LÓGICA PROPOSICIONAL - CONCEPTOS BÁSICOS -ÁLGEBRA PRE PDF

TABLAS DE VERDAD-PRINCIPALES EQUIVALENCIAS E IMPLICACIONES LÓGICAS (LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL)

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  • OBJETIVOS :
    *Conocer y comprender las nociones básicas del
    análisis lógico del lenguaje, y en concreto del análisis
    mediante sistemas formales .

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    Conocer y comprender las herramientas que proporciona la lógica proposicional para ese análisis del lenguaje, y dominar el vocabulario técnico conectado con ellas . * Establecer los conceptos de proposición, argumento, así como estudiar el valor de verdad del primero y determinar la validez del último. *Manejar el concepto de conjunto, así como sus propiedades. *Identificar los elementos que pertenecen y los que no pertenecen a un conjunto * Interpretar correctamente la notación simbólica en la definición de conjuntos. * Representar conjuntos en Diagramas de Venn . * Realizar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica) . INTRODUCCIÓN : En nuestro quehacer diario , constantemente hacemos deducciones , esto significa que cada conclusión que establecemos se deduce de «algo» ; este algo o punto de partida se llama «premisa» . Por ejemplo , si exponemos un trozo de hielo al calor, se deduce que el hielo se derrite , o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo , deduce que va a llover , o también de «todos los mamíferos son vertebrados» se puede concluir en que «algunos seres vertebrados son mamíferos». De esta manera, se puede afirmar que constantemente existe un criterio lógico para el análisis de situaciones que permitirán establecer una noción científica de la realidad. «La Logica , justamente , es una ciencia que estudia los métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez de las inferencias , razonamientos o argumentos». La Lógica , como conocimiento orgánico y sistemático , aparece por primera vez con Aristóteles (S. IV A. C.) quien la define como un «instrumento» que ayuda al hombre a razonar correctamente mejorando la investigación de la naturaleza («Organón»).Su objetivo quedó definido como el análisis formal de los razonamientos. LA LÓGICA FORMAL Es una ciencia que busca hallar los esquemas universales y válidos en todo momento , según los cuales suele y debe pensar el hombre para alcanzar la verdad . Esto quiere decir que , el objeto de estudio de la lógica formal es investigar la estructura o forma de los conceptos , juicios y raciocinios , sus relaciones de validez , métodos y principios que la determinan. Actualmente , la lógica formal se ha tornado en Lógica Matemática (o simbólica) cuyo objetivo es demostrar la «validez» de los argumentos simbólicos o formalizados («La Lógica es la ciencia de la inferencia formalmente válida»). INFERENCIA Y SU VALIDEZ Es una estructura de proposiciones donde a partir de una o más de ellas llamadas «Premisa(s)» se obtiene otra proposición que se llama «Conclusión»; serán válidas cuando las premisas impliquen a la conclusión ; cuando existe relación coherente entre sus componentes , es decir , la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. La «IMPLICACIÓN» significa lo siguiente : *De premisas verdaderas , se deduce necesariamente una conclusión verdadera. *De premisas falsas , se deduce necesariamente una conclusión o bien verdadera o bien falsa. Las inferencias pueden clasificarse como : I) INFERENCIAS INDUCTIVAS : Son aquellas donde la conclusión es probable en relación a las premisas . Para obtener una inferencia inductiva , se parte de premisas particulares y luego se establece una conclusión general. Estas inferencias, desde el punto de vista de la Lógica , no son válidas ni inválidas. EJEMPLOS : * Yhony es psicólogo y ayuda a las personas . * Erica es psicóloga y ayuda a las personas . * Alan es psicólogo y ayuda a las personas 447 Probablemente , todos los psicólogos ayuden a las personas . II) INFERENCIAS DEDUCTIVAS : Son aquellas cuya conclusión es necesaria en relación a las premisas . Para obtener una inferencia deductiva , se parte de premisas generales obteniéndose una conclusión particular. EJEMPLOS : * Todos los humanos son mortales. * Alan es un ser humano , Alan es mortal. A su vez , estas inferencias se clasifican como : A) INFERENCIAS INMEDIATAS : Tienen una premisa y una conclusion. B) INFERENCIAS MEDIATAS : Tienen dos o más premisas y una conclusión. LA LÓGICA PROPOSICIONAL Es una parte de la LógicaMatemática , llamada también «Lógica de las proposiciones sin analizar», trata a cada proposición como un todo en su conexión lógica con otras proposiciones . Esta lógica desarrolla el cálculo de proposiciones que se orienta a analizar la corrección de los razonamientos mediante procedimientos decisorios como las tablas de verdad y el método de reducción al absurdo. PROPOSICIONES : Las «proposiciones» son expresiones del lenguaje informativo que tienen la cualidad de ser verdaderas (V) o falsas (F), es decir , tienen valor veritativo. EJEMPLOS: * La licuadora es un artefacto eléctrico. * Mario Vargas Llosa nació en el Perú. * 4 + 3 = 7 * Las aves son acuáticas. Es necesario resaltar que , lo que interesa fundamentalmente de las proposiciones es su sentido de verdad o falsedad , dado que enunciados distintos pueden expresar una misma proposición. EJEMPLOS : * Dante y Sergio son hermanos. * Dante es hermano de Sergio. * Sergio es hermano de Dante. Además , se debe tener en cuenta que expresiones en diferentes idiomas , también pueden presentar una misma proposición. EJEMPLO : * Mary y Ricky son estudiantes. * Mary and Ricky are students. Las proposiciones pueden clasificarse en : Proposiciones Simples o Atómicas (Predicativas y Relacionales) y Proposiciones Compuestas o Moleculares (Conjuntivas , Disyuntivas , Bicondicionales , Condicionales y Negativas) EL CONCEPTO DE LA VERDAD La definición clásica sobre la «verdad» pertenece a Aristóteles , quien en su libro «Metafísica» escribe : «Decir de lo que es que no es , o de lo que no es que es , es falso ; mientras que decir que lo que es , es o de lo que no es que , no es , no es verdadero» . En general , lo anterior alude a la teoría de verdad por correspondencia establecido por el estagirita. Más adelante, quien desarrolló esta tarea en el presente fue A. Tarsky, estableciendo, entre otras cosas , un paradigma muy sencillo para el empleo de la palabra «verdad» («falsedad»): «La nieve es blanca» es verdadera si y solo si «la nieve es blanca». Es decir , la verdad y falsedad solo se expresan en el metalenguaje de las oraciones a las que se aplican (No debe ocultarse que la noción de verdad es de las más discutidas para la lógica). LA VERDAD PARA LAS CIENCIAS FÁCTICAS : * Es una categoría que se define como correspondencia con la realidad. * Es producto de un proceso : reflejo de la realidad en el cerebro del hombre , y su posterior verificación en la misma realidad. * Es la correspondencia íntima entre la realidad y su reflejo en nuestro cerebro. LA VERDAD PARA LAS CIENCIAS FORMALES : Alfred Tarsky define la verdad para las ciencias formales (Lógica y Matemática) señalando : Formalmente , un enunciado es verdad, cuando se dice que es de tal manera determinada , siendo de tal manera determinada (repetir las cosas tal como son). CARACTERÍSTICAS DE LA VERDAD * La verdad no es lomismo que la afirmación (la verdad se puede afirmar o negar). * La falsedad no es lo mismo que la negación (la 448 falsedad se puede afirmar o negar). * Solo la proposición , el enunciado puede ser verdadero o falso ; jamás verdadero y falso, pues estaría contra el principio de no contradicción. LA VALIDEZ Es el producto de un proceso racional , caracterizado por la aplicación de un conjunto determinado de reglas : si se respetan todas ellas el razonamiento (inferencia) es válido; si se viola una de ellas , es inválida . CARACTERÍSTICAS DE LA VALIDEZ : * Todo razonamiento (inferencia) es válido o inválido. * Todo razonamiento es correcto o incorrecto : Tiene que ver con la estructura del razonamiento: CORRECTO: Si es que está bien estructurado. INCORRECTO: Si está mal estructurado. * No es lo mismo correcto que válido , ni incorrecto que inválido. * La verdad o falsedad de las proposiciones que forman un razonamiento , no tiene nada que ver con la validez o invalidez del mismo. * Un razonamiento incorrecto es necesariamente inválido. CLASES DE VERDAD La lógica clasifica la verdad de manera particular: 1) VERDADES EMPÍRICAS : (Llamadas también: fácticas, objetivas aposteriori , sintéticas , etc.)Aquellas que se toman y comprueban en la realidad. * A POSTERIORI : Se dan después de la experiencia, luego de haber practicado , luego de haber conocido. * SINTÉTICAS : Se comprueban en la realidad, en la experiencia. Las Verdades Empíricas se pueden clasificar en: A)RELATIVAS : Es producto de la suma , la relación de varias verdades particulares. EJEMPLO : • Los mamíferos son cordados. • Todos los pianistas son músicos. • Ningún insecto es vivíparo. • Algunos limeños son médicos. B) ABSOLUTAS : Se definen como percepción inmediata , se nos dan inmediatamente, directamente a los sentidos. EJEMPLO: • Puerta de madera. • Olor agradable. • Gato pequeño. • Pared blanca. 2) VERDADES LÓGICAS : (Llamada también : formales , racionales, abstractas, a priori , analíticas , etc.)Aquellas que sólo se obtienen y comprueban racionalmente , a nivel mental. * APRIORI : Se dan antes de la experiencia, antes de haber conocido. *ANALITICAS : Sólo se comprueban a nivel racional, a nivelmental. Se pueden clasificar en: A) INTRÍNSECAS: Se aceptan como verdad, no se discuten , tienen carácter axiomático. EJEMPLO: • El triángulo tiene tres lados. • 2 + 4 = 6 • La suma de los ángulos internos de un triángulo , da 180°. • El todo es mayor que la parte. B) DERIVADAS : Producto de la relación entre proposiciones . Son razonamientos. EJEMPLOS : • Los animales son seres vivos , el león es un animal . De ahí que el león es un ser vivo. • Todo número par es divisible entre 2 ; 6 es divisible entre 2 . Luego 6 es un número par. • Los caballos vuelan , los unicornios son caballos. De ahí que los unicornios vuelan. FUNCIONES BÁSICAS DEL LENGUAJE: Lenguaje® Materialización del Pensamiento. 1) FUNCIÓN INFORMATIVA REFERENCIAL O DESCRIPTIVA : Es aquella que se encarga de comunicar información que proviene de la realidad que nos rodea , hace referencia o describe al Mundo Objetivo , mediante el uso de oraciones verdaderas o falsas (proposiciones). Es el lenguaje utilizado por las ciencias: EJEMPLOS : • La lógica es una ciencia abstracta. • Todo mamífero es un ser vivo. 449 • Trujillo es la capital de la primavera. • Me preparo en «MARTE». • Francia es un país latino. 2) FUNCIÓN EXPRESIVA: Se encarga de comunicar acontecimientos que ocurren en el Mundo Subjetivo , es decir vivencias. EJEMPLOS : * La vida es hermosa y vale la pena vivirla. * ¡Oh más dura que el mármol , Galatea!. * Dios mío , estoy llorando el ser que vivo. * Me gusta el vestido que compraste. * Te amo , ven a mis brazos. 3) FUNCIÓN DIRECTIVA , APELATIVA O ACTITUDINAL : Se encarga demodificar , inducir o impedir la realización de acción determinada utilizando para ello oraciones exclamativas, clasificándose en órdenes, pedidos, sugerencias, preguntas, consejos,mandatos, súplicas, insinuaciones , etc. EJEMPLOS : * Siéntate y escucha lo que to digo. * Prohibido arrojar basura bajo pena de arresto. * ¿Cuándo será el examen de la UNI ?. * «Más vale ser cabeza de ratón que cola de león» EL LENGUAJE LÓGICO Es un lenguaje formal , porque es sintáctico , es decir, es una estructura formal . Está constituido por conectivos o constante lógicas (enlaces lógicos). EJEMPLO: Si.......entonces........ : .......si y solo si................... ; etc. Es un lenguaje simbólico artificial , convencional , escrito , constituido por un conjunto de signos cuyo objetivo principal es la precisión y la operatividad . El lenguaje simbólico es todo un cálculo compuesto por signos primitivos, reglas de formacion y reglas de transformación. EJEMPLOS : * Si es invierno y llueve , entonces hace frío. Si (p y q) entonces r Donde : p , q y r son variables proposicionales Si (... y ...) entonces ...... son consonantes lógicas. Por lo tanto: (pÙ q)®r es una fórmula lógica , exacta y operativa. El lenguaje Lógico es unívoco , porque a cada término le corresponde un solo significado. LOGICA MATEMÁTICA Es llamada también lógica de las proposiciones sin analizar , tiene por objeto de estudio a las proposiciones y su formalización con la finalidad de determinar sus valores lógicos. ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa una idea . PROPOSICIÓN : Se denomina así a las expresiones linguísticas de las cuales se puede afirmar que son verdaderas o falsas. CARACTERÍSTICAS : * Toda proposisión es una oración aseverativa , pero no toda oración es una proposición. * Toda proposición o es verdadera (V) o falsa (F) (no puede ser ambas al mismo tiempo , ni ninguna) * Dentro del razonamiento la proposición puede ser premisa o conclusión. * La proposición verdadera o falsa se puede afirmar o negar. * Los enunciados matemáticos tienen el rango de proposición. EJEMPLO : • Los futbolistas son deportistas.........................(V) • Todo africano es asiático ...................................(F) • La botánica estudia a las plantas.......................(V) ENUNCIADOS NO PROPOSICIONALES No toda expresión es proposición y hay que considerarla para evitar errores . Entre los enunciados que no son consideradas proposiciones tenemos : I) ORACIONES DEL TIPO : A) DESIDERATIVAS : Expresan deseos , anhelos. EJEMPLO : !cuanto daría por tenerlo ¡ B)IMPERATIVAS: Expresan exhortación , mandato o prohibición. EJEMPLO : te prohíbo que salgas con él. C)INTERROGATIVAS : son aquellas en las cuales se pregunta algo . 450 EJEMPLO : ¿has pensado que carrera vas a seguir ? D)EXCLAMATIVAS : Expresan sorpresa o admiración que nos causa una cosa o hecho. EJEMPLO : ¿y dale CIENCIANO ? II) SEUDO PROPOSICIONES : son expresiones aseverativas de las cuales no tiene sentido decir si son verdaderas o falsas EJEMPLO : mi perro está enamorado III) DESCRIPCIÓN DEFINIDA : son expresiones que se pueden reemplazar por un nombre propio. EJEMPLO : «el cantor de américa» IV) PARADOJAS : son expresiones del lenguaje , de tipo contradictorio o sin sentido son V y F a la vez. EJEMPLO : « yo siempre miento » V) FRASES: «Dádme un punto de apoyo y moveré el mundo» VI) POEMAS: «Hay golpes en la vida tan fuertes yo no sé golpes como el odio de Dios ......................................» VII) REFRANES: «Camarón que se duerme , se lo lleva la corriente » VIII)FUNCIONES PROPOSICIONALES son oraciones aseverativas que no son V ni F porque en ellas figura una o más letras no interpretadas . EJEMPLO : x+a=11 ENUNCIADOS ABIERTOS : son enunciados que pueden tomar cualquiera de los dos valores de verdad. EJEMPLO : *Si P(x) : x>6 se cumple que : P(9)=9>6.............................es verdadero P(2)=2>6............................es falso el valor de verdad de P(x) depende del valor de x , también , se le conoce como función proposicional. CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones se clasifican básicamente en : simples y compuestas. PROPOSICIONES SIMPLES (ATÓMICAS) Son siempre afirmativas y no se pueden descomponer. Pueden ser : A) PREDICATIVAS : Aquellas que presentan , en su estructura, sólo un sujeto y un solo predicado (el sujeto puede hallarse tácito). EJEMPLO : * Los huancaínos son alegres. * Las ballenas son mamíferos. * Camina. B) RELACIONALES (COMPARATIVAS): Presentan en su estructura dos sujetos o más, que se comparan entre sí con una sola característica , a partir de los llamados términos relacionales : más que , menos que , parecido a , etc. EJEMPLO : * Jonás es más leal que Judas. * La Trigonometría esmás compleja que la Geometría. COMPUESTAS (MOLECULARES , COLIGATIVAS): Está constituída por más de una proposición simple unida por las conectivas «y» , «o» , «entonces» , «si y sólo si» o la negación (no). Son las siguientes: A) NEGATIVAS : Son las que presentan la negación (no , no es cierto que , es falso que , es mentira que , no ocurre que , etc.) EJEMPLO: * Rocío no es menor de edad. * Es falso que el gallo y la gallina sean acuáticos. B) CONJUNTIVAS : Presentan como conectiva a la «y». La conjunción puede hallarse tácita, o puede ser reemplazada por sus sinónimos : Como , pero , a la vez , además , incluso , también , aunque , a pesar , sin embargo , ni 451 , etc. EJEMPLO: * Nelly y Roger son médicos * Ruby es matemática también literata. C) DISYUNTIVAS : Presentan como conectiva a la «o»; «u»; «o ... o...», son de dos tipos: INCLUSIVA O DÉBIL : Cuando de las alternativas que se proponen se cumplen todas ellas , ya sea al mismo tiempo o de manera alternada. EJEMPLO : * Jennifer es cantante o abogada . * La mesa es un mueble o es de madera . EXCLUSIVA O FUERTE : («o»; «u»): Cuando de las alternativas que se proponen se cumple solo una y se excluye la otra. EJEMPLO : * César Vallejo murió en Lima o en París. * o corremos o caminamos. D) CONDICIONAL (IMPLICATIVA) («o ... o...») : Presentan como conectiva la palabra «Entonces» o sus equivalentes: luego , por lo tanto , en conclusión , en consecuencia , de ahí , etc. Esta proposición indica una relación de causa – efecto , (antecedente – consecuente) La condicional se puede hallar tácita, sobrentendida. Su esquema básico es: Antecendente Consecuente (A) (C) Si ............ entonces ............ Se divide en: I) CONDICIONAL DIRECTA (ORDENADA): Aquí se presenta primero el antecedente y luego el consecuente (causa – efecto). EJEMPLO: Antecendente Consecuente (A) (C) Si estudio entonces aprendo. II) CONDICIONAL INDIRECTA (DESORDENADA) : Aquí se presenta primero el consecuente luego el antecedente. Se usa las conectivas: dado que, puesto que , ya que , porque , si, siempre que , cada vez que , etc. EJEMPLO : Antecendente Consecuente (A) (C) Alextrabaja porquenecesitadinero E)BICONDICIONAL (DOBLE IMPLICACIÓN, EQUIVALENCIA): Presentan como conectiva a «Si y sólo si», o sus equivalentes: cuando y sólo cuando, entonces y sólo entonces, etc. EJEMPLO : * Edwin corre si y sólo si quiere llegar a la meta. * Héctor se baña cuando y sólo cuando lo invitan a un matrimonio. FORMALIZACION EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL (SIMBOLIZACIÓN) La simbolización de proposiciones , consiste en la representación del lenguaje ordinario mediante el lenguaje artificial (convencional). Formalizar , significa reemplazar cada proposición por una variable y cada conectivo (término de enlace) o modificador (la negación) por un operador lógico , todo ello correctamente jerarquizado mediante signos de agrupación. VARIABLES : Se utilizan para representar a las proposiciones simples. Son las letras minúsculas: p ; q ; r ; s ; t ; etc. EJEMPLO : p p q * Juan Pablo es compositor. * Rosario es empresaria estudiante universitaria.    así Como OPERADORES LÓGICOS : Son de dos tipos: A) DIÁDICOS : Se utilizan para representar a las conectivas (términos de enlace) Conectivas y o o o Operador ... ... ... ... ... ... si...entonces... ...si y solo si...      Operadores en el sistema Scholz  452 EJEMPLO :  * Si practicamos entonces aprendemos. * Los leones son salvajes y carnívoros .    B) MONÁDICO : Sirve para reemplazar al modificador «no» o sus expresiones equivalentes (no es cierto , es falso que, no es el caso que, etc.) Modificador no Operador  EJEMPLO : * Marte no es una estrella .  * No es cierto que, las gallinas tengan 2 patas y no sean aves.    SIGNOS DE AGRUPACIÓN : Se utilizan para agrupar a las variables y operadores así como , darles jerarquía . Son los siguientes: * Paréntesis ( ) * Corchetes [ ] * Llaves { } * Barras JERARQUIZACIÓN : Jerarquizar significa agrupar las variables y los operadores dentro de los signos de colección , llamados también de agrupación. Para jerarquizar hay que tener en cuenta los siguientes requisitos: * Sólo presentan jerarquía los conectivos lógicos ( y , o , entonces , si y solo si , etc.) * Para realizar una correcta jerarquización hay que tener en cuenta los signos de puntuación del texto a jerarquizar , en cuanto ellos indican la ubicación de los signos de colección. * En el texto , el punto seguido tienemayor jerarquía, le sigue en 2do. lugar el punto y coma , y en 3er. lugar la coma. REGLAS PARA JERARQUIZAR : I) Donde esté ubicado el signo de puntuación más importante del texto , ahí se encuentra ubicado el conectivo principal. II) Donde se encuentre un signo de puntuación ahí se abre o cierra un signo de colección (paréntesis , corchete o llave) III) El conectivo que se encuentre fuera o en la parte más externa de los signos de colección es el que tiene mayor jerarquía. IV) Si encontramos un texto donde se presente una sucesión de idénticos signos de puntuación , será mayor el que presente como conectivo entonces , luego o cualquiera de sus sinónimos. V) La negación antecede a la variable ( p), no enlaza proposiciones , pues no es conectivo (p q) EJEMPLO : p q r Esther estudia física y química * , oestudialógica. Sin embargo s estudiamatemática . * p y q , o r . Sin embargo s ( re empla zando proposiciones) * pÙ q , Úr . Ù s (reemplazando conectivos)   jerarquia 2 jerarquia 1 [(pÙ q)Ú r]Ù s ..........(jerarquizando) FÓRMULAS : Es el resultado de la correcta formalización y jerarquización de las proposiciones o inferencias. EJEMPLO : p q * Newton fue físico y matemático. Ù   Fórmula : pÚ q Nombre : fórmula conjuntiva p q Si el agua del río es dulce ,entonces puede ser para el consumo humano o servir para regar los sembríos     * ® Ú r detomate. Fórmula: p®(qÚ r) Nombre: Fórmula condicional NOTA : Si al formalizar , encontramos al condicional inverso, se debe permutar las proposiciones que conforman el condicional. EJEMPLO : Condicional inverso p q *Lucyparticipaenelcursodeactualización porque tienedinero Fórmula: q® p Nombre : Fórmula condicional inverso FÓRMULAS BIEN FORMADAS (fbf) Obedecen a las siguientes reglas de formación: I) Cada variable proposicional es una f bf EJEMPLO : p , q , r ,............ II) Si A es una f bf entonces A es una f b f. 453 EJEMPLO: * p *p * q *q III) Si A y B son f b f s entonces AÙ B; AÚ B; ADB; A® B; A« B son f b f s. EJEMPLO: * p q * p q * (p q) (r s) * p q * p q * (p )q) r (p q) * p q * (p q) r * p q r * p q r Ù D Ù Ú ® Ú « ® « Ú ® ® Ú ® Ù Ù Ú Ú [ ] IV) Ninguna otra es una fbf. en caso contrario son fórmulas mal formadas (fmf) EJEMPLO: * p q Es una fmf porque la negación no es un operador diádico. *« pÙ q Es una fmf porque el operador « », no es monádico y debe estar entre variables (Ejemplo : p « q) * pÚ qÙ r Es una fmf porque no se puede determinar cuál de los operadores tiene mayor jerarquía , dado que le falta el signo de agrupación. EJEMPLO: pÚ q)Ú r JERARQUIZACIÓN DE FÓRMULAS En cualquier fórmula lógica , el operador que tiene mayor jerarquía es aquel operador diádico fuera o en la parte más externa de los signos de agrupación (divide a la fórmula en dos) o en todo caso la negación libre. EJEMPLO : Mayor jerarquía Menor jerarquía 2 1 * (p q) r * (p q) (p r) (r  s) Mayor jerarquía 1 Mayor jerarquía 1 2 3 2 3 * (p q) (r s) Menor Jerarquía * p (q  p)  (qr) Mayor jerarquía 1 2 4 3 4 5 USO DE LOS PUNTOS AUXILIARES : Se utilizan dentro de la simbología . Estos puntos auxiliares, sirven para determinar la jerarquía de los operadores diádicos en reemplazo de los signos de agrupación. EJEMPLO : p q y Si p q * El alcohol el cigarro son dañinos para la salud= p q Noriega es astronauta entonces viaja a la luna Ù    Ù   = p® q REGLAS PARA EL USO DE PUNTOS AUXILIARES I) La conjunción tiene mayor jerarquía que cualquier otro operador que no tenga o este afectado por puntos. EJEMPLO : 1 Mayor jerarquía p  q r 2 1 2 Mayor jerarquía (p q) ( r s) II) El operador diádico con mayor número de puntos es el de mayor jerarquía , si y solo si no esté limitado por los signos de agrupación. EJEMPLO : * p q    r 2 1 Mayor jerarquía 1 2 Mayor jerarquía 3 * r : : p   p v r III) Al operador monádico (negación) no se le puede asignar puntos auxiliares, porque estos se asignan solamente a los operadores diádicos. De ahí que cuando se trata de una negación libre, es necesario utilizar los signos de agrupación. Conjunción p y q Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional Negación ó v ó ó ó  .       Proposición Operador Estructura formal fórmula  p q p o q p q o p o q p q si p entonces q p q p si solo si q p q no p p       454 EJEMPLO: 1 3 Mayor jerarquía 2 * p  q . r *  p  q :  : q .  . r . s 1 Mayor jerarquía 3 4 2 3 4 FUNCIONES VERITATIVAS TABLAS DE VERDAD I) FUNCIONES VERITATIVAS : Son interpretaciones semánticas de las posibilidades de verdad o falsedad de las proposiciones moleculares en base a sus conectivas o el modificador. Son las siguientes: A) NEGACION( ): Lógicamente se rige por la siguiente regla: «La negación de una proposición verdadera es falsa . La negación de una proposición falsa es verdadera». Esquemáticamente, se representa por la siguiente tabla de verdad: p p V F F V  Esto significa que si «p» es V, su negación F o viceversa. B) CONJUNCIÓN  : La función veritativa de la conjunción se rige por la siguiente regla: «Una proposición conjuntiva es verdadera cuando todas sus proposiciones componentes son verdaderas , siendo falsa en los demás casos». Esquematicamente, se tiene: p q p q V V V V F F F V F F F F Ù C) DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DÉBIL(Ú) En este caso es: «Es falsa sólo cuando todos sus componentes son falsos, en los demás casos es verdadera ». Esquematicamente , se tiene: p q p q V V V V F V F V V F F F Ú D) DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE (D): La regla que lo rige es : «Una proposición disyuntiva fuerte es falsa cuando sus componentes tienen valores iguales, en los demás casos es verdadera». Esquematicamente, se representa: p q p q V V F V F V F V V F F F  La disyunción al igual que la conjunción , goza de las propiedades conmutativa, asociativa e idempotencia. E) CONDICIONAL (®): La regla que lo rige es: «Una proposición condicional es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadero en los demás casos». La función veritativa se expresa en el siguiente esquema: p q p q V V V V F F F V V F) BICONDICIONAL : F F V La regla que rige es: «Una proposición bicondicional es verdadera cuando sus dos componentes tienen valores iguales , y es falsa cuando sus dos componentes tienen valores distintos». Esquematicamente, se tiene : p q p q V V V V F F F V F F F V G) NEGACIÓN CONJUNTA  : La regla que rige es: «Una proposición negativa conjunta es verdadera cuando sus dos componentes tienen valores falso(F)». Esquematicamente, se tiene : p q p q V V F V F F F V F F F V  EJEMPLO: Ni picasso pintó la gioconda , ni fujimori es peruano. 455 H)NEGACIÓN ALTERNA( I ) : La regla que rige es: «Una proposición negativa ALTERNA es falsa cuando sus dos componentes tienen valores verdaderos (V)». Esquematicamente, se tiene : p q p q V V F V F V F V V F F V I EJEMPLO: la imitación no es exclusiva del hombre o no es exclusivo del mono. Conjunción Disyutiva Disyutiva condicional 222 Negación débil fuerte Scholz Russell p q p q p q p q    Ù Ú D ® « Ú º/ É º Ù Ú D p q p q p V V V V F V V F V F F V V F F V F V F V V V F F F F F F F V V V ® «  EJEMPLOS 1: Si: p = F , q = V y r = F; indicar el valor de verdad (verdadero o falso) de las siguientes fórmulas: I)(qÚ p)«(r«p) II) [r É q .Ú. (p . q)] RESOLUCIÓN : I) (q  p)(r p) * PASOS A SEGUIR : 1) Asignar los valores correspondientes a cada variable: (q Ú p)«(r« p) V F F F 2) Evaluar las fórmulas de acuerdo a las reglas de las funciones veritativas : V V (q p) (r p) V F F F V Ú « «   3) El valor final se obtiene del operador principal (mayor jerarquía). Resultado = V.............................(VERDADERO). NOTA : Para resolver el ejercicio siguiente procedemos en forma directa , porque ya conocemos los pasos que se siguen. II ) r  q . . (p . q) F V V V F V F V F Resultado: F ............................................(FALSO). EJEMPLOS 2: Si la fórmula (proposición simbolizada) (pÙ q)®(pÚ s) , es falsa, halle los valores de p; q y r ; respectivamente: RESOLUCIÓN : * PASOS A SEGUIR : 1) El valor de verdad de la fórmula se ubica en el operador principal (mayor jerarquía). (p q) (p r) F Ù Ú ® 2) Se procede a dar el valor correspondiente a cada fórmula o variable de acuerdo al valor dado del operador principal , que cumpla con las reglas de las funciones veritativas. (q p) (r p) V F F F V F F Ù Ú ® 3) Luego obtenemos el valor de cada variable. p=V q=F r=F * Resultado : VFF. TABLAS DE VERDAD Y ESQUEMAS LÓGICOS TABLAS DE VERDAD : Llamadas también de valores, tablas veritacionales, método de las matrices o Algoritmos. Son gráficos en los que se representan todos los valores de verdad o falsedad que pueden asumir las distintas interpretaciones de un esquema o fórmula lógica. FORMULA : C = 2n C = Número de líneas o arreglos que tendrá las tabla. 2 = Constante numérica n = Número de variables GRÁFICO :    Variables Fórmula Lógica de la fórmula Combinaciones de V y/o F (matri Margen Izquierdo  z (ces)) Cuerpo Para hallar los valores de Verdad o Falsedad de la matriz principal de una fórmula lógica, en la Tabla de Verdad , es necesario emplear las funciones veritativas. 456 PASOS A SEGUIR PARA EVALUAR LAS FÓRMULAS LÓGICAS 1) Ubicar la fórmula en el lugar correspondiente de la Tabla. 2) Jerarquizar la fórmula. 3) Determinar el número de arreglos mediante la fórmula respectiva. 4) Evaluar la fórmula de acuerdo a las reglas de las funciones veritativas , procediendo de la matriz de menor jerarquía , hasta llegar a la matriz de mayor jerarquía. EJEMPLOS: Determinar la matriz principal de las siguientes fórmulas: I)p® q II)(p Ú q)Ù(r Ú p) III) p RESOLUCIÓN : de arreglos MATRIZ n 2 I) p q p q V V V # : V F F C = 2 F V F C = 2 =4 F F V ®  # de arreglos C=2n C=23=8 p q r (p q) (r p) V V V V V V V V F V V V V F V V V V II) V F F V V V F V V V V V F V F V F F F F V F F V F F F F F F Ú Ù Ú de arreglos n 1 p p # C ) V F C = 2 F V C = 2 =2  ESQUEMAS LÓGICOS (E. L.) : Son fórmulas lógicas (proposiciones formalizadas) las cuales pueden asumir funciones veritativas determinadas . Pueden ser : 1) TAUTOLÓGICOS (T): Son aquellos cuyamatriz principal contiene únicamente valores de verdad . Se le llama también «Principios Lógicos». EJEMPLO : [ ] 1 2 3 1 2 p q (p q) q p F V F F V F F V V V V V ® Ù  ®  E. L. Condicional Tautológico 2) CONSISTENTES (Q): Llamados también esquemas contingentes . En estas fórmulas lógicas , lamatriz principal de su tabla veritativa presentan por lo menos un valor de verdad y uno de falsedad. EJEMPLO: 3 2 1 2 p q (p q) q p V V V V F F V F F F V F F V V V V V F F V F F V [   ]   E. L. Bicondicional Contingente * Son conjuntos comparables: A y B ; B y C; B y D; C y D Conjuntivo Disyuntivo inclusivo Disyuntivo Exclusivo Condicional Equivalente Negativo V V = V F F = F F F V V V F F V F = V V F F V será F F será V C=2n C=22 C=4 p q V V V F F V F F V V F F V F F F V V F F V V F F V V V V F F V F F F V V F V F V F V V F V V F F V F V V F V V F V V F F V F F V V V F F F V V F F V C=2n C=21 C=2 p q p q p q p q p q p Matriz principal o cifra tabular FUNCIONES VERITATIVAS 457 CONTRADICTORIOS : Son fórmulas formalmente falsas , la matriz principal de su tabla de verdad solo contiene valores falsos. EJEMPLO : p q (p q) (p q) F F F F [  E. L. conjuntivo contradictorio . IMPLICACIÓN (Þ)y EQUIVALENCIA(º) DE PROPOSICIONES – INFERENCIAS I) LA IMPL ICACIÓN y LA EQUIVALENCIA: La implicación y la equivalencia son funciones de la Lógica que se utilizan para relacionar dos o más fórmulas lógicas (proposiciones) con la finalidad de establecer una tautología. LA IMPLICACIÓN(Þ): Se dice que «A implica a B» cuando unidos por el condicional, «A» como antecedente y «B» como consecuente , la relación es válida o lógicamente verdadera. EJEMPLO : A = p q B = p q «A implica a B» = A  B p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F V F    PROPIEDADES DE LA IMPLICACIÓN * REFLEXIVA : «Cualquier fórmula (A) se implica a sí misma A  A * TRANSITIVA : Si «A implica a B» y «B implica a C» entonces: «A implica a C» (A B)(B  C)  (A  C) * Cualquier fórmula implica a una tautológica (T): A  T * Una contradicción (F) implica a cualquier fórmula: F  A LA EQUIVALENCIA(º) : Se dice que «A» equivale a B» cuando unidas «A» y «B» por la bicondicional se obtiene una relación lógicamente verdadera o una tautología. EJEMPLO: A = p ®q B = q   p A B : «A equivale a B» PROPIEDADES DE LA EQUIVALENCIA * REFLEXIVA: Cualquier fórmula equivale a sí misma : A º A * SIMETRICA: «Si A equivale a B», entonces «B equivale a A»: (A º B) ® (B º A) * TRANSITIVA: «Si A equivale a B» y «B » equivale a C», entonces «A equivale a C» (Aº B)Ù(BºC)® AºC * Todas las tautológicas son equivalentes: T1 º Tn * Todas las fórmulas contradictorias son equivalentes: f1 º fn LAS INFERENCIAS El objetivo de la Lógica es estudiar el analisis formal de validez de las inferencias . Es decir , que el análisis formal permite simbolizar las inferencias en esquemas moleculares y demostrar con seguridad (mediante diversos métodos veritativos) su validez o invalidez. Se desprende que el objetivo más importante de la Lógica en su aplicación a la ciencia y al discurso cotidiano es la ‘‘justificación y crítica de la inferencia’’ Una inferencia, llamada también argumento o razonamiento es una estructura de proposiciones en la que a partir de una o más proposiciones llamadas «premisas» (antecedentes), se obtiene otra , llamada «conclusión» (consecuente). De tal modo que , la inferencia tendrá forma condicional. EJEMPLO: { 1 2 P : Si es temporada veraniega, entonces hace calor Premisas P : No hace calor Conclusión C : No es temporada veraniega ìïïïïï ïíïïïïïï î  CLASES DE INFERENCIAS : Esta clasificacion se hace teniendo en cuenta alas Inferencias Deductivas. 458 I) INFERENCIAS INMEDIATAS : Cuando sólo están formadas por dos proposiciones: premisa y conclusión. P1 : Todo cuadrúpedo es vertebrado C : Algunos vertebrados son cuadrúpedos II) INFERENCIAS MEDIATAS : Cuando están formadas por más de dos proposiciones: êëP1 Ù P2 Ù Ù PnúûÞ Conclusión EJEMPLOS: * P(1) : Todos los cuerpos caen P(2) : Las rocas son cuerpos C : La rocas caen * P(1) : Todos los peruanos son emprendedores P(2) : Raúl es Peruano C : Raúl es Peruano es emprendedor * P(1) : Si un satélite gira alrededor de la Luna, entonces gira también alrededor de la tierra. * P(2): Si gira alrededor de la Tierra , también gira alrededor del Sol. * P(3) : Si gira alrededor del Sol , entonces gira alrededor de la constelación de la Lira. C : Si un satélite gira alrededor de la luna, entonces gira alrededor de la constelación de la Lira. B) CRITERIOS PARA FORMALIZAR INFERENCIAS : Para simbolizar una inferencia se debe tener en cuenta los siguientes pasos : I) Se debe distinguir las premisas de la conclusión ; por lo general , la conclusión se halla al final del argumento (pero no siempre). II) Las premisas siempre están separadas por signos de puntuación y forman el antecedente del argumento , la conclusión es el consecuente del mismo. III) Las premisas se unen con la conclusión a partir del enlace condicional directo o