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Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de Polinomios PROBLEMAS RESUELTOS EN TUTORIAL

1. Si p(x) = x2 + x – 2 y q(x) = x3 + x2 – x –1, hallar el MCD[p(x), q(x)] en Q[x].
A) x – 1 B) x + 1 C) x + 2 D) x – 2 E) x2 – 1
2. Si el MCD[p(x,y), q(x,y), r(x,y)] = x2y3 en Z[x, y], donde
p(x, y) = xn – 1ym – 1, q(x, y) = xnym, r(x, y) = xn – 2ym + 1, hallar m2 – n2.
A) 0 B) 3 C) – 3 D) – 5 E) 5
3. Dados los polinomios p(x) = x4 + x2 + 1 y q(x) = x5 + x + 1, hallar la suma de los coeficientes del MCD[p(x), q(x)] en Z[x].
A) 4 B) 2 C) 5 D) 3 E) 6
4. Sean p(x) = x6 – 4x4 – x2 + 4, q(x) = x4 – 6x2 + 8 y d(x) = MCD[p(x), q(x)] en Z[x], hallar el resto de dividir d(x) por x – 3.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) – 2
5. Hallar la suma de los coeficientes del MCD[]y)q(x, y),(p(x, en Z[x,y], si p(x, y) = 6x2 – 6y2 + 5xy – 13x – 13y + 5;
q(x,y) = 2x2 – 3xy – 9y2 + 3x + 9y – 2.
A) – 2 B) 0 C) 4 D) 5 E) 6
6. Si el mínimo comun múltiplo de p(x) = (x – 2)(x3 + x2 + 5x + 5) y
q(x) = (x2 + 5)(x3 + 3x2 + 3x + 9) en Z[x] es de la forma
(ax – 2)(x2 – b)(x + 1)(dx + 3)(cx2 + 5), hallar ba + 1 – dc + 1.
A) – 2 B) – 4 C) 5 D) 8 E) 10
7. Dados los polinomios
p(x) = x4 + (b2 – a)x2 – ab2 y q(x) = x5 + (b2 – 4a)x3 – 4ab2x; a ≠ 0, hallar el término independiente del MCD[p(x), q(x)] en C[x].
A) 1 + b2 B) 1 – b2 C) b2 D) – b2 E) b2a2
8. Sean p(x) y q(x) dos polinomios tales que
MCM [p(x), q(x)] = [(x2 + 2)2 – 9x2 ](x2 – 4) y
MCD [p(x), q(x)] = x3 + 2x2 – 4x – 8 en Z[x]. Si (x + a)n(x – a)m con n < m es un factor de p(x)q(x), hallar el menor valor de (an + m).
A) –2 B) 0 C) – 1 D) 3 E) 1