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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO (RUBIÑOS ) PDF


La factorización es un proceso de transformación de un polinomio de grado no nulo en una multiplicación indicada de dos o más polinomios también de grados no nulos. La factorización es un proceso inverso a la aplicación de las propiedades de la multiplicación; su operación no está sujeta a reglas. En muchos casos para factorizar un polinomio dependerá bastante de la habilidad que vaya adquiriendo el estudiante. Es importante que el estudiante aplique muchos de los conceptos que maneja en aritmética como, por ejemplo, número primo y divisor, ya que éstos los usaremos con bastante frecuencia en la presente unidad. En álgebra, en lugar de hablar de número primo como se hace en la aritmética, hablaremos de factor primo.

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FACTORIZACIÓN
Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o más factores algebraicos.
Ejemplos: 
     
   
Puede notarse que si multiplicamos (a+b)(a-b) se obtiene a2–b2 que viene a ser el polinomio original (la factorización  y la multiplicación son procesos inversos ) .
         polinomio sobre  un   conjunto  numérico
Un polinomio estará bien definido sobre un campo numérico , si los coeficientes de dicho polinomio pertenecen al conjunto  numérico asociado a dicho campo.
se consideran campo , al conjunto de los números racionales  , al conjunto de los números reales, y al conjunto de los números complejos .
ejemplos :
*     ,
también se puede decir que está definido en  , puesto que sus coeficientes son números  enteros.

 ,
también se puede decir que está definido en  , puesto que sus coeficientes son números  reales.


 ,
dado que sus coeficientes son números  complejos .

observaciones :
*todo polinomio que está definido sobre los números racionales , también está definido sobre los números reales y complejos, pero no lo contrario no es verdad, es decir si los polinomios están definidos en los reales o complejos no siempre están definidos en los racionales.

*cualquier expresión podemos transformarla en un producto , pero no siempre se puede factorizar.

ejemplo:











nota:
la factorización o descomposición de factores de una expresión se realiza solo para polinomios , es decir que es una operación limitada , en cuanto se refiere al número de factores obtenidos.
factor o divisor algebraico
un polinomio no constante es un factor  común de otro polinomio , cuando lo divide exactamente , es decir : si f(x) es un factor de p(x), entonces p(x) es divisible por f(x).
ejemplo:




polinomio  irreducible  sobre un  campo  numérico
un polinomio será irreducible sobre un campo numérico si no acepta transformación  o multiplicación indicada de dos o más polinomios no constantes sobre el mismo conjunto numérico .
ejemplos:







observaciones:
Todo  polinomio lineal de la forma ax+b es   irreducible en cualquier campo numérico.

la factorización es un proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios irreducibles,  dentro de un campo numérico.

Generalmente  el conjunto en el que se ha de trabajar es el de  los  números racionales , salvo  que se indique lo contrario.
 FACTOR PRIMO
Se llama polinomio primo a aquel de grado absoluto no nulo que no admite ser descompuesto como una multiplicación indicada de dos o más polinomios de grados no nulos. Es decir: un polinomio primo no puede ser factorizado. Un factor primo o irreductible es aquel polinomio primo que aparece como factor en una multiplicación indicada.
Ejemplo:

El factor «x + 1» es primo, porque ya no puede ser factorizado.

Los factores primos más comunes son:
•De primer grado:
x; y; x + y; x – y; 3x + 7; etc.
Todo polinomio de primer grado o lineal es primo.

•De segundo grado:
x2+1 ; x2+a2 ; x2+x+1  ;  x2–x+1 ;   x2+xy+y2   ;x2– xy+y2 , ...., etc .

El trinomio cuadrático: ax2 + bx + c es primo sí y solo si: b2– 4ac <0  ó   b2–4ac no es cuadrado
perfecto.

•De tercer grado:
  es primo si A no es cubo perfecto

 x3 + x+1 ;  x3– x +1 ;..... etc.
Ejemplos:
1) Sea el polinomio factorizado:
P(x)=(x –1)3(x+1)2 (x2+x+5)2 (x2+1)2
Sus factores primos son:
x–1; x+1; x2+ x+5 y x2+1 de donde los dos primeros son factores primos lineales y los dos últimos factores primos cuadráticos.

2) El polinomio:
  Q(x) = x2 (x + 3)2 (x – 5)2(x2+ x +1)(x2 –x +1)
tiene los siguientes factores primos:
x ; x + 3; x – 5; x2+ x+1 y x2–x +1, de los cuales los tres primeros factores primos son lineales y los dos últimos factores primos son cuadráticos.
FACTOR PRIMO RACIONAL()
Llamamos así a aquel polinomio que no se puede descomponer en otros factores racionales . se  podrá  identificar mediante los siguientes detalles :

*Debe ser un polinomio de coeficientes racionales.
*Un factor primo algebraico  siempre contiene al menos  una variable .

* Serán divisibles únicamente por él mismo y por la unidad .

*Si en la factorización aparecen más de un factor  primo se identifica porque aparecen multiplicando.
ejemplo:




número de factores primos
El número de factores  primos depende del campo númerico en el cual se trabaje .
En el conjunto de los números racionales , el número de factores primos se determina contando los factores basales (que figuran como bases y que contengan a las variables , denominados  también factores algebraicos).
ejemplos:
*P(x)=(x+2)4(x2+1)2(3x–2) ,tiene 3 factores  primos .
*p(x;y)=x2y(x–5y)3(x+5y)5 , tiene 4 factores primos.
número de factores totales
sea donde «a», «b» y «c» son primos(no admiten factorización ),entonces :







ejemplo:
en P(x ; y ; z)=x3y2z
*tiene  3 factores primos







observación :
El número máximo de factores primos que tiene un polinomio está dado por su grado.
ejemplo:
x3 – 6x2+12x – 6 a lo más tiene 3 factores primos .

*Los polinomios lineales (primer grado) necesariamente son primos.

