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TEORIA SOBRE POLINOMIOS PDF

POLINOMIOS EN UNA VARIABLE 1) NOCIONES PRELIMINARES : Un polinomio en una variable compleja x , es una función de la forma: donde a0 , a1 , a2 ....., an son números complejos, llamados coeficientes de P(x), y n es un entero no negativo. * Si , se dice que el grado de P(x) es n, y se escribe: grado P(x)= n. En este caso, a0 se llama coeficiente principal de P(x). Las expresiones a0xn , a1xn–1 , a2xn–2, ... , an se denominan términos de P(x), y a0xn se llama término principal de P(x). * Si a0=1, P(x) recibe el nombre de polinomio mónico. El término an se conoce como término constante de P(x). * Si a0=a1=a2=...=an=0, P(x) se denomina polinomio idénticamente nulo. * Si a0=a1=...=an–1=0, pero se denomina polinomio constante. Se dice que un número complejo z es un cero de un polinomio P(x) si P(z)=0 NOTAS: 1) Los términos con coeficientes nulos suelen omitirse en el desarrollo de P(x). 2) El grado de un polinomio idénticamente nulo no está definido. 3) El grado de un polinomio constante es cero. Ejemplo: En el polinomio P(x)=2x5+3x4–4x2+6x – 7: 2 es el coeficiente principal. 2x5 es el término principal. 7 es el término constante. 5 es el grado de P(x). 1 es un cero de P(x). 2) IGUALDAD , ADICIÓN y MULTIPlICACIÓN DE POlINOMIOS Definición 1 : Dos polinomios son iguales (identicamente iguales). si tienen el mismo grado, y sus coeficientes son respectivamente iguales. Es decir : P(x) = a0xm + a1xm–1 + ... + am y Q(x) = b0xn + b1 xn–1 + ... + bn son iguales si m = n y , además , a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , am=bn. Definición 2 : Si: P(x)= a0xn+a1 xn–1 + ....+ an y Q(x) = b0xn+b1 xn–1 + ... + bn , entonces: eligiéndose en cada paréntesis el signo + ó el signo –, según que se trate de una suma o resta de polinomios. NOTAS: 1) Los términos que no aparecen en el desarrollo de un polinomio pueden escribirse con coeficientes nulos, en caso de ser necesario. 2) Se dice que un polinomio está completo si en su desarrollo existen todos los términos que siguen al término principal. Ejemplo: Si P(x) = 3x4 + 2x3 – 3x + 8 y Q(x) = x6 – x4 + 5x3– 2x2 + 4x + 1, entonces se puede escribir: P(x)=0x6+0x5+3x4+2x3+0x2–3x+8. y Q(x)=x6+0x5– x4+5x3–2x2 + 4x + 1. * Luego, la suma es: y la resta: Definición 3 : Si: el producto P(x)Q(x) está definido por: P(x)Q(x)=c0xk + c1xk–1+ ...+ ck, siendo k = m+ n y ct= atb0+at–1b1+ ... + a0bt con t= 0;1 ;2; ...;k. Ejemplo: Efectuar el producto de los siguientes polinomios: P(x)=2x3+x2–1 y Q(x)= x2 – 3x + 5. reSolución: Escribiendo P(x)= a0x3+a1 x2+a2x+a3 y Q(x)=b0x2+b1x+b2 resulta m=3 y n = 2; además: a0= 2, a1= 1, a2 = 0, a3 = –1, a4 = a5= ... =0; b0= 1, b1= –3, b2 = 5, b3 = b4 = ... = 0. Luego, para P(x)Q(x) = c0xk+c1xk–1+ ...+ ck se tiene k=3+2= 5 y, además, Por consiguiente, P(x)Q(x)= 2x5– 5x4+7x3 +4x2 +3x – 5. 3)EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN : Teorema 1 : (El algoritmo de la división) Dados dos polinomios , existen dos polinomios S(x) y R(x) tal que : P(x) = S(x)Q(x) + r(x), donde R(x) es nulo o grad R(x)< grad Q(x). Los polinomios S(x) y R(x) se denominan cociente y residuo, respectivamente, de la división de P(x) entre Q(x). Si R(x) es nulo, se dice que P(x) es divisible por Q(x), o que Q(x) es divisor o factor de P(x). El cociente S(x) y el residuo R(x) se calculan por el conocido proceso de división ordinaria. Ejemplo: Sean : P(x) = 4x5 – 3x3+x2+2x–1 y Q(x) = x3 + 2x2 +5. Efectuando la división ordinaria: * Luego, S(x)=4x2–8x+13 y R(x)= –45x2+42x – 66 son el cociente y el residuo, respectivamente, de la división de P(x) entre Q(x). Por lo tanto, se puede escribir: 4) EL TEOREMA DEL RESIDUO Y EL TEOREMA DEL FACTOR : Teorema 2 : (El Teorema del Residuo). El residuo de la división de un polinomio P(x) entre x – a es P(a). Demostración: Por el algoritmo de la división, existen S(x) y R(x) tales que: P(x) = S(x)(x – a)+R(x), con : grad R(x)< grad(x – a)= 1. Se deduce entonces que grad R(x)= 0 y , por consiguiente , que R(x) es constante. En consecuencia, resulta que P(x)=S(x)(x–a)+r, donde r es una constante. Haciendo x = a en esta última igualdad se obtiene; con lo cual queda demostrado el Teorema. Ejemplo: El residuo de la división de P(x) = 2x4 – 3x3 + 5x – 6 entre x – 2 es: Utilizando la división ordinaria se obtiene el mismo resultado. En efecto, Teorema 3 : (Teorema del Factor) Si c es un cero de un polinomio P(x), entonces x– c es un factor de P(x). Por el algoritmo de la división, existen S(x) y r tal que: P(x) = s(x) (x – c) + r. Si c es un cero de P(x), entonces P(c)= 0 ; además , por el Teorema del Residuo , r= P(c). Luego , r = 0 y , por lo tanto, P(x) = S(x) (x – c). En consecuencia, x–c es un factor de P(x). También se cumple el recíproco de este Teorema, cuya demostración se deja al lector. Teorema 4 : Si x – c es un divisor de P(x), entonces c es un cero de P(x). Ejemplo: Sea el polinomio P(x)=x3– 6x2+11x–6. Se observa que P(3)=0; luego, 3 es un cero de P(x). Por lo tanto, x–3 es un divisor de P(x). En efecto, 5) LA DIVISIÓN SINTÉTICA : Estudiaremos a continuación un proceso para calcular el cociente y el residuo de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x – c, sin necesidad de recurrir a la división ordinaria. Este proceso se conoce con el nombre de división sintética. Por el algoritmo de la división, sabemos que existen S(x) y r tal que: P(x) = S(x) (x – c) + r. Sean: Entonces: Igualando los coeficientes respectivos se obtienen las igualdades: Transponiendo términos resulta: De este modo se pueden hallar el residuo r y los coeficientes del cociente S(x), en función de los coeficientes del dividendo P(x) y del divisor x – c. Estos resultados se disponen en una tabla, dando lugar al procedimiento llamado división sintética, tal como se indica a continuación: Ejemplo: Hallar, por división sintética, el cociente y el residuo de la división de P(x) = 5x4– 8x3+ x –10 entre x – 2. reSolución: Por el proceso anteriormente descrito escribimos: Luego, el cociente y el residuo son: S(x) = 5x3 + 2x2 + 4x + 9, r = 8. 