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DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA EJERCICIOS RESUELTOS-TEOREMA DEL FACTOR PDF

divisibilidad  algebraica
Se  dice que un polinomio es divisible entre otro , si el  resto  de  dividirlos es   cero ;     es decir  :  si  en
p(x)÷d(x) Þ r=0  entonces p(x)  es divisible entre d(x).
Esto significa que existe un único polinomio q(x) tal que:
También se dice que: ‘‘d(x) es un divisor o factor del polinomio P(x)’’


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si un polinomio p(x) es divisible por x – a entonces se dice que x – a es un factor de p(x).

propiedades:
i)Si un polinomio p(x) se anula para x=a entonces dicho polinomio es divisible por  x – a
ii) Si un polinomio p(x) es divisible separadamente por x+a ; x+b ; x+c , entonces también es divisible por el producto : (x+a)(x+b)( x+c).



iii) Si un polinomio p(x) es divisible por el producto (x+a)(x+b)( x+c), entonces p(x)es divisible separadamente por x+a ; x+b ; x+c .
 Si  un  polinomio  P(x)  es  divisible entre el producto (x–a)(x–b), entonces P(x)será divisible separadamente entre (x – a) y (x – b).


iv) Si un polinomio se divide entre varias expresiones separadamente  nos da un mismo resto, entonces al dividir  dicho polinomio entre el producto de dichas expresiones , también se obtiene el mismo resto .

V) Si al dividendo y al divisor se les multiplica por un polinomio no nulo , entonces el cociente no se altera, pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio.

VI) Si al dividendo y al divisor se les divide por un polinomio no nulo, entonces el cociente  no se altera, pero el resto queda dividido por dicho polinomio.
Ejemplos:
* A partir de  : x3 –1 == (x – 1 )(x2 + x + 1)
decimos que   : x3 –1 es divisible entre x – 1
ó también       : x – 1 es un divisor o factor de x3 – 1

*  De la identidad  :
decimos que    : x4 – 1 es divisible entre x2 + 1
ó también     : x2 + 1 es un divisor o factor de x4– 1

* La identidad anterior también se puede escribir así:
de donde se puede decir que : x4 – 1 es divisible entre x + 1 o sino : x+ 1 es un divisor o factor de x4– 1
TEOREMA DEL FACTOR
Un polinomio P(x) se anula para x=a, esto quiere decir que P(a) = 0, si y sólo si (x – a) factor de dicho polinomio. Es decir:
Dado un polinomio P(x) entonces:
 

EJEmplo 1 :
Si un polinomio cúbico mónico se anula para x=6 y para x=2 . determinar dicho polinomio  si la suma de sus coeficientes es 5 .
resolución :
Aplicando  la primera propiedad se deduce que el polinomio deseado será de la forma siguiente :
                p(x)=(x–6)(x–2)q(x)+0
donde  q(x)=x–c , ya que se trata de un polinomio cúbico y mónico .
*pero como dato adicional tenemos a la suma de coeficientes (p(1)) que es igual a 5 , es decir :  p(1)=5
 Þ (1–6)(1–2)(1–c) =5 Þ  c=0
* con lo que el polinomio pedido será :
       p(x)=(x–6)(x–2)x=x3–8x2+12x
Ejemplo 2 :
 El polinomio P(x) = x4 –5x + 4 se anula para x = 1: P(1) = 1 – 5 + 4 = 0, entonces (x – 1) es  un factor de P(x) , es decir:


De la misma forma que en el caso anterior se tiene que:



Nótese que los cocientes en cada caso son diferentes.
EJEMPLO 3 :
determinar el resto al dividir :  

resolución :
*multiplicando  dividendo y divisor por (x–1)se obtendrá:




*ahora por el teorema del resto  : x3-1=0 Þ x3=1
*transformando el dividendo :
     


*luego el resto será :




*luego el resto verdadero se obtendrá dividiendo rfalso entre (x–1):


EJERCICIO 1:
Halle un polinomio P(x) de tercer grado que sea divisible separadamente entre (x + 3) y (x – 2) , que su suma de coeficientes sea 12 y que su término independiente es 12. Dar el resto de dividir: P(x) entre (5x + 5).
A) 6           B) 13           C) 12           D) 24           E) 42
Resolución:
Aplicando la 1° propiedad de la divisibilidad y por el algoritmo de la división se tiene:
Por dato: P(1) = 12 y P(0) = 12, entonces a = 5 y
 b = – 2
Luego el polinomio es: P(x) =(x + 3)(x – 2)(5x – 2) Por el teorema del resto:  P (–1)= 42
Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO  2 :
Un polinomio P(x) de tercer grado, al dividirlo entre (x – 1), (x + 2) y (x – 3) da el mismo resto 3. Si se divide P(x) entre (x+1) se obtiene como resto 19.
Calcule P(4)
A) 6           B) 13           C) 39           D) 24           E) 18
Resolución:
*Por el algoritmo de la división se tiene:


Pero P(–1) = 19, entonces se tiene que k = 2
Finalmente el polinomio es:

Rpta: ‘‘c’’
EJERCICIO 3 :
Halle el término independiente del polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x – 5) y (x – 4) deja el mismo resto 4, pero si se le divide entre (x + 1) y (x – 1) deja como resto 34 y 40 respectivamente.
A) 44           B) 43           C) 12           D) 24           E) 18
Resolución:
Por el algoritmo de la división se tiene:



Por dato se tiene que: P( –1 )=34 y P(1 )=40, luego: a = 1 y b = 2
Finalmente el polinomio es:
 P(x) = (x – 5)(x – 4)(x + 2) + 4  P(0) = 44
Rpta: ‘‘a’’
EJERCICIO 4 :
Al dividir 2F (x) + 3 entre (x –1) el residuo es 29; al dividir 4F (x) + x entre (x – 2) el residuo es 110. Halle el residuo  de  dividir  F (x)  entre el  producto
(x –1)(x –2).
A) x+3           B) 14x–1           C) 1+x           D) 3x           E)0
Resolución:
Por el algoritmo de la división se tiene que:
F(x) = (x –1)(x – 2)q(x) + ax + b
Pero por dato se tiene: 2F(1)+3=29 y 4F(2)+2= 110, de donde se obtiene: F(1)=13 y F(2)=27, reemplazando en el polinomio se determina que:
a = 14 y b = –1
Finalmente el residuo es:  14x – 1.
Rpta: ‘‘b’’
EJERCICIO 5 :
Si el polinomio :
 es divisible por ,entonces el valor de  es :
A)–3              B)–2              C)–1              D)1              E)2
Resolución:
*Como  es divisible entre :
       

* De donde, claramente:



Rpta: ‘‘c’’
EJERCICIO 6 :
Si: ;  admiten un factor común lineal, halle «m», si .
A)0             B)3             C)–2             D)–6             E)–10
Resolución:
*Si A(x)  y  B(x)  poseen   un  factor  común , también
posee el mismo factor.
   


*Este polinomio debe dividir a  y



*Por teorema del resto:

Rpta: ‘‘D’’
EJERCICIO 7:
Si  es un polinomio que cumple las siguientes condiciones:
• En de tercer grado
• Que
• Que sea divisible por
• Que su término independiente sea –8
• Que al dividir entre  su resto sea 28
Entonces el polinomio  es:


Resolución:
*  es divisible entre
*  es divisible entre
 es divisible entre

*  T.I.(P)= –8
*  deja resto 28



* Luego:
Rpta: ‘‘b’’
EJERCICIO 8 :
Si es un polinomio definido por:
. Tal que  es divisible separadamente entre ,  y , entonces el valor de  con  es:
A)0             B)1              C)–1              D) 2             E)–2
Resolución:
*Sies divisible separadamente por,
y , entonces,   también  es  divisible entre el
producto; es decir:

* Como  es MÓNICO; entonces Q=1; ahora se
igualan términos semejantes.


   
* De donde  y
* De igual manera:
* Se pide :
Rpta: ‘‘B’’
EJERCICIO 9 :
Calcule ‘‘a’’ sabiendo que  es un factor de
A)0            B)–1             C)2               D)3               E)–3
Resolución:
* De la identidad fundamental de la división:


* Donde q(x) es un polinomio de coeficientes enteros.
* Evaluando para  tenemos:
   

* Analizando para a=1 tenemos  de :



* Por el teorema del resto:







   



* Notamos que el residuo no es nulo
*«a» no  puede  ser 1 entonces   nos   queda la  otra
posibilidad a= –1; la cual satisface la condición.
Rpta: ‘‘b’’