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TASAS DE VARIACIÓN Y DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. a) Halla la tasa de variacio´n media de la funcio´n f (x ) 3x 2 x en el intervalo [2, 4]. b) Halla la tasa de variacio´n media de la funcio´n f (x ) x 2 x 2 en el intervalo [ 2, 2]. 2. a) Halla la tasa de variacio´n media de la funcio´n f (x ) 2x 2 2 en el intervalo [2, 2 h ]. b) Halla la tasa de variacio´n media de la funcio´n f (x ) x 3x 2 1 en el intervalo [ 2, 2 h ]. 3. Aplicando la definicio´n, calcula la derivada de la funcio´n f (x ) 3x 2 en el punto x 5. 4. Aplicando la definicio´n, calcula la derivada de la funcio´n f (x ) x 3 2x 2 en el punto x 2. 5. Aplicando la definicio´n, calcula la funcio´n derivada de la funcio´n f (x ) x 2 5x 6. 6. Un mo´vil se desplaza segu´n la ecuacio´n s (t ) 2t 2 2t 3, donde t es el tiempo en segundos y s (t) es el desplazamiento en metros efectuado despue´s de t segundos. a) Calcula la velocidad media del mo´vil en el intervalo [0, 2]. b) Calcula la velocidad del mo´vil cuando han pasado exactamente 3 segundos. 7. Estudia la continuidad y la derivabilidad en x 0 de la funcio´n f (x ) x si x 0 2 x si x 0 8. Estudia la continuidad y la derivabilidad en x 0 de la funcio´n f (x ) x 2 si x 0 3 x si x 0 9. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la funcio´n f (x ) y comprueba tus resultados represen- Wx 2 x W tando gr´aficamente esta funci´on. x 10. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la funcio´n f (x ) segu´n los valores a L (1 x) six 0 2 2 x ax a si x 0 del para´metro a. 11. Determina el valor de los para´metros a y b para que la funcio´n sea continua en x 3 3 si x 0 ax b si 0 x 1 3 2x si x 1 toda la recta real. Para esos valores, ¿la funcio´n es derivable en x 0?, ¿y en x 1? SOLUCIONES 1 f (x ) es discontinua en x 0, ya que: lim f (x ) 1 y lim f (x ) 1, tiene una dis- xA0 xA0 continuidad inevitable de salto finito igual a 2. En el resto de los valores es continua. f (x ) no es derivable en x 0, por no ser continua, ni en x 1, ya que en ese punto f (1 ) 1 y f (1 ) 1 Df (x ) 1 six 0 1 si 0 x 1 1 six 1 Y O 1 1 X f(x) 10. Para que sea continua en x 0: f (0) lim f (x ) lim f (x ) a a 2 xA0 xA0 a 0, a 1 Como Df (x ) para que sea 1 si x 0 1 x 2x a si x 0 derivable en x 0: f (0 ) f (0 ) a 1 11. Para que sea continua en x 0: f (0) lim f (x ) lim f (x ) 3 b, xA0 xA0 y para que sea continua en x 1: lim f (x ) lim f (x ) a b 1 a 2 xA1 xA1 La funcio´n f (x ) es x 3 3 si x 0 2x 3 si 0 x 1 3 2x si x 1 continua en toda la recta real, pero no es derivable en x 0, su derivada es: D f(x ) y las derivadas laterales 3x 2 si x 0 2 si x 0 en x 0 son distintas. 1. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la funcio´n f (x ) Wx 3W si x 1 x 2 si 1 x 2 2x si x 2 2. Estudia la derivabilidad en x 0 de la funcio´n f (x ) x 2 x 3 si 1 x y x 0 x 1 si x 0 3. Estudia la derivabilidad de la funcio´n f (x ) W(x 1) · (x 2)2 · (x 3)3W 4. Dada la funcio´n f (x ) , se considera la funcio´n S(x ) que expresa el a´rea encerrada x si 0 x 2 2x 2 si x 2 por la gra´fica de la funcio´n f (x ), el eje de abscisas y la perpendicular a dicho eje trazada por el punto (x, 0). Determina la expresio´n analı´tica de la funcion S(x ) y estudia su continuidad y su derivabilidad. 5. Demuestra que la derivada de una funcio´n derivable par es una funcio´n impar y que la derivada de una funcio´n derivable impar es una funcio´n par. 6. ¿Co´mo deben elegirse los para´metros a y b de la funcio´n F (x ) para que sea continua f (x) six x 0 ax b si x x0 y derivable en el punto x0, teniendo en cuenta que la funcio´n f (x ) es derivable por la izquierda en x x0? 7. ¿Co´mo deben elegirse los para´metros a y b de la funcio´n f (x ) para que sea continua y x 2 si x x 0 ax b si x xderivable en x x 0 0? f'(x) 1 –1 1 Y O X 8. De una funcio´n f (x ) continua en todo R se conoce la gra´fica de su derivada, que es la que corresponde a la figura adjunta, y se sabe adema´s que f (0) 1. Dibuja la gra´fica de f (x ) y encuentra su expresio ´n analı´tica. 9. Calcula las derivadas laterales de la funcio´n f (x ) en el punto x 1. Indica 2x 2 3x 1 si x 1 7x 2 5 si x 1 si la funci´on es o no derivable en ese punto. 2 10. Si la funci´on y f (x ) verifica que lim f (x ) 0 y la funci´on y g (x ) es acotada, es decir, existe un nu´mero xAa real M tal que Wg (x )W M para todos los valores de x, entonces se cumple que lim (f (x ) · g (x )) 0. Con xAa la ayuda de este resultado, estudia la continuidad y derivabilidad en el origen de coordenadas de la funcio´n f (x ) x 2 · sen x. 11. Dada la funcio´n f (x ) Wx W Wx 1W: a) Expre´sala mediante una funcio´n definida a trozos. b) Represe´ntala gra´ficamente. c) Estudia la continuidad y derivabilidad en todo el dominio. SOLUCIONES 1. f (x ) es discontinua en x 1, ya que: lim f (x ) 2 y lim f (x ) 1. Tiene una discon- xA 1 xA 1 tinuidad inevitable de salto finito igual a 1. En el resto de los valores es continua. f (x ) no es derivable en x 1, por no ser continua, ni en x 3 y x 2, ya que en estos puntos las derivadas laterales son distintas: f ( 3 ) 1 y f ( 3 ) 1, f (2 ) 4 y f (2 ) 2 2. f (x ) signo(x ) · 1 x si 1 x y x 0 1 si x 0 No es derivable en x 0, ya que no es continua en ese punto: lim f (x ) 1 y lim f (x ) 1. xA0 xA0 3. f (x ) (x 1) (x 2)2 (x 3)3 si x 1 (x 1) (x 2)2 (x 3)3 si 1 x 3 (x 1) (x 2)2 (x 3)3 si x 3 Df (x) (x 2)(x 3)2[6x 2 22x 18] si x 1 (x 2)(x 3)2[6x 2 22x 18] si 1 x 3 (x 2)(x 3)2[6x 2 22x 18] si x 3 No es derivable en x 1, ya que las derivadas laterales son distintas: f (1 ) 8 y f (1 ) 8. 4. S(x ) 1 x 2 si 0 x 2 2 1 2 2(x 2) (x 2)(2x 2) si x 2 2 S(x ) 1 x 2 si 0 x 2 2 2 x 2x 2 si x 2 S(x ) es continua en [0, ), ya que lo es en x 2: f (2) lim f (x ) lim f (x ) 2 xA2 xA2 es derivable en (0, ); DS(x) x si 0 x 2 2x 2 six 2 ya que f (2 ) f (2 ) 2 5. f (x ) funcio´n derivable par: D f ( x ) f ( x h ) f ( x ) lim hA0 h f ( (x h )) f ( x ) lim hA0 h D f (x ) f (x h ) f (x ) lim hA0 h f (x ) funcio´n derivable impar: D f ( x ) f ( x h ) f ( x ) lim hA0 h f ( (x h )) f ( x ) lim hA0 h f (x h ) f (x ) f (x h ) f (x ) lim lim hA0 h hA0 h D f (x ) 6. Para que sea continua: F(x0) F(x ) F(x ) f (x0) axlim lim 0 b xAx0 xAx 0 Para que sea derivable:F 1. Calcula la tasa de variacio´n de la funcio´n f (x ) en el intervalo [2, 5]. 1 x 2. Calcula la tasa de variacio´n de la funcio´n f (x ) 3x x 2 en el intervalo [x, x h]. 3. Considera la funcio´n f (x ) 6 2x 2. a ¿Cua´l es su tasa de variacio´n media en el intervalo [1, 3]? b) ¿Cua´l es el valor de la pendiente de la recta que une los puntos A(0, f (0)) y B(2, f (2))? 4. Sea f (x ) . 1 x 2 a) Aplicando la definicio´n de derivada, calcula f (3). b) ¿Se puede hallar f (2)? Razo´nalo. 5. Sea f (x ) x . Aplicando la definici´on de derivada, calcula f (1). 6. Halla la funcio´n derivada de f (x ) x 2 2x 5 aplicando la definicio´n. 7. Halla la funcio´n derivada de f (x ) aplicando la definicio´n. 2 x 8. Halla la funcio´n derivada de f (x ) 5x x 2 aplicando la definicio´n. 9. Deriva las siguientes funciones aplicando las reglas de derivacio´n: a) f (x ) x 2 x 2 b) f (x ) L( x) c) f (x ) sen2 (x 2) 10. Deriva las siguientes funciones: a) f (x ) sen (x 1)2 b) f (x ) (x 1) tg x c) f (x ) sen (Lx ) d) f (x ) sen (sen x ) e) f (x ) tg e x f) f (x ) sen (x 2 1) tg x 2 11. Deriva las siguientes funciones: a) f (x ) (sen x ) · x b) f (x ) x · Lx 12. ¿En que´ puntos la funcio´n f (x ) x 3(2x 4)2 tiene derivada nula? 1. Una empresa de bebidas lanza al mercado un refresco. Durante los dos primeros meses las ventas permanecen estables y la empresa decide poner en marcha una campan˜a publicitaria para incrementarlas. La funcio´n que representa el nu´mero de botellas vendidas, en miles de unidades, dependiendo de los meses, t, transcurridos desde su lanzamiento, viene dada por: f (t ) 50 si 0 t 2 50(t 2 2) si t 2 3t a) Justifica que el volumen de ventas representa una curva continua en el tiempo. b) Calcula la tasa de variacio´n media de las ventas en los intervalos [0, 2] y [2, 4]. ¿Ha tenido efecto la campan˜a? c) Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las ventas a los 4 meses. 2. El coste de fabricaci´on de x bombillas viene dado por la expresi´on f (x ) 0,30x 0,12 x a) Escribe la funcio´n que expresa la variacio´n del coste de produccio´n de las bombillas dependiendo de las unidades producidas. b) ¿Cua´l es el coste medio de cada una de las 100 primeras bombillas producidas? c) ¿Cua´l es el coste real de producir la bombilla nu´mero 100? d) Si la empresa vende cada bombilla a 1 euro, escribe la funcio´n que determina los beneficios obtenidos por vender x bombillas. e) ¿Cua´l es el beneficio medio por cada una de las 100 primeras bombillas producidas? f) ¿Cua´l es el beneficio real que produce la venta de la bombilla nu´mero 100? 3. En Economı´a, se llama coste marginal de un producto a la derivada de la funcio´n de costes respecto al nu´mero de unidades producidas. El coste marginal representa, aproximadamente, el coste necesario para producir una unidad extra. Una empresa textil compra a un disen˜ador el boceto de un vestido por 18 030 euros con la idea de fabricar x unidades que, a su vez, tienen un coste de produccio´n de 12 euros cada una. a) Escribe la funcio´n que determina el coste de fabricacio´n de x vestidos. b) ¿Cua´l es el coste medio de fabricacio´n por vestido confeccionado? (Te´ngase en cuenta el precio pagado por el disen˜o.) c) Escribe la funcio´n que determina el coste marginal de fabricar x vestidos. d) ¿Cua´l es el coste marginal que supone producir el vestido que hace el nu´mero 1 001? e) Si cada vestido se quiere vender a 36 euros, ¿cua´ntos debe producir la empresa para que los beneficios totales sean de 24 040 euros? 4. El efecto de un analge´sico a las t horas de ser administrado viene dado por la funcio´n E(t ) 10 sen2t, con t . a) Si se midiese el efecto en una escala nume´rica, ¿cua´l sera´ el mayor efecto posible que puede alcanzar el analge´sico? b) ¿Cua´nto tiempo tarda en dejar de hacer efecto? c) ¿Cua´l es la velocidad con que esta´ haciendo efecto el analge´sico a la media hora? d) ¿Cua´l es la velocidad con que esta´ haciendo efecto el analge´sico a las 2 horas? ¿Co´mo se interpreta este resultado respecto al resultado del apartado anterior? 5. El nu´mero de personas contagiadas por una determinada enfermedad, donde x representa el nu´mero de dı ´as transcurridos desde que se inicio´ la enfermedad, crece segu´n la expresio´n f (x ) 500 [x log (x 2 1)]. a) ¿Cua´l es el nu´mero de personas contagiadas a los 3 dı´as de la aparicio´n de la enfermedad? b) ¿Cua´l es la velocidad de propagacio´n de la enfermedad al tercer dı ´a? c) ¿Que´ nu´mero de personas tiende a contagiarse cada dı´a si la enfermedad dura mucho tiempo y no aparece el remedio para curarla?