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RAZONES , PROPORCIONES Y PROMEDIOS EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF


















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Es frecuente encontrarnos en nuestra vida cotidiana con situaciones como las siguientes: • El costo de un artículo hace un mes era de S/. 48 actualmente es de S/.52. • La temperatura en Lima es de 20ºC y en Punto de 8ºC • La altura de dos edificios son de 30 m y 22,5 m • Un automóvil inicia su desplazamiento con una velocidad de 20 m/s En los casos anteriores se observa que el costo, temperatura, altura y velocidades son susceptibles de ser medidos de allí que se les define como magnitud matemática, se nota también que toda magnitud matemática viene asociada a una cantidad, lo cual nos permite hacer comparaciones y es precisamente ello lo que vamos a estudiar. RAZÓN Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón. Razón aritmética Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades de la otra. Ejemplo: Los automóviles A y B se desplazan con velocidades de 24 m/s y 20 m/s respectivamente, comparemos sus velocidades: Valor de Razón Aritmética la razón 24m/s – 20m/s = 4m/s Antecedente Consecuente Interpretación: La velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil “B” Razón Geométrica Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuantas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia. Ejemplo: Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36 m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden): Razón Geométrica  Antecedente  48m 4 Consecuente  36m 3  Valor de la razón Interpretación: * Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3 porque: Altura de M: 4(12m) Donde: 12m es la unidad de referencia. Altura de N: 3(12m) * Altura de N: 3(12m) * Por cada 4 unidades de 48 m hay 3 unidades de 36 m * Las alturas de los edificios M y N están en la relación de 4 a 3 En general Magnitud Cantidades x a y b RAZON Aritmética Geométrica a – b = R Términos a : antecedente b : consecuente R y K: valores de las razones NOTA Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón Proporción Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Proporción aritmética Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas. Ejemplo: Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/.15, S/.13, S/.9, S/.7. Los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15–S/.13 = S/.2 S/.15-S/.13=S/.9-S/.7 S/. 9 –S/.7 = S/.2 Términos Medios Interpretación: El precio S/. 15 excede a precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de S/.7. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años. Extremos i) 18 años-15 años = 17 años-14 años Medios Extremos ii) 18 años-17 años = 15 años-14 años Medios Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos Medios * 18 años+14 años = 17años+15 años 32 años = 32 años Extremos Medios * 18 años+14 años = 19años+17 años 32 años = 32 años De donde podemos concluir que en toda proporción aritmética: [Suma de extremos] = [suma de medios] Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas presentan dos tipos. A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las alturas de 4 edificios y que son: 25m; 18m; 42m y 35m. Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50, S/.34 y S/.29 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto B. Continua. Cuando los valores de los términos medio son iguales. Ejemplo: Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son: 19 cm3, 15 cm3 y 11cm3. Ejercicios: 1. Calcule la media diferencial de las temperaturas 35º y 17º 2. Halle la tercera diferencial de los pesos 41 kg. y 35 kg. Resumiendo PROPORCION ARITMÉTICA Discreta Continua Extremos a – b = c - d Medios d: Cuarta diferencial de a, b y c Extremos a – b = b - c Medios b: media diferencial de a y c c: Tercera diferencial de a y b Proporción geométrica Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. Ejemplo: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L 7L; 15L y 9L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo: Interpretación: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L. Ejemplo: Forme una proporción geométrica con las velocidades de 4 automóviles y que son: 15m/s; 20m/s; 9m/s y 12m/s. Resolución: a) Extremo: 15 m/s y 12 m/s Medios: 20 m/s y 9m/s Valor de cada razón geométrica: b) Extremo: 20 m/s y 9 m/s Medios: 15 m/s y 12m/s Valor de cada razón geométrica: * Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente Extremos Medios (15 m/s)(12 m/s) = (9m/s)(20 m/s) 180 =180 Extremos Medios (20 m/s)(9 m/s) = (12m/s)(15 m/s) 180 =180 De donde podemos concluir que en toda proporción geométrica: [Producto de Extremos]=[Producto de Medios] * Dependiendo del valor que asumen los términos medios, las proporciones geométricas presentan dos tipos: A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Formar una proporción geométrica discreta con las notas de 4 estudiantes y que son: 20; 16; 15 y 12 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presentan en el texto. Ejercicio: Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m. B. Continúa. Cuando los valores de los términos medios son iguales Ejemplo. Forme una proporción geométrica continua con las medidas de tres ángulos y que son: 12º, 18º y 27. Ejercicios: 1. Halle la media proporcional de las obras realizadas por dos obreros y que fueron: 20m2 y 45m2. 2. Calcule la tercera proporcional de la longitud de dos pizarras y que son: 1,6m y 2,4m. Resumiendo: PROPORCION GEOMÉTRICA Discreta Continua d: Cuarta proporcional de a, b y c b: Media proporcional de a y c. c: Tercera proporcional de a y b. Propiedades de la Proporción Geométrica * Al efectuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de cada razón en una proporción, estas mismas operaciones se verifican con los términos de la otra razón ó o o APLICACIONES 1. Si 5 es la cuarta proporcional de a,6 y b además b es la cuarta proporcional de a,9 y 30, halle a+b..............................Rpta 33 2. Halle la cuarta proporcional de 56, m y n, sabiendo que m es la media proporcional de 28 y 7 y “n” es la tercera proporcional de 9 y 12.............................Rpta 4 3. La suma de todos los términos de una proporción geométrica es 415. Si se sabe que la razón de esta proporción es , calcule la suma de los consecuentes ................Rpta 249 4. En una proporción geométrica continua se sabe que la suma de los extremos es 60. Determine la diferencia de los consecuentes sabiendo que el valor de la razón es .............................Rpta 24 5. El producto de los antecedentes de una proporción geométrica es 15. Calcule la suma de los consecuentes, si la cuarta proporcional es 10, además se sabe que los términos son números enteros mayores que la unidad................Rpta 16 ó 150 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES En algunas oportunidades nos encontramos con razones geométricas que tienen el mismo valor numérico, como: Las cuales pueden igualarse del siguiente modo: , la cual es llamada serie de razones geométricas equivalentes. (SRGE) Donde: * 10; 14;6 y 142 son los antecedentes * 5; 7; 3; y 6 son los consecuentes * 2 es la constante de proporcionalidad Realicemos algunas operaciones con los términos: a. b. En ambos casos se observa que la constante de proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a: = c) d) Se puede observar que al multiplicar los antecedentes y consecuentes la constante de proporcionalidad se ve afectada de un exponente que numéricamente es igual a la cantidad de razones consideradas para la multiplicación. En general para “n” razones de igual valor numérico se tiene: Donde: Además ai = antecedente a1 =c1k ci = consecuente a2 =c2k K = constante de proporcionalidad a3 =c3k  an = cnk En el cual se cumplen las siguientes propiedades: 1. Textualmente: 2. Textualmente: Donde: “E” es el número de razones que se multiplican NOTA En las siguientes series de rezones geométricas * * Se observa que el primer consecuente es igual al segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina: serie de razones geométricas continuas equivalentes. En general PROMEDIO INTRODUCCIÓN El origen de la palabra promedio se remonta a la época en que los viajes por mar implicaban gran riesgo, era frecuente que los barcos durante una tormenta tiraran una parte de la carga. Se reconoció que aquellos cuyos bienes se sacrificaban podían reclamar con justicia una indemnización a expensas de aquellos que no habían sufrido disminución en sus bienes. El valor de los bienes perdidos se pagaba mediante un acuerdo entre todos los que tenían mercadería en el mismo buque. El daño causado por el mar se conocía como “havaria” y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenia que pagar como compensación por el riesgo. De esta palabra latina se deriva la moderna palabra average (promedio). La idea de un promedio tiene por raíces en los primitivos “seguros” PROMEDIO Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un valor referencial (que represente a dichos datos) cuyo valor se encuentra comprendido entre los valores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual a uno de los extremos y se le denomina promedio. Ejemplo 1 A una ama de casa se le pregunta sobre el gasto diario que realiza den una semana y contesta: Lun. Mar. Mié. Jue. Vier. Sáb. Dom. S/.13 S/.17 S/.15 S/.16 S/.14 S/.18 S/.19 A lo cual ella agregará: En “promedio” mi gasto diario es de S/. 16. La señora lo que ha hecho es reunir todos los gastos diarios y dividirlo entre 7: y precisamente, esa facilidad para obtener un valor referencial de los datos que se tiene hace que este promedio sea el más utilizado, además se puede notar que: 13 < 16 < 19 Gasto Gasto Gasto Mínimo Promedio Máximo Alumno Notas Promedio Beto 12 13 11 12 12 Arturo 10 10 10 18 12 Sin embargo aquí se podría señalar que no es justo que Arturo tenga igual promedio que Beto, pues sus notas reflejan que no ha sido buen estudiante, esto nos lleva a pensar que debe haber otro procedimiento (y no el de la suma de datos y dividirlo entre el número de datos) que nos permita hallar el valor que sea realmente representativo de los datos. Ejemplo 3. Las edades de 7 personas son: 12,19,18,11,15,21,14 y 9. ¿Cuáles de las siguientes alternativas no pueden ser un promedio de las edades. a) 13,5 b) 17 c) 9 d) 23 e) 8,9 f )16 En general: Para “n” dato a1  a2  a3 ...  an se tiene que: a1  Promedio  an PROMEDIOS IMPORTANTES Promedio Aritmético o Media Aritmética ( ) Ejemplo 1: Calcule el promedio aritmético de las temperaturas de 5 ciudades y que son: 14º,13º,11º,12º y 15º Resolución = El más sencillo y ya lo habíamos trabajado en ejemplos anteriores en general para “n” datos: = Ejemplo 2: 4 comerciantes han vendido 13 polos cada uno. Calcule el promedio aritmético de las cantidades de los polos vendidos. Ejemplo 3: Cinco vendedores de fruta tienen: 18;30;24;13 y 15 frutas cada uno ¿Qué sucede con el promedio aritmético original? NOTA Para determinar la variación que experimenta el promedio aritmético de un conjunto de datos sólo es necesario considerar el incremento o disminución en la suma de los datos. Ejemplo 4: El promedio de 20 datos es 70 y de otros 30 datos es 40. Calcule el promedio de los 50 datos. NOTA Cuando de un Conjunto de datos se conoce su promedio implícitamente ya se tiene la suma de los datos. * (n datos)=ksuma (n datos)= n(k) Ejemplo 5: Un auxiliar de educación tiene el siguiente informe sobre las aulas a su cargo. Aula Aulas a Cargo A B C D Nº de estudiantes 45 40 60 55 Promedio notas 16 15 11 12 Halle el promedio de las notas de los 200 estudiantes Datos: a1 a2 a3 ... ak P1 P2 P3 ... Pk Ejemplo 6: Al finaliza el primer ciclo un cachimbo recibe su boleta de notas, que a continuación se detalla: Curso Nº de Crédito Nota Matemática 4 16 Lenguaje 2 18 Física I 6 14 Química 8 13 Calcule el promedio ponderado Promedio Geométrico O Media Geométrica ( ) Es un promedio que permite promediar índices y tasas de crecimientos y el procedimiento para calcularlo es: Ejemplo 1: En una comunidad campesina se ha observado el crecimiento poblacional de los 3 últimos años y los datos son: Año : 1 998 1999 2000 Crecimiento : 125 343 512 Ejemplo 2: El índice de crecimiento de niños vacunado contra la tifoidea en los últimos 5 años ha sido: Año 1996 1997 1998 1999 2000 Tanto Por Ciento 84% 150% 210% 315% 490% Promedio Armónico o Media Armónica ( ) Es la inversa del promedio aritmético de los recíprocos de los datos. Mediana (Me) Es un promedio que representa el punto medio de los datos para determinarlo el procedimiento es el siguiente: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente. a. Si el número de datos es impar, la mediana es el dato central. b. Si el número de datos es par, la mediana es el promedio aritmético de los datos centrales. Ejemplo 1: Halle la mediana de las temperaturas de 5 ciudades y que son 12º, 15º, 13º 36º y 9º Ejemplo 2: Se ha recopilado las notas de 12 estudiantes los cuales son: 13;15;16;18;7;8;15;10;5;20;15;7. Calcule la mediana. Resolución Ordenamos en forma decreciente: 18 16 15 15 15 13 10 8 7 7 5 Datos Centrales Luego: Me = Conclusión: El 50% de los estudiantes tienen 14 como nota máxima. MODA (Mo) Es el valor más frecuente o el que más se repite en un conjunto de datos. Ejemplo 1: Calcule la moda del coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes siendo los coeficientes 100; 90; 100; 120; 100; 95. Resolución Se observa que el dato que más se repite es 100. Luego: Mo = 100 Conclusión: La mayoría de los estudiantes tienen un coeficiente intelectual aproximado a 100. Ejemplo 2: Halle la moda de los ingresos diarios de un grupo de trabajadores, siendo los ingresos: S/15; S/.8; S/.10; S/.15; S/.10; S/.15; S/.17 NOTA Cuando el conjunto de datos tiene dos modas se le llama bimodal y si tiene más de dos modas se le conoce con el nombre de multimodal Ejemplo 3: Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias por un determinado curso y los datos fueron: Curso Estudiante * Aritmética * Álgebra * Geometría * Trigonometría * Física * Química 35 21 17 10 28 19 Calcule la moda de los datos. Propiedades (Para la ) Ejemplo: Los precios de tres artículos son: S/. 12; S/.8 y S/.18. Calcule los promedios de precios. NOTA Cuando los datos son iguales se cumple que: 6. En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente ¿Cuántas parejas deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres hay 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 7. La edad de Noemí es a la edad de Carolina como 3 es a 2. Si la edad que tendría dentro de 28 años es una vez más la edad que tenía hace 10 años ¿Cuántos años tenía Noemí hace 7 años? A) 29 B) 30 C) 41 D) 26 E) 31 8. En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de cuadrados de los términos de la segunda razón es un número de tres cifras lo menor posible. Halle la media diferencial. A) 12 B) 14 C) 21 D) 28 E) 30 9. En una proporción geométrica discreta cuya razón es un número entero y positivo, el primer consecuente es igual al doble del segundo antecedente. Si la razón aritmética de los extremos es 136. Halle la suma de los antecedentes. A) 156 B) 168 C) 172 D) 180 E) 192 10. La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción continúa. Son respectivamente 192 y 194481. Calcule la diferencia de los extremos: A) 75 B) 86 C) 104 D) 144 E) 156 11. Dos personas A y B juegan a las cartas inicialmente A tiene S/. 2 200 y B tiene S/.4 400. Después de jugar 20 partidas, la razón entre lo que tiene A y lo que tiene B es como 3 a 8. ¿Cuántas partidas ganó B, si en cada partida se gana o se pierde S/. 50? A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 12. El promedio de seis números es ; si se retira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia positiva entre y el número retirado A) 22 B) 20 C) 24 D) 18 E) 26 13. ¿Qué sucede con el promedio aritmético de un conjunto de números si a la tercera parte de ellos se disminuye en 6 unidades a cada uno? A) Disminuye 2 unidades B) Disminuye 3 unidades C) No varia D) Se reduce un sexto E) Se reduce un tercio 14. Si la MH y la MA de dos cantidades están en la relación de 4 a 9, ¿en que relación se encuentra la MG y la MH? A) B) C) D) E) 15. La media aritmética de 3 números es 7. La media geométrica es par e igual a uno de los números y su media armónica es 36/7. Halle el menor de dichos números. A) 6 B) 3 C) 7 D) 8 E) 4 16. La de 5 números enteros es 11, donde dos de ellos son 2 y 4. El resto forma una proporción geométrica continua. Calcule la de dichos números restantes, si estos son impares. A) 12 B) 11 C) 13 D) 15 E) 10 17. Los términos de una proporción aritmética son proporcionales a 9;7; 10 y 8. Si al primero se le suma 10, al segundo se le resta 20, al tercero se suma 20 y al cuarto se le resta 20, se forma una proporción geométrica. Determine la razón de la proporción aritmética. A) 10 B) 28 C) 20 D) 25 E) 30 18. En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el producto de los consecuentes es 6 400. Halle dicha proporción y dar como respuesta la suma de sus 4 términos. A) 250 B) 320 C) 240 D) 280 E) 260 19. Dado un conjunto de “n” números cuya media aritmética es “p”. Si a la tercera parte de ellos se les aumenta “a” unidades a cada uno, a los 3/5 del resto se les aumenta “b” a cada uno y a los restantes se les resta “c” a cada uno ¿En cuánto variará el promedio? A) a + b + c B) 2a +3 b -c C) D) E) 20. La edad de “A” es a la de “B” como 2 es a 3; la edad de “B” es a la de “C” como 9 es a 20; la edad de “C” es a la de “D” como 8 es a 9. Si cuando “B” nació, “D” tenía 27 años, ¿cuánto tenía “C” cuando “A” nació? A) 26 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 21. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes de la clase B excede a la de A en 16 ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? A) 64 B) 40 C) 24 D) 48 E) 36