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RAZONES Y PROPORCIONES PROBLEMAS RESUELTOS PDF




















Los pitagóricos tenían como uno de sus principios: "La esencia de todas las cosas. es explicable en términos de arithmos, es decir en términos de las propiedades intrínsecas de los números enteros y de sus razones". Ellos entendían por número solo a los enteros positivos, a las fracciones se las consideraba como una raz6n o relacl6n entre dos números enteros correspondiente l a dos magnitudes del mismo tipo. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Según esto, parece ser que los pitagóricos manejaban la idea de que cuatro cantidades están en proporción, a: b • c : d, si las dos razones a:b y c:d tienen la misma resta mutua; es decir, si la menor en cada una de las dos razones cabe en la mayor el mismo número entero de veces, y el resto en cada caso cabe en la menor el mismo número entero de veces, y el nuevo resto en cada caso cabe en el anterior el mismo número entero de veces y así sucesivamente, dando lugar a un proceso indefinido. Como tenían conocimiento de la media' aritmética y la media arménica, los pitagóricos construyeron la llamada "Proporción Perfecta" o "Proporción Aurea", que relaciona dos números con sus respectivas medias: "El primero de dus números es a su media aritmética como su media armónica es al segundo de ellos" (siendo esta relación la esencia d.:-J algoritmo babilónico del cálculo de las raíces cuadradas) . l. ¿Puedes explicar mediante un ejemplo concreto la idea de proporción que manejaban los pitagóricos? 2. Un problema adaptado de la antigüedad es el siguiente: Si tres números a, b, c . están en progresión aritmética en ese mismo orden, y si A; B; C son sus respectivos inversos, ¿qué puedes decir de B con respecto a A y C? En esta época de contraste entre los estudios antiguos y los modernos, es necesario hablar de uno que no empezó con Pitágoras ni terminara con Einstein, pero que es el más antiguo y el más moderno de todos. G. H. Hardy 1.0 OBJETIVOS Al finalizar el capítulo el estudiante estará en condiciones de: .. Aplicar en forma adecuada . y efectiva las diversas propiedades de las razones geométricas iguales . .. Resolver en forma razonada. problemas de proporciones, que son básicos para el estudio de la proporcionalidad. 1.1 RAZÓN O RELACIÓN DE DOS NÚMEROS Es la cOT1.paración de dos cantidades y pueden ser: a. Razón aritmética (r). Cuando la comparación se realiza por diferencia. 12 - 3 = 9 ; 9 es razón aritmética de 12 y 3 (a-b=r) ir es el valor de la razón aritmética de a y b a es el antecedente b es el consecuente b. Razón Geométrica (r). Cuando la comparación se realiza mediante el cociente. 12 = 4 3 4 es la razón geométrica de 12 y 3 { r es el valor de la razón geométrica de a y b a es el antecedente b es el consecuente c. Razón armónica (r). Es la razón aritmética de las inversas de los dos números. 