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NÚMEROS REALES , DESIGUALDADES-INTERVALOS NUMÉRICOS - AXIOMAS Y TEOREMAS -ÁLGEBRA RUBIÑOS PDF


OBJETIVOS :
* Identificar y aplicar las distintas propiedades de las
operaciones definidas en los números reales y operar
con propiedad y exactitud en este conjunto.
* Conocer los diferentes axiomas y teoremas sobre
los números reales, respecto a la relación de orden
entre ellos.
* Saber operar adecuadamente con intervalos.

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INTRODUCCIÓN :
Gran parte del trabajo en álgebra tiene que ver con el
sistema de números reales.
Repacemos ahora la composición de este sistema
numérico.
Los números 0; 1; 2; 3; ... usados para contar los
elementos de un conjunto se llaman números
naturales. El conjunto de los números naturales se
denota  ( ={0;1;2;3 : ...}.) En este conjunto,
ecuaciones como x+5=0 no tienen solución porque no
existe un número natural x que sumado con 5 dé 0. Es
necesario ampliar el conjunto de números.
Así se tiene el conjunto de los números enteros
formado por los números naturales y sus opuestos,
se denota  ( ={... 3;  2;  1;0;1; 2;3;...}.) En
este conjunto, la ecuación x+5=0, tiene como sulución
x=–5 porque 5+(–5)=0.
Se observa que todo número natural es un entero, es
decir    .
El conjunto de los enteros tiene dos subconjuntos
importantes: los enteros positivos  ={1; 2; 3;...} y
los enteros negativos  ={...  3;  2;  1}.
En los enteros, ecuaciones como 2x=1 no tienen
solución porque no existe un número entero x que
multiplicado por 2 dé 1. Es necesario ampliar el
conjunto de números . Así se tiene el conjunto de los
números racionales, que son números que pueden
escribirse como el cociente de dos enteros ,
p
q con
q  0.
El conjunto de los números racionales se denota 
p
q
   p , q  y q  0 .
 
Algunos ejemplos de números racionales son
2 3 7 1 6 0
; ; ; ; ; ;
3 4 5 2 1 1
 
...
En este conjunto, la ecuación 2x=1 tiene como
solución 1
x=
2
porque 1 2
2 = =1.
2 2

* Como todo entero n se puede escribir como
n
1 , se
tiene que todo entero es un número racional, es decir
  . Cualquier número racional puede
representarse por un número decimal periódico y
viceversa , así :
2 3 49
=0,6 ; = 0,75 ; 0,5444 =
3 4 90
 
 ... ;...
Pero también existen expresiones decimales que son
infinitas no periódicas como 0,12345678910111213...
estas expresiones corresponden a números no
racionales.
Así mismo se puede mostrar que la ecuación x.x=2
no tiene solución en  .
Luego el número x= 2 solución de x.x=2 es un
número no racional. El número  que es la razón
entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es
no racional.
*Estos números no racionales se llaman irracionales.
Elconjunto de los números irracionales se denota por
I.
* Los números racionales (decimales periódicos) y los
números irracionales (decimales no periódicos) forman
un conjunto de números llamados los números reales.
* El conjunto de los números reales se denota por
 .
* Luego    .
Se observa que   ;   y  = .
* El conjunto de los números reales es, en ciertomodo,
493
el conjunto de todos los números que pueden escribirse
como números decimales.
NÚMEROS REALES ( )
números racionales números irracionales
números enteros
números
naturales
A partir de este capítulo podemos indicar que, estamos
iniciando el estudio del álgebra superior . Pues la teoría
que desarrollaremos es fundamental para el estudio
de las funciones, lo cual corresponde al análisis
matemático y además será muy importante pues lo
que aprendemos aquí lo usaremos en los cursos de
matemáticas básicas de los primeros ciclos de las
diferentes carreras de ingeniería.
SISTEMA DE LOS NÚMEROS
REALES ( )
Es el conjunto denotado por  , con dos operaciones
entre sus elementos: adición (+) y multiplicación (×), y
una relación de orden «<» que se lee «esmenor que»,
que satisface los siguientes axiomas:
AXIOMAS DE LAS ADICIÓN
A1 : LEY DE CLAUSURA
Para todo a, b  la suma a+b es también un número
real.
A2 : LEY DE CONMUTATIVIDAD
Para todo a, b  la suma de cualquier par de
números reales no depende del orden en que le sumen
a+b=b+a.
A3 : LEY ASOCIATIVA
Para todo a, b, c en  : (a+b)+c= a+(b+c) la
suma de tres o más números reales es independiente
del modo en que son agrupados (asociados).
A4 : EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO
NEUTRO ADITIVO
Existe un elemento en  y sólo uno denotado por 0,
tal que a  :
a+0=0+a=a
A5 : EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO
INVERSO ADITIVO
Para cada número real «a» existe un elemento en  y
sólo uno, denotado por (–a) tal que:
a+(a)=(a)+a=0
AXIOMAS DE MULTIPLICACIÓN
M1 : LEY DE CLAUSURA
Para todo a, b  : ab  , la multiplicación ab
también es un real.
M2 : LEY CONMUTATIVA
Para todo a, b  : ab=ba, la multiplicación de dos
números reales no depende del orden en que son
multiplicados.
M3 : LEY ASOCIATIVA
Para todo a,b,c  : a (bc)=(ab) c, la
multiplicación de tres o más números reales produce
el mismo resultado, sean agrupados de cualquier
manera .
M4 : EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL
ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO
Existe un elemento en  y sólo uno, denotado por
«1» distinto de cero, tal que, para todo
a  : a 1=1 a= a
M5 : EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL
INVERSO MULTIPLICATIVO
Para cada a  0 en  , existe uno sólo un elemento
en  denotado por «a–1», tal que: aa–1=a–1 a=1
AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD
Para todo a, b, c en  :
1
2
D : a (b+c)= ab+ac
D : (a+b) c= ac+bc


AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE
ORDEN
01 : LEY DE TRICOTOMÍA:
Dados a   b  , entonces se cumple una y
solamente una de las siguientes relaciones
a<b ó a=b ó b> a
02 : LEY TRANSITIVA :
Para todo a, b y c  se cumple que :
494
Si : a<b  b< c  a< c
03 : LEY ADITIVA :
Si a<b entonces a+c<b+c para todo c  . El sentido
de una desigualdad no cambia si ambos miembros se
le suma un mismo número, que puede ser positivo,
negativo o cero.
04 : Si a<b y 0>c entonces ac<bc
El sentido de la desigualdad no cambia si semultiplica
a ambos miembros por una misma cantidad positiva.
SUSTRACCIÓN DE NÚMERO
REALES
Para 2 números reales a , b; se define a la sustracción
de los mismos de la forma :
a b=a+(b)
DIVISIÓN DE NÚMEROS
REALES
Para 2 números reales ay b(b  0), definimos la
división de la forma:
a –1
= a b
b