6) NúMERO DE CEROS DE UN POLINOMIO Teorema 5: (El Teorema Fundamental del Algebra) Todo polinomio de grado positivo tiene un cero complejo. Este Teorema deja establecido que el sistema de números complejos resuelve el problema algebraico de hallar un sistema de números (como extensión de R), en el cual todo polinomio definido en él tenga un cero en el mismo sistema. Se sabe, en particular, que el sistema de números Reales no satisface tal condición, un ejemplo de lo dicho lo constituye el polinomio P(x) = x2+1, el cual no tiene ceros en . La demostración del Teorema Fundamental del Álgebra escapa a los alcances del presente tratamiento, razón por la cual es omitida. Una consecuencia muy importante del T.F.A. es el siguiente: Teorema 6: Todo polinomio de grado n tiene exactamente n ceros. Demostración: Sea: Por el T.F.A., P(x) tiene un cero complejo, tal como r1. Luego, por el Teorema del Factor, x – r1 es un divisor de P(x) y se puede escribir: P(x) = (x – r1 )q1 (x), siendo Q1(x) un polinomio de grado n-1, cuyo término principal es a0xn-1, pudiéndose calcular sus demás coeficientes por división sintética. Aplicando nuevamente el T.F.A., Q1(x) debe tener un cero, tal como r2; luego, x–r2 es un factor de Q1(x). Esto permite escribir: Q1(x)= (x – r2) q2 (x) y P(x)=(x – r1)(x–r2)q2 (x), donde Q2(x) es un polinomio de grado n-2, cuyo término principal es a0xn–2 Repitiendo este proceso n veces se obtiene: donde Qn(x) es un polinomio de grado n – n=0, cuyo término principal es a0x0= a0. Es decir, Qn(x) es constante e igual a En consecuencia, se puede expresar P(x) en la forma factorizada Evidentemente, r1 , r2 , ... , rn son ceros de P(x). Ningún otro número complejo r, diferente de r1 , r2 . . . ,rn, es cero de P(x). En efecto, haciendo x=r, no se anula ningún factor del segundo miembro de la igualdad (1) y, por consiguiente, Se concluye, por lo tanto, que P(x) tiene exactamente n ceros . Con herramientas no dadas en el presente tratamiento, se demuestra que la descomposición factorial obtenida en este teorema es única, salvo el orden de factores. Este resultado se conoce con el nombre de Teorema de Factorización Única y se enuncia de la siguiente forma: Teorema 7: (Teorema de Factorización Única) Todo polinomio con coeficientes complejos, de grado n, se puede expresar de una única forma (salvo el orden de los factores): P(x) = a0(x–r1) (x–r2) . . . (x–rn), donde a0 es el coeficiente principal, y r1 , r2 , . . . ,rn son ceros de P(x). Una consecuencia de los teoremas anteriores es el siguiente. Teorema 8 : (Teorema de Identidad) Si dos polinomios P(x) y Q(x) son del mismo grado n y coinciden en n+1 valores diferentes de la variable x, entonces P(x) y Q(x) son identicamente iguales. Demostración: Sean: con Puesto que P(x) y Q(x) coinciden en n+1 valores diferentes de x, el polinomio se anula para n+1 valores diferentes de x. Si , para algún i = 0 ; 1 ; 2 ; . . . ;n, se tendría que grado Luego, D(x) sería un polinomio con grado no mayor que n, pero con n+1 ceros, lo cual es una contradicción (Teorema 6). Por consiguiente, ai–bi=0 para todo i = 0 , 1 , 2 , . . . , n. Es decir, ai=bi para todo i = 0 , 1 , 2 , . . . , n. En consecuencia, P(x) y Q(x) son identicamente iguales. 7) MULTIPLICIDAD DE UN FACTOR : Definición : Si (x – r)m, con m entero positivo, es un factor de un polinomio P(x), pero no lo es (x – r)m+1, entonces se dice que (x – r) es un factor de multiplicidad m de P(x); además, en este caso, se dice que r es un cero de multiplicidad m de P(x). Ejemplo: Sea P(x)=8x3 – 4x2 – 2x + 1. Se puede escribir: P(x) = (2x –1)2 (2x + 1). Luego, P(x) tiene un factor 2x–1 de multiplicidad 2, y un factor 2x+1 de multiplicidad 1. Además, 1/2 es un cero de multiplicidad 2 (cero doble) y –1/2 es un cero de multiplicidad 1 (cero simple) de P(x). 8) EL PROCEDIMIENTO de HORNER : Usando el Teorema del Binomio, toda potencia de x se puede expresar como un desarrollo polinómico de potencias del binomio lineal x – a, para cualquier número . En efecto, Ejemplo: Expresar x4 en potencias de x–2. reSolución: Una consecuencia de lo anterior es que todo polinomio P(x) puede desarrollarse en potencias de x–a, para cualquier complejo a. Se puede escribir entonces, Los coeficientes A0 , A1 , ... , An de este desarrollo se pueden calcular por repetidas aplicaciones de la división sintética. En efecto, escribiendo: * Se observa que: An=Pn(x)(constante) es el último de los cocientes obtenidos en este proceso de división por x – a. Ejemplo: Expresar P(x)=3x4+x3–2x2+x–7 en potencias de x –1. reSolución: Efectuando abreviadamente las divisiones sintéticas por x–1: I Tomando los residuos en orden de aparición se escribe: 9) MÁXIMO COMúN DIVISOR : Definición 1: Un polinomio P(x) es irreducible si no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado positivo. En caso contrario, se dice que P(x) es reducible. Nota: Puesto que, según el Teorema de Factorización Única, todo polinomio de grado n puede descomponerse en un producto de n factores lineales, los únicos polinomios irreducibles son de grado 1 (lineales). Definición 2: Dos polinomios no nulos son asociados si uno de ellos es igual al otro multiplicado por una constante. Ejemplo: Los polinomios P(x)=3x+6 y Q(x) = x+2 son irreducibles, sin embargo, ellos son asociados, pues: P(x) = 3Q(x). En cambio, el polinomio S(x)= x3+1 es reducible, tal como lo indica la descomposición: x3 + 1 = (x + 1) (x2 – x + 1). Definición 3: Se llama máximo común divisor de dos polinomios no nulos P(x) y Q(x), a un polinomio D(x) que satisface las siguientes condiciones: 1) D(x) divide a P(x) y a Q(x) 2) Si S(x) divide a P(x) y a Q(x), entonces S(x) divide a D(x). OBSERVACIONES: 1) Si un polinomio cumple con las condiciones 1 y 2 , también las cumplen sus asociados. 2) Se prueba que el m.c.d. de dos polinomios es único, salvo asociados. Definición 4: Se dice que dos polinomios son primos relativos o primos entre sí, si el máximo común divisor de ambos es constante. El procedimiento para calcular el m.c.d. de polinomios es análogo al usado para hallar el m.c.d. de números enteros y se fundamenta en los siguientes teoremas: Teorema 9: Si un polinomio Q(x) divide a otro polinomio P(x), el m.c.d. de ambos es Q(x). La demostración es inmediata de la definición de m.c.d. Teorema 10: Si Q(x) no divide a P(x), y el m.c.d. de P(x) y Q(x) es el mismo que el de Q(x) y el residuo de la división de P(x) entre Q(x). Demostración: Por el Algoritmo de la División, existen S(x) y R(x) tal que: P(x)=S(x)Q(x)+R(x), con grado Sea D(x) m.c.d. de P(x) y Q(x). Se prueba a continuación que D(x) también es m.c.d. de Q(x) y R(x): Si D(x) divide a P(x) y a Q(x), entonces D(x) divide a Q(x) y a R(x) = P(x)– S(x)Q(x). Supongamos ahora que D’(x) también divide a Q(x) y a R(x); por lo tanto, D’(x) divide a P(x)= S(x)Q(x)+R(x). Así se tiene que D’(x) divide a P(x) y a Q(x). Pero, como D(x) es m.c.d. de P(x) y Q(x), se concluye en seguida que D’(x) divide a D(x). En consecuencia, queda demostrado que D(x) es m.c.d. de Q(x) y R(x). A continuación se describe el proceso para calcular el m.c.d. de dos polinomios no nulos P(x) y Q(x). Supongamos que Dividiendo el polinomio P entre el polinomio Q se hallan un cociente S1 y un residuoR1 tal que: Si R1 no es nulo, se divide Q entre R1, obteniéndose un cociente S2 y un residuo R2 tal que: Q = S2R1 + R2, con grado Si R2 no es nulo, se divide R1 entre R2, entonces se escribe: R1=S3 R2+ R3, donde grado Procediendo reiteradamente se llega a obtener un residuo nulo, escribiendo entonces: Rn–1= Sn+1 Rn. En resumen, resulta la siguiente sucesión de igualdades: El último divisor Rn, así obtenido, es el m.c.d. de P y Q. Para demostrar esta a firmación diremos que Rn divide a Rn–1 y, por lo tanto, a Rn–2; si Rn divide a Rn–2, entonces divide a Rn–3; y así sucesivamente, . . . , dividiendo a R3 divide a R2; si divide a R3 y a R2, divide entonces a R1; diviendo a R2 y a R1, divide a Q; finalmente, si divide a R1 y a Q, divide a P . Además, si D es un divisor de P y Q, es también divisor de: Esto completa la prueba de que Rnes el m.c.d.de P y Q. Ejemplo: Hallar el m.c.d. de los polinomios: reSolución: Dividiendo P entre Q (por coeficientes separados): Se obtienen así el cociente S1= x+1 y el residuo R1= 3x3 – 3x2 –12. Tomando 3Q (para evitar fracciones) y dividiendo entre R1. Se obtiene el cociente S2 = x+1 y el residuo R2 = 9x2+9x+18. Dividiendo R1 entre Luego, el último divisor es el m.c.d.; es decir: m.c.d.