TASAS DE VARIACIÓN Y DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS DE BACHILLERATO PDF

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Una empresa de bebidas lanza al mercado un refresco. Durante los dos primeros meses las ventas permanecen estables y la empresa decide poner en marcha una campan˜a publicitaria para incrementarlas. La funcio´n que representa el nu´mero de botellas vendidas, en miles de unidades, dependiendo de los meses, t, transcurridos desde su lanzamiento, viene dada por: f (t ) 50 si 0 t 2 50(t 2 2) si t 2 3t a) Justifica que el volumen de ventas representa una curva continua en el tiempo. b) Calcula la tasa de variacio´n media de las ventas en los intervalos [0, 2] y [2, 4]. ¿Ha tenido efecto la campan˜a? c) Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las ventas a los 4 meses. 2. El coste de fabricaci´on de x bombillas viene dado por la expresi´on f (x ) 0,30x 0,12 x a) Escribe la funcio´n que expresa la variacio´n del coste de produccio´n de las bombillas dependiendo de las unidades producidas. b) ¿Cua´l es el coste medio de cada una de las 100 primeras bombillas producidas? c) ¿Cua´l es el coste real de producir la bombilla nu´mero 100? d) Si la empresa vende cada bombilla a 1 euro, escribe la funcio´n que determina los beneficios obtenidos por vender x bombillas. e) ¿Cua´l es el beneficio medio por cada una de las 100 primeras bombillas producidas? f) ¿Cua´l es el beneficio real que produce la venta de la bombilla nu´mero 100? 3. En Economı´a, se llama coste marginal de un producto a la derivada de la funcio´n de costes respecto al nu´mero de unidades producidas. El coste marginal representa, aproximadamente, el coste necesario para producir una unidad extra. Una empresa textil compra a un disen˜ador el boceto de un vestido por 18 030 euros con la idea de fabricar x unidades que, a su vez, tienen un coste de produccio´n de 12 euros cada una. a) Escribe la funcio´n que determina el coste de fabricacio´n de x vestidos. b) ¿Cua´l es el coste medio de fabricacio´n por vestido confeccionado? (Te´ngase en cuenta el precio pagado por el disen˜o.) c) Escribe la funcio´n que determina el coste marginal de fabricar x vestidos. d) ¿Cua´l es el coste marginal que supone producir el vestido que hace el nu´mero 1 001? e) Si cada vestido se quiere vender a 36 euros, ¿cua´ntos debe producir la empresa para que los beneficios totales sean de 24 040 euros? 4. El efecto de un analge´sico a las t horas de ser administrado viene dado por la funcio´n E(t ) 10 sen2t, con t . a) Si se midiese el efecto en una escala nume´rica, ¿cua´l sera´ el mayor efecto posible que puede alcanzar el analge´sico? b) ¿Cua´nto tiempo tarda en dejar de hacer efecto? c) ¿Cua´l es la velocidad con que esta´ haciendo efecto el analge´sico a la media hora? d) ¿Cua´l es la velocidad con que esta´ haciendo efecto el analge´sico a las 2 horas? ¿Co´mo se interpreta este resultado respecto al resultado del apartado anterior? 5. El nu´mero de personas contagiadas por una determinada enfermedad, donde x representa el nu´mero de dı ´as transcurridos desde que se inicio´ la enfermedad, crece segu´n la expresio´n f (x ) 500 [x log (x 2 1)]. a) ¿Cua´l es el nu´mero de personas contagiadas a los 3 dı´as de la aparicio´n de la enfermedad? b) ¿Cua´l es la velocidad de propagacio´n de la enfermedad al tercer dı ´a? c) ¿Que´ nu´mero de personas tiende a contagiarse cada dı´a si la enfermedad dura mucho tiempo y no aparece el remedio para curarla?