COJUNTOS ACOTADOS
Si A es un conjunto de números reales, de un número
finito de elementos entonces. A tiene un elemento
máximo y uno mínimo. Pero también este conjunto
puede tener infinitos números reales, en este caso A
puede ser que tenga un elementomáximo y unomínimo
o tal vez no existen dichos elementos.
EJEMPLOS:
A=8 ; 2 ;6 ; 20 ; en este conjunto el elemento
máximo es 20 y el mínimo es –8.
COTA SUPERIOR DE UN CONJUNTO:
Sea  el conjunto de los números reales y L  
diremos que el conjunto L está acotado superiormente
(o tiene una cota superior) si existe un número c 
si y sólo si c es mayor o igual que todos los elementos
de L.
Así:
c
L
Se puede ver que L está acotado superiormente en
 .
EJEMPLO:
* Sea: L=1; 2; 3;7
8  esunacota superior de L, pues x L ; x  8
* Asi mismo podemos decir que el conjunto L está
acotado superiormente en el conjunto  .
COTA INFERIOR DE UN CONJUNTO:
Sea  el conjunto de los números reales y L   ,
diremos que el conjunto L está acotado inferiormente
(o tiene una cota superior) si existe un número c  ,
si y sólo si c es menor o igual que todos los elementos
de L .
CONJUNTOS ACOTADOS :
Sea  el conjunto de los números reales y L   .
El conjunto L está acotado si existe un número c  ,
tal que para todo x L ; c  x  c, es decir el
conjunto L es acotado si es acotado superior e
inferiormente.
EJEMPLO:
L =x   2 < x < 2 y, como vemos existen
cotas tanto superiores como inferiores. El conjunto
de cotas inferiores es x  x  2 y el conjunto de
cotas superiores es x  x  2 con lo cual queda
establecido que el conjunto es acotado.
SUPREMO DE UN CONJUNTO
Sea L un subconjunto de  acotado superiormente,
diremos que un elemento de c  es el supremo de
L si y sólo si c es la menor de las cotas superiores de
L.
Notación: c= supL
INFIMO DE UN CONJUNTO
Sea b un subconjunto de  acotado inferiormente ,
diremos que un elemento c  es el ínfimo de L si y
sólo si c es la mayor de todas las cotas inferiores de
L.
Notación: c=inf L
AXIOMA DEL SUPREMO
Si «A» es un conjunto de números reales «S» que tiene
, una cota superior , entonces hay un número (S)
llamado el supremo de «A», que es la menor de todas
las cotas superiores de «A».
495
r
A
S
El número «r» es una cota superior de A , si
a  r ; a A.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
DE LOS NÚMEROS REALES
– 0 +
+
x> 0

x< 0
RELACIÓN DE ORDEN
Dado un conjunto A distinto del vacío donde se define
 en A .
 es una relación de orden en A si verifica las
siguientes propiedades:
I) (a; a) , a A
II) (a ; b) (b ; a) a=b
III) (a ; b) (b ; c) (a ; c)
 
 
  

 
 

 
  
(Propiedad reflexiva)
(Propiedad antisimétrica)
(Propiedad tran
Si
Si
sitiva)
Como se ha definido en el conjunto A la relación de
orden , entonces se dirá que A es ordenado, para ello
se usarán los siguientes símbolos.
>"mayor que"
ESTRICTOS
<"menor que"
"mayor o igual que"
NO ESTRICTOS
"menor o igual que"

 
  
Se define la relación de orden en  , para ello diremos
que el campo real es un campo ordenado.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
LA RELACIÓN DE ORDEN
La correspondencia biunívoca que existe entre los
números reales y los puntos sobre una recta se puede
utilizar para dar una interpretación geométrica a la
relación de orden <. La relación a<b establece que al
graficar en una recta numérica horizontal, el número
a se encuentra a la izquierda de b.
a b
OBSERVACIÓN :
Existe un último axioma llamado el axioma del supremo
que es satisfecho por el conjunto de los números reales
, pero que en general no se cumple en el conjunto de
los números racionales.
*Como se mencionó anteriormente, se puede
establecer una correspondencia entre los números
reales y los puntos de una recta; de acuerdo con ella y
dados los números reales «a» y «b» diferentes, se tiene
: a< b ó b < a
Cuya representación geométrica es:
a b
A B
a < b
b a
B A
b < a
Una desigualdad es una expresión que indica que un
número es menor que otro.
I) Un número «a»  es positivo si: a>0
II) Un número «a»  es negativo si: a<0
III)Un cierto número «a» esmayor que otro «b» Si a>b
...(b<a)
IV) Un cierto número «a» es menor o igual que otro
«b» Si: a  b  a<b ó a=b
V) Un cierto número «a» esmayor o igual que otro «b»
Si: a  b  a>b ó a=b
VI) Dada la cadena de desigualdades: a<b<c con a, b
y c   a<b y b< c
VII) Dada la cadena de desigualdades: a<b  c con
a, b y c   a<b y (b< c ó b= c) 
SUBCONJUNTOS NOTABLES DE LOS
NÚMEROS REALES
I) El axioma M4 asegura la existencia del número uno,
1, entonces aplicando sucesivamente el axioma de la
cerradura A1 y el axioma de la asociatividad A3 se tiene:
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
(n 1)+1= n


 



* Este conjunto así formado , denotado por  , se llama
el conjunto de los números naturales. Así    .
II) El axioma A5 asegura que para cada n  existe
un único elemento n  y el axioma A4 asegura la
existencia de 0  , el conjunto
 =....;2;1;0;1; 2; ....
es llamado el conjunto de los números enteros. Así
    
III) El axiomaM5 asegura que para cada n  , n  0
496
existe un único elemento -1 1
n =
n
 
* Entonces para todo m  , el número denotado por
m/n, m 1
=m n
n
   
*Así el conjunto
m
Q= m,n ,n 0
n  
 
  
  llamado los
racionales están contenidos en  y se tiene
     
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
REALES
A partir de estos axiomas se demuestra todas las
propiedades de las operaciones con números reales,
sin embargo, aquí sólo se demostrarán algunas de
ellas.
TEOREMA 1:
Si a es un número real , entonces a· 0=0
DEMOSTRACIÓN :
* Partamos de a×0
  
    
  
4
5
4
a 0= a 0+0 .................................(A : )
a 0= a 0+a 0+ a 0 ...(A : )
a 0= a 0+0 + a 0 ........(D: )
a 0= a 0+ a 0 ..............(A )
a 0=0............................
 
     
   
    
 
neutro aditivo
inverso
distributiva
...........(A5 )
TEOREMA 2 :
Para todo x  , entonces: x=1 x
DEMOSTRACIÓN:
* Partamos de :
  
 
 
Teorema anterior
elemento neutro aditivo
multiplicando por
distributividad
x 0=0...........................
1+( 1) = 0....................( )
x 1+ 1 = x 0........... x
x 1+ x 1 =0..............
x+ 1 x=0.............


 
 

 
 
 
conmutatividad
sumando
P. Asociativa
neutro aditivo
......
x+( x)+( 1)x=( x)... ( x)
x+( x) +( 1)x= x....
0+ 1 x= x.................
1 x= x
   
  
 
  
TEOREMA 3: (LEY DE CANCELACIÓN)
 a,b,c  ; Si : a+c=b+c  a=b
DEMOSTRACIÓN:
* De : a+c=b+c
   
     
sumando
sociativa
Elemento neutro
a+c+ c =b+c+ c ............. ( c)
a+ c+ c =b+ c+ c ........ (P. A )
a+0=b+0 ............................. ( )
a=b
  
 

TEOREMA 4:
 a  , se cumple:  a= a
DEMOSTRACIÓN:
* Partamos de: 0 = 0
    
      
  
5
2
a+ a = a+ a .....(A )
a + a = a+ a ...(M )
a = a.....................(Ley de cancelación)
   
   
  
TEOREMA 5:
Supóngase que a y b son números reales ab = 0 si y
sólo si a = 0 ó b = 0
DEMOSTRACIÓN :
Si : ab= 0  a= 0 ó b= 0
Si b=0 no hay nada que demostrar pues en tal caso se
cumple la condición que se desea demostrar si b  0
entonces por M5 existe b–1 en  tal que bb-1 =1 de
donde :
 
 
por hipotesis
por teorema 1
4
1
5
1
3
1
1
2
a= a 1.............. M
a= a bb ... M
a= ab b .... M
a= 0b .......... ab=0
a= b 0....... M
a= 0..............








 

Si a=0 ó b=0  ab=0 se sigue inmediatamente
del teorema 1.
APLICACIÓN :
Resolver la ecuación : x2  5x+6=0
RESOLUCIÓN :
* Factorizando : x2  5x+6=0
* Tenemos :  x  2  x  3=0
 x  2=0 ó x  3=0  x= 2 ó x=3
* El conjunto solución es 2; 3
TEOREMA 6:
Si: a2 =b2  a=b ó a= b
DEMOSTRACIÓN :
497
* Primero demostraremos:
Si: a=b ó a= b a2 =b2
a+b=b+b ó a+b=b+b
ab=0 ó a+b=0
* De lo cual : (a – b)(a + b) = 0
Entonces : a2  b2 =0  a2 =b2
* Segundo demostraremos:
a2 = b2  a= b ó a= b
Así :
   
ó
ó y
2 2 2 2
5
4 5
a =b a b =0 ....... A
a+b a b =0 ........... D
a+b=0 a b=0 ........ Teorema 5
a= b a=b ................. A A
 
 
 
 
TEOREMA 7:
Si: a  y a  0  a2  0
DEMOSTRACIÓN:
* Si a  0 entonces a>0 ó a<0, luego:
I) Si: x>0x x>0 x
x2>0
II) Si: x<0x>0
     
2
x x >0 x
x >0..........
   
 (Def.de potenciación)
«Todo número diferente de cero, elevado al
cuadrado es positivo»
APLICACIONES:
* Si:    2 x  2  0  x   x  2 >0
* Si:    2 t+3  0  t   t+3 >0
*  2  y  y  4  0 es verdadera
*  2  y  y+ 2 >0 es falsa:
porque si y= –2; no se cumple.
TEOREMA 8 :
Si : x<b x+z<b+z
DEMOSTRACIÓN:
   
0<b x x<b
b x=b x+z z
b x= b+z x+z
 
  
 
* De lo cual: 0<b+z   x+z
* Sea x<b x+z<b+z
TEOREMA 9:
Si: a< b y c< d  a+c< b+d
DEMOSTRACIÓN:
3
3
2
a<b a+c<b+c ....................... O
c<d b+c<b+d ....................... O
a+c<b+d ....................... O



TEOREMA 10:
Si: a< b y c< 0  ac>bc
DEMOSTRACIÓN :
   
y teorema
3
5
4
3
5
a< b a a< b a................ O
0 < b a b a> 0 ... A
c< 0 b a c< b a 0..... O
bc ac< 0............................ D 1
bc ac+ac< 0+ac............ O
bc+0 < 0+ac...................... A
bc< ac
  
   
  
 
 

  ac > bc ....... A4
DESIGUALDADES
Son relaciones de comparación entre dos o más
cantidades reales de diferente valor.
EJEMPLO :
Si :
La edad de Juan es : 20 años
La edad de Pedro es: 30 años
La edad de Luis es : 50 años
Se tendrá las siguientes relaciones:
1°) La edad de Juan es menor que la edad de Pedro.
2°) La edad de Luis, es mayor que la edad de Pedro.
3°) La edad de Juan es menor que la edad de Luis.
Intuitivamente estamos comparando magnitudes
reales de una misma especie. Las desigualdades solo
se verifican en el campo de los números reales que
asociado a la recta real podemos observar:
0 +
unidad

origen
1 2 3
Números(–): – (+): +
2
–3 –2 –1
–B – 2 B
Números
Que para cada número real le corresponde un único
punto de la recta real y recíprocamente para cada punto
de la recta real, le corresponde un único número real.
498
La correspondencia biunívoca entre números reales y
puntos de una recta real nos ayuda a dar una
interpretación geométrica de la relación de orden entre
los números reales.
Para la gráfica adjunta. A
a b
A 0 B
– +
La relación a<b (se lee: a menor que b) significa
que al punto A le corresponde el número real «a» y
se encuentra a la izquierda del punto B al cual le
corresponde el número real «b».
DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD :
Es aquella comparación que se establece entre dos
números reales, mediante los símbolos de
desigualdad: <, >,  ,  . Luego si a y b son números
reales, entonces: a<b, a>b, a  b y a  b se llaman
desigualdades , y se leen :
a<b : «a menor que b»
a>b : «a mayor que b»
a b : «a menor o igual que b»
a b : «a mayor o igual que b»
EJEMPLOS:
5 >2 .........cinco es mayor que dos
3 <6..........tres es menor que seis
* La relación «mayor o igual que» (  ) se define como:
a  b  a> b  a= b
* La relación «menor o igual que» (  ) se define como:
a  b  a< b  a=b
EJEMPLOS:
2 1 2>1 2=1
3 3 3<3 3=3
  
  
Es suficiente que se verifique una de las relaciones de
orden.
DEFINICIONES:
I) Un número a  se llama positivo si y sólo si a>0.
II) Un número a  se llama negativo si y sólo si
a<0.
III) a>b a  b es positivo (a–b>0)
IV) a<b a  b es negativo (a–b<0)
V) Si {a; b}   entonces a+b; ab   
VI) a  b  a> b  a=b
VII) a< b< c  a<b  b< c
VIII) a>b b< a
EJEMPLOS:
* 3 < 5 porque 5 – 3 = 2 y 2 es positivo.
* –10 <–6 porque – 6 –(–10) = 4 y 4 es positivo.
* 7 > 2 porque 7–2 = 5 y 5 es positivo.
* –2 > –7 porque –2–(–7) = 5 y 5 es positivo.
*
3 2
>
4 3
porque
3 2 1
=
4 3 12
 y
1
12
es positivo.
OBSERVACIONES :
Sean a,b  . Luego:
* La expresión simbólica «a>b» tiene el mismo
significado que «b<a»
EJEMPLO:
5> 2  2< 5
* La expresión simbólica « a  b » significa que a<b ó
a=b, es decir, cuando se verifica cualquiera de las
expresiones: a<b  a=b , escribimos a  b
EJEMPLO:
Como 2<3, podemos escribir 2  3
Como 5=5, podemos escribir 5  5
* La expresión simbólica « a  b » tiene el mismo
significado que b  a , es decir:
a  b  a> b  a= b
* Si a  b  b  c , escribiremos abreviadamente
a  b  c .
EJEMPLO:
4  x  x  9 entonces 4  x  9
* Las proposiciones a < b, a > b, a  b y a  b se
denomina desigualdades. En particular, a<b y a>b se
llaman desigualdades estrictas, mientras que a  b y
a  b reciben el nombre de desigualdades no estrictas.
* La relación de orden que hemos definido es un orden
parcial; como se desea un orden total, entonces es
necesario una ley denominada ley de la tricotomía.
LEY DE TRICOTOMÍA :
 a  ; sólo se puede establecer una y sólo una de
las tres relaciones :
a>0  a=0  a<0
499
TEOREMA:
 a; b  , se tiene a> b  a= b  a< b
EJEMPLOS:
Dado los números reales: –6; 3; –3 y 4; se cumple
que:
–6 < –3 3 < 4 –6 < 4 –3 < 4
LA RECTA NUMÉRICA REAL
Es aquella recta geométrica donde existe una
correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos
de la recta y el conjunto de los números reales.
– 0 1 2 3 +
2
–3 –2 –1
–B – 2 B
(+) positivos
(–) negativos
12
– 52
– 12
52
Se observa que la representación de los números
irracionales en la recta numérica, determina la
completitud, es decir, que a cada número real le
corresponde uno y sólo un punto de la recta y cada
punto de la recta es imagen de un número real, por tal
razón el conjunto es continuo , es decir, no existe ningún
vacío entre sus elementos.
OBSERVACIONES :
*  ;  ; son ideales infinitos no son números reales.
*Los números a la derecha de 0, son llamados
positivos y los números a la izquierda de 0, son
llamados negativos, el 0 no es negativo ni positivo.
INTERVALOS
Sea I un subconjunto de   I    . Decimos que I
es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los
números reales que están comprendidos entre dos
extremos (que pueden ser finitos o ideales).
CLASES DE INTERVALOS :
Si I es un intervalo, puede ser : acotado o no
acotado.
I) INTERVALO ACOTADO
Es aquel intervalo cuyos extremos son finitos . Este
puede ser :
1) INTERVALO ABIERTO
El conjunto de los números x que satisfacen la
desigualdad a<x<b se denomina intervalo abierto y
se denota por a;b ó a;b .
Por tanto : a; b =x a < x < b
REPRESENTACIONES :
x
a b
x a; b  a< x<b
a b
a b
– +
2) INTERVALO CERRADO :
Si a,b  con a  b , se llama intervalo cerrado y
se denota por a;b , al conjunto de todos los números
reales x, tales que a  x  b
Es decir :
a;b=x/a  x  b
REPRESENTACIÓN:
x
a b
x a;b  a  x  b
O también:
a b
a b
– +
3) INTERVALOS SEMIABIERTOS :
El intervalo semiabierto por la izquierda es el
intervalo abierto a;b junto con el extremo
derecho b.
Este intervalo se denota por a;b ; de modo que
a ;b=x/a< x  b
REPRESENTACIÓN :
– a b +
Se define el intervalo semiabierto por la derecha de
manera similar y se denota por a ;b
500
* Así: a ;b =x/a  x<b
REPRESENTACIÓN:
– a b +
II) INTERVALOS NO ACOTADOS
Es aquel intervalo donde al menos un extremo es el
ideal  ó  .
Los siguientes intervalos son no acotados.
A)a ;+  x  x  a
– a +
B)  ; a  x  x  a
– a +
C) a;   x  x  a
– a +
D)  ; a  x  x  a
– a +
EJEMPLOS:
* 2;7 =x  
 
2 x 7
* 5;7 = x 
 
  5 x 7
* 5;  = x 
  
  

x 5
*  ; 1 = x 

   x  1
OBSERVACIONES :
*  ; =
Toda la recta numérica
* Si a=b a;b=a
* Si a=b a;b = =
(Es el conjunto vacío)
OPERACIONES ENTRE
INTERVALOS
Si los conjuntos A y B representan un intervalo de
números reales, se realizan entre ellas las siguientes
operaciones:
I) UNIÓN: A  B  x x A  x B
II) INTERSECCIÓN: A  B=x x A  x B
III) DIFERENCIA: A  B=x x A  x B
IV) COMPLEMENTO: A'=x x   x A
A’ = complemento de A respecto a 
A =  A
EJEMPLO:
Sean los conjuntos:
A=4; 5 ; B=0; 8 ; C =1;+
realizar las siguientes operaciones:
1)A  B 2)B  C 3)A  C 4)B
RESOLUCIÓN:
1) A  B =?
Como: A=4; 5 y B=0; 8
* Graficando :
– –4 0 5 8 +
 A  B =4; 8
2)B  C =?
Como: B=0; 8 y C =1;+
* Graficando :
– –1 0 8 +
 B  C =0;8
3) A–C=?
Como: A=4;5 y C=1;+
* Graficando:
– –4 –1 5 +
 A  C =4 ;  1
4) B’=?
Como: B=0; 8
* Graficando:
– 0 8 +
 B'= ;0  8;+ 
501
CLASES DE DESIGUALDADES
De acuerdo a su estructuración matemática, estas
pueden ser:
A) DESIGUALDADES ABSOLUTAS
Son aquellas que se verifican en el campo de los
números reales y a su vez pueden ser numéricas o
literales.
EJEMPLOS:
I) NUMÉRICAS: II)LITERALES :
 
2
4
6 6
* 7 > 0 * x > 2
* 9 > 2 * 5< x 2
2
* 0 * x + y 0
3

 
  
B) DESIGUALDADES RELATIVAS :
Estas desigualdades se conocen también con el
nombre de inecuaciones y se caracterizan por que se
verifican para un conjunto de valores denominados
conjunto solución y su representación se visualiza en
la recta real.
EJEMPLOS:
I) La inecuación: 4x  3> 5
SE VERIFICA PARA TODO VALOR DE XMAYOR QUE DOS (x>2)
* Su representación gráfica en la recta real sería de la
siguiente forma:
– 0 2 +
II) La inecuación : x2  25  0 se verifica para todo x,
tal que : x  5  x  5
* Su representación gráfica en la recta real sería de
la siguiente forma :
– –5 0 5 +
 x5
* Más adelante analizaremos la solución explícita de
los diferentes tipos de inecuaciones que se presentan.
* El conjunto solución de una inecuación se expresa
mediante intervalos.
PROPIEDADES GENERALES DE
LAS DESIGUALDADES
02 : ORDEN TRANSITIVO:
a,b, c
a<b b< c a< c
 
 

Si :
EJEMPLOS :
En la recta real :
– –12 –2 0 6 8 +
12<2   2<8  12< 8
03 : ORDEN DE LA MONOTONÍA:
 a,b,c 
I)LEY ADITIVA :
Si: a<b a+c<b+c
II) LEY MULTIPLICATIVA :
: c a b ac bc
: c a b ac bc






   
   
Si
Si
TEOREMAS:
I) Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma
o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad
no se altera.
Si: a>b a  c>b  c
II) Si a los dos miembros de una desigualdad se
multiplica o divide por una cantidad positiva el signo de
la desigualdad no se altera.
Si: I) ac>bc
a>b c>0 a b
II) >
c c

   


III) Si a los dos miembros de una desigualdad se
multiplica o divide por una cantidad negativa, el signo
de la desigualdad se invierte.
Si: I)ac<bc
a>b c<0 a b
II) <
c c

   


IV) Dos desigualdades de signo contrario se pueden
restarmiembro amiembro y el signo de la desigualdad
resultante es el mismo que hace las veces de
minuendo, es decir:
* Dado el sistema:
a>b ........(I)
c<d ........(II)

* Se cumple que :
a  c>b  d  c  a< d  b
V) Dos o más desigualdades del mismo sentido se
pueden multiplicar o dividir miembro a miembro y el
502
sentido de la desigualdad no se altera, siempre y
cuando los miembros de las desigualdades sean
cantidades. positivas.
 a,b,c,d  
Si:
a>b .......(I)
c> d.......(II)

 

* Se cumple:
a b
ac>bd >
c d

VI)Dos desigualdades de signo contrario y miembros
positivos se pueden dividir miembro a miembro; el
signo de la desigualdad resultante es el mismo que el
signo de la desigualdad que hace las veces de
dividendo.
* Es decir :  a,b,c,d  
Si:
a>b........(I)
c< d.......(II)

 

* Se cumple:
a b c d
> <
c d a b

VII) Si a los dos miembros de una desigualdad se
eleva a una potencia impar o se extrae raíces de índice
impar, el sentido de la desigualdad no se altera. Es
decir:
* Si: 2n+1 2n+1
2n+1 2n+1
I) a >b
a>b ;n
II) a > b
 

  



VIII)Si a los dos miembros de una desigualdad de
términos negativos se eleva a un exponente par, el
signo de la desigualdad se invierte, es decir:
 a,b  
2n 2n
2n 2n
I)Si a>b a <b
II)Si a<b a >b
  

 
IX) Si: a  , tal que:
a  0  a2 >0
X) a,b  y son del mismo signo, entonces:
1 1
a<b >
a b
1 1
a>b <
a b
  

 

TEOREMAS BÁSICOS
Dados a,b,c,d 
1) Si a>0 y b>0, entonces a+b>0
2) Si a>0 y b>0, entonces ab>0
3) Si a<b y b<c, entonces a<c (propiedad
transitiva)
4) Si a < b, entonces a + c < b + c
5) Si a< b y c<d, entonces a+c < b + d
6) Si a< b y c>0, entonces ac< bc
7) Si a < b y c<0, entonces ac> bc
   
   
8) a : a2 0
9) a,b,c,d / a b c d ac bd
10) ab 0 a 0 b 0 a 0 b 0
11) ab 0 a 0 b 0 a 0 b 0
1
12) a> 0 > 0
a
1
13)a< 0 < 0
a


 
  

    
        
        


14) Si a y b tiene el mismo signo entonces:
1 1 1
a< x<b > >
a x b

15) a< x< b
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a < x <b ; 0< a<b
0 x <max a ;b ; a<0 0<b
b < x < a ; a<b<0

   


si
si
si
1
16) a 2 ; a
a
     
2 2
2 2 2
1 2 n
1
17) b+ 2 ; b
b
18) a +b 2ab; a,b
19) a b c ab ac bc ; a,b,c
20) x ; x ;…; x




 
 
 





    
Si :
503
además:
x1x2 …xn =1 x1+ x2 +…+ xn  n
OBSERVACIONES
a+b
2
: se denomina MEDIA ARITMÉTICA.
ab : se denomina MEDIA GEOMÉTRICA.
LAS MEDIAS
En Mesopotamia ya conocían las tres medias,
aritmética , geométrica y armónica y es donde el
famoso matemático griego Pitágoras aprendió.
Después Pappus en su libro de geometría incluye la
teoría de las medias y da una construcción geométrica
muy elegante incluyendo las tres medias, dicha
construcción se presenta en la siguiente figura:
donde:
OD: Es la media aritmética de los segmentos AB y
BC
DB: Es la media geométrica de los segmentos AB y
BC
DF: Es la media armónica de los segmentos AB y BC