( P;Q) = x2 + x + 2. Ejercicios: Descomponer P(x) = x3 + 3x2 + 4x +4, sabiendo que, salvo un factor constante, puede escribirse en la forma (x2 + mx + n)2 –x4. Calcular la raíz cuadrada del polinomio. x6–12x5+60x4–160x3+240x2–192x+64 Determinar para que el polinomio sea cuadrado perfecto. Evaluar : Evaluar : Si es una raíz quinta de la unidad. Verificar que es un cero del polinomio. Hallar el valor numérico de Determinar el valor de a y b, tales que A=axn+1+bxn +1 sea divisible por (x–1 )2. Hallar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones, usando la división sintética: Dado P(x) = x7 – 3x4 + x3 + 2x + 5. Calcular: Sin efectuar la división, demostrar que: a) x4 – x3 + 3x2 – 5x – 10 es divisible por x2 – x – 2. b) 2x5 – 9x4 7x3+ 7x2 – 5x + 6 es divisible por x2 – 5x + 6. c) 2x4 + x3 + 3x2 + x + 1 es divisible por x2 + 1. d)3x4 + 2x3 –74x2 – 50x – 25 es divisible por x2 – 25. e) 2x3 + 7x2 – 3x – 3 es divisible por 2x + 1 f) 9x5 + 18x4 – 4x3 + x2 – 4 es divisible por 9x2 – 4. En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar una ecuación que tenga las raíces que se indican. . Desarrollar: En cada ejercicio, hallar el m.c.d. de los polinomios que se indican: teoría de ecuaciones 1) Definiciónes preliminares : Una igualdad de la forma P(x)=0, donde P(x) es un polinomio , se denomina ecuación polinómica ; x se llama incógnita y los ceros de P(x) de denomina raíces de la ecuación P(x)=0. El grado de una ecuación es el grado del polinomio que la define. En toda ecuación se puede suponer que el coeficiente principal es positivo. De acuerdo a lo estudiando en polinomios , se puede afirmar que toda ecuación de grado no tiene exactamente en raíces . 2) Ecuación reducida : Si P(x)=0 es una ecuación de grado n y r es una raíz, se puede escribir: P(x)=(x-r)Q(x) donde Q(x) es un polinomio de grado n–1. Toda raíz de P(x)=0 , diferente de r es raíz de Q(x)=0 y reciprocamente , toda raíz de es P(x)=0 es , a su vez , raíz P(x)=0 . En este caso. Q(x)=0 se denomina ecuación reducida de P(x)=0. Ejemplo: Resolver la ecuación : P(x)=x4–8x2–4x+3=0, si tiene las raíces –1 y 3. resolución: Usando la división sintética con –1: Se obtiene la ecuación reducida Q1(x)=x3 –x2 –7x+3=0 Reduciendo a su vez Q1(x)=0 , aplicando la división sintética por 3: Se obtiene Q2 (x) = x2 + 2x – 1 = 0, que es una ecuación de segundo grado. Resolviendo Q2 (x) = 0, se hallan las raíces: las cuales son , a su vez , raíces de P(x) = 0. Por consiguiente , el conjunto solución de p(x) = 0 es: 3) RELACIONES ENTRE LAS RAICES y LOS COEFICIENTES : Sea la ecuación mónica de segunda grado : x2 + bx + c = 0. Si r1 y r 2 son las raíces de esta ecuación , se puede escribir: x2+bx+c=(x–r1)(x–r2) =x2–(r1+r2)x+r1r2 igualdad de polinomios , se sigue que: r1 + r2 = –b , r1 r2 = c. Es decir , en toda ecuación mónica de segundo grado , la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con signo contrario , y el producto de dichas raíces es igual al término constante. Sea ahora una ecuación cúbica de la forma: x3+bx2+cx+d=0,y sean r1,r2 y r3 sus raíces . Entonces se escribe: x3+ bx 2+ cx+d = (x – r1 ) (x – r2) (x – r3) = x3 – (r 1 + r 2 + r 3 )x2 + (r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 )x – r 1 r 2 r 3 Igualando los respectivos coeficientes se obtienen las relaciones entre r 1+ r 2 + r 3 = –b r1r2 + r1r3 + r2r3 = c r1 r2 r3 = –d Es decir , la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con signo contrario ; la suma de los productos , dos a dos , de las raíces es igual al coeficiente del tercer término ; y , finalmente , el producto de las tres raíces es igual al término constante con signo contrario. Estos resultados pueden obtenerse en forma análoga para las ecuaciones de 4° grado , 5° grado , etc. El siguiente teorema es una generalización de las relaciones mencionadas entre las raíces y los coeficientes. Teorema 1: Sea la ecuación mónica de grado n: p(x) = xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + ... + an–1 + an = 0, y sean r1 , r2 , ... , rn sus n raíces. Entonces se cumplen las siguientes relaciones: Demostración: Puesto que, P(x)=xn +a1 xn–1+...+an = (x–r1) (x–r2)’... (x–rn) , basta probar que se cumple la fórmula: (x–r1)(x–r2)...(x–rn)= xn–S1xn–1+S2 xn–2–...+(–1)nSn. La demostración se efectuará por inducción matemática sobre n. Para n = 1 , la igualdad es obvia. En efecto , (x–rl) = x1– S1x0 = x–S1 donde S1 = r1. Para n = 2 y n = 3 , se ha comprobado que se cumple dicha fórmula. Supongamos que se cumple para n = h ; es decir. (x–r1 )(x–r2)...(x–rh)= xh – S1 xh–1+S2 x h–2 –...+(–1)hSh Luego , para n = h + 1 resulta: Pero: S1 + rh+1 es la suma de las h + 1 raíces r1, r2 ,... , rh+1; S2+rh+1S1 es la suma de los productos, dos a dos , de las h+1 raíces , S3+rh+1S2 es la suma de los productos , tres a tres , de las h+1 raíces ;..... rh+ 1 Sh es el producto de las h + 1 raíces. Por consiguiente , la fórmula se cumple para : n = h + 1 , siempre que se cumple para n=h , lo cual completa la inducción. Se puede concluir así que dicha fórmula se cumple para todo entero positivo n , como se quería demostrar. Ejemplo 1: Resolver la ecuación x4– 2x3–3x2 + 4x + 4 =0, si tiene dos raíces dobles. RESolución: Sean r , r , s y s las cuatro raíces. Por el Teorema anterior se satisfacen las igualdades: r+r+s+s=2 .......................................................(1) r2+rs+rs+rs +rs+s2=– 3 .................................(2) r2s+r2s+rs2+rs2=–4..........................................(3) r2s2=4 ................................................................(4) Es decir: r+s=1 ..................................................................(1) r2 + 4rs + s 2 = –3 ............................................(2) r2s + rs2 = –2 ....................................................(3) r2s2 = 4 .............................................................(4) Resolviendo (1) y (3) se obtiene: r+s =1 y rs=–2, de lo cual se sigue que: r= –1 y s = 2. Por consiguiente , la solución de la ecuación dada es: Ejemplo 2: Resolver 4x3 – 4x2 – x + 1 = 0, si una raíz es el opuesto de otra. reSolución: La ecuación se puede escribir: Las raíces son de la forma. r , –r y s. Por lo tanto, r–r+s=1..........................................(1) –r2 – rs + rs = –1/4.........................(2) –r2s = –1/4.......................................(3) Resolviendo ( 1 ) y ( 3 ) , se obtienen los valores: s = 1 y r = ± 1/2 que son las raíces buscadas. En consecuencia , la solución es: {± 1/2 ; 1} 4)RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS : Teorema 2: Si z es una raíz compleja de una ecuación con coeficientes reales , entonces también es raíz de tal ecuación. Demostración: Sea la ecuación P(x) = aoxn + a1 xn–1 + ... + an = 0, con ao , a1, ... , an , números reales. Si z es raíz de P(x) =0, P(z) = 0. Es decir , P(z) = aozn + a1zn–1 + ... + an = 0. Tomando conjugados resulta: Lo cual prueba que z es raíz de P(x) = 0. Nota: Es importante observar que , de acuerdo al teorema demostrado , toda ecuación de grado impar y con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Ejemplo: Resolver P(x) = x4 + x3–14 x2 + 26 x– 20 = 0 , si tiene la raíz 1–i reSolución: Por el teorema anterior , 1 + i también es raíz de esta ecuación. Luego: [x – (1 – i) ][(x –(1+i)]=[(x –1 )+i ][ x–1) –i ] =(x–1)2+1=x2–2x+2 es un factor de P(x). Dividiendo P(x) entre x2–2x+2 resulta: Asi , las dos raíces de l a ecuación reducida x2+3x –10 =0 son las raíces restantes de P(x)=0. Tales raíces son: x = 2 , x = –5. Por lo tanto , la solución de la ecuación dada es: 5) RAICES DE LA FORMA : Teorema 3 : Si una ecuación con coeficientes racionales tiene una raíz de la forma, donde a y b son números racionales , pero no, entonces tiene también la raíz Demostración: Sea P(x) =0 y una raízcon las hipótesis del enunciado. Dividiendo P(x) entre el producto: se obtiene un cociente Q(x) y un residuo R(x)=mx+n, con coeficientes racionales (pues , el dividendo y el divisor tienen coeficientes racionales). Resulta así: P(x)=(x2 –2 ax+a2 – b) q(x) + mx + n. Por serraíz de P(x) =0, se sigue que si sería un número racional , en contra de la hipótesis. Por consiguiente , m = 0, y , reemplazando en (1) , n = 0. Esto significa que R(x)=0. Se concluye de inmediato que x2–2 ax+a2 b es un divisor de P(x) y , en consecuencia , también lo es . De esta última afirmación se sigue que es raíz de P(x)=0 , completándose así la demostración del Teorema. Ejemplo: Resolver : P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 –19 x + 5 = 0, si tiene la raíz reSolución: Por el teorema anterior , también es raíz. Luego , P(x) es divisible por el producto: Efectuando la división , se obtiene: Resolviendo la ecuación reducida x2 + x + 5 =0 , se hallan las raíces: Por consiguiente , la solución de p(x) = 0 es: 6) RAICES ENTERAS y RAICES RACIONALES : Teorema 4 : Si un número racional b/c , con b y c enteros primos entre sí , es una raíz de la ecuación con coeficientes enteros. b divide al término constante an y c divide al coeficiente principal ao.’ Demostración: Sustituyendo x por b/c en la ecuación , resulta Efectuando las potencias indicadas y suprimiendo denominadores se obtiene: aobn+a1bn–1c+...+ an–1 bcn–1 +ancn=0 lo cual se puede escribir: b(aobn–1+a1bn–2c+...+an–1cn–2)=–ancn En esta última igualdad se observa que b divide al producto ancn ; pero b no divide a cn (pues b y c son primos entre si), luego b divide a an. Por otra parte , escribiendo la igualdad en la forma. c(a1bn–1+a2 cbn–2+...+ a ncn–1)=– aobn se observa que c divide al producto aobn ; pero c no divide a bn, entonces c divide a ao . El Teorema queda así demostrado. Una consecuencia muy importante de este Teorema es el siguiente Corolario : Toda raíz racional de la ecuación mónica con coeficientes enteros xn+a1xn–1+....+an=0 es una raíz entera y , además , es un divisor del término constante an. Ejemplo 1: Hallar todas las raíces racionales de 3x4 –x3 + 4x2 – 20x –16 = 0 reSolución: Las posibles raíces racionales son: Probando por divisiones sintéticas abreviadas: se halla que 2 es una raíz. Puesto que todos los coeficientes de la ecuación 3x3+5x2+14x+8=0 son positivos , tal ecuación no tiene raíces positivas Probando ahora para raíces negativas: se halla así una segunda raíz –2/3. La ecuación reducida 3x 2+ 3x +12 =0 ó x 2 + x + 4 =0 se puede resolver por la fórmula general de solución de una ecuación de 2° grado siendo, en este caso , a=1 , b =1 y c =4 ; resultan las raíces: Por lo tanto , las únicas raíces racionales de la ecuación dada son 2 y –2/3. En consecuencia , el conjunto solución de dicha ecuación es: Ejemplo 2: Hallar todas las raíces racionales de : x4 + 4x3 – 8x2 – 40x –32 =0 reSolución: Las raíces racionales de esta ecuación , si las tuviera , tendrían que ser enteras Las posibles raíces enteras son: que son los divisores de 32. Probando por divisiones sintéticas: se obtiene la raíz –2. Continuando la prueba con la ecuación reducida se halla la raíz –4. Resolviendo la ecuación reducida x2–2x–4=0, se obtienen las raíces Por lo tanto, las únicas raíces racionales son –2 y –4. El conjunto solución de la ecuación dada es Notas: Por simple inspección de los coeficientes de una ecuación con coeficientes reales y en virtud del Teorema del Residuo , se establecen las siguientes reglas: I) Si todos los coeficientes de una ecuación P(x) = 0 son reales y positivos , la ecuación no tiene raíces positivas. En efecto , si a>0, P(a) tendría todos sus términos positivos y , así , P(a)> 0. II) Si una ecuación P(x) = 0 tiene todos sus coeficientes reales y alternadamente positivos y negativos , entonces no tiene raíces negativas. En efecto, si tendría todos sus términos de igual signo, luego Ejemplos: 1) 2x4 + 5x3 + x2 + 4x + 9 = 0 no tiene raíces positivas. 2) x5– 4x4+7x3–2x2+x–10=0 no tiene raíces negativas 7) ACOTACIÓN DE RAíCES : Una importante cuestión en el estudio de las raíces reales de una ecuación es la acotación de las mismas. El problema consiste en hallar un número real tal que si r es una raíz positiva de P(x)=0 , debe ser. En este caso M se denomina cota superior de las raíces positivas de P(x) =0. Analogamente , una cota inferior de las ra íces negativas de P(x)=0 es un número tal que , para toda raíz negativa r de P(x) =0. Existen varios criterios para determinar las cotas de las raíces reales de una ecuación. En este tratamiento elegimos el criterio más sencillo de aplicar y , además , el que en general proporciona la mejor cota. Nótese que si M es una cota superior , cualquier número también es cota superior. Analogamente , si m es cota inferior , cualquier número también es cota inferior. Antes de estudiar los criterios mencionados se requiere dejar establecido el siguiente. Lema: Si r es raíz de una ecuación P(x) =0 con coeficientes reales , –r es raíz de la ecuación P(–x)=0. Demostración: Si r es raíz de P(x) = 0 , se puede escribir P(x) = (x–r) Q(x), donde Q(x) es el cociente de la división de P(x) entre x–r. Por consiguiente, P(–x)=(–x –r)Q(–x) = –(x + r) Q(–x), de donde se sigue de inmediato que x =–r es raíz de Q(–x)=0 , como se quería demostrar. Teorema 5 : Sea P(x)=0 una ecuación con coeficientes reales. Si r es un número real positivo , tal que la división de P(x) entre x–r proporciona un cociente con coeficientes no negativos y un residuo no negativo , entonces r es una cota superior de las raíces positivas de P(x)=0 Demostración: Sea : P(x) = ao xn+a1 xn–1+ ...+ an con coeficientes reales , y sea r un número real positivo. Supongamos que al efectuar la división sintética por x–r se obtiene: donde b0 , b1, ... bn–1 y R = bn son no negativos. Luego , el cociente y el residuo de la división son , respectivamente, Q(x)=b0xn–1+b1xn–2+...+ bn–1 y R=bn. Se puede escribir la igualdad : P(x) = (x–r) Q(x) + R. Para todo valor y Q(s) son positivos. Por consiguiente , P(s)=(s – r) Q(s) + R es positivo y , así , s no puede ser raíz de P(x) =0. Se concluye de aquí que P(x)=0 no tiene raíces positivas mayores que r ; es decir , que r es una cota superior de las raíces positivas de P(x)=0. Teorema 6: Sea P(x)=0 una ecuación con coeficientes reales. Si r es un número real positivo tal que la división de P(–x) entre x–r proporciona un cociente con coeficientes no negativos y un residuo no negativo , entonces –r es una cota inferior de las raíces negativas de P(x)=0. La demostración de este Teorema es una aplicación directa del Teorema 5 y del Lema que le precede. Los dos Teoremas anteriores se traducen en sendos criterios que permiten determinar las cotas superiores e inferiores de las raíces de las ecuaciones con coeficientes reales. Criterio 1: Si r es un número real positivo tal que al efectuar la división sintética del polinomio P(x) (con coeficientes reales) entre x – r , todos los números que aparecen en la 3a. fila son no negativos , r es una cota superior de las raíces positivas de P(x)=0. Criterio 2: Si r es un número real positivo tal que al efectuar la división sintética de P(–x) entre x – r , todos los números aparecidos en la 3a. fila son no negativos , –r es una cota inferior de las raíces negativas de P(x)=0. Ejemplo: Hallar una cota superior y una cota inferior para las raíces positivas y negativas , respectivamente , de la ecuación: P(x)= 2x5–7x4+ x2+ 2x – 9 =0. reSolución : Efectuando las divisiones sintéticas entre los primeros enteros positivos: se halla que 4 es una cota superior de las raíces positivas de P(x) = 0. Probando con P(–x) = –2x5 – 7x4 + x2 – 2x – 9 = 0 , es decir , con la ecuación hallamos que 1 es cota superior de las raíces positivas de P(–x) =0 y , en consecuencia , –1 es cota inferior de las raíces negativas de P(x) =0. Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones dado que tienen las raíces que se indican. Resolver: a) x3 –12x2+39x – 28 = 0 si sus raíces están en progresión aritmética. b) x3 + 3x 2 – 6x – 8 = 0 si sus raíces están en progresión geométrica. c) x3–3x2+kx –12 = 0 si el producto de dos raíces es –6. ¿Cuál es el valor de k? d) 4x4 + 2x3–3x2 + dx + e =0 si tiene una raíz triple. Hallar d y e. e) 2x3–x 2–22x– 24 =0 si dos de sus raíces están en razón de 3 : 4. . f) x3 – 14x2 + 61x – 84 = 0 si una raíz es la suma de las otras dos. Hallar todas las raíces enteras y racionales de: a) x3 – 9x2 + 16x – 14 = 0 b) 2x3 + x2 –2x – 6 = 0 c) x5 + 3x4 + 5x3 + 8x2 + 6x +4=0 d) 2x6 + x5 – 2x4 – x3 – 12x2 –6x =0 e) 12x4 – 20x3 – 57x2 + 50x + 75 =0 f) 8x4 – 24x3 + 5x2 + 52x – 15 = 0 Determinar una cota superior y una cota inferior para las raíces reales de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 4x5–8x4+22x3+ 98x2– 73 x+ 5 = 0 b) x4 – 8x3 + 12x2 + 16x –50 = 0 c) x5 – 5x4 – 13x3 + 2x2 + x – 70 = 0 d) 6x5 + 27x4 –100x3 –200x – 50 = 0 e) x4 – 5x3 + 46x2– 8x + 28 = 0 f) x5 – 6x4 +3x3–2x+1=0 Hallar los números reales a y b de modo que z=1+i sea raíz de la ecuación x5+ ax3+ b = 0 Determinar a tal que x5 –55 x+a=0 tenga dos raíces mutuamente recíprocas. Hallar tales raíces. 8) SOLUCIóN DE ECUACIONES ECUACIONES BINOMIAS Las ecuaciones binomias son de la forma y n–A=0,..............................................(1) donde A es una constante no nula. Si B es una raíz enésima de A , haciendo Y=Bx se tiene Bnxn – A =0. Pero , como Bn= A , resulta: Axn – A =0 xn –1=0. Es decir : xn=1 , Luego , las n raíces de la ecuación (1) se obtienen multiplicando cada raíz enésima de la unidad por el valor de B. Las raíces enésimas de la unidad son de la forma para todo valor k = 0; 1; 2; ... ; n–1. (probarlo) Por la fórmula de De Moivre , las raíces enésimas de la unidad se pueden expresar como potencias wk,(k=0;1;2;...;n1.), de la raíz. Por lo tanto , las raíces de la ecuación binomia (1) son: B, Bw, Bw2, ... , Bwn–1 Ejemplo: Resolver : X5 + 32 = 0 reSolución: Haciendo B=(–32)1/5=–2 y y considerando las 5 raíces quintas de la unidad: 1 , w , w2, w3 , w4, con se obtienen las raíces de la ecuación dada , a saber: 9) SOLUCION ALGEBRAICA DE UNA ECUACION CUBICA : Sea la ecuación cúbica x3+bx2 + cx + d = 0.......(1) Haciendo x= y – b/3 se tiene: (y – b/3)3 +b(y –b/3)2 +c(y–b/3)+d=0 Efectuando: y3– by2 + b2 y/3 – b3 /27 + by2– 2b2 y/3+b3/9+cy – bc/3+d=0 Reduciendo y ordenando: y3+(c – b2 /3)y + 2b3/27 – bc/3 + d= 0 Esta última ecuación se puede escribir en la forma: y3 + py + q = 0,................................................(2) donde p= c – b2/3 y q = 2b3/27 – bc/3 + d. La ecuación (2) recibe el nombre de ecuación cúbica reducida de la ecuación (1) El problema de resolver una ecuación cúbica se convierte así en la solución de la ecuación reducida correspondiente. El método expuesto a continuación recoge básicamente los lineamientos dados por F. Vieta (1540 – 1603). Haciendo y sustituyendo en la ecuación (2) resulta: Efectuando las operaciones indicadas y reduciendo términos semejantes se obtiene: de donde resulta la ecuación cuadrática: Resolviendo esta ecuación para z3 , se halla: Haciendo , se puede escribir: Se tienen así dos ecuaciones binomias en z: Si, las raíces reales de estas ecuaciones son: respectivamente. Por lo tanto , las raíces de las ecuaciones (5) y (6) son: respectivamente , siendo raíz cubica de la unida . En consecuencia , las 6 raíces de la ecuación (4) son: A , Aw , Aw2 , B , Bw , Bw2, donde w es la mencionada raíz cúbica de la unidad. (o su conjugado , que también es raíz cúbica de la unidad: ) ¿Cómo obtener de estas 6 raíces las 3 raíces de la ecuación cúbica reducida (2)? a de notarse que se cumplen las siguientes