Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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SUCESIONES NUMÉRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO EN PDF

















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NOCIÓN DE SUCESIÓN Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (número, letras, figuras) tales que cada uno ocupa un lugar establecido, de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente; acorde con una ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia. A los elementos de este conjunto se les denominan términos de la sucesión. Las sucesiones pueden ser: - Sucesiones gráficas - Sucesiones literales - Sucesiones numéricas En ocasiones se presentan algunas sucesiones que son combinación de las anteriores. Ejemplos: a) 5; 7;11;17; .... b) 17; 33; 65; 129; .... c) 1; 8; 27; 64; .... d) 5; 12; 20; 30; 43; .... e) F; H; J; L; N;... SUCESION NUMERICA Es un conjunto ordenado de números en el que cada uno de ellos tiene un orden designado; es decir que a cada uno de los términos de la sucesión le corresponde un número ordinal. Así # Ordinal: 1º 2º 3º 4º..........nº Términos de la sucesión: t1 t2 t3 t4......... tn Ejm. 1: Hallar los 5 primeros términos en cada caso, teniendo en cuenta las siguientes fórmulas de recurrencia: a) tn = 2n3 +1 Solución: Aplicando el principio de valor numérico, tenemos: t1 = 2 x 13 + 1 = 2 + 1 = 3 t2 = 2 x 23 + 1 = 16 + 1 = 17 t3 = 2 x 33 + 1 = 54 + 1 = 55 t4 = 2 x 43 + 1 = 128 + 1 = 129 t5 = 2 x 53 + 1 = 250 + 1 = 251  los términos de la sucesión son: 3, 17, 55, 129, 251, ..... b) Solución: t1 = t2 = t3 = t4 = t5 =  Los términos de la sucesión son: c) tn = n2 + 4  .................. d) tn = 3n +1 + (n-1) (n-2)  .................. e) tn = n +2 (n-1)(n-2)(n-3)  .................. Ejm. 2: Hallar el término enésimo en cada caso. a) 4; 9; 16; 25; ....... Solución: Analizando cada uno de los términos. t1 t2 t3 t4 ...... tn 4 9 16 25 2² 3² 4² 5² (n/1)²  tn = (n/1)² b) 2; 6; 12; 20 .......... Solución Analizando cada uno de los términos t1 t2 t3 t4 ...... tn 2 6 12 20 1x2 2x3 3x4 4x5  n(n+1)  tn = n(n+1) c) 1, ½, 1,4,25,216,.. tn = .................... d) 3; 6; 11; 18; ........ tn = .................... e) tn = .................... SUCESIONES NUMERICAS IMPORTANTES SUCESIÓN ARITMÉTICA (Sucesión Lineal o de Primer Orden) La diferencia entre dos términos consecutivos (también llamada razón aritmética) es siempre constante. Su término enésimo está dado por: ; t0 = t1 – r tn: Término enésimo t0 : Término anterior al primero t0 = t1-r r : Razón aritmética r = t2 - t1 n: Lugar del término enésimo Ejm. 3: Hallar el término enésimo en cada caso: a) 7; 12; 17; 22; ....... Solución: 7 12 17 22.... +5 +5 +5  r = 5; to = 7-5 = 2  tn = 5n + 2 b) 45, 39, 33, 27,..... Solución: 45 39 33 27 -6 -6 -6  r = -6 ; to = 45 – (-6) = 51  tn = -6n + 51 ó tn = 51 – 6n c) 4, 12, 20, 28,... Solución: ............................................ ............................................ SUCESIÓN POLINOMIAL DE SEGUNDO ORDEN O CUADRÁTICA. En toda sucesión cuadrática el término enésimo es de la forma: donde a, b y c son valores constantes que se hallan de la siguiente manera: t0 ; t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ; ..... +m0 +m1 +m2 +m3 +m4 +r +r +r +r Donde: r : m2 – m1 mo = m1 - r to = t1 – mo Ejm. 4: Hallar el término enésimo en cada caso: a) 5; 11; 19; 29; 41; ...... Solución: 5 11 19 29 41 +6 +8 +10 +12 +2 +2 +2  r = 2 mo = 6-2  m0 = 4 to = 5-4  t0 = 1 - Cálculo de a; b y c a =  a =  a = 1 b = mo – a  mo = 4-1 = 3 c = to  c = 1  tn = n² + 3n + 1 b) -5; -9; -9; -5; 3 Solución: -5 -9 -9 -5 3 -4 0 +4 +3 +4 +4 +4  r = 4 mo = -4 – 4 = -8 to = -5 – (-8) = 3 - Cálculo de a, b y c: a =  a = 2 b = mo – a = -8 – 2  b = -10 c = to  c = 3  tn = 2n² - 10n + 3 c) 2; 7; 13; 20; 28;...... Solución: SUCESIÓN GEOMÉTRICA; En general: Dada la sucesión geométrica: t1; t2; t3; t4; t5; ....... xq xq xq xq q: razón geométrica Entonces: tn = t1 x qn-1 Ejm. 5: Hallar el término enésimo en: a) 2; 6; 18; 54; 162;.... Solución: 2 6 18 54 162 x3 x3 x3 x3  razón(q)  q = 3 Observación: t1 = 2 t2 = 2 x 3 t3 = 2 x 32 t4 = 2 x 33 :  tn = 2 x 3n-1 b) 3; 12; 48; 192;....  c) 40;10;  SUCESIÓN POLINOMIAL DE ORDEN SUPERIOR Veamos por ejemplo una sucesión de cuarto orden. 1º 2º 3º 4º 5º 6º........nº t1, t2 , t3 , t4 , t5 , t6,.......,tn a b c d e p1 p2 p3 p4 q1 q2 q3 r r Su término enésimo viene dado por: donde: “k” factores Ejm. 6: Calcular el término enésimo en: 4; 6; 11; 21; 38;.... Solución: 4 6 11 21 38 +2 +5 +10 +17 +3 +5 +7 +2 +2 t1 = 4; a = 2; p1 = 3; r = 2; El término enésimo tendrá la forma: tn = tn = tn = Ejm. 7: Hallar el término que sigue en: a) 1; 3; 6; 10; .......... Solución: 1 3 6 10 15 +2 +3 +4 +5 +1 +1 +1  t5 = 15 b) 1; ............ Solución: Encontrando fracciones equivalentes para t2 y t4, tenemos: Analizando numerador y denominador: * 2 5 10 17 26 +3 +5 +7 +9 +2 +2 +2 * 2 3 4 5  6 + 1 +1 +1  t5 = c) I; E;G; F; E;G; Solución: Observamos que la letra E se repite, por lo que podemos suponer que se trata de dos sucesiones alternadas, las cuales las individualizamos, de modo que tenemos: * I G E C H F D * E F G  H  t7 = C d) 1; 4; 27; 256; ........ Solución: Analizando cada uno de los términos: t1 = 1 = 11 t2 = 4 = 2² t3 = 27 = 33 t4 = 256 = 44  t5 = 55 = 3125 e) 2; 12; 30; 56; Solución: Analizando cada uno de los términos: t1 = 2 = 1 x 2 t2 = 12 = 3 x 4 t3 = 30 = 5 x 6 t4 = 56 = 7 x 8  t5 = 9 x 10 = 90 Ejm. 8: Calcular el término enésimo de cada una de las sucesiones siguientes: a) 4; 9; 14; 19; ........ Solución: 4 9 14 19 +5 +5 +5  r = 5 La sucesión es de primer orden, donde to = 4-5 = -1  tn = 5n –1 b) 5; 12; 23; 38; ........ Solución: 5 12 23 38 +7 +11 +15 +4 +4  r = 4 La sucesión es de segundo orden 2 - 5 12 23 38 +3 - +7 +11 +15 +4 +4 +4 r = 4 ; mo = 3 to = 2 a = =2 b = 3-2=1 c = 2  tn = 2n² + n + 2 c) 3; 7; 11; 24;....... Solución: 3 7 11 24 +4 +4 +13 0 +9 De acuerdo al análisis no se puede determinar que orden es; por lo tanto asumimos que se trata de primer orden, cuya razón es: r = 4; de donde: to = 3-4 = -1  tn = 4n – 1 De donde: t1 = 4(1)-1 = 3 t2 = 4(2)-1 = 7 t3 = 4(3)-1 = 11 t4 = 4(4)-1 = 15 (no cumple) Como a cumplido para tres términos, entonces concluiremos que el término general será de tercer orden y tendrá la forma: An = tn + k (n-1) (n-2) (n-3) Es decir: An = 4n – 1 + k (n-1) (n-2)(n-3) (..I) - Debemos calcular “K”, para la cual tenemos de la sucesión principal tenemos que A4 = 24 En (I) tenemos:  24 = 4(4) – 1 + k(4-1)(4-2)(4-3) 24 = 15 + k (3)(2)(1) de donde k =  An = 4n – 1 + (n-1) (n-2) (n-2) PROBLEMAS PARA DESARROLLAR EN CLASE 1. Hallar el término que sigue en: a) 2; 3; 5; 7; 11;....... b) 1; 1; 2; 3; 5; 8;....... c) 1; 1; 2; 4; 7; 13;....... d) F; H; K; L; O; O; ....;.... e) W; T; P; N; J;... f) Y; W; S; N;... g) A; D; G; K; Ñ; S; ... h) 6; 14; 14; 14; 32; 96;… i) 1; 1; 1; 2; 12;… j) 1; 2; 10; 37;… k) 40; 0; 0; 30; 90; 200; 410; .... 2. Calcular el término enésimo de cada una de las sucesiones siguientes: a) 36; 31; 26; 21; ..... b) –19;- 16; -13; -10;... c) 2; 7; 14; 23;…… d) ........ 3. Se sabe que seis términos consecutivos de la sucesión: 8; 11; 14; 17 ;...... suman 147. calcular el quinto término de los seis mencionados. Rpta:............ 4. Hallar el segundo término negativo de la sucesión 213; 207; 201; 195;..... Rpta:............ 5. Se tiene la progresión aritmética creciente: Hallar el séptimo término. Rpta:............ 6. En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma del primer y último término de la fila 20. 1  F1 3 5  F2 7 9 11  F3 13 15 17 19  F4 21 23 25 27 29  F5 Rpta:............ 7. Calcular el número de términos de la siguientes sucesión; así como el valor de “a” Rpta:............ 8. Dada la siguiente sucesión: 2, 9, 28, 65, 126........ ¿Cuántos términos son de 4 cifras? Rpta:............ 9. Ruth se propone leer una novela diariamente, el primer día lee 3 páginas, el segundo día lee 8 páginas, el tercer día 15 páginas, el cuarto día 24 páginas, y así sucesivamente hasta que cierto día se da cuenta que el número de páginas que ha leído ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. Hallar el número de páginas leídas en dicho día. Rpta:............ 10. Hallar el valor de “n” en la siguiente sucesión: (a+3); (a+7)3;(a +11)5;......;(a+118-n)n Rpta:........... 11. Los términos de la sucesión definidos por: tn = 8n2-6n+3 ocupan los lugares impares de una nueva sucesión y los términos de la sucesión definidos por tn = 8n2 +2n +2 ocupan los lugares pares de la misma nueva sucesión. Calcular el término enésimo de la nueva sucesión formada. Rpta:........... 12. ¿Cuántos términos de tres cifras presenta la siguiente sucesión? 3, 9, 19, 33,........ Rpta:........... 13. Calcular la diferencia de los términos “n-ésimos” en: ........ Rpta:........... 14. Juan va a una tienda y compra un caramelo, regalándole el vendedor un caramelo por su compra. En una segunda vez compra 3 caramelos y le regalan 2, en la tercera compra 6 y le regalan 3, en la cuarta vez compra 10 y regalan 4, en la quinta vez compra 15 y regalan 5 y así sucesivamente, ¿Cuántos caramelos recibirá en total cuando entra a la tienda a compra por vigésima vez? Rpta:............. 15. Hallar el número de términos en: 4; 6; 7; 9; 10; 12; 13;...; 301 Rpta:............. 16. ¿Cuál es el término más cercano a 1000, en: 20; 39; 58; 77;.... Rpta:............. 17. Cuántos términos hay entre 200 y 300, en la siguiente sucesión? 7; 18; 29; ... Rpta:............. 18. Hallar el término que sigue en: 1; 2; 3; 4; 125;...... SUCESIONES I. Determinar el término que continúa en cada una de las siguientes sucesiones: 1. 2; 5; 11; 20; … A) 28 B) 30 C) 32 D) 31 E) 33 RESOLUCIÓN RPTA.: C 2. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: D 3. 1 ; 2; 6; 24; … A) 86 B) 120 C) 84 D) 92 E) 128 RESOLUCIÓN RPTA.: B 4. - 2; 5; - 9 ; 19; … A) 28 B) - 37 C) 37 D) - 28 E) 14 RESOLUCIÓN RPTA.: B 5. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: A 6. 6; 6; 3; 6; 2; … A) 6 B) 8 C) 4 D) 3 E) 10 RESOLUCIÓN RPTA.: E II. Qué número altera la sucesión en cada uno: 7. 2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16; 16 ; 32 ; 14 A) 4 B) 20 C) 8 D) 16 E) 10 RESOLUCIÓN RPTA.: E 8. A) B) C) D) 1 E) 3 RESOLUCIÓN RPTA.: B 9. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: C 10. 1 ; - 1 ; 3 ; -5 ; 11 ; - 20 A) - 20 B) 11 C) - 5 D) - 1 E) 3 RESOLUCIÓN 21 RPTA.: A 11. A) 24 B) 14 C) 9 D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: E 12. A) 10 B) 9 C) 8 D) 19 E) 22 RESOLUCIÓN RPTA.: D 13. En la sucesión: 4; 10; 16; 22; …; 178. Calcule el número de términos. A) 31 B) 28 C) 30 D) 35 E) 32 RESOLUCIÓN RPTA.: C 14. Calcule la suma del vigésimo término y el número de términos. - 8 ; - 5 ; - 2 ; … ; 79. A) 81 B) 79 C) 90 D) 80 E) 78 RESOLUCIÓN  RPTA.: B 15. En la siguiente sucesión: 62; 57; 52; .... determinar el séptimo término negativo. A) - 3 B) - 30 C) - 28 D) - 33 E) -8 RESOLUCIÓN 1er término = n = 14 t1 = -3 n = 20 RPTA.: D 16. Sean las sucesiones: 320 ; 312 ; 304 ; … ; 0 40 ; 48 ; 50 ; 58 … ; 288 Determinar cuántos términos son comunes a ambas sucesiones. A) 11 B) 9 C) 13 D) 20 E) 16 RESOLUCIÓN  Hay 11 términos comunes. RPTA.: A 17. José se propone a escribir un libro. El primer día escribe 5 hojas; el segundo día 12 hojas; el tercer día 23 hojas; el cuarto día 38 hojas y así sucesivamente hasta que el último día escribió 467 hojas ¿Cuántos días estuvo escribiendo José? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 RESOLUCIÓN n  15 2n + 31 n = 15 RPTA.: D 18. Halle el vigésimo quinto término en: 2; 7; 14; 23; .... A) 720 B) 128 C) 320 D) 480 E) 674 RESOLUCIÓN RPTA.: E 19. Cuántos términos de la sucesión 6 ; 8 ; 10 ; … ; 504 serán cuadrados perfectos? A) 5 B) 7 C) 10 D) 12 E) 8 RESOLUCIÓN  n también toma 10 valores RPTA.: C 20. Si: ¿Cuántos términos son comunes a ambas sucesiones? A) 20 B) 18 C) 11 D) 10 E) 5 RESOLUCIÓN Términos comunes de y a la vez: Acotando la sucesión. Entonces hay 11 términos comunes. RPTA.: C 21. Si son términos de una sucesión aritmética. Indicar el valor de a. A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 2 RESOLUCIÓN a = 2 RPTA.: E 22. Dada la sucesión: ¿A partir de que lugar los términos son menores a 0,5? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: D 23. Que lugares ocupan los 2 términos consecutivos de la siguiente sucesión cuya diferencia de cuadrados es 640. 6 ; 10 ; 14 ; 18; … A) 20 ; 21 B) 25 ; 26 C) 21 ; 22 D) 30 ; 31 E) 31 ; 32 RESOLUCIÓN n = 21 n + 1 = 22 RPTA.: C 24. José desea comprar galletas de la siguiente manera: cada día 5 galletas mas que el día anterior. ¿En que día se cumplirá que lo comprado ese día será de lo comprado 4 días antes y además sea 3 veces lo comprado el primer día? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 RESOLUCIÓN n = 9 RPTA.: A 25. Los ángulos de un pentadecágono se encuentran en progresión aritmética. ¿Cuánto mide uno de dichos ángulos? A) 153º B) 158º C) 154º D) 155º E) 156º RESOLUCIÓN a ; a + r ; a + 2r ; …; a +14r. RPTA.: E 26. Calcule el término de lugar 300 en la siguiente sucesión: 1; 12; 29; 52; 81;… Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 18 B) 12 C) 29 D) 22 E) 9 RESOLUCIÓN 2 + 7 + 10 + 5 + 9 + 6 = 29 RPTA.: C 27. Calcule m + n A) 52 B) 60 C) 72 D) 58 E) 62 RESOLUCIÓN n + m = 35 + 27 = 62 RPTA.: E 28. Halle el término que ocupa el lugar 20 de la sucesión y dar como respuesta la suma de sus cifras. 4 ; 8 ; 12 ; 52 ; 164 ; … A) 17 B) 21 C) 18 D) 24 E) 19 RESOLUCIÓN 3 + 4 + 8 + 1 + 2 =18 RPTA.: C 29. Si: corresponden a una sucesión geométrica, calcular el valor de “a”. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 4 RESOLUCIÓN a = 8 RPTA.: C 30. La suma de “n” términos de una progresión aritmética es: . Halle el término 20 de dicha P. A. A) 76 B) 80 C) 81 D) 92 E) 78 RESOLUCIÓN 78 = RPTA.: E 31. ¿Cuántos términos hay en la siguiente sucesión? 6 ; 17 ; 34 ; 57 ; … ; 706 A) 15 B) 19 C) 17 D) 21 E) 14 RESOLUCIÓN n 15 3 n 47 n = 15 RPTA.: A 32. En la siguiente sucesión: 17; 32 ; 47; 62; ………..; ¿Cuál es el término mas cercano a 600? A) 597 B) 599 C) 602 D) 607 E) 587 RESOLUCIÓN  600 = 15 n+2 39,86= n n = 40. . RPTA.: C 33. Halle x – y en la siguiente sucesión: 12; - 11; x; - 10; - 14; y ; - 15 A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5 RESOLUCIÓN x = - 13 y = - 9 x – y = - 13 – (-9) = - 4 RPTA.: D 34. Qué número continúa en la siguiente sucesión. 2 , 2 , 2 , 4 , 24, ... Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 36 B) 28 C) 18 D) 24 E) 30 RESOLUCIÓN 5 + 7 + 6 = 18 RPTA.: C 35. ¿Cuál es el número que falta: 2 6 3 8 16 2 10 40 … A) 2 B) 4 C) 1 D) 3 E) 5 RESOLUCIÓN Columna derecha RPTA.: B 36. Escribir el número que falta. 14 7 5 50 2 ….. 8 A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 RESOLUCIÓN Término central RPTA.: E 37. Calcule el número que falta. 18 12 8 32 8 2 28 ….. 7 A) 21 B) 18 C) 14 D) 28 E) 16 RESOLUCIÓN RPTA.: C 38. Escribir el número que falta. 3 9 12 2 6 8 1 7 …. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 RESOLUCIÓN Columna derecha: RPTA.: A 39. Qué número falta. 3 9 9 6 9 3 5 …. 7 A) 6 B) 7 C) 3 D) 9 E) 10 RESOLUCIÓN Término central cifras cifras cifras RPTA.: C 40. Calcule el número que falta. 8 3 1 16 5 9 10 …. 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN Término central RPTA.: D