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RAZONAMIENTO MATEMATICO EJERCICIOS DEL CUARTO BIMESTRE DE CUARTO DE SECUNDARIA EN WORD

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Ejemplo: Hallar el número de triángulos en la figura adjunta a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Solución: De 1# : 7 triángulos De 2# : 12, 23, 45, 67, 46, 57 De 3# : 145, 453 Total = 15 Triángulos Rpta.: D B) Mediante Fórmulas (Método Inductivo) Contar Ángulos Se cuentan sólo ángulos convexos ( < 180°) 1 ángulo = 3 ángulo = 6 ángulos = En general: n: N° de rayos Ejemplo: ¿Cuántos ángulos existen en la figura a) 21 b) 18 c) 24 d) 20 e) 16 Solución n = 7  Rpta.: A Contar Segmentos 1 segmento = 3 segmentos = 6 segmentos = En general: n: n° de puntos Ejemplo: Hallar el total de segmentos a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 n = 8  S = 28 Rpta: C Contar Triángulos 1 triángulo = 3 triángulos = 6 triángulos = En general: n: n° de puntos en la base Ejemplo: Calcular el total de triángulos a) 21 b) 18 c) 20 d) 16 e) 24 Solución: n = 7  Rpta.: A Contar Cuadriláteros Ejemplo: Calcular el total de cuadriláteros a) 118 b) 112 c) 120 d) 130 e) 126 Solución: S = 21 x 6 = 126 Rpta.: E Contar Cuadrados Procediendo inductivamente: En general: S = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 Ejemplo: Hallar el total de cuadrados en la figura: a) 48 b) 50 c) 55 d) 42 e) 52 Solución. n = 5  Rpta.: C Conteo de caminos o Rutas Ejemplo 1: De cuántas formas se puede leer la palabra “NÚMERO” Solución: Por el triángulo de Pascal: 32 formas Ejemplo 2: De cuántas maneras se puede leer la palabra “BOLIVIA” Solución: Por el “Triángulo de Pascal” 20 maneras Ejemplo: De cuántas formas se pueden ir de A a B por el camino más corto Solución: Por el “Triángulo de Pascal” 70 formas Ejemplo 4: De cuántas formas se puede ir de “M” a “N” sin retroceder Solución: Por el “Triángulo de Pascal” 54 formas Ejemplo 5: De cuántas formas se puede ir de “A” a “B” por el camino más corto Solución: Por el “Triángulo de Pascal” 68 formas Ejemplo: ¿Cuántos caminos diferentes puede seguir la hormiga que se indica en la figura para llegar a “M” sin pasar por “A” ni “B” y sin tocar 2 veces un mismo punto Solución: edfM; cdegiM; cdeghiM; cdeghM; cdeghfM; cdfhM; cdfhiM; cdfhgiM 8 caminos diferentes PRÁCTICA DE CLASE 01. Calcular el número de triángulos a) 15 b) 16 c) 18 d) 14 e) 12 02. Cuántos triángulos existen a) 8 b) 7 c) 9 d) 6 e) 10 03. Cuántos triángulos tiene la figura a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 04. Cuántos triángulos hay en la figura a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 05. Cuántos cuadriláteros existen en la figura a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16 06. Hallar el total de cuadriláteros a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 07. Hallar el total de cuadriláteros a) 10 b) 12 c) 14 d) 9 e) 13 08. Cuántos exágonos hay en total: a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 15 09. Hallar el total de ángulos en figura a) 22 b) 16 c) 24 d) 18 e) 20 10. Hallar el total de ángulos en la figura a) 18 b) 22 c) 24 d) 25 e) 30 11. Calcular el total de segmentos a) 36 b) 32 c) 40 d) 28 e) 42 12. Cuántos segmentos existen en total en la figura a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 13. Calcular el total de segmentos que hay en la figura a) 40 b) 36 c) 45 d) 49 e) 52 14. Hallar el total de triángulos en la figura a) 98 b) 96 c) 102 d) 108 e) 112 15. Cuántos triángulos hay en la figura a) 16 b) 18 c) 19 d) 20 e) 15 16. Hallar el total de triángulos en la figura a) 34 b) 32 c) 36 d) 40 e) 28 17. Calcular el total de triángulos en la figura a) 32 b) 36 c) 35 d) 30 e) 40 18. Hallar el total de paralelogramos a) 120 b) 110 c) 96 d) 100 e) 90 19. Cuántos sectores circulares hay a) 80 b) 76 c) 84 d) 64 e) 88 20. Cuántos semicírculos existen en la figura a) 20 b) 24 c) 27 d) 21 e) 26 21. Cuántas diagonales se pueden trazar a) 96 b) 100 c) 110 d) 120 e) 112 22. calcular el total de triángulos en la figura a) 48 b) 50 c) 42 d) 52 e) 46 23. Hallar el número de triángulos a) 360 b) 380 c) 400 d) 420 e) 390 24. Cuántos “” hay en el rectángulo y círculo pero no en el triángulo a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 0 25. Cuántos triángulos tienen por lo menos una “*” a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 7 26. Cuántos cuadriláteros no contienen a la * a) 11 b) 9 c) 8 d) 12 e) 10 27. Cuántas rectas se debe añadir para formar 10 triángulos a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. CONTEO DE NÚMEROS PRÁCTICA DE CLASE 01. En la serie natural: 1, 2, 3, 4, ...... , 4444 ¿Cuántas cifras hay escritas? a) 16 569 b) 16 669 c) 17 669 d) 16 589 e) N.A. 02. Si en la serie natural de los números se han empleado 1341 cifras. Hallar el último número escrito. a) 516 b) 483 c) 515 d) 482 e) N.A. 03. Se escribe la serie natural de los números desde 1 hasta el 2493. ¿Cuántas cifras serán necesarias usar para escribir los 2000 últimos números? a) 7 444 b) 7 494 c) 6 484 d) 8 494 e) 7 484 04. Al escribir la serie natural de los números a partir del número 71. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar 8 418? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A. 05. ¿Cuántas cifras se emplean en la escritura de todos los números enteros desde el máximo número de dos cifras distintas hasta el menor número de 4 cifras distintas? a) 2 700 b) 2 750 c) 2 800 d) 2 900 e) N.A. 06. Para numerar las 22 últimas páginas de un libro se utilizarán 71 tipos. ¿Cuántos tipos en total se utilizaron? a) 2809 b) 2709 c) 2909 d) 3009 e) N.A. 07. Si en la numeración de las páginas impares de un libro se han utilizado 440 tipos. ¿Cuántas hojas tendrá dicho libro? a) 330 b) 360 c) 165 d) 180 e) N.A. 08. ¿Cuántos tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia: a) 941 b) 1321 c) 1426 d) 1584 e) 2403 09. En la numeración de las 1 mnp páginas de un libro se han empleado 4mnp cifras de imprenta. Hallar m+n+p. a) 14 b) 15 c) 18 d) 17 e) 20 10. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en la numeración ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedan? a) 2700 b) 2720 c) 2746 d) 2772 e) 2870 11. ¿Cuántos números enteros se expresan con 3 cifras significativas distintas en el sistema decimal? a) 900 b) 729 c) 648 d) 504 e) N.A. 12. ¿Cuántos números de 3 cifras en el sistema quinario se expresan con numerales que tienen por lo menos una cifra o dos? a) 48 b) 729 c) 648 d) 504 e) N.A. 13. ¿Cuántos números de 8 cifras poseen 7 cifras siete? a) 70 b) 72 c) 71 d) 80 e) N.A. 14. ¿Cuántos números de 3 cifras del sistema decimal utilizan al menos una cifra 2 o al menos una cifra 3 en su escritura? a) 402 b) 448 c) 450 d) 452 e) 454 15. ¿En qué sistema de numeración existen 648 números de la forma: a) 12 b) 16 c) 10 d) 11 e) 9 16. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos una cifra 3 y una cifra 5 en su estructura? a) 448 b) 400 c) 52 d) 48 e) 120 PROBLEMAS PROPUESTOS 01 01. Determine el número de términos en cada serie . * 20; 22; 24; ... 488 Rpta : ............. * 2420; 2416; 2412; ...... ; 12 Rpta :........... * 104; 110; 116; ........; 3422 Rpta :............ * 3487; 3477; 3467; ....; 547 Rpta : ............ 02. Determine el término que señala en cada serie: * 7; 27; 47; ................t50 Rpta: ............. * 21; 33; 45; ...........t86 Rpta: ............. * 37; 40; 43; ............t121 Rpta: ............ * 93; 106; 119; .......t91 Rpta:............. 03. ¿ Cuántos números pares capicúas de 4 cifras existen en el sistema decimal ? a) 1600 b) 50 c) 40 d) 45 e) 36 04. ¿ Cuántos números de 4 cifras no usan las cifras 5; 4 y 7 en su escritura ? a) 2108 b) 2126 c) 2058 d) 2342 e) 1998 05. Calcular el mayor valor posible del número de términos de la siguiente progresión aritmética de números naturales : 391; 385; 379; 373; .......... a) 66 b) 64 c) 68 d) 67 e) 65 06. Si de una progresión aritmética se sabe que el término de lugar 40 es 198 y el término de lugar 90 es 448. Hallar el valor del término de lugar 111 a) 558 b) 553 c) 503 d) 508 e) 550 07. En una progresión aritmética se sabe que la relación del vigésimo primer término y el que ocupa el lugar 71 es como 11 a 36. Además el término onceavo es 72.¿Cuál será la suma del primer término y la razón? a) 12 b) 16 c) 18 d) 28 e) 22 08. En una progresión aritmética de 42 términos el primer término es 29 y el último término es 316. Hallar el término vigésimo. a) 152 b) 157 c) 162 d) 167 e) 182 09. Dada la siguiente P.A. a2+1; 7a; 9a-1; ............. Hallar el primer término que tenga 3 cifras a) 101 b) 108 c) 105 d) 106 e) 107 10. ¿ Cuántos números de 3 cifras tienen en su escritura por lo menos una cifra 7 ? a) 252 b) 253 c) 254 d) 200 e) 198 11. ¿ Cuántos números capicúas de 4 cifras en base 8 terminan en cifra par? a) 576 b) 24 c) 32 d) 21 e) 28 12. ¿Cuántos números de tres cifras se escribe con un 8 ó 9 y alguna otra cifra diferente de las anteriores? a) 64 b) 46 c) 32 d) 44 e) 30 13. ¿ Cuántos números de tres cifras del sistema decimal utilizan al menos una cifra 2 , o al menos una cifra 3 en su escritura ? a) 402 b) 448 c) 450 d) 452 e) 451 14. ¿ Cuántos números de la forma : existen ? a) 800 b) 560 c) 630 d) 576 e) 640 15. ¿ Cuántos números de la forma : existen tales que sean impares ? a) 120 b) 1400 c) 140 d) 5000 e) 5400 16. Si consideremos el segmento como la unión de dos puntos . Decir cuántos segmentos hay en total en la figura. a) 48 b) 53 c) 55 d) 45 e) 36 17. En la figura mostrada el cuadrado de la diferencia entre el número de cuadriláteros y el número de triángulos es : a) 4 b) 9 c) 25 d) 36 e) 49 18. ¿Cuántos cuadriláteros que contengan un V existen en la siguiente figura ? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 19. ¿Decir cuántos cuadrados hay en la siguiente figura? a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 19 20. En el gráfico mostrado se tienen " n" filas y " n" columnas de circunferencias. Hallar el número total de puntos de intersección a) n(n-1) b) 2n(n-1) c) 4n(n-1) d) 3n(n-1) e) 6n(n-1) 21. En la figura se tiene " n" cuadrados dispuestos como se muestra, si el máximo número de triángulos que se determinan es 490. Hallar " n" a) 122 b) 88 c) 212 d) 123 e) 121 22. En la figura que se muestra, el máximo número de triángulos es 272. Hallar " n" a) 24 b) 14 c)13 d) 17 e) 21 23. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura? a) 54 b) 27 c) 63 d) 71 e) 90 24. Al formar una pirámide regular de base cuadrada se observa que en la base se usaron 400 bolas. ¿Cuántas bolas usaron en total? a) 2870 b) 5740 c) 1435 d) 1600 e) N.a. 25. ¿Cuál es el mínimo tiempo que utilizará un niño para recorrer todos los lados y las dos diagonales de un parque rectangular de 40 m de largo y 30m de ancho corriendo con una rapidez uniforme de 27 m/min.? a) 10 min. b) 12 min. c) 14. min. d) 15 min. e) 13 min. TAREA DOMICILIARIA 01. Respecto al trazado de la figura de un solo trazo sin levantar el lapicero Marcar verdadero o falso : I. Partiendo de E, no se puede trazar II. partiendo de D, si se puede trazar III. Partiendo de B, si se puede trazar a) VFV b) VFF c) FVV d) FFV e) FFF 02. ¿Cuántos cuadriláteros no contienen a la letra " b"? a) 5 b) 9 c) 8 d) 10 e) 12 03. Con 120 bolas iguales se forma una pirámide triangular regular. ¿ Cuántas bolas forman la base? a) 30 b) 40 c) 60 d) 36 e) 18 04. Con un alambre de 240 cm se construye un cubo . Un insecto tarda como mínimo 10 minutos en recorrer todas las aristas del cubo, caminando con rapidez uniforme. Calcular dicha rapidez a) 40 cm/min b) 30 cm/min c) 20 cm/ min d) 10 cm/min e) 5 cm/min 05. Decir cuántos triángulos hay en la figura : a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 16 1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO. En los ejemplos anteriores, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferas o formar una pareja ), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo , que serán de gran ayuda en estos casos. 1. Principio de multiplicación. (Teorema fundamental del análisis combinatorio ). Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento “A” seguido de “B”, ocurre de “m x n” maneras. Observaciones : * En este principio la ocurrencia es uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento “A” y luego ocurre el evento “B”. * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos. Ejemplos: a. Una persona puede viajar de “A” a “B” de 3 formas y de “B” a “C” de 2 formas. ¿De cuántas maneras distintas puede ir de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder. Solución ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… b. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente ?. Solución ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… c. Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas también diferentes. ¿De cuántas maneras se puede vestir Ana?. Solución ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… d. Un producir se arma en 3 etapas: para la primera etapa se tienen disponibles 5 líneas de armado, para la segunda 4 y para la tercera 6 líneas de armado. ¿De cuántas maneras distintas puede moverse el producto en el proceso de armado ?. Solución ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… e. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se puede formar con los dígitos 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez ?. Solución. ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 2. PRINCIPIO DE ADICION. Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de “m+n” manera. Observaciones * En este principio la ocurrencia no es simultáneamente, es decir, ocurre el evento “A” o el evento “B”, pero no ambos a la vez. * Este principio se puede generalizar para mas de 2 eventos. Ejemplos: a. Una persona puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… b. ¿Cuánto resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado o una moneda ? Solución ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… c. Un producto se vende en 3 mercados, en el 1ro. Se tiene disponible en 6 tiendas en el 2do. en 5 tiendas y en el 3er. mercado en 4 tiendas. ¿De cuántas maneras distintas puede adquirir una persona un artículo de dicho producto ?. Solución ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… II. FACTORIAL DE UN NUMERO. Sea “n” un número entero positivo, el factorial de “n”, se denota por “n!” o “ n” y se define como el producto de todos los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive, es decir : n ! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n-1) x n Ejemplos: • 1 ! = 1 • 2 ! = 1 x 2 = 2 • 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6 • 4 ! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 • 5 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 • 6 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =720 • 7 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 • 8 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40320 • 9 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362880 • 10 ! = 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10 = 3628800 Se observa : 8 ! 10 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 9 ! 10 ! = 9! X 10 10 ! = 8! x 9 x 10 10 ! = 8! x 9 x 10 10 ! = 7! x 8 x 9 x10 Entonces: n ! = (n - 1)! x n De aquí obtenemos para n = 1 : 1! = (1 - 1) ! x 1 = 0! x 1 = 0 ! Luego definimos convencionalmente: 1! = 0! = 1 APLICACIÓN a. Calcular : 5 Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… b. Reducir: Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… III. COFACTORIAL O SEMI-FACTORIAL Sea “n” un número entero positivo, el cofactorial o semifactorial de”n” se denota por “n” y se define: a. Para “n” par : 8 !! = 2 x 4 x 6 x 8 20 !! = ………………… b . Para “n” impar : 7!! = 1 x 3 x 5 x7 19 !! = …………………. APLICACIÓN Expresar los siguientes cofactoriales en términos de factoriales. a. 40 !! b. 41 !! Solución: Observaciones: • 3 ! = 6  factorial de 3 • 3 !! = 3  cofactorial de 3 • 3 !!!  no existe definición • (3 !)! = 6 ! = 720 • ((3 !)!)! = ( 6!)! = 720! • 3 !!!  (( 3! )!)! IV. PERMUTACION. Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación si interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos. 1. PERMUTACION LINEAL. Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos, A={a,b,c,d} , los posibles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de 2 en 2 son: a ……, b…….., c……, d…….. a ……, b…….., c……, d…….. a ……, b…….., c……, d…….. Vemos que hay 12 permutaciones distintas. Se puede llegar a la misma respuesta sin tener que escribir todas las ordenaciones posibles, si aplicamos el principio de multiplicación: Por lo tanto: Número de permutaciones posibles es: 4 x 3 = 12 Del ejemplo anterior obtenemos las siguientes conclusiones: • El número de permutaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 se denota como : • = 12 = 4 x 3 = En General El número de permutaciones de “n” elementos diferentes tomados de “K” en “K”, se calcula como: 0 < K  n Observación: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decir K=n), se dice que es una permutación de “n” elementos y se denota por Pn APLICACIÓN: a. En una carrera participa 4 atletas. ¿De cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta, si llegan uno a continuación del otro ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. b. Un grupo esta formado por 6 persona y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. ¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… c. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las tres chicas no quieren estar una al lado de la otra ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. d. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10 chicas en una fila, de manera que dos chicas, en particular, no queden juntas ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. e. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 niños en una fila, de manera que cuatro niños, en particular queden juntos ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. f. Encontrar el número total de enteros positivos que pueden formarse utilizando los dígitos 1, 2, 3 y 4, si ningún dígito ha de repetirse cuando se forma un número. Solución ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. 2. PERMUTACION CIRCULAR. Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto; en estas ordenaciones no hay primer ni último elemento, por hallarse todos los línea cerrada. Ejemplo: * Permutar “A” y “B” y “C” en forma circular. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. Para determinar el número de permutaciones circulares de “n” elementos distintos, denotado por Pc(n) basta fijar la posición de uno de ellos y los “n-1” restantes podrán ordenarse de (n-1) maneras. Si se toma otro elemento como fijo, las ordenaciones de los restantes serán seguro uno de los ya considerados. Luego: Observación: * Para diferenciar una permutación circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento de referencia, y se recorre en sentido horario o antihorario, si se encuentran los elementos en el mismo orden, entonces ambas permutaciones serán iguales y en caso contrario, diferentes. Ejemplos: * Para el ejemplo anterior : Sea “A” el elemento de referencia; recorremos a partir de “A” en sentido horario, como indican las flechas. En : (1) A, C y B ( 2) A, C y B ( 3) A, B y C sólo (4) es una permutación diferente a las otras tres que representan una misma permutación circular. APLICACIÓN: a. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Juan y sus cinco amigas ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. b. En una mesa circular se encuentran servidos 5 vasos con gaseosa, entre ellos hay uno con gaseosa marca “Coca Cola” . ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse 6 personas en sus asientos, si entre ello hay 4 personas que no les gusta la gaseosa marca “Coca Cola”?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… c. Cuatro parejas de enamorados, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de una fogata?. De modo : i. Los hombres y mujeres queden alternados ii. Cada pareja no se separe. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. 3. PERMUTACION CON ELEMENTOS REPETIDOS. Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes (elementos repetidos ). Si se tienen “n” elementos donde hay : K1 elementos repetidos de una 1ra. Clase. K2 elementos repetidos de una 2da. Clase. • • • • • • K1 elementos repetidos de una r-ésima clase El número de permutaciones diferentes con “n” elementos los cuales tienen elementos que se repiten, se calcula como sigue: Donde : K1 + K2 + …+ Kr  n APLICACIÓN a. Un estante tiene capacidad para 5 libros de R.M. que tiene pasta azul, 4 de R.V. de pasta roja y 3 de matemáticas de pasta amarillas. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los libros según los colores?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. b. Se tienen 10 banderas donde 2 son rojas, 3 blancas y 5 son azules. De cuántas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. c. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra DIVISIBILIDAD ?. Solución: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………. V. COMBINACION. Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos. A través de un ejemplo nos daremos cuenta que hay una estrecha relación entre las permutaciones y las combinaciones. Dado el conjunto A ={ a,b,c,d } calcular el número de permutaciones y el número de combinaciones de los elementos de “A” tomados de 3 en 3. Del ejemplo anterior obtenemos las siguientes conclusiones: * El número de combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3 se denota por * Cada combinación tiene 6 perrmutaciones es decir : 3 !. * * En general: El número de combinaciones de “n” elementos diferentes tomados de “K” en “K” se calcula como: ; 0 < K  n Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir , K=n), se dice que es una combinación de “n” elementos y : • En el triángulo de Pascal podemos observar lo siguiente : APLICACIÓN a. ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar con 6 personas ?. Solución: ……………………………………………. ……………………………………………. …………………………………………..... …………………………………………..... ………………………………………….… b. Se extrae dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuántas maneras se puede hacer eso ?. Solución: ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. ………………………………….………… c. En una reunión hay 10 hombres y 6 mujeres. Se van a formar grupos de 5 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formarán si siempre deben haber 3 hombres en el grupo ?. Solución: ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………… d. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen: i. ¿De cuántas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas ?. ii. Si las tres primeras son obligatorias. ¿de cuántas maneras puede escoger las preguntas ?. iii. Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras. ¿de cuántas formas puede escoger las preguntas?. Solución: ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………… CONCLUSION: * La diferencia más importante entre las permutaciones y las combinaciones radica en el orden. Permutaciones < > ordenamientos Importa el orden Combinaciones <> Agrupamientos No importa el orden PRACTICA DE CLASE 01. Hallar “x” en: 1! 22 + 2! 32 + 3! 42+….+20! 212 = x! - 2! Rpta:………………. 02. Una compañía aérea debe realizar diariamente 5 viajes al Cusco, 3 a Trujillo y 2 a Iquitos. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar dicho itinerario ?. Rpta: ……………….. 03. Se dispone de 5 colores diferentes para pintar la siguiente figura de modo que cuadrados vecinos tengan colores diferentes. ¿De cuantas maneras puede cumplirse dicho objetivo, si el número de colores utilizados en cada caso es mínimo?. Rpta: …………….. 04. Caito, jugador estrella del Cantalao, debe recorrer la cancha del Nacional de “A” a “B” , según los movimientos indicados por la flecha. ¿De cuántas maneras es posible que Caito haga dicho recorrido ?. Rpta: …………….. 05. En la figura A, B, C y D son ciudades y cada línea es un camino. Si una persona desea viajar. ¿De cuánta manera puede elegir su recorrido ?. si : a. Sale de A hacia D (pasando por B y C) b. Sale de A hacia D y luego regresa hacia A c. Sale de A hacia D y luego regresa hacia A sin pasar de nuevo por el mismo recorrido. Rpta:…………… 06. ¿Cuántas números de 3 cifras utilizan al menos una cifra par o cero en su escritura ?. Rpta:…………….. 07. Un grupo de 3 mujeres y 5 hombres se forman en 2 filas iguales. ¿De cuántas formas se podrán ubicar, si en cada fila debe hacer por lo menos 1 mujer ?. Rpta:…………… 08. Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de dos volúmenes cada una. ¿De cuántas maneras puede colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de tal manera que no se separen los volúmenes de la misma obra ?. Rpta: …………….. 09. En un semestre académico en la Universidad, se enseña el curso de Matemáticas 1 en 8 secciones. Después de haberse realizado la matrícula oficial se quedarán sin matricularse 6 alumnos. ¿De cuántas maneras se pueden matricular si cada una de las secciones puede aceptar un alumno?. Rpta: ………………… 10. Se tiene 4 libros de aritmética y 3 libros de álgebra. ¿De cuántas formas se podrán ubicar en un estante donde sólo entran 5 libros y deben estar alternados?. Rpta: ………………… 11. Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 niñas y 3 niños. ¿De cuántas formas podrán hacerlo, si el asiento vacío debe quedar entre las niñas?. Rpta: ………………. 12. En una caja se tiene 2 fichas rojas, 4 fichas blancas, 3 azules, 1 verde y 1 negra. ¿De cuántas maneras diferentes se les puede ordenar si se colocan una continuación de otra. a. en forma de línea recta b. en forma de círculo. Rpta: ……………….. 13. Calcular el número total de palabras diferentes que se pueden formar con todas las letras a la vez de la palabra KATTII, de manera que, vocales iguales estén juntas. Rpta:…………….. 14. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en total en un campeonato que se juega a dos ruedas ?. Supongamos que participan 20 equipos. Rpta:………………. 15. En un tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, ¿de cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?. Rpta: …………………. 16. De un grupo de 15 personas, 5 son muchachos, 6 son muchachas y 4 son adultos. Se desea formar un comité de 6 personas. ¿De cuántas maneras se pueden agrupar, si en el comité debe hacer por lo menos 2 adultos, 2 muchachas y 1 muchacho ?. Rpta:………………… 17. Se tiene 6 números positivos y 8 números negativos. Se eligen 4 números arbitrariamente sin sustitución y se multiplican. ¿De cuántas formas el producto es un número positivo ?. Rpta: ……………….. 18. En un torneo de ajedrez jugaron en total 524 partidas, y se sabe además que hubieron 2 ruedas. En la primera jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores. ¿Cuántas personas participaron ?. Rpta:……………… 19. Un bote de 8 remos va a ser tripulado por un grupo seleccionado de 11 hombres, de los cuales 3 pueden llevar el timón. ¿De cuántas maneras puede ordenarse el grupo si dos de los hombres deben estar en el bote y solo pueden remar en uno de los lados ?. (El bote tiene la misma cantidad de remos a sus lados ). Rpta: ………………. 20.Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos, pero en la foto solo pueden aparecer 5 alumnos sentados en línea recta. ¿De cuántas maneras diferentes se puede tomar dicha foto ?. Rpta: ……………….. PROBLEMAS PROPUESTOS 02 01. Seis compañeros de la universidad se encuentran en un evento tecnológico. Determinar ¿cuántos saludos intercambian como mínimo, si 2 de ellas están reunidas? a) 6 b) 30 c) 15 d) 12 e) 14 02. En un simposio organizado por la Municipalidad de Lima participaron 4 alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados en una mesa rectangular dado de frente al público asistente. ¿Dé cuantas maneras pueden disponerse los alcaldes, si los burgomaestres de un mismo cono no pueden estar separados? a) 12 b) 240 c) 144 d) 288 e) 270 03. En un circo, un payaso tiene a su disposición 5 trajes multicolores diferentes, 6 gorras especiales diferentes y 3 triciclos. ¿De cuántas maneras puede seleccionar su equipo para salir a la función? a) 45 b) 30 c) 18 d) 90 e) 270 04. En una reunión 10 amigos desearon ordenarse para tomarse un foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse? a) 9! B) 8! C) 2.9! d) 3.8! e) 3.9! 05. De un congreso de estudiantes de Ingeniería a nivel del Perú, a la hora del almuerzo, en una de las salas se encuentran un grupo de 15 participantes donde 10 son del interior y 5 de la capital. ¿De cuántas formas se puede seleccionar los alumnos para almorzar si en cada grupo debe haber tres estudiantes del interior y 2 de la capital? a) 1200 b) 1320 c) 1020 d) 1230 e) 1300 06. Hallar el número de personas que asistieron a una reunión si al despedirse se contaron 78 apretones de mano. a) 10 b) 12 c) 13 d) 11 e) 14 07. Calcular el valor de “x” que satisface la igualdad: a) 16 b) 6 c) 15 d) 10 e) 5 08. Calcular x e y de las siguientes expresiones: a) x=9; y=17 b) x=17; y=9 c) x=12; y=8 d) x=17; y=5 e) x=10; y=9 09. Calcular “n”: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10. Averiguar el valor de “n” que justifique a la igualdad: a) 5 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 11. Al simplifica: a) b) c) d) 2 e) 4 12. La expresión: a) b) c) d) e) n 13. El valor de la suma Será: a) b) c) d) e) 2m 14. Calcular “n” en: a) 2 b) 5 c) 9 d) 6 e) 3 15. Un coleccionista de artículos precolombinos ha sido invitado a exponer sus mejores cerámicas. Dicho coleccionista ha decidido presentar 8 ceramios de los 10 de su colección. ¿De cuántas maneras puede seleccionarlos si 3 de ellos no pueden faltar en la exposición. a) 7 b) 3 c) 21 d) 8 e) 10 16. Resolver la ecuación expresado como: a) -1 b) 1 c) -10 d) 10 e) N.a. 17. Si se dispone de “m” objetos iguales, otros “n” objetos iguales y finalmente “p” objetos diferentes. ¿De cuántas maneras puede Ud. seleccionar por los menos al de ellos? a) mnp b) (m+1)(n+1) p-1 c) (m+1) (n+1) 2P -1 d) mn2P e) mn2P+1 - 1 18. ¿De cuántas maneras pueden formar 6 soldados en un fila? a) 120 b) 720 c) 240 d) 200 e) N.a. 19. ¿Cuántas palabras de 6 letras, sin importar su significado se pueden formar con las letras de la palabra PIERRE? a) 150 b) 120 c) 180 d) 24 e) N.a. 20. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa circular, dos esposos y 5 hijos? a) 120 b) 720 c) 5040 d) 2520 e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las siguientes pelotas de diversos colores de un juego: 3 rojos, 2 azules y 2 blancas? 02. Hallar el número de maneras como pueden colocar en un estante 4 libros grandes, 3 medianos y 2 pequeños, de modo que los libros de igual tamaño están siempre juntos? 03. Alumnos llegan a matricularse a la Academia que dispone de 8 aulas ¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes? 04. ¿Cuántos números deferentes de 5 cifras pueden tomarse con los dígitos : 1, 2, ,...8? Imagina la siguiente situación: Lanzamos sobre una mesa tres monedas e intentamos contestar a las siguientes preguntas: (1) ¿Se obtendrá al menos un sello? (2) ¿Es muy posible que se obtenga dos caras? El lanzamiento de las tres monedas es un experimento aleatorio. Al responder preguntas como (1) y (2) damos lugar a sucesos los cuales pueden tener uno o varios resultados. Si un suceso tiene un solo resultado se le llama suceso elemental. Veamos otro ejemplo: Lancemos un dado sobre una mesa. Aquí nos podremos preguntar ¿saldrá el resultado menor que 4? ¿saldrá impar? De cada una de estas preguntas surge un suceso. SUCESOS RESULTADOS “menor que 4” “obtener impar” “sacar 3” “tres o más” {1; 2; 3} {1; 3; 5} {3} {3; 4; 5; 6} Tabla N° 5 En acción .. Confecciona una tabla similar a la Tabla N° 5 respondiendo a las siguientes preguntas: ¿saldrá mayor o igual que 3?, ¿saldrá 4? 01. EXPERIMENTO ALEATORIO: Es un experimento en el que no se puede predecir el resultado. Decimos entonces que el experimento está sujeto al azar. Ejemplo: • tirar un dado • lanzar una moneda al aire • extraer al azar una bola de una urna donde hay bolas de igual tamaño pero de distintos colores. 02. ESPACIO MUESTRAL: (E) Es el conjunto de todos los resultados que se obtiene al realizar un experimento. Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso. Si este ultimo consta de un solo elemento se llama suceso elemental. Ejemplo: Cuando lanzamos un dado, el espacio muestral E es: Este espacio muestral tiene seis sucesos elementales. “Obtener par” es un suceso cuyo resultado es el subconjunto { 2; 4; 6 } PROPIEDADES DE LA FRECUENCIA Y DE LA PROBABILIDAD FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA DE UN SUCESO Digamos que tenemos un experimento aleatorio realizado N veces. Si el suceso A aparece n veces, decimos que: PROPIEDAD FUNDAMENTAL Si f(s) es la frecuencia relativa de un suceso S se comprueba que: Demostración: De la definición de frecuencia resulta que el número n de veces que se presenta el suceso S en N pruebas cumple con: ; dividiendo todo por N: PROBABILIDAD DE UN SUCESO (p) Sigamos con el dado. El suceso “salir impar” se verifica al obtener 1 ó 3 ó 5. Resultados favorables = 3 Resultados posibles = 6 Entonces esperamos que salga impar 3 de cada 6 veces, es decir: Probabilidad de que salga impar = o también P {1; 3; 5} = 0.5 Mas ejemplos; regresemos a la tabla N° 5 SUCESO PROBABILIDAD “menor que 4! ó {1; 2; 3} “obtener impar” ó {1; 3; 5} “sacar 3” ó { 3} “tres o más” ó { 3; 4; 5; 6} 3/6 = 0,5 = 50% 3/6 = 0,5,= 50% 1/6 = 0,17 = 17% 4/6 = 0,67 = 67% SUCESOS EQUIPROBABLES Son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Al tirar el dado existen 6 posibilidades de resultado; cada una con p = 1/6 REGLA DE LAPLACE Cuando los resultados son equiprobables: Ejemplo: En una urna se tienen 8 bolas numeradas del 1 al 8. todas del mismo peso, tamaño y color. ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar bolas numeradas menores que 6? SUCESO: “menor que 6” ó {1; 2; 3; 4; 5} N° de resultados favorables = 5 N° de resultados posibles = 8 Probabilidad = p = 5/8 ó p = 0,625 Si p=0 suceso imposible; si p=1 suceso seguro DIAGRAMA DEL ÁRBOL Veamos un caso: lanzamos 2 monedas al aire. Se nos pide calcular la probabilidad de obtener alguna cara. N° de resultados favorables = 3 N° de resultados posibles = 4 Entonces p (alguna cara) = PRACTICA DE CLASE 01. Se lanzan dos lados sobre una mesa y se anota el resultado obtenido. Escribir el espacio muestral de este experimento. Además escribir los sucesos “obtenidos al menos un 2” y “obtener 7 al sumar los números obtenidos”. ¿Cuál es la suma de los elementos de estos dos últimos subconjuntos? 02. En una bolsa hay dos bolas rojas y cuatro bolas azules. Si extraemos al azar tres bolas, escribir los sucesos “obtener 3 bolas de igual color” y “obtener una bola azul”. ¿cuál es la suma de los elementos de estos dos conjuntos? 03. Cuando lanzamos 70 veces un dado se obtuvo seis veces el número 3, cinco veces el número 5, cuatro veces el número 2, trece veces el número 1, dos veces el número 6 y tres veces el número 4. a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del suceso “obtener par”? b) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso “obtener número impar” c) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso “obtener número primo”? 04. Si en un salón de clase hay 20 alumnos y 30 alumnas, ¿cuál es la probabilidad de que al salir un alumno del aula este seas mujer? 05. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de tres monedas? 06. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al sumar los puntos de las caras superiores al lanzar dos dados? Sugerencia: Una tabla de doble entrada (numeración del 1 al 6 en ambos lados) permitirá conocer el número de casos posibles. 07. Se lanzan dos dados. ¿cuál es la probabilidad de obtener por los menos 10 en la suma de los puntos de las caras superiores? 08. Se lanzan dos dados. ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más 10 al multiplicar los puntos de las caras superiores? 09. ¿cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda al aire se obtenga cara? 10. Se lanza un dado al aire ¿qué probabilidad hay que se obtenga tres? EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 01.Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa resulte un número par? a) 0,5 b) 5 c) 50 d) 0,05 e) N.a. 02. ¿Cuál es la probabilidad de que en una baraja de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un as? a) 1/52 b) 1/15 c) 1/10 d) 1/4 e) 1/13 03. En una caja se tienen 12 bolas negras y 18 azules. ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una al azar resulte azul? a) 2 b) 0,6 c) 6,2 d) 0,02 e) 0,2 04. Una tienda vende únicamente 4 bebidas. ¿cuál es la probabilidad que el próximo comprador elija una de estas 4 bebidas? a) 1/4 b) 1/2 2/4 d) 4 e) 2 05. En un salón de clase hay 35 alumnos, de los cuales 20 son limeños. ¿cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño? a) 7/3 b) 7/12 c) 3/7 d) 12/7 e) T.a. 06. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado? a) 0,2 b) 0,8 c) 2,8 d) 2, 3 e) N.a. 07. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar aire dos monedas? a) 5/8 b) 9/5 c) 1/2 d) 4/3 e) 1/4 08. Se lanzan dos dados sobre una mesa. ¿cuál es la probabilidad que la diferencia de los puntos sea menor que 3? a) 3/2 b) 1/2 c) 1/4 d) 2/3 e) 2 09. En una fiesta por cada 3 varones habían 2 mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿cuál es la probabilidad que sea una mujer? a) 5/2 b) 2/5 c) 2/50 d) 5/20 e) N.a. 10. En una urna colocamos 15 bolas, de las cuales 7 son rojas. ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola que no sea roja al extraer una bola de la urna? a) 15/8 b) 8/10 c) 8/15 d) 15/10 e) N.a. 11. Se lanza un dado y se desea saber. ¿cuál es la probabilidad que el número sea compuesto? a) 1/2 b) 2/4 c) 1/6 d) 1/3 e) 1/4 12. Se lanzan tres monedas. ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos? a) 1/4 b) 3/8 c) 1/8 d) 2/8 e) N.a. 13. Del problema anterior. ¿cuál es la probabilidad de obtener solo dos caras? a) 1/4 b) 3/8 c) 1/8 d) 2/8 e) N.a. 14. Si lanzamos 2 dado ¿cuál es la probabilidad que el producto de puntos sea mayor que 12? a) 15/35 b) 14/34 c) 13/36 d) 36/16 e) 18/23 15. Si lanzamos 2 dados ¿cuál es la probabilidad que el número de puntos de uno sea divisor del número de puntos del otro? a) 12/15 b) 12/14 c) 11/18 d) 11/28 e) 11/12 TAREA DOMICILIARIA 01. Si lanzamos 2 dados ¿cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 5? 02. Si lanzamos 2 dados ¿cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea un múltiplo de 3? La importancia de su conocimiento es realmente grande, se les usa en todas las ramas del quehacer humano para graficar de modo bastante simple una gran diversidad de hechos, Ud. incluso, ya se ha acostumbrado a verlos en diferentes oportunidades. Veamos ahora cuáles son los conceptos fundamentales: Empezaremos viendo los que es un PAR ORDENADO. PAR ORDENADO: Llamamos así a dos números o términos cualesquiera, pareados de tal manera que uno puede ser considerado como el primo del par (primera componente) y el otro como el segundo (segundo componente) Ejemplos de pares ordenados: IGUALDAD DE PARES ORDENADOS: 2 pares ordenados son iguales entre sí, sí y solamente sí, las primeras componentes son iguales entre sí y las segundas componentes también son iguales entre sí. Es decir: ( a , b ) * ( c , d ) Sí y solamente sí: a = c b = d Podemos pues notar, ahora, que no es lo mismo escribir (x, y) que (y, x) (en el caso de que x sea diferente de y) Veamos una aplicación práctica: • Hallar x e y si se sabe que el par ordenado: (3x + 5, 2y -3) es igual al par (8, 5) Como nos dicen que ambos pares son iguales escribiremos: (3x + 5, 2y - 3) = (8, 5) de donde por la igualdad de 2 pares ordenado, podemos escribir: 3x + 5 = 8 y; 2y - 3 = 5 3x = 3 y; 2y = 8 x = 1 y; y = 4 Muy fácil .... ¿no le parece? .................. • Ahora, halle Ud. el valor de la suma: x + y, sí se sabe que: (3x +2y , 8x - 3y) = (5, 6) En otro tipo de estudios, podrá Ud. ver que entre los pares ordenados también se pueden dar operaciones como la suma, resta, producto, etc. que - por ahora - obviaremos. SISTEMA DE COORDENADAS: Su propósito básico es localizar puntos en el plano (o en el espacio) relacionándolos con sistema de 2 líneas (o de 3) que se cortan perpendiculares entre sí en un punto que llamamos origen de coordenadas. En el caso de un sistema de 2 líneas perpendiculares entre sí, ellas son una línea horizontal llamada: eje de las X ó eje de las ABCISAS (en la que se medirán distancias horizontales); y una línea vertical llamada; eje de las Y o eje de las ORDENADAS (en la que se medirán distancias verticales) A cada una de estas líneas le podemos asignar una unidad común de distancia convirtiéndolas así en rectas numéricas y conviniendo en que la, dirección positiva del eje X es a la derecha del origen de coordenadas y la dirección negativa en sentido contrario; para el caso del eje Y la dirección positiva será hacia arriba del origen y la negativa hacia abajo. Veámoslo: SITUACIÓN DE UN PUNTO La situación de un punto en el plano se expresa a través del par ordenado llamado: COORDENADAS del punto, cuya primera componente se llama ABCISA y al segunda se llama ORDENADA. COORDENADAS : (ABCISA, ORDENADA) ABCISA (X): Se mide en el eje X o eje de las abcisas. Indica la posición horizontal del punto, o es también distancia hacia la derecha o la izquierda del origen. ORDENADAS (Y): Se mide en el eje Y o eje de las ordenadas . Indica la ubicación vertical del punto o es también distancia hacia arriba o hacia abajo del origen. Veamos algunos ejemplos de ubicación de puntos: • Ubicar el punto a = (2, 3) 1. La abcisa es le primer número, en este caso igual a 2. Contamos 2 unidades, a partir del origen, en el semieje positivo de las X, desde allí trazamos una paralela a l eje Y. 2. La ordenada es igual a 3. Contamos 3 unidades, a partir del origen, el semieje positivo de las Y y de allí trazamos una paralela al eje X. En donde se cruzan ambas líneas, está ubicada el punto A = (2, 3) • Ubicar el punto B = (-6, 5) Procedamos de otro modo: A partir del origen y hacia la izquierda contamos 6 unidades, desde allí trazamos una paralela al eje y contamos en dicha paralela 5 unidades verticales. En el punto en que acabemos el conteo, allí se ubica el punto B. Como Ud. puede haber notado, la ubicación de un punto conociendo sus coordenadas es algo sumamente simple. Ahora, practique Ud. en los siguientes casos: I. Ubique Ud. En cada caso siguiente los puntos señalados: C = ( 8 , 3 ) D = ( -6 , -2 ) P = ( -5 , +8 ) Q = ( 5 , -a ) Debe notarse también que cada una de las cuatro regiones que se determinan al cortarse los ejes, se denominan CUADRANTES y en ellos las componentes de las COORDENADAS, tienen signos diferentes: II. En el siguiente caso “X” ó “Y” están relacionados a través de: Y = 2X + 1. Cada valor de “Y” se ha obtenido al reemplazar el respectivo valor de X en la expresión dada. Ubique Ud. Cada par de puntos que se le dan en la tabla adjunta y únalos para poder obtener la gráfica de la relación entre “X” ó “Y”: Y= 2x + 1 ¿Qué figura ha obtenido? .......... Ahora proceda de la misma manera en los siguientes casos: Y= 3 – 3x Y= 5 + 2x ¿Qué figuras volvió a obtener en estos casos? ..................................................... En efecto, ha obtenido líneas rectas. En general una igualdad de primer grado con 2 variables SIEMPRE de lugar a una recta, o es la ecuación de una recta, ella entonces tendrá en general la forma: Y = ax + b Grafique ahora los dos casos siguientes: Y = 3x2 + 2x + 1 Y =X2 + 1 ¿Qué ha obtenido? ............................... Así se, ha obtenido líneas curvas. En general toda ecuación de grado igual o mayor a 2 es la representación de una LINEA CURVA. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia geométrica entre dos puntos situados en un plano y cuyas coordenadas son A = (X, Y) y B = (x1, y1) está dada por la expresión: Expresión que puede ser muy fácilmente mostrada utilizando el teorema de Pitágoras. Veamos ahora unas aplicaciones: Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos A=( 3,8 ) y B = ( 6,12 ) Aplicando la fórmula dada: =5  Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos P=( 3 , 9 ) y C = ( 8 , 21 ) aplicando la fórmula dada: Como puede ver, hallar la distancia entre 2 puntos es muy simple. ............................... ¿No lo cree Ud.? .......................................  Halle Ud. La distancia entre los siguientes pares de puntos: a) A=(5,2) y B=(9,5) COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO ENTRE 2 PUNTOS: Sean los puntos A=(X, Y), B=(X1, Y1), las coordenadas del punto medio del segmento que une a ambos puntos son: M =  Ejemplo: Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A=( 18 , 16 ) y B = ( 14 , 24 ) serán:  Ejemplo: Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A=(-6,-14) y B=(16,12) serán : M = M = (5, - 1) Ahora calcule Ud., en cada caso las coordenadas del punto medio: A = ( 8, 16 ) B = ( 14, 16 ) M = Estando claros los conceptos anteriores, veamos su aplicación a algunos problemas: 1. En los siguientes gráficos, se muestran los ingresos por ventas de dos empresas durante los años 1975 – 1982. a) En qué año la empresa A mantuvo un nivel de ingresos? b) ¿Qué empresa y durante cuántos años obtuvo mayores ingresos? c) ¿En qué año cada empresa llegó a vender 95 millones de dólares? SOLUCION Muchas veces habrá de encontrarse con que va a tener que sacar conclusiones a través del análisis de un gráfico estadístico, como en este caso; procedemos a su interpretación: a) Observando el gráfico de la Empresa A, vemos que todos los años está aumentando su ingreso, con excepción del año 1977 en que su ingreso fue constante e igual a 60 millones de dólares. b) Para contestar a estas preguntas y dado que ambos gráficos están en las mismas unidades y escala, lo mejor y más rápido es unirlos en uno solo, tendremos así: Podemos ver que hasta el año ’79 en que ambos gráficos se cruzan, la empresa B tenía mayor nivel de ingresos; y que a partir de ese año hasta 1982 es la Empresa A la que pasó a tener mayor nivel de ingresos. c) Para saber en qué año cada empresa llegó a vender 95 millones de dólares, procedemos así:  Ubicamos 95 en el eje Y, donde se registran los ingresos. Desde allí trazamos una paralela al eje x y que corte a ambas gráficas.  Desde el punto de corte de dicha paralela con cada gráfica, trazamos paralelas al eje y hasta que se corten con el eje x donde se miden los años.  Tendremos entonces para cada punto de corte, sus coordenadas una de ellas nos da el año y la otra el ingreso en ese año. Veámoslo: Se puede ver entonces que la empresa a llegó a los 95 millones en 1980 y la empresa B lo hizo en 1981. 2. Calcular el perímetro de la figura que se obtiene al unir los puntos: A=(2,1) , B=(5,5) , C=(8,5) , D=(12,1) SOLUCIÓN Para tener una mejor idea de la solución, podemos proceder a graficar los puntos: El perímetro será igual a: Perímetro = Hallemos cada lado en base a la fórmula de la distancia entre 2 puntos: Entonces tendremos: Perímetro = 5 + 3 4 +10 = 18 + 4 3. Determinar el punto de equídista de los puntos A ( 7,-2 ) , B ( -8 , 1 ) y C ( 3 , 4 ) SOLUCIÓN Digamos que el punto buscado sea el punto P(x,y) ............................ ¿qué ? Significará que equidiste de los otros puntos?.................................................. Significará que su distancia a cada uno de ellos es igual en cada caso, por lo tanto podemos escribir que: Entonces procedemos a calcular las respectivas distancias: Ahora igualamos dichas distancias y tendremos: Procedemos a desarrollar: Elevamos al cuadrado ambos miembros y quedará: (x, - 7)2 + ( y + 2 )2 = (x + 8 )2 + ( y + 1)2 Desarrollamos y simplificamos al máximo: X2-14x+49+y2+4y+4=x2+16x+64+y2-2y+1 - 30x +6y =12 - 5x + y = 2 ......................... (1) Ahora igualemos: y repitamos el proceso: (x+8)2 + (y-1)2 = (x - 3)2+(y-4)2 x2+16x+64+y2-2y+1 = x2-6x+9+y2-8y+16 Quedará: 2x + 6y = - 40 11x + 3y = -20 ............. (2) Resolviendo el sistema (1) y (2): 11x + 3y = -20 -5x + y = 2 x = -1 y = -3 Entonces el punto buscado es: P=(-1, -3) 4. Los puntos P=(-4,0), Q=(5, 3 ) y R=(x,0) son vértices de un triángulo rectángulo en Q. 1) Hallar el perímetro. 2) Hallar el área. SOLUCION - Inicialmente graficaremos teniendo en cuenta que el punto R=(x,0), cuya ordenada es cero, estará ubicado en el eje x donde todas las ordenadas son de valor cero. - Para hallar el perímetro, debemos de conocer el valor de cada lado y, como ya hemos visto, cada lado se puede conocer calculando la distancia entre sus 2 puntos extremos. Ahora bien, en este caso sólo conocemos las coordenadas de 2 puntos, por lo tanto sólo podemos – inmediatamente – calcular el valor de un lado, ............... ¿Cómo haremos entonces para conocer el valor de los otros dos? .............. ¿Qué relación existe entre los 3 lados? ...................... ¿se cumple algún teorema entre ellos? .......... Así es, por el hecho de ser lados de un triángulo rectángulo se cumple entre ellos el teorema de Pitágoras, entonces tendremos. Como podemos ver tenemos una sola ecuación con una sola variable: x, entonces desarrollamos: (-9)2+(-3 )2+(5-x)2+(3 )2 = (x+4)2 81 + 27 + (5-x)2 + 27 = (x+4)2 (5-x)2 – (x+4)2+135 = 0 25 – 10x + x2 – x2 – 8x – 16 + 135 = 0 144 = 18x = x 8 = x Luego el área del triángulo será muy fácil de calcular ........................ ¿Puede hacerlo Ud.? 5. Calcular el área del cuadrilátero ABCD si A=(1,2) , B=(4,6) , C=( 7,3 ) y D=( 5,0 ) SOLUCION - Ubiquemos cuidadosamente cada punto y luego unámoslos para formar el cuadrilátero dado: Los pasos a seguir ahora son: - Prolongaremos las ordenadas de A y C hacia arriba y hacia abajo hasta que se corten con la prolongación de la abcisa de B y con eje de las x, ponemos entonces letras a los puntos de corte: ¿Qué hemos conseguido? ................ Hemos logrado formar el rectángulo MNPQ que encierra exactamente al cuadrilátero-cuya área buscamos- y a otros 4 triángulos rectángulos cuyas áreas podemos calcular. Ese fue el objetivo de prolongar abcisas y ordenadas: buscar que formar un cuadrilátero dentro del cual estén además del área buscada, otras áreas – que con los datos podamos calcular. ¿Qué le parece?....... ¿Es comprendido?........... Ahora recordemos los aprendido en el capítulo de Áreas sombreadas: ¿Cómo hallar el área sombreada? ............... Muy simple, diremos: Reemplazando: Los respectivos valores de cada segmento pueden ser muy fácilmente hallados a través de sumas y restas de abcisas o de ordenadas respectivamente. En nuestro caso tendremos: AABCD = 30 - (5. + 4.5 + 3 + 1.5) AABCD = 30 - 14 AABCD = 16u2 Repase nuevamente el problema y notará que el paso fundamental ha sido la prolongación de las coordenadas respectivas hasta lograr encerrar la figura dada en un cuadrilátero (cuya área sea fácil calcular) luego restamos áreas, calculando cada lado necesario a través de la suma de las respectivas coordenadas. Veamos otro ejemplo: 6. Hallar el área del cuadrilátero: A=(1,1), B=(4,6) C=(7,7), D=(9,3). SOLUCIÓN - Ubiquemos los puntos: - Prolongamos adecuadamente: Entonces diremos: Reemplazando directamente los valores de sus lados respectivos: AABCD= 8x7 – AABCD= 56 – ( 10.5 + 1.5 + 4 + 16) AABCD= 56 – 32 AABCD= 24u2 Recuérdese que el área de un trapecio es igual a: Área trapecio= altura 7. Calcular el área del triángulo A=(2,3), B=(3,5) y C=(6,2) SOLUCION Lo importante de los 2 casos anteriores es que nos ha permitido conocer un método de solución para el cálculo de áreas en un sistema de coordenadas cartesianas. Lo aplicaremos también a este caso. 1) Grafiquemos: 2) Prolongamos 3) Luego el Área buscada será: = 4 x 5 – = 20 – ( 1 + 4.5 + 10 ) = 4.5 u2 PRACTICA DE CLASE 01. Calcular la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos (5; 3) y (10; 15 a) 13 u b) c) 149 u d) 17 u e) 02. ¿Qué punto sobre la recta AB equidista de A (- 2; 16) y B (24; - 38) a) (13; 27) b) (20; 20) c) (11; 11) d) (- 20; 20) e) (- 13; - 27) 03. Hallar el punto medio de la línea que une (-5; -6) y (7; 2) a) (1; - 2) b) (1; - 4) c) (6; 4) d) (6; - 4) e) (2; - 4) 04. Los vértices de un triángulo son: A (4, 6), B (10; 6), C (- 4; 2). Hallar la longitud de la mediana de B a AC. a) b) c) d) e) 05. Hallar el área del cuadrilátero cuyos vértices son (8; 10) ; (12; 0) ; (2; 5) y (4; 1) a) 50 u2 b) 55 u2 c) 60 u2 d) 65 u2 e) 70 u2 06. ¿Qué tipo de cuadrilátero se forma uniendo los siguientes puntos (0; 1); (3; 5) ; (7; 2) y (4; -2)? 