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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS - ÁLGEBRA RUBIÑOS PDF

ECUACIONES DE 2DO GRADO :
Llamadas también «ecuaciones cuadráticas». Son aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma:

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donde:
Término cuadrático
bx = Término lineal
  c = Término independiente
a, b y c son los coeficientes respectivos de sus términos.
Ejemplos :




OBSERVACIÓN :
* Las raíces de una ecuación cuadrática están dadas por la siguiente fórmula general:




Donde:  es el discriminante de la ecuación y se denota así:

* Para hallar las raíces de una ecuación cuadrática se recomienda primero intentar factorizar por el método de aspa simple.
resolución de la ecuación de segundo grado
I) por factorización (aspa simple) :
El empleo de la factorización para resolver ecuaciones de segundo grado se basa en la siguiente propiedad:
El producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero.

Y se aplicará si el discriminante es un cuadrado perfecto  para su solución aplicaremos el aspa simple.
Ejemplo 1 :
Resolver :
Resolución :
* Factorizando por aspa simple :



         
* Entonces resulta :
 Al aplicar la propiedad si ab=0, entonces a=0  ó  b=0.





* Las raíces de la ecuación son :


Ejemplo 2 :
Resolver :
Resolución :
* Para esta ecuación : a = 10 ; b = 11 y c = –6; el discriminante es :

* Como , 361 es un cuadrado perfecto la ecuación se puede factorizar :




* Con lo cual :
* Recordemos que :


* En nuestro caso:
nota :
En la ecuación cuadrática se cumple :
2 raíces iguales  1 solución
2 raíces diferentes  2 soluciones.

Más ejemplos :














observación :









* Se trata de un trinomio cuadrado perfecto, luego:

(solución única o raíz doble)
II) por fórmula cuadrática :
Cuando no sea fácilmente factorizable, se puede generalizar el método para llegar a una fórmula que facilite la resolución de cualquier ecuación de segundo grado. Esta fórmula se conoce con el nombre de fórmula de la ecuación de segundo grado o fórmula cuadrática.
DEDUCCIÓN :
Sea:
* Multiplicando por 4a, con el objetivo de completar cuadrados , así :

* Transponiendo:
* Sumando  en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto :


* Luego :
* Extrayendo la raíz cuadrada :


* Despejando la incógnita «x», resulta :



* Que viene a ser la solución general de la ecuación cuadrática.


DISCRIMINANTE O VARIANTE :
Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general:  y se le simboliza por la letra griega mayúscula  es decir :



RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:
De la solución general, se obtienen:



* Para conocer los valores de estas raíces, a partir de la ecuación polinomial:


* Se reemplazan directamente los valores de los parámetros «a», «b» y «c». Pero, si el polinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, obteniéndose dos factores lineales, para luego igualar a cero cada uno de estos.
Ejemplo 1 :
Resolver :
Resolución :
* Como no es factorizable en , lo más razonable sería aplicar la fórmula, primero vemos que:
* Entonces:




Ejemplo 2 :
Resuelva
Resolución :
* Vemos que :
* Reemplazando en la fórmula :








* Entonces:
Ejemplo  3 :
Resolver la ecuación  mediante el uso de la fórmula de la ecuación de segundo grado.
Resolución :
* De:
* Por tanto,







DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES  REALES
 La naturaleza de las raíces de la ecuación:

Viene caracterizada por el valor que asume el discriminante   es decir :

Caso I:
Si  las raíces serán reales y diferentes. La ecuación presenta dos soluciones.
ejemplo :
Resolver :
Resolución :
* Cálculo del discriminante (a=3 ; b= –5; c=1) :


* Luego , reemplazando en la solución general:


* De aquí:

* Las raíces son reales y diferentes.

Caso II :
Si  las raíces son iguales  y reales. La ecuación posee solución única. Además  es un trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo :
Resolver :
Resolución :
* Análogamente :
* En la solución general :
* De aquí :
Caso III:
Si  las raíces son complejas no reales y conjugadas.
Ejemplo :
Resolver :
Resolución :
* De igual manera:
* donde:  y en la solución general:


* De aquí:
* Las cuales son imaginarias y conjugadas
Ejercicio :
Hallar los valores de «k» en la ecuación:
 sabiendo que sus raíces son iguales.
Resolución :
* Desde que las raíces son iguales entonces:  es decir:
 desarrollando,  obtenemos la ecuación:
                                               



* De donde:




INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA   CON COEFICIENTES REALES
Sean las funciones:
* Si:
* Se obtiene la ecuación cuadrática:


* De la igualdad de funciones (I), se deben calcular aquellos «x» (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas, es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de estas funciones, como se muestra en la figura:







donde  y1 =  y2 = 0  y
Siendo las abcisas de los puntos de intersección                          (x1; 0) y (; 0) de las gráficas de F y G, las raíces o ecuaciones de la ecuación cuadrática:
Ejemplo explicativo :
Resolver gráficamente:
Resolución :
* Esbozamos la gráfica de la función









* Las abcisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación.
* Observar que , para :






INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA  DE COEFICIENTES REALES
En la ecuación cuadrática: . Sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante . Según eso, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:
















