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SERIES Y SUMATORIAS PROBLEMAS CON CLAVES PDF

CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION DEFINICIÓN : Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de dicha adición se le llama suma o valor de la serie. De acuerdo con esto, si la sucesión numérica es : Entonces la serie numérica asociada a ella será : SERIE ARITMÉTICA La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión aritmética de razón constante (Esta clase de sucesiones son llamadas progresiones aritméticas (P. A.)). EJEMPLO ... El profesor de RM le pidió al niño XXXX que sumará las notas obtenidas por sus 20 compañeros en el último simulacro. Las notas son : 16 ;19 ; 22 ; 25 ; ...... ; 73 El profesor se quedó admirado de XXXX porque lo resolvió por 4 métodos diferentes. Observa cómo lo hizo y cuáles son los métodos que utilizó : 1º método Como son 20 términos, se forman 10 parejas, luego : 2º método : invierto el orden de los sumandos De esta última expresión podemos deducir que el valor de la serie se obtiene mediante la fórmula : 3º método Halló la ley de formación de los términos y los ordenó así : 4º método : Utilizó el método combinatorio Ejemplo (1) Calcular la suma de los 120 primeros términos de : 1 ; 2 ; 3 ; - 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; - 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; - 12 ; ... Resolución : Ejemplo (2) Hallar la suma de todos los elementos del siguiente arreglo numérico , si hay 30 filas : Resolución : Ejemplo (3) Calcular la suma de todos los números desde la figura 1 hasta la figura 20. Resolución : Ejemplo (4) ¿Cuántas bolitas hay en la figura 20? Resolución : SERIE GEOMÉTRICAS El Rey de la India, en reconocimiento al ingenioso invento realizado por Lahur Sessa, decidió recompensarlo generosamente, para lo cual mandó llamarlo a Palacio. El invento constaba de un tablero cuadriculado con 8 casilleros por lado (es decir; 64 cuadrados en total) que simulaba un campo de batalla y 32 piezas (16 para cada jugador) que representaban los ejércitos en lucha. -Pide lo que quieras- dijo el rey. -Solicito que se me de 1 grano de trigo por el primer casillero, y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros. El Rey ordenó que se cumpliese su deseo. Al cabo de un tiempo los calculistas del palacio comunicaron al soberano que tal pedido era imposible. Veamos : Una serie geométrica es la adición indicada de los términos de una progresión geométrica. * Sea la serie geométrica : * * En el problema de la historia de el Ajedrez, se tiene la serie. En donde : n = 64 r = 2 La Tierra, convertida de Norte a Sur en un sembrado con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad de trigo. Ejemplo (5) Calcular : S = 1 + 3 + 6 + 12 + ....... + 1536 Ejemplo (6) Cinzia le dijo a Alessandro : "Te voy ha pagar una suma de dinero por el primer cuadrilátero que encuentres de la siguiente figura, y luego te iré duplicadndo dicha suma por cada nuevo cuadrilátero que encuentres". Si Cinzia le pagó 12285 soles en total, ¿cuánto le pagó por el cuarto cuadrilátero? Ejemplo (7) Calcular : Resolución : SERIES NOTABLES A) Suma de los "n" primeros números naturales consecutivos. Ejemplo (8) Calcular : R = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ...... + 1,1 Resolución : Ejemplo (9) Hallar la suma total de todos los elementos del siguiente arreglo : Resolución : Ejemplo (10) Hallar "x" en la siguiente serie : 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + x = 930 Resolución : B) Suma de los "n" primeros números impares consecutivos. Ejemplo (11) Se sabe que : A = 1 + 3 + 5 + ...... + 19 B = 5 + 7 + 9 + 11 + ...... + 21 Hallar : B - A Resolución : Ejemplo (12) Calcular : Resolución : Ejemplo (13) Se tiene el siguiente arreglo numérico : Calcular la suma de todos los términos que hay desde la fila 4 hasta la fila 10. Resolución : C) Suma de cuadrados de los "n" primeros números naturales. Ejemplo (14) Calcular : S = 2 + 3 + 10 + 15 + ...... + 99 Resolución : Ejemplo (15) Calcular el valor de "a", en la siguiente serie : 1 + 4 + 9 + 16 + ...... + a = 2870 Resolución : Ejemplo (16) Hallar el número total de triángulos que hay desde la figura 1 hasta la