indirecto. IV) Se simbolizan las premisas y la conclusión respectivamente , considerando los conectores lógicos. EJEMPLO 1: « Si las pistas están mojadas entonces ocurren los accidentes ; pero , no ocurren accidentes. En consecuencia, las pistas no están mojadas». * Las premisas están separadas por signos de puntuación y la conclusión se halla al final del argumento: P(1): Si las pistas están mojadas ocurren los accidentes. P(2): Pero no ocurren los accidentes C: En consecuencia , las pistas no están mojadas * SIMBOLIZANDO: Si entonces En consecuencia 1 1 2 2 P : p q P : p q P : Pero q P : q C : p C : p ® üïïïïýïïïï þ     * TRASLADANDO A LA FORMA HORIZONTAL : P1 P2 Pn C (p q) q p êë Ù Ù Ù úûÞ ê ® Ù ú Þ êë úû    * Nótese que las premisas se unen mediante el enlace conjuntivo a la vez , las premisas se unen a la conclusión mediante el enlace condicional. EJEMPLO 2 : «Emelly cantará en público si y sólo si asisten muchas personas al teatro. Ocurre que asisten muchas personas al teatro si y sólo si las entradas han sido rebajadas. Por lo tanto. Emelly cantará en público si y sólo si las entradas han sido rebajadas» * SIMBOLIZANDO : 1 2 P : p q P : q r C : p r Si y sólo si Si y sólo si Si y sólo si 1 2 P : p q P : q r C : p r      Antecedentes Consecuente 1 2 (p q) (q r) (q r) (P P ) C     EJEMPLO 3 : « Sebastián no irá de campamento si se portó mal. Sí se portó mal, se quedará ayudando en casa. Entonces , Sebastián no irá de campamento y se quedará ayudando en casa» * SIMBOLIZANDO : si si 1 1 2 2 P : p q P : q p P : q, r P : q r C : p y r C : p r üï ® ïïï ® ýïïï ïþ Ù     * TRASLADANDO A LA FORMA HORIZONTAL : [(q® p)Ù(q®r)]Þ( pÙ r) 459 EL MÉTODO ABREVIADO O MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO Es un procedimiento decisorio , es decir nos permite determinar la validez o la invalidez de un razonamiento o inferencia. Se utiliza con el propósito de abreviar el método de las Tablas de Verdad. REGLAS : I) Se coloca el valor de verdad a las premisas y el valor falso a la conclusión. Es decir: P1 P2 P3 Pn C V V V V F Ù Ù Ù Þ II) Se debe deducir el valor de las variables y operadores del esquema , trasladando los valores encontrados. EJEMPLO : * P(1) : p q (r q) [(p q) r] P(2) : r V V F C : r q ® ® º ® ® º Ù III) Si cada una de las variables u operadores del esquema cumple una sola función veritativa , es : MONOVALENTE (V ó F todo el tiempo), entonces la inferencia será inválida. IV) Si cualquiera de las variables u operadores del esquema cumple un doble valor veritativo , es BIVALENTE (V y F al mismo tiempo), entonces la inferencia es válida o correcta. Operando: [(p  q) r] (r  q) V F V V F F F Nótese que todas las variables y operadores son monovalentes , es decir cumplen una sola función veritativa . Por lo tanto , dicha inferencia es inválida o no correcta. OTRO EJEMPLO : V F V F F F V 1 2 P : p q [(p q) q] P : q C : q      * Nótese que la variable «p» cumple un doble valor a la vez (bivalencia) , por lo tanto la inferencia es válida. 1 2 3 P : p q P : q r [(p q) (q r) (r s)] (p s) P : r s V F F V F V F V F F C : (p s)              F F Bivalencia=Válido 1 2 P : (q r) [(q r) ( r p)] (q p) P : ( r p) VV VFF C : (q p)              V Monovalencia = Inválido o incorrecto VALIDEZ DE LAS INFERENCIAS POR TABLAS DE VERDAD Las Tablas de Verdad , también , se utiliza como método decisorio , para determinar si una inferencia es válida o inválida . Luego de formalizar una inferencia , se evalúa en la tabla y , si su matriz principal es una Tautología , la inferencia es válida, en los demás casos es inválida. EJEMPLO : Determinar si la siguiente inferencia es válida: «Si Jennifer compra el auto , se irá de paseo ; pero , no se irá de paseo , consecuentemente, Jennifer no compra el auto» * FORMALIZANDO : I) REEMPLAZANDO LAS PROPOSICIONES : Jennifer compra el auto = p Jennifer se irá de paseo = q II) ESTRUCTURA FORMAL : Si: p , q pero , no q consecuentemente , no p. III) FORMULA FINAL : [(p® q)Ù q]® p * EVALUANDO POR TABLAS DE VERDAD : V F F V F F F V V F V F F V V V V V V V [ ] 3 2 1 p q (p q) q p V V V F F V F F     de arreglos n 2 # C = 2 C = 2 = 4 Matriz Principal * RESPUESTA : Esquema lógico condicional Tautológico PRINCIPIOS LÓGICOS Un Principio Lógico , es el fundamento de toda verdad lógica (Tautología) . De un principio lógico podemos generar tautologías indefinidamente , y , a la vez , cualquier tautología del universo lógico puede reducirse a un principio lógico . Son conocidos los tres principios. PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS I) PRINCIPIO DE IDENTIDAD : Establece que si se afirma una proposición, se concluye la misma ; si una proposición es verdadera entonces 460 es verdadera , una proposición sólo es idéntica a sí misma . En el plano de la realidad , toda cosa es idéntica a sí misma. Simbólicamente se expresa por : A A ; A A p p ; p p     EJEMPLO : «S» el libro es de matemática se deduce que el libro es de matemática. II) PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN Establece que inadmisiblemente una cosa sea y no sea a la vez. Es imposible que una proposición sea verdadera y falsa a la vez , que una cosa exista y no exista al mismo tiempo. Su formulación simbólica es: (A A) ; (p p) Ù Ù     Leyes Con variables Equivalentes Con valoresde esquema proposicionales    1)Doble Negación A A p p (DN) A A     p p 2) Idempotencia A A A p p p (Idem) A A A p p p 3)Conmutativa (Co          A B B A p q q p A B B A p q q p nm) A B B A p q q p A B B A p q q p A (B C) (A B) C 4) Asociativa (Asoc.) A (B C) (A B) C A (B C                                     p (q r) (p q) r p q r p (q r) (p q) r p q r ) (A B) C p (q r) (p q) r p q r A (B C) (A B) (A C) p q r) (p 5)Distributiva A (B C) (A B) (A C) (Dist.) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (                                                                   q) p r) p q r) (p q) p r) p q r) (p q) p r) p q r) (p q) p r) 6)DeMorgan (A B) A B (p q) p q (DM) (A B) A B (p q) p q 7 ( ( ( ( ( ( (                                          )Defnicióndel A B A B p q p q Condicional (DC) A B A B) p q p q) 8)Bicondicional A B A B) (B A) p q (p q) (q p (DB) A B A B) ( A B) ( ( ((                                  ) p q (p q) ( p q) A (A B) A p (p q) p 9) Absorción A (A B) A p (p q) p (Abs) A ( A B) A B p ( p q) p q A ( A B) A B p ( p q) p q 10)Transpo                                          sición A B B A p q q p A B B A p q q p 11)Exportación (A B) C A (B C) (p q) r p (q r)                       461 EJEMPLO: Es falso que la jirafa sea mamífero y no sea mamífero. III) PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUIDO : Establece que una cosa es o no es , no existe una tercera alternativa . Una proposición es verdadera o falsa , no existe una tercera posibilidad . Simbólicamente se expresa: A A ; p p Ú Ú  EJEMPLO :  el pisco es peruano o no es peruano. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Son leyes que permiten la transformación y simplificación de los esquemas moleculares en esquema más simples y se denominan equivalencias porque tanto la expresión original como la expresión simplificada tienen la misma matriz principal en sus respectivas tablas de verdad.Acontinuación las leyes equivalentes. EJEMPLO : Determinar el equivalente de la siguiente proposición : «Si Federico decide quedarse en la biblioteca después de las clases , entonces repasará la lección de hoy». RESOLUCIÓN : *Pasos a seguir : 1) REEMPLAZANDO LAS PROPOSICIONES SIMPLES : p = Federico decide quedarse en la biblioteca después de las clases . q = Repasará la lección de hoy. 2) ESTRUCTURA FORMAL : Si p entonces q 3) REEMPLAZANDO LOS CONECTIVOS OBTENEMOS : p ® q 4) APLICANDO LA DEFINICIÓN DE LA CONDICIONAL : p q p q p q (p q) ® º Ú ® º Ù    5)REEMPLAZANDO SU EQUIVALENTE RESULTA : * Federico no decide quedarse en la biblioteca después de las clases o repasará la leccion de hoy º pÚ q * Es imposible que Federico decida quedarse en la biblioteca después de las clases y no repase la lección de hoy º (pÙ q) EJEMPLO 2 : Simplificar las siguientes fórmulas : { [ ] } I) [p (p q)] II) p q (q p) } q Ù Ù  ® Ú Ú Ù RESOLUCIÓN : I) [ p (p q)] (p p) q .................. p q............... Ù Ù é ù ê ú ê ú êë úû    Asociativa Idempotencia { [ ]} { [ ]} { [ ]} p q (q p) q II ) p q (q p) q p q (q p) q ® Ú Ú Ù Ú Ú Ú Ù Ú Ú Ú Ù       Fórmula Justificación ......................................... por Condicional Doble negación LÓGICA INFORMÁTICA La lógica constituye el fundamento teórico de la informática , en cuanto le proporciona las herramientas , para la construcción de lenguajes de programación . Entre sus múltiples aplicaciones , la lógica se aplica a la tecnología. En este campo, la lógica se aplica a la construcción de circuitos lógicos y entre ellos los circuitos eléctricos, compuertas lógicos, los diagramas de flujo, etc. CIRCUITOS LÓGICOS Para cualquier fórmula proposicional podemos construir un circuito eléctrico , que resultará más fácil en tanto la fórmula tenga sólo operadores "Ù", "Ú" y/o " ". Los circuitos lógicos están formados por conmutadores o interruptores que son los órganos lógicos que dejan pasar o no dejan pasar la corriente eléctrica. V Cerrado Encendida F Abierto Apagada Estado lógico Interruptor Lámpara Ahora podemos construir los circuitos . El procedimiento que se sigue es el mismo que se emplea en la construcción de computadoras electrónicas . Estos circuitos son de dos clases : en serie y en paralelo. CIRCUITOS EN SERIE : Los circuitos en serie constan de dos o más interruptores donde un interruptor está después de otro y así sucesivamente * El gráfico de un circuito en serie es la representación de una fórmula proposicional conjuntiva, cuya expresión más simple es « pÙ q » , y que se 462 representa de la siguiente manera: 0p0 0q0 batería lámpara p q Para que este circuito quede cerrado y lá lámpara se encienda, «p» y «q» deben estar cerrados , esto es, «p» y «q» deben ser verdaderos a la vez. En otros términos , es la aplicación de la tabla de verdad de la fórmula « pÙ q ». CIRCUITOS EN PARALELO : Los circuitos en paralelo constan de dos o más interruptores , donde un interruptor están en la otra línea y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en paralelo es la representación de una fórmula proposicional disyuntiva , cuya expresión más simple es « pÚ q » , y que se representa así : p q batería lámpara p q p q Para que este circuito quede cerrado y la lámpara se encienda , bastará que uno de los interruptores esté cerrado . Esto es , el circuito quedará cerrado , o bien cuando «p» sea verdadero o cuando «q» sea verdadero , o bien cuando ambos sean verdaderos. Solamente no se encenderá la lámpara cuando los dos interruptores estén abiertos , o sea , cuando «p» y «q», ambos, sean falsos a la vez. Este caso, es la aplicación de la tabla de verdad de « pÚ q » OBSERVACIÓN : Los circuitos lógicos, proporcionan una idea precisa sobre la forma como la lógica proposicional puede ser aplicada al diseño de computadoras electrónicas. Dichos circuitos que son conocidos como circuitos o conmutadores , llaves o switches, han sido, sin embargo, reemplazados por dispositivos más ágiles, conocidos como circuitos lógicos a compuertas, que son más acordes con las exigencias de la tecnología contemporánea.La necesidad de diseñar compuertas está ligada al hecho de que la computadora actual se encuentra en la práctica muy alejada de las llaves o switches, a los que ha sustituido gradualmente por relays, transistores y circuitos integrados (chips). Pero esto no debe llevar a la creencia de que las compuertas complican el manejo lógico de los circuitos, pues la situación es exactamente al revés. Lo facilitan y permiten visualizar mejor la aplicación de las fórmulas lógicas.Una compuerta es un artefacto que , en general , tiene entradas y una salida, las mismas que se representan con líneas. El artefacto mismo se representa convencionalmente por una media luna o por un triangulito y su función es dejar o no pasar un tipo de impulso eléctrico , bajo ciertas condiciones. COMPUERTAS LÓGICAS Las compuertas lógicas son bloques de circuitos que producen señales de salida de «lógica 1» o «lógica 0» si se satisfacen las condiciones de las entradas lógicas; «1» y «0» son las señales binarias o estados binarios de un variable , y los circuitos lógicos que ejecutan las operaciones lógicas de las compuertas NOT ,AND , OR («no», «y», «o» respectivamente en español) son representados en función de sus respectivos estados binarios.Acontinuación , cada una de ellas. COMPUERTA «NOT» : La compuerta NOT o inversor responde a los siguientes estados binarios : p p 1 0 0 1  Si «p=x», entonces«:p»en función algebráica es «x» El circuito completo se representará gráficamente como sigue: p Compuerta NOT p Como se puede apreciar , la compuerta NOT tiene una sola entrada que es la proposición «p»,y una salida que es la proposición «p». La corriente pasará al exterior de la compuerta cuando la lámpara se encienda , pero si la lámpara no se enciende , la corriente no pasará la compuerta . COMPUERTA «AND»: Podemos identificar la compuerta AND con los conmutadores ‘‘p’’ y ‘‘q’’. La función binaria responde a la fórmula ‘‘pÙ q’’ tal como sigue: p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Ù Compuerta AND de dos entradas. p p q q «pÙq» en función algebraica es ‘‘x× y’’y el diseño gráfico que la representa es: La compuerta AND , en este caso , tiene dos 463 entradas , «p» y «q», pero puede tener más de dos entradas. En el gráfico , la única salida es «pÙ q» y representa a la lámpara en el diseño de un circuito eléctrico. COMPUERTA «OR» : La función binaria de la compuerta OR corresponde a la fórmula «pÚ q» como sigue. p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Ú «p Ú q» en función algebraica es «x + y» y el diseño gráfico que la representa es: p q Compuerta OR de dos entradas. p q el gráfico muestra 2 entradas , «p» y «q» , para la compuerta OR . en este caso , la salida es «pÚ q»,que representa a la lámpara en el circuito . p q Compuerta NAND de dos entradas. p q ( ) p q Compuerta NOR de dos entradas. (p q) IMPLICACIONES NOTABLES Llamadas también Leyes Implicativas . Son esquemas condicionales tautológicos , por lo que representan inferencias válidas. En consecuencia , teniendo la(s) premisa(s) podemos derivar inmediatamente su respectiva conclusión. Las más importantes son las siguientes: 1) MODUS PONENDO PONENS (MPP): Si se afirma el antecedente de una premisa condicional , se concluye la afirmación del consecuente de dicha premisa. : A B : A [(p q) p] q B ® ® Ù Þ \ Regla Ley EJEMPLO : 1 2 P : Si llueve en la noche , las pistas estánmojadas. P : Llueve en la noche. C : Luego, las pistas estánmojadas. Formalizando: 1 2 p : q p : p C 9 ® \ 2) MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT): Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye la negación del antecedente de dicha premisa. A B B [(p q) q] p A ® ® Ù Þ \     Regla : Ley : EJEMPLO: P1 : Si eres estudiante de marte , te están preparando adecuadamente. P2 : No te estan preparando adecuadamente. C : Consecuentemente, no eres estudiante de marte. Formalizando:     1 2 P : p q P : q C p 3) SILOGISMO DISYUNTIVO (SD): Si se niega uno de los elementos de una premisa disyuntiva , se concluye la afirmación del otro elemento. A B A B [(p q) p] q A B [(p q) q] p B A Ú Ú Ú Ù Þ Ú Ù Þ \ \     Regla : Ley : EJEMPLO: 1 2 P : Estudio Contabilidad o Economía. P : No estudio Economía. C : Estudio Contabilidad. Formalizando: 1 2 P : p q P : q C p Ú \  4) SILOGISMO HIPOTETICO PURO(SHP): Si de un conjunto de dos premisas condicionales , el consecuente de una de las premisas es la afirmación del antecedente de la otra premisa , entonces del 464 antecedente de una de las premisas se deriva el consecuente de la otra premisa. A B B C [(p q) (q r)] (p r) B C A B [(q r) (p q)] (p r) A C A C ® ® ® Ù ® Þ ® ® ® ® Ù ® Þ ® \ ® \ ® Regla : Ley : EJEMPLO : Si Carnap fue neopositivista , conformó el Círculo de Viena ; y sí conformó el Círculo de Viena , confiaba en la Lógica Simbólica. Por lo tanto , si Carnap fue neopositivista, confiaba en la Lógica Simbólica. Formalizando: 1 2 P : p q P : q r C p r ® ® \ ® 5) CONJUNCIÓN : De un conjunto de premisas , se puede concluir la Conjunción de las mismas. A B (p) (q) p q A B Ù Þ Ù \ Ù Regla : Ley : EJEMPLO: Juan es escritor ,Juan es poeta ; Luego , p q Juan es escritor y poeta p Ù q     Formalizando :   1 2 P : p P : q C p q 6) SIMPLIFICACIÓN : De una premisa conjuntiva se puede concluir cualquiera de sus componentes. Regla : Ley : A B A B (p q) q B A (p q) p Ù Ù Ù Þ \ \ Ù Þ EJEMPLO : P1 : Copérnico fue Astrónomo y Físico. C \ Copérnico fue Astronomo. Formalizando: 1 P : p q C p Ù \ 7) ADICIÓN : De una premisa se puede concluir la disyunción de la misma con cualquier otra fórmula. A p \ AÚ B \ pÚ q Regla : Ley : EJEMPLO : p q q Los estudiantes son inteligentes . Luego , los estudiantes son inteligentes o respevtuosos. Ú    Formalizando : P1 : p C \ pÚ q 8) TRANSITIVIDAD SIMETRICA(TS): Si de un conjunto de dos premisas bicondicionales uno de los componentes de una premisa bicondicional es la afirmación de uno de los componentes de la otra premisa , entonces el otro componente de la primera premisa se da si y sólo si se dá el otro componente de la segunda premisa bicondicional. A B B C [(p q) (q r)] (p r) B C A B [(q r) (p q)] (p r) A C A C « « « Ù « Þ « « « « Ù « Þ « \ « \ « Regla : Ley : 9) DILEMA CONSTRUCTIVO COMPUESTO (DCC): De la disyunción de los antecedentes de dos premisas condicionales se concluye la disyunción de los consecuentes de dichas premisas condicionales. A B C D [(p q) (r s) (p r)] A C (q s) B D ® ® ® Ù ® Ù Ú Ú Þ Ú \ Ú Regla : Ley : 10) DILEMA DESTRUCTIVO COMPUESTO (DDC) : Si, disyuntivamente , negamos los consecuentes de dos premisas condicionales , se concluye disyuntivamente la negación de los antecedentes : A B C D [(p q) (r s) ( q s)] B D ( p r) A C ® ® ® Ù ® Ù Ú Ú Þ Ú \ Ú         Regla : Ley : DERIVACIÓN O DEDUCCIÓN NATURAL Es un procedimiento formal que sirve para demostrar que la conclusión se deduce lógicamente de las 465 premisas o de un conjunto de premisas. Este procedimiento consiste en obtener la conclusión deseada mediante la aplicación de leyes lógicas en una secuencia finita de pasos . Entonces, dado un conjunto de premisas , la deducción lógica debe permitirnos sacar consecuencias que sólo se deriven lógicamente de las premisas ; en otros términos, consecuencias que son implicadas por las premisas. EJEMPLO 1 : Sean las premisas y su conclusión respectivamente: 1 2 3 3 P : p (q r) P : p P : s r C s ® Ù ® \     Indique qué pasos se han efectuado para obtener la conclusión: « s». RESOLUCIÓN: 1 2 3 P : p (q r) P : p P : s r// s ® Ù ® \     4) q Ù r : se deduce de la P1 y P2 mediante (M. P. P.) 5) r :se obtiene al utilizar Simplificación en la P4 6) s : se deduce de la P3 y P5 mediante (M. T. T. ) De esta manera , la derivación queda lógicamente justificada por los pasos efectuados, resultando su validez. EJEMPLO 2 : Sea el razonamiento: «Si hay sol , entonces es verano o iremos a la playa . Hay sol pero no es verano. Por lo tanto , vamos a la playa ». * Para facilitar la demostración , es necesaria la formalización: 1 2 P : p (q r) P : p q r ® Ú Ù \  * Ahora efectuamos la derivación: 1 2 P : p (q r) P : p q// r ® Ú Ù \ 3) p .................................................(2) simplificacion 4) q r ...........................................(1) y (3) M. P. P. 5) q .............. ............................(2 ´ Ú ´  ) simplificacion 6) r .................................................(4) y (5) S. D. ´ ´ CUANTIFICADORES I)CUANTIFICADOR UNIVERSAL : Sea la funcion proposicional f( x ) sobre un conjunto A , el cuantificador " («para todo») indica que todos los valores del conjunto A hacen que la funcion proposicional f( x )sea verdadera. " se lee:«Para todo» EJEMPLO : Sea : f(x) :x3+2>5 donde x Î  La proposición cuantificada es : "x Î  ; x3+2>5 es falsa. II )CUANTIFICADOR EXISTENCIAL : Sea f( x ) una funcion proposicional sobre un conjunto Ael cuantificador $ (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A , la funcion proposicional f( x ) es verdadera. $ se lee : «Existe algún » EJEMPLO 1 : Sea f(x) : x2 – 5<8 -5="" 2="" 5="" 8="" :="" donde="" ejemplo="" es="" la="" n="" p="" proposici="" verdadera.="" x2="" x=""> 7..................(función proposicional) $ x : p(x) $ x : x+ 5 >7 ......................(proposición lógica) para verificar que es una proposición lógica , podemos darnos cuenta que si x = 13, se cumple la desigualdad , ya hemos encontrado por lo menos un «x», que verifique P(x), por lo tanto es una proposición lógica , cuyo valor es verdadero. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES QUE TIENEN CUANTIFICADORES * Sea la proposición: "x: P(x) x) Su negación será:  ["x : P(x) ] = $ x : P(x) De la misma forma, si tenemos la proposición : $ x : P(x) Su negación será :  [$x : P(x) ] = "x : P(x) EJEMPLO: I) x : x=1 [ x : x=1] = x : x 1 $  $ " ¹ II ) $ x: «x» es un número par.  [$ x: x es un número par ] = " x: «x» no es un número impar. 0 0 0 2 2 2 III ) x : x  [ x : x ] = x : x      
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