Media
Media Geométrica Media
Aritmética Armónica
a b 2ab
ab
2 a b
+ ³ ³
 +
EN GENERAL :
Dados: a1 , a2 , a3 , a4 ,... ,an   , definimos:
Media Aritmética: 1 2 3 n a + a + a + …+ a
M.A.=
n
Media Geométrica: n
M.G.= a1  a2  a3 … an
MediaArmónica:
1 2 3 n
n
M.H.=
1 1 1 1
+ + + +
a a a a

TEOREMAS:
* En general para cantidades cualesquiera:
M.A.  M.G.  M.H.
* Cantidades diferentes: M.A.> M.G. > M.H.
* Cantidades iguales: M.A.= M.G.= M.H.
• Si: 0 < a< b entonces:
a<a+b<b
2
• Si: 0<a<b entonces: a< ab < b
a+b 1
ab ; a,b
2 1 1 +
a b
2
     
3
4
a b c 1
abc ; a,b,c
3 1 1 1
a b c
3
a+b+c+d
abcd ; a,b,c,d
4


 
 


 
 
 

EN GENERAL :
1 2 n n
1 2 n
1 2 n
i
m m m
a b
a +a +…+a n
21) a a ... a
n 1 1 1 + +...+
a a a
; a , i 1; 2; 3;…;n
a +b a+b
22) > ; 0< a<b;
2 2
«m»
x x
23) 1+ > 1+ ; a;b a b x 0
a b
2


 



    

 
 
 
           
   
no es fracción propia positiva.
1
n n n n
1 2 p
n
x + x +…+ x
4) a =
p
 
 
 
Si :
donde :
x1 ; x2 ; ; xp n
a a ;

 
  
   
  
25) Sea x1 ; x2 ;; xn    n 
n n n n
x1 x2 xp x1 x2 xp
p p
      
   
 
26) Si a1 ; a2 ;…an ;b1 ;b2 ;…;bn   
además:
504
   
1 1 2 2 n n
1 1
p p p p q q q q
1 2 n 1 2 n
1 1
1 p,q
p q
a b a b a b
a +a +…+a b +b +…+b
   
    


27)  
1
m n p m n p
ma nb pc
a b c m n p
 
 

 
OBSERVACIONES
2n 1 2n 1
2n 2n
* a b a b , n
* 0 a b a b , n


     
    


* Si:
c< b< a<0
0< a<b< c 1 1 1
0< < <
c b a
   
  

* Si:
0< c< b< a
a<b< c<0 1 1 1
< < <0
c b a
   
  

* Si:
2n 2n
2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
0 b a
a b 0 n a b 0
a b 0
    
 
  

      

  
* Si:
2 3 4
4 3
1< x< x < x < x <…
1< x
1<…< x < x < x < x

 

* Si
4 3 2
3 4
0<…< x < x < x < x<1
0< x<1
0< x< x < x < x <…<1

 

* Sea el polinomio cuadrático:
P(x)  ax2 +bx+c
Se cumple que:
Si: P(x)> 0; x 
 a  0    b2  4ac  0
«Teorema del trinomio positivo»
MEDIAS POTENCIALES :
Se llama media potencial de orden kk  
de los números positivos x1,x2 ,x3,......,xn a la cantidad
:
1
k k k k k k k k k
k 1 2 3 n 1 2 3 n
k
x x x ..... x x x x ..... x
m
n n
         
   
 
* ahora si hacemos :
I) para k=1, se obtendrá :
1 2 3 n
1
x x x ..... x
m MA
n
     
   
 
LA MEDIA ARITMÉTICA :
II) para k=2 , se obtendrá :
2 2 2 2
1 2 3 n
2
x x x ..... x
m MC
n
   
 
LA MEDIA CUADRÁTICA :
III) para k = –1 , se obtendrá :
1 1 1 1 1
1 2 3 n
-1
x x x ..... x
m MH
n
         
   
 
LA MEDIA ARMÓNICA :
II) para k=0, se obtendrá :
0 k 1 2 3 n
x 0
m Limm MG x x x ...x

  
La MEDIA GEOMÉTRICA
OBSERVACIÓN:
Como la media potencial mk de los números
positivos x1,x2, x3,......,xn es una función decreciente
(ver funciones), es decir :
si : a  b  ma  mb
verificándose la igualdad ma=mb , si :
x1 = x2 =x3=.....=xn
EN PARTICULAR:
m 1 m0 m1 m2
MH MG MA MC
   
   
DESIGUALDAD
DE CAUCHY-SCHWARZ
TEOREMA
(Desigualdad de Cauchy – Schwarz) Sean a1,... an,
b1, ... , bn, números reales, entonces :
2 2 2 2 2 2 2
(a1b1+a2b2+...+anbn )  (a1+a2+...+an)( b1+b2+...+bn)
La igualdad ocurre si y sólo si las n-uplas
(a1 ; a2 ; ... ; an) y (b1 ; b2 ; ... ; bn) son colineales .
DEMOSTRACION :
Haciendo:
n n n 2 2 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
A= a b ; B= a b
  
     
        
     
505
Entonces tenemos que :
n n n 2 2 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
n 2 2 n 2 2 n 2 2
i i i j i i i j j i
i 1 i j i 1 1 i j n
2 2
i j i j j i
i j 1 i j n
2 2 2 2
i j j i i j j i
i j 1 i j n
A B= a b a b
= a b + a b a b 2 a b a b
= a b 2 a b a b
= (a b +a b ) 2 a b a b
  
     
   
   
                
     
     
  
  
2 2 2 2
i j i j j i j i
1 i j n
2
i j j i
1 i j n
= (a b 2a b a b+a b )
= (a b a b ) 0 A B 0 A B
  
  
 
       
OTRO METODO :
Definamos el polinomio cuadrático
2 2 2
f (x)  (a1x  b1 ) (a2x  b2 ) +...+(anx  bn ) ; x
Vemos que f(x)  0 , para todo x  .
Efectuando :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n
2 2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n
2
f(x)= (a x 2a b x + b )+(a x 2a b x+b )+...+a x a b x+b 0
f(x)= (a +a +...+a )x 2(a b +a b +...+a b )x +(b +b +...+b ) 0
f(x)=Mx 2Nx+P 0
   
 
  
donde :
2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n a +a +...+a =M  (a b +a b +...+a b )=N  a +b +...+b =P
Luego Mx2  2Nx +P  0 , para todo x  , y esto
ocurre si   0 . (  : Discriminante. )
En efecto 2
2
2
=( 2N) 4MP 0
4N 4MP 0
N MP
   
  
 
Reemplazando, tenemos que :
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n (a b +a b +...+a b )  (a +a +...+a )(b +b +...+b ).
La igualdad ocurre cuando f(x) presenta raíces reales
iguales.
1 1 2 2 n n
1 1 2 2 n n
(a x b )=0 (a x b )=0 ... (a x b )=0
a x = b a x= b ... a x = b
      
   
de donde (a1, a2,... an) y (b1, b2, ... , bn) son colineales
o proporcionales.
EL LEMA DE TITU
Sean a1, a2, ... , an números reales arbitrarios y x1, x2,
... , xn números reales positivos, se tiene la desigualdad
2 2 2 2
1 2 n 1 2 n
1 2 n 1 2 n
a a a (a +a +...+a )
+ +...+
x x x x +x +...+x

DEMOSTRACIÓN :
* Aplicando Cauchy-Schwarz :
2
2 2 2 2 2
1 2 n 1 n
1 2 n 1 n
1 2 n 1 n
2 2 2
1 2 n 2
1 2 n 1 2 n
1 2 n
a a a a a
+ +...+ ( x +x +...+x ) x ... x
x x x x x
a a a
+ +...+ ( x +x +...+x ) (a +a +...+a )
x x x
   
            
 
   
 
De donde tenemos que :
2 2 2 2
1 2 n 1 2 n
1 2 n 1 2 n
a a a (a +a +...+a )
+ +...+
x x x x +x +...+x

Como vemos, es una aplicación de la desigualdad de
Cauchy-Schwarz y por ello algunos afirman que
simplemente es la desigualdad de Cauchy-Schwarz
OTRO METODO :
(Por inducción). Veamos que la inducción se reduce
al caso n = 2.
2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1 2
2
1 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
a1 x2 x1+a1 x2 +a2 x1 +a2 x1x2 a1 x1x2+a2 x1x2+2a1a2 x1x2
a a (a +a )
+
x x x +x
(a x +a x )( x +x ) x x (a +a +2a a )
a x +a x 2a a x x 0
(a x +a x ) 0


 

  
 
y a igualdad a se tiene si y sólo si 1 2
1 2
a a
=
x x
Aplicando el resultado dos veces se tiene que :
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
a a a (a +a ) a (a +a +a )
+ + +
x x x x +x x x +x +x
 
Supongamos que se cumple para n :
2 2 2 2
1 2 n 1 2 n
1 2 n 1 2 n
a a a (a +a +...a )
+ +...+
x x x x +x +...x

Veamos para n + 1 :
2 2 2 2 2 2
1 2 n n+1 1 2 n n+1
1 2 n n+1 1 2 n n+1
2
1 2 n+1
1 2 n+1
a a a a (a +a +...a ) a
+ +...+ + +
x x x x x +x +...x x
(a +a +...a )
x +x +...x
 
  
 

DESIGUALDAD DE SCHÜR
Si a, b, c son números reales positivos y n un entero
positivo, entonces :
an(a b)(a c) +bn(b c)(b a) +cn(c a)(c b)  0
El matemático FRIEDRICH SCHUR ( 1856 – 1932 )
estableció en 1909 lo que se denominó la
DESIGUALDAD de SCHUR :
506
DEMOSTRACION :
Como el primer miembro es simétrico, entonces
podemos asumir un orden.
Sea a  b  c , entonces:
n n
n n
a z b z;a b 0
(a b)(a z) (a b)(b z);a b
a (a b)(a z) b (a b)(b z)....(i)
    
      
     
También :
(c  a)(c  b)  0 , pues a  c; b  c
 cn(c  a)(c  b)  0................(ii)
* Sumando (i) y (ii) :
n n n
n n n
n n n
a (a b)(a c) + c (c a)(z b) b (a b)(b c)
a (a b)(a c) b (a b)(b c)+ c (c a)(c b) 0
a (a b)(a c)+ b (b a)(b c)+ c (c a)(c b) 0
      
        
       
La igualdad ocurre si y sólo si a = b = c
DOS SUSTITUCIONES MUY
ÚTILES
Si en las inecuaciones tenemos la condición xyz=1,
es conocida la sustitución
a b c
x= ; y ; z=
b c a

que hace que el problema se convierta en otro más
fácil; aunque esto no es siempre para todo problema.
Veamos otras sustituciones que son muy útiles en la
resolución de problemas de desigualdades en
demostraciones :
Si tenemos las condiciones x , y , z > 0 y
xyz = x + y + z + 2, nos preguntamos, ¿cuál sería la
sustitución?
De la condición xyz = x + y + z + 2
tenemos :
abc + ab + ac + bc + a + b +c + 1= ab + ac + bc + 2(a+ b + c) + 3
(a+1)(b +1)(c+ 1)=(ab + a + b + 1)+(ac + a+c+ 1)+(bc+b+ c+1)
(a+1)(b+1)(c + 1)=(a+1)(b+1) + (a+1)(c+1)+(b+1)(c+1)
1 1 1
1= + +
c+1 b+1 a+1

Haciendo
1 1 1
x= , y= , z=
a+1 b+1 c+1
, se tiene
x+y+z=1 y 1 x y+z z + x x+ y
a= = ; b= ; c=
x x y z

Ahora veamos otra condición :
Para a, b, c > 0 y ab + bc + ca + 2abc = 1 la sustitución
es :
x y z
a= , b= , c=
y + z z+ x x + y
pues ab + bc + ca + 2abc= 1 equivale a
1 1 1 1
= + + + 2
abc a b c
es decir, en la primera
sustitución sólo ha sido cambiada por la inversa de a,
b, c.
EJERCICIO 1 :
Sean x, y números reales tales que x2 + y2 = 1; halle la
variación de 3x + y.
RESOLUCIÓN :
Como nos piden la variación de 3x+y que es
equivalente a escribir 3×x+1×y; entonces escogemos
los pares (3;1) y (x;y) para aplicar la desigualdad de
Cauchy-Schwarz.
En efecto, tenemos:
2 2 2 2 2
2 2
(3 x + 1 y) (3 +1 )(x + y )
(3x + y) (10)(1) (3x+y) 10
10 3x+y 10
3x + y [ 10 ; 10 ]
  
   
   
  
EJERCICIO 2 :
Sean m 1;n  1. Demostrar que :
2
2 2
m 1 n 1 1 1
+ (m+n 2) +
m n m n
               
RESOLUCIÓN :
Consideremos los pares   1 1
m 1; n 1 , ;
m n
     
 
y
aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz
tenemos:
  2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
m 1 + n 1 m 1 + n 1 +
m n m n
m 1 n 1 1 1
+ (m 1+n 1) +
m n m n
m 1 n 1 1 1
+ (m+ n 2) +
m n m n
                      
       
                 
                
La igualdad ocurre si y sólo si m = n.
EJERCICIO 3 :
Demostrar que :
( x2+xy+y2 )2  ( x2+2y2 )( 2x2+y2 ), para todo
x, y números reales .
RESOLUCIÓN :
* Tomamos las ternas (x;x;y), (x;y;y) para aplicar la
507
desigualdad de Cauchy-Schwarz.
* En efecto :
(x x+x y+y y)2  (x2+x2+y2 )(x2+y2+y2 )
* Luego tenemos :
( x2+xy+y2 )2  ( 2x2+y2 )( x2+2y2 )
* La igualdad ocurre si y sólo si x = y.
TEOREMA :
Si el producto de unos números positivos x1 ; x2 ; x3
;....;xn es igual a 1 , la suma de los mismos no es
menor que n:
si : x1. x2 . x3 ......xn = 1Þx1+x2+x3+ ......+xn ³n
EJERCICIO 3 :
Demostrar la desigualdad :
2
2
x 2
2
x 1
+ ³
+
RESOLUCIÓN :
Tenemos:
2 2
2
2 2 2 2
x 2 x 1 1 1
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
+ = + + = + +
+ + + +
Puesto que el producto de los sumandos del último
miembro es igual a la unidad, la suma de los mismos
no es menor que dos. El signo de la igualdad tiene
lugar sólo para x=0 .
DESIGUALDAD DE LA MEDIA
ARITMETICA–MEDIA GEOMETRICA
Definiremos la Media Aritmética, Media Geométrica y
MediaArmónica de los números x1 , x2 , ... , xn reales
positivos, de la siguiente manera:
1 2 n
n
1 2 n
1 2 n
x +x + ... +x
MA=
n
MG x x ... x
n
MH
1 1 1
...
x x x
=
=
+ + +
TEOREMA :
Sean x1 , x2 , ... , xn números reales positivos
entonces su Media Aritmética es mayor o igual que su
Media Geométrica ( MA ³ MG ).
La igualdad ocurre si y sólo si x1 = x2 = ... = xn .
DEMOSTRACION :
Sea Pn={MA ³ MG para n números}; probemos
por inducción matemática de la siguiente manera :
I) Probaremos que se cumple para dos números, es
decir P2 es verdadero.
II) Tomando la hipótesis que Pn es verdadero,
probaremos que Pn–1 es verdadero.
III) Así mismo probaremos que si Pn es verdadero
entonces P2n es verdadero.
Cuando (I), (II) y (II) se verifican, entonces Pn con n³ 2
es verdadero. Veamos :
I) Como +
x1 , x2 Î , entonces x1 , x2 Î + ,
luego ( )2
x1 - x2 ³ 0
Efectuando :
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2.
x 2 x x x 0
x x 2 x x
x x
x x
2
- + ³
Û + ³
Û + ³
La igualdad ocurre si y sólo si x1=x2 .
Vemos que P2 es verdadero.
II) Sea n 1
g - x1x2 ...xn 1 ,
= - , entonces
n 1
g x1 x2 ....xn 1 -
= - .Como Pn es verdadero,
entonces :
( )
n 1
1 2 n 1 n
1 2 n 1
1 2 n 1 n
n n
1 2 n 1
1 2 n 1
1 2 n 1
x x ... x g
x x ...x .g
n
x x ... x g
g .g
n
x x ... x g n. g ng
x x ... x g n 1
x x ... x
g
n 1
-
-
-
-
-
-
-
+ + + + ³
Û + + + + ³
Û + + + + ³ =
Û + + + ³ -
Û + + + ³
-
De donde :
1 2 n 1 n 1
1 2 n 1
x x ... x
x x ...x .
n 1
- -
-
+ + + ³
-
Vemos que Pn–1 es verdadero.
III)Sean x1 + x2 + ...+ x2n números reales
positivos, entonces :
508
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2n 1 2 3 4 2n 1 2n
1 2 3 4 2n 1 2n
x x ... x x x x x ... x x
2 x x x x ... x x .... a
-
-
+ + + = + + + + + +
³ + + +
Como Pn es verdadero, entonces :
( )
1 2 3 4 2n 1 2n n
1 2 3 4 2n 1 2n
n
1 2 3 4 2n 1 2n 1 2 3 4 2n 1 2n
2n
1 2 3 4 2n 1 2n 1 2 3 4 2n 1 2n
x x x x ... x x
x x x x ... x x
n
x x x x ... x x n x x x x ...x x
x x x x ... x x 2n x x x x ...x x ... b
-
-
- -
- -
+ + +
³ +
Û + + + ³
Û + + + ³
De  y  tenemos que :
2n
1 2 2n 1 2 2n
1 2 2n 2n
1 2 2n
x x ... x 2n x x ...x
x x ... x
x x ...x ,
2n
+ + + ³
+ + + ³
de donde P2n es verdadero.
COROLARIO :
(Desigualdad de la Media Geométrica - Media
Armónica)
Sean x1 + x2, ...,xn números reales positivos,
entonces su Media Geométrica es mayor o igual que
su MediaArmónica( MG ³ MH ).
La igualdad ocurre si y sólo si x1 = x2, = ...= xn .
DEMOSTRACION :
* Aplicando el teorema a los números
1 2 n
1 1 1
, ,...,
x x x reales positivos, tenemos:
1 2 n n
1 2 n
1 1 1
+ +...+
x x x 1 1 1
. ...
n x x x
³
n
1 2 n 1 2 n
n
1 2 n
1 2 n
1 1 1 n
+ +...+
x x x x x ...x
n
x x ...x
1 1 1
+ +...+
x x x
Û ³
Û ³
ocurre si y sólo si x1 = x2 = ...= xn .
COLORARIO :
(Desigualdad de la MediaAritmética - MediaArmónica)
Sean x1 , x2 ,..., xn números reales positivos,
entonces :
1 2 n
1 2 n
x x ... x n
n 1 1 1 + +...+
x x x
+ + + ³
DEMOSTRACION :
La demostración es inmediata, pues por transitividad,
se tendría, ya que :
MA ³ MG Ù MG ³ MH Þ MA ³ MH .
Es importante observar que de MA³ MH
1 2 n
1 2 n
x x ... x n
n 1 1 1 + +...+
x x x
+ + + ³
se tiene :
( ) 2
1 2 n
1 2 n
1 1 1
x x ... x + +...+ n
x x x
æç ö÷ + + + ççç ÷÷÷³ è ø
EJERCICIO 1 :
Sean x , y , z números reales positivos. Demostrar
que :
x y z
3
y z x
+ + ³
RESOLUCIÓN :
Como x, y, z Î  + , entonces podemos utilizar
MA® MG. En efecto :
3
3
x y z
y z x x y c
3 y c x
x y z
3 1
y z x
x y z
3
y z x
+ +
³ ´ ´
Þ + + ³ ´
Þ + + ³
La igualdad ocurre si y sólo si x = y = z
DESIGUALDAD DE BERNOULLI
Y LA MEDIA POTENCIAL
La desigualdad de Bernoulli esmuy importante, puesto
que es muy utilizada en el análisis matemático y en
otras ramas de la matemática.
La notable familia suiza Bernoulli realizó grandes
aportaciones a las matemáticas y a las ciencias. En
tres generaciones produjo no menos de nueve
miembros de la familia que lograron preeminencia en
matemáticas o en física (cuatro de ellos recibieron
distinciones de laAcademia de Ciencias de París), los
que a su vez produjeron un enjambre de descendientes
que dejaron huella en muchos campos del
conocimiento.
Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 y
murió el 16 de agosto de 1705; fue el quinto hijo de una
509
gran familia. También se le encuentra como Jacob, por
la traducción de su nombre al alemán, y como James,
por su traducción al inglés. Estudió teología; pero la
abandonó en favor de las ciencias. De manera
autodidacta aprendió el nuevo cálculo de Newton y
Leibniz y fue profesor de matemáticas en Basilea
desde 1687 hasta su muerte. Escribió sobre series
infinitas, estudió muchas curvas especiales, inventó
las coordenadas polares y presentó los números de
Bernoulli que aparecen en la expansión en serie de
potencias de la función tan(x) y que son útiles para
escribir el desarrollo en series infinitas de las funciones
trigonométricas e hiperbólicas.
En su primer artículo sobre series infinitas, en 1689,
presentó la “desigualdad de Bernoulli”
TEOREMA :
Si x ³ -1 y n entero positivo, entonces :
( )n 1+ x ³1+ nx.
DEMOSTRACIÓN :
La demostración la haremos por inducción.
• Si n=1: 1 + x³1+x , es verdadera .
• Supongamos que se cumpla para n = k, es decir:
(1+x)k ³1+kx (hipótesis inductiva).
Veremos que se cumple para n=k+1.
Multiplicando por (1+ x) en la desigualdad anterior
k
k+1 2
(1+x) (1 + x) (1+kx)(1+ x)
(1+x) 1+(k+1)x+kx 1+(k+1)x
³
Û ³ ³
Desigualdad de Bernoulli y la Media Potencial
de donde : k+1
n
(1+ x) 1+(k+1)x
(1+x) 1+nx
³
Þ ³
TEOREMA :
Si x³-1 y 0<a<1, entonces :
(1 + x )a £1+a x
DEMOSTRACIÓN :
Si x = –1, la desigualdad se verifica trivialmente.
Veamos para x > – 1. Sea a racional,
m +
= , m, n 1 m<n
n
a Î con £
Como 1 + x > 0, tenemos :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
m
n n m n m n m
n
m n m
m n m
(1+ x) =(1+x) = 1+x = 1+x .1
1+x . 1 x ... 1 x .1.1...1
1 x 1 x ... 1 x 1 1 ... 1
m n m
m 1 x n m n mx m
1 x 1 x
n n n
a
a
-
-
-
= + +
+ + + + + + + + + +
£
+ -
+ + - + = = = + = +
 
  
de donde se tiene :
(1+ x)a £1+a x,a Î ,0<a <1.
Ahora veremos para a Î '. ( ' conjunto de los
números irracionales.)
Sea(qk )kÎ =(q1, q2 , q3 ,......, qk,...) una sucesión
de números racionales tal que:
k k
k
a=Lím q 0<q <1.
®¥
y
En efecto ( )qk 1+ x £1+qkx ; x³-1;k=1,2,3,....
luego :
( ) ( ) ( ) qk
k
k k
1 x a Lim 1 x Lim 1 q x 1 a x.
®¥ ®¥
+ = + £ + = +
Para completar la prueba, veamos que
0 <a < 1 y x ¹ 0 , se tiene (1+ x)a <1+a x;
tomemos un número racional q tal quea< q<1 .y
como ( )
q
(1 +x) = 1+x q
a
a é ù
êê úú ë û
se cumple, entonces
( )
( )
( )
q
q
1 +x 1 x; 0 1
q q
1 x 1 x 1 q x;
q q
1 x 1 x
a
a
a
a a
a a
a
£ + < <
æç ö÷ Û + £ççç + ÷÷÷ < + ´ è ø
Þ + < +
pues
o sea
Luego la desigualdad ocurre si y sólo si x=0 .
TEOREMA :
Si x³-1 y (a< 0 Úa>1) ), se tiene :
(1 + x)a ³ 1+a x
DEMOSTRACIÓN :
Si 1+a x<0 , la desigualdad es evidente, pues el
primer miembro es no negativo.
Si 1 +a x³0 , es decira x³-1, consideremos dos
casos:
• Sea a > 1, entonces :
1 1
(1 + ax)a 1+ ax=1+x
a
£ ´
510
de donde :
1+a x£(1+ x)a Û(1+x)a ³1+a x.
* Seaa< 0 , tomemos un entero n positivo tal que
<1
n
-a , luego :
( )
( )
n
n
1 x 1 x
n
1
1 x 1 x
1 x n
n
a
a
a
a
a
+ - £ +æçç- ö÷÷ çè ÷ø
Û + ³ ³ +
-
La igualdad sólo es posible si x =0.
MEDIA POTENCIAL
Dados x1 , x2 , ... ,xn números reales positivos, el
número :
1
x1 x2 ... xn
M
n
a a a a
a
æç + + + ö÷ = çç ÷÷ çè ÷ø
es la media potencial de grado a de los números
x1 , x2 , ... ,xn . En particular :
1 n
1 n
1 2 n
1
1
2 2 2 2
2
2
1 1 1 1
2
1
x x ... x
M
n
x x ... x
M
n
x x ... x
M
n
- - - -
-
= + + +
æç + + + ö÷ = çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø
æç + + + ö÷ =çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø
es la media aritmética,
es la media cuadrática,
es la media armónica.
TEOREMA :
Si x1;x2 ;x3 ;...;xn números reales positivos y
a<0<b , entonces Ma £ MG£ Mb
DEMOSTRACIÓN :
Como MG£ M A, entonces :
n 1 2 n
1 2 n
x x ... x
x .x ...x
n
a a a
a a a £ + + +
De a< 0 < b , tenemos
1
0
a
< , entonces elevando a
la potencia
1
a :
( )
1
1
n 1 2 n
1 n
x x ... x
x ...x
n
a a a a a a a æç + + + ö÷ ³çç ÷÷ çè ÷ø
1
n 1 2 n
1 2 n
x x ... x
x .x ...x M ,
n
a a a a
a
æç + + + ö÷ Û ³çç ÷÷ = çè ÷ø
de donde Ma £ MG
Así mismo :
x 1 2 n
1 2 n
x x ... x
x .x ...x ; 0,
n
b b b
b b b £ + + + b >
elevando a la potencia
1
b
( )
1
1
x 1 2 n
1 2 n
1
x 1 2 n
1 2 n
x x ... x
x .x ...x
n
x x ... x
x .x ...x M
n
b b b b b b b b
b b b b
b
æç + + + ö÷ £çç ÷÷ çè ÷ø
æç + + + ö÷ Û £çç ÷÷ = çè ÷ø
de donde MG £ Mb .
Ma £ MG £ Mb
TEOREMA :
Si x1 , x2 , ... , xn son números reales positivos y
a< b , se tiene : Ma £ Mb
La igualdad ocurre si y sólo si x1=x2=...=xn .
EJERCICIO 1 :
Demuestre que si a3+ b3+ c3= 2187 , siendo a, b, c
números reales positivos, entonces
a + b + c £ 27
RESOLUCIÓN :
Como M1 £ M3 , entonces:
3 3 3 1/ 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 2 7 9
3
a b c a b c
3 3
(a + b + c) a b c
27 3
(a + b + c) 9(a + b + c )
(a + b + c) 3 3 3
a b c 3
+ + æç + + ö÷ £çç ÷÷ çè ÷ø
Û £ + +
Û £
Û £ ´ =
Û + + £
Por lo tanto a + b+ c £ 27
La igualdad ocurre si y sólo si a = b = c = 9.
TEOREMA : (Desigualdad de Chebyshev)
Sean: a1 £ a2 £ ...£ an y b1 £ b2 £ ...£ bn ,
511
entonces :
a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
n n n
+ + + æç + + + ö÷æç + + + ö÷ ³çç ÷÷çç ÷÷ è øè ø
Si una de las sucesiones es creciente y la otra,
decreciente, el sentido de la desigualdad cambia
a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
n n n
+ + + æç + + + ö÷æç + + + ö÷ £çç ÷÷çç ÷÷ è øè ø
EJERCICIO :
Demostrar que :
m3 n3 p3 (m n p)3
x y z 3(x y z)
+ + ³ + +
+ +
Para todo m,n,p, x, y, z números reales positivos con
m³n³ p y z³y³x.
RESOLUCIÓN :
Sean las ternas :
m2 n2 p2
, , ; (m,n, p)
x y z
æç ö÷ çç ÷÷ çè ÷ø
como m³n³ p y z³y³x , entonces m2 n2 p2
x y z
³ ³
Aplicando el teorema de Chebyshev :
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2
m m n n p p m n p
x y z x y z m n p
3 3 3
m n p m n p m n p
x y z x y z 3
3
æç ö÷ ´ + ´ + ´ çç + + ÷÷ æ ö ³çç ÷÷ ç + + ÷ ççè ÷÷ø ççè ÷÷ø
æç ö÷æ + + ö Û + + ³çç + + ÷÷çç ÷÷ çè ÷øèç ø÷
Luego es suficiente demostrar :
m2 n2 p2 m n p (m n p)3
x y z 3 3(x y z)
æç ö÷æ + + ö + + çç + + ÷÷çç ÷÷³ çè ÷øçè ÷ø + +
Pero por el lema de Titu :
m2 n2 p2 (m n p)2
x y z x y z
+ + ³ + +
+ +
Multiplicando por
m n p
3
æç + + ö÷ ççè ÷÷ø, tenemos :
m3 n3 p3 m n p (m n p)3
x y z 3 3(x y z)
æç ö÷æ + + ö + + çç + + ÷÷çç ÷÷³ çè ÷øçè ÷ø + +
FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS
Una función es convexa en un intervalo , si la rectas
tangentes a la función en ese intervalo están por debajo
de la función. Una función es cóncava en un intervalo
si la rectas tangentes a la función de ese intervalo
están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende
del punto de vista que se adopte para considerar que
es una concavidad, esto es si se mira a la función
«desde arriba» o «desde abajo». Por ello, algunos
textos denominan convexas a las funciones que se
curvan «hacia abajo», al contrario de la definición que
se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello,
es frecuente que en ocasiones se adopten las
denominaciones convexa hacia arriba y concava
hacia abajo para evitar las ambigüedades.
Las técnicas del análisis diferencial permiten
determinar si una función es creciente, decreciente,
concava o convexa a través del estudio de las
derivadas sucesivas de la función.
DESIGUALDAD CON
FUNCIONES CONVEXAS
Las funciones convexas cumplen un rolmuy importante
en la matemática, especialmente en la línea de
optimización, ya que en estos tiempos se están
estudiando modelos matemáticos en ingeniería,
economía, etc.
Estudiaremos estas funciones para obtener una
desigualdadmuy importante llamada la desigualdad de
Jensen.
FUNCIÓN CONVEXA :
Sea f una función real de variable real, definida sobre
a;b   ,f es llamada una función convexa sobre
a;b si y sólo si para cada x, y a;b y para todo
0  t  1, se tiene
f ( tx  (1 t )y)  tf ( x)  (1 t )f ( y)
A continuación utilizaremos el concepto de primera y
segunda derivada .
TEOREMA :
Si f es una función real definida sobre a,b   y
f ''( x)  0 (segunda derivada mayor que cero ) para
todo x a;b , entonces f es una función convexa
sobre a;b .
EJEMPLO :
La función f(x)ex, con x número real, es convexa.
512
7
6
5
4
3
2
1
-4-3 -2 -1 1 2 3 4
-1
8
pues f ''(x)  ex  0 , para todo x número real.
TEOREMA :
Si f es convexa sobre a;b , entonces para cada
x, ya;b se tiene : [ ] x y 1
f f ( x) f ( y)
2 2
æç + ö÷çç ÷÷£ + è ø
DEFINICIÓN :
Una función f real definida sobre a;b   es llamada
función cóncava sobrea;b si y sólo si para cada

 
 el mayor valor de M es : 6 3