Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

Escribe estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas. a) Un número más el doble de otro es 12. b) La diferencia de dos números es 25. c) Un número excede a otro en 40. d) La mitad de la suma de dos números es 15. a) x 2y 12 b) x y 25 c) x y 40 d) x 2 y 15 El triple de la suma de dos números es 18. Escribe la ecuación correspondiente y calcula al menos tres posibles soluciones. La ecuación del problema es: (3x y) 18. Si x 1 ⇒ 3(1 y) 18 ⇒ 1 y 6 ⇒ y 5 Si x 2 ⇒ 3(2 y) 18 ⇒ 2 y 6 ⇒ y 4 Si x 3 ⇒ 3(3 y) 18 ⇒ 3 y 6 ⇒ y 3 La diferencia de dos números naturales es 5 y ambos son menores que 12. ¿Qué números pueden ser? Escribe las posibles soluciones en una tabla. x e y son dos números naturales y las condiciones son: x y 5 y x < 12. Las soluciones son: La suma de las edades de dos hermanos es 12 y el doble de la edad de uno menos la del otro es 3. Plantea el sistema de ecuaciones y comprueba si alguna de estas parejas es solución del sistema. x 6, y 6; x 5, y 9; x 5, y 7; La solución correcta es x 5, y x y 12 7. 2x y 3 5.4 5.3 5.2 5.1 x 11 10 9 8 7 6 y 6 5 4 3 2 1 Indica de qué tipo son estos sistemas según el número de soluciones que tienen. a) b) Se comparan los coeficientes de las variables y los términos independientes. a) 1 3 2 6 3 9 ⇒ El sistema es compatible indeterminado porque tiene infinitas soluciones. b) 1 3 2 1 ⇒ El sistema es compatible determinado porque tiene una única solución. Explica las transformaciones que se han hecho en las siguientes ecuaciones para pasar de un sistema a otro. ¿Son sistemas equivalentes? ⇒ Utiliza la regla de la suma para resolver el sistema. La primera ecuación se multiplica por 2, y la segunda, por 3. Estas ecuaciones son equivalentes a las anteriores, puesto que si multiplicamos toda la ecuación por un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la dada. Resolución del sistema: Se suma 2y a la segunda ecuación: 3x 2y 2y 2y ⇒ x 2 3 y Se sustituye en la primera ecuación: 2 2 3 y 3y 13 ⇒ y 3 Se sustituye el valor calculado en la segunda ecuación: 3x 2 3 0 ⇒ x 2 Resuelve los siguientes sistemas sumando o restando ecuaciones. a) b) a) Se suman las dos ecuaciones: 2x 8 ⇒ x 4. Si se sustituye en la primera ecuación: y 2. b) Se restan las dos ecuaciones: 2x 6 ⇒ x 3. Si se sustituye en la primera ecuación: y 1 3 9 . Escribe un sistema equivalente al siguiente: Se multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda por 2. 15x 10y 125 2x 10y 20 3x 2y 25 x 5y 10 5.8 2x 3y 13 4x 3y 7 x y 2 x y 6 5.7 4x 6y 26 9x 6y 0 2x 3y 13 3x 2y 0 5.6 x 2y 4 3x y 5 x 2y 3 0 3x 9 6y 5.5 Resuelve los siguientes sistemas lineales por los tres métodos algebraicos estudiados. a) c) b) d) a) Método de reducción: ⇒ ⇒ Método de igualación: ⇒ ⇒ 2 4 y 7 3y ⇒ 2 y 28 12y ⇒ Método de sustitución: ⇒ ⇒ 13x 13 ⇒ b) Método de reducción: ⇒ ⇒ Método de igualación: ⇒ ⇒ 8 4 y 21 5y ⇒ Método de sustitución: ⇒ ⇒ 19x 19 ⇒ c) Método de reducción: ⇒ ⇒ Método de igualación: ⇒ ⇒ 5 2 y 5 4 3y ⇒ Método de sustitución: ⇒ ⇒ 10x 20 ⇒ d) Método de reducción: ⇒ ⇒ Método de igualación: ⇒ ⇒ 60 9 8y 10 2y ⇒ Método de sustitución: ⇒ ⇒ 5x 20 ⇒ x 4 y 3 y 60 8 9x x 2 60 8 9x 10 3 4 x 2 3 y 5 2 x y 5 y 3 x 4 x 60 9 8y x 10 2y 3 4 x 2 3 y 5 2 x y 5 x 4 y 3 9x 8y 60 4x 8y 40 5x 20 3 4 x 2 3 y 5 2 x y 5 x 2 y 1 y 2x 5 4x 3(2x 5) 5 2x y 5 4x 3y 5 y 1 x 2 x 5 2 y x 5 4 3y 2x y 5 4x 3y 5 x 2 y 1 6x 3y 15 4x 3y 5 10x 20 2x y 5 4x 3y 5 x 1 y 4 y 4x 8 x 5(4x 8) 21 4x y 8 x 5y 21 y 4 x 1 x 8 4 y x 21 5y 4x y 8 x 5y 21 x 1 y 4 20x 5y 40 x 5y 21 19x 19 4x y 8 x 5y 21 x 1 y 2 y (4x 2) x 3(4x 2) 7 4x y 2 x 3y 7 y 2 x 1 x 2 4 y x 7 3y 4x y 2 x 3y 7 x 1 y 2 12x 3y 6 x 3y 7 13x 13 4x y 2 x 3y 7 — 3 4 x— — 2 3 y— 5 —x 2 — y 5 4x y 8 x 5y 21 2x y 5 4x 3y 5 4x y 2 x 3y 7 5.9 Escribe las ecuaciones de los siguientes sistemas de modo que puedas aplicar el método que consideres más conveniente para resolverlos. a) b) a) ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ ⇒ Resuelve gráficamente los siguientes sistemas y después comprueba la solución. a) b) Se hace una tabla de valores para cada ecuación y se representan en un eje de coordenadas. a) y 12 x y x 2 b) y x 2 3 y x Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles, y compruébalo después representando gráficamente cada uno. a) b) a) Es un sistema incompatible, b) Es un sistema compatible determinado, ya que 1 1 1 1 4 7 . ya que 3 1 1 1 8 0 . 1 1 Y X x – y = 0 3x + y = 8 2 O 2 Y O X x + y = 7 x + y = 4 3x y 8 x y 0 x y 4 x y 7 5.12 x5 y 35 3 35 3 15 1 x5 y 35 0 35 3 15 1 1 1 Y O X x + y = 0 x + 2y = 3 x5 y 05 2 25 0 65 4 75 5 x5 y 125 00 005 12 065 60 075 50 2 2 Y O X x + y = 12 x – y = 2 x 2y 3 x y 0 x y 12 x y 2 5.11 y 0 x 2 8x 48y 16 8x y 16 47x 0 2x 12y 4 8x y 16 2(x 3) 4( 3y 1) 14 4( 2x 1) (y 4) 16 x 1 y 1 ⇒⇒ 22x 22 y 7 6 4x 3y 1 18x 3y 21 4x 2 9 8 3y 6x y 7 2(x 3) 4( 3y 1) 14 4( 2x 1) (y 4) 16 2(2x 1) 9 8 3y 6x y 7 5.10 Señala de qué tipo son las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y resuélvelos. a) c) b) d) a) La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. ⇒ ⇒ ⇒ b) La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. ⇒ ⇒ x2 x 5 ⇒ x 0 o x 1 Si x 0 ⇒ y 1, y si x 1 ⇒ y 3 c) La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. ⇒ ⇒ x2 x 5 0 ⇒ x No tiene solución. d) La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. ⇒ ⇒ 4x2 x 5 0 ⇒ x 5 y x 4 Si x 5 ⇒ y 14, y si x 4 ⇒ y 13 Señala de qué tipo son las dos ecuaciones que forman el siguiente sistema. Resuelve el sistema por reducción y comprueba la validez de las soluciones obtenidas. Las dos ecuaciones que forman el sistema son de segundo grado. ⇒ Marta y Anka leyeron el año pasado 20 libros entre las dos. Si Anka leyó el triple de obras que Marta, ¿cuántos libros leyó cada una? Libros leídos por Marta: x Libros leídos por Anka: y ⇒ 4x 20 ⇒ x 5. Por tanto, Marta leyó 5 libros, y Anka, 15. La suma de las superficies de dos salas cuadradas del Museo de Cera es de 1300 m2, y su diferencia es de 500 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones? Dimensiones de las salas: x, y Sistema de ecuaciones: x2 y2 1300 x2 y2 500 Se suman las ecuaciones: 2x2 1800 ⇒ Área de una sala: x2 900 ⇒ Medida del lado: x 30 m Se restan las ecuaciones: 2y2 800 ⇒ Área de la otra sala: y2 400 ⇒ Medida del lado: y 20 m 5.16 x y 20 3x y 5.15 4x2 4 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 y2 4 ⇒ y 2 3x2 y2 1 x2 y2 5 3x2 y2 1 x2 y2 5 5.14 x2 x(1 3x) 5 y 1 3x x2 xy 5 3x y 1 1 1 4 1 5 2 ( x 1)2 2x2 x 6 ⇒ (x 2x 1) ⇒ x2 2x 1 2x2 x 6 2 x(2x 1) 6 y 2x 1 (x y)2 xy 6 2x y 1 ( x 1)2 2x2 x 6 y 2x 1 (x y)2 xy 6 2x y 1 y 1 y 1 x 2, x 2, 4y2 2y2 6 ⇒ y2 1 ⇒ y 1 x 2 x2 xy 6 x 2y x2 xy 6 x 2y 0 x2 xy 5 3x y 1 (x y)2 xy 6 2x y 1 8x y2 2x y 8 x2 xy 6 x 2y 0 5.13 Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. En total tiene 100 habitaciones y 174 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? Se designan por d las habitaciones dobles y por s las habitaciones sencillas. Sistema de ecuaciones: d s 100 ⇒ 2d s 174 Solución del sistema: 26 habitaciones simples y 74 habitaciones dobles En el centro de la plaza de un pueblo han formado con baldosas un rombo de 42 m2 de superficie. Calcula la medida de sus diagonales si sabemos que suman 20 metros. Se llama D a la diagonal mayor y d a la diagonal menor. Para calcular el área de un rombo se halla la mitad del producto de las dos diagonales. ⇒ ⇒ 84 (20 d) d ⇒ d 14 y d 6 El valor de la diagonal menor es d 6, y D 14. El valor d 14 no es válido. R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Los grupos de 4.o A y 4.o B van a ir de excursión en dos autobuses diferentes. Si en el del A suben 3 alumnos del B, los dos autocares llevarán el mismo número de estudiantes. En cambio, si seis alumnos de 4.o A suben al autocar de 4.o B, este tendrá el doble de estudiantes que el otro. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo? Se designa con x al número de alumnos de 4.o A e y al número de alumnos de 4.o B. ⇒ ⇒ 2x 12 x 6 6 ⇒ x 24 e y 30 En el grupo de 4.o A hay 24 alumnos, y en el de 4.o B, 30. Laura ha ido al quiosco y, para pagar, solo lleva monedas de uno y cinco céntimos. a) El periódico cuesta 1 euro, y ella ha reunido el importe exacto con 32 monedas. ¿Cuántas ha entregado de cada tipo? Se llama x al número de monedas de 1 céntimo e y al número de monedas de 5 céntimos. ⇒ ⇒ y 17 y x 15 Laura ha entregado 17 monedas de 5 céntimos y 15 monedas de 1 céntimo. b) ¿Podría pagar también una revista que cuesta 1,20 euros con 32 monedas? ⇒ ⇒ y 22 y x 10 Sí podría pagarla, con 22 monedas de 5 céntimos y 10 monedas de 1 céntimo. 32 y 5y 120 x 32 y 1 x 5 y 120 x y 32 32 y 5y 100 x 32 y 1 x 5 y 100 x y 32 5.20 y x 6 2x 12 y 6 x 3 y 3 2(x 6) y 6 5.19 84 D d D 20 d 42 D 2 d D d 20 5.18 5.17 A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Señala cuáles de los siguientes valores son soluciones de la ecuación 2x 3y 8. a) (2, 3) c) ( 2, 6) e) (3, 7) b) ( 1, 2) d) ( 4, 7) f) (5, 3) a) 2 2 3 3 8 → 4 9 8. No es solución. d) 2 ( 4) 3 ( 7) 8 → 8 21 8. No es solución. b) 2 ( 1) 3 ( 2) 8 → 2 6 8. No es solución. e) 2 3 3 7 8 → 6 21 8. No es solución. c) 2 ( 2) 3 6 8 → 4 18 8. No es solución. f) 2 5 3 ( 3) 8 → 10 9 8. No es solución. Comprueba si x 3, y 2 es solución de alguna de las siguientes ecuaciones: a) 5x 2y 11 b) 3x y 7 c) 6x 4y 2 d) 2x 7y 20 a) 5 ( 3) 2 2 11 → 15 4 11. No es solución. c) 6 ( 3) 4 2 2 → 18 8 2. No es solución. b) 3 ( 3) 1 2 7 → 9 2 7. Sí es solución. d) 2 ( 3) 7 2 20 → 6 14 20. No es solución. Escribe cada uno de estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas y señala a qué hace referencia cada una de las incógnitas. a) El perímetro de un rectángulo mide 54 centímetros. b) El número de camas de un hospital de habitaciones dobles y triples es 256. c) El número de ruedas que hay entre las bicicletas y los triciclos de una tienda es 84. d) En un centro de Secundaria hay 678 personas entre estudiantes y profesores. a) Sea x la longitud de la base e y la longitud de la altura ⇒ 2x 2y 54. b) Sea x el número de habitaciones dobles e y el número de habitaciones triples ⇒ 2x 3y 256. c) Sea x el número de bicicletas e y el número de triciclos ⇒ 2x 3y 84. d) Sea x el número de estudiantes e y el número de profesores ⇒ x y 678. Escribe una ecuación con dos incógnitas asociada a la siguiente tabla de valores: Se pide hallar la ecuación de la recta, y mx n, por la cual pasan todos los puntos anteriores. Se cogen dos cualesquiera de ellos y los obligamos a que verifiquen la ecuación anterior: ⇒ y 2x 3 Señala cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes: a) 4x 2y 6 b) y —4x 2 6— c) 2x y 3 d) 14y 28x 42 0 a y c son equivalentes, ya que si multiplicamos c por 2 obtenemos a. b y d son equivalentes, ya que si multiplicamos b por 7 obtenemos d. Explica razonadamente cuál de estas gráficas representa a la ecuación y 3x 2: a) b) La b, ya que la siguiente tabla de valores verifica la ecuación de la recta y 3x 2: O 1 1 Y O 1 X 1 Y X 5.26 5.25 ⇒ m 2 ⇒ n 3 ( 1, 5) → 5 m n (2, 1) → 1 2m n 5.24 5.23 5.22 5.21 x 1 2 3 0 2 5 4 y 5 1 3 3 7 7 5 x y 0 2 2 3 0 Dadas las siguientes ecuaciones: a) 4x 5y 13 b) 3x 2y 8 Forma la tabla de valores asociada a cada una y encuentra alguna solución común a ambas ecuaciones. La tabla asociada a la ecuación 4x 5y 13 es: La tabla asociada a la ecuación 3x 2y 8 es: La solución del sistema es: x 2; y 1. Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales Indica, sin resolverlos, el número de soluciones de los siguientes sistemas y clasifícalos. a) b) c) d) a) 5 3 7 4 ⇒ Sistema compatible determinado b) 1 3 15 5 12 4 ⇒ Sistema compatible indeterminado c) 3 6 2 1 5 4 ⇒ Sistema incompatible d) 2 1 7 2 ⇒ Sistema incompatible Halla la solución de los siguientes sistemas lineales por el método de sustitución despejando la incógnita cuyo coeficiente es 1. a) b) a) ⇒ b) ⇒ 28 12y y 2 4x 6x 15 5 Solución: y 2 Solución: x 2 x 1 y 1 Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de igualación. a) b) a) ⇒ b) ⇒ ⇒ 8 5y 3y ⇒ 5 3 4y 9 5 2y ⇒ 25 20y 27 6 ⇒ y 1 y x 3 ⇒ y 2 y x 1 x 5 3 4y x 9 5 2y 3x 4y 5 5x 2y 9 x 8 5y x 3y x 5y 8 x 3y 0 3x 4y 5 5x 2y 9 x 5y 8 x 3y 0 5.30 y 2x 5 4x 3(2x 5) 5 2x y 5 4x 3y 5 4(7 3x) y 2 x 7 3y 4x y 2 x 3y 7 2x y 5 4x 3y 5 4x y 2 x 3y 7 5.29 5 6 3 5 —5 6 —x y 7 — 3 5— x 2y 2 6x 2y 5 3x y 4 x 5y 4 3x 15y 12 5x 4y 2 3x 7y 1 5.28 5.27 x y 2 1 3 5 x y 2 1 0 4 Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción. a) b) a) ⇒ 9y 6 b) ⇒ ⇒ y 2 3 y x 1 9 1 ⇒ 18x 36 ⇒ y 2 y x 3 Escribe las ecuaciones de los siguientes sistemas en la forma ax by c y resuélvelos por el método que consideres más conveniente en cada caso. a) c) b) d) a) ⇒ c) ⇒ ⇒ y 6 ⇒ ⇒ x 10 b) ⇒ d) ⇒ ⇒ 8(y 1) 15y 100 ⇒ 23y 92 x 6 e y 4 y 4 y x 5 Resuelve los siguientes sistemas y señala cuáles son equivalentes. a) b) c) d) a) ⇒ c) ⇒ 10x 10 ⇒ x 1 e y 2 17y 34 ⇒ y 2 y x 1 b) ⇒ d) ⇒ 36y 72 ⇒ y 2 y x 1 13y 26 ⇒ y 2 y x 1 a, b y c son equivalentes por tener la misma solución. 3x 12y 27 3x y 1 x 4y 9 3x y 1 7x y 5 7x 35y 77 7x y 5 x 5y 11 5x 2y 1 5x 15y 35 5x 2y 1 x 3y 7 6x 2y 10 4x 2y 0 3x y 5 4x 2y 0 x 4y 9 3x y 1 5x 2y 1 x 3y 7 7x y 5 x 5y 11 3x y 5 4x 2y 0 5.33 2x 3y 0 2x 3y 24 4x 24 3 x 2 y 0 6 x 4 y 2 x y 1 8x 15y 100 x y 1 2 5 x 3 4 y 5 y 1 x 1 12x 8y 4 12x 18y 30 26y 26 6x 4y 2 4x 6y 10 3( 2x 1) 4y 1 4x 2(3y 1) 8 3x 10y 90 3x 25y 180 15y 90 5 x 2 3 y 6 10 x 5 6 y 6 —x 3 — —y 2 — 0 —x 6 — —y 4 — 2 x y 1 —2 5 —x —3 4 —y 5 3( 2x 1) 4y 1 4x 2(3y 1) 8 —x 5 — — 2 3 y— 6 — 10 x— — 5 6 y— 6 5.32 8x 6y 34 10x 6y 2 8x 6y 34 5x 3y 1 3x 7y 1 3x 2y 5 8x 6y 34 5x 3y 1 3x 7y 1 3x 2y 5 5.31 Resolución gráfica de sistemas Cada una de estas tablas está asociada a una ecuación. a) Representa los valores de ambas en los mismos ejes de coordenadas para obtener las rectas correspondientes a cada una. b) Averigua la solución del sistema a partir de la representación gráfica. a) b) La solución es el punto donde se intersecan las dos rectas, es decir: x 1, y 5. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: a) b) La solución es: x 1, y 4. La solución es: x 2, y 2. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente representación gráfica e indica su solución. La ecuación explícita de una recta es: y mx n. La primera recta pasa por los puntos: ⇒ m n 1 ⇒ y x 1 La segunda recta pasa por los puntos: ⇒ Por tanto, el sistema buscado es: y x 1 y 2x 4 2m n 4 ⇒ ⇒ m 2 ⇒ y 2x 4 ( 2, 0) → 0 2m n (0, 4) → 4 n (1, 0) → 0 m n O 1 (0, 1) → 1 n 1 Y X 5.36 1 1 Y 1 O X 1 Y O X 3x 2y 10 5x 6y 22 4x y 0 5x y 9 5.35 1 1 Y O X 5.34 x 1 2 y 1 4 x 3 4 y 3 2 Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles, y compruébalo después representando gráficamente cada uno. a) b) Para ello hemos de buscar si existe proporcionalidad entre los coeficientes y los términos independientes de las ecuaciones de los sistemas: a) 3 6 2 1 2 1 ⇒ Sistema incompatible b) 4 2 1 5 ⇒ Sistema compatible determinado Sistemas de ecuaciones de segundo grado Señala de qué tipo es cada una de las ecuaciones de los siguientes sistemas y resuélvelos por sustitución. a) b) a) La primera ecuación es de 2.o grado, y la segunda es lineal o de 1.er grado. ⇔ ⇒ 3x2 4x(7 5x) 11 ⇒ 17x2 28x 11 0 Se resuelve la ecuación de 2.o grado y sus dos soluciones son: x1 1 1 1 7 x2 1 y1 6 1 4 7 y2 2 b) La primera ecuación es de 2.o grado, y la segunda es lineal o de 1.er grado: ⇔ ⇒ x2 x(5 x) (5 x)2 7 ⇒ x2 5x 6 0 Se resuelve la ecuación de 2.o grado y sus dos soluciones son: x1 3 x2 2 y1 2 y2 3 Resuelve los siguientes sistemas de primero y segundo grado por sustitución. a) b) a) ⇔ ⇒ (500 7y)2 y2 100 ⇒ y2 140y 4998 0 ⇒ No tiene solución real. b) ⇔ ⇒ x2 (8 x)2 x(8 x) 52 ⇒ x2 8x 12 0 Se resuelve la ecuación de 2.o grado y sus dos soluciones son: x1 6 x2 2 y1 2 y2 6 x2 y2 xy 52 y 8 x x2 y2 xy 52 x y 8 x2 y2 100 x 500 7y x2 y2 100 x 7y 500 x2 y2 xy 52 x y 8 x2 y2 100 x 7y 500 5.39 x2 xy y2 7 y 5 x x2 xy y2 7 x y 5 3x2 4xy 11 y 7 5x 3x2 4xy 11 5x y 7 x2 xy y2 7 x y 5 3x2 4xy 11 5x y 7 5.38 1 1 Y 1 O X 1 Y O X 4x 5y 1 2x y 3 3x y 2 6x 2y 1 5.37 Escribe el sistema de ecuaciones asociado a cada una de las siguientes situaciones. a) La suma de dos números es 14 y la suma de los cuadrados de esos números es 100. b) Dos números cuyo producto es 12 y la suma de sus cuadrados es 25. c) Dos números cuya suma es 18, y la de sus inversos, — 4 9 0 — . a) b) c) Resuelve los sistemas de ecuaciones planteados en la actividad anterior y comprueba que las soluciones cumplen las condiciones del enunciado. a) ⇔ ⇒ x2 (14 x)2 100 ⇒ x2 14x 48 0 Se resuelve la ecuación de 2.º grado y sus dos soluciones son: x1 8 x2 6 y1 6 y2 8 Se comprueba: 6 8 14, y 62 82 100. b) ⇔ ⇒ x2 1 x 2 2 25 ⇒ x2 1 x 4 2 4 25 ⇒ x4 25x2 144 0 Se hace el cambio de variable x2 t ⇒ t2 25t 144 0 ⇒ t1 16, y t2 9 Se deshace el cambio de variable t1 16 ⇒ x 4 t2 9 ⇒ x 3 Se sustituye en y 1 x 2 . Las soluciones son: x1 4 x2 4 x3 3 x4 3 y1 3 y2 3 y3 4 y4 4 Se comprueba: 42 32 16 9 25. c) ⇔ ⇒ 40(18 x) 40x 9x(18 x) ⇒ x2 18x 80 0 Se resuelve la ecuación de 2.o grado y sus dos soluciones son: x1 8 x2 10 y1 10 y2 8 Se comprueba: 8 10 18, y 1 8 1 1 0 5 4 0 4 4 9 0 . y 18 x 1 x 1 y 4 9 0 x y 18 1 x 1 y 4 9 0 y 1 x 2 x2 y2 25 x y 12 x2 y2 25 y 14 x x2 y2 100 x y 14 x2 y2 100 5.41 x y 18 1 x 1 y 4 9 0 x y 12 x2 y2 25 x y 14 x2 y2 100 5.40 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) 3x y 5 es equivalente a 6x 2y 10. b) El sistema tiene infinitas soluciones. c) En la representación gráfica del sistema tan solo aparece una recta. a) Verdadera, ya que si multiplicamos por 2 la ecuación 3x y 5, obtenemos la ecuación 6x 2y 10. b) Falsa, ya que 2 5 5 5 1 2 implica que el sistema es incompatible y, por tanto, no tiene solución. c) Verdadera, ya que la 2.a ecuación del sistema se obtiene multiplicando por 3 la 1.a ecuación, y, por tanto, ambas ecuaciones son equivalentes. Observa las dos rectas correspondientes a un sistema de ecuaciones. ¿Cómo han de ser los coeficientes de las incógnitas en ambas ecuaciones? Si las ecuaciones de ambas rectas son , se ha de verificar que a a b b c c para que las rectas sean paralelas como en el dibujo. Dado el sistema: Calcula un valor de a para que el sistema: a) No tenga solución. b) Disponga de infinitas soluciones. c) Tenga una solución. a) 1 a 4 a ⇒ a2 4 ⇒ a 2. Si a 2 y a 2, el sistema es incompatible y, por tanto, no tiene solución. b) 1 a 4 a 7 5 . Por el apartado a es imposible que se verifique la igualdad anterior, y, por tanto, no existe valor de a para el cual el sistema tenga infinitas soluciones. c) 1 a 4 a ⇒ a2 4 ⇒ a 2. Si a 2 y a 2, entonces el sistema tiene una única solución. Las dos gráficas siguientes representan las ecuaciones de un sistema. a) ¿Es un sistema de primero o de segundo grado? Razona tu respuesta. b) ¿Cuáles son las soluciones del sistema? a) Es un sistema de segundo grado, ya que en la gráfica aparece representada una parábola. b) Las soluciones del sistema son los puntos en los que se cruzan las dos funciones representadas: P1 (1, 2), y P2 (4, 5). 1 X Y O 1 5.45 ax 4y 7 x ay 5.44 5 1 X Y O 1 ax by c a x b y c 5.43 x 5y 4 3x 15y 12 2x 5y 1 2x 5y 2 5.42 P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Pedro y María van todos los miércoles de compras al mercadillo. Los dos han comprado en el mismo puesto. María ha adquirido 2 camisetas y un pantalón por un total de 22 euros, y Pedro ha pagado 39 euros por 3 camisetas y 2 pantalones. ¿Cuál es el precio de cada camiseta y de cada pantalón? x precio de una camiseta y precio de un pantalón ⇔ ⇔ ⇔ El precio de cada camiseta es de 5 €, y el de cada pantalón, de 12 €. Un examen final consta de 20 preguntas de elección múltiple. Cada respuesta correcta es puntuada con 3 puntos, y se resta un punto por cada una incorrecta. Un alumno ha respondido a todas las preguntas y ha obtenido 36 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió de manera correcta y cuántas de forma errónea? x n.o de respuestas correctas y n.o de respuestas incorrectas ⇔ Respondió 14 preguntas de manera correcta y 6 de manera incorrecta. Laura se ha fijado en las señales de tráfico que hay en el camino que va desde su casa hasta el polideportivo. Ha comprobado que todas tienen forma de triángulo o cuadrilátero. Si en total hay 9 señales y entre todas reúnen 32 ángulos, ¿cuántas hay de cada tipo? x n.o de triángulos y n.o de cuadriláteros ⇔ ⇔ Hay 4 triángulos y 5 cuadriláteros. x número de euros de la chica y número de euros del chico ⇒ ⇒ ⇒ La chica tiene 16 euros, y el chico, 28. 3x y 20 → 48 y 20 → y 28 2x 32 → x 16 3x y 20 x y 12 3(x 5) y 5 x 6 y 6 5.49 y 5 3x 4y 32 → 3x 20 32 → x 1 3 2 4 3x 3y 27 3x 4y 32 x y 9 3x 4y 32 5.48 x y 20 → 14 y 20 → y 20 14 6 4x 56 → x 5 4 6 14 x y 20 3x y 36 5.47 x 5 → x 5 3x 2y 39 → 3 5 2y 39 → 2y 24 → y 2 2 4 12 4x 2y 44 3x 2y 39 2x y 22 3x 2y 39 5.46 Si yo te diera 5 euros, tú tendrías el triple de dinero del que me quedaría a mí. Si yo te diera 6 euros, ambos tendríamos la misma cantidad de dinero. Una empresa de reciclado de papel mezcla pasta de papel de baja calidad, que compra por 0,25 euros el kilogramo, con pasta de mayor calidad, de 0,40 euros el kilogramo, para conseguir 50 kilogramos de pasta de 0,31 euros el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos utiliza de cada tipo de pasta? x n.o de kg de papel de baja calidad y n.o de kg de papel de mayor calidad ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Utiliza 30 kg de papel de baja calidad y 20 kg del de mayor calidad. Utilizando la regla de la división, averigua el dividendo y el divisor de la misma sabiendo que el cociente es 2; el resto, 7, y que el producto de ambos es igual a 490. (2d 7)d 490 ⇒ 2d2 D 7d 490 0 2d 7 ⇔ ⇒ d 14 D d 490 D 35 d El resultado d 17,5 no es entero, por eso no lo consideramos. Si el largo de un rectángulo fuese 4 centímetros más corto, y el ancho, 3 centímetros más largo, la figura obtenida sería un cuadrado cuya área sería igual que la del rectángulo inicial. ¿Qué área tendría el cuadrado? x longitud del largo del rectángulo y longitud del ancho del rectángulo ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ El área del cuadrado es: (x 4)(y 3) 12 12 144 cm2. La profesora de Tecnología quiere partir un listón de madera de 24 centímetros de longitud en tres trozos para construir una escuadra, de manera que el trozo de mayor longitud mida 13 centímetros. ¿Cuál es la longitud de los otros trozos? Por el teorema de Pitágoras: x2 y2 169 ⇔ ⇔ ⇒ x2 (11 x)2 169 ⇒ ⇒ x2 121 x2 22x 169 ⇒ x2 11x 24 0 ⇒ ⇒ x 11 2 5 Las longitudes de los trozos han de ser 3 y 8 cm. → y1 11 8 3 → y2 11 3 8 x1 11 2 5 8 x2 11 2 5 3 11 1 21 96 2 y 11 x x2 y2 169 x y 11 x2 y2 169 x y 13 24 x2 y2 169 13 cm 5.53 y 9 → y 9 3x 4y 12 → 3x 36 12 → 3x 48 → x 16 3x 3y 21 3x 4y 12 x y 7 3x 4y 12 x y 7 xy xy 3x 4y 12 x 4 y 3 xy (x 4)(y 3) 5.52 14 17,5 QT 7 4 9 4 2 49 0 4 5.51 15y 300 → y 3 1 0 5 0 20 25x 40y 1550 → 25x 800 1550 → 25x 750 → x 30 25x 25y 1250 25x 40y 1550 x y 50 25x 40y 1550 x y 50 0,25x 0,4y 0,31 50 5.50 x edad actual del nieto y edad del nieto hace tres años ⇒ x 3 (x 3)2 ⇒ x 3 x2 6x 9 ⇒ ⇒ x2 7x 6 0 x 7 2 5 x1 6, y x2 1 (no válida) La edad actual del nieto es de 6 años. De un triángulo isósceles sabemos que su perímetro es 36 centímetros y que la altura asociada al lado desigual mide 12 centímetros. Halla la longitud de cada uno de los lados del triángulo. x longitud de los lados iguales, e y longitud del lado desigual Por el teorema de Pitágoras: 122 2 y 2 x2 ⇔ 4x2 y2 576 ⇔ ⇒ 4x2 1296 4x2 144x 576 144x 1872 ⇒ x 13 e y 36 2 13 10 Los dos lados iguales miden 13 cm, y el lado desigual, 10 cm. Una agricultora quiere comprobar cuál es el número de hectáreas de superficie que posee su terreno rectangular de cultivo. Sabe que la distancia máxima existente entre dos puntos del mismo es de 25 decámetros, y que la proporción entre el largo y el ancho es 4 : 3. Si una hectárea equivale a 100 decámetros cuadrados, ¿cuántas hectáreas tiene la superficie? La distancia máxima entre dos puntos del rectángulo corresponderá a la diagonal de este. ⇒ ⇒ 2 9 5 y2 625 ⇒ y2 225 ⇒ y 15 dam x 4 3 15 20 dam Solo consideramos las soluciones positivas. Área 15 · 20 300 dam2 3 hectáreas Con la ayuda de los alumnos de varios centros escolares se están rehabilitando las casas de un pueblo abandonado. Ahora se ocupan de la remodelación de un depósito de 1000 m3 que abastece de agua potable al pueblo. Tiene forma de prisma cuadrangular tal que la altura es el cuadrado del lado de la base menos 6 metros. Calcula la longitud del lado de la base y la altura del depósito. ⇒ ⇒ h2 15h 1000 0 ⇒ h1 25 y h2 40 (solución no válida) La base mide 2 1 0 m, y la altura, 25 m. x2 40 ⇒ x 2 1 0 m R E F U E R Z O Ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas Traduce a ecuaciones los siguientes enunciados. a) La suma de dos números es 10. b) La diferencia de dos números es 10. c) El producto de dos números es 24. a) x y 10 b) x y 10 c) x y 24 5.58 (h 15) h 1000 x2 h 15 x2 h 1000 h x2 15 5.57 1 9 6 y2 y2 625 x 4 3 y x2 y2 252 3x 4y 5.56 y 36 2x 4x2 y2 576 2x y 36 4x2 y2 576 12 cm x y 2 — 5.55 7 4 9 24 2 x 3 y2 x 3 y 5.54 La edad de mi nieto será, dentro de tres años, un cuadrado perfecto, y hace tres años era exactamente la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto. ¿Cuál es la edad actual de mi nieto? Relaciona cada ecuación con una de sus soluciones. Sistemas de ecuaciones lineales Dada la ecuación 3x 4y 5, resuelve los sistemas que forma con cada una de las siguientes: a) 3x 4y 7 b) 3x 4y 3 a) b) Se resuelve por reducción: 8y 2 ⇒ y 1 4 Se resuelve por reducción: 8y 8 ⇒ y 1 x 2 x 1 3 Resuelve los siguientes sistemas explicando en cada caso el método que utilizas. a) b) a) ⇒ ⇒ Método de reducción b) ⇒ ⇒ Método de reducción Escribe las ecuaciones de los siguientes sistemas en la forma ax by c y señala, sin resolverlos, el número de soluciones de cada uno. a) b) c) a) ⇔ ⇔ ⇒ 3 1 2 6 3 4 ⇒ No tiene solución. b) ⇔ ⇔ ⇒ 7 2 3 5 ⇒ Tiene solución única. c) ⇔ ⇔ 1 1 6 6 2 2 x 6y 2 ⇒ Tiene infinitas soluciones. x 6y 2 x 6y 2 2 x 3y 1 7x 5y 2 2x 3y 6 3x 5y 2 4x 2x 6 3y 3x 5y 2(1 2x) 2x 3(2 y) 3x 6y 3 x 2y 4 3x 3 6y x 4 2y 3(x 1) 6y x 2(2 y) x 6y 2 — 2 x— 3y 1 3x 5y 2(1 2x) 2x 3(2 y) 3(x 1) 6y x 2(2 y) 5.62 m 2 t 3 6t 10m 38 6t 12m 6 22m 44 3t 5m 19 2t 4m 2 x 1 y 4 20x 5y 40 x 5y 21 19x 19 4x y 8 x 5y 21 3t 5m 19 2t 4m 2 4x y 8 x 5y 21 5.61 3x 4y 5 3x 4y 3 3x 4y 5 3x 4y 7 5.60 5.59 Ecuación Solución 4x 5y 13 (1, 6) 2x y 2 ( 2, 1) x 7y 22 (3, 4) 8x y 2 (1, 3) Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles, y compruébalo después representando gráficamente cada uno. a) b) 1 1 1 1 ⇒ Sistema compatible determinado 1 2 1 2 6 6 ⇒ Sistema incompatible Sistemas de ecuaciones de segundo grado Resuelve por sustitución el siguiente sistema de primero y segundo grado, y comprueba que la solución obtenida es correcta. ⇒ ⇒ (9 y) y 90 ⇒ 9y y2 90 ⇒ y2 9y 90 0 ⇒ ⇒ y 9 2 21 Solución 1: x1 15 y1 6 Solución 2: x2 6 y2 15 A M P L I A C I Ó N De un rombo se sabe que su área es 120 cm2, y que la proporción existente entre la diagonal mayor y la diagonal menor es 10: 3. Calcula la medida de las diagonales. ⇒ ⇒ La siguiente figura muestra la posición que debe ocupar una escalera de bomberos sobre dos edificios. Calcula la longitud de la escalera y la posición sobre la que debe posarse en la acera. ⇒ 900 x2 400 2500 100x x2 ⇒ 100x 2000 ⇒ x 20 m y2 900 400 1300 ⇒ y 36,06 m La escalera debe medir 36,06 metros y estar situada a 20 metros de la primera casa. y2 302 x2 y2 202 (50 x)2 5.66 D2 800 ⇒ D 20 2 cm d 3 1 2 0 0 2 ⇒ d 6 2 cm D 3 1 D 0 240 d 3 1 D 0 D 2 d 120 3D 10d 5.65 y1 9 2 21 6 → x1 9 6 15 y2 9 2 21 15 → x2 9 15 6 9 8 1 36 0 2 x 9 y xy 90 x y 9 xy 90 x y 9 xy 90 5.64 1 1 Y X O 1 1 Y O X x y 6 2x 2y 6 x y 6 x y 4 5.63 Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando los mismos métodos que con dos ecuaciones. a) b) a) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 15 centímetros, y su área, 108 cm2. ⇒ ⇒ 1082 y4 225y2 ⇒ y4 225y2 11 664 0 Cambio: u y2, u2 y4 u2 225u 11 664 0 ⇒ u 225 2 63 Las soluciones negativas no las consideramos porque las dimensiones de un rectángulo tienen que ser positivas. El rectángulo tendrá por dimensiones 9 12 centímetros. La gráfica muestra una de las ecuaciones de un sistema incompatible. Halla la expresión de las dos ecuaciones del sistema sabiendo que la otra recta pasa por el punto (0, 2). La recta pasa por los puntos de la siguiente tabla: Hallemos la ecuación de dicha recta, cuya ecuación explícita es: y mx n. Por tanto, al sustituir los valores de la anterior tabla en la ecuación obtenemos: n 1 y 0 1m n → m 1 → m 1. Sustituyendo estos valores en la ecuación explícita anterior, obtenemos: y x 1 ⇒ x y 1. Si el sistema debe ser incompatible, es debido a que las rectas que representan a sus ecuaciones son paralelas (no tienen puntos en común), y, por tanto, sus pendientes, es decir, m, han de ser iguales. Además, la otra recta ha de pasar por el punto (0, 2). Por tanto: y mx n con m 1 ⇒ y 1x n ⇒ → 2 n La segunda ecuación del sistema es: y x 2 ⇔ x y 2. Finalmente, el sistema buscado es: x y 1 x y 2 x 0 y 2 O 1 1 Y X 5.69 u 144 ⇒ y 12; x 9 u 81 ⇒ y 9; x 12 QT 225 2 252 4 11 664 2 10 y 8 2 y2 152 x 10 y 8 x2 y2 152 xy 108 5.68 x 1 y 2 z 3 5x 2y z 4 119y 147z 203 45z 135 5x 2y z 4 119y 147z 203 119y 102z 68 5x 2y z 4 17y 21z 29 7y 6z 4 5x 2y z 4 5x 15y 20z 25 5x 5y 5z 0 5x 2y z 4 x 3y 4z 5 x y z 0 x 1 y 2 z 3 2x 2y 2z 12 60y 36z 228 56z 168 2x 2y 2z 12 60y 36z 228 60y 20z 60 2x 2y 2z 12 5y 3z 19 12y 4z 12 2x 2y 2z 12 2x 3y z 7 2x 10y 6z 0 x y z 6 2x 3y z 7 x 5y 3z 0 5x 2y z 4 x 3y 4z 5 x y z 0 x y z 6 2x 3y z 7 x 5y 3z 0 5.67 x y 0 1 1 0 De un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas sabemos que las dos ecuaciones tienen asociadas las siguientes tablas de valores: a) Halla las dos ecuaciones que forman dicho sistema. b) Resuelve el sistema de manera analítica aplicando alguno de los métodos. c) Resuélvelo gráficamente. a) Cada una de las ecuaciones que forman el sistema son de la forma: y mx n. De la primera tabla obtenemos, al sustituir en la ecuación: ⇔ ⇒ y 2x 3 ⇔ 2x y 3 De la segunda tabla obtenemos, al sustituir en la ecuación: ⇔ ⇒ y 1 2 x 1 2 ⇔ x 2y 1 El sistema buscado es: b) Método de reducción: c) ⇒ ⇔ ⇔ Para interpretar y resolver Cinco animales Cecilia quiere estudiar la evolución de las características físicas de cinco especies animales. Por eso ha observado de forma especial a un ejemplar de cada una de ellas. Una de las variables que interesan para el estudio es la masa corporal de cada una a los 18 meses de vida, pero, inexplicablemente, en su libreta solo tiene estos datos. Calcula la masa que tenía el cerdo en esa época. Si se suman todos los valores ofrecidos por la tabla, se obtiene cuatro veces la masa de los cinco animales juntos. Así: Perro Gato Pato Cerdo Cabra 73 4 6 184 Por tanto: Cerdo 184 (Perro Gato) (Pato Cabra) 184 30 69 85 kg 30 27 … 149 2 5.71 4x 2y 6 → 4 1 2y 6 → 2y 2 → y 1 5x 5 → x 5 5 1 4x 2y 6 x 2y 1 2x y 3 x 2y 1 1 Y O 1 X 2x y 3 x 2y 1 1 3m → 1 3 2 1 n → n 1 2 2 4m → m 2 4 1 2 1 3m n 1 m n 7 2m n → 7 2 2 n → n 3 10 5m → m 1 5 0 2 7 2m n 3 3m n 5.70 x y 3 1 1 1 x y 2 7 3 3 Animales Masa conjunta (kg) Animales Masa conjunta (kg) Perro y gato 30 Gato y cerdo 93 Perro y pato 27 Gato y cabra 72 Perro y cerdo 107 Pato y cerdo 90 Perro y cabra 86 Pato y cabra 69 Gato y pato 13 Cerdo y cabra 149 Fábrica de electrodomésticos En una fábrica de electrodomésticos se montan lavadoras y lavavajillas. En ella hay 12 mecánicos que trabajan 7 horas diarias y que están capacitados para componer indistintamente lavadoras o lavavajillas. Observa el tiempo que se tarda en ensamblar cada electrodoméstico. a) Escribe el polinomio que determina el tiempo necesario para montar x lavadoras e y lavavajillas. b) Escribe la ecuación que determina el número de lavadoras y de lavavajillas que se pueden armar en un día. c) Los estudios de mercado muestran que se venden el doble de lavadoras que de lavavajillas. Calcula, en estas condiciones, cuántos electrodomésticos de cada clase se compondrán en un día. a) T 2x 3y b) 2x 3y 12 7 84 c) ⇒ 4y 3y 84 ⇒ y 12 y x 24. Se deberán montar 24 lavadoras y 12 lavavajillas. A U T O E V A L U A C I Ó N Halla dos números cuya suma sea 14, y su diferencia, 8. Sean x e y los dos números ⇔ Los números son 3 y 11. Encuentra la solución del sistema por sustitución. ⇒ 3x 4( 9 5x) 10 ⇒ 3x 36 20x 10 ⇒ ⇒ 23x 46 ⇒ x 4 2 6 3 2 y 9 10 1 Resuelve este sistema por igualación. ⇒ 6 2 6x 20 2 7x ⇒ 2( 6 6x) 2( 20 7x) ⇒ ⇒ 12 12x 40 14x ⇒ 26x 52 ⇒ x 2 5 6 2 2 y 6 2 12 3 Halla la solución de este sistema por reducción. ⇔ 12x 12 → x 1 1 2 2 1 2x 6y 8 → 2 6y 6 → y 1 10x 6y 4 2x 6y 8 5x 3y 2 2x 6y 8 5.A4 y 6 2 6x y 20 2 7x 6x 2y 6 7x 2y 20 5.A3 y 9 5x 3x 4y 10 5x y 9 3x 4y 10 5.A2 x y 14 → 11 y 14 → y 3 2x 22 → x 2 2 2 11 x y 14 x y 8 5.A1 2x 3y 84 x 2y 5.72 Lavadora 2 horas Lavavajillas 3 horas Halla el valor de los coeficientes de la ecuación ax by 3 para que x 1, y 2 y x 1, y 8 sean dos de sus soluciones. ⇔ ⇒ Los coeficientes son: a 5 y b 1. Observa las siguientes representaciones gráficas y señala la solución de cada uno de los sistemas. a) b) a) x 2 e y 3 b) El sistema es incompatible; no tiene solución. Resuelve el siguiente sistema de segundo grado por reducción. ⇒ 2y2 12y 14 ⇒ 2y2 12y 14 0 ⇒ y1 1 e y2 7 Si y1 1 ⇒ x 3 Si y2 7 ⇒ x 23 (no es real). La diagonal de un rectángulo mide 26 centímetros, y el perímetro, 68 centímetros. Halla los lados del rectángulo. Por el teorema de Pitágoras: x2 y2 676 ⇒ ⇒ x2 34x 240 0 La solución es: x1 24 x2 10 y1 20 y2 24 La base mide 24 cm, y la altura, 10 cm (la otra solución válida del sistema corresponde al mismo rectángulo girado 90 ). M A T E T I E M P O S Oro y plata Se sabe que el oro y la plata pierden 5,1% y 9,5 % de su peso al introducirlos en el agua. Nos dicen que una joya de 12 gramos es de oro puro, pero al introducirla en el agua pierde 0,7 grs. ¿Nos han engañado? Sea x la cantidad existente de oro e y la cantidad de plata. El peso de la joya será: x y 12, y la pérdida de peso al introducirla en el agua: 0,051x 0,095y 0,7. Si resolvemos el sistema planteado por sustitución, tenemos: y 12 x. Luego: 0,051x 0,095 (12 x) 0,7 ⇒ 0,051x 1,4 0,095x 0,7 0,044x 0,44 ⇒ x 10 Luego la joya tiene 10 gramos de oro y 2 de plata, lo que indica que no es pura. x2 y2 676 y 34 x x2 y2 676 2x 2y 68 x y 26 cm 5.A8 3x2 2y2 29 3x2 12y 15 3x2 2y2 29 x2 4y 5 5.A7 O 1 1 Y X O 1 1 Y X 5.A6 a 2b 3 → a 2 3 → a 5 6b 6 → b 6 6 1 a 2b 3 a 8b 3 x 1; y 2 x 1; y 8 5.A5