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VADEMECUM DE TRIGONOMETRIA PREUNIVERSITARIA PDF

CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION 1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. L.I.: Lado inicial L.F.: Lado Final 1.1 CONVENCIÓN : Angulos Positivos Si el rayo gira en sentido Antihorario Angulos Negativos Si el rayo gira en sentido horario. Ejemplo: Nótese en las figuras: • “” es un ángulo trigonométrico de medida positiva. • “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa.  Se cumple: x=- Observación: a) Angulo nulo Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero. b) Angulo de una vuelta Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. c) Magnitud de un ángulo Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. 2. SISTEMAS ANGULARES Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición. 2.1 Sistema Sexagesimal Su unidad ángular es el grado sexagesimal(1º); el cual es equiva-lente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.  1V 360º Equivalencias: 1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’ 2.2 Sistema Centesimal Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.  1V= 400g Equivalencias: 1g=100m 1m=100s 1g=10000s 2.3 Sistema Radial o Circular o Internancional Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.  1V=2rad  6,2832 Nota Como  = 3,141592653... Entonces: 3. CONVERSION DE SISTEMAS Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes. Magnitudes angulares equivalentes 1 vuelta : 1 v 360º=400g=2rad Llano : 1/2v 180º=200g=rad Grados : 9º =10g Ejemplos: • Convertir a radianes la siguiente magnitud angular =12º Resolución: Magnitud Factor de equivalente Conversión rad = 180º • Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =15º Resolución: Magnitud Factor de equivalente Conversión rad = 200g • Convertir a sexagesimal la sgte. magnitud angular: =40g Magnitud Factor de equivalente Conversión 9º = 10g • Hallar: Resolución: Recordando: 1º=60’ 1g = 100m 9º = 10g Reemplazando en: E = 60 +100 + 2 =162 • Hallar: a+b sabiendo Resolución: Equivalencia: rad = 180º  22,5º = 22º+0,5º + =22º30’ Luego: Efectuando: a=22 b=30 Entonces : a+b = 52 Nótese que para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión. • Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular. =16g Resolución: A) 16g a sexagesimales Factor de conversión = Luego: B) 16g a radianes Factor de conversión = Luego: 4. FORMULA GENERAL DE CONVERSION Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números. De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1) Además 180º = 200g = rad ... (2) Dividiendo (1) entre (2) tenemos: Fórmula particulares: Ejemplos: • Convertir a grados sexagesimal. Resolución: Sabemos que:   S=36  = 36º • Convertir 60g a radianes. Resolución: Sabemos que:    • Convertir 27º a grados centesimales. Resolución: Sabemos que:   C=30  27º=30g • Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es 222. ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo? Resolución: Si S, C y R son números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos. 6S + 2C = 222 .... (1) Además:  Reemplazando en (1): Nota: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer: Reemplazando en (1): 6(180K)+2(200K) = 222 1480K = 222  EJERCICIOS 1. Calcular: J.C.C.H. Si: 68g <> JCºCH’ a) 6 b) 12 c) 24 d) 30 e) 22 2. Dada la figura: Calcular: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 3. La medida de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son (6x)º y (5x+5)g. Calcular el ángulo desigual en radianes. a) b) c) d) e) 4. Determinar la medida circular de un ángulo para el cual sus medidas en los diferentes sistemas se relacionan de la siguiente manera: a) b) c) d) e) 5. Las media aritmética de los números que expresan la medida de un ángulo positivo en grados sexagesimales y centesimales, es a su diferencia como 38 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5. Hallar cuanto mide el ángulo en radianes. a) b) c) d) e) 6. Del gráfico, hallar una relación entre ,  y . a)  -  +  = -360º b)  +  -  = 360º c)  +  +  = 360º d)  -  -  = 360º e)  +  -  = -360º 7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para el cual se cumple: Hallar el número de grados sexagesimales. a) 10 b) 81 c) 72 d) 9 e) 18 8. Sabiendo que: y además: Sx=9x, Hallar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Del gráfico, calcular y/x a) –1/6 b) –6 c) 6 d) 1/3 e) –1/3 10. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas “S” y “C”, son números pares consecutivos. El valor del complemento del ángulo expresado en radianes es: a) b) c) d) e) 11. Siendo “y” el factor que convierte segundos centesimales en minutos sexagesimales y ”x” el factor que convierte minutos centesimales en segundos sexagesimales. Calcular x/y. 0a) 2000 b) 4000 c) 6000 d) 8000 e) 9000 12. Siendo “S” el número de grados sexagesimales y “c” el número de grados centesimales que mide un ángulo menor que una circunferencia, calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que . C = x2-x-30 ; S = x2+x-56 a) b) c) d) e) 13. Si se cumple que: Hallar: a) 9/5 b) 8/3 c)6/5 d) 5/2 e) 7/5 14. Sabiendo que a, b y R son los números que expresan la medida de un ángulo en minutos sexagesimales, segundos centesimales y radianes respectivamente. Calcular: a) b) c) d) 10 e) 20 15. Reducir: a) 10 b) 40 c) 50 d) 70 e) 80 16. Si “S”, “C” y “R” son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas convencionales. Hallar dicho ángulo en grados “S” si “R” es entero: Rtpa. ....... 17. En un cierto ángulo, se cumple que: . Calcular el complemento del ángulo en radianes. a) b) c) d) e) 18. Al medir un ángulo positivo en los sistemas convencionales, se observó que los números que representan dichas medidas, se relacionan del siguiente modo: “La diferencia del triple del mayor con el doble del intermedio, resulta ser igual a treinta veces el número menor entre , aumentado todo esto en 70, obtener la medida circular”. a) b) c) d) e) 19. Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un triángulo en grados sexagesimales es 133. Entonces la medida de dicho ángulo es: a) b) 70g c) 63º d) 133º e) “a”, “b”, y “c” son correctas 1. ARCO Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia. Amplitud Dada por la medida del ángulo central que sostiene el arco. Longitud de Arco En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “” radianes determina una longitud de arco “L”, que se calcula multiplicando el número de radianes “” y el radio de la circunferencia “R”. Ejemplo: Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4m, y la amplitud del ángulo es 0,5 radianes. Resolución: Nota: • La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2 por el radio “R” de la circunferencia (2R) 2. SECTOR CIRCULAR Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. AOB: Sector Circular AOB Área del Sector Circular El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central, en radianes; es decir: Donde: S: Área del sector circular AOB Otras fórmulas Ejemplos: • Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso: I. II. III. Resolución: Caso I  Caso II  Caso III  • De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva ABC, tiene por longitud 4m. Resolución: Denotemos por: L1 : Longitud del arco AB, el radio R1=12m L2 : Longitud del arco BC, el radio R2=4m De la figura: Según el dato: El área del sector AOB será: Observaciones: • El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de Área “S” (fig.1); produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (fig.2). Fig. 1 Fig. 2 Ejemplo: Hallar el cociente de las áreas sombreadas A y B respectivamente. Resolución: Recordando la observación: A =7S B = 3S AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR • Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos. • El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir: Donde: AT= Área del trapecio circular. También: Ejemplos: • Calcular el valor del área del trapecio, y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada. Resolución:   • Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m2 Resolución: Resolución: Por dato: AT = 21 Por fórmula: Igualamos: x+9 = 21 x = 21m Aplicación de la Longitud del Arco Número de Vueltas que da una Rueda(#v) El número de vueltas (#V) que da una rueda al desplazase (sin resbalar) desde la posición A hasta B. Se calcula mediante la relación. Ec: Espacio que recorre el centro de la rueda. R: Radio : Angulo barrido Cono Desarrollo del Cono Tronco de Cono Desarrollo del Tronco de Cono EJERCICIOS 1. De La figura calcular: a) 0 b) 1 c) 0,5 d) 0,2 e) 2 2. Del gráfico hallar “x+y” a) a b) 2a c) 3a d) 4a e) 5a 3. Del gráfico, hallar “L” a) 1 b) 1/3 c) 1/5 d) 3 e) 5 4. De la figura calcular: a) 1 b) 2 c) 0,5 d) 0,3 e) 0,25 5. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su extremo recorre 3 m. a) 5m b) 6m c) 7m d) 8m e) 9m 6. Calcule el área de la región sombreada OA=12m a) b) c) d) e) 7. Se tiene un sector circular de radio “r” y un ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior? a) 64º b) 100º c) 36º d) 20º e) 28º 8. Calcular el área sombreada en: a) 15r2 b) 21r2 c) 3r2 d) e) 9. Del gráfico adjunto, calcular el área sombreada, si se sabe que: MN=4m a) 2m2 b) m2 c) 4m2 d) m2 e) 3m2 10. Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u). a) 88 b) 92 c) 172 d) 168 e) 184 11. Una grúa cuyo brazo es 15m está en posición horizontal se eleva hasta formar un ángulo de 60º con la horizontal luego conservando este ángulo gira 72º. ¿Determinar el recorrido por el extremo libre de la grúa en estos dos momentos?. a) 4 b) 10 c) 8 d)  e) 5 12. Qué espacio recorre un rueda de 4cm de radio si da 15 vueltas al girar sin resbalar sobre un piso plano. a) 60 cm b) 90 cm c) 100 cm d) 105 cm e) 120 cm 13. De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 14. Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 15. Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan sus ruedas es 80. Se sabe además que los radios de las mismas miden 3u y 5u. a) 100 b) 200 c) 250 d) 300 e) 500 16. El ángulo central de un sector mide 80º y se desea disminuir en 75º; en cuanto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 20cm. a) 20 cm b) 40 cm c) 60 cm d) 80 cm e) 100 cm 17. La longitud del arco correspondiente a un sector circular disminuye en un 20%. ¿Qué ocurre con el área de sector circular? a) aumenta en 5% b) disminuye en 5% c) no varía d) falta información e) disminuye en 20% 18. Calcular la medida del ángulo central en radianes de un sector circular tal que su perímetro y área son 20m y 16m2 respectivamente. a) 0,5 b) 2 c) 8 d) 2 y 8 e) 0,5 y 8 19. Hallar en grados sexagesimales la medida del ángulo central de un sector circular, sabiendo que la raíz cuadrada de su área es numéricamente igual a la longitud de su arco. a) /90 b) /180 c) /6 d) 2/3 e) 3/2 20. Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas. a) 4 b) 5 c) 10 d) 20 e) 40 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. TRIANGULO RECTANGULO Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. a2 + b2 = c2 Teorema “Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”. A + B = 90º 2. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO AGUDO. Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la figura, se establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo “”: Sen  =  Cos  =  Tg  =  Ctg  =  Sec  =  Csc  =  Ejemplo: • En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Resolución: Nótese que en el enunciado del problema tenemos: a + b = k.c Nos piden calcular Luego: • Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Resolución: Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto Mayor = x Hipotenusa = x + r Teorema de Pitágoras (x-r)2+x2=(x+r)2 x2-2xr+r2+x2=x2+2xr+r2 x2-2xr=2xr x2=4xr x=4r Importante “A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando en la figura tenemos: Nos piden calcular Tg= • Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 330m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Resolución: a) Sea “” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición: Ubicamos “” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5. La hipotenusa se calcula por pitágoras. Triáng. Rectangulo Triáng Rectángulo Particular General b) El perímetro del es: Según la figura: 5k+12k+13k = 30k Según dato del enunciado =330m Luego: 30k = 330 K =11m d) La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir: Cateto menor = 5k = 5.11m = 55m 3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS 3.1 Razones Trigonométricas Recíprocas. “Al comparar las seis razones trigono-métricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Sen . Csc = 1 Cos . Sec = 1 Tg . Ctg = 1 Ejemplos: • Indicar la verdad de las siguientes proposiciones. I. Sen20º.Csc10º =1 ( ) II. Tg35º.Ctg50º =1 ( ) III. Cos40º.Sec40º=1 ( ) Resolución: Nótese que las parejas de R.T. recíprocas, el producto es “1”; siempre que sean ángulos iguales. Luego: Sen20º.Csc10º1 ; s No son iguales Tg35º.Ctg50º 1 ; s No son iguales Cos40º.Sec40º=1 ; s Sí son iguales • Resolver “x” agudo que verifique: Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1 Resolución: Nótese que en la ecuación intervienen, R.T. trigonométricas; luego los ángulos son iguales. Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1 ángulos iguales 3x+10º+ = x+70º+ 2x=60º x=30º • Se sabe: Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec= Calcular: E=Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc Resolución: Recordar: Cos.Sec = 1 Tg.Ctg = 1 Sec.Csc = 1 Luego; reemplazando en la condición del problema: Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec = “1” Sen = ....(I) Nos piden calcular: E = Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc E = Csc = , pero de (I) tenemos:  E= 3.2 Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios. “Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”. Nota: “Una razón trigonométrica de un ángulo a la co-razón del ángulo complementario”. RAZON CO-RAZON Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Dado: x+y=90º, entonces se verifica Senx =Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscy Así por ejemplo: • Sen20º = Cos70º (20º+70º=90º) • Tg50º = Ctg40º (50º+40º=90º) • Sec80º = Csc10º (80º+10º=90º) Ejemplo: • Indicar el valor de verdad según las proposiciones: I. Sen80º = Cos20º ( ) II. Tg45º = Cgt45º ( ) III. Sec(80º-x) = Csc(10º+x) ( ) Resolución: Nótese que dado una razón y co-razón serán iguales al elevar que sus ángulos sean iguales. I. Sen80º  Cos20º (80º+20º90º) II. Tg45º = Cgt45º (45º+45º=90º) III. Sec(80º-x)= Csc(10º+x) (80º-x+10º+x=90º) • Resolver el menor valor positivo de “x” que verifique: Sen5x = Cosx Resolución: Dada la ecuación Sen5x=Cosx; luego los ángulos deben sumar 90º:  5x+x=90º 6x=90º x=15º • Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x – Cosy = 0 Tg2y.Ctg30º - 1 = 0 Resolución: Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Sen3x=Cosy  3x+y=90º ...(I) Tg2y.Ctg30º=1  2y=30º ...(II) y=15º Reemplazando II en I 3x+15º = 90º 3x =75º x = 25º • Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1 Hallar Tgx Resolución: Dado: x+y=90º  Senx=Cosy Reemplazando 2t+3 = 3t+4,1 -1,1 = t Conocido “t” calcularemos: Senx=2(-1,1)+3 Senx=0,8 Senx= ..... (I) Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condición (I) en un triángulo, tenemos: Tgx= 4. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES 4.1 Triángulos Rectángulos Notables Exactos I. 30º y 60º II. 45º y 45º 4.2 Triángulos Rectángulos Notables Aproximados I. 37º y 53º II. 16º y 74º TABLA DE LAS R.T. DE ANGULOS NOTABLES  R.T. 30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º Sen 1/2 /2 /2 3/5 4/5 7/25 24/25 Cos /2 1/2 /2 4/5 3/5 24/25 7/25 Tg /3 1 3/4 4/3 7/24 24/7 Ctg /3 1 4/3 3/4 24/7 7/24 Sec 2 /3 2 5/4 5/3 25/24 25/7 Csc 2 2 /3 5/3 5/4 25/7 25/24 Ejemplo: Calcular: Resolución: Según la tabla mostrada notamos:  EJERCICIOS 1. Calcular “x” en : Sen( 2x - 10º) = Cos( x + 10º) a) b) c) d) e) 2. Si : Tg (8x – 5º) Tg (x + 5º) = 1 Hallar: K = Sen23x – Ctg26x a) b) c) - d) - e) 1 3. Hallar “x” en : Cos (60º - x) Csc (70º - 3x) = 1 a) 5º b) 15º c) 25º d) 10º e) –5º 4. Si : Cosx = , Calcular “Sen x” a) b) 1 c) d) e) 5. Si : Tg = , Calcular : P = Sen3 Cos + Cos3 Sen a) b) c) d) e) 6. Dado: Secx = Calcular : E = a) b) c) d) e) 7. Si: Secx = 2 , Calcular : P = (Tgx–Senx)2 + (1–Cosx)2 a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 3 8. Si : Tg = a , Calcular : a) b) c) d) e) 9. En un triángulo rectángulo ABC, TgA= , y la hipotenusa mide 58cm, Hallar el perímetro del triángulo. a) 156cm. b) 116cm. c) 136cm. d) 140cm. e) 145cm. 10. Si en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a los del producto de los catetos, Hallar la tangente del mayor de los ángulos agudos de dicho triángulo. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 4 e) 6 11. Calcular : Sen1º+Sen2º+Sen3º+...+Sen89º E= Cos1º+Cos2º+Cos3º+...+Cos89º a) 0 b) 1 c) 2 d) e) 90 12. En un triángulo rectángulo recto en “A”. Calcular el cateto “b”, si se tiene que: SenBSenCTgB= a) 16 b) 8 c) 2 d) 4 e)9 13. En un triángulo rectángulo el semiperímetro es 60m y la secante de unos de los ángulos es 2,6 calcular la mediana relativa a la hipotenusa. a)5 b) 13 c) 12 d) 24 e) 26 14. De la figura, Hallar “x” si: Tg76º = 4 a) 6 b) 8 c) 12 d) 18 e) 24 15. En un cuadrado “ABCD” ; se prolonga el lado , Hasta un punto “E” , tal que : Calcular la tangente del ángulo EDC a) b) c) 1 d) e) 16. Hallar el valor reducido de: E= 4Tg37º-Tg60º+Sen445º+Sen30º a) Tg37º b) 2Sen30º c) Tg60º d) Sen37º e) 4Tg37º 17. Si: = 4 , Hallar “Ctg” a) b) c) d) e) 18. Calcular Ctg. a) b) c) d) e) 19. Del gráfico, calcular Tg(Sen) si el área sombreada es igual al área no sombreada. a) b) c) 1 d) e) 1. AREA DE UN TRIANGULO a) Area en términos de dos lados y el ángulo que éstos forman: Sea: S el área del triángulo Sabemos que: S = Pero: ha = bSenC Entonces: S = SenC Análogamente: S= Sen A S= SenB b) Area en términos del semi-perímetro y los lados: Entonces: S = SenC = S = abSen Cos  S = c) Area en términos de los lados y el circunradio (R): Sabemos que: S = S = Ejemplos: • Hallar el área de un triángulo cuyos lados miden 171cm, 204cm y 195 cm. Resolución: Sabemos que: S = Entonces: p = Luego: S= S = S = (57)(5)(9)(3)(2) S = 15390 cm2 • Dos lados de un  miden 42cm y 32cm, el ángulo que forman mide 150º. Calcular el área del triángulo. Resolución: S = a bSenC S= (42)(32)Sen150º= (42)(32) S = 336cm2 • El área de un  ABC es de 90 u2 y los senos de los ángulos A, B y C son proporcionales a los números 5,7 y 8 respectivamente. Hallar el perímetro del triángulo. Resolución: Datos: S = 90 u2 SenA=5n, SenB=7n y SenC=8n Sabemos que: ...(Ley de senos) Entonces: a = 5n, b=7n y c=8n P = 10n  n = 3 Luego el perímetro es igual a 2p 2p=2(10)(3)  2p = 60u • El diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide cm y la media geométrica de sus lados es . Calcular el área del triángulo. Resolución: La media geométrica de a,b y es: Del dato: = 2  abc = 728 El radio de la circunferencia Circunscrita mide Entonces: S = 2. CUADRILATEROS 1º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus lados y ángulos opuestos • Sea S el área del cuadrilátero y p su semiperímetro entonces:  es igual a la semisuma de dos de sus ángulos opuestos. 2º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas. • Sea: AC = d1 y BD = d2 Entonces: ...(2) 3º Area de un cuadrilátero inscriptible (cuadrilátero cíclico) S = ...(3) 4º Area de un cuadrilátero circunscriptible. Si un cuadrilátero es circunscriptible se cumple que: a+c=b+d (Teorema de Pitot) entonces el semiperímetro (p) se puede expresar como: p = a+c o p=b+d De éstas igualdades se deduce que: p-a=c, p-c=a, p-b=d y p-d=b Reemplazando en la fórmula (1) se obtiene: S = S = S = S = …(4) No olvidar que  es la suma de dos de sus ángulos o puestos. 5º Area de un cuadrilátero inscriptible y circunscriptible Si un cuadrilátero es circunscriptible ya sabemos que la semisuma de sus ángulos opuestos es igual a 90º y como a la vez es inscriptible aplicamos la fórmula (2) y obtenemos: S = Ejemplos: • Los lados de un cuadrilátero inscriptible miden 23cm, 29cm, 37cm y 41cm. calcular su área. Resolución Sea: a = 23, b=29, c=37 y d=41 entonces p = p = 65 Luego: S = S = S = S = 1008cm2 • Las diagonales de un paralelogramo son 2m y 2n y un ángulo es . Hallar el área del paralelogramo (s), en términos de m, n y . Resolución Recordar que el área del paralelogramo es: S = abSen .....(1) Aplicamos la ley de cosenos: BAD: 4n2 = a2+b2-2ab.Cos ADC: 4m2 = a2+b2-2ab.Cos(180-) Rescatando: 4n2-4m2 = -2ab.Cos-2abCos 4(n2-m2) = -4ab.Cos ab = Reemplazando en (1) S = S = (m2-n2)Tg EJERCICIOS 1. La figura muestra un triángulo ABC cuya área es 60m2, determinar el área de la región sombreada. a) 20m2 b) 15m2 c) 24m2 d) 18m2 e) 12m2 2. En el cuadrilátero ABCD, el área del triángulo AOD es 21m2. Hallar el área del cuadrilátero ABCD. a) 120m2 b) 158m2 c) 140m2 d) 115m2 e) 145m2 3. Del gráfico, si ABC es un Triángulo y AE = BC =3EB. Hallar: Sen . a) b) c) d) e) 4. ABCD es un cuadrilátero y AE = 3EB. Hallar Sen . a) b) c) d) e) 5. En la siguiente figura determinar “Tg ” a) /2 b) /6 c) /4 d) /5 e) /7 6. En el cubo mostrado. Hallar Sen  a) b) c) d) e) 1 7. ABCD es un rectángulo BA=4m, BC = 3m Hallar Tg x. a) 1,57 b) 2,52 c) 4,74 d) 2,12 e) 3,15 8. En un triángulo rectángulo (C= 90º) se traza la bisectriz de “A” que corta a BC en el punto “M”. Luego en el triángulo ACH se traza CN mediana. Hallar el área del triángulo CNM. a) 0,125b2Cos2(0,5A)Sen(0,5A) b) 0,125b2Sec2(0,5A) c) 0,125b2 Sec2(0,5A)CosA d) 0,125b2Sec2(0,5A)SenA e) 0,125b²Cos²(0,5A) 9. Hallar “x” en la figura, en función de “a” y “”. BM: mediana BH: altura a) aSen.Ctg b) aSen.Tg c) aSen.Tg2 d) aSen2.Ctg e) aSen.Ctg2 10. En la figura se tiene que A-C=, AM=MC=a, halle el área de la región triangular ABC a) a²Sen b) a²Cos c) a²Tg d) a²Ctg e) a²Sec 11. En la figura “o” es el centro de la circunferencia cuyo radio mide “r”; determine “x”. a) rCos b) rSen c) rTg d) 2rSen e) 2rCos 12. Determine el “Sen”, si ABCD es un cuadrado a) b) c) d) e) 3. ÁNGULOS VERTICALES Un ángulo se llama vertical, si está contenida en un plano vertical por ejemplo “” es un ángulo vertical. 3.1 Angulo de Elevación () Es un ángulo vertical que está formado por una línea que pasa por el ojo del observador y su visual por encima de esta. Ejemplo: Una hormiga observa al punto más alto de un poste con un ángulo de elevación “”. La hormiga se dirige hacia el poste y cuando la distancia que las separa se ha reducido a la tercera parte, la medida del nuevo ángulo de elevación para el mismo punto se ha duplicado. Hallar “”. Resolución Luego: 2 = _____________  = _____________ 3.2 Angulo de Depresión () Es un ángulo vertical que está formado por una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y su línea visual por debajo de esta. Ejemplo: Desde la parte más alta de un poste se observa a dos piedras “A” y “B” en el suelo con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente. Si el poste tiene una longitud de 12m. Hallar la distancia entre las piedras “A” y “B”. Luego: _____________ _____________ EJERCICIOS 1. Al observar la parte superior de una torre, el ángulo de elevación es 53º, medido a 36m de ella, y a una altura de 12m sobre el suelo. Hallar la altura de la torre. a) 24m b) 48m c) 50m d) 60m e) 30m 2. Desde una balsa que se dirige hacia un faro se observa la parte más alta con ángulo de elevación de 15º, luego de acercarse 56m se vuelve a observar el mismo punto con un ángulo de elevación de 30º. Determinar la altura del faro. a) 14m b) 21m c) 28m d) 30m e) 36m 3. Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio se observan dos puntos “A” y ”B” en el mismo plano con ángulo de depresión de 37º y 53º. Se pide hallar la distancia entre estos puntos, si la altura del edificio es de 120m. a) 70m b) 90m c) 120m d) 160m e) 100m 4. Un avión observa un faro con un ángulo de depresión de 37º si la altura del avión es 210 y la altura del faro es 120m. Hallar a que distancia se encuentra el avión. a) 250m b) 270m c) 280m d) 290m e) 150m 5. Obtener la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte mas alta aumenta de 37º hasta 45º, cuando el observador avanza 3m hacia el árbol. a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 6. Desde 3 puntos colineales en tierra A, B y C (AB = BC) se observa a una paloma de un mismo lado con ángulos de elevación de 37º, 53º y “” respectivamente. Calcule “Tg”, si vuela a una distancia de 12m. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 7. Un avión que vuela a 1Km sobre el nivel del mar es observado en 2 instantes; el primer instante a una distancia de 1,41Km de la vertical del punto de observación y el otro instante se halla 3,14Km de la misma vertical. Si el ángulo de observación entre estos dos puntos es “”. Calcular: E = Ctg - Ctg2 Considere a) b) c) d) e) 8. Desde lo alto de un edificio se observa con un ángulo de depresión de 37º, dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si de esta posición tarda en llegar al edificio 6seg. Hallar la velocidad del automóvil en m/s. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 9. Se observan 2 puntos consecutivos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º y 45º respectivamente desde lo alto de la torre. Hallar la altura de la altura si la distancia entre los puntos “A” y “B” es de 100m a) 200m b) 300m c) 400m d) 500m e) 600m 1. Sistema de Coordenadas Rectangulares (Plano Cartesiano o Bidimensional) Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) perpendi-cular entre sí, llamados Ejes Coordenados. Sabemos que: X´X : Eje de Abscisas (eje X) Y´Y : Eje de Ordenadas (eje Y) O : Origen de Coordenadas IIC IC O IIIC IVC Ejem: Del gráfico determinar las coordenadas de A, B, C y D. Y X D • Coordenadas de A: (1;2) • Coordenadas de B: (-3;1) • Coordenadas de C: (3;-2) • Coordenadas de D: (-2;-1) Nota Si un punto pertenece al eje x, su ordenada igual a cero. Y si un punto Pertenece al eje y, su abscisa es igual a cero. 2. Distancia entre Dos Puntos La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su diferencia de abscisas y su diferencia de ordenadas. Ejm: Hallar la distancia entre los puntos A yB si: A(3;8) y B(2;6). Resolución AB= AB= Ejm: Hallar la distancia entre los puntos P y Q. P( -2;5) y Q(3;-1) Resolución PQ= PQ= Observaciones: • Si P1 y P2 tienen la misma abscisa entonces la distancia entre dichos puntos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de ordenadas. Ejm: A(5;6) y B(5;2) AB= 6-2 AB=4 C(-3;-2) y D(-3;5) CD= -1-5 CD=6 E(5;8) y F(5;-2) EF= 8-(-2) EF=10 • Si P1 y P2 tienen la misma ordenada entonces la distancia entre estos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de abscisas. Ejm: A(8;-1) y B(1;-1) AB= 8-1 AB=7 C(-4;7) y D(-9;7) CD= -4-(-9) CD=5 Ejemplos: 1. Demostrar que los puntos A(-2;-1), B(2;2) y C(5;-2) son los vértices de un triángulo isósceles. Resolución Calculamos la distancia entre dos puntos.  Observamos que AB =BC entonces ABC es un triángulo isósceles. 2. Hallar el área de la región determinada al unir los puntos: A(-4;1), B(4;1) y C(0;3). Resolución Al unir dichos puntos se forma un triángulo. (ver figura) • .......... (1) AB= -4 -4 =8 h= 3 -1 =2 • Reemplazando en (1): 3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A(-3;-1), B(0;3), C(3;4) y D(4;-1). Resolución • • • • El perímetro es igual a: 3. División de un Segmento en una Razón Dada. Y X • Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) los extremos de un segmento. • Sea P(x;y) un punto (colineal con P1P2 en una razón) tal que divide al segmento P1P2 en una razón r. es decir: entonces las coordenadas de P son: Nota Si P es externo al segmento P1P2 entonces la razón (r) es negativa. Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(2;4) y B(8;-4). Hallar las coordenadas de un puntos P tal que: Resolución: Sean (x;y) las coordenadas de P, entonces de la fórmula anterior se deduce que:  Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(-4;3) y B(6;8). Hallar las coordenadas de un punto P tal que: . Resolución:  Ejm: A(-2;3), B(6;-3) y P(x;y) son tres puntos colineales, si . Hallar: x+y Resolución: Del dato: r=-2, entonces: x=14 y=-9  x + y = 5 Observación Si la razón es igual a 1 es decir , significa que: P1P=PP2, entonces P es punto medio de P1P2 y al reemplazar r=1 en las formas dadas se obtiene: Ejm: Hallar las coordenadas del punto medio P de un segmento cuyos extremos son: A(2;3) y B(4;7). Resolución: Sea P(x; y) el punto medio de AB, entonces:  x = 3  y = 5  P(3; 5) Ejm: Si P(x; y) es el punto medio de CD. Hallar: x-y. C(-5; 6) y D(-1;-10). Resolución:  x=-3  y=-2 P(-3;-2)  x-y = -1 Ejm: El extremo de un segmento es (1;-9) y su punto medio es P(-1;-2). Hallar las coordenadas del otro extremo. Resolución: Sean (x2;y2) las coordenadas del extremo que se desea hallar como P(-1;-2) es el punto medio, se cumple que:  x2=-3  y2=5 Las coordenadas del otro extremo son: (-3;5) Baricentro de un Triángulo Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los vértices del triángulo ABC, las coordenadas de su baricentro G son: G(x;y)= Área de un Triángulo Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los Vértices de un triángulo ABC, el área (S) del triángulo es: x1.y2 + x2.y3 + x3.y4 - x2.y1- x3.y2 - x1.y3 EJERCICIOS 1. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (5;6)  (-2;3) b) (3;6)  (4;-1) c) (1;3)  (1;-2) d) (-4;-12)  (-8;-7) 2. Un segmento tiene 29 unidades de longitud si el origen de este segmento es (-8;10) y la abscisa del extremo del mismo es12, calcular la ordenada sabiendo que es un número entero positivo. a) 12 b) 11 c) 8 d) 42 e) 31 3. Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al origen es igual a 13u. Sabiendo además que la ordenada es 7u más que la abscisa. a) (-12; 5) b) (12; 5) c) (5; 12) d) (-5; -12) e) a y b son soluciones 4. La base menor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;4), uno de los extremos de la base mayor tiene por coordenadas (3;-2). La distancia o longitud de la base mayor es: a) 6u b) 7u c) 8u d) 9u e) 10u 5. Calcular las coordenadas de los baricentros de los siguientes triángulos: a) (2:5); (6;4); (7;9) b) (7;-8); (-12;12); (-16;14) 6. Calcular las coordenadas del punto “p” en cada segmentos dada las condiciones: a) A(0;7); B(6;1) / AP = 2PB b) A(-3;2); B(4;9) / 3AP = 4PB c) A(-1;-4); B(7;4) / 5AP = 3PB 7. En un triángulo ABC las coordenadas del baricentro son (6:7) el punto medio AB es (4;5) y de CB(2;3) determinar la suma de las coordenadas del vértice ”C”. a) 21 b) 20 c) 31 d) 41 e) 51 8. Se tienen un triángulo cuyos vértices son los puntos A(2;4); B(3;-1); C(-5;3). Hallar la distancia de A hasta el baricentro del triángulo. a) b) c) d) e) 9. En la figura determinar: a+b a) 19 b) –19 c) –14 d) –18 e) -10 10. La base de un triángulo isósceles ABC son los puntos A(1;5) y C(-3;1) sabiendo que B pertenece al eje “x”, hallar el área del triángulo. a) 10u2 b) 11u2 c) 12u2 d) 13u2 e) 24u2 11. Reducir, “M” si: A=(3;4) B=(5;6) C=(8;10) D=(0;0) E=(2;2) a) 1 b) 6 c) 7 d) 5 e) 4 12. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado es (1;2), hallar su área si uno de sus vértices es: (3;8). a) 20 b) 80 c) 100 d) 40 e) 160 13. Los vértices de un cuadrilátero se definen por: (2; 1), (-2; 2), (3; -2), (-3; -3). Hallar la diferencia de las longitudes de las diagonales a) b) c) 0 d) e) 14. Del gráfico siguiente determine las coordenadas del punto P. a) (-7; 3) b) (-8; 3) c) (-5; 2) d) (-4; 5) e) (-3;2) 1. PENDIENTE DE UNA RECTA Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. General-mente la pendiente se representa por la letra m, dicho valor puede ser positivo o negativo, dependiendo si el ángulo de inclinación es agudo u obtuso respectivamente. • Pendiente de L1:m1=Tg En este caso m1 > 0 (+) • Pendiente de L2 : m1=Tg En este caso m2 < 0 (-) Nota: La pendiente de las rectas horizon-tales es igual a cero (y viceversa) las rectas verticales no tienen pendiente. Otra manera de hallar la pendiente de una recta es la siguiente: Sean P1(x1; y1) y P2(x2; y2) dos puntos de la recta, entonces la pendiente (m) se calcula aplicando la fórmula: , Si x1  x2 Demostración: Demostración: • Observamos de la figura que  es el ángulo de inclinación de L, entonces: M=Tg ......(1) • De la figura también se observa que: Tg= .......(2) Pero: a=y2 – y1; b=x2 – x1 Reemplazando en (1) se obtiene: Ejemplo: • Hallar la pendiente de una recta que pasa por (2;-2) y (-1;4). Resolución: Sea P1(2;-2) y P2(-1;4); entonces  m=-2 • Una recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) y (10;b). Hallar el valor de b. Resolución: Como la recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) entonces su pendiente es:  ........ (1) Como la recta pasa por (2,3) y (10,b) entonces su pendiente es:  ...... (2) De (1) y (2):  b=13 • El ángulo de inclinación de una recta mide 135º, si pasa por los puntos (-3; n) y (-5;7). Hallar el valor de n. Resolución: Como el ángulo de inclinación mide 135º entonces la pendiente es: m=Tg135º  m=-1 Conociendo dos puntos de la recta también se puede hallar la pendiente: m =  m= Pero m=-1, entonces:  2=7-n  n=5 2. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cuando dos rectas orientadas se intersectan, se foorman cuatro ángulos; se llama ángulo de dos rectas orientadas al formado por los lados que se alejan del vértice.  es el ángulo que forma las rectas L1 y L2  es el ángulo que forman las rectas L3 y L4. Observar que cuando se habla de ángulo entre dos recta se considera a los ángulos positivos menores o iguales que 180º. a. Cálculo del Angulo entre dos Rectas Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo se puede calcular dicho ángulo. m1 es la pendiente de la recta final (L1) y m2 es la pendiente de la recta inicial (L2). Denominamos a L1 Recta Final, porque de acuerdo con la figura el lado final del ángulo  está en L1, lo mismo sucede con L2. Ejemplo: • Calcular el ángulo agudo formado por dos rectas cuyas pendientes son: -2 y 3. Resolución: Y X Sea: m1= -2 y m2=3 Entonces: Tg=  Tg=1 =45º • Dos rectas se intersectan formando un ángulo de 135º, sabiendo que la recta final tiene pendiente igual a -3. Calcular la pendiente de la recta final. Resolución: Sea: m1= Pendiente inicial y m2= Pendiente final=-3 Entonces: Tg135º=  -1= -1+3m1=-3-3m1  4m1=-2  Observaciones:  Si dos rectas L1 y L2 son paralelas entonces tienen igual pendiente. L1//L2 m1=m2  Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a –1. L1 L2 m1 . m2= -1 3. RECTA La recta es un conjunto de puntos, tales que cuando se toman dos puntos cualesquiera de ésta, la pendiente no varía. Por ejemplo: Si A, B, C y D son puntos de la recta L, entonces se cumple que: mAB = mCD = mBD ...... = mL Ecuación de la Recta Para determinar la ecuación de una recta debemos de conocer su pendiente y un punto de paso de la recta, o también dos puntos por donde pasa la recta. a) Ecuación de una recta cuya pendiente es m y un punto de paso es p1(x1;y1). y – y1 = m(x – x1) b) Ecuación de una recta conociendo dos puntos de paso p1(x1,y1) y p2(x2;y2) c) Ecuación de una recta cuya pendiente es m e intersección con el eje de ordenadas es (0;b). y=mx+b d) Ecuación de una recta conociendo las intersecciones con los ejes coordenados. A esta ecuación se le denomina: Ecuación Simétrica de la recta. e) Ecuación General de la Recta La foma general de la ecuación de una recta es: en donde la pendiente es: m= - (B0) Ejemplo: • Hallar la ecuación general de una recta que pasa por el punto (2,3) y su pendiente es 1/2. Resolución: y–y1 =m(x – x1)  y–3 =  2y–6= x–2 La ecuación es: x – 2y + 4 =0 • La ecuación de una recta es: 2x+3y–6 = 0, hallar su pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados. Resolución: Ecuación: 2x + 3y – 6 = 0 La pendiente es: m = 2x + 3y = 6  Los puntos de intersección con los ejes coordenados son: (3; 0) y (0; 2) EJERCICIOS 1. Una recta que pasa por los puntos y tiene como pendiente y ángulo de inclinación a: a) b) 1,30° c) 2,45° d) 5,37° e) 4,60° 2. Hallar la pendiente de la recta: 4x+7y–3 = 0. a) b) c) d) e) 3. Señale la ecuación de la recta que pase por (3; 2) y cuyo ángulo de inclinación sea de 37º. a) 3x-4y-1 = 0 b) 2x+3y-12 = 0 c) x-y-1 = 0 d) x+y+1 = 0 e) x + y – 1 = 0 4. Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P (1;5) y Q (-3;2). a) 3x+4y – 17 = 0 b) 3x-4x+17=0 c) 3x-4x-17 = 0 d) 2x+y+4 = 0 e) x+y-2=0 5. Señale la ecuación de la recta que pasando por (1;2) sea paralela a la recta de ecuación: 3x + y –1 = 0. a) 3x+y-5 = 0 b) x-y-5 = 0 c) 3x-y+5 = 0 d) 2x+2y-5 = 0 e) x+y-1=0 6. Señale la ecuación de la recta que pasando por (-3;5) sea perpendicular a la recta de ecuación: 2x-3y+7=0. a) x+y+7 = 0 b) 2x+2y+3 = 0 c) x+y+8 = 0 d) 3x+2y-1 = 0 e) x+3y-4 = 0 7. Dada la recta L: x + 2y - 6 = 0 ¿Cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta entre los ejes cartesianos? a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 5x+4y+20 = 0. a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 9. Señale la suma de coordenadas del punto de intersección de las rectas: L1: 3x-y-7 = 0 con L2:x-3y-13= 0 a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) -5 10. Dada la recta “L” con ecuación 3x+4y-4 =0 y el punto P(-2,-5), encontrar la distancia más corta de P a la recta L. a) 2 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10 11. Calcular el área del triángulo formado por L1: x =4 L2: x + y = 8 y el eje x. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 12. Calcular el área que se forma al graficar: y = lxl, y = 12. a) 144 b) 68 c) 49 d) 36 e) 45 13. Señale la ecuación de a recta mediatriz del segmento : Si A(-3;1) y B(5;5). a) 2x + y – 5 = 0 b) x+2y-5 = 0 c) x+y-3 = 0 d) 2x-y-5 = 0 e) x+y-7 = 0 14. Dado el segmento AB, con extremos: A = (2; -2), B = (6; 2) Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva que pasa por el origen y divide el segmento en dos partes cuyas longitudes están en la relación 5 a 3. a) x-9y = 0 b) x + 9y = 0 c) 9x+ y = 0 d) 9x – y = 0 e) x – y = 0 4. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X. Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina Angulo del Segundo Cuadrante y análogamente para lo otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante. Ejemplos: a.   IC   IIC   IIIC b. 90º  a ningún cuadrante  no está en posición normal 5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Si  es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue: Nota: El radio vector siempre es positivo Ejemplos: • Hallar “x” Resolución: Aplicamos la Fórmula: Que es lo mismo x2+y2=r2 Reemplazamos “y” por 12 y “r” por 13 en la igualdad anterior x2+122=132 x2+144=169 x2=25 x=5 Como “x” esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo x= -5 • Hallar “y” Resolución: Análogamente aplicamos x2+y2=r2 Reemplazamos “x” por 8 y ”r” por 17 en la igualdad anterior. (-8)2+y2=172 64+y2=289 y2=225 y=15 Como “y” esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo. y=-15 6. SIGNOS DE LA R.T. EN CADA CUADRANTE Para hallar los signos en cada cuadrante existe una regla muy práctica Regla Práctica Son Positivos: Ejemplos: • ¿Qué signo tiene? Resolución: 100º  IIC  Sen100º es (+) 200º  IIIC  Cos200º es (-) 300º  IVC  Tg300º es (-) Reemplazamos E=(+) • Si   IIC  Cos2= . Hallar Cos. Resolución: Despejamos Cos de la igualdad dada. Cos2= Como   III entonces Cos es negativo, por lo tanto: • Si   IVC  Tg2= . Hallar Tg Resolución: Despejamos Tg de la igualdad dada: Tg2= Tg= Como   IVC entonces la Tg es negativa, por lo tanto: Tg2= 7. ÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará Cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En conse-cuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes. Propiedades Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: (0º <  < 360º) Si   IC  0º <  < 90º Si   IIC  90º <  < 180º Si   IIIIC  180º <  < 270º Si   VIC  270º <  < 360º Ejemplos: • Si   IIIC. En qué cuadrante está 2/3. Resolución: Si   IIIC  180º <  < 270º 60º < < 90º 120º < < 180º Como 2/3 está entre 120º y 180º, entonces pertenece al II cuadrante. • Si   IIC. A qué cuadrante pertenece Resolución: Si   IIC  90º <  < 180º 45º < < 90º 115º < <180º Como esta entre 115º y 160º, entonces pertenece al II Cuadrante. R.T. de Ángulos Cuadrantales Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. de 90º, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0º, 180º, 270º y 360º. Del gráfico observamos que x=0  r=y, por tanto: Sen90º = = = 1 Cos90º = = = 0 Tg90º = = = No definido=ND Ctg90º = = = 0 Sec90º = = = No definido=ND Csc90º = = = 1 R.T 0º 90º 180º 270º 360º Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tg 0 ND 0 ND 0 Ctg ND 0 ND 0 ND Sec 1 ND 0 ND 1 Csc ND 1 ND -1 ND Ejemplos: • Calcular: E= Resolución: Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos: =180º 2=360º Reemplazamos: E= 3 • Calcular el valor de E para x=45º Resolución: Reemplazamos x=45º en E: E=1 EJERCICIOS 1. Del gráfico mostrado, calcular: E = Sen * Cos a) b) c) d) e) 2. Del gráfico mostrado, calcular: E=Sec + Tg a) 3/2 b) –3/2 c) 2/3 d) –2/3 e) 1 3. Del gráfico mostrado, calcular: a) 24/7 b) –7/24 c) 25/7 d) –24/7 e) 7/24 4. Del gráfico mostrado, calcular: E=Ctg - Csc a) 2 b) 4 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/5 5. Si (3; 4) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de: a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 1/3 6. Si el lado de un ángulo en posición estándar  pasa por el punto (-1; 2). Hallar el valor de: E = Sec . Csc a) –5/2 b) 5/2 c) –2/5 d) 2/5 e) 1 7. Si el punto (-9; -40) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de: E = Csc + Ctg a) 4/5 b) –5/4 c) –4/5 d) 5/4 e) –4/3 8. Dado el punto (20;-21) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de: E = Tg + Sec a) 2/5 b) –2/5 c) 1 d) 5/2 e) –5/2 9. Si Csc <0  Sec  > 0. ¿En qué cuadrante está ?. a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal 10. Si   II. Hallar el signo de: a) + b) – c) + ó – d) + y – e) No tiene signo 11. Hallar el signo de: E=Ctg432º.Tg2134º.Csc3214º.Sec4360º a) + b) – c) +  – d) +  – e) No tiene signo 12. Si Sen.Cos > 0. ¿En qué cuadrante está ?. a) I b) II c) III d) I  III e) II  III 13. Si Sen=    II. Hallar Tg. a) b) c) d) e) 14. Si Ctg=0,25    III. Hallar Sec. a) b) c) d) e) 15. Si Ctg2=3270º<<360º. Hallar Sen a) 1/2 b) –1/2 c) d) e) 16. Si Csc2=16  << . Hallar el valor de: a) –3/4 b) 3/4 c) –5/4 d) 5/4 e) 0 17. Calcular el valor de: E= a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –3 18. Calcular el valor de: a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –3 19. Si (5; 12) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de a) 5 b) –5 c) 1/5 d) –1/5 e) 10 20. Del gráfico calcular: P = ctg + Csc a) 3/4 b) –3/4 c) 1 d) 4/3 e) –4/3 8. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Se denomina Función Trigonométrica al conjunto de pares ordenadas (x, y), tal que la primera componente “x” es la medida de un ángulo cualquiera en radianes y la segunda componente “y” es la razón trigonométrica de “x”. Es decir: F.T. = {(x; y) / y = R.T.(x)} 9. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Si tenemos una función trigonométrica cualquiera. y = R.T.(x) • Se llama Dominio (DOM) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variable “x”. DOM = {x / y = R.T.(x)} • Se llama Rango (RAN) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variables “y”. RAN = {y / y = R.T.(x)} Recordar Álgebra La gráfica corresponde a una función y=F(x) donde su Dominio es la proye-cción de la gráfica al eje X y el Rango es la proyección de la gráfica al eje Y. 10. FUNCIÓN SENO a. Definición Sen = {(x; y) / y = Senx} DOM (SEN): “x”  <-; > o IR RAN (SEN): “Y”  [-1; 1] Gráfico de la Función SENO  Una parte de la gráfica de la función seno se repite por tramos de longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función seno es periódica de período 2. Por lo tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico: X 0 /2  3/2 2 Y=Senx 0 1 0 -1 0 Nota El período de una función se representa por la letra “T”. Entonces el período de la función seno se denota así: T(Senx=2) b. Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y=Asenkx, entonces al número “A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k. Es decir: y = ASenkx  Gráfico: Ejemplo: • Graficar la función y=2Sen4x. Indicar la amplitud y el período. Resolución: y = 2Sen4x  Graficando la función: 11. FUNCIÓN COSENO a. Definición Cos = {(x; y) / y=Cosx} DOM (COS): “x”  <-; > o IR RAN (COS): “Y”  [-1; 1] Gráfico de la Función COSENO  Una parte de la gráfica de la función coseno se repite por tramos de longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función coseno es periodo 2. Por la tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico: X 0 /2  3/2 2 Y=Cosx 1 0 -1 0 1 Nota El período de una función Coseno se denota así: T(Cosx=2) b. Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y=ACoskx, entonces al número “A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k. Es decir: y = ACoskx  Gráfico: Ejemplo: • Graficar la función y=4Sen3x. Indicar la amplitud y el período. Resolución: y = 4Cos3x  Graficando la función: 12. PROPIEDAD FUNDAMENTAL a. Para la Función SENO Si (a; b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y=Senx. Entonces se cumple que: b=Sena Ejemplo: Graficamos la función: y=Senx b. Para la Función COSENO Ejemplo: Graficamos la función: y=Cosx EJERCICIOS 1. Si el dominio de la función y=Senx es 0; /3 hallar su rango. a) 0; 1 b) 0;1/2 c) 0;  d)  ;  e)  ; 1 2. Si el rango de la función y = Sen x es 1/2; 1 a) 0; /6 b) 0; 6/ c)/6;/2 d) /6; 5/6 e) /2; 5/6 3. Si el dominio de la función y=Cosx es /6; /4. hallar el rango, sugerencia: graficar. a) 0;  b) 0;  c)  ;  d)  ; 1  e)  ; 1 4. Si el rango de la función y=Cosx es -1/2; 1/2. Hallar su dominio, sugerencia: graficar. a) 0; /3 b) /3; /2 c) /3; 2/3 d) /2; 2/3 e) /3;  5. Hallar el período (T) de las siguientes funciones, sin graficar. I. y = Sen4x IV. y = Cos6x II. y = Sen V. y = Cos III. y = Sen VI. y = Cos 6. Graficar las siguientes funciones, indicando su amplitud y su período. I. y = 2Sen4x II. y = III. y = 4Cos3x IV. y = Cos 7. Graficar las siguientes funciones: I. y = -Senx II. y = -4Sen2x III. y = -Cosx IV. y = -2Cos4x 8. Graficar las siguientes funciones: I. y = Senx + 1 II. y = Senx - 1 III. y = Cosx + 2 IV. y = Cosx - 2 9. Graficar las siguientes funciones: I. y = 3 – 2Senx II. y = 2 – 3Cosx 10. Graficar las siguientes funciones: I. y = II. y = III. y = IV. y = 11. Calcular el ángulo de corrimiento() y el período (T) de las siguientes funciones: I. y = II. y = III. y = IV. y = 12. Graficar las siguientes funciones: I. y = II. y = 13. Hallar la ecuación de cada gráfica: I. II. III. IV. 14. La ecuación de la gráfica es: y=2Sen4x. Hallar el área del triángulo sombreado. a) u2 b) u2 c) u2 d) u2 e) 2u2 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Una circunferencia se llama Trigonométrica si su centro es el origen de coordenadas y radio uno. En Geometría Analítica la circunferencia trigonométrica se representa mediante la ecuación: x2 + y2 = 1 1. SENO DE UN ARCO  El seno de un arco  es la Ordenada de su extremo. Sen = y Ejemplo: • Ubicar el seno de los sgtes. arcos: 130º y 310º Resolución: Observación: Sen130º > Sen¬¬310º 2. COSENO DE UN ARCO  El seno de un arco  es la Abscisa de su extremo. Cos = x Ejemplo: • Ubicar el Coseno de los siguientes. arcos: 50º y 140º Resolución: Observación: Cos50º > Cos140º 3. VARIACIONES DEL SENO DE ARCO  A continuación analizaremos la variación del seno cuando  esta en el primer cuadrante. Si 0º<<90º  0 Sen80º II. Sen190º < Sen250º a) VF b) VV c) FF d) FV e) Faltan datos 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Sen100º > Sen140º II. Sen350º < Sen290º a) VV b) VF c) FV d) FF e) Falta datos 3. Hallar el máximo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista. a) –1/3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 4. Si   II. Hallar la extensión de “k” para que la siguiente igualdad exista. 5. Si   IV. Hallar la extensión de “k” para que la siguiente igualdad exista. a) <1/2; 5/4> b) <-1/2; 5/4> c) <-5/4; 0> d) <-1/2; 0> e) <-5/4; -1/2> 6. Indicar verdadero (V) o (F) según corresponda: I. Sen= II. Sen= III. Sen= a) VVV b) VVF c) FFF d) FVF e) VFV 7. Hallar el máximo y mínimo de “E” si: E = 3–2Sen a) Max=-1 ; Min=-5 b) Max=5 ; Min=1 c) Max=1 ; Min=-5 d) Max=5 ; Min=-1 e) Max=3 ; Min=-2 8. Si   III. Hallar la extensión de “E” y su máximo valor: a) 4/7 Cos250º a) VV b) FF c) VF d) FV e) Faltan datos 12. Indicar verdadero (V) o falso(F) según corresponda: I. Cos100º < Cos170º II. Cos290º > Cos340º a) FV b) VF c) VV d) FF e) Faltan datos 13. Hallar el mínimo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista. a) –1/5 b) 1/5 c) 1 d) –1 e) –5 14. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. I. Cos = II. Cos = III. Cos = a) FVF b) FFF c) FVV d) VVV e) VFV 15. Hallar el máximo y mínimo valor de “E”, si: E = 5 – 3Cos a) Max = 5 ; Min = -3 b) Max = 8 ; Min = 2 c) Max = 5 ; Min = 3 d) Max = -3 ; Min = -5 e) Max = 8 ; Min = -2 1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable. Ejemplos Identidad Algebraica: (a+b)² = a² + 2ab + b² Identidad Trigonométrica: Sen² + Cos² = 1 Ecuación Trigonométrica: Sen + Cos = 1 Para:  = 90º Cumple Para:  = 30º No cumple 2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas. Se clasifican: • Pitagóricas • Por cociente • Recíprocas 2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS I. Sen² + Cos² = 1 II. 1 + Tan² = Sec² III. 1 + Cot² = Csc² Demostración I Sabemos que x² + y² = r² Sen² + Cos² = 1 l.q.q.d. 2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE I. Tan = II. Cot = Demostración I Tan = L.q.q.d. 2.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS I. Sen . Csc = 1 II. Cos . Sec = 1 III. Tan . Cot = 1 Demostración I Sen . Csc = 1 L.q.q.d. Observaciones: Sabiendo que: Sen² + Cos² = 1 Despejando: Sen² = 1 – Cos²  Sen² = (1 + Cos) (1-Cos) Así mismo: Cos² = 1 - Sen²  Cos² = (1 + Sen) (1-Sen) 3. IDENTIDADES AUXILIARES A) Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen² . Cos² B) Sen6 + Cos6 = 1 – 3Sen² . Cos² C) Tan + Cot = Sec . Csc D) Sec² + Csc² = Sec² . Csc² E) (1+Sen + Cos)² = 2(1+Sen)(1+Cos) Demostraciones A) Sen² + Cos² = 1 Elevando al cuadrado: (Sen² + Cos²)² = 1² Sen4 + Cos4 +2 Sen² + Cos² = 1 Sen4+Cos4=1–2 Sen².Cos2 B) Sen² + Cos² = 1 Elevando al cubo: (Sen² + Cos²)3 = 13 Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) (Sen² + Cos²)= 1 1 Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) = 1  Sen6+Cos6=1-3(Sen².Cos²) C) Tan + Cot = 1 Tan + Cot = Tan + Cot =  Tan + Cot = Sec . Csc D) Sec² + Csc² = Sec² + Csc² = Sec² + Csc² =  Sec² + Csc² = Sec² . Csc² E) (1+Sen + Cos)² = 1²+(Sen)²+(Cos)²+2Sen+2Cos+2Sen.Cos = 1+Sen² + Cos² + 2Sen.2cos + 2Sen.Cos = 2+2Sen + 2Cos + 2Sen.Cos Agrupando convenientemente: = 2(1 + Sen) + 2Cos (1 + Sen) = (1 + Sen) (2 + 2Cos) = 2(1 + Sen) (1 + Cos)  (1 + Sen + Cos)² = 2(1+Sen) (1+Cos) 4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes, para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos: 1. Se escoge el miembro “más complicado” 2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general) 3. Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas. Ejemplos: 1) Demostrar: Secx (1 – Sen²x) Cscx = Cotx Se escoge el 1º miembro: Secx (1-Sen²x) Cscx = Se lleva a senos y cosenos: Se efectúa: = Cotx = Cotx 2) Demostrar: Secx + Tanx - 1 1 + Secx - Tanx = 2Tanx Se escoge el 1º Miembro: Secx + Tanx - 1 Secx – Tanx + 1 = Secx + (Tanx – 1) Secx – (Tanx -1)= Se efectúa (Secx)² - (Tanx - 1)² = (1 + Tan²x) – (Tan²x – 2Tanx + 1) = 1 + Tan²x – Tan²x + 2Tanx - 1 = 2Tanx = 2Tanx 5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y SIMPLIFICAR Ejemplos: 1) Reducir: K = Sen4x – Cos4x + 2Cos²x Por diferencia de cuadrados 1 K = (Sen²x + Cos²x) (Sen²x – Cos²x) + 2Cos²x K = Sen²x - Cos²x + 2Cos²x K = Sen²x + Cos²x  K = 1 2) Simplificar: E = E =  E =  E = 0 6. PROBLEMAS CON CONDICIÓN Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones. Ejemplo Si: Senx + Cosx = . Hallar: Senx . Cosx Resolución Del dato: (Senx + Cosx)² = Sen²x + Cos²x + 2Senx . Cosx = 1 2Senx . Cosx = - 1 2Senx . Cosx =  Senx . Cosx = - 7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIÓN DE ÁNGULOS La idea central es eliminar todas las expresiones trigonométricas, y que al final queden expresiones independientes de la variable. Ejemplo: Eliminar “x”, a partir de: Senx = a Cosx = b Resolución De Senx = a  Sen²x = a² Sumamos Cosx = b  Cos²x = b² Sen²x + Cos²x = a² + b² 1 = a² + b² PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Reducir : a) b) c) d) e) 1 2. Simplificar : a) tgx b) cscx c) secx d) ctgx e) 3. Reducir : a) b) c) d) e) 4. Reducir: a) 1 b) c) d) e) 5. Calcular el valor de “K” si : a) b) c) d) e) 6. Reducir : a) 2 b) c) d) e) 7. Reducir : a) b) c) 1 d) e) 8. Reducir : a) b) c) d) e) 9. Si : Calcular : a) 5 b) 4 c) 2 d) 2/3 e) 3/2 10. Reducir : a) b) c) d) e) 1 11. Reducir : a) 1 b) c) d) e) 12. Reducir : a) 1 b) c) d) e) 13. Reducir : a) b) c) d) e) 14. Reducir : a) 2 b) 10 c) 5 d) 3 e) 7 15. Reducir : a) b) c) d) e) 16. Si : Calcular el valor de “ m “ a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2 17. Simplificar : a) b) c) d) e) 18. Si : Reducir : a) b) c) d) e) 19. Si : Calcular : a) 2 b) 4 c) 7/2 d) 9/2 e) 5 20. Simplificar : a) b) c) d) e) 21. Reducir : a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4 22. Si : Calcular : a) b) 3 c) d) e) 23. Reducir : a) b) c) d) e) 24. Reducir : a) b) c) d) e) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ARCOS Sen (+)= Sen.Cos +Sen.Cos Cos (+)= Cos. Cos-Sen.Sen Tg (+) = FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE DOS ARCOS Sen (-)= Sen.Cos - Cos.Sen Cos (-)= Cos.Cos + Sen.Sen Tg (-) = tg - tg 1+ tg . tg Ojo: Ctg(+)= Ctg . Ctg + 1 Ctg  Ctg  Aplicación: a) Sen 75º = Sen (45º+30º) = Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º =  Sen75º = b) Cos 16º = Cos (53º-37º) = Cos 53º.Cos37º Sen37º =  Cos 16º = c) tg 8º = tg (53º-45º) = =  Tg 8º 5 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular: E=(Sen17º + Cos13º)²+(Cos17º+Sen13º)² = Sen²17º + Cos²13º+ 2Cos13ºSen17º + Cos²17º+Sen²13º+ 2Cos17º.Sen13º = 1+1+2Sen (17º+13º) = 2 + 2Sen30º= 3 2. Hallar: P=Cos80º+2Sen70º.Sen10º Resolución = Cos(70º+10º)+2Sen70º.Sen10º = Cos70º.Cos10º-Sen70º.Sen10º+2Sen70º.Sen10º = Cos70º.Cos10º+ Sen70ºSen10º = Cos(70º-10º)=Cos60º = 3. Hallar Dominio y Rango: f(x) = 3Senx + 4 Cosx Resolución Dominio: x R Rango: y = 5 Y = 5 (Sen37º.Senx +Cos37º.Cosx) Y = 5 Cos(x-37º) Ymax = 5 ; Ymin = -5 Propiedad: E = a Sen  b Cos x Emáx = Emin = - Ejemplo: -13  5 Senx + 12 Cos x  13 -  Sen x + Cosx  4. Siendo Sen 20º = a, Cos 25º = b. Obtener tg 25º en término de “a” y “b” Resolución Sen 20º = a Sen (45º-25º) = a b- Sen 25º = a Sen 25º = (b-a) Tg25º = 5. Simplificar: E=Sen²(+)+sen²-2sen (+) Sen.Cos Resolución: Ordenando: E = Sen²(+) – 2Sen(+) Sen.Cos + Sen² + Cos²Sen² - Cos²Sen² E = sen(+)-Cos.Sen²+Sen²(1-Cos²) E = Sen²Cos² + Sen² . Sen² E = Sen²(Cos² + Sen²) E = Sen² 6. Siendo: Sen + Sen + Sen =0 Cos + Cos + Cos  = 0 Calcular: E = Cos (-) + Cos (-) + Cos (-) Resolución: Cos + Cos = - Cos  Sen + Sen = - Sen  Al cuadrado: Cos² + Cos² + 2Cos . Cos = Cos² Sen² + Sen² + 2Sen . Sen = Sen² 1 + 1 + 2 . Cos( - ) = 1 Cos ( - ) = - Por analogía: Cos ( - ) = - Cos ( - ) = - E = - 3/2 Propiedades : Ejm. Tg18º+tg17º+tg36ºtg18ºtg17º=tg35º Tg20º + tg40º + tg20º tg40º =  (tg60º) tg22º + tg23º + tg22º . tg23º = 1 tg + tg2 + tg tg2 tg3 = tg3 8. Hallar tg si: Resolución: ........................ 9. Siendo: tg (x-y) = , tg (y-z) = 1 Hallar: tg (x-z) Resolución ........................ 10. Siendo “Tag ” + “Tag” las raíces de la ecuación: a . sen  + b . Cos  = c Hallar: Tg ( + ) Resolución: Dato: a Sen + b Cos = c a Tg + b = c . Sec  a² tg² + b²+ 2abtg = c² (1+tg²) (a² - c²) tg²  + (2ab)tg + (b² - c²)=0 tg + tg = tg . tg = tg (+) = tg(+) = Propiedades Adicionales Si : a + b + c = 180° Si: a + b + c = 90° EJERCICIOS 1. Si : ;  III C; ,  IV C. Hallar: a) 16/65 b) 16/65 c) 9/65 d) 13/64 e) 5/62 2. Reducir : a) Taga b) Tagb c) Tag(a – b) d) Tag( a +b ) e) Ctga 3. Si : Hallar E = a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 4. Si : ;θ III C; Tag =1 ;   III C Hallar E = a) 17 /13 b) 17 /15 c)17 /14 d) 17 /26 e) 5 /26 5. Reducir : a) Senb b) Sena c) Cosa d) Cosb e) 1 6. Reducir :M = a) 2Cosθ b) 2Senθ c) 3Cosθ d) 2Senθ Cosθ e) Ctgθ 7. Reducir : a) 1 b) -1 c) d) e) 2 8. Reducir : a) b) c) d) e) 9. Si se cumple: Hallar M = a) 1 /2 b) 2 c) 1 /2 d) 1 e) 1/4 10. Si ABCD es un cuadrado. Hallar Tagx a) 19/4 b) 4/19 c) 1/2 d) 7/3 e) 3/4 11. Reducir : E = a) 1 b) 2 c) 1 /2 d) 1 /4 e) 1 /8 12. Si: ; Hallar E = a) 11/ 10 b) 10 / 11 c) 5 /3 d) 13 / 10 e) 1 / 2 13. Hallar : Ctgθ a) 1 /2 b) 1 /32 c) 1 /48 d) 1 /64 e) 1 /72 14. Hallar :M = a) 2 b) 1 c) 1 /2 d) 3 e) 1 /3 15. Hallar el máximo valor de: M = a) 1 b) 2 /3 c ) 4 /3 d) 5 /3 e) 1 /7 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE PRIMER CASO: Reducción para arcos positivos menores que 360º f.t. Depende del cuadrante f.t. Ejm: Sen200º=(Sen180º+20º)=-Sen 20º IIIQ Tg300º = (tg300º - 60º) = -tg60º IVQ Cos = -Senx II Q Sec SEGUNDO CASO: Reducción para arcos positivos mayores que 360º f.t. (360º . n + ) = f.t. (); “n”  Z Ejemplos: 1) Sen 555550º = Sen 70º 555550º 360º 1955 1943 -1555 1150 - 70º 2) Cos TERCER CASO: Reducción para arcos negativos Sen(-) = -Sen Ctog(-) = -Ctg Cos(-) = Cos Sec(-) = Sec Tg(-) =-tg Csc(-) = -Csc Ejemplos: Sen (-30º) = -Sen30º Cos (-150º) = Cos 150º = Cos (180º - 30º) = - Cos 30º Tg = -ctgx ARCOS RELACIONADOS a. Arcos Suplementarios Si:  +  = 180º ó   Sen = Sen Csc = Csc Ejemplos: Sen120º = Sen60º Cos120º = -Cos60º Tg b. Arcos Revolucionarios Si  +  = 360º ó 2   Cos = Cos Sec = Sec Ejemplos: Sen300º = - Sen60º Cos200º = Cos160º Tg EJERCICIOS 1. Reducir E = a) 1 /2 b) 3 /2 c) 3 /2 d) 5 /2 e) 7 /2 2. Reducir : M = a) 1 /2 b) c) d) 2 e)  3. Reducir A = a) Tagx b)  Tagx c) 1 d) Senx e) 1 4. Hallar : M = a) b) c)  d)  e) 1 5. Reducir: A = a) 2 b) 2 c) 1 /2 d) e)  6. Reducir: M= a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 1 7. Si: Hallar “ m “ a) 1 /5 b) 2 /5 c) 3 /5 d) 4 /5 e) 6 /5 8. Reducir: A = a)  3 /4 b) 4 /3 c) 5 /2 d) 1 /4 e) 2 9. Reducir: M= a) b) c) d) e) 1 /6 10. Reducir: M = a) 1 b) c) d) e) 11. Si se cumple que : Hallar E = a) 5 /3 b) 2 /3 c ) 2 /5 d) 1 /3 e) 5 /2 12. Siendo : x + y = 180° Hallar: A = a) 1 b) 2 c) 2 d) 1 e) 0 13. Del gráfico hallar E = a) 5 /6 b) 1 /5 c) 1 /6 d) 6 /5 e) 2 /5 I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE 1. Seno de 2: Sen 2 = 2Sen Cos 2. Coseno de 2: Cos 2 = Cos² - Sen² Cos 2 = 1 – 2 Sen² ... (I) Cos 2 = 2 Cos² - 1 ... (II) 3. Fórmulas para reducir el exponente (Degradan Cuadrados) De (I)... 2 Sen² = 1 – Cos 2 De (II).. 2 Cos² = 1+Cos 2 4. Tangente de 2: tg2 = Del triángulo rectángulo: * Sen 2 = * Cos 2 = 5. Especiales: • Ctg + Tg = 2Csc 2 • Ctg - Tg = 2Ctg2 • Sec 2 + 1 = • Sec 2 - 1 = tg2 . tg • 8Sen4 = 3 – 4 Cos2 + Cos4 • 8Cos4 = 3 + 4 Cos2 + Cos4 • Sen4 + Cos4 = • Sen6 + Cos6 = EJERCICIOS 1. Reducir: R= Resolución: R = R = 2. Simplificar: E = Resolución E = E = E = tg²x 3. Siendo: Reducir: P = aCos2 + bSen2 Resolución: = aCos2+b.2Sen.Cos = aCos 2+bCos. 2Sen = aCos 2+aSen. 2Sen = aCos 2+a(2Sen²)(1-Cos2) P = aCos2 + a – aCos2  P = a 4. Si tg²x – 3tgx = 1 Calcular: tg2x Resolución: Sabemos: Tg2x = Del Dato: -3 tgx = 1- tg²x tg2x = 5. Siendo: 2tg x + 1 = 2Ctgx Calcular: Ctg 4x Resolución: Del dato: 1 = 2(Ctgx - Tgx) 1 = 2 (2Ctg 2x) = Ctg. 2x Notamos: 2Ctg 4x = Ctg 2x – Tg2x Ctg4x = Ctg4x = - 6. Siendo: Sec x = 8Senx Calcular: Cos 4x Dato : Nos pide: Cos4x = 1 – 2 Sen²2x = 1-2 = 1 - Cos4x = 7. Determinar la extensión de: F(x)= Sen6x + Cos6x F(x) = 1 - . 2² Sen²x . Cos²x F(x) = 1 - . Sen²2x Sabemos: 0  Sen²2x  1 -  - Sen²2x  0  - Sen²2x+1  1 ¼  f(x) 1 Propiedad: 8. Calcular E = Cos4 +Cos4 +Cos 4 Resolución: E= Cos4 +Cos4 +Cos 4 E = 2 E = 2 E = 2 – 2² . Sen² . Cos² E = 2 – Sen² = 2 - = 7/4 EJERCICIOS 1. Si : . Hallar : a) b) c) d) e) 2. Si: . Calcular : a) 12/13 b) 5/13 c) 1/8 d) 2/7 e) 3/5 3. Si: Hallar E = Csc 2x a) 12/13 b) 25/24 c) 7/25 d) 13/5 e) 5/4 4. Si: Hallar : E = Tag 2θ a) 1 /4 b) 3 /4 c) 5 /4 d) 7 /4 e) 9 /4 5. Reducir: M = a) Cos 2x b) Sen 2x c) Tag x d) Ctg2x e) 1 6. Si: Hallar E = a) 82/27 b) 81/26 c) 49/27 d) 17/32 e)12/17 7. Reducir: M = a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 8. Si se cumple: a) 3 /5 b) 1 /2 c) 2 /5 d) 3 /10 e) 1 /5 9. Reducir: M = a) 1 /2 b) 1 /3 c) 1 /4 d) 1 /5 e) 1 /6 10. Si se cumple: Hallar E = Sen 4θ a) 1 /3 b) 1 /2 c) 3 /4 d) 1 /4 e) 5 /7 11. Reducir: M = a) 1 b) 1 /2 c) 1 /3 d) 1 /4 e) 2 II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD 1. Seno de : 2 Sen2 = 1 - Cos Sen =  2. Coseno de : 2Cos² = 1 + Cos Cos =  Donde: () Depende del cuadrante al cual “ ” 3. Tangente de : tg =  4. Cotangente de : Ctg = 5. Fórmulas Racionalizadas Tg = Csc - Ctg Ctg = Csc + Ctg EJERCICIOS 1. Reducir P = Resolución: P = P = 2. Siendo: Cos = Hallar: tg Resolución: del dato: Por proporciones Tg² = tg = tg .Ctg 1. Relaciones Principales Relaciones Auxiliares EJERCICIOS 1. Si: ; x  III Cuadrante Hallar E = a) b)  c) d) e)  2. Si : ; x  III Cuadrante Hallar M = a) b) c)  d)  e) 3. Si. ;  x  2 Hallar E = a) b) c)  d)  e) 2 4. Si : y Hallar : a) 4/7 b) 3/7 c) 1/3 d) 3/7 e) 4/7 5. Reducir : a) b) c) d) e) 1 6. Reducir: E = a) Senx b) Cscx/2 c) Cscx d) 1+Cosx/2 e) Senx/2 7. Si: Hallar E = a) 1 b) 1 c) 0 d) 1/2 e) 2 8. Reducir: M = a) 1 b) 2 c) 1 d) 0 e) 1 /2 9. Reducir: A = a) Tag θ b) Ctg θ c) Sec θ d) Csc θ e) Sen θ 10. Hallar E = a) b) c) d) e) 11. Siendo x un ángulo positivo del III cuadrante; menor que una vuelta y se sabe: Hallar E = a)  b)  c)  d) e) 1 /3 12. Reducir: P = ; x    ; 2  a) Cos x/2 b) Cos x/4 c) Sen x/4 d) Sen x /4 e) Tag x/4 13. Reducir: M = a) b) c) d) e) 1 14. Si: Hallar E = 5 4 Cosx a) 2 b) 7 c ) 6 d) 8 e) 10 15. Reducir: M= a)1 b) 2 c) 1 /2 d) 1 /4 e) 1 /6 3Senx – 4 Sen3x Sen 3x= Senx (2Cos 2x+1) 4Cos3x – 3 Cosx Cos3x= Cosx (2Cos 2x - 1) tang3x= Ejm. Reducir: = = 4 Hallar P = 4 Cos²x - = P = Reducir: M = 9 Senx – 12Sen3x – 4Sen33x M = 3 (3Senx – 4 Sen3x) – 4 Sen33x M = 3 Sen3x – 4 Sen33x = Sen 9x 1. Reducir A = 2 Cos2x Cosx – Cosx 2 Cos2x Senx + Senx Resolución: A = 2. Si Tan3x = 11Tanx Hallar cos “2x” Resolución: = 3. Sabiendo tan (30º-x) = 2. Hallar tan 3x Resolución Hacemos Tan (30º-x) =2  Tan  = 2 Tan 3 = Luego: Tan 3 =  Tan 3(30º-x) = Tan (90º-3x) =  Cot 3x = Tan 3x = 4. Si tan 3x = mtanx Hallar : Sen3x.Cscx = 2Cos2x+1 Resolución: Dato: Sen3x.Cscx = 2Cos2x+1 = (proporciones) 5. Resolver “x”, Sabiendo: 8x3–6x+1 = 0 2 (4x3 – 3x) + 1 = 0 3x – 4x3 = + ½ Cambio de variablex = Sen 3 Sen - 4Sen3 = ½ Sen3 = ½   = (10º, 50º, 130º) 6. Calcular “x” sabiendo x3 – 3x = 1 x = ACos Reemplazando : A3Cos3 - 3ACos = 1 ... () A² = 4 = A = 2 En () 8 Cos3 - 6 Cos = 1 2Cos3 = 1 Cos3 = ½  = 20º x = 2 Cos 20º PROPIEDADES IMPORTANTES 4Senx.Sen(60º-x).Sen(60º-x) = Sen3x 4Cosx.Cos(60º-x).Cos(60+x) = Cos3x Tanx . tan (60-x) . Tan(60+x) = Tan3x 1. Reducir: E = Cos 20º Cos40º . Cos 80º Resolución: E = Cos 20º Cos40º . Cos 80º = Cos20º.Cos(60º-20º).Cos(60º+20º) = .Cos60º = 2. Calcular: A = Sen10º . Sen50º . Sen70º Resolución: A = Sen10º . Sen50º . Sen70º = Sen10º . Sen (60-10).Sen (60º+10º) = .Sen30º = 3. Calcular: A = Resolución- A = A = 3. Hallar “”, sabiendo: Tan2. Tan12º = Tan.Tan42º Resolución: = Tan (60º-18º)Tan (60+18º) Tan54º . Cot 18= 4. Hallar x: en la figura: Resolución: Tanx = = 5. Hallar “Sen18º” y “Cos36º” Resolución Sabemos que: Sen36º = Cos54º 2sen18.Cos18º =4Cos318– 3Sen18º 2sen18º = 4 Cos²18º - 3 2Sen18º = 4 (1-Sen²18º)-3 4Sen²18º + 2Sen18º - 1 = 0 Sen18º = Se concluye que: 2(4) Sen18º = Cos36º = 6. Hallar Sec²10º.Sec²50º.Sec²70º E = = = EJERCICIOS 1. 1. Si : 4Tg37° Senx = 1. Calcular Sen3x. a) 21/28 b) 21/23 c) 22/27 d) 23/27 e) 25/27 2. Si: Tg = . Calcular Tg 3 a) 13/3 b) 13/9 c) 13/4 d) 9/2 e) 9/4 3. Si : Calcular : a) 23/27 b) -23/27 c) 2/27 d) 14/27 e) 9/24 4. Simplificar : A= a) Senx b) Cosx c) Sen2x d) Cos2x e) Sen3x 5. Reducir : A = a) 1 b) 2 c) 3 d)  2 e)  3 6. Reducir : A = a) Sen x b) Cos x c)  Sen x d)  Cos x e)  2Sen x Reducir : A = 6Sen10°  8Sen 10° a) 1 b) 1 /2 c) 1 /3 d)  1 e)  1 /2 7. Calcular : A = 16Cos 40°  12Sen50°+ 1 a) 1 b) 2 c) 1 /2 b) d)  1/2 e)  1 8. Reducir : A = a) Tgx b) Ctgx c)  Tgx d) – Ctgx e) 2Ctgx 9. Dado : a.Cscx = 3 – 4 Sen x b.Secx = 4Cos x  3 Calcular : a + b a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6 0,8 b) e) 1,0 10. Simplificar : A = 11. a) b) 1 /2 c) d)  e)  12. Simplificar : A = a) Senx b) Cosx c) Sen2x d) Cos2x e) Tgx 13. Si : ; además x es agudo Calcular : Sen3x a)  b) c) 1 /2 d) e) 1 /2 14. Si : 2Sen3x = 3Senx. Calcular : Cos2x a) b) c) d) e) 0,45 15. Si : . Calcular : a) 13/12 b) 12/13 c) 1/13 d) 5/13 e) 1/12 I. DE SUMA A PRODUCTO (Factorización): Sen A + Sen B = 2 Sen Cos Sen A – Sen B = 2 Cos Sen Cos A + Cos B = 2 Cos Cos Cos B – Cos A = 2 Sen Sen Donde: A > B Ejemplos: 1. Calcular: W = 2. Simplificar: E = = 3. Hallar “Tan (+)”, sabiendo que: Sen 2+Sen 2 = m y Cos 2 + Cos 2 = n RESOLUCIÓN SERIES TRIGONOMÉTRICAS Sen () + Sen (+r) + Sen (+2r)+ ......= “n” s están en Progresión Aritmética Cos () + Cos (+r) + Cos (+2r)+ ......= “n” s están en Progresión Aritmética Ejemplos: 1. Calcular: M = Sen5º + Sen10º + Sen15º + .... + Sen 355º RESOLUCIÓN M = 2. Reducir: E = E= PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si se cumple: Calcular: RESOLUCIÓN = 2. Calcular la expresión: E = Sabiendo: Sen x – Seny = m Cosx + Cos y = n RESOLUCIÓN E = E = = E =  E = ctg Del dato: ctg E = 3. Hallar “P” = RESOLUCIÓN P = P = 4. Calcular “A” = RESOLUCIÓN A = 2ª = 13 2ª = 13 A = • Fórmulas para degradar Fórmula General: 2n-1 CosnX 23Cos4X = Cos4x+ Cos2x + ½ T. INDEPENDIENTE 25Cos6x = Cos6x+ Cos4x + ½ Cos 2x + ½ 24Cos5x = Cos5x+ Cos3x + Cosx = Cos 5x + 5 Cos3x + 10Cosx II. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA:- 2Senx . Cosy = Sen(x+y) + Sen (x+y) 2Cosx . Sen y = Sen (x+y) – Sen (x-y) 2Cosx . Cosy = Cos (x+y) + Cos (x-y) 2Senx . Seny = Cos (x-y) – Cos (x+y) Donde x > y Ejemplos: 1. Reducir: E = RESOLUCIÓN E = 2. Calcular: E = E = = = 3. Hallar P = RESOLUCIÓN P =  P =1 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Reducir: R = RESOLUCIÓN R = R = R = R = Tg10x 2. Calcular: P = Sen²10º + Cos²20º - Sen10Cos20º RESOLUCIÓN 2P = 2Sen²10º + 2Cos²20º - 2Sen10Cos20º 2P = 1-Cos20º + 1+ Cos40º - (Sen30º-Sen10º) 2P = 2+ Cos40º - Cos20º - ½ + Sen10º 2P = 3/2 + Cos40° - Cos20° + Sen10° 2P = 3/2 – 2Sen30° . Sen10° + Sen10° P = ¾ EJERCICIOS 1. Transformar a producto : R = Sen70° + Cos70° a) Cos25° b) Sen25° c) Sen20° d) Cos20° e) 1 2. Reducir : M = a) 2Sen22x b) 2Cos22x c) Tag9x d) 2Sen3x e) 2Sen2x 3. Si : a + b = 60° . Hallar : a) /3 b) /2 c) 1/2 d) /3 e) 4. Reducir : E = 4(Cos5x + Cos3x)(Sen3x  Senx) a) 2Sen4x b) 2Cos8x c) 2Sen8x d) 2Cos4x e) 2Sen4x.Cos4x 5. Hallar el valor de “ M “ : M = Sen85°  Cos5°Sen25°  Cos115° a) 0 b) – 0.5 c) 0.5 d) – 1 e) 3 6. Reducir : R = (Tag2 +Tag4)(Cos2+Cos6) a) Sen2 b) Sen6 c) 2Sen2 d) Sen12 e) 2Sen6 7. Reducir : E= a) b) Cscx c) Csc2x d)Cosx e) Secx 8. Reducir : A = si x=5 a) /3 b) /2 c) /2 d) e) 1 9. Reducir . E = a) Tagx b) Tag2x c) Tag3x d) Tag6x e) Tag4x 10. Al factorizar : Cos8x + Cos2x + Cos6x + Cos4x Indicar un factor : a) Senx b) Cos3x c) Cos5x d) Sen5x e) Sen2x 11. Expresar como producto : E = Cos24x – Sen26x a) Cos4x.Cos6x b) Cos2x.Cos10x c) 2Cos4x.Cos6x d) 2Cos2x.Cos10x e) 4Cos2x.Cos10x 12. Hallar el valor de "n" para que la igualdad : Siempre sea nula. a) 1 b) -2 c) 2 d) 1/2 e) -1 13. Reducir : E = a) /3 b) /6 c) 1 d) e) 2 /3 14. Si : 21 =  . Hallar el valor de : R = a) 2 b) – 2 c) 1 d)  1 e) 1/2 15. Hallar el valor de “ E “ : E = a) 1 b) 3/2 c) 2 d) 5/2 e) 3 16. Factorizar : E = a) 2 Cos20° b) 4 /3Cos50° c) 2 /3Sen70° d) 8 /3Cos70° e) 10 /3Sen70° 17. Reducir : E = 2Cos3x.Cosx  Cos2x a) Cos2x b) Cos3x c) Cos4x d) Sen4x e) Sen2x 18. Reducir : M = 2Sen80°.Cos50°  Sen50° a) 1 b) 1/2 c) d) /2 e) /4 19. Reducir : R = 2Cos4.Csc6  Csc2 a) – Csc3 b) – Csc4 c) Csc6 d) – Ctg4 e) – Tag4 20. Si: Sen2x.Sen5x = Senx.Cos4x - Cosx.Cos6x Hallar : " Ctgx " a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 4 e) 2 21. Transformar : a) Sen6x b)Cos6x c) – Sen4x d) – Cos4x e) – Sen2x 22. Simplificar : R = Sen5x.Senx + Cos7x.Cosx a) 2Cosx.Cos6x b) 2Sen2x.Sen6x c) 2Sen2x.Cos6x d) Cos2x.Cos6x e) Sen2x.Sen6x * OBJETIVOS De lo que se trata es de calcular de manera única un valor para el arco (ángulo), conociendo para ello el valor de la función trigonométrica que lo afecta. En otro tipo de problemas un artificio útil será hacer un cambio de variable a la función trigonométrica inversa. Si = Sen = ½   =  es un arco cuyo seno vale ½  = arc Sen (½) = Sen -1 ½ arc Sen (½) =  Si Tg  = ½ arc tg (½) =  * DEFINICIONES i) y = arc Senx x  -1,1 un arco cuyo seno es “x” y  Ejemplo: Arc Sen Arc Sen Arc Sen Arc Sen Arc Sen (-x) = Arc Sen x ii) y = arc Cos x x  -1,1 un arco cuyo coseno es x y  0,  Ejemplo: Arc Cos Arc Cos Arc Cos Arc Cos Arc Cos (-x) =  - arc Cos x iii) y = arc tgx x  R y  < - > Ejemplo: Arc Tg (1) = Arc Tg (2 - ) = Arc tg (-1) = - Arc tg ( -2) = - Arc tg (-x) = - Arc tg x iv) y = arc ctg (x) x  R y  <0, > arc ctg. (3/4) = 53º arc ctg. (- 3/4) = 180º - 53º = 127º * PROPIEDADES 1. La función directa anula a su inversa Sen (arc Senx) = x Cos (arc Cosx) = x Tg (arc Tg x) = x Ejm: Sen (arc Sen ) = Cos (arc Cos ) = Tg (arc Ctg 1996) = 1996 2. La función inversa anula a su función directa Arc Sen (Sen x) = x Arc Cos (Cos x) = x Arc Tg (Tg x) = x Ejm: Arc Cos (Cos ) = Arc Sen (Sen ) = Arc Sen (Sen ) = 3. Expresiones equivalentes Si: Sen  = n Csc  = 1/n  = arc sen (n)  = arc Csc arc Sen (n) = Arc Csc Arc Cos (n) = arc Sec Arc Tg (n) = arc Ctg ; n > 0 Arc Tg (n) = arc Ctg -  ; n > 0 4. Fórmula Inversa Arc tgx + Arc y = arc tg + n  i) xy<1 ii) xy < 1 iii) xy > 1 n = 0 x > 0 x < 0 n = 1 n = -1 Ejemplo: E = Arc tg (2) + Arc tg (3) xy > 1 X > 0 n = 1 RESOLUCIÓN E = Arc tg E = Arc tg (-1) +  = +  = NOTA * Además: arc tgx–arc tgy = arc tg 2arc tgx = arc tg 3arc tgx = arc tg EJERCICIOS 1. 2b = 3c Sen k ; Despejar “” RESOLUCIÓN Arc Sen = k    = arc Sen 2. a = b Cos (k + d), Despejar “” RESOLUCIÓN = Cos (k + d), Arc cos = k + d   = 3. HALLAR: P = arc Sen ( /2) + arc Cos (- ½ ) + arc Tg (2- ) RESOLUCIÓN P = - 4. HALLAR: Q = arc Cos1 + arc Sen (-1) + arc Cos (-1) RESOLUCIÓN Q = 0 + 5. HALLAR: R = Sen (arc Cos 1/3) RESOLUCIÓN  = arc Cos 1/3  Cos = 1/3  Sen  = ¿?? Sen = 6. S = Sec² (arcTg3) + Csc² (ar Ctg 4)   RESOLUCIÓN Tenemos  Tg = 3 Ctg  = 4 Piden: S = 1 + Tg² + 1 + Ctg2 Sec² + Csc² = 27 7. T = Cos (2 Arc Cos )  RESOLUCIÓN Cos  = Piden T = Cos 2 = 2Cos² - 1 T = 2 _ 1 = 8. Y = arc Sen 1/3 + arc Cos 1/3   RESOLUCIÓN Tenemos: Sen = Cos  = Sen = Cos +  = Propiedad: arc senx + arc Cosx = arc Tg x + arc Ctg x = arc Sec x + arc Csc x = 9. 2 arc Senx = arc Cos x. Hallar x RESOLUCIÓN Se sabe que: arc Cosx = - arc Senx 3arc Senx = arc Senx = x = Sen  x = 1/2 10. Dado : arc Senx + arc Tg y = /5 Hallar : arc Cosx + arc Ctg y = z RESOLUCIÓN + = z + z = EJERCICIOS 1. Calcular: a) b) c) d) e) 2. Calcular: a) b) c) d) e) 3. Cual de las expresiones no es equivalente a: a) b) c) d) e) 4. Hallar el equivalente de: a) b) c) d) e) 5. Calcular: a) b) c) d) e) 6. Afirmar si (V) 0 (F) I. II. III. a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) FVF 7. Calcular: a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 90º 8. Calcule: a) 105º b) 120º c) 135º d) 150º e) 165º 9. Calcular: a) b) c) d) e) 10. Si: además: Calcular: a) b) c) d) e) 11. Calcular: a) 1 /2 b) 1 c) 3 /2 d) 2 e) 5 /2 12. Simplificar: a) b) c) d) e) 13. Calcular: a) b) c) d) e) 14. Simplificar: a) b) c) d) e) 15. Calcular: a) b) c) d) e) 16. Calcular: a) 1 /2 b) 1 /3 c) 1 /4 d) 1 /5 e) 1 /6 17. Calcular: a) 1 b) - 1 c) 1 /3 d) – 1 /2 e) 1 /6 18. Simplificar a) 36/17 b) 56/65 c) 71/17 d) 91/19 e) 41/14 19. Evaluar: a) b) c) d) e) 20. Evaluar: a) b) c) d) e) 21. Calcular: a) 60º b) 37º c) 72º d) 82º e) 94º 22. Calcular: a) 241/25 b) 13/125 c) 31/5 d) 241/5 e) 31/125 CONCEPTO: Expresión general de los arcos que tienen una misma función trigonométrica. 1. En el caso de las funciones trigonométricas Seno y Csc usaremos G = n  + (-1)n p Donde: G = Exp. General de los arcos (ángulos) n = Nº entero p = Valor principal del arco para calcular p usaremos el rango del arco Seno. 2. En el caso de las funciones trigonométricas Cos y Sec usaremos: G = 2 n   p Para calcular el valor principal del arco (p) usaremos el rango del arco Cos. 3. En el caso de las funciones trigonométricas tg y Ctg usaremos. G = n  + p Para calcular el valor principal del arco usaremos el rango del arco tg, o arco Ctg. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Son igualdades entre las funciones trigonométricas de una cierta variable (una sola incógnita), dichas igualdades se satisfacen solamente para algunos valores que puede tomar la función trigonométrica, es decir deberá estar definida en dicho valor (la ecuación trigonométrica puede tener 2 o más incógnitas) A los valores que cumplen con la ecuación trigonométrica se les conoce como soluciones o raíces. Ejemplo de como obtener las soluciones de una ecuación trigonométrica: Resolver: Senx = G P = arc Sen  P =  x = n + (-1)n SOLUCION GENERAL Si n = o x = SOLUCION PRINCIPAL n = 1 x =  - = SOLUCIONES PARTICULARES n = 2 x = 2+ = 2. Resolver: Cos 2x = - G P = arc Cos  P = 2x = 2n  x = n  SOLUCION GENERAL Si n = 0 x = SOLUCION PRINCIPAL x = - n = 1 x = = SOLUCIONES PARTICULARES x = = 3. Resolver: Tg G P = 3x + = n + 3x = n + x = EJERCICIOS RESUELTOS 1. 2Senx – Csc x = 1 RESOLUCIÓN 2Senx - 2Sen²x – Senx – 1 = 0 2Senx = 1 Senx = -1 (2Sen x + 1) (Senx - 1) = 0 i) Senx = - x = n + (-1)n . x = n - (-1)n ii) Senx = 1 x = n + (-1)n 2 Sen²x = RESOLUCIÓN (1 – Cosx) (1+Cosx) = Queda: 1 + Cosx = 3/2 Cos x = 1/2 x = 2n  Pero  1 – Cosx = 0 Cosx = 1 X = 2n  3. Senx - Cosx = Senx - Cosx = Senx . Cos Sen x - = n + (-1)n x = n + (-1)n + i) n = 2k x = 2k + x = 2k + ii) n = 2k + 1 x = (2k + 1)  - x = 2k + 4. 2Cos 2x – Sen3x = 2 RESOLUCIÓN 2(1-2Sen²x) – (3Senx – 4Sen3x) = 2 4Sen²x – 4Sen²x – 3 Senx = 0 Sen x (4Sen² x – 4 Senx - 3) = 0 Senx (2Sen x - 3) (2Senx + 1) = 0 i) Sen x = 0 x = n ii) Senx = - x = n - (-1)n iii) Sen x =  ABSURDO 5. Senx + Sen2x + Sen3x = Cosx + Cos2x + Cos3x RESOLUCIÓN 2Sen2x . Cosx + Sen2x = 2 Cos2x . Cosx + Cos2x Sen2x (2Cosx + 1) = Cos2x (2Cosx + 1) Queda: Sen2x = Cos 2x Tg 2x = 1 G p = 2x = n+  x = Pero  2Cosx + 1 = 0 Cosx = - ½ G p = x = 2n  2/3 6. 4 Sen²x – 3 = 0 Siendo 0  x  2 RESOLUCIÓN Sen²x = Senx =  i) Senx = IQ  = x = IIQ  =  - = IIIQ x =  + = Si: Senx = - IVQ x = 2 - = 7. La suma de soluciones de la ecuación Cos2x + Sen² - Cos² = 0 ; Si: O  x   es: RESOLUCIÓN Cos2x – (Cos² - Sen² ) = 0 2Cos²x-1- Cosx = 0 2Cos²x – Cosx – 1 = 0 (2Cosx+1) (Cosx-1) = 0 i) 2Cosx + 1 = 0  Cosx = -½ IIQ  x =  - = IVQ  x =  + = no es solución ii) Cos x = 1 x = 0, 2. “2 ” no es solución Suma = 8. 4Cos² 2x + 8 Cos²x = 7, si x  0,2] RESOLUCIÓN 4Cos² 2x + 4 x 2Cos²x = 7 (1+Cos2x) 4Cos²1x + 4Cos2x – 3 = 0 (2Cos 2x+3)(2Cos 2x-1) = 0 i) Cos 2x = - No existe ii) Cos2x = IQ : 2x = x = IVQ: 2x= 2 - x = 9. Dar la menor solución positiva de: Tgx = Tg RESOLUCIÓN Tgx = Tg (x+10º) . Tg (x+10º) . Tg (x+30º) Tg (x+10º) Tg (x+20º) Proporciones 2Sen(2x+30º)Cos(2x+30º) = 2Sen30º Cos10º Sen (4x + 60) = Cos 10º 4x + 60º + 10º = 90º x = 5º EJERCICIOS 1. Resolver ; x   0 ; 2  a) b) c) d)  /4 ; /2 e) 2. Resolver si : x   0 ; 2  a) 53° ; 127° b) 53° ; 233° c) 75° ; 225° d) 75° ; 105° e) 45° ; 135° 3. Resolver e indicar la solución general: a) b) c) d) e) 4. Resolver : Encontrar las tres primeras soluciones positivas. a) 32° ; 68° ; 104° b) 31°; 62°; 102° c) 32° ; 64° , 106° d) 32° ; 68° ; 102° e) 32°; 66° ; 108° 5. Resolver : a) b) c) d) Ay E e) 6. Resolver : a) /8 b) /4 c) /6 d) /12 e) /7 7. Resolver: a) b) c) d) e) 8. Resolver : ; x  < 0 ; 600°> i. 45° , 225° , 405° ; 850° ii. 45° ; 125° ; 405° ; 495° iii. 135° ; 225° ; 495° ; 585° iv. 135° ; 315° ; 495° v. 225° ; 315° ; 858° 9. Resolver: Sen2x = Senx Indicar la solución general. a) b) c) d) e) 10. Resolver : a) /8 ; 0 b) /6 ; /2 c) /3 ; 0 d) /10 ; /6 e) /12 ; /4 11. Resolver : ; Si x<180°; 360°> a) 150° ; 210° b) 240° ; 360° c) 180°; 240° d) 240° ; 270° e) 210°; 270° 12. Resolver : Indicar la suma de sus dos primeras soluciones. a) 180° b) 120° c) 240° d) 360° e) 200° 13. Resolver : Indicar la tercera solución positiva. a) 180° b) 270° c) 390° d) 720° e) 450° 14. Resolver : Hallar el número de soluciones en a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Resolver : Indicar la tercera solución. a) 210° b) 360° c) 420° d) 520° e) 650° 16. Resolver e indicar una de las soluciones generales. a) b) c) d) e) 1. Ley de Senos En todo triángulo la longitud de cada lado es D.P. al seno del ángulo que se opone al respectivo lado. Sea “S” el Area del ABC S = S = Igualando áreas: , luego: COROLARIO DEL TEOREMA DE SENOS TBA : Sen A = R = Circunradio * Observaciones: a = 2RSenA, b = 2RSenB, c = 2RSenC 2. Ley de Cosenos a² = b² + c² - 2bc CosA b² = a² + c² - 2ac CosB c² = a² + b² - 2ab CosC Observaciones: CosA = , CosB = , CosC = 3. Ley de Tangentes 4. Ley de Proyecciones a = bCosC + c CosB b = aCosC + c CosA c = aCosB + b CosA * Funciones Trigonométricas de los semiángulos de un  en función de los lados: Sabemos: 2Sen² = 1 – CosA 2Sen² = 1 - = Sen² = Perímetro 2p = a + b + c 2p – 2c = a + b + c – 2c  2 (p-c)  a + b – c También 2(p-b) = a – b + c Luego: Sen² = Por analogía:  Sen = ; Sen = ; Sen = También: Cos = ; Cos ; Cos Tg = ; Tg ; Tg Área de la Región Triángular Donde : R = Circunradio r = Inradio p = Semiperimetro Bisectriz Interior: Bisectriz Exterior: Inradio: Exradio: EJERCICIOS 1. Hallar “ x” si : Ctg θ = a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) 42 2. En un triángulo ABC ; B = 60° ; b = ; y c = 3 + . Hallar el ángulo A a) 25° b) 30° c) 45° d) 15° e) 20° 3. Si los lados b y c de un triángulo miden 31 cm. y cm. respectivamente y el ángulo A = 45°. Hallar el lado “a”. a) 20° b) 15° c) 28° d) 30° e) 25° 4. El Coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y consecutivos es iguales a 1 /5. Hallar el perímetro del triángulo. a) 15 b) 20 c) 18 d) 21 e) 24 5 En un triángulo ABC simplificar: M = a) b + c b) a + c c) 1 d) 2 e) a  c 6. En un triángulo de lados : x ; x + 3 y ( x  4 ) el ángulo medio mide 60°. Hallar “ x “ a) 25 b) 28 c) 30 d) 37 e) 42 7. En un triángulo ABC se sabe que : ; y . Calcular el valor del lado a. a) 42 b) 52 c) 56 d) 62 e) 64 8. Hallar : E = a) 9 /10| b) 9 /20 c) 10 /9 d) 19/20 e) 10 /19 9. En un triángulo ABC se cumple : Hallar el valor del ángulo “A” a) 80 b) 45 c) 70 d) 30 e) 60 10. En un triángulo ABC se cumple : Hallar E = TagA a) 1 b) c) d) e) 11. En la figura ABCD es un cuadrado; M y N son puntos medios. Hallar “Sec x” a) b) c) d) e) 12. Hallar el perímetro de un triángulo si los lados son tres números consecutivos y además de los ángulos miden 30° y 37° respectivamente. a) 12 b) 14 c ) 16 d) 18 e) 20 13. En un triángulo ABC se tiene que : , , mA = 37°y el radio inscrito r = 0.9 . Hallar el lado a. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 14. En la figura si .Hallar a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. En un triángulo ABC se cumple que: abc = 16 y Calcular el circunradio de dicho triángulo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Los lados de un triángulo son 3 ; 5 y 7 respectivamente; se traza la bisectriz relativa al lado mayor. Hallar la longitud de esta bisectriz sabiendo que la proyección de esta sobre el lado menor es 2. a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 17. En un triángulo ABC se cumple. Hallar E = bc CosA + ac CosB + ab CosC a) 10 b) 20 c) 5 d) 15 e)15 /2 18. En un triángulo ABC ; C = 60° y a = 3b . Hallar E = Tag ( A  B ) a)2 b) 3 c) 4 d) e)