*Solo se pueden factorizar los polinomios no primos.
  MÉTODOS  DE FACTORIZACIÓN
No existe un método especifico para factorizar a una expresión dado que esta se puede hacer por dos o más metodos  llamados también criterios . Al factorizar un polinomio, primero se identifica el tipo de polinomio y luego se establece el criterio a usar. Los criterios más usados son:
I) FACTOR  COMÚN :
Dado un polinomio se extrae el M.C.D. de los coeficientes, luego la(s) variable(s) comun(es) a todos los términos es retirada con el menor exponente. Estos dos resultados se multiplican y son colocados al exterior de un par de paréntesis, en cuyo interior queda el cociente de dividir cada término con el producto hallado.
¿Muy difícil? ... No es así ... observa los siguientes ejemplos:
ejemplo 1 :
Factorizar: 7x2 + 5x3y
Resolución:
7x2 + 5x3y  ® MCD(7; 5) = 1
® variable común :  x2

*Así tenemos:

                       7x2 +5x3y = x2(7 + 5xy)

Cuando en un polinomio se repite una o más variables en todos los términos, un factor común del polinomio es aquella variable que se repite con el menor exponente.
ejemplo 2 :
12x4y3 – 18x2y5 + 6x3y2
® MCD(12;18;6) = 6
® variables comunes : x2 y2
* Así tenemos:



Ejemplo 3 :
Factorice:  A(x) = x4 + 2x3 + x2
Resolución:
Como se repite x,el factor común es: x2

Sus factores primos son:  tiene dos factores primos lineales.
Ejemplo 4 :
Hallar el número de factores primos lineales de:
 B(x) = x5 + 4 x4 + 4x3
ReSolución:
El factor común es: x3
Luego B(x) = x3 ( x2 + 4 x + 4) = x3 ( x +2 )2
Sus factores primos son: el número de factores primos es: 2.

*Sigamos practicando, recordando que:

I)Elige el mayor número que divida a «todos» los coeficientes.

II)La(s) variable(s) que sean comunes a «todos» los términos elevados a su «menor» exponente.

III)Finalmente realiza la división del «factor común» con cada uno de los términos.
Ejemplo 5 :
Factorizar:
 12a3b2 – 16a4b3 – 20a2b2
Resolución:
                       

Ejemplo 6 :
Factorizar:

Resolución:


Ejemplo 7 :
abc + 4bc2 – b2c


Ejemplo 8 :
x(a + b) + y(a + b)
 

*veamos en forma más general el método del factor común.
 MÉTODO DE FACTOR  COMÚN
Se aplica cuando todos los términos del polinomio se repite el mismo factor , el que se denomina factor común . Para factorizar se extrae  la parte que se repite en todos los términos para lo cual se extrae la expresión repetida , elevada a su menor exponente.

Ejemplo 1:
Factorizar:  E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2
resolución:
*El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los términos entre dicho factor común , para lo que queda en el polinomio. Luego de dicho procedimiento se tendrá:




Ejemplo 2:
En el polinomio:
          P(x) = 4ax2 + 2a2x - 6ax
resolución:
*Observamos que se repiten las constantes: 2 , a y la variable x (la cual debe extraerse con su menor exponente) Luego escribimos:
P(x) = 2ax (2x + a – 3) con lo cual el polinomio está factorizado sobre .
Puede ocurrir que todos los términos de un polinomio no tengan factor común , entonces agrupamos convenientemente aquellos términos que vamos a factorizar.
Ejemplo 3:
*Factorice:
P(x,y)  =  2x 2y + 3xy2 + xy
       =  x (2xy + 3y2 + y)
       =  xy (2x + 3y + 1)
*Luego el polinomio presenta 3 factores primos:
x ; y ; 2x + 3y + 1
* Factorice:
 N(x,y) =  (x + 2)y + (x + 2)x + (x + 2)
     =  (x + 2) (y + x + 1)
*Luego el polinomio presenta dos factores primos:  (x + 2) ; (y + x + 1)
* Factorice : xy+xz+xw



*Factorice : xy4+y7z+y3w



FACTOR COMÚN POLINOMIO
Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más términos.
Si el polinomio tiene 4 términos o más, de manera que se puedan formar grupos de igual cantidad de términos y que, al ser factorizados por separado, cada grupo arroja un factor común para todos los grupos (en algunos casos se puede agrupar un producto notable), esto conduce a la factorización del polinomio.
Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios.
•De acuerdo al número de términos:
Ejemplo:
Si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 ó de 4 en 4.
* Factorice : x2+xy+xz+zy




•De acuerdo a los coeficientes de   los términos.
Ejemplo:
Factorizar:  E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12
Resolución:
Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada. En cada uno de los grupos:
  E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)
*Factor común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividimos cada agrupación entre el factor común polinomio.
E = (x4 + y4)  (x8 + y8)
               



*Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores , tienen un único divisor que es si mismo.
*Esta expresión tendrá 2 factores primos:
Ejemplo 3 :
Halle el número de factores primos de:
C(x)=x3+ 2x2+ x + 2.
Resolución:
El polinomio tiene 4 términos, agrupamos de 2 en 2
 en 2
factoricemos cada grupo por separado

como puedes ver «x + 2» es un factor común para los 2 grupos.
Luego:
C(x)=(x + 2)(x2+1),entonces tiene dos factores primos.
Ejemplo 4 :
En el polinomio: P(x,y) = 3x2 – 2xy – 2y2 + 3xy
*Agrupamos convenientemente el primer y cuarto término y también el segundo y tercer término.
Así:   P(x)  =  3x2 + 3xy – 2xy – 2y2
      P(x)  =  3x(x + y) – 2y(x + y)
     P(x)  =  (x + y)(3x – 2y)
En lo cual P es factorizado.
Más Ejemplos:
* Factorice:


= (m+n)(x+a)

* Factorice:
P(x,y,z) =  x2 + xy + zx + zy + x + y
        =  x(x + y) + z(x + y) + (x + y)
        =  (x + y) [x + z + 1]
Luego el polinomio presenta dos factores primos:      
          (x + y) ; [x + z + 1]

*Factorice:
  R(a,b,c) = a2 + ab + ac + a3 + a2b + a2c
           = a(a + b + c) + a2(a + b + c)
                = (a + b + c) [a + a2]
          = (a + b + c) a(1 + a)
Luego el polinomio presenta tres factores primos:  
           (a + b + c) ; a ; (1 + a)

* Factorizar:  a(x + 2) – x – 2
Resolución:
a(x + 2) – (x + 2) = (x + 2) (a – 1)

* Factorice:  D(x)= x5+ x4+ x3+ x2 + x + 1
Resolución:
El polinomio tiene 6 términos, entonces formamos grupos de 2 en 2 ó de 3 en 3
D(x) =(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
D(x) = x4(x+ 1)+x2(x+1)+(x+1)
Luego:



* Factorice: E(x)= x5 + 2x4 – x3 – 2x2
Resolución:
   E(x) =x2(x3+2x2– x –2)=x2[ x2(x+2)–(x+2)]
   E(x) = x2 (x + 2)[x2 –1] = x2 (x + 2)(x +1)(x –1)

* Factorice e indique el número de factores primos lineales de: F(x) = x5– 2x4– 16x + 32.

Resolución:
F(x)=x4(x–2)–16(x–2)=(x–2)(x4–16)
=(x–2)(x2+4)(x2–4) =(x–2)2(x2+4)(x+2)
 el número de factores primos lineales es 2.
II) MéTODO DE  LAS IDENTIDADES :
Consiste aplicar en forma inversa los diferentes productos notables ya estudiados(trinomio cuadrado perfecto , diferencia de cuadrados , suma o diferencia de cubos,..........,etc.)
Algunos polinomios tienen la forma de ciertos productos, notables como los siguientes :




donde m y n
A) Trinomio  Cuadrado  Perfecto (T.C.P.) :
Un trinomio es «cuadrado perfecto» cuando es el cuadrado de un binomio.
Un trinomio ordenado con relación a una variable es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer  término son cuadrados perfectos(o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos , y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas .
A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2
El trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado  , se caracteriza porque el doble del producto de la raíz de dos de sus términos es igual al tercer término.Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
  16x2  +  40xy3  +  25y6  = (4x + 5y3)2
             


      (4x)2      2(4x)5y3      (5y3)2
Luego, es T.C.P.
Ejemplo 2:
Factorizar :  m3 - 2m2 + m
Resolución:
· Factorizando el factor común:




 m3 – 2m2 + m = m(m – 1)2
B) Diferencia de Cuadrados :
Se denomina diferencia de cuadrados , a la diferencia de dos expresiones que tienen raíz cuadrada exacta.
De los productos notables se sabe que :
(A + B)(A – B)=A2 – B2
por lo tanto :
  A2 – B2= (A + B)(A – B)
Toda diferencia de cuadrados se descompone  en dos factores uno es la suma de las raíces cuadradas y el otro es la diferencia de dichas raíces cuadradas.
ejemplo 1 :
Factorizar: m8 – 25
Resolución:
* Entonces:

m8 – 25 = (m4 + 5)(m4 – 5)



• Extraemos la raíz cuadrada a cada término.
• La  expresión factorizada,  será  la  suma  por  la
diferencia de dichas raíces
ejemplo 2 :
Factorizar: a6b8 – 36
Resolución:
         



*entonces : a6b8 – 36=(a3b4+6)(a3b4-6)
nota
Una diferencia de cuadrados debe tener las siguientes características:
• Es un problema de dos términos.
• Ambos términos del polinomio tiene raíz cuadrada
exacta.
ejemplo 3 :


Aquí se utilizó la DIFERENCIA DE CUADRADOS
ejemplo 4 :


Aquí se utilizó el BINOMIO AL CUADRADO
Extraer la raíz cuadrada de un monomio es dividir los exponentes entre dos, porque:

 

Ejemplo 5 :
Factorizar:  x4 – 4b2
Resolución:
Se tiene:  (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b)(x2 – 2b)
Ejemplo 6 :
Factorizar :  x2 + 2xy + y2– z6
Resolución:
x2 + 2xy + y2 – z6   (x + y)2 –(z3)2
     =  (x + y + z3)(x + y – z3)
Ejemplo 7 :
Factorizar :  P(x) = x4 – 1
Resolución:
Aplicando diferencia de cuadrados, se tiene:
       P(x) =  (x2)2 – 12 = (x2 + 1)(x2 – 1)
  P(x) =  (x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
Ejemplo 8 :
Factorizar:  P(x) = x2 + 2x - 3
Resolución:
*Escribimos:

     
       P(x) =  (x + 1)2 – 22
       P(x) =  (x + 1 + 2)(x + 1 – 2)
  P(x) =  (x + 3)(x – 1)
Ejemplo 9:
Factorizar:  a2 + b2 – c2 + 2ab
Resolución:
*Asociando adecuadamente:
  a2 + 2ab + b2 – c2 = (a + b)2– c2
* Por diferencia de cuadrados:
(a + b + c) (a + b – c)
C) Suma o Diferencia de Cubos:
Se denomina «suma de cubos» a la suma de dos cantidades donde ambas tienen raíz cúbica exacta . De los productos notables se sabe que :
(a+b)(a2– ab+b2)=a3+b3  por  lo tanto :
 a3+b3 =(a+b)(a2 – ab+b2)
*toda suma de cubos se descompone en dos factores, uno es la suma de las raíces cúbicas y el otro es igual a la raíz cúbica elevada al cuadrado menos el producto de las raíces cúbicas más la segunda  raíz cúbica elevada al cuadrado.
en general :

Ejemplo 1 :
Factorizar:  27x3 - 8
Resolución:
(3x)3– 23 = (3x – 2)(9x2 + 6x + 4)
Ejemplo 2:
Factorizar :  x6 – 1
Resolución:
(x2)3 – 13 = (x2 – 1)(x4 + x + 1)
      = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2–x+1)
Ejemplo 3 :
Factorice: G(x) = x9 –1
Resolución:
Como el exponente es múltiplo de 3 por diferencia de cubos:  

ejercicio :
Factorice: H(x)= x8+x4+1
Resolución:
Aplicando la Identidad de Argand:
H(x)=(x4+x2+1) (x4–x2+1)
Nuevamente por Argand:
H(x)= (x2+x+1) (x2–x+ 1) (x4–x2+1)
III) ASPA SIMPLE :
Se utiliza para factorizar expresiones trinomias o aquéllas que adopten esa forma:

Cuando un trinomio (3 términos) es de grado par, puede tener 2 factores binómicos.





Condición:(A1 xm)(C2 yn)+(A2 xm)(C1 yn)=Bxmyn

Para factorizar a este tipo de polinomios se sigue los siguientes pasos:
i) Se adecúa la expresión a la forma mencionada
ii) Se  descompone convenientemente los extremos (teniendo en cuenta el juego de signos)
iii) Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados , si este coincide con el término central de la expresión , entonces se concluye que los factores serán las sumas horizontales.
 
Ejemplos:
1) Factorizar : x2 – 6x +8
Resolución







Como los signos son «iguales» tengo que buscar dos
números que sumados den 6 y multiplicados 8.
x2 – 6x +8 = (x – 4)(x – 2)
nota
Si:



La multiplicación en aspa me permite «comprobar».
• La ley de signos para la adición en :
           –2+8 = 6
• Signos diferentes se restan y la respuesta lleva
el signo del mayor. –3 – 2 = –5
• Signos iguales se suman y se colocan el mismo
signo a la respuesta.

2) Factorice : I(x)=x2+6x+8
Resolución:
Como es un trinomio de segundo grado (grado par) por el aspa simple:





3)Factorizar : x2 – 2x – 15
Resolución:




4)Factorice:  J(x) = x2 – 5x – 24
Resolución:




5) Halle el número de factores primos :
K(x) = x4–13x2 + 36
resolución



 por diferencia de cuadrados:
el número de factores primos es: 4

6) Factorizar: x2 + 10x + 21
Resolución:









Ejercicio:
Factorizar:  a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab – 28
Resolución:
(a + b)2 + 3(a + b) –28 ® (a + b + 7)(a + b–4)





Más  Ejemplos:
Factorizar : P(x) = 3x2–4x–15
       Þ  3x2 - 4x - 15

                     



Luego:  P(x) = (3x + 5)(x – 3)


•Q(x,y) = 8x2 + 215xy – 27y2
       8x2 + 215xy – 27y2
                   



Luego:  Q(x;y) = (8x – y)(x + 27y)

• Sea:  P(x) = x3 –  – 1 = (x2 + 1)(x – 1)
             x3 - x2 + x – 1 = (x2 + 1)(x – 1)
IV) ASPA DOBLE :
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax2m + Bxmyn + Cy2n + Dxm + Eyn + F
O cualquier otra expresión transformable a esta .
Cuando un polinomio tiene 6 términos de grado par, puede aceptar 2 factores de 3 términos.





Aspa de comprobación (con los extremos)





Luego:
P(x , y , z)=(A1 xm+C1 yn+F1 zP)(A2 xm+C2 yn+F2 zP)

Los pasos  a seguir son los siguientes :

A) se adecúa el polinomio a la forma general , en caso de que falte uno o más términos  estos se completan con ceros .
B) se toma el primer trinomio de la expresión y se aplica aspa simple  para comprobar el  término xmyn.
C) seguidamente a los términos en y2n ; yn y el término independiente F se les aplica un aspa simple para comprobar al término en yn.
D) finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar al término en xm.
Cumplidos los pasos anteriores , se concluye que los factores serán las sumas horizontales .
Ejemplo 1:
•Factorizar:          
        20x2 + 22yx + 6y2 – 33x – 17y + 7
     
         



*La expresión factorizada es :
         (5x + 3y –7)(4x+2y – 1)
Ejemplo 2 :
Factorice:
L(x,y,z)= x2+3xy +2y2+4x+7y+3
ResoluciÓn:




Aspa de comprobación (con los extremos) .





Luego: L(x, y, z) = (x + 2y + 1)(x + y + 3)
Ejemplo 3 :
Factorice:
M(x, y,z) = 2x2 + 7xy + 6y2 + 7xz + 10yz – 4z2
ResoluciÓn:




Aspa de comprobación:
       



Luego: M(x, y,z) = (2 x + 3 y – z)(x + 2 y + 4 z).
Ejemplo 4:
· Factorizar:
   6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2
   
     



*La expresión factorizada es:
(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)
Ejemplo 5 :
Factorizar:
   P(x,y) = x2 + 2xy +  y2 – 3x – 3y – 4
       





P(x;y) = (x + y – 4)(x + y + 1)
Procedimiento General:
   Ax2m + Bxmyn + Cy2n + Dxm + Eyn + F
   





Debe ocurrir que:
i) A1xm C2yn + A2xmC1yn = Bxmyn
ii) C1ynF2 + C2ynF1 = Eyn
iii) A1xm F2 + A2xm F1 = Dxm
Luego los factores se toman en forma horizontal.
P(x;y)= (A1xm + C1yn + F1)(A2xm + C2yn +F2)
Ejemplo :
Factorizar:
P(x;y) = 3x2 + 10xy + 8y2 + 14x + 22y + 15
Resolución:
  3x2  +  10xy  + 8y2  + 14x  + 22y  +  15





*Verificando:
I) 3x.2y + x.4y = 10xy
II) 4y ×3 + 2y×5 = 22y
III) 3x.3 + x.5 = 14x
*Luego:  P(x,y) = (3x + 4y + 5)(x + 2y + 3)
V) ASPA DOBLE ESPECIAL :
Cuando en un aspa doble el término central es semejante al aspa de comprobación se reducen a un término y solo aparecen 5 términos, este es el caso del aspa doble especial.
Primero se comienza con los extremos para hallar el aspa de comprobación y luego se calcula el verdadero término central.
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma :
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
REGLA:
•Se descompone el término de mayor grado y el término independiente ; se calcula la suma del producto en aspa.

•A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central . La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio.

Ejemplo 1 :
Factorizar:
    Q(x)  = 5x4 + 22x3 + 21x2 + 16x + 6
resolución:
   5x4 + 22x3 + 21x2 + 16x + 6
                           




*Se tiene en el aspa mayor :
  (5x2)(2)+(x2)(3)=10x2 + 3x2 = 13x2

* Se debe tener :  21x2

*Falta : 21x2–13x2=8x2cantidad   a  descomponer
 P(x) = (5x2 + 2x + 3)(x2 + 4x + 2)

Ejemplo 2 :
Factorice:
 N(x) = x4 + 5x3 + 12 x2 + 17 x+ 5
Resolución:
Tiene 5 términos, el término central es x2 y el aspa de comprobación es x2

Obtengamos el aspa de comprobación con los términos extremos.









Si el aspa de comprobación es 6x2; y el polinomio tiene 12x2, entonces el término central será
    12x2– 6x2 = 6x2


Ejemplo 3 :
Factorice:
    Q(x) = 2 x4 + 7x3 + 15x2 + 22x + 8
Resolución:
Desdoblando el término 15x2 como 5x2 + 10x2 , se tiene:
Q(x) = 2x4 + 7x3 +5x2 + 10x2 + 22x + 8
           




Q(x) = (2x2 + 5x + 2) (x2 + x + 4)
           



Q(x) = (2x + 1) (x + 2)(x2 +x + 4)
Ejemplo 4  :
Halle el número de factores primos de:
P(x) = 12x4 – 8x3 + 25x2 + 2x –7
Resolución:
Desdoblando el término 25x2 como 0x2 + 25x2 , se tiene:
               





Luego, el número de factores primos es 3.
Ejemplo 5 :
Factorizar:
      P(x) = x4 + 3x3 + 7x2 + 7x + 6
Resolución:
      x4  +  3x3  +  7x2  +  7x  +  6
 




* Se tiene en el aspa mayor :
      (x3)(2) +(x3)(3) =  2x2 + 3x2 = 5x2
* Se debe tener :  7x2
*Falta: 7x2 -5x2= 2x2Cantidad a  descomponer
         P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 + x + 2)
*Como: (x2 + 2x + 3)  y  (x2 + x + 2) son primos , luego ahí queda.

Ejemplo 6 :
Factorizar:  P(x) = x4 + x2 + 1
Resolución:
*Completando  y ordenando :
     P(x)= x4 + 0x3 + x2 + 0x + 1
             





P(x) = (x2– x + 1)(x2 + x + 1)
Ejemplo 7 :
Factorizar:
     P(x) = x4 + 5x3 + 4x2 – x – 15
Resolución:
       x4 + 5x3 + 4x2 - x - 15
     
   





     (4x2)- (-2x2) = 6x2
P(x) = (x2 + 3x – 5)(x2 + 2x + 3)
vi) aspa triple :
Se emplea para factorizar polinomios que estén  en funcion de tres variables y  que tengan 10 términos, de la forma :
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dyz + Ez2 + Fxz + Gx + Hy+iz+k

El procedimiento a seguir es:

1) Se adecùa el polinomio a la forma general, en caso falte un término este se completará con ceros.

2) Se toma al primer trinomio de la expresión y se le aplica  una aspa simple para comprobar al término Bxy.

3) Luego se toman a los términos en ‘‘y2’’. ‘‘yz’’ y «z2» y se les aplica aspa simple para comprobar el término Dyz.

4) Otra aspa para los términos en z2 ; z y el término independiente K para comprobar al termino iz.

5) Luego tantas aspas simples como términos falten por  comprobar  , asi para comprobar el término Fxz. se consideran a Ax2 , Fxz y Ez2 ;  para el término en x , Ax2, Gx y K ; para el término en y , Cy2 , Hy y K.

Cumplidos los pasos anteriores los factores serán las sumas horizontales.
Ejemplo  :
Factorizar :
55x2 + 7xy –6y2 + 7xz–6z2 –12yz + 2x –14y –14z–8
Resolución:
55x2 + 7xy – 6y2 + 7xz –12yz-6z2 + 2x –14y –14z–8
 


*verificando las expresiones que faltan :
   (11x)(2z)+ (5x)(–3z)=7xz
        (11x)(2)+ (5x)(–4)=2x
          (–3y)(2)+ (2y)(–4)=–14y
*entonces la expresión factorizada será:
      (11x – 3y – 3z – 4)(5x+2y+2z+2)
VIi) MÉTODO DE LOS DIVISORES BINóMICOS:
Se aplica a polinomios de cualquier grado , generalmente con una sola variable , siempre que tenga por lo menos un factor lineal (primer grado). Con este método se busca uno o más factores binomios primos.

TEOREMA DEL FACTOR : un polinomio tiene un factor  lineal  o de primer  grado   de   la  forma
(Ax + B) ó (x ± a)   El polinomio se  anula con

;  donde a   aquel    factor
lineal también se le llama divisor binómico.
Tratamos de buscar divisores binómicos y además: el T.I. del divisor tiene que ser un divisor del T.I. del polinomio.
Es decir si:
P(x) =  a0 xn  +  a1 xn-1  + ......+ an–2 x2 + an–1 x + an

El posible divisor binómico será: x ± a, donde:


ceros de un polinomio
Son los valores de la variable que anulan el polinomio (valor numérico cero).
ejemplo:
sea :  p(x)=2x3-5x+3
si x=1 : p(1)=2(1)3–5(1)+3=0.......se anula , entonces 1 es un cero o raíz de p(x)
Para obtener los posibles  «ceros» de un polinomio , se debe tener en cuenta lo siguiente :
caso i:
Si el coeficiente principal es igual a 1 (polinomio mónico ) los posibles ceros serán divisores del término independiente con su doble signo.
ejemplo:
sea :  p(x)=x3–75x2+3x – 2
Entonces sus posibles ceros serán :
caso ii:
Si el coeficiente principal es  diferente de 1,  entonces los posibles ceros serán :



ejemplo:
sea :  p(x)=3x3+x2 – 11x – 5
Entonces sus posibles ceros serán :
 



regla para factorizar:
1)Recordando  el siguiente teorema:
«Si P(x0) = 0 ; entonces: (x – x0) es un factor primo de P(x)»
Se calcula los posibles ceros y se comprueba si alguno anula al polinomio.
ejemplo:
Si se anula para:








2) Los demás factores se encuentran al efectuar:

Es decir los otros factores se determinan utilizando la regla de ruffini , que se a de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio , por lo  general  es conveniente llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado , para poder aplicar aspa doble especial o de segundo grado ).
Ejemplo 1:
Factorizar:  P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6
resolución:
Como se trata de un polinomio mónico entonces:  
Posibles ceros = ± {1 ;  2 ; 3 ; 6}
*Probando con uno de ellos ; para  x =1 por Ruffini.
 




R = 0 , lo que significa que x=1 es un cero luego un factor es (x – 1)
*quedando el polinomio así :  
             P(x) = (x – 1)(x2 – 5x + 6)
             



              P(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 2)
RESUMEN:
* Calcular posibles ceros.
* Aplicar Ruffini buscando posibles ceros.
Ejemplo 2 :
Factorice: S(x) = x3 + x – 10
ResoluciÓn:
Los posibles divisores binómicos son:
x ± 1; x ± 2; x ± 5; x ± 10, donde 1; 2; 5 y 10 son divisores del término independiente 10.
Probemos con ‘‘x – 2’’
Dividiendo por la Regla de Ruffini:








Ejemplo  3 :
Factorizar:  P(x) = x4 – 2x + 1
resolución:


* por Ruffini:
 

 


 
                 
                          q(x) = x3 + x2 + x –1
              P(x) = (x – 1)(x3 + x2 + x – 1)
El Ruffini también se puede aplicar en forma sucesiva.
Ejemplo 3 :
Factorizar:  P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6
resolución:

 
 

* luego por Ruffini:
 

                         

                                       




                                   
                                   q(x) = x - 1
          P(x) = (x – 2)(x – 3)(x – 1)
Ejemplo 4 :
Factorice:  F(x) = x3 + 6x2 + 15x + 14
OBSERVACIÓN:
Cuando los términos del polinomio son positivos, solamente probaremos los valores negativos para x.
I)
   
 
                    x = – 2
F(-2) = (–2)3 + 6(–2)2 + 15(–2) + 14 = 0
Þ ‘‘-2’’ es un cero.
II) Por la teoría dada se deduce que:
(x + 2)  es factor de F(x) F(x) = (x + 2)G(x)
III) Calculamos G(x)  aplicando  Ruffini :            
     
 



   
G(x) = x2 + 4x + 7
P(x) = (x + 2)(x2 + 4x + 7)
Ejemplo 5 :
Hallar el factor primo cuadrático de
   U(x)=x3+2x2– x – 42
Resolución:
Los posibles divisores binómicos son:
x ± 1; x ± 2; x ± 3; x ± 6; x ± 7; x ± 21; x ±42 Probemos con: x – 3
Por Ruffini:







Luego, el factor primo cuadrático es: x2 + 5x + 14
Ejemplo 6 :
Factorice :   T(x) = 2x4 + 3x3 + 2x2 + 9x + 9
Resolución:
Como el primer coeficiente es ‘‘2’’; los posibles números de prueba son:
es decir. a= ± 1, ± 3, ± 9,
 ,


Luego: escogemos

       








Ejemplo 7 :
Factorice : H(x) = x3 – x2 – 17x + 33
Resolución:
 Posibles ceros racionales = ± {1;3;11;33}
* Aplicando Ruffini:






                     

 H(x) = (x –3)(x2 + 2x – 11)
Artificios  diversos
Para facilitar la factorización se puede hacer uso de los siguientes artificios:
VIi)Cambio de variable  :
Cuando se repite una misma expresión en el polinomio, se usa el cambio de variable.
Ejemplo 1 :
Factorice el polimonio
   V (x) = (x2 + x + 2)2 – 5 (x2 + x + 2) + 6
Resolución:
Haciendo el cambio de variable: x2 + x + 2 = a
Con lo  cual, el polinomio quedará así:
V = a2 – 5a + 6 = (a – 3)(a – 2)
Como a= x2+x+ 2
Entonces reponiendo:
V(x) = (x2 + x + 2 – 3) (x2 + x + 2 – 2)
Luego:
    V(x) = (x2+ x –1)(x2+ x) = x (x + 1)(x2+x –1)
Ejemplo 2 :
Factorice el polinomio:
    A(x) = (x2 + 3x + 1)2 – 6 (x2 + 3x + 1) + 5
Resolución:
Haciendo cambio de variable: a= x2+ 3x+1, entonces:
A = a2 – 6a + 5 = ( a – 1 )( a – 5 )
Luego, restituyendo:
A(x)=(x2 + 3x + 1 – 1)(x2 + 3x +1 – 5)
      =(x2 + 3x)(x2+3x – 4)
A(x) = x (x + 3)(x + 4)(x – 1)
VIII) Agrupación adecuada :
Aplicando la propiedad asociativa de la multiplicación y en forma adecuada para luego hacer un cambio de variable, se simplifica el proceso operativo.
Ejemplo 1 :
Factorice: B(x)=(x+2) (x+3) (x + 5) (x + 6)– 40
Resolución:
Agrupemos los factores de 2 en 2 tal que resulta una expresión repetida; para ello la suma de términos independientes en cada grupo debe ser una misma cantidad.
B(x) = [ (x + 2)(x + 6)] [(x + 3)(x + 5)] – 40




         


Reponiendo la variable inicial, es decir, reemplazando ‘‘a’’:


Ejemplo 2 :
Halle el número de F.P. lineales de:
 C(x) = (x + 1)(x + 3)(x – 2)(x + 6) –16
Resolución:

C(x) = (a+3) (a –12)–16=a2– 9a – 36 – 16
C(x) = a2 – 9a – 52 = (a –13)(a + 4)
C(x) = (x2+4x – 13)(x2+ 4x + 4) .
C(x) = (x2 + 4x – 13) (x + 2)2  El número de factores primos lineales es: 1
ix) MÉTODO DE SUMAS  y                                                                                                                           RESTAS ( y otros artificios)
Se inspecciona el dato , comparándolo con alguna identidad conocida, la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para construir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen . Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados , suma de cubos o diferencia de cubos.
Ejemplo:
Factorizar:  x4 + 4b4c8
Resolución:
*cuando aparecen exponentes pares se tratará de formar trinomios cuadrados perfectos:












Ejemplo 2:
Factorizar :  x4 + 64y4
Resolución:
*Sumando y restando:  16x2 y2
 x4 + 64y4 + 16x2 y2 – 16x2 y2
      x4 + 16x2 y2 + 64y4 –16x2 y2
(x2 + 8y2)2 – (4xy)2
*de donde : (x2 + 8y2 + 4xy)(x2 + 8y2 - 4xy)
Ejemplo 3 :
Factorizar :  P(x) = x4 + 4a4
Resolución:
P(x) =(x2)2 + (2a2)2 + 2(x2)(2a2) – 2(x2)(2a2)
         =  (x2 + 2a2)2 – (2ax)2
         =  (x2 + 2a2 + 2ax)(x2 + 2a2 – 2ax)
Ejemplo 4 :
Factorizar :
(a+b+c–2)2+(a+b+c–1)2–5(a+b+c+1)2
Resolución
*Si dos o más términos se repiten constantemente, se sugiere hacer cambio de variable.
Haciendo : x=a+b+c
Entonces  al reemplazar resulta:(x–2)2 +(x –1)2 –5(x + 1)
=x2–4x +4+x2–2x+1–5x-5=2x2–11x=x(2x–11)
Pero como : x = a+b+c
Entonces la factorización pedida será :
    (a+b+c) [ 2(a+b+c)–11 ]
Ejemplo 5 :
 Factorice: D(x) = x4 + 15 x2 + 64
Resolución:
Cuando el polinomio es de grado par se busca un trinomio cuadrado perfecto y , como consecuencia resulta una diferencia de cuadrados a la vez. En nuestro caso sumando y restando x2 :

     


Luego: D(x)=(x2+8)2–x2 por diferencia de cuadrados:
D(x) = (x2 + 8 + x )(x2 + 8 – x ), entonces:
D(x) = (x2 + x + 8) (x2 – x + 8)
Ejemplo 6 :
Factorice: E(x) = x5 + x + 1
Resolución:
Cuando el polinomio es de grado impar, se busca generalmente una suma o diferencia de cubos. En nuestro caso le sumamos y restamos x2
E(x) = x5 – x2 + x2 + x + 1, agrupando
E(x)= (x5 – x2) + (x2 + x + 1)
E(x)= x2 (x3 – 1) + (x2 + x + 1)
E(x)= x2(x –1)(x2+x+1) + (x2+ x +1)
E(x)=(x3 – x2)(x2 + x + 1) + (x2 + x +1)
E(x)= (x2+x+1) (x3 – x2+ 1)
Ejemplo 7 :
Factorizar :  P(x) = x7 + 2x4 + 1
Resolución:
* Sumamos y restamos : (x3)
P(x) =  x7 + 2x4 + x3– x3+1= x7+2x4 + x3 – (x3– 1)
         
           
     



P(x) = (x3 – x + 1)(x4 + x2 + x + 1)
Ejemplo 8 :
Factorizar :  P(x;y ) = x5+ x4y+y5
Resolución:
*sumamos y restamos : x2y3
    x5+ x4y+y5+ x2y3– x2y3
*agrupando adecuadamente :
x5–x2y3 + x4y +x2y3+y5= x2(x3–y3)+y(x4+x2y2+y4)
= x2(x-y)(x2+xy+y2)+y(x2+xy+y2)(x2–xy+y2)
*extrayendo el factor común:
(x2+xy+y2)[x2(x–y)+y(x2+xy+y2)]
          =(x2+xy+y2)(x3+xy2+y3)
x)factorización para polinomios  reciprocos:
Las expresiones recíprocas o recurrentes se caracterizan por que los términos de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
ejemplo :
*... es un polinomio recíproco de tercer grado .
*................ es un polinomio recíproco de cuarto  grado .

Debemos tener en cuenta lo siguiente:

i)Si la expresión recíproca de grado impar , uno de sus factores es  y ese factor estará multiplicado por una expresión recíproca de grado par.

ii)Si la expresión es recíproca de grado par los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales y el último término es positivo.
Procedimientos para factorizar polinomios recíprocos de grado par:
i) Se extrae la parte literal del término central dando
lugar a expresiones de la forma:


ii) Se hace el cambio de variable  con lo cual
se logra disminuir el grado del polinomio en la  mitad.













Procedimientos para factorizar polinomios recíprocos de grado impar
estos polinomios tienen la característica de anularse para x=1 ó  x= –1 por lo tanto admiten un factor (x-1) ó (x+1) necesariaramente.
Por ruffini se deduce el otro factor que será también un polinomio recíproco de grado par.
Ejemplo 1 :
Factorizar:
 
Resolución:
* Dado que el grado de P(x) es 4 , factorizamos x2 ; obteniendo :


* Agrupando los términos equidistantes de los extremos:



* Haciendo :



* Con lo cual:



* Por aspa:






* Como:  ; se tendría:





* Nuevamente por aspa simple:

Ejemplo 2 :
Factorizar:
Resolución:
*Se factoriza la parte literal del término central:




*Hacemos:



*Reponiendo z:



Ejemplo 3 :
Factorizar:
Resolución:
*como el grado es impar  del polinomio recíproco , entonces se deberá verificar que para x=1 se anula, luego por ruffini :







*luego el polinomio resultará :

*pero el polinomio
ya fue factorizado en el ejemplo anterior , por lo tanto la factorización pedida será:


xi) factorización  de  polinomios simétricos :
los polinomios simétricos son aquellos que no se altera al hacer un intercambio simultáneo de cualquier pareja de variables.
Ejemplo:
Sea; p(x:y:z)= x2+y2+z2+xyz
Si   hacemos  un  intercambio  de   «x»   por   «y»   y

 viceversa, se obtendrá:
  q(x:y:z)= y2+ x2 + z2 + yxz
 *de donde se puede apreciar que :
 p(x:y:z) =  q(x:y:z) , entonces p(x:y:z)es un polinomio simétrico.
Podría haberse escogido otra pareja, por ejemplo «x» con «z» ó «y» con «z», y  tampoco se alterará el polinomio.
representación de los polinomios simétricos
*1er grado 2 variables : a(x+y)
*1er grado 3 variables : a(x+y+z)
*2do grado 2 variables : a(x2+y2)+Bxy
*2do grado 3 variables :
        a(x2+y2+z2)+B(xy+xz+yz)
*3er grado 2 variables : a(x3+y3)+B(x2y+xy2)
*3er grado 3 variables :
a(x3+y3+z3)+B(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y )+Cxyz
polinomio alternado
Es Aquel que se caracteriza cuando al hacer un cambio simultáneo de cualquier par de sus variables, sólo cambia de signo.
EJemplo:
Sea : P(x;y;z) = x2 (y– z)+ y2 (z–x) + z2 (y – x)
Si intercambiamos simultáneamente «x» y  «y» se tendrá:
 q(x;y;z) = y2 (x– z)+ x2 (z–y) + z2 (x – y)
 q(x;y;z) =–[ x2 (y– z)+ y2 (z – x) + z2 (y – x)]
*de donde se puede apreciar que :
P(x;y;z)= – q(x;y;z) , dando a entender que p(x;y;z) solo a cambiado de signo , es decir es un polinomio alternado.

reglas :
*La suma , el producto y el cociente de dos expresiones simétricas cualesquiera es simétrica.

*El producto de un polinomio simétrico por otro alternado da otro polinomio alternado.

*Si un polinomio simétrico se anula para una de sus variables se anulará para todas las demás.

*Si el polinomio simétrico se anulará para una   variable igual a otra o su negativo , entonces se  anulará para todas las combinaciones de ellas, es decir :

«Si el polinomio simétrico tiene 3 variables y se anula para x=y entonces un factor del polinomio sera (x-y) y los otros factores se determinan de acuerdo a la siguiente forma circular o cíclica:
De acuerdo a este esquema lease los factores en sentido horario; o sea ellos serán:

                     
pasos a  seguir  en  la factorización de polinomios  simétricos
*Se comprueba si el polinomio es simérico o alternado.
*Se buscan factores monomios haciendo cualquier variable a cero.
*Se buscan factores binomios haciendo una de las variables igual a cualquiera de las otras o su respectivo negativo.
*Se analiza el grado de  la expresión  para ubicar los factores que falten.
*Se hace la equivalencia de polinomios y se utilizan los principios de identidad para reducir el valor de algunos coeficientes desconocidos.
Ejemplo 1  :
Factorizar : (a+b+c)5– a5 – b5– c5
Resolución:
* al hacerce el intercambio simultáneo de dos de sus variables se deduce que es simétrico.
*se deduce que se anula para a= – b , entonces : (a+b); (b+c) y (c+a) son factores.
*pero como la expresión a factorizar es de quinto  grado , luego tomará la siguiente forma:



*que tabulando para a=1 ; b=1 y  c=0 se obtendrá:
  2m+n=15.........................................(I)
* y para a=2  ; b=–1 y  c=0 se obtiene :
           
 5m-2n=15......................................(II)
* que al resolver el sistema de (I) y de (II) se deduce que: m=5  y  n= 5
Cosa que la expresión ya factorizada será:

Ejemplo 1  :
Factorizar : (m+n)5–m5–n5
Resolución:
Al hacerce el intercambio simultáneo de dos de sus variables se deduce que es simétrico.
Se deduce que se anula para m= – n ; m=0 y n=0, entonces : (m+n) ; m y n son factores.
Pero como la expresión a factorizar es de quinto  grado , luego tomará la siguiente forma:



Que tabulando para m=1 y  m=1  se obtendrá :
 2K+P=15...........................................(I)
* y para m=2  y  n=–1   se obtiene :
           
5K–2P=15.........................................(II)
* que al resolver el sistema de (I) y de (II)se deduce que: K=5  y  P= 5
Cosa que la expresión ya factorizada será:

ejercicios i
1) Factorizar lo indicado en cada ejercicio aplicando "factor común".









II) Factorizar en cada caso:
























* Factorizar en cda caso:


















ejercicios ii
Factorizar los siguientes polinomios:
• 5x2(a – b) + 3(b – a) =
• x(a + b – c) – y(c – a –b) =
• 4x7(a – b) – 8x5(b – a) =
Factorizar las siguientes expresiones:




Factorizar lo siguiente:




Factorizar:
• 2p2 + 3ap + 4p + 6a =
• xy + 2ay – 2bx – 4ab =
•a2x2 + b2x2 + a2y2 + b2y2 =
Factorizar en todos los casos:
 
 



II) Factorizar: