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VALOR ABSOLUTO - CONCEPTOS BÁSICOS -ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS:
* Interpretar geométricamente el concepto de valor absoluto
de un número real empleando la definición.
* Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto,
aplicando las propiedades y la definición de valor absoluto.
* Interpretar situaciones concretas mediante desigualdades.

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INTRODUCCIÓN :
El valor absoluto nos permite relacionar las distancias entre
dos puntos sobre la recta real con el concepto de vecindades
alrededor de un punto , teoría que se aplicará más adelante
en la definición del límite de una función real de una variable
real. De modo que será muy importante conocer y saber
aplicar los diversos teoremas sobre ecuaciones e
inecuaciones con valor absoluto.
VALOR ABSOLUTO MAGNITUD
El valor absoluto de un número real ‘‘x’’, se define
como aquel número real no negativo que se denota
por x : donde
x ; x positivo cero
x =
x ; x negativo


si es ó
si es o también
x ; x >0
x = 0 ; x=0
x ; x <0


si
si
si
EJEMPLOS:
* 6 =6 , sólo se borran las barras, pues 6 es positivo.
* 8 = 8= 8 ; al borrar las barras se cambia de
signo, de –8 a 8, pues –8 es negativo.
* 3 =3 puesto que 3>0
* 4 = 4=4 ; puesto que –4 < 0
* x2 +1 = x2 +1 porque x2 +1>0 ; x 
* x2 +x+1 = x2 +x+1 porque
x2 + x+1>0 ; x 
 
* 5 = 5
* 5 = 5 = 5
* 0 =0
  
* De los ejemplos anteriores , se concluye que el valor
absoluto de un número real cualquiera, será siempre
positivo o cero, además:
* x ; x 0
* x 0 x 0
  
  

* x =  x .... ‘‘si dos números reales se diferencian
sólo en el signo, sus valores absolutos son iguales’’.
OBSEVACIÓN:
Sea x=  a, reemplazando en la definición, se tiene
:
 
   
a ; a positivo cero
a
– a ; a negativo
 

 
  
     
si es ó
si es
* Entonces:
a ; mayor que a
a
a ; menor que a
 

 
      
es
es
EJEMPLO:
* 2  1 = 2  1; pues 2 es mayor que 1
* 1 3 = 3  1; pues 1 es menor que 3
 
1
3x 1, si 3x 1 0 3x 1, si x * 3x 1 3
3x 1 , si 3x 1 0 1 1 3x , si x
3
                   

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL
VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto de ‘‘x’’ es la distancia del punto ‘‘x’’
de la recta real al origen, es decir al punto cero, asíi
mismo la distancia entre dos puntos cualesquiera a y
b viene a ser el valor absoluto: a  b o también
b  a .
–x 0 x
–x x
a b
a – b
b a
b – a
¥ +¥


¥
¥
565
0 4
–4 = 4
–4
4 = 4
–4 0 4
–1–4 = 4–(–1) = 5
–3 –2 –1 1 2 3
–6 0 5
-6
d = 6
5
d = 5
¥ +¥


¥
¥
TEOREMAS:
1) El valor absoluto de un número real nunca es
negativo, es decir:
x  0;  x 
2) Si dos números reales se diferencian sólo en el signo
sus valores absolutos son iguales, es decir :
 x  x ;  x 
3) El cuadrado del valor absoluto de un número real es
igual al cuadrado de dicho número real.
x 2  x2  x2 ;  x 
EJEMPLOS:
2  2 2  2 * 5 = 5 = 25 * 3 = 3 =9
4) El valor absoluto de un número real es cero, sólo
en el caso que dicho número real sea cero. Así:
x =0  x=0
5) El valor absoluto del producto de dos números
reales es igual al producto de sus respectivos valores
absolutos, es decir:
x . y  x . y ; x, y 
x x
6) ; y 0
y y
 
7 ) x  x ;  x   x  x ;  x 
8) x2  x ;  x 
9) DESIGUALDAD TRIANGULAR:
El valor absoluto de la suma de dos números reales
‘‘a y b’’ es menor o igual que la suma de los valores
absolutos de ‘‘a’’ y ‘‘b’’.
x y x y x, y
x y x y x.y 0
    
    

x  y  x  y  x.y  0
* También :
* x y x + y
* x+ y+z x + y + z
* x y x y
* : x + y = x y xy 0
 

  
Si   
10) Si los valores absolutos de dos números reales ,
son iguales , entonces , o se trata del mismo número
o de números opuestos.
x = y  x= y ó x= y
ECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO
Vienen a ser igualdades condicionales, los cuales
frecuentemente se presentan en las siguientes formas
:
 
 
2 2
2
* x =0 x=0
* x y y 0 x y x y
* x y x y x y
* x = x
* x = x

         
     
TEOREMA:
a  b  b  0  a  b  a  b
OBSERVACIÓN:
* Este teorema establece que el universo U (es decir
el campo de valores admisibles) de la ecuación
a =b está determinado por la condición b  0 , la
cual debe ser resuelta previamente, una vez hallado
este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones
a=b y a= –b, finalmente se comprueba si estas
soluciones se hallan dentro del universo U.
* Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario
aplicar la siguiente propiedad del valor absoluto.
PROPIEDAD:
El valor absoluto de un número real ‘‘x’’ es igual a
un número real ‘‘a’’, si y sólo si se verifican las dos
condiciones siguientes:
1°) Condición previa : ‘‘El número real ‘‘a’’ es mayor ó
igual que cero’’.
2°) El número real ‘‘x’’ es igual al número ‘‘a’’, ó el
número real ‘‘x’’ es igual al número ‘‘–a’’.
* En símbolos :
I) Condición previa : a 0
x a
II) x a x a
 
