TEORIA SOBRE POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES PDF
EL TEOREMA DEL RESIDUO Y EL TEOREMA DEL FACTOR : Teorema 2 : (El Teorema del Residuo). El residuo de la división de un polinomio P(x) entre x – a es P(a). Demostración: Por el algoritmo de la división, existen S(x) y R(x) tales que: P(x) = S(x)(x – a)+R(x), con : grad R(x)< grad(x – a)= 1. Se deduce entonces que grad R(x)= 0 y , por consiguiente , que R(x) es constante. En consecuencia, resulta que P(x)=S(x)(x–a)+r, donde r es una constante. Haciendo x = a en esta última igualdad se obtiene; con lo cual queda demostrado el Teorema. Ejemplo: El residuo de la división de P(x) = 2x4 – 3x3 + 5x – 6 entre x – 2 es: Utilizando la división ordinaria se obtiene el mismo resultado. En efecto, Teorema 3 : (Teorema del Factor) Si c es un cero de un polinomio P(x), entonces x– c es un factor de P(x). Por el algoritmo de la división, existen S(x) y r tal que: P(x) = s(x) (x – c) + r. Si c es un cero de P(x), entonces P(c)= 0 ; además , por el Teorema del Residuo , r= P(c). Luego , r = 0 y , por lo tanto, P(x) = S(x) (x – c). En consecuencia, x–c es un factor de P(x). También se cumple el recíproco de este Teorema, cuya demostración se deja al lector. Teorema 4 : Si x – c es un divisor de P(x), entonces c es un cero de P(x). Ejemplo: Sea el polinomio P(x)=x3– 6x2+11x–6. Se observa que P(3)=0; luego, 3 es un cero de P(x). Por lo tanto, x–3 es un divisor de P(x). En efecto, 5) LA DIVISIÓN SINTÉTICA : Estudiaremos a continuación un proceso para calcular el cociente y el residuo de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x – c, sin necesidad de recurrir a la división ordinaria. Este proceso se conoce con el nombre de división sintética. Por el algoritmo de la división, sabemos que existen S(x) y r tal que: P(x) = S(x) (x – c) + r.