PROPIEDAD :
Dada la ecuación cuadrática con coeficientes racionales :

Si su discriminante  es un número cuadrado perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre serán racionales. Si no es así, serán irracionales y conjugados.
Ejemplo :
Resolver :
Resolución :
* Cálculo del discriminante:
........(cuadrado perfecto)
* Luego reemplazando en la solución general:
 de la cual se obtienen:

* Las cuales son números racionales.
PROPIEDADES  DE  LAS  RAÍCES
(Teorema de Viéte) :
Conociendo la ecuación:  y asumiendo que sus raíces son: x1 y x2, se puede
establecer las siguientes propiedades:












* Las anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos).
PROPIEDADES ADICIONALES :












Ejemplo 1 :
Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática:

Se cumplen  las relaciones de Viéte :








Ejercicio :
¿Qué relación guardan los coeficientes de la ecuación: . Si una de sus raíces es el triple de la otra?.
Resolución :
* De acuerdo a los datos , se tiene :







* Reemplazando, (III) en (I) :


* Así mismo:
* Reemplazando en (II) , tendríamos :



formación de una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces
I) Conociendo: «x1» y «x2», raíces de la ecuación de segundo grado, se cumple que:
llevando a la forma canónica, se tendría la fórmula:


II) Conociendo la suma de las raíces:  y  el producto de ellas mismas , la fórmula a utilizar es:



Ejemplo 1 :
Escribir una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean  .

Resolución :
* La suma de las raíces es:
* El producto de las raíces es:
* Luego, una ecuación es:


Ejemplo 2 :
Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean
Resolución :
* Asumiendo que dichos valores son  respectivamente. Calculemos S y P por separado :




* Aplicando la fórmula , se tiene :


* Que expresada con coeficientes enteros, resulta:

Ejemplo 3 :
Construir una ecuación cuadrática que acepte como raíces a
Resolución :
* Calculando S y P, se tienen:





* La ecuación formada, será:



* La cual reduce a:
* Siendo:  la unidad imaginaria.
Ejemplo 4 :
Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, si una de sus raíces es:
Resolución :
* Como las raíces irracionales se presentan por pares conjugados, entonces:


* Con lo cual:



* Reemplazando en la fórmula, obtenemos la ecuación:

PROPIEDADES PARTICULARES
A) En la ecuación:
La condición que se debe cumplir para que:

A1) Sus raíces sean simétricas u opuestas  (x1 + x2 = 0)
Es decir, las raíces sean iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.
* Por propiedad:


* Luego, la condición necesaria y suficiente es:


* La ecuación cuadrática que admite raíces simétricas, es de la forma genérica:


A2 ) Sus raíces sean recíprocas o inversas ( x1x2 =1 ) :

* Es decir, una raíz es la inversa de la otra.
* Por propiedad :

* Entonces, la condición necesaria y suficient La ecuación cuadrática que admite raíces recíprocas tiene la forma genérica:


A3) Una de sus raíces es igual a la unidad :
Es decir x = 1 , verifica la ecuación cuadrática:  

* Reemplazando este valor, resulta la condición necesaria y suficiente :

B) Para el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas :




La condición que se debe cumplir para que:
B1) Ambas ecuaciones tengan las mismas raíces :
Es decir que las ecuaciones sean equivalentes. Se debe cumplir la relación de proporcionalidad entre los coeficientes de sus respectivos términos semejantes, la cual es :



B2) Ambas ecuaciones admitan una raíz común – Teorema de Bezout


Siendo esta relación, la CONDICIÓN  DE COMPATIBILIDAD conocida con el nombre de BEZOUTIANA, para que dos ecuaciones cuadráticas de una incógnita, tengan una raíz común, cuyo valor se determina así :





TEOREMAS :
Sean las ecuaciones cuadráticas :




Si estas ecuaciones tienen las mismas soluciones. Se cumple:
I) Son equivalentes , entonces:

II) Tienen una raíz común , entonces :


Ejemplo 1 :
Las ecuaciones
* Poseen el mismo C.S. = {2; 3}, entonces

Ejemplo 2 :
Calcular “a” y “b” en las ecuaciones :



Sabiendo que tienen las mismas raíces.
Resolución :
* Ya que las raíces son las mismas, se cumple que :



* De donde obtenemos , el sistema :




* De (I) y (II), se obtienen: a = 5 y b = 3
ecuaciones  de  segundo  grado que tiene  una  raíz  común

Las ecuaciones:

* Tienen una raíz común; se elimina «» y se obtiene la raíz común ; es decir :



* Restando (I) – (II) ; se obtienen :



FORMAS SIMÉTRICAS DE LAS POTENCIAS DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Se  denomina     así     a   las expresiones de la forma   cuya característica es que al intercambiar x1 por x2 y x2 por x1, la forma de la expresión original no se altera; siendo x1 y x2 raíces de la ecuación cuadrática :

* Establezcamos una fórmula que nos permita relacionar la suma de las raíces, de los cuadrados, de los cubos, de las cuartas, y en general de las enésimas potencias de las raíces; las cuales denotaremos por S1, S2, S3, S4  y en general Sn.
* Para facilitar el procedimiento de la deducción llevaremos la ecuación cuadrática general a su forma canónica:

* Donde:
* Además :


* Construyendo progresivamente las sumas requeridas




* De los  reemplazando:


* Luego :




* De la misma manera :



* Por (1) y   , reemplazando :

* Luego :





* De (1) y (2) , se deduce que :


* Asimismo:


* Sustituyendo de  y de (2):



* Luego:


* De (2) y (3), reemplazando:


* Por lo tanto de  resumiendo






* En general:
* Y teniendo en cuenta que:  la relación anterior se podrá escribir así:


* A la cual se le denomina LEY GENERAL DE RECURRENCIA de las potencias de las raíces de la ecuación cuadrática.
Ejemplo:
Calcular:
Resolución:
* Podemos considerar que  y  son raíces de una ecuación de segundo grado ; es decir :


* Y  la  ecuación de la cual provienen es:


* Reemplazando dichos valores se obtiene:

* Luego:
* Entonces, la expresión N nos representa la suma de las SEXTAS POTENCIAS de las raíces de la ecuación (I).
Así:
Este valor, se puede obtener aplicando sucesivamente la ley general de recurrencia. Tal como sigue:









* Finalmente :  N = 416
ecuaciones  radicales simples
Una ecuación con una variable en un radicando es una ecuación radical.
Las ecuaciones  son                                    ecuaciones radicales.
* Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento para resolver ecuaciones radicales.
Ejemplo 1 :
Resolver :
Resolución :
* Note que . Se eleva al cuadrado a ambos lados de la ecuación :


Ejemplo 2 :
Resolver :
Resolución :
* Se eleva al cuadrado a ambos lados de la ecuación:




OBSERVACIÓN :
Se debe chequear cada solución en la ecuación original porque algunas veces al elevar al cuadrado a ambos lados de una ecuación se introducen soluciones que no son soluciones de la ecuación original, estas soluciones se llaman soluciones extrañas.
Ejemplo 3 :
Resolver :
Resolución :




* Al reemplazar este valor de x en la ecuación original, se tiene:




* Luego : la ecuación no tiene solución.
OBSERVACIÓN :
No es necesario desarrollar esta ecuación para darse cuenta que no tiene solución , porque el lado izquierdo de la ecuación es por definición un número no negativo, mientras que el lado derecho es un número negativo, y un número no negativo nunca puede ser igual a un número negativo.
Ejemplo 4 :
Resolver :
Resolución :




* Pero en este ejemplo el lado izquierdo de la ecuación dada es no negativo, así que el lado derecho debe ser también no negativo. Como el lado derecho es x, cualquier solución debe ser no negativa. En este ejemplo –1 es una solución extraña.
Ejemplo 5 :
Resolver la ecuación :
Resolución :
* Se pasa un radical al otro lado de la igualdad:


* Se eleva al cuadrado a ambos lados:





 
Para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiente manera: se elevan al cuadrado ambos miembros de la expresión, con el fin de eliminar el radical y luego se reordena la ecuación. Así, se llega a una ecuación cuadrática que se resolverá de acuerdo a lo estudiado.
Ejemplo 6 :
Resolver :
Resolución :





* Si comprobamos estos valores en la ecuación inicial , resulta :






* Observamos que  x1 = 20 es una solución de la ecuación propuesta, y que x2 = 4 es una solución extraña, por lo que, al resolver este tipo de ecuaciones, siempre será necesario verificar qué solución cumple con la ecuación original.


Para resolver una ecuación de esta forma, uno de los radicales (cualquiera) se pasa al otro miembro de la ecuación. Luego se procede a elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación, reordenando nuevamente los términos hasta obtener una nueva ecuación de la forma  Esta será resuelta de la misma forma que en el caso anterior.
Ejemplo 7 :
Observa cómo resolvemos la siguiente ecuación:























* Si reemplazamos en la ecuación original se comprueba que x1 = 2 es solución pero  no lo es, puesto que al reemplazar en la ecuación original x por –14/9 no se cumple la igualdad.




Para resolver una ecuación de esta forma elevamos al cuadrado cada miembro de la expresión. Así, la expresión queda reducida a la forma :


Ejemplo 8 :
Observa cómo resolvemos la ecuación


Resolución:





























* Verificando ambas soluciones comprobamos que:  x1 = 1 es la solución que satisface la ecuación.
* Los valores que satisfacen la ecuación dada son  x1 = 1; x2 = 4 .
ecuaciones reducibles a cuadrÁticas
Son aquellas ecuaciones que al hacer un cambio de variable en su estructuración algebraica se transforma en una ecuación de la forma:


A continuación mostraremos diversos ejemplos sobre transformación de ecuaciones a ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 1 :
Resolver :
Resolución :
* Haciendo la transformación :



* Donde z > 0; la ecuación dada se transforma en:


* Factorizando :
* Vemos que :
* Para : z = 3


* Resolviendo :
* Para : z = 1
 


* Resolviendo : x = –3
* El conjunto solución es :
Ejemplo 2 :