1 1 2-3 = 1 1 a b 1 6 ~ es la razón armónica de 2 y 3 { r es el valor de la razón armónica de a y b r a = antecedente b = consecuente 1.2 PROPORCIONES Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. Pueden ser: a. Proporción Aritmética: Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta diferencial de los otros tres. Ejemplo: 15 - 8 = 11- 4 -7 a - b = c - d . . I liay d : extremos by c : medIOs Continua: Cuando los términos medios o los extremos son iguales. Ejemplo: 15 - 9 = 9 - 3 -7 la -b = b ,- e I Donde: b es la media diferencial de a y c. su valor es: a+c b = 2 a y c se denominan terceras diferenciales b. Proporci6n Geométrica Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada término es la cuarta proporcional de los otros tres. ~ = ~ {a y d: extremos b d b Y e: medios E · 1 15 = 12 ~emp 0:"5 4 Continua: Cuando los términos medios o los extremos son iguales ~ = ~ {a y c: terceras proporcionales } Ejem lo: 20 _ 10 b e b : media proporcional p 10 - 5 Donde: b es media proporcional de a y c, su valor es: b=~ a y c : Terceras proporcionales c. Proporci6n Arm6nica Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta arm6nica de los otros tres. Ejemplo: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 - - = - - 12 ~ b = - - 4 6 a c d Donde: ayd son los términos extremos byc son los términos medios Continuas: Cuando los medios o los extremos son iguales 1 Ejemplo: 2 Donde: 1 3 = 1 3 1 a 1 b = 1 b 1 c b en la media armónica de a y e , su valor es: b= 2·a·c a+c a y c se denominan terceras armónicas EJERCICIOS 1. Hallar la cuarta diferencial de 9. 6 Y 5 Resolución: 9 - 6 = 5 - x x=2 2. Hallar la cuarta proporcional de 12. 10 Y 6 R 1 . , 12 6 eso UClOn: 10 = x 3. Hallar la cuarta armónica de 2. 5 Y 3 . 1 1 1 1 Resolucion: :2 - 5 = 3 - x 4. Hallar la media diferencial de 11 y 5 Resolución: 11 - x = x - 5 5. Hallar la media proporcional de 20 y 5 R 1 . , 20 x eso UClOn: - = - x 5 6. Hallar la media armónica de 2 y 6 Resolucio. n: -1 - -1 = -1 - -1 2 x x 6 7. Hallar la tercera diferencial de 14 y 11 Resolución: 14 - 11 = 11 - x ~ 8. Hallar la tercera proporcional de 18 y 6 R eso1 u cio. n: -18 = 6- 6 x 9. Hallar la tercera armónica de 2 y 3 Resolución: ~ - ~ = ~ 1 x x=5 x = 30 x = 8 x = 10 x=3 x=8 x=2 x=6 RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES O EQUIVALENTES Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual valor. Pueden ser discretas o continuas. DISCRETA: Cuando todos los términos son diferentes ~=~=~=~=k b d f h 4 6 8 10 Ejm: 6 = 9 = 12 = 15 a bcd CONTINUA: - = - = - = - = k bcd e PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS 1 a Propiedad: Suma de antecedentes = razón Suma de consecuentes de la expresión (1) a = bk c = dk e = fk g=hk (a+c+e+g) = k (b+d+f+h) 2'"" Propiedad: _a_+_c_+_e_+---:::;.g = k b+d+f+h . .. (1) ... (2) ... (3) Elevando las razones (1) a la potencia n y haciendo lo mismo que la demostración anterior. obtenemos: n n n n a +c +e +g = k n b n +dn +f1+hn ... (4) aA Propiedad Multiplicando todas las razones (1) a.c.e· g =k4 b·d · f·h ... (5) Aplicando esta propiedad al conjunto de razones continuas. obtenemos: a·b·c·d 4 ~-~- = k b·c·d·e Sim.1larmente: a = dk3 ; a = ck2 ; a = bk 4 A Propiedad Las razones (1) se pueden escribir como: am cn ep = gq = k. d d O b - m = dn- = f p hq on e m. n . p. q "" am + cn + ep + gq y aplicando la 1 A propiedad bm + dn + fp + hq SA Propiedad . .. (6) ... (7) De la expresión (1) se pueden deducir varias relaciones como las siguientes: a±b b a±b a cid e±f g±h k± 1 = d = -f- = h = -1- = -ci-d = e±f=g±h=k±1 c e g 1 a+b c+d e+f g+h k+l = -- = e-f = g-h = k-l a-b c-d ... (9) . .. (10) ... (11) ... (12) PROMEDIOS Si al' a2' a3' .... . ... . ano son n cantidades positivas y ordenadas en forma ascendente. entonces el promedio de estas cantidades es un número que pertenece al intervalo [al.an] y pueden ser: ~1-------a-l-+-a-2--+. -a-3·--+-'"--+--a-n~1 Media Aritmética I MA = . ~ . Media Armónica n MH = 1 1 1 1 PROPIEDADES -+-+-+ ... +al a2 a3 an (1 a) En General MH::; MG::; MA (son iguales si los números son iguales) (2 a) Todo promedio debe cumplir: # Menor < Promedio < # Mayor (3a) Para dos números MA = a+b 2 MG = .íab MH = 2ab a+b Cumpliéndose que: MA. MH = ab MA . MH=MG2 ... (13) ... (14) ... (15) .. . (16) .. . (17) .. . (18) .. . (19) En el capítulo de estadística se presentan los conceptos de promedios en forma más detallada. 1.3 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Cuando Luis nació su hermano Pepe tenía 12 años: dentro de 5 años sus edades serán entre si como 4 a 7 ¿Cuál es la edad actual de Pepe? Resolución: Edad de Pepe - Edad de Luis = 12 años (Se mantiene constante) Dentro de 5 años: Por 4 ¡ Edad de Luis ~ 8 12 (ID Edad de Pepe = t 14 = 21 = l' = Diferencia = 3 Diferencia = 12 I t Por 4 Las edades de Luis y Pepe serán 16 y 28 años respectivamente. Luego actualmente Pepe tiene 23 años. Problema N° 2 Eusebio cobró su sueldo y se fue de compras: al finalizar observó que por cada SI . 2 que gastó, no gastó SI . 5 . Si le quedan SI. 750 ¿Cuántos soles más debió gastar para que lo que gaste sea a lo que no gaste, como 2 a 37. Resoluci6n: Lo que gastó ,Lo que le queda Por 150 11 2 300 = 5 = 750 L-J Por 150 Luego su sueldo es 300 + 750 = 1050 Ahora se quiere que Por 210 n Lo que gasté m ~ Lo que No gasté = t = T Suma = 5 Swna = 1050 I t Por 210 Si ahora debe gastar 5/.420, entonces respecto a los 5/.300 que gastó, debe gastar SI. 120 más. Problema N° 3 En una proporción geométrica continua, la diferencia de sus terceras proporcionales es 280 y la suma de los 4 términos es 700. Calcular la suma de los antecedentes de la proporción. Resoluci6n: Sea la proporción: ~ = ~ ~ b = rae Suponiendo que a > c a - c = 280 Además a + 2b + c = 700 ... (1) ... (2) ... (3) (1) en (3) a + 2jac + c = 700 Se puede escribir ( Ji + JC r = 700 Extrayendo la raíz cuadrada: Ja + JC == 10./7 La ecuación (2) se puede escribir ( Ja + JC) (Ja - Jé) == 280 Según (4) (4) + (5) (4) - (5) En (1) 10./7 (Ja- Jé) == 280 Ja- Jé == 4./7 2./8. == 14ft a = 343 2Jé == 6ft c = 63 b = J343. 63 b = J73 . 32 .7 b = 72.3 = 147 La suma de los ~antecedentes a + b = 343 + 147 a + b = 490 oo . (4) oo . (5) Problema N° 4 Halle tres razones geométricas iguales y continuas cuyos términos y la razón son enteros positivos, siendo la suma de los extremos 153. Resolución: Sean las razones ~=~=~=k bcd Donde a, b , c, el Y k E Z+ Y además a + d = 153 ... (l) ... (2) De las dos ecuaciones se deduce que existen 5 incógnitas y solo 4 ecuaciones Independientes, por lo tanto es un problema algebraicamente indeterminado, por lo que será necesario usar recursos aritméticos para determinar todas las incógnitas. Multiplicamos las tres razones geométricas ~ . ~ . ~ = k 3 ~ a = dk3 bcd Reemplazamos (3) en (2) dk3 + d = 153 d (k3+1) = 9.17 .. . (3) Haciendo k 3 + 1 = 9 obtenemos k = 2 Y entonces d = 17 Las razones geométricas son: I ~ = ~ = -0 = 21 de donde c = 34, b = 68 Y a = 136 ~ Problema N° 5 136 68 _ 68 34 = 2 34 = 17 En una proporción geométrica continua se cumple que la Suma de los 4 términos y la razón aritmética de los extremos son entre sí como 3 a 1 ¿Cuál es la mayor razón geométrica entre los extremos? Resolución: a b c-: Sea la proporción ti = ~ ~ b = ,.,¡ac '" (1) Admitiendo que a > c podemos plantear a+2b +c 3 = OO' (2) (1) en (2) Aplicando las identidades algebraicas, del trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados tenemos 3 1 Ja+JC 3 Ja-JC=i Ja+JC = 3Ja-3JC 4JC = 2Ja Ja = 2 JC ~ = 4 c Es oportuno observar que existiendo tres incógnitas a, b y c Y solo dos ecuaciones independientes el problema era algebraicamente indeterminado, pero a diferencia del problema anterior, si queremos hallar los términos de la proporción encontramos que hay infinitas soluciones, por lo siguiente. Se tiene a = 4C y en (1) b = J4c2 ~ b = 2C Para Para C = 1 ~ a = 4 . b = 2 C = 3 ~ a = 12. b = 6 Problema N° 6 ETC. Se tiene tres razones geométricas equivalentes cuyo valor es menor que la unidad. Se sabe que la diferencia de los términos de cada razón son 8. 14 Y 22. ~iendo la suma de los cuadrados de los antecedentes 1674. Encuentre los términos de las tres razones geométricas. Resoluci6n: Sea la serie ~ = ~ = ~ = k Siendo k < 1 entonces a < b. c < d. e < f Por 10 tanto según los datos También se tiene que b-a=8 d - c = 14 f - e = 22 Un análisis previo del sistema nos dice que: ... (1) ... (2) . .. (3) ... (4) ... (5) Existen 7 ecuaciones y 7 incógnitas ~ Es un problema algebraicamente determinado Luego se puede calcular el valor de todas las incógnitas usando solo álgebra. es decir no es necesario usar recursos aritméticos para hallar el valor de alguna de sus incógnitas. A partir de aquí se puede proceder de 2 maneras o usamos el álgebra común y corriente. despejando incógnitas y reemplazándolas en otras ecuaciones o usamos el álgebra de propiedades. evitando pasos innecesarios y así ahorramos tiempo en la resolución. De acuerdo a los datos. es conveniente aplicar la propiedad N° 5 en la serie de razones. de la siguiente manera: a c e k b-a = d-c = f-e = l-k a c ~=~ 8 = 14 = 22 l-k Aplicamos ahora la Propiedad N° 2 a 2 +c2 +e2 k ()2 ----=2 ~2 = }":k ~ (h-a) +Cd-C)2+(f-e) _ 1674 (k)2 Luego de acuerdo a la ecuacion (5) ~ 744 = 1 -k Simplificando: ~ ; ( 1 ~ k r k l-k = Resolviendo: . 2k = 3 - 3k ~ k = 3/5 3 2 a c e 3 Reemplazando (7) en (6) - = - = - = - 8 14 22 2 de donde: a = 12. c = 21. e = 33 12 21 33 3 Reemplazando en (1): b = d = f = 5 de donde: b = 20. d = 35. f = 55 12 21 Finalmente la serie de razones es: 20 = 35 Problema N° 7 = 33 55 = 3 5 .... (6) oo. (7) En tres razones geométricas iguales y continuas. cuyos términos y la razón son enteros positivos. Se sabe que la media aritmética, de la media geométrica de los términos de la segunda razón y la media geométrica de los consecuentes extremos es 810. Determinar la serie de razones. Resoluci6n: a b e Sea la serie de razones - = - = - = k bcd Donde a. b, e, d, y k son enteros positivos . Del enunciado: ./bc +.[bd = 810 2 De la ecuación (1): ~. ~ = k 2 e d También: ~ = k ~ ,e = dk d (3) Y (4) en (2): Jdk2 . dk + Jdk2 . d = 1620 efectuando: dk (Jk + 1) = 1620 ¡;: 2 4 dk("¡K+l)=2 · 3 ·5 .. . (1) .. . (2) ... (3) ... (4) .. . (5) Aquí es donde se requiere el análisis aritmético de la ecuación. Puesto que las variables son enteras positivas (Jk + 1) debe ser entero o sea Jk es entero, lo cual significa que k debe ser un cuadrado perfecto y observando los factores del segundo miembro, encontramos las siguientes posibUj dades: K = 22 , 2 2.32, 3 4 , 32 ó 22.34 Ira. Posibilidad: k = 22 ~ en (5): d · 22( J22 + 1) = 2 2 . 34 . 5 de aquí sale d = 135 a b c yen (1) ¡; = ~ = 135 = 4 -4 c:::: 540, b:::: 2160, a:::: 8640 2da. Posibilidad: k:::: 22, 32 -4 en (5): d:::: No sale entero 3ra. Posibilidad: k:::: 34 -4 en (5): d, 34(.f34 + 1) = 22 ,34 , 5 de aquí sale d :::: 2 y en (1) ~ = ~ = E = 81 b c 2 -4 e:::: 162; b:::: 13122, a:::: 1062882 4ta. Posibilidad: k:::: 32 -4 en (5): d, 3 "'32 + 1 = 2 ,3 ,5 2( C2 ) 2 4 de aquí sale d:::: 45 y en (1) ~ = ~ = ...E... = 9 b c 45 de donde obtenemos c :::: 405, b :::: 3645, a :::: 32805 Sta. Posibilidad: k:::: 22 , 34 -4 en (5): d, 22 , 34 ( J22 , 34 + 1) = 2 2 , 3 4 ,5 d :::: no sale entero Por lo tanto hay 3 soluciones Problema N° 8 El producto de tres números enteros positivos es 21952. Si el primero es al segundo como éste es al tercero, entonces uno de los números es: a) 12 b) 39 c) 88 d) 196 e) 304 Resoluci6n: Si los números son a, b y c se cumplirán: ~ = ~ ~ b2 = a· c b c a.b.c. = 21952 (1) en (2) b3 = 21952 b 3 = 2 6 .73 b = 22 .7 = 28 ... (1) .. . (2) Con 2 ecuaciones y 3 incógnitas el problema es algebraicarnente indeterminado, luego debernos encontrar todas las soluciones posibles para a y c. De (1) a.c. = 282 = 24 . 72 = 1. 784 = 2 .392 = 4.196 = 8.98 = 7.112 = 14.56 = 16.49 = 28.28 Excepto la última, todas son solución para a y c. Uno de ellos es el número 196. Problema N° 9 Halle dos enteros posiU~os cuya MG es 10./6, siendo sus medias aritmética y armónica 2 enteros consecutivos. Resoluci6n: MG= .Jab=10./6 ~ a·b=600 .. . (1) Además la MA y MH son enteros consecutivos. Por una propiedad podemos escribir MA. MH = a.b MA. MH = 600 Siendo MA Y MH dos enteros consecutivos sacamos la raíz cuadrada de 600 por defecto que es 24. y entonces el producto es: 24.25 = 600 Y por propiedad sabemos que MA > MH por lo tanto MA = 25 Y MH = 24 a+b Luego ~ = 25 --t a + b = 50 .. . (2) En la ecuación a.b. = 600= 23.3.52 = (22• 5) (2.3.5) = 20.30 que son 2 números que cumplen con (2). Luego los números buscados son 20 y 30. Problema N° 10 La diferencia de 2 enteros positivos es 7 y la media aritmética de. su media aritmética con su media geométrica es 12.25 ¿Cuál es el error que se comete al considerar su MA como si fuera su MG? Resolución: a-b=7 (~) +.íab = 12,25 2 de (2) a + b + 2 .íab = 49 (.[á + jb)2 = 49 --t .[á + jb = 7 .. . (1) . . .. (2) ... (3) La ecuación (1) se puede escribir (Ji + ../b)(já -../b) = 7. (3) en (4) 7(já-../b) = 7 ~ (.[a-../b) = 1 (3) + (5) 2.[a = 8 16 + 9 ¡,;;;-;:; LuegoMA=-2-=12,5 yMG= ",16·9=12 ... (4} ... (5) Si consideramos que la MA = 12,5 es la MG cometemos un error igual a 0 ,5. 1.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un empleado cobró su sueldo; entró a una sala de juegos y perdió 1 sol por cada 4 soles que no perdió , luego se fue de compras y gastó SI. 2,50 por cada SI. 5.50 que no gastó; finalmente se queda con SI. 1.50 por cada SI. 4 que dio a su esposa; si esta recibió SI. 600 ¿Cuánto cobró (en soles) el empleado? a) 200 b) 1250 e) 1000 d) 1500 e) lBOO 2. Se encienden dos cirios de igualdad calidad y diámetro. pero uno tiene lB cm mas de longitud que el otro. Al cabo de cierto tiempo t , las longitudes son entre si como 5 a 2 y 20 minutos mas tarde se consumió el mas pequeño. Calcule el tiempo t (en minutos) si se sabe que el mas grande empleó 2 horas en consumirse totalmente. a) 70 bl65 el 60 dl 50 el 45 3. Una carrera consiste en dar una vuelta alrededor de una pista circular. Cuando compiten A y B, ellO gana por %, de vuelta cuando compiten By C, el 1° gana por 1/5 de vuelta. Si compiten A y C ¿Qué fracción de vuelta saca de ventaja el ganador? a) 7/20 b) 9/20 G) 1/20 d) 2/5 e) 3/5 4. La razón geométrica entre la media aritmética y la media armónica de dos enteros es 0 ,9375. Calcular la razón geométrica de los dos números. a) 5/4 b) 5/3 c) 7/2 d) 3/4 e) 1/4 5. En tres razones geométricas iguales y continuas donde la inversa de la razón es un entero positivo y la media aritmética de los extremos es 98. Calcular la media aritmética de los consecuentes. a) 73 b) §L c) 101 d) 121 e) 63 - ' 6. Se sabe que a, by c E N y además MG (a, b) = 6./2. MG (b,c) = 6 Y MG (a, c) = 3./2. Calcular la MH de a, b y c. a) 13/8 b) 45/11 c)5/3 d) 36/7 · e) 45/17 7. En una proporción geométrica se cumple que la suma de las raíces cuadradas del producto de los términos de cada razón es 20 y la media aritmética de los antecedentes es 2 . Hallar la razón. a) 1/25 b) 1/8 c) 1/5 d) 3/8 e) 3/4 8. En una proporción geométrica de razón entera se cumple que la suma de los cuadrados de todos los términos de la proporción es 325. Hallar la media aritmética de los cuatro términos sabiendo que la razón es la mayor posible. a) 6.75 b) 13.5 c) 11 d) 12 e) 16 9. Si se cumplen las siguientes relaciones: A- =-B=C-=D-= k, a bcd Ab+Ba+Cd+Dc = 7 Aa+Bb + Ce + Dd y a2 + b2 + c2 + d2 = 194. Calcule el valor de (ab + cd) al 1358 10. Si: A;B = b)679 B+C 7 cl344 A+C =-6- y d) 769 el 967 donde todos los números son enteros positivos, calcular el mínimo valor de p + q + r. al 29 b} 58 el 87 dl 116 el 37 1.5 AUTOEVALUACIÓN El tiempo estimado para esta prueba es 90 minutos. Se sugiere al estudiante realizar esta auto evaluación estrictamente, pues así logrará los resultados deseados. l. A Y B participan en una carrera alrededor de un perímetro cuadrado y cuando A llega a la meta, B esta justo en el vértice anterior. Si la carrera se realizara en una pista con forma de triángulo equilátero de igual perímetro que el cuadrado, cuando A llega a la meta ¿qué parte del tercer lado ha recorrido B? a) 1/3 b) 1/4 e) 1/5 d) 1/6 e) 1/8 2. En cierto momento de una fiesta , el número de hombres que bailan es al número de mujeres que no bailan como 3 es a 4. Además el número de mujeres que bailan es al número de hombres que no bailan como 2 es a 5 ; si en ese momento hay 140 personas. ¿Cuántas parejas están bailando? a) 24 b) 12 c) 36 d) 18 el 20 3. Dada la proporción alb = b/c. la suma de sus términos es 1210 y la razón es entera. Calcular la suma de las cifras del mayor de los términos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 4. Tres números forman una proporclOn geométrica continua. La suma de dichos números es 28 y la suma de sus inversas es 7/1. Hallar el menor de dichos números. a) 2 bl4 cl 6 dl 8 el 12 5. A cierto festival concurrió el público de la siguiente manera: por cada 8 niñas ingresaron 3 mujeres adultas y por cada 6 niños varones ingresaron 5 hombres adultos. Si el número de hombres adultos es al de mujeres adultas como 7 a 4. ¿Cuántas mujeres adultas había si entre niñas y niños había 858? al 180 bl270 c) 315 d) 378 el 480 6. En una proporción geométrica continua de razón entera. se cumple que la suma de sus términos es 45 ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor de dichos términos? al2 bl3 cl 4 dl 5 el6 7. En cierta proporción geométrica continúa, la diferencia de los extremos es 42 y la suma de los cuadrados de todos sus términos es .3364. Hallar la razón de la proporción. a) 2/5 b)3/4 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3 8. En una proporción geométrica de razón 3 , la suma de los términos de la primera razón excede a la suma de los términos de la segunda razón en 56. Hallar la diferencia de los antecedentes. a) 7 b) 14 e) 28 d)35 e) 42 9. De un grupo de personas, se retiran la mujeres quedando 2 hombres por cada mujer; si después se retiran 50 hombres, quedan ahora 3 mujeres por cada hombre ¿Qué porcentaje del total inicial aun quedan? a) 40% b) 50% e) 45% d) 60% e) 36% 10. Si la media geométrica y la media aritmética de a y b son como 13 a 12. ¿En que relación están los números? a) 1/4 b) 9/4 e) 3/2 d) 5/7 11. Dada la serie de razones: /'I486+a ::( 570+b _"618+e =..k-, \~486-a " 570-b - '"618-c , ¡:.. e) 11/14 siendo a, b, e y k enteros positivos, teniendo a, b , c los menores valolfes posibles, calcular a + b + e + k ! . a) 1121 e) 924 d) 280 e) 840 12. Se sabe que b es media proporcional entre a y e y que a2 + b 2 1 a + b + e = 93 Y además: = 25 calcular b.a.e. b 2 + e2 a) 625 b) 1375 e) 3375 d) 4825 e) 775 2 b2 2 d2 13 S· 1 a e b 42 • 1 se eump e que: 28 = 63 = 112 = 175 Y a - + e = Hallar a + b + e + d a) 98 b) 196 e) 392 d) 48 e) 144 14. Con los enteros a. b y e se forma una proporelOn geométrica continua donde b es media proporcional. hallar su valor si se sabe que: a 2 _b2 +e2 = 1296 -1 --1+ -1 a2 b2 e2 a) 8 b) 7 e) 6 d) 9 e) 12 15. a. b. e y d son 4 enteros positivos tales que: a + b = 24 Y a 2 b a 2 - - - - + b = d Hallar e + d b- 2-a+b+e e a) 11 b)8 e) 7 d) 5 e) 4 2 2 16. Si a - b = _1_ Y además se sabe que la media a 4 _ b 4 3026 --------- ~E~oporei~nal de a y bes 35; hallar a + b a) 37 e) 111 d) 46 e) 84 al a2 a 3 17. Si se cUlnplen: - = - = - = k b} b 2 b3 Calcular b lb2 + b lb3 + b 2bs si k es entero positivo a) 119 b)213 c) 83 d) 171 e) 166 18. Los contenidos de 4 recipientes A. B, C y D son entre si como 3. 9, 11 Y 13 respectivamente. Cada vez que se adiciona a D un litro, se saca de C 2 litros para echar un litro en B y 1 en A. Esta operación se realiza varias veces hasta que el volumen de A triplica al de C, en estas condiciones ¿Cuál es la relación entre la SUIlla de los volúmenes de A y D Y la suma de los volúmenes de B y C? a) 10/9 b)5/7 c) 11/13 d) 8/9 e) 11/15 19. Si ~ = c + a = b + c = k, hallar ab + b~ + ac b d+b c+d c(a+ +c) Siendo a, b, c y d enteros positivos a)k b) k + 1 d) k 2 + k e) dk 20. La suma de 3 números enteros es 514, la suma del 10 y el 20 es a su diferencia como 17/7 es a 3/13, Y la suma del 10 y 30 es a la raíz cuadrada de su producto como 157 es a 66. Indica la suma de las cifras del mayor. a) 10 b)9 q) 8 d) 1 e) 2 1.6 CLAVE DE RES~tJESTAS De los problemas propuestos I : I : I : I : I : I : I : I : I : I ~o I De la auto evaluación 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 b 'c b c d b c a a e