DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA EJERCICIOS RESUELTOS PDF TEOREMA DEL FACTOR
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el resto de dividirlos es cero; es decir: si en P(x)÷d(x) ⇒ r=0 entonces p(x) es divisible entre d(x).
También se dice que: ‘‘d(x) es un divisor o factor del polinomio P(x)’’
Si un polinomio p(x) es divisible por x – a entonces se dice que x – a es un factor de p(x).
PROPIEDADES
𝑖) Si un polinomio p(x) se anula para x=a entonces dicho polinomio es divisible por x – a
𝑖𝑖) Si un polinomio p(x) es divisible separadamente por x+a ; x+b ; x+c , entonces también es divisible por el producto: (x+a)(x+b)(x+c).
𝑖𝑖𝑖) Si un polinomio p(x) es divisible por el producto (x+a)(x+b)(x+c), entonces p(x) es divisible separadamente por x+a; x+b; x+c.
Si un polinomio P(x) es divisible entre el producto (x–a)(x–b), entonces P(x) será divisible separadamente entre (x– a) y (x– b).
iv) Si un polinomio se divide entre varias expresiones separadamente nos da un mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de dichas expresiones, también se obtiene el mismo resto .
v) Si al dividendo y al divisor se les multiplica por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera, pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio.
vi) Si al dividendo y al divisor se les divide por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera, pero el resto queda dividido por dicho polinomio.
EJEMPLO :
A partir de: x³ –1 =(x – 1)(x²+ x + 1) decimos que: x³ –1 es divisible entre x – 1 ó también: x– 1 es un divisor o factor de x³– 1
TEOREMA DEL FACTOR
Un polinomio P(x) se anula para x=a, esto quiere decir que P(a)=0, si y sólo si (x – a) factor de dicho polinomio.
EJEMPLO 1 :
Si un polinomio cúbico mónico se anula para x=6 y para x=2.
Determinar dicho polinomio si la suma de sus coeficientes es 5.
RESOLUCIÓN :
Aplicando la primera propiedad se deduce que el polinomio deseado será de la forma siguiente: P(x)=(x – 6)(x – 2)q(x) + 0 donde q(x)=x–c, ya que se trata de un polinomio cúbico y mónico.
Pero como dato adicional tenemos a la suma de coeficientes (P(1)) que es igual a 5, es decir :
P(1)=5 ⇒ (1 – 6)(1 – 2)(1 – c) = 5 ⇒ c=0
Con lo que el polinomio pedido será : P(x)=(x – 6)(x – 2)x =x³– 8x²+12x
EJEMPLO 2 :
El polinomio P(x) = x⁴–5x + 4 se anula para x=1:
P(1)=1 – 5+4=0, entonces (x – 1) es un factor de P(x)
PROBLEMA 1 :
Halle un polinomio P(x) de tercer grado que sea divisible separadamente entre (x+3) y (x–2), que su suma de coeficientes sea 12 y que su término independiente es 12.
Dar el resto de dividir: P(x) entre (5x + 5).
A) 6
B) 13
C) 12
D) 24
E) 42
Rpta. : "E"
PROBLEMA 2 :
Un polinomio P(x) de tercer grado, al dividirlo entre (x – 1), (x + 2) y (x – 3) da el mismo resto 3. Si se divide P(x) entre (x + 1) se obtiene como resto 19.
Calcule P(4)
A) 6
B) 13
C) 39
D) 24
E) 18
Rpta. : "C"
PROBLEMA 3 :
Halle el término independiente del polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x – 5) y (x – 4) deja el mismo resto 4, pero si se le divide entre (x + 1) y (x – 1) deja como resto 34 y 40 respectivamente.
A) 44
B) 43
C) 12
D) 24
E) 18
Rpta. : "A"
PROBLEMA 4 :
Al dividir 2F(x)+3 entre (x –1) el residuo es 29; al dividir 4F(x) + x entre (x – 2) el residuo es 110. Halle el residuo de dividir F(x) entre el producto (x –1)(x –2).
A) x + 3
B) 14x – 1
C) 1 + x
D) 3x
E) 0
RESOLUCIÓN :
Por el algoritmo de la división se tiene que: F(x) = (x –1)(x – 2)q(x) + ax + b
Pero por dato se tiene:
2F(1)+3=29
4F(2)+2=110, de donde se obtiene:
F(1)=13
F(2)=27, reemplazando en el polinomio se determina que:
a =14 y b = –1
Finalmente el residuo es: 14x – 1
Rpta. : "B"