VALOR ABSOLUTO CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF



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  • OBJETIVOS:
    * Interpretar geométricamente el concepto de valor absoluto
    de un número real empleando la definición.
    * Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto,
    aplicando las propiedades y la definición de valor absoluto.
    * Interpretar situaciones concretas mediante desigualdades.

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    INTRODUCCIÓN :
    El valor absoluto nos permite relacionar las distancias entre dos puntos sobre la recta real con el concepto de vecindades alrededor de un punto , teoría que se aplicará más adelante en la definición del límite de una función real de una variable real. De modo que será muy importante conocer y saber aplicar los diversos teoremas sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. VALOR ABSOLUTO MAGNITUD El valor absoluto de un número real ‘‘x’’, se define como aquel número real no negativo que se denota por x : donde x ; x positivo cero x = x ; x negativo   si es ó si es o también x ; x >0 x = 0 ; x=0 x ; x <0 3="" 6="" 8="" a="" al="" barras="" borran="" borrar="" cambia="" de="" ejemplos:="" es="" las="" lo="" negativo.="" positivo.="" pues="" puesto="" que="" s="" se="" si="" signo="">0 * 4 = 4=4 ; puesto que –4 < 0 * x2 +1 = x2 +1 porque x2 +1>0 ; x  * x2 +x+1 = x2 +x+1 porque x2 + x+1>0 ; x    * 5 = 5 * 5 = 5 = 5 * 0 =0    * De los ejemplos anteriores , se concluye que el valor absoluto de un número real cualquiera, será siempre positivo o cero, además: * x ; x 0 * x 0 x 0        * x =  x .... ‘‘si dos números reales se diferencian sólo en el signo, sus valores absolutos son iguales’’. OBSEVACIÓN: Sea x=  a, reemplazando en la definición, se tiene :       a ; a positivo cero a – a ; a negativo               si es ó si es * Entonces: a ; mayor que a a a ; menor que a             es es EJEMPLO: * 2  1 = 2  1; pues 2 es mayor que 1 * 1 3 = 3  1; pues 1 es menor que 3   1 3x 1, si 3x 1 0 3x 1, si x * 3x 1 3 3x 1 , si 3x 1 0 1 1 3x , si x 3                      INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de ‘‘x’’ es la distancia del punto ‘‘x’’ de la recta real al origen, es decir al punto cero, asíi mismo la distancia entre dos puntos cualesquiera a y b viene a ser el valor absoluto: a  b o también b  a . –x 0 x –x x a b a – b b a b – a ¥ +¥ +¥ +¥ ¥ ¥ 565 0 4 –4 = 4 –4 4 = 4 –4 0 4 –1–4 = 4–(–1) = 5 –3 –2 –1 1 2 3 –6 0 5 -6 d = 6 5 d = 5 ¥ +¥ +¥ +¥ ¥ ¥ TEOREMAS: 1) El valor absoluto de un número real nunca es negativo, es decir: x  0;  x  2) Si dos números reales se diferencian sólo en el signo sus valores absolutos son iguales, es decir :  x  x ;  x  3) El cuadrado del valor absoluto de un número real es igual al cuadrado de dicho número real. x 2  x2  x2 ;  x  EJEMPLOS: 2  2 2  2 * 5 = 5 = 25 * 3 = 3 =9 4) El valor absoluto de un número real es cero, sólo en el caso que dicho número real sea cero. Así: x =0  x=0 5) El valor absoluto del producto de dos números reales es igual al producto de sus respectivos valores absolutos, es decir: x . y  x . y ; x, y  x x 6) ; y 0 y y   7 ) x  x ;  x   x  x ;  x  8) x2  x ;  x  9) DESIGUALDAD TRIANGULAR: El valor absoluto de la suma de dos números reales ‘‘a y b’’ es menor o igual que la suma de los valores absolutos de ‘‘a’’ y ‘‘b’’. x y x y x, y x y x y x.y 0            x  y  x  y  x.y  0 * También : * x y x + y * x+ y+z x + y + z * x y x y * : x + y = x y xy 0       Si    10) Si los valores absolutos de dos números reales , son iguales , entonces , o se trata del mismo número o de números opuestos. x = y  x= y ó x= y ECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO Vienen a ser igualdades condicionales, los cuales frecuentemente se presentan en las siguientes formas :     2 2 2 * x =0 x=0 * x y y 0 x y x y * x y x y x y * x = x * x = x                  TEOREMA: a  b  b  0  a  b  a  b OBSERVACIÓN: * Este teorema establece que el universo U (es decir el campo de valores admisibles) de la ecuación a =b está determinado por la condición b  0 , la cual debe ser resuelta previamente, una vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a=b y a= –b, finalmente se comprueba si estas soluciones se hallan dentro del universo U. * Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario aplicar la siguiente propiedad del valor absoluto. PROPIEDAD: El valor absoluto de un número real ‘‘x’’ es igual a un número real ‘‘a’’, si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes: 1°) Condición previa : ‘‘El número real ‘‘a’’ es mayor ó igual que cero’’. 2°) El número real ‘‘x’’ es igual al número ‘‘a’’, ó el número real ‘‘x’’ es igual al número ‘‘–a’’. * En símbolos : I) Condición previa : a 0 x a II) x a x a          ó   566 EJEMPLOS: 1) Resolver : x = 2 RESOLUCIÓN: * Se observa que, de acuerdo con la propiedad enunciada, a = 2, es mayor que cero , luego si cumple la condición previa , también se cumple la segunda condición ; es decir : x = 2 ó x = –2 * Entonces: C.S.= {–2; 2} 2) Resolver : 2x+3 =7 RESOLUCIÓN: * En este caso también se cumple que : a  7  0 , entonces el universo U (condición previa) es todo  , dentro del cual se resuelve la ecuación, así: 2x+3=7 2x+3= 7 x= 2 x= 5      * Entonces : C.S.= {2; – 5} 3) Resolver : 5x  3 = 8 RESOLUCIÓN: * En este caso a = –8, menor que cero, con lo cual es evidente que no cumple la condición previa. * En consecuencia la segunda condición de la propiedad no se cumple, y por lo tanto, la ecuación no tiene solución.  C. S.= 4) Resolver : 3x  2 = x  4 RESOLUCIÓN: I) En este caso : a= x  4  0,que debe ser mayor o igual que cero , entonces : x  4  0  x  4 * Por lo tanto, la solución debe pertenecer al intervalo 4 ;+ II) Aplicando la segunda condición : 3x 2= x 4 3x 2=  x 4 x= 1 x=1,5          * De estos dos valores de la variable, escogemos los que pertenecen al intervalo de la condición previa. –1 0 1,5 condición previa 4 R En la gráfica se observa que:  1 [4;[,por lo tanto –1 no es solución. 1,5  [4; [ ,por lo tanto 1,5 no es solución. * Luego : la ecuación tiene solución vacía. Es decir: C. S. = 5) Resolver : x  1 = 3x RESOLUCIÓN: * De :       x 1 3x 0 3x 0 x 1= 3x x 1= 3x x 0 4x=1 x 1=3x x 0 x=1/4 x= 1/2                     ó y ó y ó * El conjunto solución es C.S.=  1 1 ; 0 ; 4 2       1   = , 2       luego la ecuación tiene una sola solución x = –1/2 6) Resolver : x  2 = 3x  9 RESOLUCIÓN: * De la ecuación modular dada, se obtendrá:     3x 9 0 x 2 3x 9 x 2 3x 9 3x 9 7 2x x 2 3x 9 7 11 x 3 x x 2 4                               * Observar que: 7 x= 2 si verifica: x  3 y 11 x= 4 no verifica, entonces: C. S.= 7 2       7) Resolver : 3x  1 = x+5 RESOLUCIÓN: * Este modelo se resuelve aplicando x  y   x  y   x   y * Así : 3x 1= x+5 3x 1=  x+5 x= 3 x= 1        * Como no existe condición previa, los dos valores obtenidos pertenecen al conjunto solución. C. S.=1; 3 8) Resolver la ecuación : x2  4x = 2x  8 RESOLUCIÓN: * La ecuación equivalente será :               2 2 2 2 x 4x= 2x 8 x 4x= 2x 8 x 6x+8=0 x 2x 8=0 x 4 x 2 =0 x 4 x+2 =0 x= 4 ó x= 2 x= 4 ó x= 2                ó ó ó ó * Entonces: C.S.=4; 2;  2 9) Resolver : x2  5 x +6= 0 567 RESOLUCIÓN: x2  5 x +6=0 3 2 x x - -   x = 3 x = 2 x= 3 x= 2 C.S.= 3; 3; 2; 2        10) Resolver : x2  x =0 RESOLUCIÓN:     x2 x =0 x2 x=0 x x 1 =0 x=0 x 1=0 x=0 x=1 C.S.= 0;1            11) Resolver :  x  ; 1 3x = x  2 RESOLUCIÓN:     1 3x x 2 1 3x x 2 1 3x x 2 3= 4x 1 3x= x+ 2 3 1 x= x= 4 2 C.S.= 3/4 ; 1/2                      12) Resolver :  x  ; x  3 = 3  2 x RESOLUCIÓN:   x 3= 3 2 x x 3= 3+2 x 3 x =6 0= x x = 2 x =0 x= 2 x= 2 x=0 C.S.= 2; 2;0                13) Resolver :  2 x  2 + 3x  6 =8 RESOLUCIÓN:     2 x 2 + 3x 6 =8 x 2 +3 x 2 =8 4 x 2 =8 x 2 = 2 x=4 x=0 C.S.= 4;0             OBSERVACIÓN: Cuando se presenta diversos valores absolutos, podemos aplicar el método del seccionamiento, así: EJEMPLO: Resuelva : x  2 + x+2 + x  5 =13 RESOLUCIÓN: * Cada valor absoluto lo igualamos a cero y los valores obtenidos los llamaremos puntos críticos, así :
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