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VECTORES EJERCICIOS RESUELTOS DE CUARTO DE SECUNDARIA PDF

Lección 1: Vectores en el plano cartesiano Lección 2: Vectores en el espacio Proyecto de la unidad Lección 3: Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesiana Lección 4: Ecuación vectorial y paramétrica de una recta en el espacio Evaluación de proceso Lección 5: Rectas y planos en el espacio Lección 6: Ecuación vectorial del plano en el espacio Lección 7: Ecuación paramétrica y cartesiana del plano en el espacio Lección 8: Ecuaciones cartesianas de la recta en el espacio OBJETIVOS : • Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la recta en el espacio. • Deducir la distancia entre dos puntos ubicados en un sistema de coordenadas en tres dimensiones y aplicarla al cálculo del módulo de un vector. • Identificar y describir puntos, rectas y planos en el espacio; deducir la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana. El desplazamiento, tal como la velocidad y la fuerza, es un vector. Un vector se caracteriza por su: • módulo: es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa gráficamente por la longitud de la flecha. • dirección: está dada por la orientación en el plano o en el espacio de la recta que lo contiene. • sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. El vector se representa por un segmento orientado con origen en A y extremo en B, se representa por el símbolo AB $ . La distancia entre A y B representa gráficamente el módulo del vector AB $ . Dos segmentos orientados representan al mismo vector si son paralelos (luego, tienen la misma dirección), tienen el mismo sentido y el mismo módulo o magnitud, sin importar dónde está ubicado su origen. Si alguna de estas condiciones no se cumple, decimos que los vectores son distintos. Además, decimos que dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario. 1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. El vector nulo tiene módulo igual a cero. b. Dos vectores opuestos tienen distintas direcciones y diferentes módulos. c. La suma de dos vectores es siempre un número real. d. La diferencia entre dos vectores es otro vector. 2. Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí, responde en tu cuaderno. a. ¿Qué característica tienen los puntos P(a, b) que están ubicados en el eje Y? b. Los puntos P(a, b) y Q(b, a), ¿son iguales? Justifica. c. La suma de dos vectores, ¿es conmutativa? Es decir, ¿a + b = b + a ? d. ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplir dos vectores para considerarlos iguales? 3. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y tiene vector director d, en cada caso. Luego, obtén otros tres puntos de cada recta. a. P(2, 1) y d = 〈–2, 6〉 b. P(–1, 4) y d = 〈3, 8〉 c. P(0, 5) y d = 〈4, –7〉 4. Determina la ecuación vectorial correspondiente, en cada caso. a. 4x – 5 = 2y + 3 b. 3x – 4y + 7 = 0 5. Calcula, en cada caso, el valor de k de modo que las operaciones entre vectores tengan el resultado indicado: a. 〈2, k〉 + 〈1, –6〉 = 〈3, 1〉 b. 〈1, k〉 + 〈k, 3〉 = 〈4, 6〉 c. 〈k, 2〉 + 〈–4, 6〉 + 〈k, 3〉 = 〈8, 1〉 d. 〈k, 2〉 – 〈3, k〉 = 〈0, –1〉 e. 〈–3, 2〉 + 2 〈k, 2〉 = 〈7, 6〉 f. 3 〈4, k〉 – 4 〈k, 7〉 = 〈20, –34〉 6. ¿Para qué valor de q, en cada caso, los vectores dados son paralelos? a. 〈3, 5〉 y 〈q, 15〉 b. 〈4, –10〉 y 〈q, 5〉 c. 〈12 , q〉 y 〈3, – 92 〉 d. 〈6, 8〉 y 〈q, 6〉 e. 〈q, – 45 〉 y 〈– 34 , 12 5 〉 f. 〈14 3 , 2〉 y 〈q, – 47 〉 7. ¿Para qué valor de p, en cada caso, los vectores dados son perpendiculares? a. 〈4, 5〉 y 〈p, –12〉 b. 〈6, 15〉 y 〈–9, p〉 c. 〈12, 0〉 y 〈p, 25〉 d. 〈p, 13 〉 y 〈12 , 35 〉 e. 〈3, 37 〉 y 〈–2, p〉 f. 〈– 15 4 , p〉 y 〈√2 , 5〉 8. Determina un vector paralelo a 〈–5, 2〉, en cada caso, tal que cumpla: a. Su segunda componente es 3. b. Su primera componente es –1. c. Su segunda componente es negativa y su módulo es 10. d. Su primera componente es positiva y su módulo es 1. e. Al restar 3 a su segunda componente, se obtiene su primera componente. f. Al sumar 4 a su primera componente, se obtiene su segunda componente. 9. Calcula el módulo de los siguientes vectores. a. 〈1, –2〉 b. 〈–3, 4〉 c. 〈–4, 7〉 d. 〈1, 0, 2〉 e. 〈0, –3, 4〉 f. 〈–2, 1, 1〉 1. Para cada trío de puntos, ¿existe un único plano que los contiene? a. P(0, 1, 1), Q(0, 4, 1) y R(0, 0, 1) b. P(1, 2, 1), Q(1, 5, 1) y R(1, –1, 0) c. P(2, –4, –7), Q(0, 3, 0) y R(0, 5, –6) 2. Considera cada punto y recta, ¿existe un único plano que los contiene? a. P = (2, –4, 2) y L: 〈4, 0, 5〉 + l 〈1, 2, 3〉 b. P = (4, –1, 9) y L: 〈6, –3, 5〉 + l 〈1, –1, –2〉 c. P = (2, 6, 0) y L: 〈2, 0, 3〉 + l 〈3, –5, –1〉 3. Los siguientes pares de rectas, ¿determinan un único plano? a. L1: 〈2, 1, 0〉 + l 〈1, 0, 1〉 L2: 〈5, 1, 4〉 + m 〈1, 0, 1〉 b. L1: 〈1, –1, 2〉 + l 〈1, 2, 1〉 L2: 〈3, 3, 4〉 + m 〈2, 4, 2〉 c. L1: 〈1, –1, 1〉 + l 〈–3, 2, 0〉 L2: 〈–1, 3, 1〉 + m 〈9, –6, 0〉 4. ¿Cuál es la posición relativa entre los siguientes pares de rectas? a. L1: 〈0, 1, 1〉 + l 〈1, 1, 0〉 L2: 〈2, 3, 1〉 + m 〈1, 1, 0〉 b. L1: 〈3, 4, 0〉 + l 〈2, 0, –1〉 L2: 〈9, 4, –3〉 + m 〈–2, 0, 1〉 c. L1: 〈3, 0, 2〉 + l 〈1, 2, 1〉 L2: 〈1, –4, 0〉 + m 〈3, 0, 9〉 5. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial de la recta correspondiente. a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1) b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3) c. P(2, 5, 1), Q(–6, –15, –3) y R(4, 20, 2) d. P(1, 2, 1), Q(4, 5, 4) y R(–2, –1, –2) e. P(3, 4, 7), Q(1, 4, 1) y R(2, –5, 13) f. P(–4, 1, 10), Q(5, 3, 12) y R(4, –1, 0) 6. ¿El punto P pertenece a la recta L? Si no es así, determina la ecuación vectorial del plano que los contiene. a. P(7, 0, –1), L: 〈3, 0, 1〉 + l 〈4, 0, –2〉 b. P(0, 1, 5), L: 〈4, 3, –1〉 + l 〈2, –1, 3〉 c. P(1, 2, –5), L: 〈5, –5, 5〉 + l 〈–5, –1, 2〉 d. P(3, 4, 2), L: l 〈3, 5, –1〉 7. Grafica el plano 6x + 4z = 24. ¿Con qué eje es paralelo? 8. Determina la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto A(1, 3, 2) y es paralelo a los vectores v = 〈2, 5, 1〉 y u = 〈–3, 4, –1〉. 9. Dada la ecuación vectorial del plano, determina su ecuación cartesiana, en cada caso. a. π: 〈x, y, z〉 = 〈1, 0, 3〉 + l 〈2, 2, –4〉 + m 〈0, –2, 1〉 b. π: 〈x, y, z〉 = 〈3, 1, –5〉 + l 〈3, –1, 0〉 + m 〈0, 1, –5〉 c. π: 〈x, y, z〉 = 〈0, 1, –2〉 + l 〈1, –3, 2〉 + m 〈0, 2, 6〉 d. π: 〈x, y, z〉 = 〈0, 4, 0〉 + l 〈0, –3, 0〉 + m 〈2, 3, –7〉 10. Considera los siguientes pares de planos, ¿cuál es su posición relativa? a. π1: x + y – z = 0, π2: 2x – y + z = 0 b. π1: x + 2y + 3z = 0, π2: x + 2y + 3z + 5 = 0 c. π1: x – y + 3z – 7 = 0, π2: 2x – 2y + 6z + 3 = 0 11. Considera los siguientes pares de planos, ¿cuál es su posición relativa? a. π1: 〈x, y, z〉 = l 〈1, 5, 0〉 + m 〈3, 2, 1〉, π2: 〈x, y, z〉 = l 〈1, 5, 0〉 + m 〈1, 1, 1〉 b. π1: 〈x, y, z〉 = 〈1, 3, 4〉 + l 〈1, 0, 1〉 + m 〈4, 0, 1〉, π2: 〈x, y, z〉 = 〈0, 5, 0〉 + l 〈1, 0, 1〉 + m 〈4, 0, 1〉 c. π1: 〈x, y, z〉 = 〈1, 0, 3〉 + l 〈3, –1, 2〉 + m 〈4, –5, 1〉, π2: 〈x, y, z〉 = 〈8, –6, 6〉 + l 〈3, –1, 2〉 + m 〈4, –5, 1〉 1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. Dados dos puntos en el espacio, existe una única recta que pasa por ellos. b. Dados dos planos en el espacio, su intersección es siempre una recta. c. Si un punto en el espacio no pertenece a una recta, no es posible determinar un plano que los contenga a ambos. d. Cuando dos planos son secantes, siempre son perpendiculares entre sí. e. Dados dos puntos en el espacio, existe un único plano que pasa por ellos. f. Dados cuatro puntos en el espacio, es posible asegurar que existe un plano que los contiene. g. Dos rectas distintas en el espacio pueden ser paralelas o abaleadas. h. La intersección entre tres planos en el espacio es un punto que pertenece a los tres planos. i. Por una recta en el espacio pasan infinitos planos. 2. Si dos planos en el espacio no son secantes, ¿son necesariamente paralelos?, ¿por qué? 3. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial de la recta correspondiente. a. P(3, 3, 3), Q(5, 5, 5) y R(8, 8, 8) b. P(–1, –2, –3), Q(2, 1, 0) y R(11, 10, 9) c. P(2, 5, 1), Q(–6, 5, –3) y R(4, 5, 4) d. P(0, 2, 4), Q(0, –2, –4) y R(0, –1, –2) e. P(3, 4, 7), Q(2, 5, 2) y R(4, –5, 10) f. P(–4, 1, 6), Q(5, –3, –2) y R(3, 1, 0) 4. Al comparar las ecuaciones de dos planos en el espacio, en su forma cartesiana, ¿cómo se distingue cuándo los planos son paralelos, coincidentes o secantes? 5. Dada la ecuación vectorial del plano, determina su ecuación cartesiana, en cada caso. a. π1: 〈x, y, z〉 = 〈0, 1, –2〉 + l 〈–1, 1, –4〉 + m 〈0, 2, –3〉 b. π2: 〈x, y, z〉 = 〈–3, 4, 5〉 + l 〈0, –1, 0〉 + m 〈2, 1, 4〉 c. π3: 〈x, y, z〉 = 〈5, 6, –2〉 + l 〈1, 3, –2〉 + m 〈0, 3, 6〉 d. π4: 〈x, y, z〉 = 〈1, 0, 3〉 + l 〈0, 5, 0〉 + m 〈1, 4, –5〉 e. π5: 〈x, y, z〉 = 〈2, –1, 0〉 + l 〈1, 0, –3〉 + m 〈0, 2, 0〉