1. Rectángulo 2. Cuadrado 3. Paralelogramo a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 y 2 e) T.a. 07. Los extremos del diámetro de un círculo son (- 2; 4) y (6; - 2). Hallar la distancia del centro del círculo al origen. a) b) 2 c) 3 d) 5/2 e) N.a. 08. ¿Qué tipo de triángulo se forma con los siguientes puntos A (4; 2); B(8; 4) y C(6; 8) 1. Rectángulo 2. Isósceles 3. Escaleno 4. Equilátero a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 y 4 e) 1 y 2 09. Hallar el área del triángulo anterior. a) 8 u2 b) 10 u2 c) 12 u2 d) 14 u2 e) 16 u2 10. Los vértices de un triángulo son (- 3; 3) ; (7; 3) y (- 1; 7). Hallar la longitud de la mediana más corta. a) 4 u b) 5 u c) 3 u d) 17 u e) 50 u 11. ABC es un triángulo equilátero. Las coordenadas de B y C son respectivamente: (8; 5) y (14; 5). Determinar las coordenadas de A sabiendo que está hacia abajo del lado BC. a) (11; 10,1) b) (11; - 0,1) c) (11; 8) d) (11; 2) e) N.a. 12. Determinar la longitud de la diagonal mayor del trapecio MNPQ siendo M=(0; 0) N= (3; 8); P= (8; 8) y Q= ((15; 0) a) b) c) d) e) 6 13. Los vértices de un triángulo son: A (- 4; -5); B (2; 1) y C (6; - 3). Hallar la longitud de la mediana trazada desde B a AC. a) 5 b) c) d) e) 14. Dado el segmento cuyo punto medio es “M”. hallar las coordenadas de Q sabiendo que las de A y M son respectivamente (- 4; - 12) y (6; 8) a) (- 14; - 32) b) (16; 28) c) (1; -2) d) (11; 18) e) (36; 4) 15. P(- 5; 3); Q(- 2; 5); R(6; - 2) y S(3; 5) son los vértices de un cuadrilátero cuya área es: a) 55 u2 b) 96 u2 c) 67,5 u2 d) 42,5 u2 e) 15 u2 16. Hallar la distancia entre los puntos A(- 1; -2; 2) y B(2; 4; - 1). a) b) c) d) e) 52 u 17. ¿Qué clase d triángulo se forma al unir los puntos A (- 2; 4; - 3); B (4; - 3; - 2) y C (- 3; - 2; 4)? 1. Escaleno 2. Isósceles 3. Acutángulo 4. Obtusángulo a) 1 y 2 b) 3 y 4 c) 1 d) 2 y 4 e) Sólo 4. 18. Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son: (5; - 1; 7) y (- 3; 3; 1). 1. (7/3; 1/3; 5) 2. (2; 3/5; 1/3) 3. (- 1/3; 5/3; 3) 4. (- 2; - 3/5; - 1/3) a) Sólo 2 b) Sólo 1 c) 2 y 3 d) 1 y 3 e) 3 y 4 19. Hallar el área de l región triangulas ABC si: A(2; 8); B(- 4); C(- 4; - 6) a) b) c) d) e) 20. Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: (- 6; 16); (16; 6); (- 10; - 4); (12; 12) y (20; - 8) a) b) c) d) e) PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 04 En el siguiente gráfico: Se presenta el índice de nacimiento (N) en cierto país, T está en años y N en miles. Responda Ud. a las siguientes preguntas: 01. ¿En qué año nacieron 162,00 niños? a) 1979 b) 1982 c) 1983 d) 1900 e) F. datos 02. Si estimamos que una política de control de la natalidad influye directamente en la disminución del número de nacimientos, ¿En que año podemos decir que dicha política tuvo mayor éxito? a) 1978 b) 1982 c) 1985 d) 1979 e) 1980 03. La ley de Charles, en Química, establece que: sí la presión de un gas se mantiene constante, entonces su volumen es directamente proporcional a su temperatura, es decir: V=KT donde k es la constante de proporcionalidad, tal relación se halla graficada a continuación. Hallar el volumen cuando T=45 a) 115 b) 217 c) 117 d) 125 e) N.a 04. Hallar las áreas de la figura sombreada sabiendo que cada cuadrilátero tiene su lado. a) 48u2 b) 33.5u2 c) 13.5u2 d) 14.5u2 e) N.a 05. a) 22u2 b) 0u2 c) 26u2 d) 18u2 e) F. datos 06. En el siguiente caso, tome =3.14 y = como centro del semicírculo. a) 62.66u2 b) 66.26u2 c) 28.66u2 d) 43u2 e) 32.14u2 07. Hallar el perímetro del triángulo ABC, si se sabe que A=(2,3), B=(3,5), C=(6,2) a) b) c) d) e) N.a. 08. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: A=(2,3) B=(5,8), C=(10,5) a) 16.66u2 b) 17.26u2 c) 14u2 d) 17u2 e) 16u2 09. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: A=(1,1) B=(5,7), C=(-1,3) a) 16u2 b) 16.66u2 c) 17.26u2 d) 14u2 e) 17u2 10. Los vértices consecutivos del lado de un rombo son (1,3) y (2,0); si el punto donde se cortan perpendicularmente las diagonales en el punto (2,3). Hallar el área del rombo. a) 3u2 b) 8u2 c) 5u2 d) 13u2 e) F.datos 11. ¿Cómo podemos recordar una relación del tipo y=ax+b, de origen en un gráfico a una línea recta? En el caso siguiente hallar y cuando x=10 a) 21 b) -85 c) 12 d) 85 e) F. datos 12. El siguiente gráfico muestra la relación existente entre el precio de un artículo y la cantidad de artículos comprados a ese precio. Cuántos artículos se comprarán cuando cada uno de ellos cueste 80 a) 19,800 b) 20 c) 20,000 d) 21,500 e) F. datos 13. Los puntos medios de los lados de un triángulo son M1=(5,6) M2=(7,4) y M3=(10,7) Hallar uno de los vértices del triángulo. a) (3,2) b) (20,14) c) (8,8) d) (8,9) e) (12,12) 14. Cuando representamos la relación entre la velocidad y el tiempo a través de un gráfico en el plano cartesiano, el área debajo de la gráfica representa la distancia recorrida en un tiempo determinado. Si tenemos el gráfico V-T Podremos decir que: El área de OABT; es la distancia recorrida durante T1 horas. El área de OABCDT3, es la distancia recorrida durante T3 horas. La distancia recorrida entre os T1 y T2 horas estará dada por el área de T1BCT2. ¿Ha entendido lo anterior perfectamente?.. ................ Entonces ahora resolvamos: La velocidad variable de un móvil está representada en el gráfico siguiente: ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido después de 26 horas de viaje? a) 1,350km b) 1530km c) 1680km d) 1280km e) N.a 15. En el siguiente gráfico se representa la velocidad de un móvil que en 11 horas ha recorrido un total de 518 kilómetros Hallar la velocidad final VF de dicho móvil. a) 38km/h b) 39.5km/h c) 36.5km/h d) 26km/h e) N.a 16. Se muestra en el gráfico siguiente la velocidad de un móvil con relación al tiempo. Si después de x horas de viaje el móvil ha recorrido 900kms. Hallar el valor de x. a) 22.5hrs. b) 22hrs. c) 24.5hrs. d) 25hrs. e) Faltan datos 17. ¿Cuál de los siguientes gráficos es el que muestra el tiempo (t1) luego del cual se encuentran 2 móviles que parten simultáneamente en sentidos contrarios y con velocidades constantes.? a) b) c) d) e) N.a 18. En el siguiente gráfico se muestran las relaciones entre la velocidad y el tiempo de 2 móviles que parten simultáneamente en el mismo sentido. Quién habrá recorrido una mayor distancia 5 horas después de la partida a) Móvil A b) Móvil B c) Ambos han recorrido la misma dist. d) Faltan datos e) N. a 19. ¿Quién llegará primero a Chosica que se encuentra a 260kms. Del punto de partida? a) A b) B c) Ambos llegan al mismo tiempo d) Faltan datos e) N. a 20. ¿A qué hora pasará el móvil B por Lima, que se encuentra a 200km. Del punto de partida? a) Entre 3 y 4 b) Entre 6 y 7 c) Entre 5 y 6 d) Entre 2 y 3 e) Entre 4 y 5 TAREA DOMICILIARIA 01. Hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos (3; 5) y (- 2; - 4) 02. Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(7; 29) y Q(10; 5) 03. Hallar la ecuación de una recta con pendiente 2 y que pasa por el punto (3; - 7) 04. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen de coordenadas y pasa por (5; 12) 05. Dados tres vértices de un paralelogramo ABCD: A(3; 5); B(5; -3) y C(- 1; 3). Determine las coordenadas del vértice D, opuesto a B. 06. La mayor base de un trapecio isósceles une los puntos (- 2; 8) y (- 2; - 4). Uno de los extremos de la otra base tiene coordenadas (3; 2). La longitud de la base menor es. 07. El área de un triángulo es 4 u2; dos de sus vértices son los puntos: A(2; 1) y B(3; - 2), el tercer vértice C está situado en el eje X. SOLUCIONARIO N° Ejercicios Propuestos 01 02 03 04 01 E A B 02 D E D 03 E D B C 04 C C A D 05 E A C B 06 B C C B 07 C B E C 08 C E D D 09 E C B A 10 A B C C 11 B C D D 12 A D C C 13 C C A C 14 E E C A 15 C C D 16 C A D 17 A D D 18 C B A 19 D C A 20 C B E 21 D 22 D 23 C 24 A 25 A