   

  ó  
566
EJEMPLOS:
1) Resolver : x = 2
RESOLUCIÓN:
* Se observa que, de acuerdo con la propiedad
enunciada, a = 2, es mayor que cero , luego si cumple
la condición previa , también se cumple la segunda
condición ; es decir :
x = 2 ó x = –2
* Entonces: C.S.= {–2; 2}
2) Resolver : 2x+3 =7
RESOLUCIÓN:
* En este caso también se cumple que :
a  7  0 , entonces el universo U (condición previa)
es todo  , dentro del cual se resuelve la ecuación,
así:
2x+3=7 2x+3= 7
x= 2 x= 5
 
  
* Entonces : C.S.= {2; – 5}
3) Resolver : 5x  3 = 8
RESOLUCIÓN:
* En este caso a = –8, menor que cero, con lo cual es
evidente que no cumple la condición previa.
* En consecuencia la segunda condición de la
propiedad no se cumple, y por lo tanto, la ecuación no
tiene solución.
 C. S.=
4) Resolver : 3x  2 = x  4
RESOLUCIÓN:
I) En este caso : a= x  4  0,que debe ser mayor o
igual que cero , entonces : x  4  0  x  4
* Por lo tanto, la solución debe pertenecer al intervalo
4 ;+
II) Aplicando la segunda condición :
3x 2= x 4 3x 2=  x 4
x= 1 x=1,5
     
  
* De estos dos valores de la variable, escogemos los
que pertenecen al intervalo de la condición previa.
–1 0 1,5
condición previa
4 R
En la gráfica se observa que:
 1 [4;[,por lo tanto –1 no es solución.
1,5  [4; [ ,por lo tanto 1,5 no es solución.
* Luego : la ecuación tiene solución vacía. Es decir:
C. S. =
5) Resolver : x  1 = 3x
RESOLUCIÓN:
* De :
 
 
 
x 1 3x 0 3x 0
x 1= 3x x 1= 3x
x 0 4x=1 x 1=3x
x 0 x=1/4 x= 1/2
      
      
  
  
ó
y ó
y ó
* El conjunto solución es C.S.=  1 1
; 0 ;
4 2
     
1  
= ,
2
   
  luego la ecuación tiene una sola solución
x = –1/2
6) Resolver : x  2 = 3x  9
RESOLUCIÓN:
* De la ecuación modular dada, se obtendrá:  
 
3x 9 0 x 2 3x 9 x 2 3x 9
3x 9 7 2x x 2 3x 9
7 11
x 3 x x
2 4
          
       
 
      
 
* Observar que:
7
x=
2
si verifica: x  3 y
11
x=
4
no
verifica, entonces: C. S.= 7
2
 
 
 
7) Resolver : 3x  1 = x+5
RESOLUCIÓN:
* Este modelo se resuelve aplicando
x  y   x  y   x   y
* Así :
3x 1= x+5 3x 1=  x+5
x= 3 x= 1
   
  
* Como no existe condición previa, los dos valores
obtenidos pertenecen al conjunto solución.
C. S.=1; 3
8) Resolver la ecuación : x2  4x = 2x  8
RESOLUCIÓN:
* La ecuación equivalente será :
 
       
   
2 2
2 2
x 4x= 2x 8 x 4x= 2x 8
x 6x+8=0 x 2x 8=0
x 4 x 2 =0 x 4 x+2 =0
x= 4 ó x= 2 x= 4 ó x= 2
    
   
   
 
ó
ó
ó
ó
* Entonces: C.S.=4; 2;  2
9) Resolver : x2  5 x +6= 0
567
RESOLUCIÓN:
x2  5 x +6=0
3
2
x
x
-
-
 
x = 3 x = 2
x= 3 x= 2
C.S.= 3; 3; 2; 2

  
  
10) Resolver : x2  x =0
RESOLUCIÓN:
 
 
x2 x =0 x2 x=0
x x 1 =0
x=0 x 1=0
x=0 x=1
C.S.= 0;1
  
 
  
 

11) Resolver :  x  ; 1 3x = x  2
RESOLUCIÓN:
 
 
1 3x x 2 1 3x x 2 1 3x x 2
3= 4x 1 3x= x+ 2
3 1
x= x=
4 2
C.S.= 3/4 ; 1/2
           
   
  
 
12) Resolver :  x  ; x  3 = 3  2 x
RESOLUCIÓN:
 
x 3= 3 2 x x 3= 3+2 x
3 x =6 0= x x = 2 x =0
x= 2 x= 2 x=0 C.S.= 2; 2;0
    
   
     
13) Resolver :
 2 x  2 + 3x  6 =8
RESOLUCIÓN:
 
 
2 x 2 + 3x 6 =8
x 2 +3 x 2 =8 4 x 2 =8
x 2 = 2 x=4 x=0
C.S.= 4;0
 
    
   

OBSERVACIÓN:
Cuando se presenta diversos valores absolutos,
podemos aplicar el método del seccionamiento, así:
EJEMPLO:
Resuelva : x  2 + x+2 + x  5 =13
RESOLUCIÓN:
* Cada valor absoluto lo igualamos a cero y los valores
obtenidos los llamaremos puntos críticos, así :