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BINOMIO DE NEWTON-EJERCICIOS RESUELTOS-ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF


DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON
* Desarrollando los binomios:
Nuestro objetivo es encontrar las potencias del binomio (a+b) cuando n 5.
Para ello vamos a estudiar  métodos o formas de poder conocer el desarrollo de :

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EL TRIÁNGULO DE PASCAL
Analicemos las pirmeras potencias de (a+b) y escribamos solamente sus coeficientes en el siguiente esquema triangular. Para ello consideremos :









Que cada elemento (coeficiente) que esta dentro del triángulo resulta de sumar los elementos que están encima de él, y el primero y último elemento de cada potencia es 1.

* De esta manera podemos conocer los coeficientes de :



*De otro lado, observando el desarrollo de  estos son polinomios homogéneos completo y ordenados (en forma decreciente respecto a la primera variable y en forma creciente respecto a la segunda).

* Por lo que, ahora si podemos conocer el desarrollo de .

* En particular el de



* La ampliación de dicho triángulo aritmético puede continuarse a voluntad, es decir, según la necesidad del estudiante.
Si observamos en detalle los elementos del triángulo, podemos deducir que, cada uno de ellos se puede expresar como un número combinatorio . Tal como sigue:











Como la (n+1) fila representa, los coeficientes de (a+b)n concluimos que los números combinatorios distribuidos horizontalmente en cada fila de dicho triángulo, nos  expresa los coeficientes de la potencia de un cierto binomio.
ejemplo 1:
Desarrollar : (a+b)6
resolución:
* Se sabe que todos  los términos son positivos. Luego tomando los números combinatorios de 7ma fila :


* Luego :


ejemplo 2 :
Expandir : (a–b)7
resolución:
* Considerando que los signos de los términos son alternadamente positivos y negativos, tomemos los números combinatorios de la 8va fila :


* Finalmente :

método de los coeficientes binómicos
Dado el polinomio P(x;y)= la expansión de  P(x;y) es:

Donde los números combinatorios son llamados coeficientes binomiales.
Ejemplo 1:
* La expansión de (x+6)6, es:


Ejemplo 2:
* El desarrollo de (x+2)4, es :





PROPIEDADES :

I)


Ejemplo:
*    5+1=6 términos
II) Los coeficientes de sus términos equidistantes son iguales por ser combinaciones complementarias.
III) La suma de sus coeficientes es 2n, es decir:


IV) Si el binomio es suma, los términos del desarrollo serán positivos, si es diferencia los signos son alternados, siendo el lugar par «negativo» y el lugar impar «positivo»


A) Contando de izquierda a derecha




 es el término de lugar (k+1)
Ejemplo:
* En el desarrollo de P(x;y)=se tiene que el tercer término , es :



B) Contando de derecha a izquierda :





Ejemplo:
*En la expansión de J(x; y) = se tiene que el término de lugar 4 con respecto al final, es:



término central
A) El desarrollo del binomio tendrá un único término central si «n» es par, luego la posición que ocupa este término es :






Ejemplo:
Determinar el término central del desarrollo de:


Resolución :



B) Si «n» es impar existen dos términos centrales.



Ejemplo :
Determinar los términos centrales del desarrollo de:

Resolución:
* Calculamos el primer término central para : n = 7





* Calculamos el segundo término central:




potencia de un polinomio
Al desarrollar la potencia del polinomio:



* No es nada sencillo ; puede  convertirse en un trabajo tedioso por la cantidad de términos que posee. Sin embargo , podríamos indagar por el coeficiente de cierto término.
* Analicemos un caso particular :
* Por álgebra se sabe que :


* Observa que todos los términos tienen el mismo grado 2. Además, el coeficiente de los términos de la parte literal  es 2. ¿Por qué? Porque se pueden formar dos permutaciones en cada caso :


* Y el coeficiente de es 1 porque en cada caso se puede formar una permutación con repetición
* Luego, si tenemos la potencia :

* Y deseamos conocer el coeficiente del término cuya parte literal es , habría que preguntamos cuántas permutaciones con repetición se pueden formar de seis en seis en las que aparece dos veces la x , dos veces la y y dos veces la z. Esto es:



* Este resultado se puede generalizar indicando que el coeficiente del término  en el desarrollo de la potencia (x+y+z)p es:

 donde

*Este resultado se conoce como teorema multinomial.
fórmula del desarrollo (fórmula de leibnitz)
Para obtener el desarrollo de un trinomio con exponente natural usaremos la fórmula de Leibnitz:



* Donde:
* Además:  donde la suma se realiza para todos los valores que puedan tomar
En el desarrollo de



donde :


Ejemplo 1 :
Halle el coeficiente de x5 en el desarrollo del trinomio:
Resolución:
*El término general del desarrollo es :



* Donde :  ........................... (I)
* Por condición:  ................... (II)
* Resolviendo (I) y (II), tomando en cuenta que .
* Las soluciones son :



* El coeficiente de  se obtiene realizando la suma para los tres tríos de valores encontrados para




Ejemplo 2 :
Hallar el coeficiente de  en el desarrollo de

Resolución :
* En el desarrollo es

* Donde :

* Equivalente

* En nuestro caso  :


* Si :




* Luego el coeficiente de x6 es:




número de términos
El desarrollo de  tiene :




Ejemplo 1 :
En su desarrollo :

Así :  tendrá:





* Efectivamente, ya que su desarrollo es :
 de 6 términos.
Ejemplo 2 :
En  se tendrá :

 términos.

binomio de newton con exponente negativo o fraccionario
coeficiente binomial :



* Donde:

* Además:

Ejemplo:






Si n es fraccionario o negativo el número de términos es ilimitado.
                                   



Ejemplos:














*







Esta fórmula será válida si

IMPORTANTE :
Si se tiene  y «x» es un valor pequeñísimo, se cumple:
 cuando «x» tiende a cero.
observaciones
1°) La suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo de (a + b)n es igual a 2n.

* Por el Teorema de Newton :


* Evaluando para a = 1 y b = 1, se tiene:




Ejemplos :





observaciones :
* Analicemos el desarrollo de
Por el Teorema de Newton se tiene :



* Expandiendo la sumatoria , resulta :



* Mostrando explícitamente la propiedad :


Ejemplos:



APLICACIONES :
I) Sumar la serie :



* Luego:

II) Efectuar :



* Acomodando los coeficientes y sumando y restando el número , así :




Es decir :

III) Que se obtiene al sumar :



* Es evidente que la sumatoria obedece la forma general de la propiedad . Por lo tanto :



2°) La suma de los coeficientes de los términos de lugar impar es igual a la suma de los coeficientes de los términos de lugar par en la  potencia de (a+b)n.
* Por el Teorema de Newton:



* Evaluando para a = 1 y b = –1, resulta:





* Asumiendo que :
Sp: Suma de coeficientes  de términos de lugar PAR
Si: Suma de coeficientes de términos de lugar IMPAR
St: Suma total de coeficientes.
* De la 1ra. propiedad  :
* De la 2da. propiedad , se sabe que
* Sustituyendo (II) en (I):


* Por lo tanto :
* Es decir :

* Para calcular los últimos términos de ambos miembros, debemos considerar dos casos:
primer Caso :
Si : “n” es PAR


ejemplo :


segundo Caso :
Si: “n” es IMPAR



ejemplo:



3°) La suma de los grados absolutos de todos los términos del desarrollo de




Ejemplo:
Dado :
* Desarrollando, se tiene :



* Luego :

* Por la fórmula :

4°) Cálculo de un término cualquiera contado a partir del extremo final en la potencia de (a+b)n


Ejemplo:
Determine el 4to. término contado de derecha a izquierda, en la expansión de la expresión:




* Por la fórmula :



* Finalmente :


5°) Cálculo del término central en la potencia de (a+b)n.
* Si «n» es un número PAR:
El desarrollo de (a+b)n admite un sólo término  central, cuya posición se calcula así:




* Si «n» es un número IMPAR:
La expansión (a+b)n posee dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan así:



Ejemplo 1:
Muestre el término central en el desarrollo de (x5+y3)6
Resolución:



* Luego :

* Por lo tanto :

Ejemplo 2:
Señale la suma de los grados absolutos de los términos centrales de la potencia de (x3y4)7.
Resolución :






* Análogamente, los términos serán:



* Nos piden:

                       
recuerda:
I) La suma de coeficientes en el desarrollo del binomio (ax+by)n  es:



donde  «x» e «y» son las variables.
II) La suma de exponentes en el desarrollo del binomio  es:




III) El coeficiente del valor máximo en el desarrollo de es el término central si «n» es  par, y los dos términos centrales si «n» es impar.






IV) El número de términos del desarrollo del trinomio (x+y+z)n es:



V) En general, el número de términos del desarrollo de :

es: