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REPARTO PROPORCIONAL Y REGLA DE COMPAÑIA PROBLEMAS RESUELTOS PDF









l. Diariamente se reparte entre 2 obreros S/. 52.80. de acuerdo a sus rendimientos. Cierto día el primero recibió S/. 28.80 Y al siguiente día disminuyó su eficiencia en un 25%. en cambio el 2° la aumento en un 50% ¿Cuál será la diferencia de lo que recibían ahora? CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

2. Tres obreros se han repartido una gratificación en forma O.P. a sus sueldos que ascienden a SI . 400 , SI. 700: pero después de hacerlo decidieron que sean en partes iguales, para lo cual el 3° entrego SI . 100 al 2° Y este entrego SI. X al l° hallar x. a) SI. 100 b) 5/ . 24 e) SI. 52 d) SI. 16 e) SI. 80 3. Dividir 1520 en 3 sumandos cuyos cuadrados s ean DP a las raíces cúbicas en 24,375 Y 1029 e IP 'a 2/95/36 Y 7 I 100 ¿cuál es la parte menor? a) 240 b) 480 e) 280 d) 320 el 190 •. Cuatro agricultores A,B,C y D deciden cultivar en conjunto sus terrenos que son 7 ,8,9 y 11 hectáreas respectivamente para concluir más rápido contratan a 2 obreros los cuales reciben al finalizar el trabaj o SI. 210 clu ¿cuánto pago el agricultor D si los 6 tiene el mismo rendimiento? . a} SI. 180 b) SI. 176 c) SI. 178 d) SI . 186 e) SI. 196 5. N hermanos deciden repartirse una herencia en razón directa al cuadrado del orden en que nacieron. Si el 2° al penúltimo recibieron entre todos 54/91 de la herencia, hallar N. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 6. Una pareja de esposos: donde el esposo es el mayor. reparten su herencia a sus 3 hijos. del mayor al menor en forma DP al producto. suma y diferencia de las edades de los esposos respectivamente. Si el reparto se hiciera en razón directa a las edades de los hijos. el mayor recibiría solo la mitad de lo que recibió. Sabiendo que la suma de las edades de los 3 hijos excede en 2 años a la edad de la madre. esta ¿cuántas veces la edad el hijo mayor tiene? a) 3 b) 1.5 c) 2 d) 1.8 e) 1.6 7. Se divide cierta cantidad N en forma O.P. a 1.2.3 ....... 12 de modo que la mayor de las partes esta comprendida entre 5/32 y 3/16 ¿en cuántas partes como máximo se dividió N? a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11 8. El sefior Ornar Martínez inició un negocio con $ 5000. el 13 de setiembre del año 2001. necesitando más capital acepto como socios a sus hermanos Cesar. Renzo y Renato en fechas diferentes. Sus hermanos aportaron $ 7500. $ 10000 Y $ 15000 respectivamente a los 12 meses de constituida la empresa se reparten la utilidad obtenida en partes iguales. ¿cuántos meses antes del reparto ingresaron sucesivamente Cesar. Renzo y Renato? a) 7.5 Y 2 b) 8.6 Y 4 c) 9 .6 y 3 d) 10.8 Y 5 e) 7.6 y 5 9. Una sociedad comercial ha emitido 1000 acciones de $100 c/u y tiempo después ha obtenido dividendos por 750000 dólares. La empresa toma de esto el 20% para el fondo de reserva y reparte el resto entre los poseedores de las acciones los cuales son A (lOO acciones). B (80 acciones). e (54 acciones) y D (el resto) ¿cuánto recibe A de utilidad? . a) $ 52000 d) $ 60000 b) $ 58000 e) $ 75000 e) $ 70000 10. Hallar los índices de proporcionalidad de los tiempos de imposición de 3 capitales. si ello es el doble del 2°. Y el tercero triple capital que el 2°. Las utilidades correspondientes fueron $ 1000. $ 8000 Y $ 3300. a) 6.9 Y 11 d) 4.7 Y 9 b) 5.8 Y 11 e) 8.9y 11 3.4 AUTOEVALUACIÓN e) 7.9 Y 12 1. 3 hermanos A.B y e se reparten una herencia de 330 millones de soles en razón inversa a sus edades. A con 30 años recibió 88 millones pero renunció a ellos y los repartió entre B yC en forma D.P. a sus edades. De estos 88. B recibió 8- mas que C. Hallar la diferencia de edades entre By C. a) 7 b) 5 e) 4 d) 3 e) 2 2. 2 pastores llevan 5 y 3 panes respectivamente y se encuentran con un cazador hambriento con el cual comparten por igual el aumento. El cazador agradecido les regala SI. 8. admitiendo un reparto justo ¿cuánto debe corresponder a c/u? a) 5 Y 3 b) 7 Y 1 e) 6 Y 2 d) 4y 4 e) 3 Y 5 3. Tres obreros A. B Y e pueden hacer una obra en 15 días, 20 días y 30 días respectivrunente. empiezan la obra juntos y a los 2 días se retira A. 3 días después se retira B, terminando la obra e solo. Si por toda la obra reciben N soles ¿qué parte de N recibe A?'. al 2/9 bl2/15 el 1/15 d) 1/7 e) 3/20 4. · Un señor muere y deja SI. 312000 de herencia y su esposa en estado. En el testamento ha dispuesto que si nace varón, la esposa recibirá 2/3 de lo que recibe el niño, y si es una niña, esta recibirá 7/5 de 10 que reciba la madre. Sucede que dio a luz mellizos, hombre y mujer; cumpliendo siempre la voluntad del padre, la madre debe recibir: a) $ 62000 d) $ 120000 b) $ 75000 e) $ 80000 el $ 90000 5. Se reparte S/. N entre 3 personas en forma DP a 4,5 y 6 pero luego se recibe que el reparto se haga DP a 5,6 y 7 para que esto se cumpla de la manera mas sencilla uno de ellos debe entregar a otro de ellos. a) N/35 b)N/90 el N/18 d) N/15 e) N/60 6. Se reparte K soles entre 3 personas en forma O.P. a sus edades que son 3 numeros consecutivos, pero si el reparto se hiciera un año más tarde uno de ellos recibe siempre S/. 22000, luego el valor de K es: al 88000 b)6000 e) 44000 d) 1110000 e) 222000 7. 2 agricultores A y B contratan un obrero y entre los 3 cultivan sus terrenos que son de 13 y 5 hectáreas respectivaIllente. El obrero cobra S/. 50 por hectárea que el cultive. El agricultor A rinde 150% mas que B y este rinde igual que el obrero. Al finalizar la obra cada agricultor paga una misma suma al obrero, pero sacando su cuenta,' el agricultor B le pide S/. X al agricultor A, entonces X es: a) 50 b)60 c) 20 d) 40 e) 10 8. N hermanos se reparten una herencia en razón directa al cuadrado del · orden en que nacieron. Calcular N sabiendo que el último de los hermanos recibe 1/22 menos que la mitad de la herencia. a) 8 b) 7 e) 5 d) 6 e) 12 9. 4 hermanos reciben un dinero de su padre para que repartan según su aplicación en los estudios. Los 4 ya terminaron su carrera, en 4,5,6 y 8 años, con promedios generales de 12, 11, 15 Y 10 respectivaIllente. Las dificultades de las carreras son entre si como 1,1.2,1.5 y 2 respectivaIllente. Empleando proporcionalidad simple, directa o inversa, según sea el caso, con cada aspecto ¿qué parte del total debe recibir el mas aplicado? a) 275/1189 d) 375/1189 b) 300/1189 e) 250/1189 c) 264/1819 10. Tres obreros A. B Y C han hecho una obra y reciben SI. N por ella, haciendo un reparto Justo el mas eficiente recibió S/ .50 menos que lo que le tocaría si es que hace la mitad de la obra el solo. Se sabe que si cada uno trabaja solo emplearían 2.3 y 5 días respectivamente. El valor de N es: a) SI. 3100 d) 5/.6100 b)S/·2800 e) 5/.6200 c) 5/.4250 11. Una persona deja 111 millones de soles para que se repartan entr-e 2 sobrinos. 3 sobrinas y 5 primos. de tal manera que la parte de cada primo sea % de lo que toca a cada sobrina y la parte de cada sobrina sea 4/5 de lo que toda a cada sobrino. ¿cuánto corresponde a cada sobrino? a) 12- b) 10- c) 18" d) 15- e) 13.5- 12. Dividir 72 en forma IP a las raíces cuadradas de 0.09 y 2.25. la diferencia de las partes es: a) 48 b) 17 c) 36 d)24 e) 31 13. Un padre deja una herencia para que sus tres hijos se la repartan en forma DP a sus edades que son tres números consecutivos. pero uno de los hijos retrasó el reparto un afio porque así le correspondió $ 1800 más. ¿Cuántos afios tenía este hijo al morir el padre? el hijo al que no le importa el retraso recibió $ 3900000. a) 24 d) 27 b)25 e) 28 c) 26 14. Cierto empresario constituyo una empresa con N millones de soles. pero necesitando mas dinero se asocio con otros tres en diferentes épocas. los cuales aportaron 5N. 4N Y 3N millones de soles. Al cabo de K meses de constituida la empresa todos reciben igual utilidad ¿Al cabo de cuántos meses de iniciada la empresa ingreso el último socio que acepto el empresario? a) K/5 b) 2K/3 c) 4K/5 d)3k/4 e) 5K/8 15. Para la ejecución de cierta obra. se asocian A.a.C. A aporta SI. 46440. a aporta SI. 42060. a se encarga de la dirección de los trabajos y debe recibir por esto el 11.5% de los beneficios obtenidos. independientemente de lo que le corresponde por. su capital aportado. En el reparto de beneficios A recibió SI . 140 Y C SI. 7375 ¿Cuál es la suma en soles de lo que recibió B entre utilidad y pago por dirigir la obra? a) 9885 d) 11470 b)4250 e) 10500 e) 8320 16. Dos comerciantes entran en una sociedad durante 15 V2 meses ellO contribuye con SI . 35750 durante 1 año 2 meses 15 días y el 2° con SI. 22150 durante 7 meses y 15 días. Al disolverse la sociedad se ha obtenido una utilidad de SI. 21750. Determinar cuanto corresponde al primero. teniendo en cuenta que al 2° le deben pagar el 4$ de la utilidad total por cada mes de trabajo que efectuó mientras no impuso capital alguno. a) 12500.80 d) 9206.28 b) 11500.54 e) 10901 c) 10549.46 17. Dos personas A y a se une para formar un negocio aportando $ 400 Y $ 700 respectivamente. 4 meses después entra C con $ 500 ¿Cuántos meses después de iniciado el negocio entro O s1 aporto $ 800 Y del beneficio anual que fue ~ 8760. A recibió $ 2040?'. a) 6 b) 8 e) 7 d) 5 e) 4 18. A. B Y C forman una empresa con $ 35000 siendo sus aportes como 1.2 y 4 respectivamente; a los 8 meses. B duplica su aportación y un mes después se retira C; transcurren 3 meses más y el socio C recibió una parte de la utilidad neta repartida ¿Qué parte fue esta? a) 1/3 b)5/8 e) %. d) 9/20 e) 7/11 19. Un inversionista constituye un negocio con $ A Y cada mes va aceptando un socio los cuales aportan igual capital que el. Al repartir la utilidad obtenida. cuando el último que ingreso tenía 1 mes. el inversionista recibió 20% de la utilidad ¿Cuántos fueron los socios? a) 10 b)9 e) 8 d)7 e) 5 20. Cuatro capitalistas invierten capitales en proporción a 1.2.3 y 4 siendo los tiempos de imposición IP a dichos capitales elevados al cuadrado ¿Qué porcentaje de la utilidad recibió el que permaneció todo el tiempo de gestión? a) 24% b) 9% e) 16% d) 48% e) 50% Reparto Proporcional y Regla de Compañía Eudoxo de Cnido (408 a.c.- 355 a.c.). fue un discípulo de Platón, quien llego a Atenas siendo muy pobre. Para aliviar su bolsillo se hospedaba en el Pireo junto al mar y todos los días recorría a pie el camino a Atenas. Pero su capacidad para la astronomía y las matemáticas 10 condujo a una situación de preeminencia. Viajó y estudió en Egipto, Italia y Sicilia. Eudoxo regreso a Atenas a la edad de 40 años. Asimismo fue el matemático mas importante de la época Helénica, pero todas sus obras se han perdido. Dio una definición nueva y universalmente aceptada de la igualdad de dos razones, descubriendo así la teoría de las proporciones que figura en el Libro V de los Elementos de Euclides, definición 5: "Se dice que dos magnitudes están en la misma razón, la primera a la segunda y la tercera a la cuarta, cuando, tomados cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera y cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, entonces los primeros equimúltiplos ambos exceden, son iguales o son menores que los segundos equimúltiplos, tomados en el orden correspondiente" . Esta definición de Eudoxo sirvió para crear métodos y poder hacer frente al problema de lo inconmensurable, quedando así resuelta una de las mas grandes crisis que sufrieron los griegos. Por otro lado también cabe mencionar. que muchos de los problemas que figuran en el Papiro de Arnhes muestran un conocimiento de proporciones equivalentes. que actualmente conocemos como regla de tres. 1. En el Papiro de Ahmes figura el siguiente problema: Repártanse 100 hogazas de pan entre cinco hombres de tal manera que las partes correspondientes estén en progresión aritmética y que además un séptimo de la suma de las tres partes mas grandes sea igual a la suma de las dos más pequefias. ¿Puedes intentar resolverlo? 2. ¿Puedes plantearte ejemplos concretos y tratar de Interpretar el concepto de igualdad de razones dado por Eudoxo? Después de aprender el primer teorema un discípulo le pregunto: ¿Qué provecho voy a obtener aprendiendo estas cosas? Llamo a su esclavo y dijo: "Dale un óbolo, puesto que quiere sacar provecho de lo que aprende" Euclides 3.0 OBJETIVOS Al finalizar el capítulo el alumno estará en condiciones de: - Distinguir entre un · reparto arbitrario y un reparto proporcional. - Aplicar adecuadamente simple y compuesta proporcional. la teoría de proporcionalidad a los problemas de reparto Establecer un criterio de reparto proporcional. usando su sentido común. en problemas donde no se específica la forma de reparto. - Realizar un reparto de utilidades o ganancias entre los socios de una empresa. 3 .1 CLASES DE REPARTO PROPORCIONAL. Existen dos clases de reparto proporcional: a) Simple - Directo (DP) - Inverso (IP) b) Compuesto Dentro de este caso se resuelve la regla de compañía. a.1 REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO Para esto se debe recordar la relación proporcional directa entre 2 magnitudes. Si A DP B A- =k B Ejemplo: Dividir 600 en 3 partes que sean DP a los números 4,6 y 10 Resolución: Sean las partes: xl ' X2 Y X3 Se deben cumplir: Xl + X2 + X3 = 600 xl X2 X3 4=6"=10 Se tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas ... (1) .. . (2) Simplificando y aplicando la propiedad fundamental a la igualdad (2). Xl X2 X3 Xl +X2 +X3 "2="3=5= 2+3+5 Xl X2 x3 600 -=-=-=-=60 2 3 5 10 De aquí: Xl = 2(60) = 120 x2 = 3(60) = 180 x3 = 5(60) = 300 a.2 REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO Aquí debemos aplicar el teorema: Si A IP B A DP .!. B Ejemplo: Dividir 124 en 3 partes que sean IP a 2, 3 Y 5 Resoluci6n: Xl + x2 + x3 = 124 xl X2 X3 1=1=1 235 En la ecuación (2) 30 = MCM (2,3,5) Xl X2 X3 Xl +X2 +x3 124 15 = 10 = "6 = 15 + 10 + 6 = TI = 4 xl = 15 (4) = 60 x2 = 10 (4) = 40 x3 = 6 (4) = 24 ... (1) .. . (2) b.l REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO. En est.e caso se presentan varias condiciones de proporcionalidad directas e inversas combinadas de varias formas. y para esto se debe aplicar el siguiente teorema: Si: A DP B cuando C y. D son constantes A DP C cuando By D son constantes A DP D cuando By C son constantes Entonces A DP (B.C.D.) cuando todas varían y la relación proporcional compuesta es: A = k B·C·D Ejemplo: Dividir 90 en tres partes que sean DP a 2 . 3 Y 5 además deben ser IP a 4. 5 Y 6 Y también DP a 12.15 y 9. Resolución: 1 1 1 El reparto IP a 4.5 y 6 se convJerte en DP a 4' 5 y (3 y se aplica el teorema anterior. luego. Xl X2 --~-- = ---=-- = Simplificando: ~l = X; = :5 2 Xl X2 _ x De donde: -- - 3 = 12 - 18 - 15 Xl +X2 +x3 12 + 18 + 15 = 90 = 2 45 Luego: Xl = 12 (2) = 24 X2 = 18 (2) = 36 X3 = 15 (2) = 30 Es importante observar que los números proporcionales se pueden multiplicar o dividir por otro número y el reparto resulta igual. Pruebe esto simplificando los consecuentes de la última serie de razones y la respuesta será igual. b.2 REGLA DE COMPA1tiA Es un caso de reparto proporcional compuesto en el cual intervienen los siguientes elementos: - Capital (C) aportado por cada uno de los socios que integran la empresa - Tiempo (t) durante el cual el socio mantiene su aportación. - Utilidad. ganancia o beneficio (U) obtenido por la empresa al cabo de cierto tiempo de gestión: Deducimos la relación proporcional entre estas 3 magnitudes como se ha explicado en el capítulo de proporcionalidad comparando la utilidad (U) con el capital (C) y el tiempo (t) aplicando el principio fundamental de comparación de magnitudes. U DP C para t = constante U DP t para C = constante Luego la relación proporcional es: -U= K c · t K = Constante de proporcionalidad De aquí se deduce que para repartir cierta utilidad total U. Entre n socios se plantea la siguiente igualdad de razones: En donde: CI ' C2 • C3 ... .. .. Cn tI' t2 • t3 ....... tn Capitales aportados por los socios. Tiempo de aportación UI. U2 • U3 .. • .. . Cn Utilidades que reciben los socios. Siendo: UI + U2 + U3 + ... .... + Un = Utotal En algunos problemas se debe descontar de la utilidad total Utotal ciertos gastos administrativos o también participaciones particulares de algunos socios quedando para repartir la utilidad neta UN que es la que se divide entre los socios de acuerdo al capital y tiempo de aportación. UNETA = UTOTAL - GASTOS ADMINISTRATIVOS La utilidad total también se denomina UTILIDAD BRUTA. 3.2 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Dividir el número 300 en 4 partes que sean DP A 2201 • 2202 • 2203 Y 2204 . Resolución: Sean las partes : Xl. X2. X3 Y X4 Se cumplen: Xl + X2 + X3 + X4 = 300 ... (1) La igualdad (2) se puede escribir: Simplificando las consecuentes: xl X2 X3 X4 }=2"=4=8 Aplicando la propiedad fundamental: Xl X2 X3 X4 Xl +X2 +X3 +x4 300 - = - = - = - = = - = 20 1 2 4 8 1+2+4+8 15 De aquí: Xl = 1(20) = 20 x3 = 4(20) = 80 OBSERVACIONES IMPORTANTES X2 = 2(20) = 40 x4 = 8(20) = 160 ... (2) ... (9) 1. La igualdad de razones se simplifica antes de aplicar la propiedad fundamental. 2. De la igualdad de razones simplificada (9) se deduce la proporción entre las partes. por ejemplo: - La parte menor es Xl --t porque es como "1" - La parte mayor es X4 --t porque es como "8" - X4 es 8 veces Xl - X4 es 4 veces x2 - X3 es 4 veces Xl - X3 es 2 veces X2 Lo cual se hace. solo observando los consecuentes. De la igualdad de razones (8). Problema N° 2 Cuatro hermanos se reparten una herencia en forma DP a ciertos números. correspondiéndoles SI. 340 000. S/. 170000. S/. 102000 Y S/. 68000 ¿Cuánto les correspondería si el reparto se hiciera en forma IP a los mismos números? Resolución: Primer Reparto: DP a los números A.B.C y D. Es evidente que el monto de la herencia es la suma de las partes o sea: Herencia = 340000 + 170 000 + 102 000 + 68 000 = S /. 680 000 Siendo el reparto D.P. se cumple que: 340000 A = 170000 B Simplificando antecedentes: 102000 = C 3 2 =c=n = 680000 D Se puede observar que los números proporcionales utilizados son como 10. 5.3 Y 2. Segundo Reparto: Se hará en forma IP a los números 10.5.3 y 2.1uego. Multiplicando los consecuentes por 30= MCM (10.5.3.2) se obtiene la siguiente igualdad de razones. Aplicando la propiedad fundamental Xl X2 X3 _ X4 Xl +X2 +X3 +X4 3" = 6" = 10 - 15 = 3 + 6 + 10 + 15 = De aquí 680000 = 20000 34 - Xl = 3(20000) = SI· 60000 x2 = 6(20000) = SI. 120000 X3 = 10(20000) = SI. 200 000x4 = 15(20000) = SI. 3000000 Observamos que si un reparto directo se cambia a inverso respecto a los mismos números proporcionales No resultan las mismas cantidades ordenadas a la inversa. Esto solo ocurre cuando se trata de 2 partes. Problema N° 3 Dividir 370 en 3 partes. de modo que sus cuadrados sean DP a 0.2; 0.5 Y 0,4 u a su vez IP a 3; 6/5 y 8/3. Resoluci6n: Si1as partes son xl. X2 Y X3 entonces se cumplen: Xl + X2 + X3 = 370 ... (1) 2 2 2 Xl X2 X = = 3 .. . (2) O, 2 .(~) 0,5 {~) 0,4 . (~) En (2) multiplicando los consecuentes por 10 para eliminar la coma decimal y luego por 6 para obtener números proporcionales enteros: 2 2 2 Xl X2 X3 4" = 25 = 9 y luego extraemos raíz cuadrada a todas las razones. Xl = X2 _ X3 = Xl +x2+ x3 2 5 - 3 2+5+3 = 370 = 37 10 De donde: xl = 2(37) = 74; x2 = 5(37) = 185 ; x3 = 3(37) = 111 Es importante observa.r que antes de eliminar los cuadrados de los antecedentes se deben simplificar al máximo los consecuentes. Los problemas generalmente tiene datos adecuados. para que después de la · simplificación. se obtengan consecuentes que tiene raíz exacta. o un factor irracional común que se simplifica. Problema N° 4 En cierto examen se pidió repartir un número N en forma IP a 2/3. * Y 5/6. pero cierto alumno. lo hizo en forma DP. y al comparar sus respuestas con las correctas. observó que una de las partes que el había obtenido tenía 988 unidades menos que la parte correcta correspondiente. Hallar N. Resolución: Reparto Pedido: IP a 2/3 . 3/4 Y 5/6 Xl x2 x3 "3=4=6 235 30 = MCM (2. 3. 5) Xl X2 X3 Xl +x2 +x3 N 45 = 40 = 36 = 45 + 40 + 36 = 121; De donde las partes son: 45N xl = -- = 121 1215N 3267 40N 4080N x2 = 121 = 3267 36N 972N 121 = 3267 Reparto Efectuado por el Alumno: DP a 2/3 • 3/4 Y 5/6 12 = MCM(3. 46) YI Y2 Y3 YI +Y2 +Y3 N 8" = "9 = 10 = 8 + 9 + 10 = 27 De aquí obtenemos las partes que equivocadamente ha. obtenido el alumno. 8N 968N YI = 27 = 3267 9N 1089 N Y2 = 27 = 3267 ION 1210N Y3 = 27 = 3267 El problema dice que una de estas partes tiene 988 unidades menos que la parte correcta correspondiente, y para saber cual de ellas es, debemos compararlas. De lo anterior se deduce que se refiere a la primera parte luego. 1215N 968N 3267 - 3267 = 988 1215 N - 968 N = 988 x 3267 N = 13068 Problema N° 5 Una cantidad N de soles se reparte en forma DP a las edades de tres personas A,B y C, correspondiendo a A SI . 359 100 Y a B SI. 718200. Si los SI. N se reparte entre A y B en forma IP a sus edades. Entonces B recibe 837 900 soles . Si la suma de las edades es 49 ¿Cuál es la suma de los cuadrados de dichas edades? . Resoluci6n: Si las edades son a, b y c a + b + c = 49 ... (1) En el primer reparto que es DP a sus edades a, by c . 359100 = 718200 = - b c x .. . (2) a De aquí tomando la 1 a y 2 a razón y simplificando los antecedentes. 1 2 ;;;:=1) ~ b= 2a ... (3) En el 2° reparto realizado solo entre A y B en forma IP a sus edades se tiene. N - 837900 837900 = 1 1 a b a(N - 837900) = b (837900) a (N - 837900) = 2a (837900) ~ N = 2513700 Siendo 2513700 la cantidad repartida, en el primer reparto. Entonces: 359100 + 718200 + x = 2513700 ~ x = 1436400 En la serie (2): 359100 = 718200 = 1436400 a b c 1 2 4 1+2+4 7 1 Según la ecuación (1): a = 1) = ;; = a + b + C = 49 = '7 de donde a = 7; b = 14; c = 28 Problema N° 6 Se desea repartir SI. N en partes DP a los números: 5, a 2 , 3a2 , b, 3b e IP a los números: ab2 , b2 , ab , a , b ; Si el reparto se hubiera hecho en partes iguales, la primera tendría SI. 6300 más. Hallar N si a + b = 5. Resolucl6n: En el primer reparto: Xl + x2 + x3 = x4 = N ... (1) Múltiplicandolbs consecuentes por ab2 resulta: Aplicando la propiedad fundamental: Xl X2 X3 X4 X5 XI+X2+X3+X4+X5 "5 = a3 = 3~2b= b3 =3ab2 = 5+a3 +3a2b+b3 +3ab2 N N N = ----=--=- 5 + (a + b) 3 5 + 5 S 130 De donde xl = 5N/130 = N/26 Si el reparto se realiza en partes iguales: Por dato N/5 - N /26 = 6300 26N - 5N = 5(26)6300 Problema N° 7 N = 5(26)(6300)/21 N = 39000 soles Un Señor decide repartir su herencia que, consiste en SI. 48 0000, de modo que SI. 36 0600 se repartan entre todos los hijos en forma DP al orden en que nacieron y los S/. 120000 restantes para el hijo mayor de modo-que él y el último reciban la misma suma. Hallar el número de hijos sabiendo que es más de 2. Resoluci6n: Reparto de los SI. 360000 entre todos los hijos DP al orden de nacimiento. Xn xl +X2 ... +xn 360000 -n = 1+2+ ... +n = n(n+l) = El 1 hitf cib _ 2(360000) _ 720000 er ~o re e xl - n(n+ 1) - n(n+ 1) 2 El 'lti hitf ib' ~ 2n(360000) _ 720000 u mo ~orec e.xn - n(n+l) - (n+l) Según dato: xl + 120 000 = xn 720000 + 120000 = 720000 n(n+ 1) (n+ 1) 6 + 1 = 6 n(n+l) (n+l) 6 + n (n + 1) = 6n 6 = n (5 -n) n 2 - 5n + 6 = O ~ (n - 3)(n - 2) = O n=2 Ó n=3 n=3 Problema N° 8 Tres personas A. B Y e forman una empresa aportando $ . 10000. $ 20000 Y $ 3 0000 ; a los 3 meses de iniciada A aumenta su capital y 3 meses después e aumenta su capital en $ 10000. Al año de formada la empresa deciden liquidarla, habiendo acumulado un monto total de $ 15 7000. l. Cuanto recibe cada socio entre capital y utilidades al momento de la liquidación? 2. Cual fue la tasa mensual de ganancia que produjo la empresa? Resolución: Los capitales aportados y los tiempos correspondientes se muestran en el siguiente cuadro donde también se indican las utilidades que corresponden a dichas aportaciones. Cada socio tiene 2 etapas de aportación y a cada una le corresponde una utilidad. Capital Tiempo Utilidad ($) (meses) ($) SoclOA{ 10000 3 UAI 20000 9 UA2 r UA = UAI + UA2 Socio B { 20000 4 UBI 15000 8 UB2 r UA = UAI + UA2 { 30000 7 UCI r Socio C Uc = Uc 1 + UC2 40000 5 UC2 Problema N° 9 A Y B forman una empresa, aportando A doble capital que B, este socio la administra y debe recibir por ello el 20% de la utilidad total antes del reparto. Al cabo de cierto tiempo la empresa se líquida. habiendo obtenido una utilidad total de SI. 120 000. Calcular el capital que aporto el socio A. sabiendo que lo hizo solo durante 1/3 del período que funp ciona la empresa y que el socio B recibió por todo SI. 101600. Resolucl6n: Utilidad Total UT = SI. 120 000 El socio B recibe por administrar la empresa: 20% de SI. 120000 = 120~ . 120000 = 5/. 24000 Luego queda para repartir entre los socios La utilidad neta = UN = 120000 - 24000 = SI. 96000. El reparto de la utilidad es como sigue: Capital de A = 2 Tiempo de A = 1 -U= k C·T Capital de B = 1 Capital de B = 3 UA = SI. 38000; Ua = 5/.57600 El socio B recibió por tod024000 + 57600 + capital de B = 101 600 Capital de B = SI. 20000 Luego Capital de A = SI. 40000 Problema N° lO Los socios A.B y C forman una empresa aportando capitales que están en progresión aritmética creciente. Al cabo de 6 meses incrementan su capital en SI. 1200 Y SI. 800respectip vamente. Un año más tarde las utilidades están en la relación de 25.33 y 42 ¿Cuál fue el capitalinietal del 2° socio? Resoluci6n: El cuadro de aportaciones y los respectivos tiempos se muestra a continuación. Se debe que los capitales iniciales están en progresión aritmética creciente de A hacia C. Capital Tiempo Utilidad (soles) (meses) (soles) 6 UAl SoetoA { x . (x + 2000) 12 UA2 } U A = U Al + U A2 = 25k { Ix +rJ 6 UBl Socio B }UH =U Hl + UH2 =3 3k (x+r+1200) 12 UB2 { 1x+2rJ 6 Uel Socio C } Dc = VCI + UC2 = 42k (x+2r+800) 12 UC2 Donde SI. x es el capital inicial del socio A y r la razón aritmética de los capitales iniciales. La relación proporcional a utilizar es: Utilidad = k Capital Aportado - Tiempo Al finalizar el negocio (1 año) el. capital social o sea el aportado por los socios asciende a: Capital Social = 20000 + 15 000 + 40000 = $ 75 000 El monto esta formado por: Monto = Capital + Utilidad $ 15700 = $ 75 000 + Utilidad De donde Utilidad = $ 82 000 Esta utilidad es la que se debe repartir entre los socios de acuerdo a sus aportaciones. l. Reparto de utlUdades y monto de cada socio. Siendo: Utilidad = k Capital Aportado x Tiempo UAl UA2 UBl UB2 UCl UC2 10000(3) = 20000(9) = 20000(4) = 15000·8 = 30000(7) = 40000(5) Simplificando consecuentes tenemos: UAl + UA2 + UBl + UB2 + UCl + UC2 3 + 18 + 8 + 12 + 21 + 20 De donde obtenemos: UAl = $ 3000. UA2 = $ 18000 ~ UA = $ 21000 UBI = $ 8000. UB2 = $ 12000 ~ UB = $ 20000 UCl = $ 21000. UC2 = $ 20000 ~ Uc = $ 41000 Montos: Monto del socio A = 2 '0000 + 2 1000 = $ 41 000 Monto del socio B = 15 000 + 2 0000 = $ 35 000 Monto del socio C = 4 0000 + 41 000 = $ 81 000 2. Tasa Mensual de Ganancia La tasa es igual para .todos los socios y cualquiera de sus etapas de aportación. Por ejemplo. SOCIO A: 10 Etapa: SOCIO B: 1 a Etapa: Capital = $ 10000 . Tiempo = 3 meses Ganancia VAl = $ 3000 Ganó en 1 mes = $ 1000 <> 10% de $ 10000 Tasa = 100/0 Mensual Capital = $ 15000. Tiempo = 8 meses Ganancia = $ 12000 = VB2 Ganó en 1 mes = $ 1500 <> 10% de $ 15000 Tasa ==' 10% Mensual Compruebe Vd. Tomando cualquier socio y una de sus etapas. VAl VA2 VBI x ·6 = (x+2000)12 = = (x + r)6 (x+ 2r)6 V C2 = ---=----- (x + 2r + 800) 12 Sacando 6a a los consecuentes y aplicando la propiedad fundamental cada 2 razones: VA V B V c --~~- = ---~~-- = ~--~--- 3x + 4000 3x + 3r + 2400 3x + 6r + 1600 Siendo UA = 25K. ~B = 33K . Ue = 42K . Reemplazamos y tenemos: 25k 33k 42k ~~~- = ----~~--- = ----~~--- 3x + 4000 3x + 3r + 2400 3x + 6r + 1600 •. . (1) Eltm1nando k Y aplicando la propiedad fundamental. 33-25 -(3x+4000) = 42-33 (3x + 3r + 2400) (3x + 6r + 1600) - (3x + 3r + 2400) 8 9 3r - 1600 = 3~r--~8~0~0 24r - 6400 = 27r - 14400 r = 8000/3 Reemplazando en la la y 2a razón de la serie (1). 25 33 ~--:-=:~=-::----::-::-~----::-:-:= 3x + 4000 3x + 8000 + 2400 75x + 260000 = 99x + 132000 128000 =x 24 16000 x = -3-' entonces el capital de Bes: x + r = 16000 + 8000 = SI. 8000 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.5 CLAVE DE RESPUESTAS ' De los problemas propuestos I ~ I : I ~ I : I : I : I : I : I : I ~O I De la autoevaluacl6n 1 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e b b e b b a e d a 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 d a a e a b b d b d