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TEOREMAS DE SEMEJANZA EJERCICIOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Muchas veces pensamos que las artes solo tienen que ver con el talento, pero en realidad hay ocasiones en que la posibilidad de hacer buenas representaciones y obras tiene que ver con la aplicación de técnicas cuidadosamente aprendidas y puestas en práctica, que permiten crear efectos sorprendentes. Un buen ejemplo de ello son las perspectivas en los cuadros y algunas ilusiones ópticas que, aprovechando lo que nuestro cerebro desea interpretar, nos hacen “ver” cosas donde no las hay. En las figuras de esta página, por ejemplo, se aprovechan algunas rectas paralelas para hacernos creer que las líneas marcadas en verde no son del mismo tamaño cuando en realidad sí lo son… ¿o no? En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. ➊ ¿Conocen otras ilusiones ópticas que se generan con rectas paralelas? ¿Cuáles? Investiguen y expónganlas al curso. ➋ ¿En qué consiste el punto de fuga? Investiguen en internet o con su profesor(a) de artes visuales, y realicen un dibujo de alguna parte de su colegio utilizándolo. Actividad grupal Propósito: que comprendas y apliques los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras, en la resolución de problemas en diversos contextos. ¿Qué aprenderás? ¿Dónde? Es importante porque te permitirá… A comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales. Lección 16 analizar y calcular medidas de segmentos proporcionales. A dividir trazos en una razón dada. Lección 17 aplicar resultados vistos a la construcción de segmentos proporcionales. A demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos. Lección 18 resolver problemas relativos a la proporcionalidad de los trazos de los triángulos rectángulos. A demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco. Lección 19 comprender y aplicar este teorema en la resolución de problemas. § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Teorema Ü Paralelismo Ü Proporcionalidad Ü Perspectiva Ü Semejanza § ¿Cómo vericas si dos rectas son paralelas entre sí? Explica. Explorando tus ideas previas Actividad 109 1 2 3 4 ¿Qué debes saber? Autoevaluación: Indicador Sí No Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal. 2 respuestas correctas 1 o menos Aplicar el teorema de Pitágoras. 2 respuestas correctas 1 o menos Aplicar propiedades de proporciones. 2 respuestas correctas 1 o menos Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web…. para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Realiza las siguientes actividades. Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal 1 Juzga si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F según corresponda. 2 Calcula la medida de los ángulos , ,  y en la figura. L3 L4 L1 L2 80° α β δ γ L1 // L2 L3 // L4 Aplicar el teorema de Pitágoras 3 Aplica el teorema de Pitágoras para calcular el valor de x en cada caso. a. 4 x 5 b. x 6 3.6 4 Calcula en cada caso el valor pedido. a. En un triángulo rectángulo uno de sus catetos mide 5 cm, y su hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto? b. En un triángulo isósceles rectángulo su hipotenusa mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus catetos? Aplicar propiedades de las proporciones 5 Calcula en cada caso el valor de la incógnita. a. 2 3 3 m = b. 4 x–1 7 10 = c. 2b–1 3 5–3b 2 = d. a–1 2 5 11 = e. 13 3 k+1 k –2 = f. x–3 x+4 x–5 x+6 = 6 Determina en cada caso el término que falta en cada proporción, considerando que: = a b c d a. a c d = b. b a d = c. a+c c d = d. c b+a a = e. = a+b c+d d f. c+d a+b c = L1//L2 L1 1 5 2 6 3 7 4 8 L2 45° 110 Lección Teorema de Thales Propósito: Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales. Teorema particular de Thales Taller Lee y realiza las siguientes actividades. Jaime (J) y Gonzalo (G) suben un cerro por distintas laderas para realizar una exploración. Acordaron comunicarse al alcanzar los 500 metros de altura, como se muestra en la figura. C 500 metros J G A D B 750 metros 1 La altura CD del cerro es de 750 metros. ¿Qué parte de esta altura han subido Jaime y Gonzalo? 2 La distancia AJ que ha recorrido Jaime es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia JC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo. 3 La distancia BG que ha recorrido Gonzalo es de 600 metros. ¿Cuál es la distancia GC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo. 4 Plantea una proporción que relacione las medidas AJ, JC, BG y GC. Ambos escaladores han subido 500 metros de altura, aunque para hacerlo han debido recorrer distancias distintas. Lo que les falta por recorrer para llegar a la cima es distinto para cada uno de ellos, pero se encuentra en la misma proporción con lo que ya han recorrido. Es decir: = CJ JA CG GB Para que esto se cumpla ambos deben estar a la misma altura respecto del suelo; en ese caso se observa que AB // JG. Este resultado podemos expresarlo como el: Teorema particular de Thales: Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al tercer lado, esta determina sobre ellos segmentos proporcionales entre sí. QS / /RT = PQ QR PS ST Además, PQS ~ PRT por criterio AA, por lo que se verifica la proporción: = = PQ PR PS PT QS RT R T S P Q Thales vivió alrededor del año 640 al 560 a.C. en Mileto, Asia menor (actual Turquía). Es considerado el primero de los siete sabios de Grecia. Padre de las matemáticas y la filosofía griega, fue el primero en intentar explicar el mundo a través de causas naturales, aplicando la razón y no acontecimientos divinos de la creación. También fue un gran astrónomo. Se dice que logró predecir el eclipse solar del año 585 a.C. Historia… El Nevado Ojos del Salado es el volcán más alto del mundo y se ubica en Chile. Su altura es de 6891 m sobre el nivel del mar. 16 111 1 2 3 4 Teorema particular y uso de software Taller Podemos utilizar un procesador geométrico para verificar algunas otras relaciones que se cumplen cuando trazamos rectas paralelas. En este caso utilizaremos GeoGebra, programa al que puedes acceder gratuitamente desde la página http://www.geogebra.org Paso 1 Con la herramienta , Recta que pasa por Dos Puntos, traza dos rectas AB y AC. Luego construye la recta BC. A B C Paso 3 Con la herramienta , Recta Paralela, construye las rectas paralelas a BC por los puntos D, E y F. Luego, con la herramienta Intersección de Dos Objetos, ubica los puntos de intersección de las rectas anteriores con la recta AC. I F A E H D G B C Paso 2 Con la herramienta , Nuevo Punto, construye los puntos D, E y F sobre la recta AB, como se muestra. A F E D B C Paso 4 Con la herramienta , Distancia o Longitud, mide los segmentos AE, ED, DB, AH, HG, GC AF y AI I F A E H D G B C AI = 2.46 AF = 2.41 AE = 1.74 HA = 1.78 ED = 1.62 DB = 1.18 GH= 1.05 CG = 1.2 Considerando los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades y responde. 1 ¿Qué triángulos semejantes observas en la figura del paso 4? Identifícalos, plantea las razones correspondientes entre las medidas de sus lados y calcúlalas. 2 Calcula las razones ED DB y HG GC , y observa que los puntos E, B, H y C no forman un triángulo. ¿Qué puedes concluir? 3 Calcula las razones AE AF y AH AI . ¿Qué relación observas con el teorema particular de Thales? Ayuda En GeoGebra, existen muchas herramientas agrupadas en un mismo botón. Para encontrarlas, mantén presionado el botón que corresponda; aparecerá un menú desplegable donde encontrarás la herramienta adecuada. 112 Lección Teorema general de Thales Cuando tenemos rectas paralelas cortadas por dos transversales puede darse alguno de los siguientes casos: p q r s L1 // L2 L1 L2 p r s q L1 L2 L1 // L2 p q r s L1 L2 L3 L1 // L2 // L3 En ellos los segmentos que determinan las rectas paralelas en las transversales son proporcionales entre sí, es decir, p q r s = . Considerando las tres combinaciones posibles, podemos enunciar el: Teorema general de Thales: si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos o más transversales se determinan sobre las transversales segmentos proporcionales entre sí. Recíproco del Teorema de Thales Hemos visto que rectas paralelas determinan segmentos proporcionales sobre las transversales que las cortan. En el dibujo se verifica la proporción AB BC DE EF = . ¿Son paralelas las rectas AD, BE y CF? A D B E C F La respuesta es afirmativa, y constituye el: Recíproco del teorema de Thales: si dos o más rectas son cortadas por dos transversales, determinando sobre estas últimas segmentos proporcionales, dichas rectas son paralelas entre sí. Ayuda Dada la afirmación “a implica b” (o “si a, entonces b”), se llama recíproco de ella a la afirmación “b implica a”. El recíproco del teorema de Thales se cumple también en los casos particulares: A B D C E E C A B D =  AB AC AD AE BD // CE 16 113 1 2 3 4 Aplicaciones del teorema de Thales y su recíproco Podemos aplicar el teorema de Thales y su recíproco en el cálculo de medidas de segmentos, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Calcula el valor de x en la siguiente figura, si se sabe que QS // RT. P Q 3 cm 4 cm x cm 6 cm R T S Por teorema de Thales se tiene que: = PQ QR PS ST Por lo tanto, =  =  =  = 3 4 x 6 3•6 4x x 18 4 x 4,5 cm Ejemplo 2: En la siguiente figura, OQ // PR. Denise debe trazar una recta ST, paralela a OQ y PR. ¿A qué distancia de Q debe ubicarse el punto T? 2 cm 3 cm T 10 cm R Q O S P Sea x la distancia QT, y con ello TR = 10 – x. Para que la recta ST sea paralela a OQ y a PR, debe cumplirse que: = ( ) −  − =  − =  = 2 3 x 10 x 2 10 x 3x 20 2x 3x x 4 Por lo tanto, T debe ubicarse a 4 centímetros del punto Q. Analiza… Calcula el valor de x en la siguiente figura, si AD // BE // CF A D B x – 5 x – 7 6 10 E C F ¿Es posible la situación? Justifica. Razona y comenta § En general, ¿es cierto siempre el recíproco de un teorema? Justifica. § ¿En qué situaciones convendría utilizar el recíproco del Teorema de Thales para trazar dos rectas paralelas? Inventa una situación en que lo sea, y otra en la que no resulte directo hacerlo. En resumen Teorema de Thales: Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más transversales, determinan sobre ellas segmentos proporcionales. Recíproco del Teorema de Thales: Si tres o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí. Practiquemos lo aprendido 114 Repaso 1. Determina en cada caso si se puede afirmar que la proposición es correcta, considerando la figura dada. Justifica por qué. e f a c d b L1 L2 L3 L4 L5 a)