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RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOS
Dado un polinomio P(x) de grado PAR, determinar su raíz cuadrada consiste en hallar otros dos polinomios llamados raíz cuadrada y residuo, denotados por r(x) y R(x) respectivamente. De tal manera que estos verifiquen la identidad fundamental de la radicación.

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* Los cuales resultan del algoritmo :


* Donde: P(x) = Polinomio radicando
r(x)  = Polinomio raíz
R(x) = Polinomio residuo
CLASIFICACIÓN:
1°) Una raíz cuadrada será EXACTA, si su residuo es un polinomio identicamente nulo. Es decir :


ejemplo :


2°) Una raíz cuadrada será INEXACTA , si su residuo no es un polinomio identicamente nulo. Es decir :


ejemplo:
 no es exacto, debido a que:
16x2 – 8x + 5  (4x – 1)2 + 4 ; siendo:
r(x) = 4x – 1  y  R(x) = 4

PROPIEDADES DE GRADO





PROCEDIMIENTO PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
Considerando que el polinomio es de grado PAR, se siguen los siguientes pasos:

1°) El polinomio radicando debe estar ordenado , generalmente en forma decreciente y no necesariamente ser completo.

2°) Se extrae la raíz cuadrada al primer término del polinomio , el cual será el primero de la raíz . Luego, este se eleva al cuadrado y el resultado se resta del polonomio.


3°) Se bajan los dos términos siguientes del radicando, y paralelamente se duplica la raíz encontrada. Se divide el 1° término bajado entre la expresión duplicada, obteniéndose el segundo término de la raíz.

4°) Este término obtenido se le adiciona a la raíz duplicada , obteniéndose un resultado. Este resultado se multiplica por el segundo término de la raíz , para luego restarlo de los términos bajados del polinomio.


5°) Se bajan los dos términos subsiguientes y se repite el paso anterior , tantas veces hasta que el residuo sea de grado menor que el de la raíz o dicho resto sea un polinomio idénticamente nulo.
Ejemplo 1:
Extraer la raíz cuadrada del polinomio :
P(x) = x4 – 8x3 + 24x2 – 11x+ 23
resolución:








EXPLICACIÓN :
* Hallamos primero  la raíz cuadrada de x4 que es x2, y que viene a primer termino de la raíz del polinomio , a x2 elevamos al cuadrado que da x4 este cuadrado se resta del primer termino del polinomio.

* luego bajamos los dos términos siguientes
–8x3 + 24x2 , hallamos el duplo de la raíz hallada de x2 es decir 2x2, dividimos –8x3÷2x2 = –4x este es el segundo término de la raíz, escribimos –4x al  lado de 2x2 y se forma el binomio 2x2 – 4x , este binomio se multiplica por –4x y da: (2x2–4x)(–4x) = – 8x3 +16x2 , este producto lo restamos (o cambiándole de signo)de –8x3 +24x2 , la diferencia es 8x2.

bajamos los dos términos siguientes y tenemos                8x2 – 11x + 23 se duplica la parte de la raíz hallada 2(x2 – 4x)  = 2x2 – 8x , dividimos 8x2÷ 2x2 = 4 es el tercer término de la raíz, el resultado 4 se escribe al lado 2x2 – 8x y se forma el trinomio 2x2 – 8x+4 y se multiplica por 4 , es decir : (2x2 – 8x + 4)4 = 8x2 – 32x + 16 , este producto se resta (cambiándole de signo) de  8x2 – 11x + 23 y nos da 21x + 7 que es el residuo de la raíz cuadrada de P(x).

Ejemplo 2:
Determinar «a» y «b» si el polinomio                                  P(x) = 4x4 + ax3 + bx2 + 24x + 16, tiene raíz cuadrada exacta.
Resolución:
* El polinomio raíz es de segundo grado por lo tanto asumo un polinomio convenientemente:
4x4 + ax3 + bx2 + 24x + 16  (2x2 + nx + 4)2
* Efectuando :
4x4+ax3+bx2+24x+164x4+4nx3+(n2+16)x2+8nx+16
* Por identidad de polinomios:
a = 4p;   b = n2 + 16;   8n = 24
* Por lo tanto:
n = 3   ;   b = 25    a = 12
Ejemplo 3 :
Extraer  la raíz cuadrada del polinomio:
P(x) = 4x4 – 12x3 + 13x2 – 6x + 1
Resolución:







* De donde:
    Raíz : r(x) = 2x2 – 3x +1
Residuo : R(x)  0

Ejemplo 4 :
Determinar la raíz cuadrada del polinomio:
P(x) = 16x10 + 24x7 – 8x5 + 9x4 – 7x2 + 4
Resolución:








* De donde:
Raíz : r(x) = 4x5 + 3x2 – 1
Residuo : R(x) = – x2 + 3