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SERIES TRIGONOMÉTRICAS , DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI PDF

SERIES TRIGONOMÉTRICAS Se llama serie a toda sumatoria de senos o cosenos con ángulos en progresión aritmética; siendo las principales series las siguientes : 1. Serie de Senos : S = Senx1 + Senx2 + .......... + Senxn CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

  2. Serie de Cosenos S = Cosx1 + Cosx2 + .......... + Cosxn   donde : n : Número de términos r : Razón x1 : 1er ángulo xn : Último ángulo 3. Serie especial de Cosenos   PRODUCTOS ESPECIALES Aplicaciones 1. Simplificar la serie : S = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x + Sen9x ➯ S = func { { Sen left ( { 5 ``.`` 2x} over 2 right)} over {Sen left ({ 2x } over 2 right)} ``.`` Sen {left ({ x ``+`` 9x} over 2 right)}} ∴ S = Sen25xCscx 2. Simplificar la serie : S = Cosx + Cos3x + Cos5x + Cos7x + Cos9x ➯ S = func { { Sen left ( { 5 ``.`` 2x} over 2 right)} over {Sen left ({ 2x } over 2 right)} ``.`` Cos {left ({ x ``+`` 9x} over 2 right)}} S = func { 1 over 2}Sen10x.Cscx FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIABLE REAL Una función trigonométrica es aquella función donde sus pares ordenados son de la forma (x; y) tal que y = F.T(x) (regla de correspondencia) Es decir : F = {(x; y) / x ; y ∈ ℝ; y = F.T(x)} Ejemplo : Si : y = Senx   DOMINIO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Es el conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable “x” (en radianes), de tal manera que la función exista. Ejemplos : Hallar el dominio de las siguientes funciones: i. y = Senx ii. y = Ctgx iii. y = Secx - Cscx Resolución : i. y = Senx Ubicamos los “x” en C.T. Se observa que existe los Senx ∀ x ∈ ℝ ⇒ DomF = ℝ o también -∞ < x < +∞ ii. y = Ctgx Sabemos que y = es fracción existe si el denominador : Senx ≠ 0 ⇒ x ≠ 0; π; 2π; ....... es decir x ≠ nπ / n ∈ Z ∴ DomF = ℝ - nπ / n ∈ Z iii. y = Secx - Cscx Sabemos que y =func { 1 over Cosx ``-`` 1 over Senx} esta función existe si Cosx ≠ 0 ∧ Senx ≠ 0 es decir : x ≠ func { pi over 2 ; ~{ 3 pi} over 2; ~{ 5 pi} over 2}; ...........; x ≠ 0; π; 2π; ........... Ordenando : x ≠ 0; func { pi over 2 ; ~pi ; ~{ 3 pi} over 2; ~2pi}; .................. x ≠ 0 ; func { pi over 2 ; ~{ 2 pi} over 2; ~{ 3 pi} over 2; ~{ 4 pi} over 2} ; ............. ∴ x ≠func { { n pi }over 2 } / n ∈ Z ∴ DomF = ℝ - func { { n pi }over 2 } / n ∈ Z A continuación se indica el dominio de las funciones trigonométricas elementales: 1) y = Senx Dominio : ℝ o -∞ < x < +∞ 2) y = Cosx Dominio : ℝ o -∞ < x < +∞ 3) y = Tgx Dominio : ℝ - (2n + 1)func { pi over 2} / n ∈ Z 4) y = Ctgx Dominio : ℝ - nπ / n ∈ Z 5) y = Secx Dominio : ℝ - (2n + 1)func { pi over 2} / n ∈ Z 6) y = Cscx Dominio : ℝ - nπ / n ∈ Z RANGO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Es el conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable “y” tal que y = F.T(x) NOTA : Los criterios que se tiene para calcular el rango de una función trigonométrica es dependiendo de la forma y tomando en cuenta los criterios de las funciones reales. Ejemplos : Hallar el rango de las siguientes funciones : i. y = Senx ii. y = 2Senx + 3 iii. y = 3Senx + 4Cosx + 1 Resolución : i) y = Senx Sabemos que la extensión de : -1 ≤ Senx ≤ 1 ; ∀ x ∈ ℝ ⇒ -1 ≤ y ≤ 1 ∴ RanF = [-1; 1] ii) y = 2Senx + 3 Se sabe que : -1 ≤ Senx ≤ 1 ∀ x ∈ ℝ Formando la función : -2 ≤ 2Senx ≤ 2 1 ≤ 2Senx + 3 ≤ 5 ⇒ 1 ≤ y ≤ 5 ∴ RanF = [1; 5] iii) y = 3Senx + 4Cosx Se sabe que :   Propiedad de ángulos compuestos ⇒ -5 ≤ 3Senx + 4Cosx ≤ 5 ⇒ -4 ≤ 3Senx + 4Cosx + 1 ≤ 6 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6 ∴ RanF = [-4; 6] En el cuadro adjunto se muestra el rango de algunas funciones elementales: Si n es par positivo 0 ≤ Sennx ≤ 1 0 ≤ Cosnx ≤ 1 0 ≤ Tgnx < +∞ 0 ≤ Ctgnx < +∞ 1 ≤ Secnx < +∞ 1 ≤ Cscnx < +∞ Si n es impar positivo -1 ≤ Sennx ≤ 1 -1 ≤ Cosnx ≤ 1 -∞ < Tgnx < +∞ -∞ < Ctgnx < +∞ Secnx ≤ -1 ∨ Secnx ≥ 1 Cscnx ≤ -1 ∨ Cscnx ≥ 1