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REGLA DE TRES Y PORCENTAJES EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF
















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Es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales, que tiene como objetivo hallar un cuarto valor, dado tres valores correspondientes a estas dos magnitudes. Clases: 1.1 Directa: (Cuando intervienen dos magnitudes directamente proporcionales) Esquema: D.P. B # huevos Costo (S/.) a1...............b1 a2...............x Por teoría de magnitudes proporcionales, se cumple que: Una forma práctica para hallar la incógnita “x” es usando el método de las “fracciones”. El valor de “x” se obtiene multiplicando el valor que se encuentra sobre él con la fracción obtenida de los otros valores. Veamos como se procede. D.P. A B  x = b1 # huevos Costo (S/.)  La fracción queda invertido debido a que se relaciona dos magnitudes D.P. Ejemplo: Cien obreros emplean 45 días para hacer una obra. ¿Cuántos días emplearán 225 obreros para hacer la misma obra? IP # Obreros #días  x = 45.  x = 20 días.......Rpta. a1, b1 y a2 son datos, mientras que x es la incógnita 2. REGLA DE TRES COMPUESTA Se llama así cuando intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Usando el método de las fracciones, hallaremos el valor de “x”. Previo ni cálculo. Se debe establecer la relación de proporcionalidad entre la incógnita “x” (# días) y las demás magnitudes. Por ejemplo las magnitudes “A” (# obreros) y la magnitud “B” (# días) son I.P. ya que a MAS obreros trabajando se emplearán MENOS días; de igual modo se hará con las magnitudes restantes. Entonces. Recuerde que: D.P.: Diferente escritura ya que se invierte la fracción I.P.: Igual escritura Ejemplo: Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días. ¿En cuántos días 15 obreros 6 veces más rápidos que los anteriores, harán una obra cuya dificultad es el quíntuple del a anterior? Solución Colocaremos en dos filas los datos correspondientes a cada una de estas magnitudes, es decir:  x = 36 días ..........Rpta Observación: Si la rapidez de los otros obreros es “6 veces más” entonces es: r +6r = 7r PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Si H hombres realizan un trabajo en n días cuantos demoraría en realizado un solo hombre. a) nH b) H/n c) n/H d) Es imposible calcular e) Faltan datos 2. Si “h” hombres hacen un trabajo en “d” días h + r lo harán en .......(días). a) b) c) d + r d) d – r e) 3. 15 obrero han hecho la mitad de un trabajo en 20 días en ese momento abandonaron el trabajo 5 obreros. Cuántos días tardaron en terminar los obreros que quedan. a) 24 días b) 30 días c) 36 días d) 32 días e) 28 días 4. Alexander de cada 5 tiros al blanco acierta 1, si no acertó 96 tiros ¿Cuántos acertó? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 5. Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue retrasándose a razón de 3 segundos por minuto de ¿Cuántos minutos debes transcurrir para que el reloj marque una hora de retrazo? a) 1 140´ b) 120´ c) 1300´ d) 180´ e) 1200´ 6. 4 huevos de gallinas cuestan 9 soles y 5 huevos de pata cuestan 11 soles. Encontrar la razón entre el precio de un huevo de gallina y un huevo de pata. a) 1: 1,5 b) 45.44 c) 1:4 d) 44:45 e) 1,5:1 7. Un caballo atado a una cuerda de 2m de longitud puede comer todo el pasto que esta a su alrededor en 5hr. En cuantas horas comerá el pasto que esta a su alcance si la longitud de la cuerda fuera 3 veces mayor. a) 75 h b) 80 h c) 85 h. d) 90h e) 95 h 8. 20 operarios pueden producir 240 zapatos en 18 días. Cuantos operarios pueden producir 80 pares de zapatos en 24 días. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 9. Un Albañil ha construido un muro en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer el muro ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día? a) 6h b) 12h c) 10h d) 8h e) 16h 10. Si 4 hombres y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 días ¿En cuantos días realizaran el mismo trabajo 5 hombres y 6 mujeres. Sabiendo que el trabajo de una mujer son los 2/3 del trabajo de un hombre? a) 66 b) 67 c) 48 d) 44 e) 49 11. Una fuente que da 120 lt. Cada 6 minutos llena 1 tanque de agua en 4h 30´ ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque conjuntamente con otra fuente que da 20 litros cada 75 segundos? a) 3h b) 2.5h c) 3.5h d) 2h e) 4h 12. Si 36 obreros cavan 120m de 1 zanja diaria. ¿Cuál será el avance diario cuando se ausenten 9 obreros? a) 70m b) 60m c) 80m d) 90m e) 100m 13. Si 60 obreros trabajando 8h/d construyen 320 m de 1 obra en 20 días. En cuantos días 50 obreros trabajando 6 horas diarias harán 300m de la misma obra. a) 40 días b) 30 días c)35 días d) 28 días e) 36 días 14. Se ha calculado que 750m de una zanja pueden ser excavados en 10 días. Si 7 obreros hicieron 350m y posteriormente con 5 ayudantes concluyen la obra en el plazo fijado los días trabajados por los ayudantes son: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 15. Una cuadrilla de 12 obreros pueden cavar un techo en 8 horas. ¿Qué tiempo tardarían 15 obreros en elevar el mismo techo? a) 6,5 hr b) 6,3 hr c) 6,9 hr d) 6,4 hr e) 6,2 hr 16. Un ingeniero puede construir 600m de carretera con 40 hombres en 50 días trabajado 8h/d ¿Cuántos días tardaría este ingeniero den construir 800m, de carretera con 50 obreros doblemente eficiente que los anteriores en un terreno de triple dificultad trabajando 2hr más por día? a) 80 días b) 65 días c)74 días d) 64 días e) 22 días 17. Se ha estimado que 45 obreros pueden construir una obra en 36 días. Pasado 12 días, se accidentaron 6 de ellos y no pudieron continuar laborando 8 días más tarde se tuvo que contratar otros obreros y si entregan la obra en la fecha establecida. ¿Cuántos obreros se contrataran sabiendo que son de la misma eficiencia que los accidentados? a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10 18. Una cuadrilla de obreros puede hacer una obra en 18 días. En los primeros 10 días trabajo solamente la mitad de la cuadrilla para terminar la obra trabajan 13 obreros durante 24 días ¿Cuántos obreros construyen la cuadrilla? a) 18 b) 20 c) 24 d) 25 e) 21 19. Una bomba puede llenar un tanque en 10h 25´ cuando se ha llenado la quinta parte del tanque se malogra la bomba y reduce su rendimiento en 1/3 de su valor. ¿En que tiempo total se llenó el tanque? a) 12 h 30min b) 12h 05 min c) 11h 45min d) 11H 30 min e) 14 h 35 min 20. Un grupo de obreros en número de 30 se comprometió hacer una obra en 40 días trabajando 8h/d. Después de hacer ¼ de la obra se acordó que la obra quedará terminada 10 días antes del plazo estipulado y así se hizo. Con cuántos obreros deberán reforzarse si ahora todos trabajada 10h/d. a) 36 b) 14 c) 18 d) 6 e) 10 21. La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comieran en 24 días, 30 vacas en 60 días ¿Cuántas vacas se comieron toda la hierba en 96 días? a) 24 b) 20 c) 25 d) 28 e) 32 REGLA DE TANTO POR CIENTO Definición Se llama porcentaje o tanto por ciento a una determinada cantidad con relación a 100 unidad. La regla del tanto por ciento es una aplicación de la regla de 3 simple directa. NOTACIÓN Representar “a por ciento N” a por ciento de N <> a % de N a por ciento de N <> a de N “a por ciento de N” Obs: Nótese que para efecto de solución el % es un operador matemático que significa “POR 1/100%”. Ejm: Hallar el 20% de 450 20% de 450 = REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA OPERACIÓN DE TANTO POR CIENTO Si: “P es el a por ciento N” Representación: P = a% N (Parte o porcentaje) Tanto por ciento Total CONSIDERACIONES a) 8% significan que de cada 100 unidades se consideran 8. b) Una cantidad total representa el 1005 N = 100% N EJEMPLO PRACTICO: 1. Cual es el 5% de 700 P = 5%.70 700  P = 25 2. Hallar el 125% de 80 P = 125%. 80 = 80  P = 100 3. Que tanto por ciento de 3000 representan 45. 45 = 3000  a = 1,5 4. 920 es el 20% de que cantidad 920 = .N  N = 4600 PORCENTAJE A LO MAS Y A LO MENOS 30% más del 205 menos de 1 cierto número. 30% más  130% 20% menos  80% APLICACIONES COMERCIALES Pv: Precio de Venta PL: Precio Marcado o de lista Pc: Precio de Costo G: Gasto P : Perdida GB: Ganancia Bruta GN: Ganancia Neta 1) Pv = Pc + G 3) Pv=Pc+Gasto+G 2) Pv = Pc – P 4) Pfijado -D = P.V. 5) GN = GB -G TANTO POR CIENTO En la regla de porcentaje consideramos respeto a 100 pero si refiere a otro número cualquiera se tiene la regla del tanto por ciento. Hallar el 3 por 4 de 200 Resolución: ¾ x 200 = 150 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Calcular EL 30% de 8000 2. Hallar el 10% de 90% del 50% de 200. 3. El 60% de que número es 42 4. Que porcentaje de 400 es 320 5. El área de un rectángulo se disminuye un 30% y resulta 350 cm2 ¿Cuál era el área original? 6. Actualmente Carlos tienen x años, dentro de 5 años su edad habrá aumentado en 20% ¿Cuál es su edad actual? 7. Hace 1 mes el kg. de azúcar costaba S/5; actualmente cuesta S/. 7 ¿En qué porcentaje ha aumentado el precio del azúcar? a) 4% b) 20% c)30% d) 40% e) 50% 8. En una reunión se encuentran 20 hombre adultos, 30 mujeres adultas y 75 años niños ¿Qué porcentaje de los reunidos no son niños? 9. Un balde lleno de agua pesa 5kg. Cuándo se extrae la mitad del agua, el peso inicial queda reducido en un 40% ¿Cuál es la capacidad del balde? 10. Un automóvil demora normalmente un cierto tiempo para llegar de A a B pero llegarían en 2 horas menos si variase su velocidad en un 40% ¿Cuánto tarda ese automóvil en llegar normalmente de A a B? 11. Un empleado gana 30% mas de lo que gana su ayudante. El sueldo del empleado aumenta en 40% y el de su ayudante en 20% Luego de estos aumentos el sueldo de ambos suman S/ 9060 ¿Cuál era el sueldo del ayudante antes del aumento? 12. Gaste el 60% de lo que no gaste ¿Cuanto tenía sabiendo que no gaste S/ 120 más de lo que gaste? 13. En una reunión de 150 personas, las mujeres constituyen el 605 de los presentes ¿Cuántas parejas deben llegar esta reunión, para que el número de hombre constituyen el 45% de todos los asistentes? c)70 d)75 e)80 14. Después de una de sus batallas Atilo observo que el 5% de sus soldados había muerto y el 20% de los que quedaron vivos estaban heridos, además había 608 sanos. ¿Cuántos soldados habían muerto? 15. José y Rubén le invitaron el almuerzo a Cristina en su cumpleaños, cubrían José al 40% de los gastos y Rubén el resto, en dicho almuerzo estuvieron solo presentes los 3. Otro día en agradecimiento y el recompensa Cristina le regala un reloj valorizado en S/.300. Si José quiere quedarse con el reloj. ¿Cuánto dinero tiene que darle por parte Rubén? 16. De los estudiantes de 1 salón de clases, el número de varones es el 80% del de las mujeres. Si el 75% de los varones de este salón, se van de paseo con el 40% de las mujeres ¿Qué porcentaje de los hombres que se quedaron constituyen el 10% de las mujeres que no fueron de paseo? REGLA DE TRES TANTO POR CIENTO 1. En una sastrería los sastres A; B y C confeccionar 5; 6 y 7 ternos respectivamente en un mismo tiempo. Además A y B juntos confeccionan 8 ternos en 28 días. ¿En cuantos días confecciona “C” 4 ternos? A) 21 B) 18 C) 19 D) 22 E) 24 2. 25 obreros hacen de una obra en 10 días. A partir de ese momento se contrata “n” obreros más cada día, terminando 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubiera continuado la obra solos. Halle “n”. A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 3. empleados deben realizar un trabajo en “2a” días trabajado 2 horas diarias, si se retiran 9 (a -b) empleados deberán trabajar “a” horas diarias durante 7 días. ¿Cuántos días demorarán (3a + b) empleados en hacer el mismo trabajo laborando “2b” horas cada día? A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16 4. Un grupo de 15 obreros abrieron una zanja de 2 m de ancho, 1,2 m de profundidad y 100 m de largo, en 28 días. Luego otro grupo de 12 obreros del triple de rapidez que los anteriores, en 21 días abrieron otra zanja de 1,8 m de ancho y 1,5 m de profundidad. La longitud de la segunda zanja es: A) 100 m B) 110 m C) 120 m D) 150 m E) 160 m 5. Dieciocho obreros hacen en 8 días los de una obra; si en los siguientes 3 días por día ingresan “x” obreros más, concluyendo la obra, hallar “x”. A) 12 B) 20 C) 30 D) 18 E) 15 6. Si se sabe que un ama de casa puede lavar con 50 gramos de detergente 12 pantalones al día por un periodo de 6 días o 15 camisas diarias durante 4 días. ¿Cuántos gramos de detergente necesitará para lavar 3 pantalones y 4 camisas por día durante 15 días? A) 81,25 gr. B) 81,5 gr. C) 81,20 gr. D) 85,25 gr. E) 82,15 gr. 7. Un hombre con dos mujeres pueden hacer una obra en 10 días. Determinar el tiempo necesario para que 2 hombres con 1 mujer puedan hacer el trabajo que tiene 4 veces la dificultad del anterior sabiendo que el trabajo de un hombre y el de una mujer está en la misma relación que los números 3 y 2. A) 25 B) 28 C) 35 D) 30 E) 40 8. Se contratan “2n” obreros para hacer un obra y a partir del segundo día se despedirá 1 obrero cada día hasta terminar la obra, trabajando el último día un solo obrero. Calcular “n”, sabiendo que si hubiesen trabajado “n” obreros sin despido alguno, terminarían la obra en 37 días. A) 15 B) 18 C) 20 D) 21 E) 25 9. Si por en mayolicar las paredes y piso de una cocina de 3 m de largo, 2 m de ancho y 2 m de alto se pagó 3 200 nuevos soles. ¿Cuánto se pagará por enmayolicar solo las paredes de otra cocina del doble de largo, una vez mas de ancho y siendo menos de alto, si el costo de enmayolicar la pared es la mitad al del piso? A) 7 900 B) 11 900 C) 4 500 D) 8 300 E) 9 500 10. Para pintar las paredes de una sala rectangular de 10 m de largo, 6 m de ancho y 2 m de altura pago 5 600 nuevos soles. ¿Cuánto se pagará por pintar las paredes de un dormitorio de 3 m x 2 m x 2m? A) 1 750 B)1 900 C) 2 150 D)1 000 E) 1 650 11. Si una cuadrilla de 30 obreros de igual eficiencia pueden hacer una obra en 50 días otra cuadrilla de 20 obreros de igual eficiencia lo pueden hacer en 60 días y una tercera cuadrilla de 25 obreros harían la misma obra en 70 días. ¿En cuantos días terminaran la misma obra los 75 obreros? A) B) C) D) E) 12. Si una cuadrilla de 20 hombres pueden hacer un trabajo en 15 días, otra formado por 10 hombres hacen el mismo trabajo en 30 días. ¿Cuántos hombres mas se necesitarán para realizar el trabajo en los parte del tiempo empleado por los 30 hombres? A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 E) 30 13. ¿Qué cantidad de obreros pueden hacen una obra en 12 días trabajando 6 horas diarias, después de iniciado se quiere terminar en 8 días, reduciendo de la obra y aumentando a 8 horas diarias el trabajo diario? ¿cuántos días trabajaron 8 horas diarias? A) 16 días B) 10 días C) 5 días D) 7 días E) 8 días 14. Un banquero perdió el 20% de dinero que tenia a su cargo. ¿Con que porcentaje del resto deberá reparar lo perdido? A) 20 B) 15 C) 25 D) 30 E) 40 15. Un trabajo puede ser hacho por 10 hombres en 15 días; 6 días después de iniciado la obra 4 de ellos aumentará su eficiencia en 20% y el resto baja en x %. Halle “x” si la obra se termino en 16 días? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 16. Ana tiene 20 años ¿En que tanto por ciento se habrá incrementado dicha edad, cuando cumpla 32 años? A) 40% B) 20% C) 50% D) 60% E) 80 17. Un libro se ofrece recargándole el “a” por “b” del precio de costo. Un estudiante consigue una rebaja del “c” por “b”. Si el vendedor no ganó ni pedio. ¿Cuál es el valor de “c”? A) B) C) E) E) 18. El precio de un automóvil sufre una devaluación del 5% cada año. Si en el año 2002 se compró un automóvil nuevo en S/. 20 000 ¿Cuál fue el precio en el año 2004? A) 18 050 B) 19 050 C) 17 050 D) 17 100 E) 19 150 18. Una tienda a nuncio una rebaja de 30% sobre el precio de lista de cualquier objeto. ¿Cuál será el precio de lista de un objeto que cuesta 2 000 soles si la empresa recibe un beneficio del 40% del costo al venderlo, haciéndole la rebaja anunciada? A) S/. 3 000 B) S/. 5 000 C) S/. 4 500 D) S/. 4 000 E) S/. 3 500 20. Una parte de una mercadería se vende con x % de pérdida y el resto se vende ganando y %. ¿Qué parte del total se vendió en la primera venta si en total se perdió n %? A) B) C) D) E) 21. Una persona compró cierta cantidad de artículos en S/.60 cada uno, si los vendió con una ganancia neta de S/.1 200 y los gastos ascendieron al 20% de ganancia bruta. ¿Cuántos artículos compró, si recaudó en total S/. 2 100? A) 15 B) 10 C) 12 D) 8 E) 20