae la raíz cúbica entera del 1er. Grupo y
ella será la primera cifra de la raíz.
3 13 2
3
3ER. PASO:
* Se resta del primer grupo , el cubo de la cifra que
formo parte de la raíz.
3
3 13 2
2 8
4TO. PASO: 5
Se baja el siguiente bloque, y ahora observa
detalladamente el mecanismo a seguir:
3
~~~
1 3 5 4 2 2 Posible
8
5 5 4 2
5 5 ÷(3× 2 ) 4
2
Como se observa , se dividió el total de las centenas
(55) entre el triple del cuadrado de la raíz hallada
(3× 2 2 =12) , cuyo cociente resultó 4 , el cual va
ha formar parte de la raíz.
* PERO:
Lo anterior no será necesariamente cierto , para
verificar la segunda cifra “4” de la raíz , es necesario
que el resultado de : Nuevo
indicador
300d u+ 30du +u < 5542 2 2 3
donde: d=2 y u=4
decenas y
unidades de la raíz. .
* Cosa que al reemplazar , resulta:
300(22)×4+30×2×42+43=5824>5542
* COMO : Resultó mayor , entonces la cifra “4”
no cumple , por lo que es necesario probar con la
cifra “3”, veamos:
ya cumple
300(22) 3+30  2  32+33 = 4167 < 5542
Þ La cifra “3”, es la correcta
* Finalmente , resultará:
1 3 5 4 2 2 3
8 300 × 2 × 3 = 3600
5 5 4 2 30 × 2 × 3 = 540
4 1 6 7 3 = 27
1 3 7 5 4167 < 5542
2
3
3
NOTA :
Si hubieran más grupos por bajar , se procede con
las mismas operaciones que se hicieron.
* Los método anteriores se fundamentan , en :
I) du2= (10d+u)2=100d2+2 × 10 × d ×u+u2
* Acomodando adecuadamente , resultará:
du2=100d2+(2d)u u
II) du3=(10d+u)3
* Acomodando adecuadamente , resultará:
du3=1000d3+300u2 d+30ud2+d3
EJEMPLO 2 :
Calcular la raíz cúbica de 7529537
RESOLUCIÓN:
3
3 2
2
7 5 2 9 5 3 7 196
1 1 3 1 100 9=2700+
6 5 2 9 3 1 3 10 9 =2430
5 8 5 9
    
   
3
2
2
729
9 =
5859
6 7 0 5 3 7
6 7 0 5 3 6
1 3 19 100 6=649800+
3 19 10 6 =20520
  
  
3 216
6 =
570536
RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO CON
ERROR MENOR QUE m/n
* Se utiliza: 2
2
n m
N= N
m n
 
RAÍZ CÚBICA DE UN NÚMERO CON
ERROR MENOR QUE m/n