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RAZONAMIENTO MATEMATICO EJERCICIOS DEL SEGUNDO BIMESTRE DE QUINTO DE SECUNDARIA EN WORD

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CLICK AQUI PARA VER VIDEOS Al principio, el género humano no conocía la actividad de contar. Quizá no la necesitaba o, al menos, no tenía que hacerlo para cazar los animales y, así sobrevivir. Como no conocía las horas, las semanas y los meses, no tenía porque hacer conteos. Sin embargo podía distinguir que existía una diferencia entre uno, pocos y muchos, ya sea al momento de la recolección de alimentos, al llevar a cabo la cacería o al memento de enfrentarse a una situación de peligro que entrañaba la lucha por la supervivencia. El ser humano aprendió a contar por necesidad y con el transcurrir del tiempo lo fue haciendo cada vez mejor. Primero con los dedos, que fueron los primeros símbolos usados como números, y luego usando piedras, haciendo marcas en el tronco de un árbol, en la tierra o arena del suelo. ¿Cuál es el origen del número? Siendo el número un concepto de redacción se sabe que el número surgió de la comparación entre un grupo de objetos y uno de esos objetos aislados. Caminando por el desierto, el beduino ve una caravana de camellos. ¿Cuántos son? Para definir ese “cuántos”, debe emplear los números. El número será la pluralidad definida bajo la forma de una palabra o de un símbolo. Para llegar a ese resultado, el hombre precisa poner, en ejercicio, cierta actividad. Necesito contar. Al contar relaciona cada conjunto con un determinado símbolo: uno, dos, tres,..; es decir, establece una correspondencia entre los números y los objetos del conjunto que desea contar. Nacía así, la noción de sucesión. Ahora, para la representación de un número cualesquiera con pocos signos era necesario inventar un sistema de numeración. El más antiguo sistema de numeración es el Quinario, en el cual las unidades se agrupan de cinco en cinco. En el primitivo sistema quinario el número de discos indicados sería 32 Una vez contadas cinco unidades obtendremos una colección llamada quina. Si 8 unidades sería una quina mas 3 y escribiríamos 13, entonces en el esquema mostrado tendríamos 3 quinas y 2 unidades y escribiríamos 32 (en notación utilizada actualmente e 32(5)). Es importante decir que en este sistema el segundo guarismo de la izquierda valía 5 veces mas que si estuviese en el primer lugar. Po consiguiente, los matemáticos dicen, que la base de este sistema es 5. Surgió después el sistema de base 10 que se prestaba para expresar grandes cantidades. El origen de este sistema se explica por el número de dedos de la mano. Algunos pueblos, sin embargo, demostraban preferencia por un sistema que tenía por base 12 (una docena). La docena presenta sobre la decena una ventaja: el número 12 tiene más divisores que 10. El sistema decimal fue universalmente adoptado. Desde el Tuareg, que cuenta con los dedos, hasta el matemático, que maneja instrumentos de cálculo, todos contamos de 10 en 10. Dadas las divergencias profundas entre los pueblos, semejante universalidad es sorprendente; no puede; no puede jactarse de los mismo ninguna religión, código moral, forma de gobierno, sistema económico, principio filosófico o artístico, lenguaje, ni alfabeto alguno. Contar es uno de los pocos en torno del cual los hombres no divergen, pues lo consideran lógico y natural. NOCIÓN DE SUCESIÓN En matemática la palabra sucesión se emplea casi con igual sentido que en e lenguaje común. Por ejemplo, supongamos que pedimos a un grupo de niños formarse en fila india(alineados uno detrás de otro). Empezamos a repartir caramelos; al primero le damos dos; al segundo, 5; al tercero, 8; al cuarto, 11; y así sucesivamente hasta haber entregado lo que corresponde al último niño de la fila. Es claro que tenemos que disponer de una cantidad suficiente de caramelos para poder llevar a cabo el reparto. Si se asume que dicha cantidad es finita, es posible determinarla, porque el número de alumnos que integran el grupo (Sea grande o pequeño) es finito. Cabe señalar que los números los cuales indican la cantidad de caramelos entregado a cada niño, están ordenados de manera creciente; es decir forman una sucesión cuyo número de términos va a ser limitado y dependiente del número de niños. Estamos frente a una sucesión finita. Si en una noche clara, mirando el oscuro cielo tachonado de estrellas, empezamos a contarlas de dos, cuatro, ocho, diez, doce..... y no llegáramos a contarlas todas, aun teniendo un poderoso telescopio, su número seria infinito y como estamos enumerando, los términos de dicho infinito será denominado infinito numerable. Por ello, cuando la sucesión tiene un número finito de términos, se denomina sucesión finita y cuando tiene un número infinito numerable de términos se denomina sucesión infinita. SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes: Nombre Sucesión Regla de información o término enésimo S U C E S I O N E S E S P E C I A L E S De los números naturales 1, 2, 3, 4, 5 ..... De los números pares 2, 4, 6, 8, 10, ........ De los números impares 1, 3, 5, 7, 9, ......... De los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, ............... De los números tetraédricos 1, 4, 10, 20, 35, ...... Números pentagonales 1, 5, 12, 22, ........ Números hexagonales 1, 6, 15, 28, .... De los números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, ..... De los cubos perfectos 1, 8, 27, 64, 125,.... S E U S C P E E S C I I O A N L E E S S De los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... No tiene término enésimo pero sí criterio de orden De Fobonacci 1, 1.2, 3.5, 8, 13, ..... De Feinberg1 (Tribonacci) 1.1, 2, 4, 7, 13, 24,.. De Lucas 1, 3, 4, 7, 11, ......... PRÁCTICA DE CLASE A continuación detallamos los tipos de sucesión de mas frecuencia en el examen de admisión a la UNT. SUCESIONES LITERALES Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Estos criterios son diversos y los más considerados son: - Lugar que ocupa la letra del alfabeto - Iniciales de palabras desconocidas - Formación de palabras Ejemplo 1. Indique que letra continúa en cada caso: a) A, Z, B, Y, C, ................ b) R; O; M; J; .................... c) T; S; N; D; …………….. d) E; F; M; A; …………….. e) B; A; F, C; J; E; ............. f) A; E; H; ........................ SUCESIÓN NUMÉRICA Es un conjunto ordenado de elementos numéricos en el cual cada uno de ellos tienen un orden designado, es decir, a cada uno le corresponde un número ordinal, de tal manera que puede distinguirse a uno como el primero, otro con el segundo, otro con el tercero y así sucesivamente de acuerdo a cierta ley de formación. Ejemplo 1. La sucesión cuyo término enésimo es: ; sus cuatro primeros términos son: ............................................................... Ejemplo 2. La sucesión, la cual , está integrado por los siguientes términos: ....................................................................... Ejemplo 3: Escribe los primeros 4 términos de la sucesión en la cual: Ejemplo 4: Escribe los 5 primeros de la sucesión, si: ; ; ; .............................................................. SUCESIONES NUMÉRICAS IMPORTANTES. 1) SUCESIONES ARITMÉTICAS: La razón entre sus términos se halla restando: Ejemplo 5: Calcula el término general en cada caso: a) 9; 16; 23; 30; 37;....................... b) 33; 21; 9; -3; -15; ...................... c) -3; 2; 7; 12; ............................... Ejemplo 6: En la siguiente sucesión: 127; 123; 119; 115; .............; -269. Calcular: a) .................................................... b) La cantidad de términos ................... c) El segundo término negativo de la sucesión................................................ Ejemplo 7: Dada la sucesión: -147; -139; -131; .....; 1045. Calcular: a) .................................................... b) Cantidad de términos de la sucesión:................................................ c) El primer término positivo: ................... Ejemplo 8: Escribe el término enésimo de la sucesión: 2; 7; 13; 20; 28; ................... Ejemplo 9: Dada la sucesión: -5; -9; -9; -5; 3; ............ Hallar su enésimo término ....................... Ejemplo 10: Calcule el término 12 de la sucesión: 2; 5; 12; 23; 28; ....................... Ejemplo 11: Halle el término de lugar 15 de la sucesión: 2; 5; 10; 17; 26; ................ Ejemplo 12: Hallar el término 20 de la sucesión: 14; 17; 22; 29; 38; .................... Ejemplo 13: En la siguiente sucesión: 7; 19; 37; 61; 91;....................... Halle la diferencia entre el penúltimo término de 3 cifras y el cuarto término de cuatro cifras. 2) SUCESIÓN ARMÓNICA: Se denomina así a la sucesión numérica en la cual se cumple que cada término a partir del segundo es media armónica del término que le precede y el término que le continúa. Ejemplo 14: Hallar el término que continúa en: ........ Ejemplo 15: Hallar el término que continúa en: Ejemplo 16: si sabemos que los términos tercero y cuarto de una progresión armónica son: respectivamente, construya la sucesión: ............................... ................................................................. Ejemplo 17: Hallar la ley de formación de la siguiente sucesión: 3) SUCESIÓN GEOMÉTRICA: La razón entre sus términos se halla dividiendo: Ejemplo 18: Hallar el término enésimo en cada sucesión: a) 80; 20; 5; ; .................................... b) 36; 12; 4; ; .................................... Ejemplo 19: Hallar el término central de la sucesión: 3; 6; 12; ..............; 192 PRACTICA DE CLASE 01. En el siguiente arreglo numérico, halle la suma del primero y el último término de la fila 25: Calcule la diferencia entre el número de lados de una figura 2k +4 y el valor numérico comprendido en el interior de esta, si la diferencia en la figura anterior es 300. 03. Ángela se encuentra en una huerta de cerezas donde comienza a comer de ellas de la siguiente manera. El primer día come 4, el segundo 7, el tercer día 11, el cuarto día 16; y así sucesivamente, hasta que cierto día se da cuenta de que el # de cerezas que comió ese día era 10 cerezas menos que el triple de cerezas que comió el décimo día. ¿Cuántos días han transcurrido hasta ese cierto día? 05. La siguiente sucesión es una armónica: Calcule el valor de (x + y). 06. En la siguiente sucesión: 8; 15; 22; 29;....... ¿cuántos de sus términos de 3 cifras terminan en 5? PROBLEMAS PROPUESTOS 02 01.Indique el término o letra que continúa en cada sucesión: a) A; C; F; J; ............... b) B; D; H; N; ............. c) A; B; E; F; I; J; ……. d) D; C; S; O; D; …….. e) E; F; M; A; N; ……... f) AB; BD; DG; GK; ........... g) h) 2; 3; 8; 17; 30; ………… i) 1; 2; 4; 7; 28; ………….. j) A; C; F; J; Ñ; ………….. 02. Calcule el término enésimo de cada una de las sucesiones siguientes a) 6; 10; 14; 18; 22; ................ b) 9; 14; 19; 24; 29; ................ c) -4; -7; -10; -13; ................... d) ........ e) 5; 7; 11; 17; 25; ................. 03. Calcule el valor de K + A. Si: - (2K + 1), 3K, (8K + 11) es una sucesión de primer orden, y - (2A + 1), (4A + 2), (7A + 5) es una progresión geométrica, donde A  N a) -2 b) 1 c) 3 d) -3 e) -1 04. Calcule x si: a) 26 b) 30 c) 34 d) 33 e) 31 05. Calcule el tercer término de 3 cifras en la siguiente sucesión: 3; 6; 11; 18; ........ a) 146 b) 140 c) 136 d) 165 e) 153 06. Dadas las siguientes sucesiones: 5; 8; 11; 14; ......... 166; 162; 158; 154; .......... ¿Cuál será el término común a ambas sabiendo que ocupan el mismo lugar? a) 70 b) 73 c) 74 d) 80 e) 76 07. Se tiene una sucesión de primer orden cuya razón es 7. Dicha sucesión consta de 41 términos de lugar 21 es 145. Si la diferencia entre el último y el primero es 280, calcule la diferencia entre los términos de lugares 32 y 10. a) 100 b) 140 c) 154 d) 137 e) 156 08. Las sucesiones: 124, 120, 112, ......... y -2; 1; 4; 7; ........... Tienen igual cantidad de términos y además sus últimos términos son iguales. El penúltimo término de la primera sucesión es: a)56 b) 59 c) 40 d) 60 e) 45 09. ¿Cuántos términos de tres cifras hay en la siguiente sucesión: 3; 4; 11; 30; 67; 128; ................. a) 8 b) 5 c) 4 d) 10 e) 6 10. Para imprimir un libro se emplean 255 cifras; luego se elimina el último capítulo que tenía 28 páginas y se suplanta por otro de 40 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el nuevo libro? a) 140 b) 120 c) 121 d) 123 e) 133 11. Dadas las siguientes sucesiones: S1: 11; 18; 25; 32; .......; 844 S2: 4; 13; 22; 31; .......; 1165 Halle cuántos términos son comunes a ambos? a) 10 b) 12 c) 13 d) 16 e) 14 12. Dada la siguiente de 21 términos calcule cuántos términos terminan en la cifra 5? 5; 11; 21; 35; 53; ..... a) 7 b) 10 c) 11 d) 8 e) 9 13. En las 100 últimas páginas de un libro, se ha utilizado 350 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro? a) 1049 b) 1050 c) 1051 d) 1048 e) 1047 14. En la siguiente sucesión: 9; 14; 19; 24; ............ ¿cuántos de sus términos tiene 3 cifras? a) 170 b) 190 c) 1800 d) 160 e) 180 15. en el triángulo de Pascal, calcule la suma de cifras del vigésimo término de la sucesión de términos tetraédricos. a) 1420 b) 1450 c) 1520 d) 1540 e) 1550 16. En el siguiente triángulo numérico, halle la suma del primer y el último término de la fila veinte. a) 900 b) 450 c) 801 d) 702 e) 800 17. Calcule el término enésimo en la siguiente sucesión. a) b) c) 3n d) 4n - n e) 18. Cuántos términos de tres cifras que terminan en 5 presenta la siguiente sucesión. 13, 22, 31, 40, ........, 904 19. El primer día ahorró 3 soles, el segundo día, 6 soles, el tercer día, 3 soles mas que el segundo día, el cuarto día, 15 soles, el quinto día, 9 soles más que el día anterior y así sucesivamente. ¿cuántos soles ahorró el octavo día? a) 80 b) 99 c) 100 d) 98 e) 102 20. Si: es una sucesión lineal, calcule el término número (a+b) a) 11 b) 10 c) 13 d) 12 e) 15 Habiendo estudiado las principales sucesiones numéricas nos interesa, ahora, conocer la suma de los términos de las mismas y, para ello, desarrollaremos el presente capítulo que será de gran utilidad para seguir estudios de matemática superior. El matemático alemán Karl Fiedrich Gauss (1777 - 1855) fue llamado “el príncipe de las matemáticas” por su dominio en el siglo XIX, de esta rama del saber. Desde niño demostró una poderosa habilidad con los números y la potencia de su genio lindó con lo increíble. Según la leyenda, a los 3 años de edad corrigió un error que su padre había hecho en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él. A los 6 años su maestro de escuela, que reclamaba paz en clase, ordenó a todos los alumnos que sumaran los números del 1 al 100. Gauss inmediatamente escribió el resultado en su pizarra 5050 y se los mostró al profesor. Impresionado por la proeza del niño y desconfiado, quizá, de su habilidad le preguntó por el proceso que había seguido para llegar al resultado. Karl Fiedrich le indicó entonces, muy cortésmente, a su maestro lo que mentalmente había realizado. Iniciamos con esta nota curiosa el estudio de un capítulo sumamente importante por ser la base para proseguir estudios de cálculo integral, ecuaciones diferenciales y otros temas de nivel superior. Se recomienda revisar los fundamentos teóricos planteados en el capítulo de sucesiones, para abordar mejor el presente tema. Una de las aplicaciones prácticas de este capítulo en el curso de razonamiento matemático se verá cuando estudiemos el capítulo sobre conteos de figuras. Ejemplo 1: Hallar el valor de la serie: S= 4+7+10+....64 Ejemplo 2: Calcular: A = 17+21+25+.......+”40 sumandos” Ejemplo 3: Calcular el valor de la serie aritmética de 10 términos cuyo término central es 25. Ejemplo 4: Calcular: B = 3+6+12+24+...+1536 Ejemplo 5: Hallar: I = 1+2+4+8+16+...+220 Ejemplo 6: Dada la P.G. de 10 términos: 2; .........; -1024. Calcular la suma de dichos términos. Ejemplo 7: Calcular: Ejemplo 8: Hallar la suma: Ejemplo 9: Se contrata a un vendedor para la venta de autos, prometiéndosele pagar una comisión por el primer auto que venda y luego se le ira duplicando dicha suma por cada nuevo auto vendido. Si se vende 12 autos y recibe por ellos S/. 12 285. ¿Cuánto le pagaron por el quinto auto vendido? Ejemplo 10: Dada la P.G infinita: . Calcular el valor de la suma límite de sus términos. Ejemplo 11: Dejamos caer una pelota, desde una altura de 96 m y en cada rebote se eleva hasta los desde la cual cae. Calcular el recorrido total de la pelota hasta que se detiene. Ejemplo 12: Un frutero está apilando naranjas con la intención de formar dos pirámides tetraédricas iguales. Si desea que cada pirámide tenga 20 niveles. ¿Cuántas naranjas debe tener como mínimo? Ejemplo 13: angélica camina cinco pasos hacia delante y dos hacia atrás, luego da 10 hacia delante y cuatro hacia atrás; y así sucesivamente en P.A. ¿Cuántos pasos habrá dado en total hasta el momento en que por primera se encuentra a 1105 pasos del punto de partida? PROBLEMAS PROPUESTOS 03 01. De un libro se arrancan 61 hojas de la parte final. Si se sabe que en la numeración de éstas (hojas arrancadas) se han usado 365 tipos. Hallar la cantidad total de dicho libro. a) 120 b) 110 c) 210 d) 240 e) 180 02. Hallar el valor de “S” a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/5 e) 1/6 03. Hallar la suma de los 15 términos de la serie: a) 1250 b) 940 c) 3500 d) 2360 e) 435 04. Calcular “S” en: a) 15400 b) 24350 c) 17200 d) 3540 e) 44320 05. La suma de los terceros términos de dos P.A. cuyas razones se diferencian en 2 es 33. hallar la suma de los 10 primeros términos de una nueva P.A. que se forma al sumar términos correspondientes de las dos P.A. antes mencionadas sabiendo además que la suma de los términos anteriores al primero de las primeras P.A. es -3. a) 550 b) 620 c) 580 d) 630 e) 610 06. Cuando la suma de los 10 primeros términos de una P.A. es igual a cuatro veces la suma de las cinco primeros. ¿Cuál es la razón geométrica entre el primer término y la diferencia común? a) 2/3 b) 1/5 c) 1/2 d) 2/7 e) 5/9 07. Calcular el valor de “S”: a) 814 b) 910 c) 873 d) 913 e) 923 08. Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un espacio abierto, formando así el primer lecho horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse ¿Cuántos lechos pueden formarse? a) 81 b) 27 c) 35 d) 44 e) 20 09. En el siguiente arreglo numérico hallar la suma de los términos de la fila veinte. a) 7000 b) 8000 c) 1250 d) 4320 e) 3560 10. Calcular la suma de: a) 3955 b) 3965 c) 3945 d) 3975 e) 3985 11. Hallar la suma de: a) 3280 b) 1570 c) 1250 d) 3500 e) -3280 12. Se tiene la siguiente sucesión. 1, 5, 15, 34, 65, 111, .............. Hallar: a. El término de número ordinal 20. b. La suma de los 20 primeros términos. a) 4010; 22155 b) 2050; 21215 c) 315; 1510 d) 7050; 180 e) 3290; 35710 13. Si: Calcular: c+d+a+b+x+y+z a) 29 b) 73 c) 45 d) 38 e) 41 14. Calcular la suma de todos los términos unidos por línea demarcada hasta la fila 20. 1 f1 1 1 f2 1 2 1 f3 1 3 3 1 f4 1 4 6 4 1 f5 1 5 10 10 5 1 f6 1 6 15 20 15 6 1 f7 1 7 21 35 35 21 7 1 . . . . a) 1320 b) 3150 c) 2985 d) 4270 e) 7250 15. Calcular el valor de “S”: S = 3+10+29+66+..........+1730 a) 3215 b) 6108 c) 4320 d) 8250 e) 1308 16. Ana va al cine durante tres días alternadamente en una semana, y lo hace al mes en tres semanas consecutivas. Si el segundo día de un cierto mes es jueves y la suma de las fechas de los días que fue al cine en ese mes es 198. ¿Qué fecha y día será la séptima vez que fue al cine en dicho mes, si asiste siempre los mismos días? a) lunes 27 b) martes 12 c) jueves 7 d) sábado 15 e) lunes 8 17. En un torneo de fútbol de dos ruedas participaron 14 equipos. Al final del mismo se observó que cada equipo tenía un punto de menos que el que le antecedía en la tabla de puntuaciones, excepto con el último que hizo cero puntos. ¿Cuántos puntos hizo el campeón, si la puntuación por partido ganado es 2 puntos? a) 72 b) 28 c) 34 d) 57 e) 43 18. En una canasta hay 60 duraznos. Evelyn los va colocando por fila de la siguiente manera en la primera fila pone un durazno; luego toma 2 duraznos de la canasta y los pone en la segunda fila y así sucesivamente. ¿Cuántos duraznos sobrarán en la canasta?. a) 5 b) 7 c) 9 d) 1 e) 3 19. Anita llega al colegio con cierto retrazo diariamente. El primer día llegó 1 minuto tarde, el segundo día 2 minutos tarde, el tercer día 3 minutos tarde y así sucesivamente; al cabo de 20 días de asistencia. ¿Cuánto tiempo ha perdido por las tardanzas? a) 2,5 h. b) 8 h. c) 5 h. d) 1 h. e) 3,5 h. 20. La suma de los “n” primeros términos de una serie geométrica en donde los términos son números entero es 31. Luego de calcular el primer término y “n” dar el número de soluciones: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Los matemáticos del siglo XX llevan una actividad intelectual muy sofisticada que no resulta fácil de definir, pero una gran parte de los que hoy se conoce como matemática es el resultado de un pensamiento que originalmente se centró en los conceptos de número, magnitud y forma. Las nociones primitivas relacionadas con estos conceptos se remontan a los primeros días de la raza humana e incluso pueden encontrarse ya indicios de conceptos matemáticos en formas de vida que, probablemente han precedido en muchos millones de años al género humano. Charles Darwin en el libro titulado “El origen del hombre” (1871), hace notar que algunos de los animales superiores tienen facultades como memoria e imaginación y actualmente resulta mas claro que la capacidad de distinguir número, tamaño, orden y forma, no son propiedad exclusiva del género humano. Está totalmente claro, no obstante que la matemática apareció originalmente como parte de la vida diaria del hombre y cómo es válido el principio biológico de la “supervivencia de los más aptos” entonces la supervivencia de la raza humana no deja de estar relacionada con el desarrollo de conceptos matemáticos realizado por el hombre. En un principio las nociones primitivas debieron estar relacionadas más bien con diferencias y contrastes que con semejanzas, tales como son la diferencia entre un lobo y muchos, la desigualdad en tamaño entre un pececillo y una ballena, el contraste entre la redondez de la Luna y la forma lineal de una palmera. Después, y de una manera gradual, debe haber surgido, a partir de la función de un gran número de experiencias desordenadas, la constatación de que hay ciertas igualdades o semejanzas; y de esto conciencia de las semejanzas, tanto en número como en la forma, nacieron la matemática y la ciencia en general. Las diferencias mismas parecen estar apuntando ya a las semejanzas, puesta que el contraste que se observa entre un lobo y una manada de lobos, entre una oveja y un rebaño, entre un árbol y un bosque, viene a sugerir que un lobo, una oveja y un árbol tiene en común: su unidad. De la misma manera puede llegar a darse cuenta de que algunos otros grupos como son los pares, pueden ponerse en correspondencia biunívoca: las manos pueden emparejarse con los pies, con los ojos, con las orejas o con los agujeros de la nariz. Este reconocimiento de una propiedad abstracta que tiene en común ciertos grupos, y a la que nosotros llamamos número, representa ya una importante etapa en el camino de entender la belleza y majestuosidad de la matemática. Así pues la idea de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar. Inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Prueba de esto lo constituye, por ejemplo, el origen de la palabra cálculo pues “calculus”, en su traducción al latín, significa “cuenta con piedras”. Posteriormente se desarrolla el intercambio de los productos del trabajo y surge el hecho de agregar o disminuir objetos en cada transacción, lo que da un origen incipiente a las operaciones matemáticas. La reserva de números era, al principio, muy limitada; la reunión de los números naturales conocidos y utilizados era finita y se fue extendiendo sólo gradualmente, en forma lenta. Por este motivo la conciencia de la prolongación ilimitada de la sucesión natural constituye un síntoma de haber alcanzado un alto nivel de conocimiento y cultura, así la conciencia de número se hizo al fin lo suficientemente extendida y clara como para que se llegase a sentir la necesidad de expresar esta propiedad e alguna manera, al principio con lenguajes simbólicos ( los dedos de la mano) y más adelante con símbolos que pudieran expresar ideas numéricas. Y el relacionar estas ideas numéricas a través de la comparación, agrupación y cuantificación daría origen, en su forma más primitiva, a las operaciones matemáticas, pero es la acumulación de conocimiento en base a la experiencia, tanto de carácter cuantitativo (numérico-aritmético) como de forma (geométrico), la que genera las premisas para la formación de esquemas matemático-estructurados. Ahora cuando el hombre comienza a utilizar los números tuvo que buscar una forma de representarlos. El modo más rudimentario consistió en hacer rayitas o signos en un tronco de árbol, en la arena del piso o en una tablilla de arcilla. Inicialmente cada marca representaba la unidad, mientras que el conjunto de signos daba la cantidad total de elementos que estaban siendo contados. De seguro fue así como el pastor de la antigüedad controlaba, al anochecer, cuando regresaba del pastoreo, que no se le hubiera extraviado ninguna oveja. Para asegurarse de que todas las ovejas estaban en el redil, hacia corresponder una marca o signo a cada cabeza de ganado: al final había pues tantos animales como signos marcados. Este fue el primer paso dado hacia el nacimiento de representación simbólica de los números para llegar a la representación actual. Nacía también, así la matemática, siendo, probablemente, la ciencia mas antigua. En realidad nuestra vida diaria está marcada por los números y mediante su aplicación damos funcionamiento a todos los aparatos y las máquinas que utilizamos a lo largo del día, tales como computadoras, calculadoras, televisores, videos, etc. Éste es un capítulo que basa su importancia en la grana aplicación que tiene sobre los procesos condicionales y reglamentados, que permite medir l capacidad para captar relaciones u operaciones matemáticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definición y el modo de aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operación matemática y lo que es un operador matemático. Veamos: Imaginemos que tenemos una máquina procesadora de algodón, tal como se muestra en la figura: Esta máquina recibe la materia prima que es el algodón y la transforma en un producto terminado, después de un determinado proceso, dependiendo del botón que se haya escogido. Igual ocurre con una operación matemática (representada por la máquina), ya que ella se encarga de obtener resultados, después de un conjunto de procesos que se efectúan sobre determinadas cantidades; estos procesos son diferenciados por el operador que se emplee (representado por los botones). ¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA? Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos: adición, sustracción, la multiplicación, etc. ¿QUÉ ES UN OPERADOR MATEMÁTICO? Es aquel símbolo que representa una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Como por ejemplos de operadores tenemos: En el siguiente cuadro mencionamos algunas operaciones matemáticas y los símbolos que las representan. Operación Operador Matemático Adición + Sustracción - Multiplicación X División Radicación Valor absoluto Máximo entero [ ] Integración Productoria  Sumatoria . . . . . . PRACTICA DE CLASE A continuación veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Definimos en R una operación Matemática representada por * de la siguiente manera: Calcular: a) 2 * 3 b) 6 * -1 c) d) Ejemplo 2: Se define en N: Calcular: a) b) c) d) e) Ejemplo 3: Se define en R: Calcular: Ejemplo 4: Definimos en N: Calcular: M = ( 1  2 )  ( 8  9 ) + 20 OPERACIONES MATEMÁTICAS CON REGLA DE DEFINICIÓN IMPLÍCITA Ejemplo 5: Se define en R. Calcule: ( 8  1 ) + ( 3  3 ) Ejemplo 6: Se define, en R, la operación: Calcule: Ejemplo 7: Dado: 23 % 42 = 16 35 % 16 = 23 64 % 71 = 34 Calcular: A = 59  86 Ejemplo 8: Se tiene: Calcule: Ejemplo 9: Se define una operación mediante la tabla: Calcular: 21  20 Ejemplo 10: Se define en A ={ 1; 3; 5; 7 } la operación mediante la siguiente tabla: De las afirmaciones: 1. “” es conmutativo 2. “” es asociativo 3. “” es un operador externo 4. El elemento identidad externo 5. El elemento inverso de 5 es 1. Son ciertas: Ejemplo 11: Se define en N una operación representada por , mediante la siguiente tabla: De las afirmaciones: 1. El elemento Neutro es 4 2. , es conmutativo. 3. 9  8 es igual a 43 4. El inverso de 2 es 3. No son falsas: Ejemplo 12: Sabemos que: Calcule: Ejemplo 13: Si: Calcule “m” en: Si: m  Z+ Ejemplo 14: Se define: Calcule: Ejemplo 15: Si: Calcule “a” en: Ejemplo 16: Se define: , hallar “x” en. , si: x  Z+ Ejemplo 17: Se define: a  b = a + b - 4 Hallar: Donde “a-1” es elemento neutro de “a” Ejemplo 18: Se define en R: Donde “a-1” es elemento neutro de “a” Ejemplo 19: El 2-1 para dicha operación es de la forma , donde es una fracción irreductible. Entonces “nm” es igual a: Ejemplo 20: En el conjunto: = { 0; 2; 4; 6; 8 } Definimos la operación, representado por , mediante la siguiente tabla: Calcule: PROBLEMAS PROPUESTOS 04 01. Si: Calcule: a) 8 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 02. Si: Calcule: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 03. Si: Halle: L = 24  3 a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9 04. Sabemos que: Calcule: a) b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 05. Si: Además: Calcule “m”, si m  Z+ a) 3 b) 1 c) -2 d) -1 e) 5 06. Si: Halle: 2  3 a) 1 b) 5 c) 7 d) 9 e) N.a. 07. Sabiendo que: Calcule : a + b a) 12 b) 15 c) 18 d) 13 e) 16 08. Se define: Halle: a) 0 b) -1 c) -2 d) 1 e) 4 09. Se define: Si: a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 10. Para todo número real, definimos ; como = x2 - 1 ¿Cuál es el resultado de x ? a) 119 b) 120 c) 60 d) 12 e) 111 11. Si: Calcule: a) b) 3, 4 c) 1,5 d) e) N.a. 12. Dado que: Además: Calcule: a) 4 b) 2 c) 1 d) -2 e) N.a. 13. Si: Calcule: a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 14. Dado: Hallar: “y” Además: a) 2 b) 4 c) 0 d) 1 e) -1 15. Si: : máximo entero de “x”, hallar en: a) 0 b) 2 c) 4 d) -1 e) 1 16. Si: Hallar F ( - 3) en: a) -1 b) -2 c) -4 d) -5 e) -6 17. Consideremos la operación  definida en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, mediante la siguiente tabla: De las afirmaciones, señale su valor de verdad: 1. La operación es cerrada. 2. La operación es conmutativa 3. Tiene elemento neutro a) VVV b) VVF c) VFF d) FVF e) FFF 18. Se define en el conjunto: A = { 0; 2; 4; 6 } la operación (  ) mediante la tabla. Hallar el elemento neutro. a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) No tiene 19. Se define, en Q, la operación representada por A, mediante: Halle: ; donde a-1 es el elemento neutro inverso de a. a) 1,5 b) 2 c) 5,5 d) 1 e) 4,2 20. Se define: , hallar: , donde a-1 es el elemento inverso de “a” a) 1 b) 0 c) -2 d) 4 e) N.a. SOLUCIONARIO Nº EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 01. E B E 02. D E B 03. D A D C 04. E C C C 05. A A D A 06. D C C B 07. C C E E 08. C A E C 09. D B B C 10. D E B B 11. A C E C 12. C E A A 13. D A D B 14. D E C A 15. C D B C 16. A E A E 17. A E C A 18. A D A D 19. C B E C 20. D B A B