RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO EJERCICIOS RESUELTOS PDF
PROCEDIMIENTO PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
Considerando que el polinomio es de grado PAR, se siguen los siguientes pasos:
1°) El polinomio radicando debe estar ordenado , generalmente en forma decreciente y no necesariamente ser completo.
2°) Se extrae la raíz cuadrada al primer término del polinomio , el cual será el primero de la raíz . Luego, este se eleva al cuadrado y el resultado se resta del polonomio.
3°) Se bajan los dos términos siguientes del radicando, y paralelamente se duplica la raíz encontrada. Se divide el 1° término bajado entre la expresión duplicada, obteniéndose el segundo término de la raíz.
4°) Este término obtenido se le adiciona a la raíz duplicada , obteniéndose un resultado. Este resultado se multiplica por el segundo término de la raíz , para luego restarlo de los términos bajados del polinomio.
5°) Se bajan los dos términos subsiguientes y se repite el paso anterior , tantas veces hasta que el residuo sea de grado menor que el de la raíz o dicho resto sea un polinomio idénticamente nulo.
Ejemplo 1:
Extraer la raíz cuadrada del polinomio :
P(x) = x4 – 8x3 + 24x2 – 11x+ 23
resolución:
EXPLICACIÓN :
* Hallamos primero la raíz cuadrada de x4 que es x2, y que viene a primer termino de la raíz del polinomio , a x2 elevamos al cuadrado que da x4 este cuadrado se resta del primer termino del polinomio.
* luego bajamos los dos términos siguientes
–8x3 + 24x2 , hallamos el duplo de la raíz hallada de x2 es decir 2x2, dividimos –8x3÷2x2 = –4x este es el segundo término de la raíz, escribimos –4x al lado de 2x2 y se forma el binomio 2x2 – 4x , este binomio se multiplica por –4x y da: (2x2–4x)(–4x) = – 8x3 +16x2 , este producto lo restamos (o cambiándole de signo)de –8x3 +24x2 , la diferencia es 8x2.
bajamos los dos términos siguientes y tenemos 8x2 – 11x + 23 se duplica la parte de la raíz hallada 2(x2 – 4x) = 2x2 – 8x , dividimos 8x2÷ 2x2 = 4 es el tercer término de la raíz, el resultado 4 se escribe al lado 2x2 – 8x y se forma el trinomio 2x2 – 8x+4 y se multiplica por 4 , es decir : (2x2 – 8x + 4)4 = 8x2 – 32x + 16 , este producto se resta (cambiándole de signo) de 8x2 – 11x + 23 y nos da 21x + 7 que es el residuo de la raíz cuadrada de P(x).
Ejemplo 2:
Determinar «a» y «b» si el polinomio P(x) = 4x4 + ax3 + bx2 + 24x + 16, tiene raíz cuadrada exacta.
Resolución:
* El polinomio raíz es de segundo grado por lo tanto asumo un polinomio convenientemente:
4x4 + ax3 + bx2 + 24x + 16 (2x2 + nx + 4)2
* Efectuando :
4x4+ax3+bx2+24x+164x4+4nx3+(n2+16)x2+8nx+16
* Por identidad de polinomios:
a = 4p; b = n2 + 16; 8n = 24
* Por lo tanto:
n = 3 ; b = 25 a = 12
Ejemplo 3 :
Extraer la raíz cuadrada del polinomio:
P(x) = 4x4 – 12x3 + 13x2 – 6x + 1
Resolución:(x) 0
Ejemplo 4 :
Determinar la raíz cuadrada del polinomio:
P(x) = 16x10 + 24x7 – 8x5 + 9x4 – 7x2 + 4
Resolución: