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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS - TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

Teorema de senos y cosenos












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1. Ley de Senos En todo triángulo la longitud de cada lado es D.P. al seno del ángulo que se opone al respectivo lado. Sea “S” el Area del ABC S = S = Igualando áreas: , luego: COROLARIO DEL TEOREMA DE SENOS TBA : Sen A = R = Circunradio * Observaciones: a = 2RSenA, b = 2RSenB, c = 2RSenC 2. Ley de Cosenos a² = b² + c² - 2bc CosA b² = a² + c² - 2ac CosB c² = a² + b² - 2ab CosC Observaciones: CosA = , CosB = , CosC = 3. Ley de Tangentes 4. Ley de Proyecciones a = bCosC + c CosB b = aCosC + c CosA c = aCosB + b CosA * Funciones Trigonométricas de los semiángulos de un  en función de los lados: Sabemos: 2Sen² = 1 – CosA 2Sen² = 1 - = Sen² = Perímetro 2p = a + b + c 2p – 2c = a + b + c – 2c  2 (p-c)  a + b – c También 2(p-b) = a – b + c Luego: Sen² = Por analogía:  Sen = ; Sen = ; Sen = También: Cos = ; Cos ; Cos Tg = ; Tg ; Tg Área de la Región Triángular Donde : R = Circunradio r = Inradio p = Semiperimetro Bisectriz Interior: Bisectriz Exterior: Inradio: Exradio: EJERCICIOS 1. Hallar “ x” si : Ctg θ = a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) 42 2. En un triángulo ABC ; B = 60° ; b = ; y c = 3 + . Hallar el ángulo A a) 25° b) 30° c) 45° d) 15° e) 20° 3. Si los lados b y c de un triángulo miden 31 cm. y cm. respectivamente y el ángulo A = 45°. Hallar el lado “a”. a) 20° b) 15° c) 28° d) 30° e) 25° 4. El Coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y consecutivos es iguales a 1 /5. Hallar el perímetro del triángulo. a) 15 b) 20 c) 18 d) 21 e) 24 5 En un triángulo ABC simplificar: M = a) b + c b) a + c c) 1 d) 2 e) a  c 6. En un triángulo de lados : x ; x + 3 y ( x  4 ) el ángulo medio mide 60°. Hallar “ x “ a) 25 b) 28 c) 30 d) 37 e) 42 7. En un triángulo ABC se sabe que : ; y . Calcular el valor del lado a. a) 42 b) 52 c) 56 d) 62 e) 64 8. Hallar : E = a) 9 /10| b) 9 /20 c) 10 /9 d) 19/20 e) 10 /19 9. En un triángulo ABC se cumple : Hallar el valor del ángulo “A” a) 80 b) 45 c) 70 d) 30 e) 60 10. En un triángulo ABC se cumple : Hallar E = TagA a) 1 b) c) d) e) 11. En la figura ABCD es un cuadrado; M y N son puntos medios. Hallar “Sec x” a) b) c) d) e) 12. Hallar el perímetro de un triángulo si los lados son tres números consecutivos y además de los ángulos miden 30° y 37° respectivamente. a) 12 b) 14 c ) 16 d) 18 e) 20 13. En un triángulo ABC se tiene que : , , mA = 37°y el radio inscrito r = 0.9 . Hallar el lado a. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 14. En la figura si .Hallar a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. En un triángulo ABC se cumple que: abc = 16 y Calcular el circunradio de dicho triángulo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Los lados de un triángulo son 3 ; 5 y 7 respectivamente; se traza la bisectriz relativa al lado mayor. Hallar la longitud de esta bisectriz sabiendo que la proyección de esta sobre el lado menor es 2. a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 17. En un triángulo ABC se cumple. Hallar E = bc CosA + ac CosB + ab CosC a) 10 b) 20 c) 5 d) 15 e)15 /2 18. En un triángulo ABC ; C = 60° y a = 3b . Hallar E = Tag ( A  B ) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1. En un triángulo ABC, si: A = 60°; . Halle el lado “a” A) 7 B) 10 C) 13 D) 14 E) 20 2. Los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3;5 y 7. Siendo “ ” la medida de su menor ángulo interno; halle . A) B) C) D) E) 3. En un triángulo ABC, la expresión: es equivalente a: A) tg B B) ctg B C) 1 D) 2 E) 1/2 4. En un triángulo ABC, se conoce que: B = 45°; b = 2 y . Indicar la medida del ángulo C. A) sólo 30° B) sólo 45º C) sólo 60° D) 30° ó 150° E) 60° ó 120° 5. En un triángulo ABC, se conoce que: A = 120°, b = 7 cm y c = 8 cm. Halle la longitud del lado a. A) 13 m B) 130 m C) 1,3 m D) 0,13 m E) 0,013 m 6. En un triángulo ABC de lados AB=c; AC = b; BC =a Determine: A) B) C) D) E) 7. Halle la medida del ángulo B de un triangulo ABC cuyos lados a, b, y c cumplen la relación: A) 30° B) 45° C) 60° D) 120° E) 150° 8. En un triangulo ABC de lados BC = a, AC = b, AB = c Se cumple: (a+b+c)(a+ b - c)= Calcule: A) B) C) D) E) 9. Siendo P el semiperimetro de un triangulo ABC, indicar el equivalente reducido de: A) p B) 2 p C) D) E) 4p 10. En un triangulo ABC, reduce: A) 1 B) -1 C) -2 D) 2 E) - 11. En un triangulo ABC se cumple: Luego su ángulo “A” mide: A) 120° B) 127° C) 143° D) 135° E) 150° 12. En un triángulo uno de sus lados mide 20 cm y los ángulos internos adyacentes con él miden 16° y 37°. Halle su perímetro. A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm D) 44 cm E) 50 cm 13. En un triángulo ABC, simplifique la expresión: A) b cos (B-C) B) a cos (B-C) C) c cos (B-C) D) a sen (B-C) E) b sen (B-C) 14. Halle “x” en la figura: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 15. En un triángulo ABC reduce: A) 3 B) a + b + c C) 3 (a + b + c) D) abc E) 3abc 16. En un triángulo ABC, simplifique la expresión: Siendo p el semiperimetro de dicho triángulo A) p B) 2p C) D) p/4 E) 4p 17. En un triángulo ABC, determine el valor de x para que verifique la siguiente expresión: A) B) C) D) E) 18. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b, AB = c Simplifique: A) B) C) D) E) 19. En un triángulo ABC (AB = c, AC = b, BC = a), si b = 3a, , calcule el valor de: A) B) C) D) E) 20. En un triángulo ABC, si: A + B = 72° A - B =36° Halle: A) B) C)1 D) 5 E) 21. En un triángulo ABC, BC = a, AB = c, AB = c si Halle la medida del ángulo agudo C. A) 90° B) 60° C) 45° D) 30° E) 15° 22. En un triángulo ABC (BC = a; AC = b, AB = c) inscrito en una circunferencia de radio R, se cumple , además