relaciones: Es decir , cada raíz z está asociada de este modo a una raíz , de tal suerte que Además , la suma de tales raíces es , por la relación (3) , igual a una raíz de la ecuación cúbica reducida (2). Por consiguiente , las raíces de la ecuación cúbica reducida son: y1=A+B y2=Aw+Bw2 y3=Aw2+Bw. Estas expresiones para las raíces de una ecuación cúbica reducida se denominan Fórmulas de Cardano. Refiere Joseph E. Hofmann en su obra “Historia de la Matemática” que fue el profesor boloñés Scipio del Ferro quien halló un método de solución algebraica de la ecuación cúbica , por el año 1500 , sin publicarlo ; posteriormente , en 1545 , G. Cardano publica su propio método que difiere muy poco del de Ferro. Por la sustitución realizada , se sigue que las soluciones de la ecuación (1) son: Ejemplo 1: Resolver la ecuación x3– 6x + 6 =0. reSolución: En este caso p=–6 y q = 6. Luego, Entonces , y Por tanto : Ejemplo 2: Resolver : x3+3x 2 –15x – 47 = 0. reSolución: Haciendo y sustituyendo en la ecuación dada , se obtiene la ecuación cúbica reducida: (y –1)3 + 3(y – 1)2 –15(y – 1) – 47 = 0 Efectuando y reduciendo términos: y3–18y – 30 = 0. Aquí, p = –18 y q = –30 , entonces Por tanto : y las raíces de la ecuación cúbica reducida son: donde , raíz cúbica de la unidad. Finalmente , las soluciones de la ecuación cúbica dada son: 10) CASO IRREDUCIBLE SOlUCIóN TRIGONOMÉTRICA El caso en quese denomina caso irreducible , debido a que cualquier intento por resolverlo mediante radicales resulta infructuoso. En este caso , y las soluciones de las igualdades (5) y (6) son las raíces cúbicas de los números complejos: Para hallar dichas raíces cúbicas , se debe expresar A y B en sus formas trigonométricas. Con este fin se calcula el módulo r y el argumento de A: y , con en el primer cuadrante si en el segundo cuadrante si. por consiguiente : Analogamente se halla : Tomando las raíces cúbicas : y tal que , se obtienen las raíces: con Es decir: Ejemplo: Resolver la ecuación : x3–3x+1= 0. reSolución. Para esta ecuación se tiene Por lo tanto : En consecuencia ,y las raíces son: aproximadamente. 11) SOLUCIóN DE LA ECUACIÓN CUÁRTICA : El método de solución de una ecuación cuártica se debe a L. Ferrari , discípulo de Cardano , quien lo publica en 1545 en la misma obra en que Cardamo publicó sus fórmulas de solución de la ecuación cúbica. “Ars Magna”. Sea la ecuación de cuarto grado: x4+bx3+cx2+ dx + e = 0....................................(1) Transponiendo los 3 últimos términos: x4 + bx3 =– cx2– dx– e y completando cuadrados en el primer miembro de la igualdad: Esta última igualdad se puede escribir: Sumando en ambos miembros , se obtiene la expresión: Se sabe que una ecuación de 2° grado se puede escribir como un trinomio cuadrado perfecto si , y sólo si su discriminante es cero. Por consiguiente , el segundo miembro de la igualdad (2) será cuadrado perfecto de un polinomio lineal en x si , y sólo si se cumple la condición. Efectuando las operaciones indicadas resulta: reduciendo y ordenando como un polinomio en y , se obtiene: y3 – cy2 + (bd – 4e)y + 4ce – b2 e –d2 = 0, llamada ecuación cúbica resolvente de la ecuación cuártica (1). Cualquier raíz y1 de esta ecuación permitirá representar el 2° miembro de la igualdad (2) como el cuadrado perfecto de un polinomio lineal en x. Sea mx + n dicho polinomio ; entonces se puede escribir: Extrayendo raíces cuadradas , se obtienen las ecuaciones de segundo grado: cuyas raíces serán las 4 raíces de la ecuación (1). Ejemplo 1: Resolver la ecuación : x4+3x3 – 2x2 – 10x –12 = 0. reSolución : Siguiendo el método de Ferrari , despejamos los 3 últimos términos: x4 + 3x3 = 2x2 + 10x + 12. Completando cuadrados en el primer miembro de la igualdad ; Factorizando y simplificando resulta: Sumando en ambos miembros: Factorizando y simplificando , Igualando a cero el discriminante del 2° miembro. Efectuando y simplificando se halla la ecuación cúbica resolvente. y3+ 2y2 + 18y + 104 = 0. Para la raíz y1 = –4 de esta ecuación la igualdad (1) se convierte en: De aquí se obtienen las ecuaciones cuadráticas: es decir: x2+x–6=0 , x2+2x+2=0. cuyas raíces 2; –3 y –1 ± i son las 4 raíces de la ecuación cuártica dada. En este ejemplo , la ecuación cuártica tiene raíces racionales. En general es conveniente antes de aplicar el método de Ferrari verificar la existencia de tales raíces , lo cual reduciría el problema a la solución de la ecuación reducida correspondiente. Ejemplo 2 : Resolver : x4–11 x2–6x+10 = 0 reSolución: Por el método de Ferrari: x4 = 11 x2+6x –10. Sumando en ambos miembros: simplificando , Anulando el discriminante del 2° miembro: Obtenemos así la ecuación cúbica resolvente: y3 + 11 y2 – 40y – 476 = 0. Una raíz de esta ecuación es y = –7. Sustituyendo en (1)resulta: de donde se obtienen las ecuaciones: o sea, x2 – 2x– 5 = 0 , x2+2x– 2= 0, cuyas respectivas raíces son , a su vez , raíces de la ecuación cuártica. Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones binomias: Resolver las siguientes ecuaciones cúbicas: Resolver : Resolver las siguientes ecuaciones cuárticas: 12) GRáFICA DE POLINOMIOS : Se sabe que un polinomio es una función continua (sin “interrupciones”). La determinación de las coordenadas de los puntos de la gráfica de un polinomio se realiza dando valores reales a la variable x y calculando los correspondientes valores P(x) ; la gráfica del polinomio P(x) es , pues , el conjunto de puntos: Sin embargo , existen algunos criterios que permiten determinar aproximadamente la gráfica de un polinomio , liberando así de la tediosa tarea de tabular los puntos (x ;P(x)). En primer lugar , los puntos de la gráfica que corresponden a los ceros reales de un polinomio están sobre el eje X y son de la forma (x;0). 1) Si x = a es una raíz real simple de la ecuación P(x) =0 , la gráfica de P(x) corta al eje X en el punto (a ; 0). (Fig. 1). 2) Si x=a es una raíz real de multiplicidad m par , la gráfica de P(x) es tangente al eje X en el punto (a;0). (Fig.2). 