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LÓGICA PROPOSICIONAL - CONCEPTOS BÁSICOS -ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF


OBJETIVOS :
*Conocer y comprender las nociones básicas del
análisis lógico del lenguaje, y en concreto del análisis
mediante sistemas formales .

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* Conocer y comprender las herramientas que
proporciona la lógica proposicional para ese análisis
del lenguaje, y dominar el vocabulario técnico conectado
con ellas .
* Establecer los conceptos de proposición, argumento,
así como estudiar el valor de verdad del primero y
determinar la validez del último.
*Manejar el concepto de conjunto, así como sus
propiedades.
*Identificar los elementos que pertenecen y los que no
pertenecen a un conjunto
* Interpretar correctamente la notación simbólica en la
definición de conjuntos.
* Representar conjuntos en Diagramas de Venn .
* Realizar operaciones entre conjuntos (unión,
intersección, diferencia y diferencia simétrica) .
INTRODUCCIÓN :
En nuestro quehacer diario , constantemente hacemos
deducciones , esto significa que cada conclusión que
establecemos se deduce de «algo» ; este algo o punto
de partida se llama «premisa» . Por ejemplo , si
exponemos un trozo de hielo al calor, se deduce que
el hielo se derrite , o cuando un campesino ve una densa
nube en el cielo , deduce que va a llover , o también de
«todos los mamíferos son vertebrados» se puede
concluir en que «algunos seres vertebrados son
mamíferos». De esta manera, se puede afirmar que
constantemente existe un criterio lógico para el análisis
de situaciones que permitirán establecer una noción
científica de la realidad.
«La Logica , justamente , es una ciencia que estudia los
métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o
reglas con el propósito de determinar la validez de las
inferencias , razonamientos o argumentos».
La Lógica , como conocimiento orgánico y sistemático
, aparece por primera vez con Aristóteles (S. IV A. C.)
quien la define como un «instrumento» que ayuda al
hombre a razonar correctamente mejorando la
investigación de la naturaleza («Organón»).Su objetivo
quedó definido como el análisis formal de los
razonamientos.
LA LÓGICA FORMAL
Es una ciencia que busca hallar los esquemas
universales y válidos en todo momento , según los
cuales suele y debe pensar el hombre para alcanzar
la verdad . Esto quiere decir que , el objeto de estudio
de la lógica formal es investigar la estructura o forma
de los conceptos , juicios y raciocinios , sus relaciones
de validez , métodos y principios que la determinan.
Actualmente , la lógica formal se ha tornado en Lógica
Matemática (o simbólica) cuyo objetivo es demostrar
la «validez» de los argumentos simbólicos o
formalizados («La Lógica es la ciencia de la inferencia
formalmente válida»).
INFERENCIA Y SU VALIDEZ
Es una estructura de proposiciones donde a partir de
una o más de ellas llamadas «Premisa(s)» se obtiene
otra proposición que se llama «Conclusión»; serán
válidas cuando las premisas impliquen a la conclusión
; cuando existe relación coherente entre sus
componentes , es decir , la conclusión se deduce
lógicamente de las premisas.
La «IMPLICACIÓN» significa lo siguiente :
*De premisas verdaderas , se deduce necesariamente
una conclusión verdadera.
*De premisas falsas , se deduce necesariamente una
conclusión o bien verdadera o bien falsa.
Las inferencias pueden clasificarse como :
I) INFERENCIAS INDUCTIVAS :
Son aquellas donde la conclusión es probable en
relación a las premisas . Para obtener una inferencia
inductiva , se parte de premisas particulares y luego
se establece una conclusión general. Estas
inferencias, desde el punto de vista de la Lógica , no
son válidas ni inválidas.
EJEMPLOS :
* Yhony es psicólogo y ayuda a las personas .
* Erica es psicóloga y ayuda a las personas .
* Alan es psicólogo y ayuda a las personas
447
Probablemente , todos los psicólogos ayuden a las
personas .
II) INFERENCIAS DEDUCTIVAS :
Son aquellas cuya conclusión es necesaria en relación
a las premisas . Para obtener una inferencia deductiva
, se parte de premisas generales obteniéndose una
conclusión particular.
EJEMPLOS :
* Todos los humanos son mortales.
* Alan es un ser humano , Alan es mortal.
A su vez , estas inferencias se clasifican como :
A) INFERENCIAS INMEDIATAS :
Tienen una premisa y una conclusion.
B) INFERENCIAS MEDIATAS :
Tienen dos o más premisas y una conclusión.
LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la LógicaMatemática , llamada también
«Lógica de las proposiciones sin analizar», trata a cada
proposición como un todo en su conexión lógica con
otras proposiciones . Esta lógica desarrolla el cálculo
de proposiciones que se orienta a analizar la corrección
de los razonamientos mediante procedimientos
decisorios como las tablas de verdad y el método de
reducción al absurdo.
PROPOSICIONES :
Las «proposiciones» son expresiones del lenguaje
informativo que tienen la cualidad de ser verdaderas
(V) o falsas (F), es decir , tienen valor veritativo.
EJEMPLOS:
* La licuadora es un artefacto eléctrico.
* Mario Vargas Llosa nació en el Perú.
* 4 + 3 = 7
* Las aves son acuáticas.
Es necesario resaltar que , lo que interesa
fundamentalmente de las proposiciones es su sentido
de verdad o falsedad , dado que enunciados distintos
pueden expresar una misma proposición.
EJEMPLOS :
* Dante y Sergio son hermanos.
* Dante es hermano de Sergio.
* Sergio es hermano de Dante.
Además , se debe tener en cuenta que expresiones en
diferentes idiomas , también pueden presentar una
misma proposición.
EJEMPLO :
* Mary y Ricky son estudiantes.
* Mary and Ricky are students.
Las proposiciones pueden clasificarse en :
Proposiciones Simples o Atómicas (Predicativas y
Relacionales) y Proposiciones Compuestas o
Moleculares (Conjuntivas , Disyuntivas ,
Bicondicionales , Condicionales y Negativas)
EL CONCEPTO DE LA VERDAD
La definición clásica sobre la «verdad» pertenece a
Aristóteles , quien en su libro «Metafísica» escribe :
«Decir de lo que es que no es , o de lo que no es que
es , es falso ; mientras que decir que lo que es , es o
de lo que no es que , no es , no es verdadero» . En
general , lo anterior alude a la teoría de verdad por
correspondencia establecido por el estagirita.
Más adelante, quien desarrolló esta tarea en el presente
fue A. Tarsky, estableciendo, entre otras cosas , un
paradigma muy sencillo para el empleo de la palabra
«verdad» («falsedad»): «La nieve es blanca» es
verdadera si y solo si «la nieve es blanca».
Es decir , la verdad y falsedad solo se expresan en el
metalenguaje de las oraciones a las que se aplican
(No debe ocultarse que la noción de verdad es de las
más discutidas para la lógica).
LA VERDAD PARA LAS CIENCIAS
FÁCTICAS :
* Es una categoría que se define como
correspondencia con la realidad.
* Es producto de un proceso : reflejo de la realidad en
el cerebro del hombre , y su posterior verificación en la
misma realidad.
* Es la correspondencia íntima entre la realidad y su
reflejo en nuestro cerebro.
LA VERDAD PARA LAS CIENCIAS
FORMALES :
Alfred Tarsky define la verdad para las ciencias formales
(Lógica y Matemática) señalando : Formalmente , un
enunciado es verdad, cuando se dice que es de tal
manera determinada , siendo de tal manera determinada
(repetir las cosas tal como son).
CARACTERÍSTICAS DE LA
VERDAD
* La verdad no es lomismo que la afirmación (la verdad
se puede afirmar o negar).
* La falsedad no es lo mismo que la negación (la
448
falsedad se puede afirmar o negar).
* Solo la proposición , el enunciado puede ser
verdadero o falso ; jamás verdadero y falso, pues
estaría contra el principio de no contradicción.
LA VALIDEZ
Es el producto de un proceso racional , caracterizado
por la aplicación de un conjunto determinado de reglas
: si se respetan todas ellas el razonamiento (inferencia)
es válido; si se viola una de ellas , es inválida .
CARACTERÍSTICAS DE LA VALIDEZ :
* Todo razonamiento (inferencia) es válido o inválido.
* Todo razonamiento es correcto o incorrecto : Tiene
que ver con la estructura del razonamiento:
CORRECTO: Si es que está bien estructurado.
INCORRECTO: Si está mal estructurado.
* No es lo mismo correcto que válido , ni incorrecto
que inválido.
* La verdad o falsedad de las proposiciones que forman
un razonamiento , no tiene nada que ver con la validez
o invalidez del mismo.
* Un razonamiento incorrecto es necesariamente
inválido.
CLASES DE VERDAD
La lógica clasifica la verdad de manera particular:
1) VERDADES EMPÍRICAS :
(Llamadas también: fácticas, objetivas aposteriori ,
sintéticas , etc.)Aquellas que se toman y comprueban
en la realidad.
* A POSTERIORI : Se dan después de la experiencia,
luego de haber practicado , luego de haber conocido.
* SINTÉTICAS : Se comprueban en la realidad, en
la experiencia.
Las Verdades Empíricas se pueden clasificar en:
A)RELATIVAS :
Es producto de la suma , la relación de varias verdades
particulares.
EJEMPLO :
• Los mamíferos son cordados.
• Todos los pianistas son músicos.
• Ningún insecto es vivíparo.
• Algunos limeños son médicos.
B) ABSOLUTAS :
Se definen como percepción inmediata , se nos dan
inmediatamente, directamente a los sentidos.
EJEMPLO:
• Puerta de madera.
• Olor agradable.
• Gato pequeño.
• Pared blanca.
2) VERDADES LÓGICAS :
(Llamada también : formales , racionales, abstractas,
a priori , analíticas , etc.)Aquellas que sólo se obtienen
y comprueban racionalmente , a nivel mental.
* APRIORI : Se dan antes de la experiencia, antes
de haber conocido.
*ANALITICAS : Sólo se comprueban a nivel racional, a
nivelmental.
Se pueden clasificar en:
A) INTRÍNSECAS:
Se aceptan como verdad, no se discuten , tienen
carácter axiomático.
EJEMPLO:
• El triángulo tiene tres lados.
• 2 + 4 = 6
• La suma de los ángulos internos de un triángulo ,
da 180°.
• El todo es mayor que la parte.
B) DERIVADAS :
Producto de la relación entre proposiciones . Son
razonamientos.
EJEMPLOS :
• Los animales son seres vivos , el león es un animal
. De ahí que el león es un ser vivo.
• Todo número par es divisible entre 2 ; 6 es divisible
entre 2 . Luego 6 es un número par.
• Los caballos vuelan , los unicornios son caballos. De
ahí que los unicornios vuelan.
FUNCIONES BÁSICAS DEL LENGUAJE:
Lenguaje® Materialización del Pensamiento.
1) FUNCIÓN INFORMATIVA REFERENCIAL O
DESCRIPTIVA :
Es aquella que se encarga de comunicar información
que proviene de la realidad que nos rodea , hace
referencia o describe al Mundo Objetivo , mediante el
uso de oraciones verdaderas o falsas (proposiciones).
Es el lenguaje utilizado por las ciencias:
EJEMPLOS :
• La lógica es una ciencia abstracta.
• Todo mamífero es un ser vivo.
449
• Trujillo es la capital de la primavera.
• Me preparo en «MARTE».
• Francia es un país latino.
2) FUNCIÓN EXPRESIVA:
Se encarga de comunicar acontecimientos que ocurren
en el Mundo Subjetivo , es decir vivencias.
EJEMPLOS :
* La vida es hermosa y vale la pena vivirla.
* ¡Oh más dura que el mármol , Galatea!.
* Dios mío , estoy llorando el ser que vivo.
* Me gusta el vestido que compraste.
* Te amo , ven a mis brazos.
3) FUNCIÓN DIRECTIVA , APELATIVA O
ACTITUDINAL :
Se encarga demodificar , inducir o impedir la realización
de acción determinada utilizando para ello oraciones
exclamativas, clasificándose en órdenes, pedidos,
sugerencias, preguntas, consejos,mandatos, súplicas,
insinuaciones , etc.
EJEMPLOS :
* Siéntate y escucha lo que to digo.
* Prohibido arrojar basura bajo pena de arresto.
* ¿Cuándo será el examen de la UNI ?.
* «Más vale ser cabeza de ratón que cola de león»
EL LENGUAJE LÓGICO
Es un lenguaje formal , porque es sintáctico , es decir,
es una estructura formal . Está constituido por
conectivos o constante lógicas (enlaces lógicos).
EJEMPLO:
Si.......entonces........ : .......si y solo si................... ; etc.
Es un lenguaje simbólico artificial , convencional ,
escrito , constituido por un conjunto de signos cuyo
objetivo principal es la precisión y la operatividad .
El lenguaje simbólico es todo un cálculo compuesto
por signos primitivos, reglas de formacion y reglas de
transformación.
EJEMPLOS :
* Si es invierno y llueve , entonces hace frío.
Si (p y q) entonces r
Donde : p , q y r son variables proposicionales
Si (... y ...) entonces ...... son consonantes lógicas.
Por lo tanto: (pÙ q)®r es una fórmula lógica ,
exacta y operativa.
El lenguaje Lógico es unívoco , porque a cada
término le corresponde un solo significado.
LOGICA MATEMÁTICA
Es llamada también lógica de las proposiciones sin
analizar , tiene por objeto de estudio a las proposiciones
y su formalización con la finalidad de determinar sus
valores lógicos.
ENUNCIADO:
Es cualquier frase u oración que expresa una idea .
PROPOSICIÓN :
Se denomina así a las expresiones linguísticas de las
cuales se puede afirmar que son verdaderas o falsas.
CARACTERÍSTICAS :
* Toda proposisión es una oración aseverativa , pero
no toda oración es una proposición.
* Toda proposición o es verdadera (V) o falsa (F) (no
puede ser ambas al mismo tiempo , ni ninguna)
* Dentro del razonamiento la proposición puede ser
premisa o conclusión.
* La proposición verdadera o falsa se puede afirmar o
negar.
* Los enunciados matemáticos tienen el rango de
proposición.
EJEMPLO :
• Los futbolistas son deportistas.........................(V)
• Todo africano es asiático ...................................(F)
• La botánica estudia a las plantas.......................(V)
ENUNCIADOS NO
PROPOSICIONALES
No toda expresión es proposición y hay que
considerarla para evitar errores .
Entre los enunciados que no son consideradas
proposiciones tenemos :
I) ORACIONES DEL TIPO :
A) DESIDERATIVAS :
Expresan deseos , anhelos.
EJEMPLO :
!cuanto daría por tenerlo ¡
B)IMPERATIVAS:
Expresan exhortación , mandato o prohibición.
EJEMPLO :
te prohíbo que salgas con él.
C)INTERROGATIVAS :
son aquellas en las cuales se pregunta algo .
450
EJEMPLO :
¿has pensado que carrera vas a seguir ?
D)EXCLAMATIVAS :
Expresan sorpresa o admiración que nos causa una
cosa o hecho.
EJEMPLO :
¿y dale CIENCIANO ?
II) SEUDO PROPOSICIONES :
son expresiones aseverativas de las cuales no tiene
sentido decir si son verdaderas o falsas
EJEMPLO :
mi perro está enamorado
III) DESCRIPCIÓN DEFINIDA :
son expresiones que se pueden reemplazar por un
nombre propio.
EJEMPLO :
«el cantor de américa»
IV) PARADOJAS :
son expresiones del lenguaje , de tipo contradictorio
o sin sentido son V y F a la vez.
EJEMPLO :
« yo siempre miento »
V) FRASES:
«Dádme un punto de apoyo y moveré el mundo»
VI) POEMAS:
«Hay golpes en la vida tan fuertes yo no sé
golpes como el odio de Dios ......................................»
VII) REFRANES:
«Camarón que se duerme , se lo lleva la corriente »
VIII)FUNCIONES PROPOSICIONALES
son oraciones aseverativas que no son V ni F porque
en ellas figura una o más letras no interpretadas .
EJEMPLO :
x+a=11
ENUNCIADOS ABIERTOS :
son enunciados que pueden tomar cualquiera de los
dos valores de verdad.
EJEMPLO :
*Si P(x) : x>6 se cumple que :
P(9)=9>6.............................es verdadero
P(2)=2>6............................es falso
el valor de verdad de P(x) depende del valor de x ,
también , se le conoce como función proposicional.
CLASES DE PROPOSICIONES
Las proposiciones se clasifican básicamente en :
simples y compuestas.
PROPOSICIONES SIMPLES (ATÓMICAS)
Son siempre afirmativas y no se pueden descomponer.
Pueden ser :
A) PREDICATIVAS :
Aquellas que presentan , en su estructura, sólo un
sujeto y un solo predicado (el sujeto puede hallarse
tácito).
EJEMPLO :
* Los huancaínos son alegres.
* Las ballenas son mamíferos.
* Camina.
B) RELACIONALES (COMPARATIVAS):
Presentan en su estructura dos sujetos o más, que
se comparan entre sí con una sola característica , a
partir de los llamados términos relacionales : más que
, menos que , parecido a , etc.
EJEMPLO :
* Jonás es más leal que Judas.
* La Trigonometría esmás compleja que la Geometría.
COMPUESTAS (MOLECULARES ,
COLIGATIVAS):
Está constituída por más de una proposición simple
unida por las conectivas «y» , «o» , «entonces» , «si
y sólo si» o la negación (no). Son las siguientes:
A) NEGATIVAS :
Son las que presentan la negación (no , no es cierto
que , es falso que , es mentira que , no ocurre que ,
etc.)
EJEMPLO:
* Rocío no es menor de edad.
* Es falso que el gallo y la gallina sean acuáticos.
B) CONJUNTIVAS :
Presentan como conectiva a la «y». La conjunción
puede hallarse tácita, o puede ser reemplazada por
sus sinónimos : Como , pero , a la vez , además ,
incluso , también , aunque , a pesar , sin embargo , ni
451
, etc.
EJEMPLO:
* Nelly y Roger son médicos
* Ruby es matemática también literata.
C) DISYUNTIVAS :
Presentan como conectiva a la «o»; «u»; «o ... o...»,
son de dos tipos:
INCLUSIVA O DÉBIL :
Cuando de las alternativas que se proponen se cumplen
todas ellas , ya sea al mismo tiempo o de manera
alternada.
EJEMPLO :
* Jennifer es cantante o abogada .
* La mesa es un mueble o es de madera .
EXCLUSIVA O FUERTE :
(«o»; «u»): Cuando de las alternativas que se
proponen se cumple solo una y se excluye la otra.
EJEMPLO :
* César Vallejo murió en Lima o en París.
* o corremos o caminamos.
D) CONDICIONAL (IMPLICATIVA)
(«o ... o...») : Presentan como conectiva la palabra
«Entonces» o sus equivalentes: luego , por lo tanto ,
en conclusión , en consecuencia , de ahí , etc. Esta
proposición indica una relación de causa – efecto ,
(antecedente – consecuente) La condicional se puede
hallar tácita, sobrentendida.
Su esquema básico es:
Antecendente Consecuente
(A) (C)
Si ............ entonces ............
Se divide en:
I) CONDICIONAL DIRECTA (ORDENADA):
Aquí se presenta primero el antecedente y luego el
consecuente (causa – efecto).
EJEMPLO:
Antecendente Consecuente
(A) (C)
Si estudio entonces aprendo.
II) CONDICIONAL INDIRECTA
(DESORDENADA) :
Aquí se presenta primero el consecuente luego el
antecedente. Se usa las conectivas: dado que,
puesto que , ya que , porque , si, siempre que , cada
vez que , etc.
EJEMPLO :
Antecendente Consecuente
(A) (C)
Alextrabaja porquenecesitadinero
E)BICONDICIONAL (DOBLE IMPLICACIÓN,
EQUIVALENCIA):
Presentan como conectiva a «Si y sólo si», o sus
equivalentes: cuando y sólo cuando, entonces y sólo
entonces, etc.
EJEMPLO :
* Edwin corre si y sólo si quiere llegar a la meta.
* Héctor se baña cuando y sólo cuando lo invitan a un
matrimonio.
FORMALIZACION EN LA LÓGICA
PROPOSICIONAL (SIMBOLIZACIÓN)
La simbolización de proposiciones , consiste en la
representación del lenguaje ordinario mediante el
lenguaje artificial (convencional). Formalizar , significa
reemplazar cada proposición por una variable y cada
conectivo (término de enlace) o modificador (la
negación) por un operador lógico , todo ello
correctamente jerarquizado mediante signos de
agrupación.
VARIABLES :
Se utilizan para representar a las proposiciones
simples. Son las letras minúsculas:
p ; q ; r ; s ; t ; etc.
EJEMPLO :
p
p
q
* Juan Pablo es compositor.
* Rosario es empresaria
estudiante universitaria.



así Como
OPERADORES LÓGICOS :
Son de dos tipos:
A) DIÁDICOS :
Se utilizan para representar a las conectivas
(términos de enlace)
Conectivas y o o o
Operador
... ... ... ... ... ... si...entonces... ...si y solo si...
    
Operadores en el sistema Scholz

452
EJEMPLO :

* Si practicamos entonces aprendemos.
* Los leones son salvajes y carnívoros .



B) MONÁDICO :
Sirve para reemplazar al modificador «no» o sus
expresiones equivalentes (no es cierto , es falso que,
no es el caso que, etc.)
Modificador no
Operador 
EJEMPLO :
* Marte no es una estrella .

* No es cierto que, las gallinas tengan
2 patas y no sean aves.



SIGNOS DE AGRUPACIÓN :
Se utilizan para agrupar a las variables y operadores
así como , darles jerarquía . Son los siguientes:
* Paréntesis ( ) * Corchetes [ ]
* Llaves { } * Barras
JERARQUIZACIÓN :
Jerarquizar significa agrupar las variables y los
operadores dentro de los signos de colección ,
llamados también de agrupación.
Para jerarquizar hay que tener en cuenta los siguientes
requisitos:
* Sólo presentan jerarquía los conectivos lógicos ( y
, o , entonces , si y solo si , etc.)
* Para realizar una correcta jerarquización hay que
tener en cuenta los signos de puntuación del texto a
jerarquizar , en cuanto ellos indican la ubicación de los
signos de colección.
* En el texto , el punto seguido tienemayor jerarquía, le
sigue en 2do. lugar el punto y coma , y en 3er. lugar la
coma.
REGLAS PARA JERARQUIZAR :
I) Donde esté ubicado el signo de puntuación más
importante del texto , ahí se encuentra ubicado el
conectivo principal.
II) Donde se encuentre un signo de puntuación ahí se
abre o cierra un signo de colección (paréntesis ,
corchete o llave)
III) El conectivo que se encuentre fuera o en la parte
más externa de los signos de colección es el que tiene
mayor jerarquía.
IV) Si encontramos un texto donde se presente una
sucesión de idénticos signos de puntuación , será
mayor el que presente como conectivo entonces , luego
o cualquiera de sus sinónimos.
V) La negación antecede a la variable ( p), no
enlaza proposiciones , pues no es conectivo (p q)
EJEMPLO :
p q r
Esther estudia física y química * , oestudialógica.
Sin embargo
s
estudiamatemática .
* p y q , o r . Sin embargo s ( re empla zando
proposiciones)
* pÙ q , Úr . Ù s (reemplazando conectivos)
 
jerarquia
2 jerarquia 1 [(pÙ q)Ú r]Ù s ..........(jerarquizando)
FÓRMULAS :
Es el resultado de la correcta formalización y
jerarquización de las proposiciones o inferencias.
EJEMPLO :
p q
* Newton fue físico y matemático.
Ù
 
Fórmula : pÚ q
Nombre : fórmula conjuntiva
p
q
Si el agua del río es dulce ,entonces
puede ser para el consumo humano o
servir para regar los sembríos
 
 
*
®
Ú
r
detomate.
Fórmula: p®(qÚ r)
Nombre: Fórmula condicional
NOTA : Si al formalizar , encontramos al
condicional inverso, se debe permutar las
proposiciones que conforman el condicional.
EJEMPLO :
Condicional
inverso
p q
*Lucyparticipaenelcursodeactualización porque tienedinero
Fórmula: q® p
Nombre : Fórmula condicional inverso
FÓRMULAS BIEN FORMADAS (fbf)
Obedecen a las siguientes reglas de formación:
I) Cada variable proposicional es una f bf
EJEMPLO :
p , q , r ,............
II) Si A es una f bf entonces A es una f b f.
453
EJEMPLO:
* p *p
* q *q
III) Si A y B son f b f s entonces AÙ B; AÚ B;
ADB; A® B; A« B son f b f s.
EJEMPLO:
* p q * p q * (p q) (r s)
* p q * p q * (p )q) r (p q)
* p q * (p q) r * p q r
* p q r
Ù D Ù Ú ®
Ú « ® « Ú ®
® Ú ® Ù Ù
Ú Ú
[ ]
IV) Ninguna otra es una fbf. en caso contrario son
fórmulas mal formadas (fmf)
EJEMPLO:
* p q Es una fmf porque la negación
no es un operador diádico.
*« pÙ q Es una fmf porque el operador
« », no es monádico y debe estar entre variables
(Ejemplo : p « q)
* pÚ qÙ r Es una fmf porque no se puede
determinar cuál de los operadores tiene mayor
jerarquía , dado que le falta el signo de agrupación.
EJEMPLO:
pÚ q)Ú r
JERARQUIZACIÓN DE FÓRMULAS
En cualquier fórmula lógica , el operador que tiene
mayor jerarquía es aquel operador diádico fuera o en
la parte más externa de los signos de agrupación
(divide a la fórmula en dos) o en todo caso la negación
libre.
EJEMPLO :
Mayor jerarquía
Menor jerarquía
2 1
* (p q) r
* (p q) (p r) (r  s)
Mayor jerarquía
1
Mayor jerarquía
1
2 3 2 3
* (p q) (r s)
Menor
Jerarquía
* p (q  p)  (qr)
Mayor jerarquía
1 2 4 3 4 5
USO DE LOS PUNTOS AUXILIARES :
Se utilizan dentro de la simbología . Estos puntos
auxiliares, sirven para determinar la jerarquía de los
operadores diádicos en reemplazo de los signos de
agrupación.
EJEMPLO :
p q
y
Si
p q
* El alcohol el cigarro son dañinos para la salud= p q
Noriega es astronauta entonces viaja a la luna
Ù
   Ù
  = p® q
REGLAS PARA EL USO DE
PUNTOS AUXILIARES
I) La conjunción tiene mayor jerarquía que cualquier
otro operador que no tenga o este afectado por puntos.
EJEMPLO :
1
Mayor jerarquía
p  q r
2 1 2
Mayor jerarquía
(p q) ( r s)
II) El operador diádico con mayor número de puntos
es el de mayor jerarquía , si y solo si no esté limitado
por los signos de agrupación.
EJEMPLO :
* p q    r
2 1
Mayor jerarquía
1 2
Mayor jerarquía
3
* r : : p   p v r
III) Al operador monádico (negación) no se le puede
asignar puntos auxiliares, porque estos se asignan
solamente a los operadores diádicos. De ahí que
cuando se trata de una negación libre, es necesario
utilizar los signos de agrupación.
Conjunción p y q
Disyunción inclusiva
Disyunción exclusiva
Condicional
Bicondicional
Negación
ó
v
ó
ó
ó
 .
 
 
 
Proposición Operador Estructura formal fórmula

p q
p o q p q
o p o q p q
si p entonces q p q
p si solo si q p q
no p p






454
EJEMPLO:
1 3
Mayor jerarquía
2
* p  q . r
*  p  q :  : q .  . r . s
1
Mayor jerarquía
3 4 2 3 4
FUNCIONES VERITATIVAS
TABLAS DE VERDAD
I) FUNCIONES VERITATIVAS :
Son interpretaciones semánticas de las posibilidades
de verdad o falsedad de las proposiciones moleculares
en base a sus conectivas o el modificador.
Son las siguientes:
A) NEGACION( ):
Lógicamente se rige por la siguiente regla: «La negación
de una proposición verdadera es falsa . La negación
de una proposición falsa es verdadera».
Esquemáticamente, se representa por la siguiente tabla
de verdad: p p
V F
F V

Esto significa que si «p» es V, su negación F o
viceversa.
B) CONJUNCIÓN  :
La función veritativa de la conjunción se rige por la
siguiente regla: «Una proposición conjuntiva es
verdadera cuando todas sus proposiciones
componentes son verdaderas , siendo falsa en los
demás casos».
Esquematicamente, se tiene:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ù
C) DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DÉBIL(Ú)
En este caso es: «Es falsa sólo cuando todos sus
componentes son falsos, en los demás casos es
verdadera ». Esquematicamente , se tiene:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ú
D) DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE (D):
La regla que lo rige es : «Una proposición disyuntiva
fuerte es falsa cuando sus componentes tienen
valores iguales, en los demás casos es verdadera».
Esquematicamente, se representa: p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F

La disyunción al igual que la conjunción , goza de
las propiedades conmutativa, asociativa e
idempotencia.
E) CONDICIONAL (®):
La regla que lo rige es: «Una proposición condicional
es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y
el consecuente es falso, siendo verdadero en los
demás casos».
La función veritativa se expresa
en el siguiente esquema:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F) BICONDICIONAL : F F V
La regla que rige es: «Una proposición bicondicional
es verdadera cuando sus dos componentes tienen
valores iguales , y es falsa cuando sus dos
componentes tienen valores distintos».
Esquematicamente, se tiene : p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
G) NEGACIÓN CONJUNTA  :
La regla que rige es: «Una proposición negativa
conjunta es verdadera cuando sus dos componentes
tienen valores falso(F)».
Esquematicamente, se tiene :
p q p q
V V F
V F F
F V F
F F V

EJEMPLO:
Ni picasso pintó la gioconda , ni fujimori es peruano.
455
H)NEGACIÓN ALTERNA( I ) :
La regla que rige es: «Una proposición negativa
ALTERNA es falsa cuando sus dos componentes
tienen valores verdaderos (V)».
Esquematicamente, se tiene :
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F V
I
EJEMPLO:
la imitación no es exclusiva del hombre o no es
exclusivo del mono.
Conjunción Disyutiva Disyutiva condicional 222 Negación
débil fuerte
Scholz
Russell
p q p q p q p q

 
Ù Ú D ® «
Ú º/ É º
Ù Ú D p q p q p
V V V V F V V F
V F F V V F F V
F V F V V V F F
F F F F F V V V
® « 
EJEMPLOS 1:
Si: p = F , q = V y r = F; indicar el valor de verdad
(verdadero o falso) de las siguientes fórmulas:
I)(qÚ p)«(r«p) II) [r É q .Ú. (p . q)]
RESOLUCIÓN :
I) (q  p)(r p)
* PASOS A SEGUIR :
1) Asignar los valores correspondientes a cada
variable: (q Ú p)«(r« p)
V F F F
2) Evaluar las fórmulas de acuerdo a las reglas de
las funciones veritativas :
V
V
(q p) (r p)
V F F F
V
Ú « «


3) El valor final se obtiene del operador principal
(mayor jerarquía).
Resultado = V.............................(VERDADERO).
NOTA :
Para resolver el ejercicio siguiente procedemos en
forma directa , porque ya conocemos los pasos que
se siguen. II ) r  q . . (p . q)
F
V
V
V
F V F V
F
Resultado: F ............................................(FALSO).
EJEMPLOS 2:
Si la fórmula (proposición simbolizada)
(pÙ q)®(pÚ s) , es falsa, halle los valores de p;
q y r ; respectivamente:
RESOLUCIÓN :
* PASOS A SEGUIR :
1) El valor de verdad de la fórmula se ubica en el
operador principal (mayor jerarquía).
(p q) (p r)
F
Ù Ú ®
2) Se procede a dar el valor correspondiente a cada
fórmula o variable de acuerdo al valor dado del
operador principal , que cumpla con las reglas de
las funciones veritativas.
(q p) (r p)
V F F F V F F
Ù Ú ®
3) Luego obtenemos el valor de cada variable.
p=V q=F r=F
* Resultado : VFF.
TABLAS DE VERDAD Y
ESQUEMAS LÓGICOS
TABLAS DE VERDAD :
Llamadas también de valores, tablas veritacionales,
método de las matrices o Algoritmos. Son gráficos en
los que se representan todos los valores de verdad o
falsedad que pueden asumir las distintas
interpretaciones de un esquema o fórmula lógica.
FORMULA :
C = 2n
C = Número de líneas o arreglos que tendrá las tabla.
2 = Constante numérica
n = Número de variables
GRÁFICO :



Variables Fórmula Lógica
de la fórmula
Combinaciones
de V y/o F (matri
Margen
Izquierdo

z (ces))
Cuerpo
Para hallar los valores de Verdad o Falsedad de la
matriz principal de una fórmula lógica, en la Tabla de
Verdad , es necesario emplear las funciones veritativas.
456
PASOS A SEGUIR PARA EVALUAR
LAS FÓRMULAS LÓGICAS
1) Ubicar la fórmula en el lugar correspondiente de
la Tabla.
2) Jerarquizar la fórmula.
3) Determinar el número de arreglos mediante la
fórmula respectiva.
4) Evaluar la fórmula de acuerdo a las reglas de las
funciones veritativas , procediendo de la matriz de
menor jerarquía , hasta llegar a la matriz de mayor
jerarquía.
EJEMPLOS:
Determinar la matriz principal de las siguientes
fórmulas:
I)p® q II)(p Ú q)Ù(r Ú p) III) p
RESOLUCIÓN :
de arreglos
MATRIZ
n
2
I) p q p q
V V V # :
V F F C = 2
F V F C = 2 =4
F F V
®

# de arreglos
C=2n
C=23=8
p q r (p q) (r p)
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
II) V F F V V V
F V V V V V
F V F V F F
F F V F F V
F F F F F F
Ú Ù Ú
de arreglos
n
1
p p #
C ) V F C = 2
F V C = 2 =2

ESQUEMAS LÓGICOS (E. L.) :
Son fórmulas lógicas (proposiciones formalizadas) las
cuales pueden asumir funciones veritativas
determinadas . Pueden ser :
1) TAUTOLÓGICOS (T):
Son aquellos cuyamatriz principal contiene únicamente
valores de verdad . Se le llama también «Principios
Lógicos».
EJEMPLO :
[ ]
1 2 3 1 2
p q (p q) q p
F V F
F V F
F V V
V V V
® Ù  ® 
E. L. Condicional Tautológico
2) CONSISTENTES (Q):
Llamados también esquemas contingentes . En estas
fórmulas lógicas , lamatriz principal de su tabla veritativa
presentan por lo menos un valor de verdad y uno de
falsedad.
EJEMPLO:
3 2 1 2
p q (p q) q p
V V V V F F
V F F F V F
F V V V V V
F F V F F V
[   ]  
E. L. Bicondicional Contingente
* Son conjuntos comparables: A y B ; B y C; B y D; C y D
Conjuntivo Disyuntivo
inclusivo
Disyuntivo
Exclusivo
Condicional Equivalente Negativo
V V = V F F = F F F V
V V
F F
V F =
V V
F F
V será F
F será V
C=2n
C=22
C=4
p q
V V
V F
F V
F F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F F
V
C=2n
C=21
C=2
p q p q p q p q p q p
Matriz principal o cifra tabular
FUNCIONES VERITATIVAS
457
CONTRADICTORIOS :
Son fórmulas formalmente falsas , la matriz principal
de su tabla de verdad solo contiene valores falsos.
EJEMPLO :
p q (p q) (p q)
F
F
F
F
[ 
E. L. conjuntivo contradictorio .
IMPLICACIÓN (Þ)y EQUIVALENCIA(º)
DE PROPOSICIONES – INFERENCIAS
I) LA IMPL ICACIÓN y LA EQUIVALENCIA:
La implicación y la equivalencia son funciones de la
Lógica que se utilizan para relacionar dos o más
fórmulas lógicas (proposiciones) con la finalidad de
establecer una tautología.
LA IMPLICACIÓN(Þ):
Se dice que «A implica a B» cuando unidos por el
condicional, «A» como antecedente y «B» como
consecuente , la relación es válida o lógicamente
verdadera.
EJEMPLO :
A = p q B = p q
«A implica a B» = A  B
p q (p q) (p q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F V F
  
PROPIEDADES DE LA IMPLICACIÓN
* REFLEXIVA : «Cualquier fórmula (A) se implica a
sí misma A  A
* TRANSITIVA : Si «A implica a B» y «B implica a
C» entonces: «A implica a C»
(A B)(B  C)  (A  C)
* Cualquier fórmula implica a una tautológica
(T): A  T
* Una contradicción (F) implica a cualquier fórmula: F
 A
LA EQUIVALENCIA(º) :
Se dice que «A» equivale a B» cuando unidas «A» y
«B» por la bicondicional se obtiene una relación
lógicamente verdadera o una tautología.
EJEMPLO:
A = p ®q B = q   p
A B : «A equivale a B»
PROPIEDADES DE LA EQUIVALENCIA
* REFLEXIVA:
Cualquier fórmula equivale a sí misma : A º A
* SIMETRICA:
«Si A equivale a B», entonces «B equivale a A»:
(A º B) ® (B º A)
* TRANSITIVA:
«Si A equivale a B» y «B » equivale a C», entonces «A
equivale a C»
(Aº B)Ù(BºC)® AºC
* Todas las tautológicas son equivalentes: T1 º Tn
* Todas las fórmulas contradictorias son
equivalentes: f1 º fn
LAS INFERENCIAS
El objetivo de la Lógica es estudiar el analisis formal
de validez de las inferencias . Es decir , que el análisis
formal permite simbolizar las inferencias en esquemas
moleculares y demostrar con seguridad (mediante
diversos métodos veritativos) su validez o invalidez.
Se desprende que el objetivo más importante de la
Lógica en su aplicación a la ciencia y al discurso
cotidiano es la ‘‘justificación y crítica de la inferencia’’
Una inferencia, llamada también argumento o
razonamiento es una estructura de proposiciones en
la que a partir de una o más proposiciones llamadas
«premisas» (antecedentes), se obtiene otra , llamada
«conclusión» (consecuente). De tal modo que , la
inferencia tendrá forma condicional.
EJEMPLO:
{
1
2
P : Si es temporada veraniega,
entonces hace calor
Premisas
P : No hace calor
Conclusión C : No es temporada veraniega
ìïïïïï
ïíïïïïïï
î

CLASES DE INFERENCIAS :
Esta clasificacion se hace teniendo en cuenta alas
Inferencias Deductivas.
458
I) INFERENCIAS INMEDIATAS :
Cuando sólo están formadas por dos proposiciones:
premisa y conclusión.
P1 : Todo cuadrúpedo
es vertebrado
C : Algunos vertebrados
son cuadrúpedos
II) INFERENCIAS MEDIATAS :
Cuando están formadas por más de dos
proposiciones: êëP1 Ù P2 Ù Ù PnúûÞ Conclusión
EJEMPLOS:
* P(1) : Todos los cuerpos caen
P(2) : Las rocas son cuerpos
C : La rocas caen
* P(1) : Todos los peruanos son emprendedores
P(2) : Raúl es Peruano
C : Raúl es Peruano es emprendedor
* P(1) : Si un satélite gira alrededor de la Luna,
entonces gira también alrededor de la tierra.
* P(2): Si gira alrededor de la Tierra , también gira
alrededor del Sol.
* P(3) : Si gira alrededor del Sol , entonces gira
alrededor de la constelación de la Lira.
C : Si un satélite gira alrededor de la luna, entonces
gira alrededor de la constelación de la Lira.
B) CRITERIOS PARA FORMALIZAR
INFERENCIAS :
Para simbolizar una inferencia se debe tener en
cuenta los siguientes pasos :
I) Se debe distinguir las premisas de la conclusión ;
por lo general , la conclusión se halla al final del
argumento (pero no siempre).
II) Las premisas siempre están separadas por signos
de puntuación y forman el antecedente del
argumento , la conclusión es el consecuente del
mismo.
III) Las premisas se unen con la conclusión a partir
del enlace condicional directo o indirecto.
IV) Se simbolizan las premisas y la conclusión
respectivamente , considerando los conectores
lógicos.
EJEMPLO 1:
« Si las pistas están mojadas entonces ocurren los
accidentes ; pero , no ocurren accidentes. En
consecuencia, las pistas no están mojadas».
* Las premisas están separadas por signos de
puntuación y la conclusión se halla al final del
argumento:
P(1): Si las pistas están mojadas ocurren los
accidentes.
P(2): Pero no ocurren los accidentes
C: En consecuencia , las pistas no están mojadas
* SIMBOLIZANDO:
Si entonces
En consecuencia
1 1
2 2
P : p q P : p q
P : Pero q P : q
C : p C : p
® üïïïïýïïïï
þ
 
 
* TRASLADANDO A LA FORMA HORIZONTAL :
P1 P2 Pn C
(p q) q p
êë Ù Ù Ù úûÞ
ê ® Ù ú Þ êë úû

 
* Nótese que las premisas se unen mediante el enlace
conjuntivo a la vez , las premisas se unen a la
conclusión mediante el enlace condicional.
EJEMPLO 2 :
«Emelly cantará en público si y sólo si asisten muchas
personas al teatro. Ocurre que asisten muchas personas al
teatro si y sólo si las entradas han sido rebajadas. Por lo
tanto. Emelly cantará en público si y sólo si las entradas han
sido rebajadas»
* SIMBOLIZANDO :
1
2
P : p q
P : q r
C : p r
Si y sólo si
Si y sólo si
Si y sólo si
1
2
P : p q
P : q r
C : p r
    
Antecedentes Consecuente
1 2
(p q) (q r) (q r)
(P P ) C
 
 
EJEMPLO 3 :
« Sebastián no irá de campamento si se portó mal. Sí
se portó mal, se quedará ayudando en casa.
Entonces , Sebastián no irá de campamento y se
quedará ayudando en casa»
* SIMBOLIZANDO :
si
si
1 1
2 2
P : p q P : q p
P : q, r P : q r
C : p y r C : p r
üï
® ïïï
® ýïïï
ïþ Ù
 
 
* TRASLADANDO A LA FORMA HORIZONTAL :
[(q® p)Ù(q®r)]Þ( pÙ r)
459
EL MÉTODO ABREVIADO O MÉTODO
DE REDUCCIÓN AL ABSURDO
Es un procedimiento decisorio , es decir nos permite
determinar la validez o la invalidez de un razonamiento o
inferencia. Se utiliza con el propósito de abreviar el método
de las Tablas de Verdad.
REGLAS :
I) Se coloca el valor de verdad a las premisas y el valor
falso a la conclusión. Es decir:
P1 P2 P3 Pn C
V V V V F
Ù Ù Ù Þ
II) Se debe deducir el valor de las variables y operadores
del esquema , trasladando los valores encontrados.
EJEMPLO :
* P(1) : p q (r q) [(p q) r]
P(2) : r V V F
C : r q
®
®
º ® ® º Ù
III) Si cada una de las variables u operadores del
esquema cumple una sola función veritativa , es :
MONOVALENTE (V ó F todo el tiempo), entonces la
inferencia será inválida.
IV) Si cualquiera de las variables u operadores del
esquema cumple un doble valor veritativo , es
BIVALENTE (V y F al mismo tiempo), entonces la
inferencia es válida o correcta.
Operando: [(p  q) r] (r  q)
V F V V F F
F
Nótese que todas las variables y operadores son
monovalentes , es decir cumplen una sola función veritativa .
Por lo tanto , dicha inferencia es inválida o no correcta.
OTRO EJEMPLO :
V F V F
F F V
1
2
P : p q [(p q) q]
P : q
C : q



 
* Nótese que la variable «p» cumple un doble valor a la vez
(bivalencia) , por lo tanto la inferencia es válida.
1
2
3
P : p q
P : q r [(p q) (q r) (r s)] (p s)
P : r s V F F V F V F V F F
C : (p s)

     




 
F F
Bivalencia=Válido
1
2
P : (q r)
[(q r) ( r p)] (q p)
P : ( r p)
VV VFF
C : (q p)





   




V
Monovalencia = Inválido o incorrecto
VALIDEZ DE LAS INFERENCIAS
POR TABLAS DE VERDAD
Las Tablas de Verdad , también , se utiliza como método
decisorio , para determinar si una inferencia es válida o
inválida . Luego de formalizar una inferencia , se evalúa
en la tabla y , si su matriz principal es una Tautología , la
inferencia es válida, en los demás casos es inválida.
EJEMPLO :
Determinar si la siguiente inferencia es válida:
«Si Jennifer compra el auto , se irá de paseo ; pero ,
no se irá de paseo , consecuentemente, Jennifer no
compra el auto»
* FORMALIZANDO :
I) REEMPLAZANDO LAS PROPOSICIONES :
Jennifer compra el auto = p
Jennifer se irá de paseo = q
II) ESTRUCTURA FORMAL :
Si: p , q pero , no q consecuentemente , no p.
III) FORMULA FINAL : [(p® q)Ù q]® p
* EVALUANDO POR TABLAS DE VERDAD :
V F F V F
F F V V F
V F F V V
V V V V V
[ ]
3 2 1
p q (p q) q p
V V
V F
F V
F F
    de arreglos
n
2
#
C = 2
C = 2 = 4
Matriz Principal
* RESPUESTA : Esquema lógico condicional Tautológico
PRINCIPIOS LÓGICOS
Un Principio Lógico , es el fundamento de toda verdad
lógica (Tautología) . De un principio lógico podemos
generar tautologías indefinidamente , y , a la vez ,
cualquier tautología del universo lógico puede reducirse
a un principio lógico . Son conocidos los tres principios.
PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS
I) PRINCIPIO DE IDENTIDAD :
Establece que si se afirma una proposición, se concluye
la misma ; si una proposición es verdadera entonces
460
es verdadera , una proposición sólo es idéntica a sí
misma . En el plano de la realidad , toda cosa es
idéntica a sí misma.
Simbólicamente se expresa por : A A ; A A
p p ; p p
 
 
EJEMPLO :
«S» el libro es de matemática se deduce que el libro
es de matemática.
II) PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN
Establece que inadmisiblemente una cosa sea y no
sea a la vez. Es imposible que una proposición sea
verdadera y falsa a la vez , que una cosa exista y no
exista al mismo tiempo. Su formulación simbólica
es: (A A) ;
(p p)
Ù
Ù
 
 
Leyes Con variables
Equivalentes Con valoresde esquema proposicionales
 

1)Doble Negación A A p p
(DN) A A
 
  p p
2) Idempotencia A A A p p p
(Idem) A A A p p p
3)Conmutativa
(Co

   
   
A B B A p q q p
A B B A p q q p
nm)
A B B A p q q p
A B B A p q q p
A (B C) (A B) C
4) Asociativa
(Asoc.) A (B C) (A B) C
A (B C
     
     
     
     
    
    
 
p (q r) (p q) r p q r
p (q r) (p q) r p q r
) (A B) C p (q r) (p q) r p q r
A (B C) (A B) (A C) p q r) (p
5)Distributiva A (B C) (A B) (A C)
(Dist.)
A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B) (A C)
(
       
       
          
        
     
     
     
     
     
q) p r)
p q r) (p q) p r)
p q r) (p q) p r)
p q r) (p q) p r)
6)DeMorgan (A B) A B (p q) p q
(DM) (A B) A B (p q) p q
7
(
( (
( (
( (
  
     
     
     
     
     
 
   
 
)Defnicióndel A B A B p q p q
Condicional (DC) A B A B) p q p q)
8)Bicondicional A B A B) (B A) p q (p q) (q p
(DB) A B A B) ( A B)
( (
((
     
     
         
      
 
 
)
p q (p q) ( p q)
A (A B) A p (p q) p
9) Absorción A (A B) A p (p q) p
(Abs)
A ( A B) A B p ( p q) p q
A ( A B) A B p ( p q) p q
10)Transpo
    
     
     
       
       
   
   
sición A B B A p q q p
A B B A p q q p
11)Exportación (A B) C A (B C) (p q) r p (q r)
     
     
         
461
EJEMPLO:
Es falso que la jirafa sea mamífero y no sea
mamífero.
III) PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUIDO :
Establece que una cosa es o no es , no existe una
tercera alternativa . Una proposición es verdadera o
falsa , no existe una tercera posibilidad .
Simbólicamente se expresa:
A A ;
p p
Ú
Ú

EJEMPLO : 
el pisco es peruano o no es peruano.
LEYES DEL ÁLGEBRA
PROPOSICIONAL
Son leyes que permiten la transformación y simplificación de
los esquemas moleculares en esquema más simples y se
denominan equivalencias porque tanto la expresión original
como la expresión simplificada tienen la misma matriz
principal en sus respectivas tablas de verdad.Acontinuación
las leyes equivalentes.
EJEMPLO :
Determinar el equivalente de la siguiente
proposición :
«Si Federico decide quedarse en la biblioteca después
de las clases , entonces repasará la lección de hoy».
RESOLUCIÓN :
*Pasos a seguir :
1) REEMPLAZANDO LAS PROPOSICIONES SIMPLES :
p = Federico decide quedarse en la biblioteca después
de las clases .
q = Repasará la lección de hoy.
2) ESTRUCTURA FORMAL :
Si p entonces q
3) REEMPLAZANDO LOS CONECTIVOS OBTENEMOS :
p ® q
4) APLICANDO LA DEFINICIÓN DE LA CONDICIONAL :
p q p q
p q (p q)
® º Ú
® º Ù

 
5)REEMPLAZANDO SU EQUIVALENTE RESULTA :
* Federico no decide quedarse en la biblioteca
después de las clases o repasará la leccion de hoy
º pÚ q
* Es imposible que Federico decida quedarse en la
biblioteca después de las clases y no repase la lección
de hoy º (pÙ q)
EJEMPLO 2 :
Simplificar las siguientes fórmulas :
{ [ ] }
I) [p (p q)]
II) p q (q p) } q
Ù Ù
 ® Ú Ú Ù
RESOLUCIÓN :
I) [ p (p q)]
(p p) q ..................
p q...............
Ù Ù
é ù
ê ú
ê ú
êë úû
 

Asociativa
Idempotencia
{ [ ]}
{ [ ]}
{ [ ]}
p q (q p) q
II )
p q (q p) q
p q (q p) q
® Ú Ú Ù
Ú Ú Ú Ù
Ú Ú Ú Ù
 
  

Fórmula Justificación
.........................................
por Condicional
Doble negación
LÓGICA INFORMÁTICA
La lógica constituye el fundamento teórico de la
informática , en cuanto le proporciona las herramientas
, para la construcción de lenguajes de programación .
Entre sus múltiples aplicaciones , la lógica se aplica a la
tecnología. En este campo, la lógica se aplica a la
construcción de circuitos lógicos y entre ellos los circuitos
eléctricos, compuertas lógicos, los diagramas de flujo,
etc.
CIRCUITOS LÓGICOS
Para cualquier fórmula proposicional podemos
construir un circuito eléctrico , que resultará más fácil
en tanto la fórmula tenga sólo operadores
"Ù", "Ú" y/o " ".
Los circuitos lógicos están formados por
conmutadores o interruptores que son los órganos
lógicos que dejan pasar o no dejan pasar la corriente
eléctrica.
V Cerrado Encendida
F Abierto Apagada
Estado lógico Interruptor Lámpara
Ahora podemos construir los circuitos . El
procedimiento que se sigue es el mismo que se
emplea en la construcción de computadoras
electrónicas . Estos circuitos son de dos clases : en
serie y en paralelo.
CIRCUITOS EN SERIE :
Los circuitos en serie constan de dos o más
interruptores donde un interruptor está después de otro
y así sucesivamente
* El gráfico de un circuito en serie es la representación
de una fórmula proposicional conjuntiva, cuya
expresión más simple es « pÙ q » , y que se
462
representa de la siguiente manera:
0p0 0q0
batería
lámpara
p q
Para que este circuito
quede cerrado y lá
lámpara se encienda,
«p» y «q» deben estar
cerrados , esto es, «p» y
«q» deben ser
verdaderos a la vez. En
otros términos , es la
aplicación de la tabla de
verdad de la fórmula
« pÙ q ».
CIRCUITOS EN PARALELO :
Los circuitos en paralelo constan de dos o más
interruptores , donde un interruptor están en la otra línea
y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en
paralelo es la representación de una fórmula
proposicional disyuntiva , cuya expresión más simple
es « pÚ q » , y que se representa así :
p
q
batería
lámpara
p
q
p q
Para que este circuito quede cerrado y la lámpara se
encienda , bastará que uno de los interruptores esté
cerrado . Esto es , el circuito quedará cerrado , o bien
cuando «p» sea verdadero o cuando «q» sea
verdadero , o bien cuando ambos sean verdaderos.
Solamente no se encenderá la lámpara cuando los dos
interruptores estén abiertos , o sea , cuando «p» y «q»,
ambos, sean falsos a la vez. Este caso, es la aplicación
de la tabla de verdad de « pÚ q »
OBSERVACIÓN :
Los circuitos lógicos, proporcionan una idea precisa
sobre la forma como la lógica proposicional puede ser
aplicada al diseño de computadoras electrónicas.
Dichos circuitos que son conocidos como circuitos o
conmutadores , llaves o switches, han sido, sin
embargo, reemplazados por dispositivos más ágiles,
conocidos como circuitos lógicos a compuertas, que
son más acordes con las exigencias de la tecnología
contemporánea.La necesidad de diseñar compuertas
está ligada al hecho de que la computadora actual se
encuentra en la práctica muy alejada de las llaves o
switches, a los que ha sustituido gradualmente por
relays, transistores y circuitos integrados (chips). Pero
esto no debe llevar a la creencia de que las compuertas
complican el manejo lógico de los circuitos, pues la
situación es exactamente al revés. Lo facilitan y
permiten visualizar mejor la aplicación de las fórmulas
lógicas.Una compuerta es un artefacto que , en general
, tiene entradas y una salida, las mismas que se
representan con líneas. El artefacto mismo se
representa convencionalmente por una media luna o
por un triangulito y su función es dejar o no pasar un
tipo de impulso eléctrico , bajo ciertas condiciones.
COMPUERTAS LÓGICAS
Las compuertas lógicas son bloques de circuitos que
producen señales de salida de «lógica 1» o «lógica
0» si se satisfacen las condiciones de las entradas
lógicas; «1» y «0» son las señales binarias o estados
binarios de un variable , y los circuitos lógicos que
ejecutan las operaciones lógicas de las compuertas
NOT ,AND , OR («no», «y», «o» respectivamente en
español) son representados en función de sus
respectivos estados binarios.Acontinuación , cada una
de ellas.
COMPUERTA «NOT» :
La compuerta NOT o inversor responde a los
siguientes estados binarios :
p p
1 0
0 1

Si «p=x», entonces«:p»en función algebráica es «x»
El circuito completo se representará gráficamente
como sigue:
p
Compuerta NOT
p
Como se puede apreciar , la compuerta NOT tiene
una sola entrada que es la proposición «p»,y una
salida que es la proposición «p». La corriente
pasará al exterior de la compuerta cuando la
lámpara se encienda , pero si la lámpara no se
enciende , la corriente no pasará la compuerta .
COMPUERTA «AND»:
Podemos identificar la compuerta AND con los
conmutadores ‘‘p’’ y ‘‘q’’. La función binaria responde
a la fórmula ‘‘pÙ q’’ tal como sigue:
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Ù
Compuerta AND de dos entradas.
p p q
q
«pÙq» en función algebraica es ‘‘x× y’’y
el diseño gráfico que la representa es:
La compuerta AND , en este caso , tiene dos
463
entradas , «p» y «q», pero puede tener más de dos
entradas. En el gráfico , la única salida es «pÙ q»
y representa a la lámpara en el diseño de un circuito
eléctrico.
COMPUERTA «OR» :
La función binaria de la compuerta OR corresponde
a la fórmula «pÚ q» como sigue.
p q p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Ú
«p Ú q» en función algebraica es «x + y» y el diseño
gráfico que la representa es:
p q
Compuerta OR de dos entradas.
p
q
el gráfico muestra 2 entradas , «p» y «q» , para la
compuerta OR . en este caso , la salida es
«pÚ q»,que representa a la lámpara en el circuito .
p
q
Compuerta NAND de dos entradas.
p
q ( ) p q
Compuerta NOR de dos entradas.
(p q)
IMPLICACIONES NOTABLES
Llamadas también Leyes Implicativas . Son esquemas
condicionales tautológicos , por lo que representan
inferencias válidas. En consecuencia , teniendo la(s)
premisa(s) podemos derivar inmediatamente su
respectiva conclusión.
Las más importantes son las siguientes:
1) MODUS PONENDO PONENS (MPP):
Si se afirma el antecedente de una premisa
condicional , se concluye la afirmación del
consecuente de dicha premisa.
:
A B :
A [(p q) p] q
B
®
® Ù Þ
\
Regla
Ley
EJEMPLO :
1
2
P : Si llueve en la noche ,
las pistas estánmojadas.
P : Llueve en la noche.
C : Luego, las pistas
estánmojadas.
Formalizando:
1
2
p : q
p : p
C 9
®
\
2) MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT):
Si se niega el consecuente de una premisa
condicional, se concluye la negación del antecedente
de dicha premisa.
A B
B
[(p q) q] p
A
®
® Ù Þ
\
  

Regla : Ley :
EJEMPLO:
P1 : Si eres estudiante de marte , te están
preparando adecuadamente.
P2 : No te estan preparando adecuadamente.
C : Consecuentemente, no eres estudiante de marte.
Formalizando:




1
2
P : p q
P : q
C p
3) SILOGISMO DISYUNTIVO (SD):
Si se niega uno de los elementos de una premisa
disyuntiva , se concluye la afirmación del otro
elemento.
A B A B
[(p q) p] q
A B
[(p q) q] p
B A
Ú Ú Ú Ù Þ
Ú Ù Þ
\ \

  
Regla :
Ley :
EJEMPLO:
1
2
P : Estudio Contabilidad o Economía.
P : No estudio Economía.
C : Estudio Contabilidad.
Formalizando:
1
2
P : p q
P : q
C p
Ú
\

4) SILOGISMO HIPOTETICO PURO(SHP):
Si de un conjunto de dos premisas condicionales , el
consecuente de una de las premisas es la afirmación
del antecedente de la otra premisa , entonces del
464
antecedente de una de las premisas se deriva el
consecuente de la otra premisa.
A B B C
[(p q) (q r)] (p r)
B C A B
[(q r) (p q)] (p r)
A C A C
® ® ® Ù ® Þ ®
® ® ® Ù ® Þ ®
\ ® \ ®
Regla :
Ley :
EJEMPLO :
Si Carnap fue neopositivista , conformó el Círculo de
Viena ; y sí conformó el Círculo de Viena , confiaba en
la Lógica Simbólica. Por lo tanto , si Carnap fue
neopositivista, confiaba en la Lógica Simbólica.
Formalizando: 1
2
P : p q
P : q r
C p r
®
®
\ ®
5) CONJUNCIÓN :
De un conjunto de premisas , se puede concluir la
Conjunción de las mismas.
A
B (p) (q) p q
A B
Ù Þ Ù
\ Ù
Regla :
Ley :
EJEMPLO:
Juan es escritor ,Juan es poeta ; Luego ,
p q
Juan es escritor y poeta
p Ù q
 
 
Formalizando :
 
1
2
P : p
P : q
C p q
6) SIMPLIFICACIÓN :
De una premisa conjuntiva se puede concluir
cualquiera de sus componentes.
Regla : Ley :
A B A B (p q) q
B A (p q) p
Ù Ù Ù Þ
\ \ Ù Þ
EJEMPLO :
P1 : Copérnico fue Astrónomo y Físico.
C \ Copérnico fue Astronomo.
Formalizando: 1 P : p q
C p
Ù
\
7) ADICIÓN :
De una premisa se puede concluir la disyunción de la
misma con cualquier otra fórmula.
A p
\ AÚ B \ pÚ q
Regla : Ley :
EJEMPLO :
p
q q
Los estudiantes son inteligentes . Luego ,
los estudiantes son inteligentes o respevtuosos.
Ú

 
Formalizando : P1 : p
C \ pÚ q
8) TRANSITIVIDAD SIMETRICA(TS):
Si de un conjunto de dos premisas bicondicionales
uno de los componentes de una premisa
bicondicional es la afirmación de uno de los
componentes de la otra premisa , entonces el otro
componente de la primera premisa se da si y sólo si
se dá el otro componente de la segunda premisa
bicondicional.
A B B C
[(p q) (q r)] (p r)
B C A B
[(q r) (p q)] (p r)
A C A C
« « « Ù « Þ «
« « « Ù « Þ «
\ « \ «
Regla :
Ley :
9) DILEMA CONSTRUCTIVO COMPUESTO
(DCC):
De la disyunción de los antecedentes de dos premisas
condicionales se concluye la disyunción de los
consecuentes de dichas premisas condicionales.
A B
C D [(p q) (r s) (p r)]
A C (q s)
B D
®
® ® Ù ® Ù Ú
Ú Þ Ú
\ Ú
Regla :
Ley :
10) DILEMA DESTRUCTIVO COMPUESTO
(DDC) :
Si, disyuntivamente , negamos los consecuentes de
dos premisas condicionales , se concluye
disyuntivamente la negación de los antecedentes :
A B
C D [(p q) (r s) ( q s)]
B D ( p r)
A C
®
® ® Ù ® Ù Ú
Ú Þ Ú
\ Ú
 
   
 
Regla :
Ley :
DERIVACIÓN O DEDUCCIÓN
NATURAL
Es un procedimiento formal que sirve para demostrar
que la conclusión se deduce lógicamente de las
465
premisas o de un conjunto de premisas.
Este procedimiento consiste en obtener la conclusión
deseada mediante la aplicación de leyes lógicas en
una secuencia finita de pasos . Entonces, dado un
conjunto de premisas , la deducción lógica debe
permitirnos sacar consecuencias que sólo se deriven
lógicamente de las premisas ; en otros términos,
consecuencias que son implicadas por las premisas.
EJEMPLO 1 :
Sean las premisas y su conclusión respectivamente:
1
2
3
3
P : p (q r)
P : p
P : s r
C s
® Ù
®
\
 


Indique qué pasos se han efectuado para obtener la
conclusión: « s».
RESOLUCIÓN:
1
2
3
P : p (q r)
P : p
P : s r// s
® Ù
® \
 


4) q Ù r : se deduce de la P1 y P2 mediante
(M. P. P.)
5) r :se obtiene al utilizar Simplificación en la P4
6) s : se deduce de la P3 y P5 mediante (M. T. T. )
De esta manera , la derivación queda lógicamente
justificada por los pasos efectuados, resultando su
validez.
EJEMPLO 2 :
Sea el razonamiento:
«Si hay sol , entonces es verano o iremos a la playa
. Hay sol pero no es verano. Por lo tanto , vamos a
la playa ».
* Para facilitar la demostración , es necesaria la
formalización:
1
2
P : p (q r)
P : p q
r
® Ú
Ù
\

* Ahora efectuamos la derivación:
1
2
P : p (q r)
P : p q// r
® Ú
Ù \
3) p .................................................(2) simplificacion
4) q r ...........................................(1) y (3) M. P. P.
5) q .............. ............................(2
´
Ú ´
 ) simplificacion
6) r .................................................(4) y (5) S. D.
´
´
CUANTIFICADORES
I)CUANTIFICADOR UNIVERSAL :
Sea la funcion proposicional f( x ) sobre un conjunto A
, el cuantificador " («para todo») indica que todos los
valores del conjunto A hacen que la funcion
proposicional f( x )sea verdadera. " se lee:«Para todo»
EJEMPLO :
Sea : f(x) :x3+2>5 donde x Î  La proposición
cuantificada es : "x Î  ; x3+2>5 es falsa.
II )CUANTIFICADOR EXISTENCIAL :
Sea f( x ) una funcion proposicional sobre un conjunto
Ael cuantificador $ (existe algún) indica que para algún
valor del conjunto A , la funcion proposicional f( x ) es
verdadera.
$ se lee : «Existe algún »
EJEMPLO 1 :
Sea f(x) : x2 – 5<8 , donde : x Î + , la proposición
$ x Î + / x2 -5 < 8 es verdadera.
EJEMPLO 2 :
P(x): x+ 5 > 7..................(función proposicional)
$ x : p(x)
$ x : x+ 5 >7 ......................(proposición lógica)
para verificar que es una proposición lógica , podemos
darnos cuenta que si x = 13, se cumple la desigualdad
, ya hemos encontrado por lo menos un «x», que
verifique P(x), por lo tanto es una proposición lógica ,
cuyo valor es verdadero.
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES
QUE TIENEN CUANTIFICADORES
* Sea la proposición: "x: P(x) x)
Su negación será:  ["x : P(x) ] = $ x : P(x)
De la misma forma, si tenemos la proposición :
$ x : P(x)
Su negación será :  [$x : P(x) ] = "x : P(x)
EJEMPLO:
I) x : x=1
[ x : x=1] = x : x 1
$
 $ " ¹
II ) $ x: «x» es un número par.
 [$ x: x es un número par ] = " x: «x» no es un
número impar.
0
0 0
2
2 2
III ) x : x
 [ x : x ] = x : x
 
   