figura 20. Resolución : D) Suma de los cubos de los "n" primeros números naturales. Ejemplo (17) Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico : Resolución : Ejemplo (18) Si : Calcular : Resolución : Ejemplo (19) Calcular : S = 1,001 + 1,008 + 1,027 + .... + 2 Resolución : E) Suma de los "n" primeros números triangulares consecutivos. Ejemplo (20) Calcular : Resolución : Ejemplo (21) ¿Cuántas bolitas habrá hasta la figura 20? Resolución : SERIES ESPECIALES A) Suma de productos compuestos por factores consecutivos : Ejemplo (1) Resolución : Ejemplo (2) Resolución : Ejemplo (3) Hallar la suma total en el siguiente esquema si hay 20 filas. Resolución : B) Suma de productos compuestos por factores cuya diferencia es constante. Ejemplo (1) Resolución : Ejemplo (2) Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema : Resolución : C) Suma de productos compuestos por factores cuya suma es constante : Ejemplo (1) Resolución : Ejemplo (2) Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema : Resolución : D) Suma de las inversas de los productos compuestos por factores cuya diferencia es constante. Ejemplo (1) Resolución : Ejemplo (2) Resolución : E) Serie geométrica ilimitada : Donde : 0 < |r| < 1 Ejemplo (1) Resolución : Ejemplo (2) Resolución : Ejemplo (3) Resolución : Ejemplo (4) Resolución : SUMATORIAS Consideremos la siguiente sucesión: La suma de los términos de la sucesión será : La expresión en el lado derecho de la igualdad se denomina "sumatoria" y constituye una forma abreviada de escribir la serie dada. Donde : : Notación Sigma. Nos representa la suma de los términos de la forma "" de dicha sucesión. : Nos representa uno de los términos de la sucesión, dependiendo del valor de "i". i : Toma valores desde n hasta m Ejemplo : Representar la siguiente sumatoria : 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 30 Resolución : La sucesión está formada por todos los enteros positivos desde 1 hasta 30. Sea i un entero cualquiera cuyo valor mínimo es 1 (límite inferior) y el valor máximo es 30. (límite superior). Por lo tanto la sucesión indicada la podemos representar como : Ejemplo : Calcular : Resolución : Cada término a sumar es de la forma "2i - 1" donde "i" toma valores 3 ; 4 y 5 Ejemplo : Expresar las sumatorias en forma desarrollada y calcular el valor de la suma : a) b) c) d) Ejemplo : Expresar las sumas usando sumatorias : a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 10 = b) 17 + 18 + 19 + ..... + 40 = c) d) 11 + 17 + 23 + ...... + 191 = PROPIEDADES 1. Número de términos de la sumatoria : Ejemplo : Halle el número de términos de la siguiente sumatoria : 2. Si k es un valor constante : Ejemplo : 3. ai ; bi son términos que dependen de la variable "i" Ejemplo : 4. Sumatoria de una constante. k = cte. Ejemplo : 5. Desdoblando la sumatoria : i = n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 ; ....... ; n + p ; n + p + 1 ; ...... m En cada caso resolver las siguientes sumatorias : a) b) c) d) e) f) g) 01. La suma de 20 números enteros consecutivos es 430. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? a) 830 b) 720 c) 630 d) 820 e) 900 02. Al sumar 61 números naturales consecutivos el resultado da 2745. Hallar el mayor de los sumandos. a) 75 b) 74 c) 73 d) 76 e) 77 03. La suma de todos los números naturales desde "n" hasta "5n" es 1230. Calcular el valor de "n" y dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 0 b) 24 c) 12 d) 32 e) 40 04. Si : Hallar : a) 10 b) 12 c) 7 d) 8 e) 6 05. Calcular el valor de : J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + ...... + 7 a) 2002 b) 2004 c) 2006 d) 1200 e) 802 06. Determinar el valor de la siguiente suma : S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ...... + 18,81 a) 90,28 b) 92,85 c) 98,25 d) 92,28 e) 93,23 07. Calcular el valor de los 100 primeros términos de : 1 , 2 , 3 , -4 , 5 , 6 , 7 , - 8 , 9 , 10 , 11 , - 12 a) 2640 b) 2650 c) 2660 d) 2670 e) 2680 08. Disponga los números naturales en forma adjunta y de enseguida el último término de la fila número 30. a) 465 b) 850 c) 890 d) 910 e) 999 09. Hallar la suma total si hay 20 filas : a) 2870 b) 2780 c) 2875 d) 2872 e) 2880 10. Se arreglan números en forma de "diamante", como se muestra en el diagrama ¿Cuál es la suma de los números en el enésimo diamante? a) b) c) d) e) 11. Dos hermanas : Patty y Paola iniciaron ante la proximidad del verano un régimen de dieta. Patty lo lleva a cabo comiendo 13 duraznos cada día, mientras que Paola la lleva a cabo comiendo 1 durazno el primer día, 2 en el segundo, 3 en el tercero y así sucesivamente, la dieta terminó cuando ambas habían comido la misma cantidad de duraznos. Si la dieta se inició el 15 de noviembre. ¿Qué día terminó? a) 10 de diciembre. b) 11 de diciembre. c) 8 de diciembre. d) 9 de diciembre. e) 12 de diciembre. 12. En una reunión todos los asistentes se saludaron con un apretón de manos, si en total hubo 28 apretones de manos. ¿Cuántos asistieron a la reunión? a) 8 b) 6 c) 9 d) 7 e) 5 13. Por motivos de una fiesta infantil se repartieron un total de 1600 juguetes entre 25 niños, dándole a cada uno 2 juguetes más que al anterior. ¿Cuántos juguetes se les dio a los 15 primeros? a) 800 b) 820 c) 290 d) 810 e) 560 14. Un abuelo tiene 20 nietos y repartió cierta cantidad de caramelos de la siguiente forma: El primero le dio 10, al segundo 12, tercero 14 y así sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelo ha tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 20 caramelos? a) 30 b) 29 c) 31 d) 28 e) 32 15. Hallar la siguiente suma (dar la suma de cifras del resultado) 2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 1295 a) 14 b) 15 c) 20 d) 16 e) 17 16. Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurría el ciclo, él gastaba mayor número de tizas por semana. Así la primera semana gastó 11 tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y así sucesivamente. Si el ciclo duró 38 semanas; y cada caja de tizas traía 15 tizas. ¿Cuántas cajas abrió el profesor durante el ciclo para completar su dictado? a) 121 b) 120 c) 122 d) 119 e) 123 17. Dos hermanas : Karen y Melina, compran cada una el mismo álbum de figuritas. Karen pega en el suyo 1 figurita el primer día, 2 en el segundo día, 3 en el tercero y así sucesivamente y Melina pega 10 figuritas cada día. Si ambas compraron su álbum el mismo día y Melina lo llena el día 16. ¿Cuántas figuritas le faltarán a Karen ese día para completar el suyo? a) 18 b) 24 c) 20 d) 36 e) 56 18. Calcular : a) b) 10 c) 100 d) 1 e) 1000 19. Hallar el valor de : ; si : 1 + 3 + 5 + ..... + (2x + 5) = 900 a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5 20. ¿Cuántas bolitas blancas hay en la figura 20? a) 211 b) 210 c) 209 d) 214 e) 221 21. Hallar las sumas de las áreas de los infinitos círculos así formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior. a) b) c) d) e) 22. Una persona debe recorrer 3275 m y los hace de la siguiente manera, en el primer minuto recorre "a" metros, en el segundo minuto recorre "2a" metros y retrocede 10m, en el tercer minuto recorre "3a"m y retrocede 10m, en el cuarto minuto recorre "4a"m, y retrocede 10m, y así sucesivamente, llegando a la meta en 21 minutos exactamente. Hallar "2a". a)15 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32 23. Hallar la suma total en el siguiente arreglo triangular : a) 15486 b) 15480 c) 15470 d) 15342 e) 15398 24. ¿Cuántos hexágonos regulares se formarán al unir los centros de las circunferencias, tal que en el interior de cada hexágono haya solamente una circunferencia? a) 370 b) 380 c) 378 d) 365 e) 392 25. Luis todos los días visita a uno de sus familiares en orden más cercano. Si la casa del más cercano está a 10m de la casa de Luis y a partir de allí todos se encuentran a 10m de distancia. ¿Cuánto habrá caminado Luis en total después de haber visitado al último de sus familiares, sabiendo que luego de visitar a un familiar siempre retorna a su casa y que sus familiares son 90? a) 920 b) 915 c) 850 d) 900 e) 870 26. Gilder y Lincoln leen una novela de 300 páginas, Gilder lee 100 páginas diarias y Lincoln 10 páginas el primer día, 20 páginas el segundo día, 30 el tercero y así sucesivamente. Después de haber leído cuántas páginas, coincidirán? a) 1950 b) 2000 c) 1900 d) 1850 e) 2100 27. En una huerta hay 30 caballones, cada uno de ellos tiene 16m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14m del extremo de la huerta y da la vuelta el caballón por el surco, el agua que carga cada vez le sirve para pegar un solo caballón. ¿Cuál es la longitud de camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta? Nota : El camino comienza y termina junto al pozo. a) 4 225 m b) 4 325 m c) 4 125 m d) 4 025 m e) 4 200 m 28. Calcular el valor de "S". Si : a) - 3300 b) - 3280 c) 3080 d) - 3380 e) - 3240 29. Una pelota de Ping pong es dejada caer de 24m de altura, y cada vez que rebota se eleva una altura igual a la mitad de la altura anterior. ¿Cuántos metros recorrió la pelota hasta que quedó teóricamente estática? a) 48 m b) 96 m c) 72 m d) 24 m e) 108 m 30. Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico : a) 1 065 b) 1 045 c) 1 035 d) 1 095 e) 1 075 31. Calcular : A + B a) 156 b) 150 c) 155 d) 160 e) 152 32. Sabiendo que : Hallar : a) 1 640 b) 121 c) 110 d) 90 e) 131 33. Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico : a) 44100 b) 42400 c) 44400 d) 4300 e) 4540 34. Hallar la suma de : Para : x = (n - 2) a) n(2n - 1) b) 2n(n - 1) c) 2n(2n - 2) d) n(2n - 3) e) 35. Un micro parte con 10 pasajeros, en el primer paradero suben 4 y bajan 2, en el siguiente suben 8 y bajan 3, en el siguiente suben 12 y bajan 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos bajaron en el paradero central de su recorrido, si finaliza con 561 a bordo? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 36. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numérico. a) 3225 b) 2525 c) 3025 d) 1515 e) 4225 37. Hallar la suma total del siguiente arreglo, si tiene 10 filas : a) 723 b) 726 c) 710 d) 720 e) 724 38. El primer día de trabajo gané S/. 3; el segundo día gané S/. 7; el tercer día gané S/. 13; el cuarto día gané S/. 21 y así sucesivamente. Si trabajé 20 días, ¿cuánto gané el último día? a) 441 b) 421 c) 560 d) 380 e) 420 39. Calcular la suma de los infinitos términos dados : a) b) c) d) e) 40. Si x > 3; calcular el valor de la siguiente serie : a) b) c) d) e) 41. Calcular la suma de todos los términos del siguiente arreglo : a) 4 960 b) 4 980 c) 4 900 d) 4 700 e) 4 500 42. Calcular el valor de "E". Si : a) b) c) d) e) 43. La suma de la última fila del arreglo : Es igual a 2380, ¿cuántas filas tiene el arreglo? a) 35 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41 44. Hallar el valor de la siguiente serie : a) 610 b) 609 c) 605 d) 606 e) 607 45.Calcular : a) 3,8 b) 4,5 c) 3,5 d) 2,5 e) 2,6 46. Calcular R en : a) b) c) d) e) 47. Calcular el valor de : a) b) c) d) e) 48. Hallar el área del triángulo, si todos los cortes son homogéneos. a) b) c) d) e) 49. Calcular : S a) 1 290 b) 1 330 c) 1 020 d) 1 390 e) 1 225 50. Anita una esforzada atleta realiza su entrenamiento el cual se encuentra en el punto A y se dirige hacia el punto B, recorriendo de la distancia que la separa de B y marca ahí el punto C. Luego se dirige hacia A, recorriendo de la distancia que la separa de A, y marca el punto D. Después se dirige hacia C recorriendo de la distancia que la separa de C y marca el punto E y así sucesivamente. ¿A qué distancia de B se encontrará al cabo de "x" años? a) 250m b) 140m c) 240m d) 160m e) 200m 51. Reducir : a) b) c) d) 2 e) 52. Un atleta se dispone de entrenar en el circuito mostrado empleando 10 segundos para ir de un círculo a otro (en sentido horario), pero cada vez que completa media vuelta descansa un tiempo mayor en 10 segundos al que viene empleando para ir de un círculo a otro. Luego continúa y para ir de un círculo a otro emplea el tiempo que descansa. ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido hasta terminar un descanso que duró 410 segundos? a) 41400 seg b) 41000 seg c) 42600 seg d) 43500 seg e) 461000 seg 53. Calcular la suma de todos los términos unidos por la línea demarcada hasta la fila 20. a) 1540 b) 1620 c) 1520 d) 1740 e) 1850 54. Calcular : S a) b) c) d) e) 55. Si : Calcular : a) b) c) d) e) 56. Dados : Hallar : a) b) c) d) e) 57. Calcular el valor de la siguiente serie : a) 13780 b) 11780 c) 12780 d) 14790 e) 15780 58. Hallar "S" a) 0,1 b) 0,7 c) 0,6 d) 1,9 e) 0,9 59. En el siguiente arreglo triángulo calcular la suma de los términos de a) 804470 b) 804670 c) 846470 d) 805070 e) 804600 60. Calcular "S" a) b) c) d) e)