3)Si x=a es una raíz real de multplicidad m impar , la gráfica de P(x) es tangente y corta al eje X en el punto (a;0). (Fig.3). (En este caso se dice que (a;0) es un punto de inflexión de la gráfica de P(x)). La propiedad (1) se sigue del análisis de la expresión: P(x) = (x – a) Q(x) Para x ligeramente menor que a , , luego P(x) tiene signo contrario a Q(x) ; para x ligeramente mayor que a , , entonces P(x) tiene el signo de Q(x). Es decir , P(x) cambia de signo cuando x “pasa” por a y,por lo tanto,la gráfica de P(x) corta al eje X en (a ,0). La propiedad (2) se deduce de la expresión: P(x)=(x – a)m Q(x), siendo m par. Si x es ligeramente menor o mayor que a , ; luego P(x) tiene igual signo que Q(x). Es decir , P(x) no cambia de signo cuando x “pasa” por a , de lo cual se puede afirmar que la gráfica de P(x) no corta al eje X: así , (a;0) es un punto de tangencia de P(x) con el eje X. Finalmente , si P(x) = (x – a)m Q(x), siendo m impar , se sigue que , para x ligeramente menor que a: y , para x ligeramente mayor que a. Por consiguiente , P(x) cambia de signo cuando x “pasa por a”, y entonces la gráfica de P(x) corta al eje X en el punto (a;0). En cálculo diferencial se prueba que , en este caso , la gráfica de P(x) es además tangente al eje X en (a ; 0); es decir , (a ; 0) es un punto de inflexión de la gráfica de P(x). Un punto importante en la gráfica de P(x) es (0 ; P(0)); esto es , el punto de intersección con el eje Y. Nótese que P(0) es el término constante del polinomio P(x). Se pueden determinar , además , los intervalos en los cuales se encuentran las raíces reales de una ecuación P(x) = 0 , usando la siguiente regla. Regla : Sean a y b son dos enteros consecutivos , con . Si P(a) y P(b) son de signos iguales , entre a y b existe un número par de raíces reales , o ninguna raíz real de P(x) = 0. (Fig.4). Si P(a) y P(b) son de signos contrarios , entre a y b existe un número impar de raíces reales de P(x) = 0. (Fig.5). En cada caso , una raíz de multiplicidad m es contada m veces. 13) SIGNO DE UN POLlNOMIO : Si P(x) = aoxn + a1 xn–I + ... + an’con ao0 , es un polinomio con coeficientes reales , para valores de x suficientemente grandes en valor absoluto P(x) tiene el mismo signo que aoxn. Intuitivamente se ve que , para x suficientemente grande en valor absoluto , aoxn será numericamente mayor que la suma de los demás términos y , por consiguiente , su signo prevalecerá sobre el signo de dicha suma. Una consecuencia de la afirmación anterior es que toda ecuación con coeficientes reales de grado impar tiene , por lo menos , una raíz real de signo opuesto al término constante. (El coeficiente principal se considera positivo). . En efecto , si P(x) = aoxn + a1 xn–1 + ...+an=0 es una ecuación con coeficientes reales , siendo n impar , por teoría de límites: de lo cual se sigue que si an > 0, P(x) =0 tiene una raíz negativa en el intervalo ; y si an < 0 , P(x) = 0 tiene una raíz. positiva en el intervalo . También se cumple que toda ecuación con coeficientes reales de grado par , cuyo término constante es negativo , tiene al menos una raíz negativa y al menos una raíz positiva. Ciertamente , si P(x) = aoxn+ a1 xn–1 + ... + an = 0 tiene coeficientes reales , siendo n par y : Luego existe al menos una raíz negativa en , y al menos una raíz positiva en . . Ejemplo 1: Graficar el polinomio : P(x) = (x –1)3 (x + 3)2 (x2 – 2x + 2) reSolución: La ecuación tiene las raíces enteras 1 de multiplicidad 3 , y –3 de multiplicidad 2. Las raíces de la ecuación reducida x2– 2x + 2 = 0 , son complejas conjugadas: 1 ± i. Luego , la gráfica corta y es tangente al eje X en el punto (1;0) y , además , es tangente en (–3;0). De otro lado , y Entonces , la gráfica de P(x) es , aproximadamente: Ejemplo 2 : Discutir la gráfica del polinomio: P(x) = x5 – 2x3 + x2 – 7x + 4 RESolución: Se tiene , de un lado , que : Luego , la curva ‘‘viene’’ debajo del eje X y se ‘‘aleja’’ sobre el eje X. Probando para raíces positivas. Se observa que los coeficientes obtenidos en la división sintética por 2, son todos positivos ; luego , 2 es una cota superior de las raíces positivas de P(x) = 0. Además , puesto que P(0)=4 ,P(1) = –3 y P(2) = 10, existe una raíz en el intevalo (0;1) y una raíz en el intervalo (1;2) (al menos una). Probando para raíces positivas: Los coeficientes alternadamente positivos y negativos obtenidos en la división sintética por –3 ,indican que –3 es una cota inferior para las raíces negativas de P(x)=0. Además , como P(–2) = 6 y P(–3) = – 155 , existe al menos una raíz en el intervalo (–2;–3). La gráfica aproximada de P(x) es una de las siguientes: (La única certeza con la cual podemos contar es que existe una sola raíz negativa ; este hecho resulta de la aplicación de la Regla de Descartes , explicada en el párrafo que viene). La aplicación de las propiedades geométricas de la derivada P’(x) del polinomio P(x) permite determinar con precisión la gráfica de P(x). NúMERO DE RAíCES REALES DE UNA ECUACIóN El número de raíces reales de una ecuación con coeficientes reales puede ser determinado usando el siguiente criterio, llamado: REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Si P(x)=0 es una ecuación con coeficientes reales, con término constante no nulo: El número de raíces positivas de P(x)=0 es igual al número de variaciones de signo de sus coeficientes, o menor que él en un número par. El número de raíces negativas de P(x)=0 es igual al número de variaciones de signo de P(-x), o menor que él en un número par. Esta última afirmación obedece al hecho que las raíces positivas de P(-x) = 0 son las raíces negativas de P(x) = 0. Los términos nulos no se consideran en la determinación de las variaciones de signos de los coeficientes de P(x) = 0 Para una demostración de la Regla de Descartes,consultar la obra de L.E. Dickson: ‘‘New First Course in the Theory of Equations’’. Ejemplo: Determinar el número de raíces positivas, negativas y complejas de la ecuación P(x) = x5 + 3x4 - x2+2x-3 RESolución : P(x) presenta 3 variaciones de signo en sus coeficientes, luego hay 3 raíces positivas o 1,de P(x)= 0. P(-x) = – x5 + 3x4 – x2– 2x – 3 presenta 2 variaciones de signo en sus coeficientes, entonces hay 2 raíces negativas de P(x) = 0. Combinando todas las posibilidades, se puede construir la siguiente tabla. (incluyendo el número de raíces complejas). De otro lado, probando por división sintética para raíces positivas, se tiene: Puesto que P(0) = –3 y P(1) = 2 , entonces existe un número impar de raíces positivas en el intervalo (0 ;1). Observando los coeficientes obtenidos en la división sintética por 1, se puede afirmar que 1 es una cota superior de las raíces positivas de P(x) = 0 y, por lo tanto, no hay más raíces positivas aparte de las que están en (0 ;1). Probando para raíces negativas: Se tiene que P(–1) = –4, P(–2) = 5 y P(–3) = –18. Luego, hay un número impar de raíces negativas en el intervalo (–2 ; –1), y también en el intervalo (– 3 ; –2) (¡Una en cada uno!). Además, puesto que los coeficientes obtenidos en la división sintética por – 3 son alternadamente positivos y negativos, se sigue que –3 es una cota inferior de las raíces negativas de P(x) = 0. (Nótese que los coeficientes 0 se pueden considerar positivos o negativos, según convenga el caso). De esta forma se reduce la tabla a las siguientes posibilidades: Por lo anterior se puede afirmar que la gráfica aproximada de P(x) es una de las siguientes: Por métodos del cálculo diferencial , se puede determinar con precisión si la raíz en (0;1) es una raíz triple, y, por consiguiente, si el punto correspondiente en que la gráfica corta al eje X es punto de inflexión. Ejercicios Determinar el número de raíces positivas, negativas y complejas de cada ecuación y discutir la gráfica del polinomio correspondiente. a) 3x3 + 9x2 – 7x + 4 = 0 b) x4 + 12x2 + 5x – 9 = 0 c) x5 + x3 – 2x2 + x – 2 = 0 d) x3 – 8x2 – 9 = 0 e) 2x3 – 5x2 + 2x + 6 = 0 f) x4 – 10x3 + x2 + 6x + 11 = 0. g) 3x4– 4x3 – 7x2 – 18x – 22 = 0. h) x5 + x4 – x + 12 = 0. i) x5 – 2 = 0. j) x7 + 2x5– 3x4 + 8x3 –9x = 0 RAíCES IRRACIONALES MéTODOS DE APROXIMACIóN Aislar una raíz real de P(x) = 0, significa hallar un intervalo (a ;b) que la contiene y que no contiene a otra raíz de P(x) = 0. Existen varios procedimientos para determinar, una vez aislada, una raíz irracional por aproximación. Aquí, se estudian básicamente dos de tales métodos: la interpolación lineal y el método de Horner. A) INTERPOLACIóN LINEAL: Sea r una raíz irracional de P(x) = 0 aislada en un intervalo (a ;b).Supóngase que,de manera que los puntos P(a;h) y Q(b ;k) pertenecen a la gráfica de P(x). Puesto que entre a y b se encuentra la raíz r, el punto C de abcisa x1, en que el segmento PQ corta el eje X, estará relativamente próximo al punto de abcisa r, en que la gráfica de P(x) corta al eje X. El valor de la abcisa X1 de este punto es, así, una primera aproximación a la raíz r, y se determina usando las relaciones de semejanza de los lados de los triángulos CBQ y PRQ; tal como: Pero, y Entonces, sustituyendo: de donde se tiene : .Calculando de este modo el valor del segmento , se resta de b y se obtiene la abcisa del punto C; es decir, x1. Si f(x1) = h1<0 y existe un número s1 muy próximo a x1, tal que , entonces la raíz r se encuentra en el intervalo (x1; s1); se puede repetir el proceso de interpolación lineal para obtener una segunda aproximación x2 de r. Cuanto más veces se repita este proceso, tanto mayor será la aproximación obtenida. Ejemplo 1: Sea la ecuación: P(x) = x3 + 2x2 – 3x – 4 = 0. Por la Regla de los signos de Descartes, se sabe que la ecuación tiene una sola raíz positiva. Por división sintética se halla que P(1)=–4 y P(2)= 6. De esta manera queda aislada la raíz positiva en intervalo (1;2). En la figura (Por comodidad se ha forzado un poco la gráfica), se puede apreciar que los triángulos CBQ y PRQ son semejantes, entonces resulta : Pero. Reemplazando estos valores resulta de donde se obtiene: Por consiguiente, una primera aproximación es x1 = 2–0,6 = 1,4. Repitiendo el proceso, hallamos por división sintética que P(1,4)= –1,536 , P(1,5)= –0,625, P(1,6) = 0,416 Entonces, la raíz r se encuentra en el intervalo <1,5;1,6>. En el gráfico se tiene : luego : Por lo tanto, una segunda aproximación de la raíz r es: x2=1,6–0,03=1,57 Así , se puede obtener una aproximación cada vez mayor conforme repitamos este proceso. Ejemplo 2: Calcular una raíz positiva de con dos decimales de aproximación. resolución: P(x) =0 tiene una raíz positiva en (1;2) y otra en (4;5). Calculando por interpolación lineal la raíz positiva de (1;2): * En la figura: * Es decir : * luego: Una primera aproximación es : x1 = 1 + 0,1 = 1,1 Evaluando, por división sintética, se halla que P(1,1) = 0,381, P(1,2)= –0,272 Luego, la raíz está en <1,1;1,2>. Interpolando: de donde : Así, una segunda aproximación a la raíz es x2 = 1,1 + 0,05 = 1,15. Por consiguiente, la raíz aproximada a dos decimales de P(x)=0, en el intervalo (1;2), es r= 1,15. La interpolación lineal se usa, en general, para ecuaciones reales de cualquier tipo, en una variable. B) MéTODO DE HORNER : El método de Horner se aplica solamente para ecuaciones polinómicas (algebraicas) con coeficientes racionales. Este método se ilustrará con los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Hallar una raíz real de : P(x) = x3 + 8x –160 = 0, con dos decimales de aproximación. resolución: La única raíz de P(x) = 0 se encuentra en el intervalo (4;5), puesto que P(4) = -64 y P(5) = 5. Entonces, tal raíz debe ser de la forma : donde a es un número comprendido entre 0 y 10 Luego : Expresando P(x) en potencias de x – 4, por el proceso de Horner (IV, 8): P(x) =–64 + 56(x–4) + 12(x–4)2 + (x–4)3 Sustituyendo, se puede escribir De donde se obtiene una ecuación en a, tal como: P1(a)=a3+120 a2+5600 a – 6400 = 0 Ciertamente, está entre 0 y 1; luego, para obtener un decimal de aproximación de la raíz x, basta hallar la parte entera de a. Por división sintética, se obtiene que:; entonces, se puede escribir: donde b está entre 0 y 10. Puesto que , expresamos P1 (a) en potencias de a – 9, usando nuevamente el proceso de Horner: Luego : sustituyendo : Lo cual da origen a la ecuación: Por división sintética se halla que b está entre 3 y 4. Por consiguiente, Luego: Es decir : En consecuencia, x = 4,93 es una raíz aproximada de P(x)=0. Ejemplo 2: Calcular por el método de Horner , con 3 decimales de aproximación. resolución: es la única raíz real de la ecuación x3 – 7 = 0 Por división sintética, se la aisla en el intervalo (1;2). Entonces, se tiene que: , de donde con.Expresando P(x) = x3 - 7 en potencias de x - 1, se tiene, por el proceso de Horner: sustituyendo , y suprimiendo denominadores, resulta la ecuación: P1(a)=a3+30a2+300a -6000= 0, que tiene una única raíz positiva a. La parte entera de a será la primera cifra decimal de la raíz x. Por división sintética , se logra aislar a en el intervalo (9;10) ; y, por lo tanto , de donde ; siendo . Expresando P1 (a) en potencias de a – 9: Sustituyendo, igualando a cero y suprimiendo denominadores resulta la ecuación: que tiene una única raíz positiva b. La parte entera de b será la segunda cifra decimal de la raíz buscada. Aislando la raíz b en el intervalo (1;2) se sigue que de donde , Repitiendo el proceso, expresamos P2 (b)en potencias de b –1 : P2(b)=–32129+1 09443(b–1)+ 573(b – 1)2 + (b – 1)3 Reemplazando , igualando a cero y suprimiendo denominares se obtiene la ecuación: donde la parte entera de la única raíz positiva será la tercera cifra decimal de la raíz buscada. Aislando dicha raíz en el intervalo (2;3), se sigue que . Finalmente, de la sucesión de igualdades : se deduce que la raíz x de la ecuación x3 - 7 = 0 es x = 1,912, aproximada a 3 decimales. Ejercicios Hallar, por interpolación lineal, las raíces irracionales con 3 decimales de aproximación, de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x3 + x2 – 3 = 0 b) x3 – 12x – 20 = 0 c) 2x3 + x2 – 7 = 0 d) x3 +3x2 –2x – 1 = 0 e) x4 – 2x3 + 21x – 23 = 0 f) 4x4 – 4x3 + 7x2 – 8x – 2 = 0 Por el método de Horner, calcular las raíces irracionales, con 3 decimales de aproximación, de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x3 + 10x2 + 34x – 60 = 0 b)x3 – 4x2 – 5x + 20 = 0 ; c) x3+ 33x – 110 = 0 d) x3 – 18x – 42 = 0 ; e) x3 + 6x2 + x – 9 = 0 Por el método de Horner, calcular las siguientes raíces con 3 decimales de aproximación: