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1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO.
Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.
L.I.: Lado inicial
L.F.: Lado Final
1.1 CONVENCIÓN :
Angulos Positivos
Si el rayo gira en sentido Antihorario
Angulos Negativos
Si el rayo gira en sentido horario.
Ejemplo:
Nótese en las figuras:
• “” es un ángulo trigonométrico de medida positiva.
• “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa.
Se cumple: x=-
Observación:
a) Angulo nulo
Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero.
b) Angulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez.
c) Magnitud de un ángulo
Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo.
2. SISTEMAS ANGULARES
Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.
2.1 Sistema Sexagesimal
Su unidad ángular es el grado sexagesimal(1º); el cual es equiva-lente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.
1V 360º
Equivalencias:
1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’
2.2 Sistema Centesimal
Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.
1V= 400g
Equivalencias:
1g=100m 1m=100s 1g=10000s
2.3 Sistema Radial o Circular o Internancional
Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.
1V=2rad 6,2832
Nota
Como = 3,141592653...
Entonces:
3. CONVERSION DE SISTEMAS
Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes.
Magnitudes angulares equivalentes
1 vuelta : 1 v 360º=400g=2rad
Llano : 1/2v 180º=200g=rad
Grados : 9º =10g
Ejemplos:
• Convertir a radianes la siguiente magnitud angular =12º
Resolución:
Magnitud Factor de
equivalente Conversión
rad = 180º
• Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =15º
Resolución:
Magnitud Factor de
equivalente Conversión
rad = 200g
• Convertir a sexagesimal la sgte. magnitud angular: =40g
Magnitud Factor de
equivalente Conversión
9º = 10g
• Hallar:
Resolución:
Recordando: 1º=60’
1g = 100m
9º = 10g
Reemplazando en:
E = 60 +100 + 2 =162
• Hallar: a+b sabiendo
Resolución:
Equivalencia: rad = 180º
22,5º = 22º+0,5º + =22º30’
Luego:
Efectuando:
a=22
b=30
Entonces : a+b = 52
Nótese que para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión.
• Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular. =16g
Resolución:
A) 16g a sexagesimales
Factor de conversión =
Luego:
B) 16g a radianes
Factor de conversión =
Luego:
4. FORMULA GENERAL DE
CONVERSION
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.
De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1)
Además 180º = 200g = rad ... (2)
Dividiendo (1) entre (2) tenemos:
Fórmula particulares:
Ejemplos:
• Convertir a grados sexagesimal.
Resolución:
Sabemos que:
S=36
= 36º
• Convertir 60g a radianes.
Resolución:
Sabemos que:
• Convertir 27º a grados centesimales.
Resolución:
Sabemos que:
C=30
27º=30g
• Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es 222. ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo?
Resolución:
Si S, C y R son números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos.
6S + 2C = 222 .... (1)
Además:
Reemplazando en (1):
Nota: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer:
Reemplazando en (1):
6(180K)+2(200K) = 222
1480K = 222
EJERCICIOS
1. Calcular: J.C.C.H.
Si: 68g <> JCºCH’
a) 6 b) 12 c) 24
d) 30 e) 22
2. Dada la figura:
Calcular:
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
3. La medida de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son (6x)º y (5x+5)g. Calcular el ángulo desigual en radianes.
a) b) c)
d) e)
4. Determinar la medida circular de un ángulo para el cual sus medidas en los diferentes sistemas se relacionan de la siguiente manera:
a) b) c)
d) e)
5. Las media aritmética de los números que expresan la medida de un ángulo positivo en grados sexagesimales y centesimales, es a su diferencia como 38 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5. Hallar cuanto mide el ángulo en radianes.
a) b) c)
d) e)
6. Del gráfico, hallar una relación entre , y .
a) - + = -360º
b) + - = 360º
c) + + = 360º
d) - - = 360º
e) + - = -360º
7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para el cual se cumple:
Hallar el número de grados sexagesimales.
a) 10 b) 81 c) 72
d) 9 e) 18
8. Sabiendo que: y además:
Sx=9x, Hallar:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Del gráfico, calcular y/x
a) –1/6
b) –6
c) 6
d) 1/3
e) –1/3
10. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas “S” y “C”, son números pares consecutivos. El valor del complemento del ángulo expresado en radianes es:
a) b) c)
d) e)
11. Siendo “y” el factor que convierte segundos centesimales en minutos sexagesimales y ”x” el factor que convierte minutos centesimales en segundos sexagesimales. Calcular x/y.
0a) 2000 b) 4000 c) 6000
d) 8000 e) 9000
12. Siendo “S” el número de grados sexagesimales y “c” el número de grados centesimales que mide un ángulo menor que una circunferencia, calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que .
C = x2-x-30 ; S = x2+x-56
a) b) c)
d) e)
13. Si se cumple que:
Hallar:
a) 9/5 b) 8/3 c)6/5
d) 5/2 e) 7/5
14. Sabiendo que a, b y R son los números que expresan la medida de un ángulo en minutos sexagesimales, segundos centesimales y radianes respectivamente. Calcular:
a) b) c)
d) 10 e) 20
15. Reducir:
a) 10 b) 40 c) 50
d) 70 e) 80
16. Si “S”, “C” y “R” son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas convencionales. Hallar dicho ángulo en grados “S” si “R” es entero:
Rtpa. .......
17. En un cierto ángulo, se cumple que:
.
Calcular el complemento del ángulo en radianes.
a) b) c)
d) e)
18. Al medir un ángulo positivo en los sistemas convencionales, se observó que los números que representan dichas medidas, se relacionan del siguiente modo:
“La diferencia del triple del mayor con el doble del intermedio, resulta ser igual a treinta veces el número menor entre , aumentado todo esto en 70, obtener la medida circular”.
a) b) c)
d) e)
19. Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un triángulo en grados sexagesimales es 133. Entonces la medida de dicho ángulo es:
a) b) 70g
c) 63º d) 133º
e) “a”, “b”, y “c” son correctas
1. ARCO
Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia.
Amplitud
Dada por la medida del ángulo central que sostiene el arco.
Longitud de Arco
En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “” radianes determina una longitud de arco “L”, que se calcula multiplicando el número de radianes “” y el radio de la circunferencia “R”.
Ejemplo:
Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4m, y la amplitud del ángulo es 0,5 radianes.
Resolución:
Nota:
• La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2 por el radio “R” de la circunferencia (2R)
2. SECTOR CIRCULAR
Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente.
AOB: Sector Circular AOB
Área del Sector Circular
El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central, en radianes;
es decir:
Donde:
S: Área del sector circular AOB
Otras fórmulas
Ejemplos:
• Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso:
I.
II.
III.
Resolución:
Caso I
Caso II
Caso III
• De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva ABC, tiene por longitud 4m.
Resolución:
Denotemos por:
L1 : Longitud del arco AB,
el radio R1=12m
L2 : Longitud del arco BC,
el radio R2=4m
De la figura:
Según el dato:
El área del sector AOB será:
Observaciones:
• El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de Área “S” (fig.1); produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (fig.2).
Fig. 1
Fig. 2
Ejemplo:
Hallar el cociente de las áreas sombreadas A y B respectivamente.
Resolución:
Recordando la observación:
A =7S
B = 3S
AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR
• Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos.
• El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir:
Donde:
AT= Área del trapecio circular.
También:
Ejemplos:
• Calcular el valor del área del trapecio, y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada.
Resolución:
• Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m2
Resolución:
Resolución:
Por dato: AT = 21
Por fórmula:
Igualamos:
x+9 = 21
x = 21m
Aplicación de la Longitud del Arco
Número de Vueltas que da una Rueda(#v)
El número de vueltas (#V) que da una rueda al desplazase (sin resbalar) desde la posición A hasta B. Se calcula mediante la relación.
Ec: Espacio que recorre el
centro de la rueda.
R: Radio
: Angulo barrido
Cono
Desarrollo del Cono
Tronco de Cono
Desarrollo del Tronco
de Cono
EJERCICIOS
1. De La figura calcular:
a) 0
b) 1
c) 0,5
d) 0,2
e) 2
2. Del gráfico hallar “x+y”
a) a b) 2a c) 3a
d) 4a e) 5a
3. Del gráfico, hallar “L”
a) 1
b) 1/3
c) 1/5
d) 3
e) 5
4. De la figura calcular:
a) 1
b) 2
c) 0,5
d) 0,3
e) 0,25
5. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su extremo recorre 3 m.
a) 5m b) 6m c) 7m
d) 8m e) 9m
6. Calcule el área de la región
sombreada OA=12m
a)
b)
c)
d)
e)
7. Se tiene un sector circular de radio “r” y un ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?
a) 64º b) 100º c) 36º
d) 20º e) 28º
8. Calcular el área sombreada en:
a) 15r2 b) 21r2 c) 3r2
d) e)
9. Del gráfico adjunto, calcular el área sombreada, si se sabe que: MN=4m
a) 2m2
b) m2
c) 4m2
d) m2
e) 3m2
10. Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u).
a) 88 b) 92 c) 172
d) 168 e) 184
11. Una grúa cuyo brazo es 15m está en posición horizontal se eleva hasta formar un ángulo de 60º con la horizontal luego conservando este ángulo gira 72º. ¿Determinar el recorrido por el extremo libre de la grúa en estos dos momentos?.
a) 4 b) 10 c) 8
d) e) 5
12. Qué espacio recorre un rueda de 4cm de radio si da 15 vueltas al girar sin resbalar sobre un piso plano.
a) 60 cm b) 90 cm
c) 100 cm d) 105 cm
e) 120 cm
13. De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r).
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
14. Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
15. Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan sus ruedas es 80. Se sabe además que los radios de las mismas miden 3u y 5u.
a) 100 b) 200 c) 250
d) 300 e) 500
16. El ángulo central de un sector mide 80º y se desea disminuir en 75º; en cuanto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 20cm.
a) 20 cm b) 40 cm c) 60 cm
d) 80 cm e) 100 cm
17. La longitud del arco correspondiente a un sector circular disminuye en un 20%. ¿Qué ocurre con el área de sector circular?
a) aumenta en 5%
b) disminuye en 5%
c) no varía
d) falta información
e) disminuye en 20%
18. Calcular la medida del ángulo central en radianes de un sector circular tal que su perímetro y área son 20m y 16m2 respectivamente.
a) 0,5 b) 2 c) 8
d) 2 y 8 e) 0,5 y 8
19. Hallar en grados sexagesimales la medida del ángulo central de un sector circular, sabiendo que la raíz cuadrada de su área es numéricamente igual a la longitud de su arco.
a) /90 b) /180 c) /6
d) 2/3 e) 3/2
20. Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.
a) 4 b) 5 c) 10
d) 20 e) 40
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.
TRIANGULO RECTANGULO
Teorema de Pitágoras
“La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
a2 + b2 = c2
Teorema
“Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”.
A + B = 90º
2. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO AGUDO.
Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la figura, se establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo “”:
Sen =
Cos =
Tg =
Ctg =
Sec =
Csc =
Ejemplo:
• En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo.
Resolución:
Nótese que en el enunciado del problema tenemos:
a + b = k.c
Nos piden calcular
Luego:
• Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
Resolución:
Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces:
Cateto Menor = x – r
Cateto Mayor = x
Hipotenusa = x + r
Teorema de Pitágoras
(x-r)2+x2=(x+r)2
x2-2xr+r2+x2=x2+2xr+r2
x2-2xr=2xr
x2=4xr
x=4r
Importante
“A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando en la figura tenemos:
Nos piden calcular Tg=
• Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 330m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4.
Resolución:
a) Sea “” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición:
Ubicamos “” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5.
La hipotenusa se calcula por pitágoras.
Triáng. Rectangulo Triáng Rectángulo
Particular General
b) El perímetro del es:
Según la figura: 5k+12k+13k = 30k
Según dato del enunciado =330m
Luego: 30k = 330 K =11m
d) La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir:
Cateto menor = 5k
= 5.11m = 55m
3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS
3.1 Razones Trigonométricas Recíprocas.
“Al comparar las seis razones trigono-métricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”.
Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces:
Sen . Csc = 1
Cos . Sec = 1
Tg . Ctg = 1
Ejemplos:
• Indicar la verdad de las siguientes proposiciones.
I. Sen20º.Csc10º =1 ( )
II. Tg35º.Ctg50º =1 ( )
III. Cos40º.Sec40º=1 ( )
Resolución:
Nótese que las parejas de R.T. recíprocas, el producto es “1”; siempre que sean ángulos iguales.
Luego:
Sen20º.Csc10º1 ; s No son iguales
Tg35º.Ctg50º 1 ; s No son iguales
Cos40º.Sec40º=1 ; s Sí son iguales
• Resolver “x” agudo que verifique:
Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1
Resolución:
Nótese que en la ecuación intervienen, R.T. trigonométricas; luego los ángulos son iguales.
Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1
ángulos iguales
3x+10º+ = x+70º+
2x=60º
x=30º
• Se sabe:
Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec=
Calcular: E=Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc
Resolución:
Recordar:
Cos.Sec = 1
Tg.Ctg = 1
Sec.Csc = 1
Luego; reemplazando en la condición del problema:
Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec =
“1”
Sen = ....(I)
Nos piden calcular:
E = Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc
E = Csc = ,
pero de (I) tenemos:
E=
3.2 Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios.
“Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”.
Nota:
“Una razón trigonométrica de un ángulo a la co-razón del ángulo complementario”.
RAZON CO-RAZON
Seno Coseno
Tangente Cotangente
Secante Cosecante
Dado: x+y=90º, entonces se verifica
Senx =Cosy
Tgx = Ctgy
Secx = Cscy
Así por ejemplo:
• Sen20º = Cos70º (20º+70º=90º)
• Tg50º = Ctg40º (50º+40º=90º)
• Sec80º = Csc10º (80º+10º=90º)
Ejemplo:
• Indicar el valor de verdad según las proposiciones:
I. Sen80º = Cos20º ( )
II. Tg45º = Cgt45º ( )
III. Sec(80º-x) = Csc(10º+x) ( )
Resolución:
Nótese que dado una razón y co-razón serán iguales al elevar que sus ángulos sean iguales.
I. Sen80º Cos20º (80º+20º90º)
II. Tg45º = Cgt45º (45º+45º=90º)
III. Sec(80º-x)= Csc(10º+x)
(80º-x+10º+x=90º)
• Resolver el menor valor positivo de “x” que verifique:
Sen5x = Cosx
Resolución:
Dada la ecuación Sen5x=Cosx; luego los ángulos deben sumar 90º:
5x+x=90º
6x=90º
x=15º
• Resolver “x” el menor positivo que verifique:
Sen3x – Cosy = 0
Tg2y.Ctg30º - 1 = 0
Resolución:
Nótese que el sistema planteado es equivalente a:
Sen3x=Cosy 3x+y=90º ...(I)
Tg2y.Ctg30º=1 2y=30º ...(II)
y=15º
Reemplazando II en I
3x+15º = 90º
3x =75º
x = 25º
• Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además:
Senx = 2t + 3
Cosy = 3t + 4,1
Hallar Tgx
Resolución:
Dado: x+y=90º Senx=Cosy
Reemplazando 2t+3 = 3t+4,1
-1,1 = t
Conocido “t” calcularemos:
Senx=2(-1,1)+3
Senx=0,8
Senx= ..... (I)
Nota:
Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condición (I) en un triángulo, tenemos:
Tgx=
4. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES
4.1 Triángulos Rectángulos Notables Exactos
I. 30º y 60º
II. 45º y 45º
4.2 Triángulos Rectángulos Notables Aproximados
I. 37º y 53º
II. 16º y 74º
TABLA DE LAS R.T. DE
ANGULOS NOTABLES
R.T. 30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º
Sen 1/2 /2
/2
3/5 4/5 7/25 24/25
Cos /2
1/2 /2
4/5 3/5 24/25 7/25
Tg /3
1 3/4 4/3 7/24 24/7
Ctg
/3
1 4/3 3/4 24/7 7/24
Sec 2 /3
2
5/4 5/3 25/24 25/7
Csc 2 2 /3
5/3 5/4 25/7 25/24
Ejemplo:
Calcular:
Resolución:
Según la tabla mostrada notamos:
EJERCICIOS
1. Calcular “x” en :
Sen( 2x - 10º) = Cos( x + 10º)
a) b) c)
d) e)
2. Si : Tg (8x – 5º) Tg (x + 5º) = 1
Hallar:
K = Sen23x – Ctg26x
a) b) c) -
d) - e) 1
3. Hallar “x” en :
Cos (60º - x) Csc (70º - 3x) = 1
a) 5º b) 15º c) 25º
d) 10º e) –5º
4. Si : Cosx = , Calcular “Sen x”
a) b) 1 c)
d) e)
5. Si : Tg = , Calcular :
P = Sen3 Cos + Cos3 Sen
a) b) c)
d) e)
6. Dado: Secx =
Calcular : E =
a) b) c)
d) e)
7. Si: Secx = 2 , Calcular :
P = (Tgx–Senx)2 + (1–Cosx)2
a) 0,5 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 3
8. Si : Tg = a ,
Calcular :
a) b)
c) d)
e)
9. En un triángulo rectángulo ABC, TgA= , y la hipotenusa mide 58cm, Hallar el perímetro del triángulo.
a) 156cm. b) 116cm. c) 136cm.
d) 140cm. e) 145cm.
10. Si en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a los del producto de los catetos, Hallar la tangente del mayor de los ángulos agudos de dicho triángulo.
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 4 e) 6
11. Calcular :
Sen1º+Sen2º+Sen3º+...+Sen89º
E=
Cos1º+Cos2º+Cos3º+...+Cos89º
a) 0 b) 1 c) 2
d) e) 90
12. En un triángulo rectángulo recto en “A”. Calcular el cateto “b”, si se tiene que:
SenBSenCTgB=
a) 16 b) 8 c) 2
d) 4 e)9
13. En un triángulo rectángulo el semiperímetro es 60m y la secante de unos de los ángulos es 2,6 calcular la mediana relativa a la hipotenusa.
a)5 b) 13 c) 12
d) 24 e) 26
14. De la figura, Hallar “x” si:
Tg76º = 4
a) 6
b) 8
c) 12
d) 18
e) 24
15. En un cuadrado “ABCD” ; se prolonga el lado , Hasta un punto “E” , tal que :
Calcular la tangente del ángulo EDC
a) b) c) 1
d) e)
16. Hallar el valor reducido de:
E= 4Tg37º-Tg60º+Sen445º+Sen30º
a) Tg37º b) 2Sen30º c) Tg60º
d) Sen37º e) 4Tg37º
17. Si: = 4 , Hallar “Ctg”
a) b) c)
d) e)
18. Calcular Ctg.
a)
b)
c)
d)
e)
19. Del gráfico, calcular Tg(Sen) si el área sombreada es igual al área no sombreada.
a) b) c) 1
d) e)
1. AREA DE UN TRIANGULO
a) Area en términos de dos lados y el ángulo que éstos forman:
Sea: S el área del triángulo
Sabemos que: S =
Pero: ha = bSenC
Entonces: S = SenC
Análogamente:
S= Sen A S= SenB
b) Area en términos del semi-perímetro y los lados:
Entonces:
S = SenC =
S = abSen Cos
S =
c) Area en términos de los lados y el circunradio (R):
Sabemos que:
S =
S =
Ejemplos:
• Hallar el área de un triángulo cuyos lados miden 171cm, 204cm y 195 cm.
Resolución: Sabemos que:
S =
Entonces:
p =
Luego:
S=
S =
S = (57)(5)(9)(3)(2)
S = 15390 cm2
• Dos lados de un miden 42cm y 32cm, el ángulo que forman mide 150º. Calcular el área del triángulo.
Resolución:
S = a bSenC
S= (42)(32)Sen150º= (42)(32)
S = 336cm2
• El área de un ABC es de 90 u2 y los senos de los ángulos A, B y C son proporcionales a los números 5,7 y 8 respectivamente. Hallar el perímetro del triángulo.
Resolución:
Datos: S = 90 u2
SenA=5n, SenB=7n y SenC=8n
Sabemos que:
...(Ley de senos)
Entonces: a = 5n, b=7n y c=8n
P = 10n
n = 3
Luego el perímetro es igual a 2p
2p=2(10)(3) 2p = 60u
• El diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide cm y la media geométrica de sus lados es . Calcular el área del triángulo.
Resolución:
La media geométrica de a,b y es:
Del dato: = 2 abc = 728
El radio de la circunferencia
Circunscrita mide
Entonces: S =
2. CUADRILATEROS
1º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus lados y ángulos opuestos
• Sea S el área del cuadrilátero y p su semiperímetro entonces:
es igual a la semisuma de dos de sus ángulos opuestos.
2º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas.
• Sea: AC = d1 y BD = d2
Entonces:
...(2)
3º Area de un cuadrilátero inscriptible (cuadrilátero cíclico)
S = ...(3)
4º Area de un cuadrilátero circunscriptible.
Si un cuadrilátero es circunscriptible se cumple que: a+c=b+d (Teorema de Pitot) entonces el semiperímetro (p) se puede expresar como:
p = a+c o p=b+d
De éstas igualdades se deduce que:
p-a=c, p-c=a, p-b=d y p-d=b
Reemplazando en la fórmula (1) se obtiene:
S =
S =
S =
S = …(4)
No olvidar que es la suma de dos de sus ángulos o puestos.
5º Area de un cuadrilátero inscriptible y circunscriptible
Si un cuadrilátero es circunscriptible ya sabemos que la semisuma de sus ángulos opuestos es igual a 90º y como a la vez es inscriptible aplicamos la fórmula (2) y obtenemos:
S =
Ejemplos:
• Los lados de un cuadrilátero inscriptible miden 23cm, 29cm, 37cm y 41cm. calcular su área.
Resolución
Sea: a = 23, b=29, c=37 y d=41
entonces
p =
p = 65
Luego:
S =
S =
S =
S = 1008cm2
• Las diagonales de un paralelogramo son 2m y 2n y un ángulo es . Hallar el área del paralelogramo (s), en términos de m, n y .
Resolución
Recordar que el área del paralelogramo es:
S = abSen .....(1)
Aplicamos la ley de cosenos:
BAD: 4n2 = a2+b2-2ab.Cos
ADC: 4m2 = a2+b2-2ab.Cos(180-)
Rescatando:
4n2-4m2 = -2ab.Cos-2abCos
4(n2-m2) = -4ab.Cos
ab =
Reemplazando en (1)
S =
S = (m2-n2)Tg
EJERCICIOS
1. La figura muestra un triángulo ABC cuya área es 60m2, determinar el área de la región sombreada.
a) 20m2
b) 15m2
c) 24m2
d) 18m2
e) 12m2
2. En el cuadrilátero ABCD, el área del triángulo AOD es 21m2. Hallar el área del cuadrilátero ABCD.
a) 120m2
b) 158m2
c) 140m2
d) 115m2
e) 145m2
3. Del gráfico, si ABC es un Triángulo y AE = BC =3EB. Hallar: Sen .
a)
b)
c)
d)
e)
4. ABCD es un cuadrilátero y
AE = 3EB. Hallar Sen .
a) b) c)
d) e)
5. En la siguiente figura determinar “Tg ”
a) /2
b) /6
c) /4
d) /5
e) /7
6. En el cubo mostrado. Hallar Sen
a) b) c)
d) e) 1
7. ABCD es un rectángulo BA=4m, BC = 3m
Hallar Tg x.
a) 1,57 b) 2,52 c) 4,74
d) 2,12 e) 3,15
8. En un triángulo rectángulo (C= 90º) se traza la bisectriz de “A” que corta a BC en el punto “M”. Luego en el triángulo ACH se traza CN mediana. Hallar el área del triángulo CNM.
a) 0,125b2Cos2(0,5A)Sen(0,5A)
b) 0,125b2Sec2(0,5A)
c) 0,125b2 Sec2(0,5A)CosA
d) 0,125b2Sec2(0,5A)SenA
e) 0,125b²Cos²(0,5A)
9. Hallar “x” en la figura, en función de “a” y “”.
BM: mediana
BH: altura
a) aSen.Ctg b) aSen.Tg
c) aSen.Tg2 d) aSen2.Ctg
e) aSen.Ctg2
10. En la figura se tiene que A-C=, AM=MC=a, halle el área de la región triangular ABC
a) a²Sen b) a²Cos
c) a²Tg d) a²Ctg
e) a²Sec
11. En la figura “o” es el centro de la circunferencia cuyo radio mide “r”; determine “x”.
a) rCos b) rSen c) rTg
d) 2rSen e) 2rCos
12. Determine el “Sen”, si ABCD es un cuadrado
a) b) c)
d) e)
3. ÁNGULOS VERTICALES
Un ángulo se llama vertical, si está contenida en un plano vertical por ejemplo “” es un ángulo vertical.
3.1 Angulo de Elevación ()
Es un ángulo vertical que está formado por una línea que pasa por el ojo del observador y su visual por encima de esta.
Ejemplo:
Una hormiga observa al punto más alto de un poste con un ángulo de elevación “”. La hormiga se dirige hacia el poste y cuando la distancia que las separa se ha reducido a la tercera parte, la medida del nuevo ángulo de elevación para el mismo punto se ha duplicado. Hallar “”.
Resolución
Luego:
2 = _____________
= _____________
3.2 Angulo de Depresión ()
Es un ángulo vertical que está formado por una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y su línea visual por debajo de esta.
Ejemplo:
Desde la parte más alta de un poste se observa a dos piedras “A” y “B” en el suelo con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente. Si el poste tiene una longitud de 12m. Hallar la distancia entre las piedras “A” y “B”.
Luego:
_____________
_____________
EJERCICIOS
1. Al observar la parte superior de una torre, el ángulo de elevación es 53º, medido a 36m de ella, y a una altura de 12m sobre el suelo. Hallar la altura de la torre.
a) 24m b) 48m c) 50m
d) 60m e) 30m
2. Desde una balsa que se dirige hacia un faro se observa la parte más alta con ángulo de elevación de 15º, luego de acercarse 56m se vuelve a observar el mismo punto con un ángulo de elevación de 30º. Determinar la altura del faro.
a) 14m b) 21m c) 28m
d) 30m e) 36m
3. Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio se observan dos puntos “A” y ”B” en el mismo plano con ángulo de depresión de 37º y 53º. Se pide hallar la distancia entre estos puntos, si la altura del edificio es de 120m.
a) 70m b) 90m c) 120m
d) 160m e) 100m
4. Un avión observa un faro con un ángulo de depresión de 37º si la altura del avión es 210 y la altura del faro es 120m. Hallar a que distancia se encuentra el avión.
a) 250m b) 270m c) 280m
d) 290m e) 150m
5. Obtener la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte mas alta aumenta de 37º hasta 45º, cuando el observador avanza 3m hacia el árbol.
a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
6. Desde 3 puntos colineales en tierra A, B y C (AB = BC) se observa a una paloma de un mismo lado con ángulos de elevación de 37º, 53º y “” respectivamente. Calcule “Tg”, si vuela a una distancia de 12m.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
7. Un avión que vuela a 1Km sobre el nivel del mar es observado en 2 instantes; el primer instante a una distancia de 1,41Km de la vertical del punto de observación y el otro instante se halla 3,14Km de la misma vertical. Si el ángulo de observación entre estos dos puntos es “”.
Calcular: E = Ctg - Ctg2
Considere
a) b) c)
d) e)
8. Desde lo alto de un edificio se observa con un ángulo de depresión de 37º, dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si de esta posición tarda en llegar al edificio 6seg. Hallar la velocidad del automóvil en m/s.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
9. Se observan 2 puntos consecutivos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º y 45º respectivamente desde lo alto de la torre. Hallar la altura de la altura si la distancia entre los puntos “A” y “B” es de 100m
a) 200m b) 300m c) 400m
d) 500m e) 600m
1. Sistema de Coordenadas Rectangulares
(Plano Cartesiano o Bidimensional)
Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) perpendi-cular entre sí, llamados Ejes Coordenados.
Sabemos que:
X´X : Eje de Abscisas (eje X)
Y´Y : Eje de Ordenadas (eje Y)
O : Origen de Coordenadas
IIC IC
O
IIIC IVC
Ejem:
Del gráfico determinar las coordenadas de A, B, C y D.
Y
X
D
• Coordenadas de A: (1;2)
• Coordenadas de B: (-3;1)
• Coordenadas de C: (3;-2)
• Coordenadas de D: (-2;-1)
Nota
Si un punto pertenece al eje x, su ordenada igual a cero. Y si un punto
Pertenece al eje y, su abscisa es igual a cero.
2. Distancia entre Dos Puntos
La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su diferencia de abscisas y su diferencia de ordenadas.
Ejm: Hallar la distancia entre los puntos A yB si: A(3;8) y B(2;6).
Resolución
AB= AB=
Ejm:
Hallar la distancia entre los puntos P y Q. P( -2;5) y Q(3;-1)
Resolución
PQ=
PQ=
Observaciones:
• Si P1 y P2 tienen la misma abscisa entonces la distancia entre dichos puntos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de ordenadas.
Ejm:
A(5;6) y B(5;2) AB= 6-2 AB=4
C(-3;-2) y D(-3;5) CD= -1-5 CD=6
E(5;8) y F(5;-2) EF= 8-(-2) EF=10
• Si P1 y P2 tienen la misma ordenada entonces la distancia entre estos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de abscisas.
Ejm:
A(8;-1) y B(1;-1) AB= 8-1 AB=7
C(-4;7) y D(-9;7) CD= -4-(-9) CD=5
Ejemplos:
1. Demostrar que los puntos A(-2;-1), B(2;2) y C(5;-2) son los vértices de un triángulo isósceles.
Resolución
Calculamos la distancia entre dos puntos.
Observamos que AB =BC entonces ABC es un triángulo isósceles.
2. Hallar el área de la región determinada al unir los puntos: A(-4;1), B(4;1) y C(0;3).
Resolución
Al unir dichos puntos se forma un triángulo. (ver figura)
• .......... (1)
AB= -4 -4 =8
h= 3 -1 =2
• Reemplazando en (1):
3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son:
A(-3;-1), B(0;3), C(3;4) y D(4;-1).
Resolución
•
•
•
•
El perímetro es igual a:
3. División de un Segmento en una Razón Dada.
Y
X
• Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) los extremos de un segmento.
• Sea P(x;y) un punto (colineal con P1P2 en una razón) tal que divide al segmento P1P2 en una razón r.
es decir:
entonces las coordenadas de P son:
Nota
Si P es externo al segmento P1P2 entonces la razón (r) es negativa.
Ejm:
Los puntos extremos de un segmento son A(2;4) y B(8;-4).
Hallar las coordenadas de un puntos P tal que:
Resolución:
Sean (x;y) las coordenadas de P, entonces de la fórmula anterior se deduce que:
Ejm:
Los puntos extremos de un segmento son A(-4;3) y B(6;8).
Hallar las coordenadas de un punto P tal que:
.
Resolución:
Ejm:
A(-2;3), B(6;-3) y P(x;y) son tres puntos colineales, si .
Hallar:
x+y
Resolución:
Del dato: r=-2, entonces:
x=14
y=-9
x + y = 5
Observación
Si la razón es igual a 1 es decir , significa que:
P1P=PP2, entonces P es punto medio de P1P2 y al reemplazar r=1 en las formas dadas se obtiene:
Ejm:
Hallar las coordenadas del punto medio P de un segmento cuyos extremos son: A(2;3) y B(4;7).
Resolución:
Sea P(x; y) el punto medio de AB, entonces:
x = 3
y = 5
P(3; 5)
Ejm:
Si P(x; y) es el punto medio de CD.
Hallar: x-y. C(-5; 6) y D(-1;-10).
Resolución:
x=-3
y=-2
P(-3;-2)
x-y = -1
Ejm:
El extremo de un segmento es (1;-9) y su punto medio es P(-1;-2). Hallar las coordenadas del otro extremo.
Resolución:
Sean (x2;y2) las coordenadas del extremo que se desea hallar como P(-1;-2) es el punto medio, se cumple que:
x2=-3
y2=5
Las coordenadas del otro extremo son: (-3;5)
Baricentro de un Triángulo
Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los vértices del triángulo ABC, las coordenadas de su baricentro G son:
G(x;y)=
Área de un Triángulo
Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los
Vértices de un triángulo ABC, el área (S) del triángulo es:
x1.y2 + x2.y3 + x3.y4 - x2.y1- x3.y2 - x1.y3
EJERCICIOS
1. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos:
a) (5;6) (-2;3)
b) (3;6) (4;-1)
c) (1;3) (1;-2)
d) (-4;-12) (-8;-7)
2. Un segmento tiene 29 unidades de longitud si el origen de este segmento es (-8;10) y la abscisa del extremo del mismo es12, calcular la ordenada sabiendo que es un número entero positivo.
a) 12 b) 11 c) 8
d) 42 e) 31
3. Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al origen es igual a 13u. Sabiendo además que la ordenada es 7u más que la abscisa.
a) (-12; 5)
b) (12; 5)
c) (5; 12)
d) (-5; -12)
e) a y b son soluciones
4. La base menor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;4), uno de los extremos de la base mayor tiene por coordenadas (3;-2). La distancia o longitud de la base mayor es:
a) 6u b) 7u c) 8u
d) 9u e) 10u
5. Calcular las coordenadas de los baricentros de los siguientes triángulos:
a) (2:5); (6;4); (7;9)
b) (7;-8); (-12;12); (-16;14)
6. Calcular las coordenadas del punto “p” en cada segmentos dada las condiciones:
a) A(0;7); B(6;1) / AP = 2PB
b) A(-3;2); B(4;9) / 3AP = 4PB
c) A(-1;-4); B(7;4) / 5AP = 3PB
7. En un triángulo ABC las coordenadas del baricentro son (6:7) el punto medio AB es (4;5) y de CB(2;3) determinar la suma de las coordenadas del vértice ”C”.
a) 21 b) 20 c) 31
d) 41 e) 51
8. Se tienen un triángulo cuyos vértices son los puntos A(2;4); B(3;-1); C(-5;3). Hallar la distancia de A hasta el baricentro del triángulo.
a) b) c)
d) e)
9. En la figura determinar: a+b
a) 19
b) –19
c) –14
d) –18
e) -10
10. La base de un triángulo isósceles ABC son los puntos A(1;5) y C(-3;1) sabiendo que B pertenece al eje “x”, hallar el área del triángulo.
a) 10u2 b) 11u2 c) 12u2
d) 13u2 e) 24u2
11. Reducir, “M” si:
A=(3;4) B=(5;6) C=(8;10)
D=(0;0) E=(2;2)
a) 1 b) 6 c) 7
d) 5 e) 4
12. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado es (1;2), hallar su área si uno de sus vértices es: (3;8).
a) 20 b) 80 c) 100
d) 40 e) 160
13. Los vértices de un cuadrilátero se definen por:
(2; 1), (-2; 2), (3; -2), (-3; -3).
Hallar la diferencia de las longitudes de las diagonales
a) b) c) 0
d) e)
14. Del gráfico siguiente determine las coordenadas del punto P.
a) (-7; 3)
b) (-8; 3)
c) (-5; 2)
d) (-4; 5)
e) (-3;2)
1. PENDIENTE DE UNA RECTA
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. General-mente la pendiente se representa por la letra m, dicho valor puede ser positivo o negativo, dependiendo si el ángulo de inclinación es agudo u obtuso respectivamente.
• Pendiente de L1:m1=Tg
En este caso m1 > 0
(+)
• Pendiente de L2 : m1=Tg
En este caso m2 < 0
(-)
Nota: La pendiente de las rectas horizon-tales es igual a cero (y viceversa) las rectas verticales no tienen pendiente.
Otra manera de hallar la pendiente de una recta es la siguiente:
Sean P1(x1; y1) y P2(x2; y2) dos puntos de la recta, entonces la pendiente (m) se calcula aplicando la fórmula:
, Si x1 x2
Demostración:
Demostración:
• Observamos de la figura que es el ángulo de inclinación de L, entonces:
M=Tg ......(1)
• De la figura también se observa que:
Tg= .......(2)
Pero: a=y2 – y1; b=x2 – x1
Reemplazando en (1) se obtiene:
Ejemplo:
• Hallar la pendiente de una recta que pasa por (2;-2) y (-1;4).
Resolución:
Sea P1(2;-2) y P2(-1;4); entonces
m=-2
• Una recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) y (10;b).
Hallar el valor de b.
Resolución:
Como la recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) entonces su pendiente es:
........ (1)
Como la recta pasa por (2,3) y (10,b) entonces su pendiente es:
...... (2)
De (1) y (2): b=13
• El ángulo de inclinación de una recta mide 135º, si pasa por los puntos (-3; n) y (-5;7). Hallar el valor de n.
Resolución:
Como el ángulo de inclinación mide 135º entonces la pendiente es:
m=Tg135º m=-1
Conociendo dos puntos de la recta también se puede hallar la pendiente:
m = m=
Pero m=-1, entonces:
2=7-n n=5
2. ANGULO ENTRE DOS RECTAS
Cuando dos rectas orientadas se intersectan, se foorman cuatro ángulos; se llama ángulo de dos rectas orientadas al formado por los lados que se alejan del vértice.
es el ángulo que forma las rectas L1 y L2
es el ángulo que forman las rectas L3 y L4.
Observar que cuando se habla de ángulo entre dos recta se considera a los ángulos positivos menores o iguales que 180º.
a. Cálculo del Angulo entre dos Rectas
Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo se puede calcular dicho ángulo.
m1 es la pendiente de la recta final (L1) y m2 es la pendiente de la recta inicial (L2). Denominamos a L1 Recta Final, porque de acuerdo con la figura el lado final del ángulo está en L1, lo mismo sucede con L2.
Ejemplo:
• Calcular el ángulo agudo formado por dos rectas cuyas pendientes son:
-2 y 3.
Resolución:
Y
X
Sea: m1= -2 y m2=3
Entonces:
Tg= Tg=1
=45º
• Dos rectas se intersectan formando un ángulo de 135º, sabiendo que la recta final tiene pendiente igual a -3. Calcular la pendiente de la recta final.
Resolución:
Sea: m1= Pendiente inicial y
m2= Pendiente final=-3
Entonces:
Tg135º= -1=
-1+3m1=-3-3m1 4m1=-2
Observaciones:
Si dos rectas L1 y L2 son paralelas entonces tienen igual pendiente.
L1//L2 m1=m2
Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a –1.
L1 L2 m1 . m2= -1
3. RECTA
La recta es un conjunto de puntos, tales que cuando se toman dos puntos cualesquiera de ésta, la pendiente no varía.
Por ejemplo: Si A, B, C y D son puntos de la recta L,
entonces se cumple que:
mAB = mCD = mBD ...... = mL
Ecuación de la Recta
Para determinar la ecuación de una recta debemos de conocer su pendiente y un punto de paso de la recta, o también dos puntos por donde pasa la recta.
a) Ecuación de una recta cuya pendiente es m y un punto de paso es p1(x1;y1).
y – y1 = m(x – x1)
b) Ecuación de una recta conociendo dos puntos de paso p1(x1,y1) y p2(x2;y2)
c) Ecuación de una recta cuya pendiente es m e intersección con el eje de ordenadas es (0;b).
y=mx+b
d) Ecuación de una recta conociendo las intersecciones con los ejes coordenados.
A esta ecuación se le denomina: Ecuación Simétrica de la recta.
e) Ecuación General de la Recta
La foma general de la ecuación de una recta es:
en donde la pendiente es:
m= - (B0)
Ejemplo:
• Hallar la ecuación general de una recta que pasa por el punto (2,3) y su pendiente es 1/2.
Resolución:
y–y1 =m(x – x1)
y–3 =
2y–6= x–2
La ecuación es: x – 2y + 4 =0
• La ecuación de una recta es:
2x+3y–6 = 0, hallar su pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados.
Resolución:
Ecuación:
2x + 3y – 6 = 0
La pendiente es: m =
2x + 3y = 6
Los puntos de intersección con los ejes coordenados son:
(3; 0) y (0; 2)
EJERCICIOS
1. Una recta que pasa por los puntos y tiene como pendiente y ángulo de inclinación a:
a) b) 1,30° c) 2,45°
d) 5,37° e) 4,60°
2. Hallar la pendiente de la recta: 4x+7y–3 = 0.
a) b) c)
d) e)
3. Señale la ecuación de la recta que pase por (3; 2) y cuyo ángulo de inclinación sea de 37º.
a) 3x-4y-1 = 0 b) 2x+3y-12 = 0
c) x-y-1 = 0 d) x+y+1 = 0
e) x + y – 1 = 0
4. Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P (1;5) y Q (-3;2).
a) 3x+4y – 17 = 0
b) 3x-4x+17=0
c) 3x-4x-17 = 0
d) 2x+y+4 = 0
e) x+y-2=0
5. Señale la ecuación de la recta que pasando por (1;2) sea paralela a la recta de ecuación: 3x + y –1 = 0.
a) 3x+y-5 = 0
b) x-y-5 = 0
c) 3x-y+5 = 0
d) 2x+2y-5 = 0
e) x+y-1=0
6. Señale la ecuación de la recta que pasando por (-3;5) sea perpendicular a la recta de ecuación:
2x-3y+7=0.
a) x+y+7 = 0 b) 2x+2y+3 = 0
c) x+y+8 = 0 d) 3x+2y-1 = 0
e) x+3y-4 = 0
7. Dada la recta L: x + 2y - 6 = 0 ¿Cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta entre los ejes cartesianos?
a) b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 5x+4y+20 = 0.
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
9. Señale la suma de coordenadas del punto de intersección de las rectas:
L1: 3x-y-7 = 0 con L2:x-3y-13= 0
a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) -5
10. Dada la recta “L” con ecuación 3x+4y-4 =0 y el punto P(-2,-5), encontrar la distancia más corta de P a la recta L.
a) 2 b) 2 c) 6
d) 8 e) 10
11. Calcular el área del triángulo formado por
L1: x =4
L2: x + y = 8 y el eje x.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
12. Calcular el área que se forma al graficar: y = lxl, y = 12.
a) 144 b) 68 c) 49
d) 36 e) 45
13. Señale la ecuación de a recta mediatriz del segmento : Si A(-3;1) y B(5;5).
a) 2x + y – 5 = 0
b) x+2y-5 = 0
c) x+y-3 = 0
d) 2x-y-5 = 0
e) x+y-7 = 0
14. Dado el segmento AB, con extremos:
A = (2; -2), B = (6; 2)
Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva que pasa por el origen y divide el segmento en dos partes cuyas longitudes están en la relación 5 a 3.
a) x-9y = 0
b) x + 9y = 0
c) 9x+ y = 0
d) 9x – y = 0
e) x – y = 0
4. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.
Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina Angulo del Segundo Cuadrante y análogamente para lo otros cuadrantes.
Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante.
Ejemplos:
a.
IC
IIC
IIIC
b.
90º a ningún cuadrante
no está en posición normal
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Si es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:
Nota:
El radio vector siempre es positivo
Ejemplos:
• Hallar “x”
Resolución:
Aplicamos la Fórmula:
Que es lo mismo
x2+y2=r2
Reemplazamos “y” por 12 y “r” por 13 en la igualdad anterior
x2+122=132
x2+144=169
x2=25
x=5
Como “x” esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo
x= -5
• Hallar “y”
Resolución:
Análogamente aplicamos x2+y2=r2
Reemplazamos “x” por 8 y ”r” por 17 en la igualdad anterior.
(-8)2+y2=172
64+y2=289
y2=225
y=15
Como “y” esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo.
y=-15
6. SIGNOS DE LA R.T. EN CADA CUADRANTE
Para hallar los signos en cada cuadrante existe una regla muy práctica
Regla Práctica
Son Positivos:
Ejemplos:
• ¿Qué signo tiene?
Resolución:
100º IIC Sen100º es (+)
200º IIIC Cos200º es (-)
300º IVC Tg300º es (-)
Reemplazamos
E=(+)
• Si IIC Cos2= . Hallar Cos.
Resolución:
Despejamos Cos de la igualdad dada.
Cos2=
Como III entonces Cos es negativo, por lo tanto:
• Si IVC Tg2= . Hallar Tg
Resolución:
Despejamos Tg de la igualdad dada:
Tg2=
Tg=
Como IVC entonces la Tg es negativa, por lo tanto:
Tg2=
7. ÁNGULO CUADRANTAL
Un ángulo en posición normal se llamará Cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En conse-cuencia no pertenece a ningún cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.
Propiedades
Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: (0º < < 360º)
Si IC 0º < < 90º
Si IIC 90º < < 180º
Si IIIIC 180º < < 270º
Si VIC 270º < < 360º
Ejemplos:
• Si IIIC. En qué cuadrante está 2/3.
Resolución:
Si IIIC 180º < < 270º
60º < < 90º
120º < < 180º
Como 2/3 está entre 120º y 180º, entonces pertenece al II cuadrante.
• Si IIC. A qué cuadrante pertenece
Resolución:
Si IIC 90º < < 180º
45º < < 90º
115º < <180º
Como esta entre 115º y 160º, entonces pertenece al II Cuadrante.
R.T. de Ángulos Cuadrantales
Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. de 90º, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0º, 180º, 270º y 360º.
Del gráfico observamos que x=0 r=y, por tanto:
Sen90º = = = 1
Cos90º = = = 0
Tg90º = = = No definido=ND
Ctg90º = = = 0
Sec90º = = = No definido=ND
Csc90º = = = 1
R.T 0º 90º 180º 270º 360º
Sen 0 1 0 -1 0
Cos 1 0 -1 0 1
Tg 0 ND 0 ND 0
Ctg ND 0 ND 0 ND
Sec 1 ND 0 ND 1
Csc ND 1 ND -1 ND
Ejemplos:
• Calcular: E=
Resolución:
Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos:
=180º
2=360º
Reemplazamos:
E= 3
• Calcular el valor de E para x=45º
Resolución:
Reemplazamos x=45º en E:
E=1
EJERCICIOS
1. Del gráfico mostrado, calcular:
E = Sen * Cos
a) b) c)
d) e)
2. Del gráfico mostrado, calcular:
E=Sec + Tg
a) 3/2 b) –3/2 c) 2/3
d) –2/3 e) 1
3. Del gráfico mostrado, calcular:
a) 24/7 b) –7/24 c) 25/7
d) –24/7 e) 7/24
4. Del gráfico mostrado, calcular:
E=Ctg - Csc
a) 2 b) 4 c) 1/2
d) 1/4 e) 1/5
5. Si (3; 4) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de:
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 3 e) 1/3
6. Si el lado de un ángulo en posición estándar pasa por el punto (-1; 2). Hallar el valor de:
E = Sec . Csc
a) –5/2 b) 5/2 c) –2/5
d) 2/5 e) 1
7. Si el punto (-9; -40) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de:
E = Csc + Ctg
a) 4/5 b) –5/4 c) –4/5
d) 5/4 e) –4/3
8. Dado el punto (20;-21) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de:
E = Tg + Sec
a) 2/5 b) –2/5 c) 1
d) 5/2 e) –5/2
9. Si Csc <0 Sec > 0. ¿En qué cuadrante está ?.
a) I b) II c) III
d) IV e) Es cuadrantal
10. Si II. Hallar el signo de:
a) + b) – c) + ó –
d) + y – e) No tiene signo
11. Hallar el signo de:
E=Ctg432º.Tg2134º.Csc3214º.Sec4360º
a) + b) – c) + –
d) + – e) No tiene signo
12. Si Sen.Cos > 0. ¿En qué cuadrante está ?.
a) I b) II c) III
d) I III e) II III
13. Si Sen= II. Hallar Tg.
a) b) c)
d) e)
14. Si Ctg=0,25 III. Hallar Sec.
a) b) c)
d) e)
15. Si Ctg2=3270º<<360º. Hallar Sen
a) 1/2 b) –1/2 c)
d) e)
16. Si Csc2=16 << .
Hallar el valor de:
a) –3/4 b) 3/4 c) –5/4
d) 5/4 e) 0
17. Calcular el valor de:
E=
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –3
18. Calcular el valor de:
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –3
19. Si (5; 12) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de
a) 5 b) –5 c) 1/5
d) –1/5 e) 10
20. Del gráfico calcular:
P = ctg + Csc
a) 3/4 b) –3/4 c) 1
d) 4/3 e) –4/3
8. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Se denomina Función Trigonométrica al conjunto de pares ordenadas (x, y), tal que la primera componente “x” es la medida de un ángulo cualquiera en radianes y la segunda componente “y” es la razón trigonométrica de “x”.
Es decir:
F.T. = {(x; y) / y = R.T.(x)}
9. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Si tenemos una función trigonométrica cualquiera.
y = R.T.(x)
• Se llama Dominio (DOM) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variable “x”.
DOM = {x / y = R.T.(x)}
• Se llama Rango (RAN) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variables “y”.
RAN = {y / y = R.T.(x)}
Recordar Álgebra
La gráfica corresponde a una función y=F(x) donde su Dominio es la proye-cción de la gráfica al eje X y el Rango es la proyección de la gráfica al eje Y.
10. FUNCIÓN SENO
a. Definición
Sen = {(x; y) / y = Senx}
DOM (SEN): “x” <-; > o IR
RAN (SEN): “Y” [-1; 1]
Gráfico de la Función SENO
Una parte de la gráfica de la función seno se repite por tramos de longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función seno es periódica de período 2. Por lo tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico:
X
0 /2 3/2 2
Y=Senx 0 1 0 -1 0
Nota
El período de una función se representa por la letra “T”. Entonces el período de la función seno se denota así:
T(Senx=2)
b. Propiedad
Si tenemos la función trigonométrica y=Asenkx, entonces al número “A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k.
Es decir:
y = ASenkx
Gráfico:
Ejemplo:
• Graficar la función y=2Sen4x. Indicar la amplitud y el período.
Resolución:
y = 2Sen4x
Graficando la función:
11. FUNCIÓN COSENO
a. Definición
Cos = {(x; y) / y=Cosx}
DOM (COS): “x” <-; > o IR
RAN (COS): “Y” [-1; 1]
Gráfico de la Función COSENO
Una parte de la gráfica de la función coseno se repite por tramos de longitud 2. Esto quiere decir que la gráfica de la función coseno es periodo 2. Por la tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico:
X
0 /2 3/2 2
Y=Cosx 1 0 -1 0 1
Nota
El período de una función Coseno se denota así:
T(Cosx=2)
b. Propiedad
Si tenemos la función trigonométrica y=ACoskx, entonces al número “A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2/k.
Es decir:
y = ACoskx
Gráfico:
Ejemplo:
• Graficar la función y=4Sen3x. Indicar la amplitud y el período.
Resolución:
y = 4Cos3x
Graficando la función:
12. PROPIEDAD FUNDAMENTAL
a. Para la Función SENO
Si (a; b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y=Senx.
Entonces se cumple que:
b=Sena
Ejemplo:
Graficamos la función: y=Senx
b. Para la Función COSENO
Ejemplo:
Graficamos la función: y=Cosx
EJERCICIOS
1. Si el dominio de la función y=Senx es 0; /3 hallar su rango.
a) 0; 1 b) 0;1/2 c) 0;
d) ; e) ; 1
2. Si el rango de la función y = Sen x es 1/2; 1
a) 0; /6 b) 0; 6/ c)/6;/2
d) /6; 5/6 e) /2; 5/6
3. Si el dominio de la función y=Cosx es /6; /4. hallar el rango, sugerencia: graficar.
a) 0; b) 0; c) ;
d) ; 1 e) ; 1
4. Si el rango de la función y=Cosx es -1/2; 1/2. Hallar su dominio, sugerencia: graficar.
a) 0; /3 b) /3; /2
c) /3; 2/3 d) /2; 2/3
e) /3;
5. Hallar el período (T) de las siguientes funciones, sin graficar.
I. y = Sen4x IV. y = Cos6x
II. y = Sen V. y = Cos
III. y = Sen VI. y = Cos
6. Graficar las siguientes funciones, indicando su amplitud y su período.
I. y = 2Sen4x
II. y =
III. y = 4Cos3x
IV. y = Cos
7. Graficar las siguientes funciones:
I. y = -Senx
II. y = -4Sen2x
III. y = -Cosx
IV. y = -2Cos4x
8. Graficar las siguientes funciones:
I. y = Senx + 1
II. y = Senx - 1
III. y = Cosx + 2
IV. y = Cosx - 2
9. Graficar las siguientes funciones:
I. y = 3 – 2Senx
II. y = 2 – 3Cosx
10. Graficar las siguientes funciones:
I. y =
II. y =
III. y =
IV. y =
11. Calcular el ángulo de corrimiento() y el período (T) de las siguientes funciones:
I. y =
II. y =
III. y =
IV. y =
12. Graficar las siguientes funciones:
I. y =
II. y =
13. Hallar la ecuación de cada gráfica:
I.
II.
III.
IV.
14. La ecuación de la gráfica es:
y=2Sen4x. Hallar el área del triángulo sombreado.
a) u2 b) u2 c) u2
d) u2 e) 2u2
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Una circunferencia se llama Trigonométrica si su centro es el origen de coordenadas y radio uno.
En Geometría Analítica la circunferencia trigonométrica se representa mediante la ecuación:
x2 + y2 = 1
1. SENO DE UN ARCO
El seno de un arco es la Ordenada de su extremo.
Sen = y
Ejemplo:
• Ubicar el seno de los sgtes. arcos: 130º y 310º
Resolución:
Observación: Sen130º > Sen¬¬310º
2. COSENO DE UN ARCO
El seno de un arco es la Abscisa de su extremo.
Cos = x
Ejemplo:
• Ubicar el Coseno de los siguientes. arcos: 50º y 140º
Resolución:
Observación: Cos50º > Cos140º
3. VARIACIONES DEL SENO DE ARCO
A continuación analizaremos la variación del seno cuando esta en el primer cuadrante.
Si 0º<<90º 0
Sen80º
II. Sen190º < Sen250º
a) VF b) VV c) FF
d) FV e) Faltan datos
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. Sen100º > Sen140º
II. Sen350º < Sen290º
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) Falta datos
3. Hallar el máximo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista.
a) –1/3 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
4. Si II. Hallar la extensión de “k” para que la siguiente igualdad exista.
5. Si IV. Hallar la extensión de “k” para que la siguiente igualdad exista.
a) <1/2; 5/4> b) <-1/2; 5/4>
c) <-5/4; 0> d) <-1/2; 0>
e) <-5/4; -1/2>
6. Indicar verdadero (V) o (F) según corresponda:
I. Sen=
II. Sen=
III. Sen=
a) VVV b) VVF c) FFF
d) FVF e) VFV
7. Hallar el máximo y mínimo de “E” si:
E = 3–2Sen
a) Max=-1 ; Min=-5
b) Max=5 ; Min=1
c) Max=1 ; Min=-5
d) Max=5 ; Min=-1
e) Max=3 ; Min=-2
8. Si III. Hallar la extensión de “E” y su máximo valor:
a) 4/7 Cos250º
a) VV b) FF c) VF
d) FV e) Faltan datos
12. Indicar verdadero (V) o falso(F) según corresponda:
I. Cos100º < Cos170º
II. Cos290º > Cos340º
a) FV b) VF c) VV
d) FF e) Faltan datos
13. Hallar el mínimo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista.
a) –1/5 b) 1/5 c) 1
d) –1 e) –5
14. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda.
I. Cos =
II. Cos =
III. Cos =
a) FVF b) FFF c) FVV
d) VVV e) VFV
15. Hallar el máximo y mínimo valor de “E”, si:
E = 5 – 3Cos
a) Max = 5 ; Min = -3
b) Max = 8 ; Min = 2
c) Max = 5 ; Min = 3
d) Max = -3 ; Min = -5
e) Max = 8 ; Min = -2
1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable.
Ejemplos
Identidad Algebraica: (a+b)² = a² + 2ab + b²
Identidad Trigonométrica: Sen² + Cos² = 1
Ecuación Trigonométrica: Sen + Cos = 1
Para: = 90º Cumple
Para: = 30º No cumple
2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas.
Se clasifican:
• Pitagóricas
• Por cociente
• Recíprocas
2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS
I. Sen² + Cos² = 1
II. 1 + Tan² = Sec²
III. 1 + Cot² = Csc²
Demostración I
Sabemos que x² + y² = r²
Sen² + Cos² = 1 l.q.q.d.
2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE
I. Tan =
II. Cot =
Demostración I
Tan = L.q.q.d.
2.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS
I. Sen . Csc = 1
II. Cos . Sec = 1
III. Tan . Cot = 1
Demostración I
Sen . Csc = 1 L.q.q.d.
Observaciones: Sabiendo que: Sen² + Cos² = 1
Despejando: Sen² = 1 – Cos² Sen² = (1 + Cos) (1-Cos)
Así mismo: Cos² = 1 - Sen² Cos² = (1 + Sen) (1-Sen)
3. IDENTIDADES AUXILIARES
A) Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen² . Cos²
B) Sen6 + Cos6 = 1 – 3Sen² . Cos²
C) Tan + Cot = Sec . Csc
D) Sec² + Csc² = Sec² . Csc²
E) (1+Sen + Cos)² = 2(1+Sen)(1+Cos)
Demostraciones
A) Sen² + Cos² = 1
Elevando al cuadrado:
(Sen² + Cos²)² = 1²
Sen4 + Cos4 +2 Sen² + Cos² = 1 Sen4+Cos4=1–2 Sen².Cos2
B) Sen² + Cos² = 1
Elevando al cubo:
(Sen² + Cos²)3 = 13
Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) (Sen² + Cos²)= 1
1
Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) = 1 Sen6+Cos6=1-3(Sen².Cos²)
C) Tan + Cot =
1
Tan + Cot =
Tan + Cot = Tan + Cot = Sec . Csc
D) Sec² + Csc² =
Sec² + Csc² =
Sec² + Csc² = Sec² + Csc² = Sec² . Csc²
E) (1+Sen + Cos)² = 1²+(Sen)²+(Cos)²+2Sen+2Cos+2Sen.Cos
= 1+Sen² + Cos² + 2Sen.2cos + 2Sen.Cos
= 2+2Sen + 2Cos + 2Sen.Cos
Agrupando convenientemente:
= 2(1 + Sen) + 2Cos (1 + Sen)
= (1 + Sen) (2 + 2Cos)
= 2(1 + Sen) (1 + Cos)
(1 + Sen + Cos)² = 2(1+Sen) (1+Cos)
4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR
Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes, para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos:
1. Se escoge el miembro “más complicado”
2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general)
3. Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas.
Ejemplos:
1) Demostrar:
Secx (1 – Sen²x) Cscx = Cotx
Se escoge el 1º miembro:
Secx (1-Sen²x) Cscx =
Se lleva a senos y cosenos:
Se efectúa: =
Cotx = Cotx
2) Demostrar:
Secx + Tanx - 1 1 + Secx - Tanx = 2Tanx
Se escoge el 1º Miembro:
Secx + Tanx - 1 Secx – Tanx + 1 =
Secx + (Tanx – 1) Secx – (Tanx -1)=
Se efectúa
(Secx)² - (Tanx - 1)² =
(1 + Tan²x) – (Tan²x – 2Tanx + 1) =
1 + Tan²x – Tan²x + 2Tanx - 1 =
2Tanx = 2Tanx
5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y SIMPLIFICAR
Ejemplos:
1) Reducir: K = Sen4x – Cos4x + 2Cos²x
Por diferencia de cuadrados
1
K = (Sen²x + Cos²x) (Sen²x – Cos²x) + 2Cos²x
K = Sen²x - Cos²x + 2Cos²x
K = Sen²x + Cos²x K = 1
2) Simplificar: E =
E = E = E = 0
6. PROBLEMAS CON CONDICIÓN
Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones.
Ejemplo
Si: Senx + Cosx = . Hallar: Senx . Cosx
Resolución
Del dato: (Senx + Cosx)² =
Sen²x + Cos²x + 2Senx . Cosx =
1
2Senx . Cosx = - 1
2Senx . Cosx = Senx . Cosx = -
7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIÓN DE ÁNGULOS
La idea central es eliminar todas las expresiones trigonométricas, y que al final queden expresiones independientes de la variable.
Ejemplo:
Eliminar “x”, a partir de: Senx = a
Cosx = b
Resolución
De Senx = a Sen²x = a² Sumamos
Cosx = b Cos²x = b²
Sen²x + Cos²x = a² + b²
1 = a² + b²
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Reducir :
a) b) c) d) e) 1
2. Simplificar :
a) tgx b) cscx c) secx d) ctgx e)
3. Reducir :
a) b) c) d) e)
4. Reducir:
a) 1 b) c) d) e)
5. Calcular el valor de “K” si :
a) b) c) d) e)
6. Reducir :
a) 2 b) c) d) e)
7. Reducir :
a) b) c) 1 d) e)
8. Reducir :
a) b) c) d) e)
9. Si :
Calcular :
a) 5 b) 4 c) 2 d) 2/3 e) 3/2
10. Reducir :
a) b) c) d) e) 1
11. Reducir :
a) 1 b) c) d) e)
12. Reducir :
a) 1 b) c) d) e)
13. Reducir :
a) b) c) d) e)
14. Reducir :
a) 2 b) 10 c) 5 d) 3 e) 7
15. Reducir :
a) b) c) d) e)
16. Si :
Calcular el valor de “ m “
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2
17. Simplificar :
a) b) c) d) e)
18. Si : Reducir :
a) b) c) d) e)
19. Si :
Calcular :
a) 2 b) 4 c) 7/2 d) 9/2 e) 5
20. Simplificar :
a) b) c) d) e)
21. Reducir :
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4
22. Si :
Calcular :
a) b) 3 c) d) e)
23. Reducir :
a) b) c) d) e)
24. Reducir :
a) b) c) d) e)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ARCOS
Sen (+)= Sen.Cos +Sen.Cos
Cos (+)= Cos. Cos-Sen.Sen
Tg (+) =
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE DOS ARCOS
Sen (-)= Sen.Cos - Cos.Sen
Cos (-)= Cos.Cos + Sen.Sen
Tg (-) = tg - tg
1+ tg . tg
Ojo:
Ctg(+)= Ctg . Ctg + 1
Ctg Ctg
Aplicación:
a) Sen 75º = Sen (45º+30º)
= Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º
=
Sen75º =
b) Cos 16º = Cos (53º-37º)
= Cos 53º.Cos37º Sen37º
=
Cos 16º =
c) tg 8º = tg (53º-45º)
= =
Tg 8º
5
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcular:
E=(Sen17º + Cos13º)²+(Cos17º+Sen13º)²
= Sen²17º + Cos²13º+ 2Cos13ºSen17º +
Cos²17º+Sen²13º+ 2Cos17º.Sen13º
= 1+1+2Sen (17º+13º) = 2 + 2Sen30º= 3
2. Hallar: P=Cos80º+2Sen70º.Sen10º
Resolución
= Cos(70º+10º)+2Sen70º.Sen10º
= Cos70º.Cos10º-Sen70º.Sen10º+2Sen70º.Sen10º
= Cos70º.Cos10º+ Sen70ºSen10º
= Cos(70º-10º)=Cos60º =
3. Hallar Dominio y Rango:
f(x) = 3Senx + 4 Cosx
Resolución
Dominio: x R
Rango: y = 5
Y = 5 (Sen37º.Senx +Cos37º.Cosx)
Y = 5 Cos(x-37º)
Ymax = 5 ; Ymin = -5
Propiedad:
E = a Sen b Cos x
Emáx =
Emin = -
Ejemplo:
-13 5 Senx + 12 Cos x 13
- Sen x + Cosx
4. Siendo Sen 20º = a, Cos 25º = b. Obtener tg 25º en término de “a” y “b”
Resolución
Sen 20º = a
Sen (45º-25º) = a
b- Sen 25º = a
Sen 25º = (b-a)
Tg25º =
5. Simplificar:
E=Sen²(+)+sen²-2sen (+) Sen.Cos
Resolución:
Ordenando:
E = Sen²(+) – 2Sen(+) Sen.Cos
+ Sen² + Cos²Sen² - Cos²Sen²
E = sen(+)-Cos.Sen²+Sen²(1-Cos²)
E = Sen²Cos² + Sen² . Sen²
E = Sen²(Cos² + Sen²)
E = Sen²
6. Siendo: Sen + Sen + Sen =0
Cos + Cos + Cos = 0
Calcular:
E = Cos (-) + Cos (-) + Cos (-)
Resolución:
Cos + Cos = - Cos
Sen + Sen = - Sen
Al cuadrado:
Cos² + Cos² + 2Cos . Cos = Cos²
Sen² + Sen² + 2Sen . Sen = Sen²
1 + 1 + 2 . Cos( - ) = 1
Cos ( - ) = -
Por analogía:
Cos ( - ) = -
Cos ( - ) = -
E = - 3/2
Propiedades :
Ejm.
Tg18º+tg17º+tg36ºtg18ºtg17º=tg35º
Tg20º + tg40º + tg20º tg40º =
(tg60º)
tg22º + tg23º + tg22º . tg23º = 1
tg + tg2 + tg tg2 tg3 = tg3
8. Hallar tg si:
Resolución:
........................
9. Siendo:
tg (x-y) = , tg (y-z) = 1
Hallar: tg (x-z)
Resolución
........................
10. Siendo “Tag ” + “Tag” las raíces de la ecuación:
a . sen + b . Cos = c
Hallar: Tg ( + )
Resolución:
Dato: a Sen + b Cos = c
a Tg + b = c . Sec
a² tg² + b²+ 2abtg = c² (1+tg²)
(a² - c²) tg² + (2ab)tg + (b² - c²)=0
tg + tg =
tg . tg =
tg (+) =
tg(+) =
Propiedades Adicionales
Si : a + b + c = 180°
Si: a + b + c = 90°
EJERCICIOS
1. Si : ; III C;
, IV C. Hallar:
a) 16/65 b) 16/65 c) 9/65
d) 13/64 e) 5/62
2. Reducir :
a) Taga b) Tagb c) Tag(a – b)
d) Tag( a +b ) e) Ctga
3. Si :
Hallar E =
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
4. Si : ;θ III C; Tag =1 ; III C
Hallar E =
a) 17 /13 b) 17 /15 c)17 /14
d) 17 /26 e) 5 /26
5. Reducir :
a) Senb b) Sena c) Cosa
d) Cosb e) 1
6. Reducir :M =
a) 2Cosθ b) 2Senθ c) 3Cosθ
d) 2Senθ Cosθ e) Ctgθ
7. Reducir :
a) 1 b) -1 c)
d) e) 2
8. Reducir :
a) b) c)
d) e)
9. Si se cumple:
Hallar M =
a) 1 /2 b) 2 c) 1 /2
d) 1 e) 1/4
10. Si ABCD es un cuadrado. Hallar Tagx
a) 19/4
b) 4/19
c) 1/2
d) 7/3
e) 3/4
11. Reducir :
E =
a) 1 b) 2 c) 1 /2
d) 1 /4 e) 1 /8
12. Si: ;
Hallar E =
a) 11/ 10 b) 10 / 11 c) 5 /3
d) 13 / 10 e) 1 / 2
13. Hallar : Ctgθ
a) 1 /2
b) 1 /32
c) 1 /48
d) 1 /64
e) 1 /72
14. Hallar :M =
a) 2 b) 1 c) 1 /2
d) 3 e) 1 /3
15. Hallar el máximo valor de:
M =
a) 1 b) 2 /3 c ) 4 /3
d) 5 /3 e) 1 /7
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
PRIMER CASO:
Reducción para arcos positivos menores que 360º
f.t.
Depende del cuadrante
f.t.
Ejm:
Sen200º=(Sen180º+20º)=-Sen 20º
IIIQ
Tg300º = (tg300º - 60º) = -tg60º
IVQ
Cos = -Senx
II Q
Sec
SEGUNDO CASO:
Reducción para arcos positivos mayores que 360º
f.t. (360º . n + ) = f.t. (); “n” Z
Ejemplos:
1) Sen 555550º = Sen 70º
555550º 360º
1955 1943
-1555
1150
- 70º
2) Cos
TERCER CASO:
Reducción para arcos negativos
Sen(-) = -Sen Ctog(-) = -Ctg
Cos(-) = Cos Sec(-) = Sec
Tg(-) =-tg Csc(-) = -Csc
Ejemplos:
Sen (-30º) = -Sen30º
Cos (-150º) = Cos 150º
= Cos (180º - 30º)
= - Cos 30º
Tg = -ctgx
ARCOS RELACIONADOS
a. Arcos Suplementarios
Si: + = 180º ó
Sen = Sen
Csc = Csc
Ejemplos:
Sen120º = Sen60º
Cos120º = -Cos60º
Tg
b. Arcos Revolucionarios
Si + = 360º ó 2
Cos = Cos
Sec = Sec
Ejemplos:
Sen300º = - Sen60º
Cos200º = Cos160º
Tg
EJERCICIOS
1. Reducir E =
a) 1 /2 b) 3 /2 c) 3 /2
d) 5 /2 e) 7 /2
2. Reducir : M =
a) 1 /2 b) c)
d) 2 e)
3. Reducir A =
a) Tagx b) Tagx c) 1
d) Senx e) 1
4. Hallar :
M =
a) b) c)
d) e) 1
5. Reducir: A =
a) 2 b) 2 c) 1 /2
d) e)
6. Reducir:
M=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 1
7. Si:
Hallar “ m “
a) 1 /5 b) 2 /5 c) 3 /5
d) 4 /5 e) 6 /5
8. Reducir: A =
a) 3 /4 b) 4 /3 c) 5 /2
d) 1 /4 e) 2
9. Reducir:
M=
a) b) c)
d) e) 1 /6
10. Reducir:
M =
a) 1 b) c)
d) e)
11. Si se cumple que :
Hallar E =
a) 5 /3 b) 2 /3 c ) 2 /5
d) 1 /3 e) 5 /2
12. Siendo : x + y = 180°
Hallar:
A =
a) 1 b) 2 c) 2 d) 1 e) 0
13. Del gráfico hallar E =
a) 5 /6
b) 1 /5
c) 1 /6
d) 6 /5
e) 2 /5
I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE
1. Seno de 2:
Sen 2 = 2Sen Cos
2. Coseno de 2:
Cos 2 = Cos² - Sen²
Cos 2 = 1 – 2 Sen² ... (I)
Cos 2 = 2 Cos² - 1 ... (II)
3. Fórmulas para reducir el exponente (Degradan Cuadrados)
De (I)... 2 Sen² = 1 – Cos 2
De (II).. 2 Cos² = 1+Cos 2
4. Tangente de 2:
tg2 =
Del triángulo rectángulo:
* Sen 2 =
* Cos 2 =
5. Especiales:
• Ctg + Tg = 2Csc 2
• Ctg - Tg = 2Ctg2
• Sec 2 + 1 =
• Sec 2 - 1 = tg2 . tg
• 8Sen4 = 3 – 4 Cos2 + Cos4
• 8Cos4 = 3 + 4 Cos2 + Cos4
• Sen4 + Cos4 =
• Sen6 + Cos6 =
EJERCICIOS
1. Reducir: R=
Resolución:
R =
R =
2. Simplificar:
E =
Resolución
E =
E =
E = tg²x
3. Siendo:
Reducir: P = aCos2 + bSen2
Resolución:
= aCos2+b.2Sen.Cos
= aCos 2+bCos. 2Sen
= aCos 2+aSen. 2Sen
= aCos 2+a(2Sen²)(1-Cos2)
P = aCos2 + a – aCos2 P = a
4. Si tg²x – 3tgx = 1
Calcular: tg2x
Resolución:
Sabemos:
Tg2x =
Del Dato:
-3 tgx = 1- tg²x
tg2x =
5. Siendo: 2tg x + 1 = 2Ctgx
Calcular: Ctg 4x
Resolución:
Del dato:
1 = 2(Ctgx - Tgx)
1 = 2 (2Ctg 2x)
= Ctg. 2x
Notamos: 2Ctg 4x = Ctg 2x – Tg2x
Ctg4x =
Ctg4x = -
6. Siendo: Sec x = 8Senx
Calcular: Cos 4x
Dato :
Nos pide:
Cos4x = 1 – 2 Sen²2x
= 1-2
= 1 -
Cos4x =
7. Determinar la extensión de:
F(x)= Sen6x + Cos6x
F(x) = 1 - . 2² Sen²x . Cos²x
F(x) = 1 - . Sen²2x
Sabemos:
0 Sen²2x 1
- - Sen²2x 0
- Sen²2x+1 1
¼ f(x) 1
Propiedad:
8. Calcular
E = Cos4 +Cos4 +Cos 4
Resolución:
E= Cos4 +Cos4 +Cos 4
E = 2
E = 2
E = 2 – 2² . Sen² . Cos²
E = 2 – Sen² = 2 - = 7/4
EJERCICIOS
1. Si : .
Hallar :
a) b) c)
d) e)
2. Si: . Calcular :
a) 12/13 b) 5/13 c) 1/8
d) 2/7 e) 3/5
3. Si: Hallar E = Csc 2x
a) 12/13 b) 25/24 c) 7/25
d) 13/5 e) 5/4
4. Si: Hallar :
E = Tag 2θ
a) 1 /4 b) 3 /4 c) 5 /4
d) 7 /4 e) 9 /4
5. Reducir:
M =
a) Cos 2x b) Sen 2x c) Tag x
d) Ctg2x e) 1
6. Si:
Hallar E =
a) 82/27 b) 81/26 c) 49/27
d) 17/32 e)12/17
7. Reducir:
M =
a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
8. Si se cumple:
a) 3 /5 b) 1 /2 c) 2 /5
d) 3 /10 e) 1 /5
9. Reducir: M =
a) 1 /2 b) 1 /3 c) 1 /4
d) 1 /5 e) 1 /6
10. Si se cumple:
Hallar E = Sen 4θ
a) 1 /3 b) 1 /2 c) 3 /4
d) 1 /4 e) 5 /7
11. Reducir:
M =
a) 1 b) 1 /2 c) 1 /3
d) 1 /4 e) 2
II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD
1. Seno de :
2 Sen2 = 1 - Cos
Sen =
2. Coseno de :
2Cos² = 1 + Cos
Cos =
Donde:
() Depende del cuadrante al cual “ ”
3. Tangente de :
tg =
4. Cotangente de :
Ctg =
5. Fórmulas Racionalizadas
Tg = Csc - Ctg
Ctg = Csc + Ctg
EJERCICIOS
1. Reducir
P =
Resolución:
P =
P =
2. Siendo:
Cos =
Hallar:
tg
Resolución:
del dato:
Por proporciones
Tg² =
tg =
tg .Ctg
1. Relaciones Principales
Relaciones Auxiliares
EJERCICIOS
1. Si: ; x III Cuadrante
Hallar E =
a) b) c)
d) e)
2. Si : ; x III Cuadrante
Hallar M =
a) b) c)
d) e)
3. Si. ; x 2
Hallar E =
a) b) c)
d) e) 2
4. Si : y
Hallar :
a) 4/7 b) 3/7 c) 1/3
d) 3/7 e) 4/7
5. Reducir :
a) b) c)
d) e) 1
6. Reducir:
E =
a) Senx b) Cscx/2 c) Cscx
d) 1+Cosx/2 e) Senx/2
7. Si:
Hallar E =
a) 1 b) 1 c) 0
d) 1/2 e) 2
8. Reducir:
M =
a) 1 b) 2 c) 1
d) 0 e) 1 /2
9. Reducir: A =
a) Tag θ b) Ctg θ c) Sec θ
d) Csc θ e) Sen θ
10. Hallar E =
a)
b)
c)
d)
e)
11. Siendo x un ángulo positivo del III cuadrante; menor que una vuelta y se sabe:
Hallar E =
a) b) c)
d) e) 1 /3
12. Reducir:
P = ; x ; 2
a) Cos x/2 b) Cos x/4
c) Sen x/4 d) Sen x /4
e) Tag x/4
13. Reducir: M =
a) b)
c) d) e) 1
14. Si:
Hallar E = 5 4 Cosx
a) 2 b) 7 c ) 6
d) 8 e) 10
15. Reducir:
M=
a)1 b) 2 c) 1 /2
d) 1 /4 e) 1 /6
3Senx – 4 Sen3x
Sen 3x= Senx (2Cos 2x+1)
4Cos3x – 3 Cosx
Cos3x= Cosx (2Cos 2x - 1)
tang3x=
Ejm. Reducir: = = 4
Hallar P = 4 Cos²x - = P =
Reducir: M = 9 Senx – 12Sen3x – 4Sen33x
M = 3 (3Senx – 4 Sen3x) – 4 Sen33x
M = 3 Sen3x – 4 Sen33x = Sen 9x
1. Reducir
A = 2 Cos2x Cosx – Cosx
2 Cos2x Senx + Senx
Resolución:
A =
2. Si Tan3x = 11Tanx Hallar cos “2x”
Resolución:
=
3. Sabiendo tan (30º-x) = 2. Hallar tan 3x
Resolución
Hacemos Tan (30º-x) =2 Tan = 2
Tan 3 =
Luego:
Tan 3 = Tan 3(30º-x) =
Tan (90º-3x) = Cot 3x =
Tan 3x =
4. Si tan 3x = mtanx
Hallar :
Sen3x.Cscx = 2Cos2x+1
Resolución:
Dato:
Sen3x.Cscx = 2Cos2x+1
= (proporciones)
5. Resolver “x”,
Sabiendo: 8x3–6x+1 = 0
2 (4x3 – 3x) + 1 = 0
3x – 4x3 = + ½
Cambio de variablex = Sen
3 Sen - 4Sen3 = ½
Sen3 = ½ = (10º, 50º, 130º)
6. Calcular “x” sabiendo x3 – 3x = 1
x = ACos
Reemplazando : A3Cos3 - 3ACos = 1 ... ()
A² = 4 = A = 2
En ()
8 Cos3 - 6 Cos = 1
2Cos3 = 1
Cos3 = ½
= 20º x = 2 Cos 20º
PROPIEDADES IMPORTANTES
4Senx.Sen(60º-x).Sen(60º-x) = Sen3x
4Cosx.Cos(60º-x).Cos(60+x) = Cos3x
Tanx . tan (60-x) . Tan(60+x) = Tan3x
1. Reducir:
E = Cos 20º Cos40º . Cos 80º
Resolución:
E = Cos 20º Cos40º . Cos 80º = Cos20º.Cos(60º-20º).Cos(60º+20º)
= .Cos60º =
2. Calcular:
A = Sen10º . Sen50º . Sen70º
Resolución:
A = Sen10º . Sen50º . Sen70º = Sen10º . Sen (60-10).Sen (60º+10º)
= .Sen30º =
3. Calcular:
A =
Resolución-
A =
A =
3. Hallar “”, sabiendo:
Tan2. Tan12º = Tan.Tan42º
Resolución:
= Tan (60º-18º)Tan (60+18º)
Tan54º . Cot 18=
4. Hallar x: en la figura:
Resolución:
Tanx = =
5. Hallar “Sen18º” y “Cos36º”
Resolución
Sabemos que: Sen36º = Cos54º
2sen18.Cos18º =4Cos318– 3Sen18º
2sen18º = 4 Cos²18º - 3
2Sen18º = 4 (1-Sen²18º)-3
4Sen²18º + 2Sen18º - 1 = 0
Sen18º =
Se concluye que: 2(4)
Sen18º =
Cos36º =
6. Hallar Sec²10º.Sec²50º.Sec²70º
E =
= =
EJERCICIOS
1. 1. Si : 4Tg37° Senx = 1. Calcular Sen3x.
a) 21/28 b) 21/23 c) 22/27 d) 23/27 e) 25/27
2. Si: Tg = . Calcular Tg 3
a) 13/3 b) 13/9 c) 13/4 d) 9/2 e) 9/4
3. Si :
Calcular :
a) 23/27 b) -23/27 c) 2/27 d) 14/27 e) 9/24
4. Simplificar : A=
a) Senx b) Cosx c) Sen2x d) Cos2x e) Sen3x
5. Reducir : A =
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3
6. Reducir : A =
a) Sen x b) Cos x c) Sen x
d) Cos x e) 2Sen x
Reducir : A = 6Sen10° 8Sen 10°
a) 1 b) 1 /2 c) 1 /3
d) 1 e) 1 /2
7. Calcular : A = 16Cos 40° 12Sen50°+ 1
a) 1 b) 2 c) 1 /2
b) d) 1/2 e) 1
8. Reducir : A =
a) Tgx b) Ctgx c) Tgx
d) – Ctgx e) 2Ctgx
9. Dado : a.Cscx = 3 – 4 Sen x
b.Secx = 4Cos x 3
Calcular : a + b
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6 0,8
b) e) 1,0
10. Simplificar : A =
11.
a) b) 1 /2 c)
d) e)
12. Simplificar : A =
a) Senx b) Cosx c) Sen2x d) Cos2x e) Tgx
13. Si : ; además x es agudo
Calcular : Sen3x
a) b) c) 1 /2 d) e) 1 /2
14. Si : 2Sen3x = 3Senx. Calcular : Cos2x
a) b) c) d) e) 0,45
15. Si : . Calcular :
a) 13/12 b) 12/13 c) 1/13 d) 5/13 e) 1/12
I. DE SUMA A PRODUCTO (Factorización):
Sen A + Sen B = 2 Sen Cos
Sen A – Sen B = 2 Cos Sen
Cos A + Cos B = 2 Cos Cos
Cos B – Cos A = 2 Sen Sen
Donde: A > B
Ejemplos:
1. Calcular: W =
2. Simplificar:
E = =
3. Hallar “Tan (+)”, sabiendo que:
Sen 2+Sen 2 = m y Cos 2 + Cos 2 = n
RESOLUCIÓN
SERIES TRIGONOMÉTRICAS
Sen () + Sen (+r) + Sen (+2r)+ ......=
“n” s están en Progresión Aritmética
Cos () + Cos (+r) + Cos (+2r)+ ......=
“n” s están en Progresión Aritmética
Ejemplos:
1. Calcular: M = Sen5º + Sen10º + Sen15º + .... + Sen 355º
RESOLUCIÓN
M =
2. Reducir:
E =
E=
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si se cumple: Calcular:
RESOLUCIÓN
=
2. Calcular la expresión: E =
Sabiendo:
Sen x – Seny = m
Cosx + Cos y = n
RESOLUCIÓN
E = E = =
E = E = ctg
Del dato: ctg
E =
3. Hallar “P” =
RESOLUCIÓN
P =
P =
4. Calcular “A” =
RESOLUCIÓN
A =
2ª = 13
2ª = 13
A =
• Fórmulas para degradar
Fórmula General: 2n-1 CosnX
23Cos4X = Cos4x+ Cos2x + ½ T. INDEPENDIENTE
25Cos6x = Cos6x+ Cos4x + ½ Cos 2x + ½
24Cos5x = Cos5x+ Cos3x + Cosx
= Cos 5x + 5 Cos3x + 10Cosx
II. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA:-
2Senx . Cosy = Sen(x+y) + Sen (x+y)
2Cosx . Sen y = Sen (x+y) – Sen (x-y)
2Cosx . Cosy = Cos (x+y) + Cos (x-y)
2Senx . Seny = Cos (x-y) – Cos (x+y)
Donde x > y
Ejemplos:
1. Reducir: E =
RESOLUCIÓN
E =
2. Calcular: E =
E =
=
=
3. Hallar P =
RESOLUCIÓN
P = P =1
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Reducir: R =
RESOLUCIÓN
R =
R =
R =
R = Tg10x
2. Calcular: P = Sen²10º + Cos²20º - Sen10Cos20º
RESOLUCIÓN
2P = 2Sen²10º + 2Cos²20º - 2Sen10Cos20º
2P = 1-Cos20º + 1+ Cos40º - (Sen30º-Sen10º)
2P = 2+ Cos40º - Cos20º - ½ + Sen10º
2P = 3/2 + Cos40° - Cos20° + Sen10°
2P = 3/2 – 2Sen30° . Sen10° + Sen10°
P = ¾
EJERCICIOS
1. Transformar a producto :
R = Sen70° + Cos70°
a) Cos25° b) Sen25° c) Sen20° d) Cos20° e) 1
2. Reducir : M =
a) 2Sen22x b) 2Cos22x
c) Tag9x d) 2Sen3x
e) 2Sen2x
3. Si : a + b = 60° .
Hallar :
a) /3 b) /2 c) 1/2
d) /3 e)
4. Reducir :
E = 4(Cos5x + Cos3x)(Sen3x Senx)
a) 2Sen4x b) 2Cos8x
c) 2Sen8x d) 2Cos4x
e) 2Sen4x.Cos4x
5. Hallar el valor de “ M “ :
M = Sen85° Cos5°Sen25° Cos115°
a) 0 b) – 0.5 c) 0.5
d) – 1 e) 3
6. Reducir :
R = (Tag2 +Tag4)(Cos2+Cos6)
a) Sen2 b) Sen6 c) 2Sen2
d) Sen12 e) 2Sen6
7. Reducir :
E=
a) b) Cscx c) Csc2x
d)Cosx e) Secx
8. Reducir :
A = si x=5
a) /3 b) /2 c) /2
d) e) 1
9. Reducir .
E =
a) Tagx b) Tag2x c) Tag3x
d) Tag6x e) Tag4x
10. Al factorizar :
Cos8x + Cos2x + Cos6x + Cos4x
Indicar un factor :
a) Senx b) Cos3x c) Cos5x
d) Sen5x e) Sen2x
11. Expresar como producto :
E = Cos24x – Sen26x
a) Cos4x.Cos6x
b) Cos2x.Cos10x
c) 2Cos4x.Cos6x
d) 2Cos2x.Cos10x
e) 4Cos2x.Cos10x
12. Hallar el valor de "n" para que la igualdad :
Siempre sea nula.
a) 1 b) -2 c) 2
d) 1/2 e) -1
13. Reducir :
E =
a) /3 b) /6 c) 1
d) e) 2 /3
14. Si : 21 = . Hallar el valor de :
R =
a) 2 b) – 2 c) 1
d) 1 e) 1/2
15. Hallar el valor de “ E “ :
E =
a) 1 b) 3/2 c) 2
d) 5/2 e) 3
16. Factorizar :
E =
a) 2 Cos20°
b) 4 /3Cos50°
c) 2 /3Sen70°
d) 8 /3Cos70°
e) 10 /3Sen70°
17. Reducir :
E = 2Cos3x.Cosx Cos2x
a) Cos2x b) Cos3x c) Cos4x
d) Sen4x e) Sen2x
18. Reducir :
M = 2Sen80°.Cos50° Sen50°
a) 1 b) 1/2 c)
d) /2 e) /4
19. Reducir :
R = 2Cos4.Csc6 Csc2
a) – Csc3 b) – Csc4 c) Csc6
d) – Ctg4 e) – Tag4
20. Si: Sen2x.Sen5x = Senx.Cos4x - Cosx.Cos6x
Hallar : " Ctgx "
a) 1 b) 1/2 c) 1/4
d) 4 e) 2
21. Transformar :
a) Sen6x b)Cos6x c) – Sen4x
d) – Cos4x e) – Sen2x
22. Simplificar :
R = Sen5x.Senx + Cos7x.Cosx
a) 2Cosx.Cos6x
b) 2Sen2x.Sen6x
c) 2Sen2x.Cos6x
d) Cos2x.Cos6x
e) Sen2x.Sen6x
* OBJETIVOS
De lo que se trata es de calcular de manera única un valor para el arco (ángulo), conociendo para ello el valor de la función trigonométrica que lo afecta. En otro tipo de problemas un artificio útil será hacer un cambio de variable a la función trigonométrica inversa.
Si = Sen = ½ =
es un arco cuyo seno vale ½
= arc Sen (½) = Sen -1 ½
arc Sen (½) =
Si Tg = ½
arc tg (½) =
* DEFINICIONES
i) y = arc Senx x -1,1
un arco cuyo seno es “x” y
Ejemplo:
Arc Sen
Arc Sen
Arc Sen
Arc Sen
Arc Sen (-x) = Arc Sen x
ii) y = arc Cos x x -1,1
un arco cuyo coseno es x y 0,
Ejemplo:
Arc Cos
Arc Cos
Arc Cos
Arc Cos
Arc Cos (-x) = - arc Cos x
iii) y = arc tgx
x R
y < - >
Ejemplo:
Arc Tg (1) =
Arc Tg (2 - ) =
Arc tg (-1) = -
Arc tg ( -2) = -
Arc tg (-x) = - Arc tg x
iv) y = arc ctg (x) x R
y <0, >
arc ctg. (3/4) = 53º
arc ctg. (- 3/4) = 180º - 53º = 127º
* PROPIEDADES
1. La función directa anula a su inversa
Sen (arc Senx) = x
Cos (arc Cosx) = x
Tg (arc Tg x) = x
Ejm: Sen (arc Sen ) =
Cos (arc Cos ) =
Tg (arc Ctg 1996) = 1996
2. La función inversa anula a su función directa
Arc Sen (Sen x) = x
Arc Cos (Cos x) = x
Arc Tg (Tg x) = x
Ejm: Arc Cos (Cos ) =
Arc Sen (Sen ) = Arc Sen (Sen ) =
3. Expresiones equivalentes
Si:
Sen = n Csc = 1/n
= arc sen (n) = arc Csc
arc Sen (n) = Arc Csc
Arc Cos (n) = arc Sec
Arc Tg (n) = arc Ctg ; n > 0
Arc Tg (n) = arc Ctg - ; n > 0
4. Fórmula Inversa
Arc tgx + Arc y = arc tg + n
i) xy<1 ii) xy < 1 iii) xy > 1
n = 0 x > 0 x < 0
n = 1 n = -1
Ejemplo:
E = Arc tg (2) + Arc tg (3) xy > 1
X > 0
n = 1
RESOLUCIÓN
E = Arc tg
E = Arc tg (-1) + = + =
NOTA
* Además: arc tgx–arc tgy = arc tg
2arc tgx = arc tg
3arc tgx = arc tg
EJERCICIOS
1. 2b = 3c Sen k ; Despejar “”
RESOLUCIÓN
Arc Sen = k = arc Sen
2. a = b Cos (k + d), Despejar “”
RESOLUCIÓN
= Cos (k + d),
Arc cos = k + d =
3. HALLAR:
P = arc Sen ( /2) + arc Cos (- ½ ) + arc Tg (2- )
RESOLUCIÓN
P = -
4. HALLAR: Q = arc Cos1 + arc Sen (-1) + arc Cos (-1)
RESOLUCIÓN
Q = 0 +
5. HALLAR:
R = Sen (arc Cos 1/3)
RESOLUCIÓN
= arc Cos 1/3 Cos = 1/3
Sen = ¿??
Sen =
6. S = Sec² (arcTg3) + Csc² (ar Ctg 4)
RESOLUCIÓN
Tenemos Tg = 3 Ctg = 4
Piden:
S = 1 + Tg² + 1 + Ctg2
Sec² + Csc² = 27
7. T = Cos (2 Arc Cos )
RESOLUCIÓN
Cos =
Piden T = Cos 2 = 2Cos² - 1 T = 2 _ 1 =
8. Y = arc Sen 1/3 + arc Cos 1/3
RESOLUCIÓN
Tenemos: Sen = Cos =
Sen = Cos + =
Propiedad:
arc senx + arc Cosx =
arc Tg x + arc Ctg x =
arc Sec x + arc Csc x =
9. 2 arc Senx = arc Cos x. Hallar x
RESOLUCIÓN
Se sabe que: arc Cosx = - arc Senx
3arc Senx =
arc Senx =
x = Sen x = 1/2
10. Dado : arc Senx + arc Tg y = /5
Hallar : arc Cosx + arc Ctg y = z
RESOLUCIÓN
+ = z + z =
EJERCICIOS
1. Calcular:
a) b) c) d) e)
2. Calcular:
a) b) c) d) e)
3. Cual de las expresiones no es equivalente a:
a) b) c) d) e)
4. Hallar el equivalente de:
a) b) c) d) e)
5. Calcular:
a) b) c) d) e)
6. Afirmar si (V) 0 (F)
I.
II.
III.
a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) FVF
7. Calcular:
a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 90º
8. Calcule:
a) 105º b) 120º c) 135º d) 150º e) 165º
9. Calcular:
a) b) c) d) e)
10. Si:
además:
Calcular:
a) b) c) d) e)
11. Calcular:
a) 1 /2 b) 1 c) 3 /2 d) 2 e) 5 /2
12. Simplificar:
a) b) c) d) e)
13. Calcular:
a) b) c) d) e)
14. Simplificar:
a) b) c) d) e)
15. Calcular:
a) b) c) d) e)
16. Calcular:
a) 1 /2 b) 1 /3 c) 1 /4 d) 1 /5 e) 1 /6
17. Calcular:
a) 1 b) - 1 c) 1 /3 d) – 1 /2 e) 1 /6
18. Simplificar
a) 36/17 b) 56/65 c) 71/17 d) 91/19 e) 41/14
19. Evaluar:
a) b) c) d) e)
20. Evaluar:
a) b) c) d) e)
21. Calcular:
a) 60º b) 37º c) 72º d) 82º e) 94º
22. Calcular:
a) 241/25 b) 13/125 c) 31/5 d) 241/5 e) 31/125
CONCEPTO: Expresión general de los arcos que tienen una misma función trigonométrica.
1. En el caso de las funciones trigonométricas Seno y Csc usaremos
G = n + (-1)n p
Donde:
G = Exp. General de los arcos (ángulos)
n = Nº entero
p = Valor principal del arco para calcular p usaremos el rango del arco Seno.
2. En el caso de las funciones trigonométricas Cos y Sec usaremos:
G = 2 n p
Para calcular el valor principal del arco (p) usaremos el rango del arco Cos.
3. En el caso de las funciones trigonométricas tg y Ctg usaremos.
G = n + p
Para calcular el valor principal del arco usaremos el rango del arco tg, o arco Ctg.
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Son igualdades entre las funciones trigonométricas de una cierta variable (una sola incógnita), dichas igualdades se satisfacen solamente para algunos valores que puede tomar la función trigonométrica, es decir deberá estar definida en dicho valor (la ecuación trigonométrica puede tener 2 o más incógnitas)
A los valores que cumplen con la ecuación trigonométrica se les conoce como soluciones o raíces.
Ejemplo de como obtener las soluciones de una ecuación trigonométrica:
Resolver: Senx =
G P = arc Sen P =
x = n + (-1)n SOLUCION GENERAL
Si n = o x = SOLUCION PRINCIPAL
n = 1 x = - =
SOLUCIONES PARTICULARES
n = 2 x = 2+ =
2. Resolver: Cos 2x = -
G P = arc Cos P =
2x = 2n
x = n SOLUCION GENERAL
Si n = 0 x = SOLUCION PRINCIPAL
x = -
n = 1 x = =
SOLUCIONES PARTICULARES
x = =
3. Resolver:
Tg
G P =
3x + = n +
3x = n +
x =
EJERCICIOS RESUELTOS
1. 2Senx – Csc x = 1
RESOLUCIÓN
2Senx -
2Sen²x – Senx – 1 = 0
2Senx = 1
Senx = -1
(2Sen x + 1) (Senx - 1) = 0
i) Senx = -
x = n + (-1)n .
x = n - (-1)n
ii) Senx = 1
x = n + (-1)n
2 Sen²x =
RESOLUCIÓN
(1 – Cosx) (1+Cosx) =
Queda:
1 + Cosx = 3/2
Cos x = 1/2
x = 2n
Pero 1 – Cosx = 0
Cosx = 1
X = 2n
3. Senx - Cosx =
Senx - Cosx =
Senx . Cos
Sen
x - = n + (-1)n
x = n + (-1)n +
i) n = 2k
x = 2k + x = 2k +
ii) n = 2k + 1
x = (2k + 1) - x = 2k +
4. 2Cos 2x – Sen3x = 2
RESOLUCIÓN
2(1-2Sen²x) – (3Senx – 4Sen3x) = 2
4Sen²x – 4Sen²x – 3 Senx = 0
Sen x (4Sen² x – 4 Senx - 3) = 0
Senx (2Sen x - 3) (2Senx + 1) = 0
i) Sen x = 0
x = n
ii) Senx = -
x = n - (-1)n
iii) Sen x = ABSURDO
5. Senx + Sen2x + Sen3x = Cosx + Cos2x + Cos3x
RESOLUCIÓN
2Sen2x . Cosx + Sen2x = 2 Cos2x . Cosx + Cos2x
Sen2x (2Cosx + 1) = Cos2x (2Cosx + 1)
Queda:
Sen2x = Cos 2x
Tg 2x = 1
G p =
2x = n+ x =
Pero 2Cosx + 1 = 0
Cosx = - ½
G p =
x = 2n 2/3
6. 4 Sen²x – 3 = 0 Siendo 0 x 2
RESOLUCIÓN
Sen²x =
Senx =
i) Senx =
IQ = x =
IIQ = - =
IIIQ x = + =
Si: Senx = -
IVQ x = 2 - =
7. La suma de soluciones de la ecuación
Cos2x + Sen² - Cos² = 0 ; Si: O x es:
RESOLUCIÓN
Cos2x – (Cos² - Sen² ) = 0
2Cos²x-1- Cosx = 0
2Cos²x – Cosx – 1 = 0
(2Cosx+1) (Cosx-1) = 0
i) 2Cosx + 1 = 0 Cosx = -½
IIQ x = - =
IVQ x = + = no es solución
ii) Cos x = 1
x = 0, 2. “2 ” no es solución
Suma =
8. 4Cos² 2x + 8 Cos²x = 7, si x 0,2]
RESOLUCIÓN
4Cos² 2x + 4 x 2Cos²x = 7
(1+Cos2x)
4Cos²1x + 4Cos2x – 3 = 0
(2Cos 2x+3)(2Cos 2x-1) = 0
i) Cos 2x = - No existe
ii) Cos2x =
IQ : 2x = x =
IVQ: 2x= 2 - x =
9. Dar la menor solución positiva de:
Tgx = Tg
RESOLUCIÓN
Tgx = Tg (x+10º) . Tg (x+10º) . Tg (x+30º)
Tg (x+10º) Tg (x+20º)
Proporciones
2Sen(2x+30º)Cos(2x+30º) = 2Sen30º Cos10º
Sen (4x + 60) = Cos 10º
4x + 60º + 10º = 90º
x = 5º
EJERCICIOS
1. Resolver ; x 0 ; 2
a) b) c) d) /4 ; /2 e)
2. Resolver si : x 0 ; 2
a) 53° ; 127° b) 53° ; 233° c) 75° ; 225° d) 75° ; 105° e) 45° ; 135°
3. Resolver e indicar la solución general:
a) b) c) d) e)
4. Resolver :
Encontrar las tres primeras soluciones positivas.
a) 32° ; 68° ; 104° b) 31°; 62°; 102° c) 32° ; 64° , 106°
d) 32° ; 68° ; 102° e) 32°; 66° ; 108°
5. Resolver :
a) b) c)
d) Ay E e)
6. Resolver :
a) /8 b) /4 c) /6 d) /12 e) /7
7. Resolver:
a) b) c)
d) e)
8. Resolver : ; x < 0 ; 600°>
i. 45° , 225° , 405° ; 850°
ii. 45° ; 125° ; 405° ; 495°
iii. 135° ; 225° ; 495° ; 585°
iv. 135° ; 315° ; 495°
v. 225° ; 315° ; 858°
9. Resolver: Sen2x = Senx
Indicar la solución general.
a) b) c) d) e)
10. Resolver :
a) /8 ; 0 b) /6 ; /2 c) /3 ; 0 d) /10 ; /6 e) /12 ; /4
11. Resolver : ;
Si x<180°; 360°>
a) 150° ; 210° b) 240° ; 360° c) 180°; 240°
d) 240° ; 270° e) 210°; 270°
12. Resolver :
Indicar la suma de sus dos primeras soluciones.
a) 180° b) 120° c) 240° d) 360° e) 200°
13. Resolver :
Indicar la tercera solución positiva.
a) 180° b) 270° c) 390° d) 720° e) 450°
14. Resolver :
Hallar el número de soluciones en
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Resolver :
Indicar la tercera solución.
a) 210° b) 360° c) 420° d) 520° e) 650°
16. Resolver e indicar una de las soluciones generales.
a) b) c) d) e)
1. Ley de Senos
En todo triángulo la longitud de cada lado es D.P. al seno del ángulo que se opone al respectivo lado.
Sea “S” el Area del ABC
S = S =
Igualando áreas: , luego:
COROLARIO DEL TEOREMA DE SENOS
TBA : Sen A =
R = Circunradio
* Observaciones:
a = 2RSenA, b = 2RSenB, c = 2RSenC
2. Ley de Cosenos
a² = b² + c² - 2bc CosA
b² = a² + c² - 2ac CosB
c² = a² + b² - 2ab CosC
Observaciones:
CosA = , CosB = , CosC =
3. Ley de Tangentes
4. Ley de Proyecciones
a = bCosC + c CosB
b = aCosC + c CosA
c = aCosB + b CosA
* Funciones Trigonométricas de los semiángulos de un en función de los lados:
Sabemos:
2Sen² = 1 – CosA
2Sen² = 1 -
=
Sen² =
Perímetro
2p = a + b + c
2p – 2c = a + b + c – 2c 2 (p-c) a + b – c
También 2(p-b) = a – b + c
Luego:
Sen² =
Por analogía:
Sen = ; Sen = ; Sen =
También:
Cos = ; Cos ; Cos
Tg = ; Tg ; Tg
Área de la Región Triángular
Donde : R = Circunradio r = Inradio p = Semiperimetro
Bisectriz Interior:
Bisectriz Exterior:
Inradio:
Exradio:
EJERCICIOS
1. Hallar “ x” si : Ctg θ =
a) 24
b) 30
c) 32
d) 36
e) 42
2. En un triángulo ABC ; B = 60° ; b = ; y c = 3 + . Hallar el ángulo A
a) 25° b) 30° c) 45° d) 15° e) 20°
3. Si los lados b y c de un triángulo miden 31 cm. y cm. respectivamente y el ángulo A = 45°. Hallar el lado “a”.
a) 20° b) 15° c) 28° d) 30° e) 25°
4. El Coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y consecutivos es iguales a 1 /5. Hallar el perímetro del triángulo.
a) 15 b) 20 c) 18 d) 21 e) 24
5 En un triángulo ABC simplificar:
M =
a) b + c b) a + c c) 1 d) 2 e) a c
6. En un triángulo de lados : x ; x + 3 y ( x 4 ) el ángulo medio mide 60°. Hallar “ x “
a) 25 b) 28 c) 30 d) 37 e) 42
7. En un triángulo ABC se sabe que : ; y . Calcular el valor del lado a.
a) 42 b) 52 c) 56 d) 62 e) 64
8. Hallar : E =
a) 9 /10|
b) 9 /20
c) 10 /9
d) 19/20
e) 10 /19
9. En un triángulo ABC se cumple :
Hallar el valor del ángulo “A”
a) 80 b) 45 c) 70 d) 30 e) 60
10. En un triángulo ABC se cumple :
Hallar E = TagA
a) 1 b) c) d) e)
11. En la figura ABCD es un cuadrado; M y N son puntos medios. Hallar “Sec x”
a)
b)
c)
d)
e)
12. Hallar el perímetro de un triángulo si los lados son tres números consecutivos y además de los ángulos miden 30° y 37° respectivamente.
a) 12 b) 14 c ) 16 d) 18 e) 20
13. En un triángulo ABC se tiene que : , , mA = 37°y el radio inscrito r = 0.9 . Hallar el lado a.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14
14. En la figura si .Hallar
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15. En un triángulo ABC se cumple que:
abc = 16 y
Calcular el circunradio de dicho triángulo.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
16. Los lados de un triángulo son 3 ; 5 y 7 respectivamente; se traza la bisectriz relativa al lado mayor. Hallar la longitud de esta bisectriz sabiendo que la proyección de esta sobre el lado menor es 2.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
17. En un triángulo ABC se cumple.
Hallar E = bc CosA + ac CosB + ab CosC
a) 10 b) 20 c) 5 d) 15 e)15 /2
18. En un triángulo ABC ; C = 60° y a = 3b . Hallar E = Tag ( A B )
a)2 b) 3 c) 4 d) e)
