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QUÉ ES INTERÉS COMPUESTO CONTINUO

Interés continuo 
En nuestra vida cotidiana hemos observado distintas características de las actividades comerciales, las cuales han representado una fuente de formación de conceptos matemáticos debido a la interacción entre los negocios y las matemáticas. 
El campo de aplicación de las matemáticas se amplía constantemente y surgen nuevas inquietudes por analizar ciertas cosas. Un ejemplo es el presente tema, que es un caso particular del interés compuesto. 
En este trabajo nos esforzaremos por clasificar el concepto y los elementos del interés continuo, así como su aplicación en la resolución de problemas. El interés continuo es un fenómeno de crecimiento natural continuo que puede ser descrito en términos de ex , siendo el número e la base exponencial natural. 

¿Será posible?, ¿Habría alguna diferencia? En calcular un interés ya no anual, ni mensualmente, semanalmente, sino continuamente? 
¿Qué haría para averiguar si hay alguna diferencia entre calcular el interés anual, semanalmente, trimestral, mensual, diario y calcularlo continuamente cada fracción de un segundo? 
Una manera de investigar esta afirmación sería usando la fórmula del interés compuesto con algún tipo de interés fijo y el uso de una calculadora. Entonces, veamos un ejemplo de interés compuesto:
Lenin se prestó un capital  de S/.6000 durante 36 meses a una tasa del 5%  semestral capitalizable anualmente , en donde se desea saber cuál será el monto e interés obtenido.
Calculemos en cada período de tiempo como se indica en la tabla. 


i) ¿Afecta la frecuencia con que se calcula el interés, cuánto dinero se acumula? Explique. 
ii) ¿Aumenta o disminuye el ingreso de su interés si este se calcula más frecuentemente? Explique. 
iii) ¿Podría el cálculo continuo tener una diferencia práctica respecto de calcular el interés diariamente? ¿Por qué? 
El fenómeno que hemos notado aquí es un ejemplo de una cantidad acercándose al valor limitado. Increíblemente, los matemáticos pueden calcular el valor limitado de esta expresión , aún si ellos asumen que el cálculo se lleva a cabo a menudo sobre intervalos infinitamente pequeños de tiempo infinito. El cálculo de este límite hace uso de e ,en el cual se ha podido mostrar que para encontrar cuánto dinero tendrá después de un año se debe asumir un cálculo continuo. 
Las primeras dos gráficas que se muestran a continuación muestran la evolución de un capital invertido durante un año. En la primera , los intereses se acumulan trimestralmente al capital. y en la segunda mensualmente. Observe que estas son gráficas escalonadas con saltos al final de cada período de acumulación. El interés continuo consiste en acumular el interés al capital, no trimestral, mensual o diariamente, ni siquiera cada segundo, sino instantáneamente, de modo que el capital crece continuamente como se muestra en la figura. 
Las gráficas representan el crecimiento de un capital invertido durante un año con distinta frecuencia de acumulación de intereses. 
Deduciremos la expresión matemática del monto en el interés continuo. 
Para hallar el monto , tomamos el límite cuando el numero n de períodos crece de forma no acotada (es decir, de forma infinita);   entonces:   si  un  capital 
S/.C se invierte a una tasa de interés de i por período. durante un total de N períodos, el total final dado por M=C(1 + i)N. El interés compuesto se plantea normalmente en términos de una tasa anual de interés y un período de t años. La frecuencia de acumulación del interés al capital, es decir, el número de veces al año que se le añade al capital el interés devengado por este se designa por n. En este caso es i = r/n  y  N = nt en la fórmula de interés compuesto. 
Reemplazando tenemos: 



Hacemos un cambio de variable:  m  =  n/r;  luego, 
n = mr (como , entonces, ). 
Reemplazando tenemos: 

Luego:   
Donde: e = 2,71828 ... base del logaritmo neperiano. 
A continuación daremos una segunda forma para deducir la expresión matemática del monto; si depositamos S/.C0  a una tasa anual de r, en un instante t en la cuenta existirá S/.Ct ; entonces, cuando transcurra una variación en el tiempo pequeñísimo , la cantidad existente ya habrá cambiado instantáneamente, la cual será . 
Es decir: