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Método de Determinantes-Sistema de Ecuaciones de 2×2 Ejercicios Resueltos Paso a Paso PDF

REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS-CONCEPTO Y EJEMPLO


REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES-EJEMPLO

PLANTEO DE SISTEMA DE ECUACIONES DE 2 VARIABLES - METODO DE CRAMER PROBLEMA RESUELTO     
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La resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes
Hasta este momento has visto tres métodos para resolver ecuaciones lineales en dos variables: gráfico, por sustitución y eliminación. A continuación un método que te puede ser de utilidad para el mismo tipo de ejercicio que los métodos anteriores.
“La regla de Cramer”.-Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea comenzar con una explicación sobre cómo calcular los determinantes.
Determinantes 2 x 2
Si a, b, c y d son cuatro números reales, a la expresión
D = se le llama un determinante 2 x 2.
D=
Método de Determinantes
Este método es de los más inmediatos1, además de que nos ayuda desde el principio a reconocer
si un S.E.L. tiene solución única o no.
Para empezar definimos el concepto de determinante:
Determinante
Sean a, b, c, d números reales. El arreglo de números:

a b
c d

se utiliza para denotar al determinante y su valor es igual a: a d 􀀀 b c.
Entonces, por definición:

a b
c d

= a d 􀀀 b c
Una forma de memorizar el concepto de determinante y cómo calcularlo consiste en observar que
multiplicamos las diagonales del arreglo de números, primero la que va de izquierda a derecha
(que es la manera como leemos) y de arriba hacia abajo (que nos arroja el primer producto: a d),
y después multiplicamos los otros dos números que no habíamos considerado: bc y restamos este
producto del anterior.
En un S.E.L. podemos tener, por ejemplo:
a x + b y = m
c x + d y = n
el cual se puede escribir en forma matricial2:

a b m
c d n

Para obtener la forma matricial de un S.E.L. basta escribir el mismo S.E.L. sin las variables. Es
decir, escribimos solamente los coeficientes.
De aquí se definen 3 determinantes:
3 El determinante principal:
Dp =

a b
c d

= a d 􀀀 b c
3 El determinante auxiliar en x:
Dx =

m b
n d

= md 􀀀 b n
1Descubierto por Gabriel Cramer (1 704 – 1 752), matemático suizo. Hay evidencia de que esta regla fue usada anteriormente
por el Matemático Inglés Colin Maclaurin (1 689 – 1 746). [?]
2En matemáticas, una matriz se define como un arreglo rectangular de números. El álgebra lineal es la rama de las
matemáticas que estudia estos objetos matemáticos, así como los vectores.
3 El determinante auxiliar en y:
Dy =

a m
c n

= a n 􀀀 mc
Para hacer más fácil las cosas, observa que en el determinante auxiliar de x hemos sustituido
los coeficientes de la variable x por el lado derecho de las ecuaciones del S.E.L., y de manera
semejante, para el determinante auxiliar de y se han sustituido los coeficientes de la variable y por
los números m, n, y el determinante se ha calculado como se definió anteriormente.
A partir de los determinantes podemos encontrar la solución del S.E.L.:
a x + b y = m
c x + d y = n
En este caso:
x =
Dx
Dp
=

m b
n d


a b
c d

=
md 􀀀 b n
a d 􀀀 b c
y =
Dy
Dp
=

a m
c n


a b
c d

=
a n 􀀀 mc
a d 􀀀 b c
Para dar evidencia de que esto es verdad, vamos a volver a resolver el siguiente S.E.L.:
Resuelve:
x + y = 10
x 􀀀 y = 2
Primero encontramos el determinante principal:
Dp =

1 1
1 􀀀1

= (1)(􀀀1) 􀀀 (1)(1) = (􀀀1) 􀀀 (1) = 􀀀2
Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:
Dx =
10 1
2 􀀀1

= (10)(􀀀1) 􀀀 (1)(2) = (􀀀10) 􀀀 (2) = 􀀀12
Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:
Dy =

1 10
1 2

= (1)(2) 􀀀 (10)(1) = (2) 􀀀 (10) = 􀀀8
Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:
x =
Dx
Dp
=
􀀀12
􀀀2
= 6
y =
Dx
Dp
=
􀀀8
􀀀2
= 4
Y ya sabemos que la solución es correcta3.
Resuelve:
2 x + y = 6
x 􀀀 2 y = 8
Calculamos primero el determinante principal:
Dp =

2 1
1 􀀀2

= (2)(􀀀2) 􀀀 (1)(1) = (􀀀4) 􀀀 (1) = 􀀀5
Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:
Dx =

6 1
8 􀀀2

= (6)(􀀀2) 􀀀 (1)(8) = (􀀀12) 􀀀 (8) = 􀀀20
Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:
Dy =

2 6
1 8

= (2)(8) 􀀀 (6)(1) = (16) 􀀀 (6) = 10
Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:
x =
Dx
Dp
=
􀀀20
􀀀5
= 4
y =
Dx
Dp
=
􀀀10
􀀀5
= 􀀀2
Ahora vamos a verificar que la solución sea correcta:
2 x + y = 6 ) 2 (4) + (􀀀2) = 6
x 􀀀 2 y = 8 ) 4 􀀀 2 (􀀀2) = 8
La ventaja de usar este método consiste en que si el determinante principal es igual a cero, entonces
podemos concluir inmediatamente que el S.E.L. no tiene solución única. Es posible que no
tenga solución, como es posible que tenga un número infinito de soluciones.
Resuelve:
2 x 􀀀 3 y = 7
4 x 􀀀 6 y = 0
3Este S.E.L. ya se resolvió por varios métodos. Puedes ver la solución en las páginas ?? (método gráfico), ?? (eliminación)
ó ?? (sustitución).
Para resolver este S.E.L.4 vamos a calcular primero el determinante principal:
Dp =

2 􀀀3
4 􀀀6

= (2)(􀀀6) 􀀀 (􀀀3)(4) = (􀀀12) 􀀀 (􀀀12) = 0
Dado que Dp = 0, no podremos encontrar los valores de las variables x e y, porque tendremos
división por cero.
De aquí se concluye que el S.E.L. no tiene solución única.
Para saber si el S.E.L. tiene un número infinito de soluciones o no tiene solución, calculamos
los otros dos determinantes auxiliares:
Empezamos calculando el valor del determinante auxiliar de x:
Dx =

7 􀀀3
0 􀀀6

= (7)(􀀀6) 􀀀 (􀀀3)(0) = (􀀀42) 􀀀 (0) = 􀀀42
Y ahora calcumamos el determinante auxiliar en y:
Dy =

2 7
4 0

= (2)(0) 􀀀 (7)(4) = (0) 􀀀 (28) = 􀀀28
En este caso tanto Dx como Dy son distintos de cero, indicando que el S.E.L. no tiene solución.
¿Por qué? Observa que si multiplicamos la primera ecuación del S.E.L. por 2 obtenemos:
2 x 􀀀 3 y = 7 ) 4 x 􀀀 6 y = 14
Y al compararla con la segunda ecuación del S.E.L. podemos concluir que se trata de un
S.E.L. formado por dos rectas paralelas distintas.
En caso de que los determinantes auxiliares hubieran resultado ser iguales a cero, tendríamos
que las dos ecuaciones que forman el S.E.L. serían la misma recta, y el S.E.L. tendría
en ese caso un número infinito de soluciones.
Entonces, este S.E.L. no tiene solución.
En la oficina municipal utilizan dos fotocopiadoras para preparar invitaciones para el día de
las madres. La máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X. Cuando
trabajan juntas producen 19 800 fotocopias en 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de fotocopiado de
cada máquina?
Sabemos que la máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X.
Es decir, si x es la velocidad de fotocopiado de la máquina X y y es la velocidad de fotocopiado
de la máquina Y, tenemos que:
y = x + 600 ) 􀀀x + y = 600
Por otra parte, sabemos que en 3 horas las dos máquinas trabajando juntas producen 19 800
fotocopias:
3 x + 3 y = 19 800
4Este S.E.L. fue tomado de la fuente: [?] indicada en la bibliografía.
Entonces, el S.E.L. que modela nuestro problema es:
􀀀x + y = 600
3 x + 3 y = 19 800
Primero lo escribimos en forma matricial:

􀀀1 1 600
3 3 19 800

Ahora es más fácil encontrar los determinantes:
Dp =

􀀀1 1
3 3

= (􀀀1)(3) 􀀀 (1)(3) = (􀀀3) 􀀀 (3) = 􀀀6
Dado que Dp 6= 0 sabemos que el S.E.L. tiene solución única.
Ahora encontramos el determinante auxiliar en x:
Dx =

600 1
19800 3

= (600)(3) 􀀀 (1)(19800) = (1800) 􀀀 (19800) = 􀀀18000
Y el determinante auxiliar en y:
Dy =

􀀀1 600
3 19800

= (􀀀1)(19800) 􀀀 (600)(3) = (􀀀19800) 􀀀 (1800) = 􀀀21600
Y la solución de este S.E.L. es:
x =
Dx
Dp
=
􀀀18 000
􀀀6
= 3 000
y =
Dx
Dp
=
􀀀21 600
􀀀6
= 3 600
Ahora comprobamos que la solución esté correcta:
Es evidente que la solución satisface la primera ecuación:
y = x + 600 ) 3 600 = 3 000 + 600
Ahora verificamos que satisfaga la segunda ecuación:
3 x + 3 y = 19 800 ) 3 (3 000) + 3 (3 600) = 19 800
Con lo que probamos que la velocidad de la fotocopiadora X es de 3 000 fotocopias por hora
y la fotocopiadora Y tiene una velocidad de 3 600 fotocopias por hora.
En la biblioteca de una primaria encontraron que hay 3 libros de química más que de física y la
suma de esos libros es 27. ¿Cuántos libros de cada una de esas materias hay?
Vamos a denotar al número de física con la letra f y los de química por q.
Sabemos que si a los libros de física le sumamos 3, obtenemos el número de libros de
química:
q = f + 3 ) 􀀀f + q = 3
Por otra parte, sabemos que sumamdos los libros de física y los de química en total son 27:
f + q = 27
Nuestro S.E.L. es:
􀀀f + q = 3
f + q = 27
Es evidente que este S.E.L. se puede resolver rápidamente por el método de eliminación,
pero vamos a probar la solución por el método de determinantes.
Ahora escribimos el S.E.L. en su forma matricial:

􀀀1 1 3
1 1 27

Para resolver este S.E.L., empezamos calculamos los determinantes:

Ahora vamos a verificar que esta solución satisface las condiciones del problema:
3 La primera condición: «...hay 3 libros de química más que de física», se cumple: 15 = 12+3
3 La segunda condición: «...la suma de esos libros es 27», también se cumple: 12 + 15 = 27
Cuando encuentres un S.E.L., primero observa qué método de solución te ayuda a resolverlo con
el mínimo esfuerzo.
Una buena idea consiste en calcular primero el determinante principal del S.E.L., porque esta
información te dirá si tiene solución única (en caso de que Dp 6= 0).