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DESIGUALDADES-INTERVALOS NUMÉRICOS EJERCICIOS RESUELTOS - ÁLGEBRA RUBIÑOS PDF

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PROBLEMA 1: Demostrar el siguiente teorema: «
Para cualesquiera dos elementos a, b   , una y
solamente una de las siguientes relaciones se cumple:
a < b  a> b’’

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RESOLUCIÓN:
* Como: a;b  (a  b) ....(Ley de Clausura)
* Luego por la ley de tricotomía
a b 0 a b 0 a b 0
a b a b a b

a<b a+c<b+c
RESOLUCIÓN:
* Primero (a<b a+c<b+c), así:
(a b)+(0)<0
(a b)+(c c)<0
(a+c) (b+c)<0
(a+c)<(b+c)

* Luego para a = 4:
4–1 = 6 – 4 = 2
* Entonces el inverso de 4 es 2 ............(4–1 = 2)
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 13:
Dado los intervalos: A = ]–4; 3] y B = [–3; 5[, obtener
:
I)A B II)A B III) A – B IV) B – A
RESOLUCIÓN:
* Graficamos los intervalos en la recta numérica :
–4 –3 3 5
A B
¥ ¥
I) A B es el conjunto formado por la UNIÓN, cuyos
elementos pertenecen a A o a B, o a ambos.
* Del gráfico:
A  B=]  4; 5[
II) A Bes el conjunto formado por la INTERSECCIÓN
cuyos elementos pertenecen a ambos conjuntos. Así:
A  B= [3; 3]
III)A – B es el conjunto formado por elementos que
pertenecen a A pero no pertenecen a B.
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* En la figura: A  B =]  4; 3[
IV)B – A es el conjunto formado por elementos que
pertenecen a B pero no pertenecen a A.
* Luego : B  A=]3; 5[
PROBLEMA 14 :
Partiendo de la desigualdad a2 – 2ab + b2  0 donde a
y b son reales no negativos, podemos demostrar que:
A)a b 0 B)a+b ab
a+b
C)a+b 2 ab D) ab
2
  
 
RESOLUCIÓN:
* De: a2 – 2ab + b2  0
* Sumamos 4ab a cada miembro
2 2
2
a + 2ab + b 4ab
(a+b) 4ab

 
* Pero como ab  0 condición del problema:
 a+b  2 ab
* Finalmente : a+b
ab
2

RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 15:
Indicar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
p : Si a, b, c   , entonces :
a2+ b2+ c2  ab + ac + bc
q : Si a, b  y a  b, entonces a + b > 2 ab
r : Si b > a > 0, entonces a < ab
A)FVF B)VFF C)FFF D)VVV
RESOLUCIÓN:
p) VERDADERA: ya que:
* De la relación: (a  b)2  0
 
2 2
2 2
2 2
* Se obtiene : a +b 2ab
* Análogamente : a +c 2ac +
b +c 2bc

PROBLEMA 16:
Si a,b,c y d son números reales tales que a<b<c<d,
entonces necesariamente:
A)d – b > c – a B)d – b < c – a C)d – c > b – a
D) d – b > d – c E)d – b > b – a
RESOLUCIÓN:
* Empecemos colocando los números a, b, c y d en la
recta numérica, teniendo en cuenta a<b<c<d y, luego
indiquemos las diferencias que aparecen en las
alternativas ; así:
a b c d
d – c
b – a
c – a
d – b
* De ello podemos ver que necesariamente c–a>b–a
además ; d – b > d – c
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 17:
Sea –1 < b < a < 0, donde a y b son números reales.
De las siguientes proposiciones:
I) a2 > b2 II) a2 > b3 III) a3 < b3
son ciertas:
A)I y II B)II y III C)I y III
D) I, II y III E)Sólo II
RESOLUCIÓN:
* Como a y b son números negativos y a>b, se tiene
que :
I)FALSA:
Los números negativos al ser elevados al cuadrado
se vuelven positivos y cambian el sentido de la relación.
II) VERDADERA:
Un número negativo elevado al cuadrado es positivo,
mientras que elevado al cubo es negativo.
III) FALSA:
Ambos términos son negativos; pero para que a3 sea
menor que b3, ‘‘a’’ debe ser menor que ‘‘b’’.
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 18:
Si a,b,c  y a b c
M= + +
b+c a+c a+b
, entonces el
menor valor de M, es:
1 1 3 3 5
A) B) C) D) E)
4 2 4 2 2
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RESOLUCIÓN:
* Si x, y,
La igualdad ocurre si y sólo si a= b= c